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8/17/2019 CAP6 -Introducción a La Convencción
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1
> Introducción a la convección.
FENOMENOS DETRANSPORTE II
8/17/2019 CAP6 -Introducción a La Convencción
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2
T T hq S "
A
hdAT T Ad
A
S S
S S S "
A
A
hdA
S
S
S h
T T Ahq S S _
Para la placa plana h varia con x
L
L hdxh 01
C C h N A Asm A "
A
dAh
mS
A S m
S h
_
C C Ah N A AsS m A _
L
m Lm dxhh0
1
En términos de masa:
Para la placa plana h varia con x
C C M hn A As Am A "
A Asm A hn"
A AsS m
A Ahn _
Calor Masa
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vidiendo por DxDyDz y si el limite tiende a cero se tiene, después por notacióvectorial:
CAPA LIMITE HIDRODINAMICAEcuación de Continuidad
0
y
v
x
v y x
Para flujo bidimensional y estado estacionario
0
y
v
x
v y x
Para flujo bidimensional, estado estacionario eincompresible:
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4
CAPA LIMITE HIDRODINAMICAEcuación de Movimiento
vv A
pvvAvm p
Por convección:
xvv xvv yvv yvv y y x x y x y x x x x x x x
DDDD DD
Por conducción: esfuerzo cortante en x a través de
una superficie perpendicular y
x x y y y y yx y yx x x xx x xx
DDDDDD
yx
Fuerzas externas:
y P P x x x D DFuerzas de campo
y x X DD
El balance total en x sería:
y x X y P P
x x y y
xvv xvv yvv yvvvt
y x
x x x
y y yx y yx x x xx x xx
y y x x y x y x x x x x x x x
DDD
DDDD
DDDD
DD
D
DD
DD
Dividiendo en xy, se tiene:
X x
P P
y
x x
x
y
vvvv y
x
vvvvv
t
x x x
y y yx y yx x x xx x xx
y y x x y x y x x x x x x x x
D
D
DD
D
D
D
D
D
DD
DD
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Con xy tendiendo a 0 se tiene:
X x
P
y x y
vv
x
vvv
t
yx xx x y x x x
En EE se tiene :
X x
P
y xvv
yvv
x
yx xx x y x x
Resolviendo la derivada de la izquierda y aplicando Ec. continuidad:
y
vv
x
vvv
yv
xvvv
yvv
x
x y
x x y x x x y x x
X
x
P
y x y
vv
x
vv
yx xx x y
x x
Asi para x:
Ec. continuidad
Y
y
P
x y y
vv
x
vv
xy yy y
y
y
x
Análogamente para y:
Para fluidos newtonianos:
y
v
x
v
x
v y x x xx
3
22
y
v
x
v
y
v y x y xx
3
22
x
v
y
v y x yx xy
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6
X x
P
x
v
y
v
y
y
v
x
v
x
v
x y
vv
x
vv
y x
y x x x y
x x
3
22
Reemplazando:
Y
y
P
x
v
y
v
x
y
v
x
v
y
v
y y
vv
x
vv
y x
y x y y
y
y
x
3
22
CAPA LIMITE TERMICAEcuación de Energía
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7
222
2
1
2
1
2
1v
V
E Vvmv E K K Energía cinética:
U V
U U V U mU ˆˆˆ Energía interna:
D
D
x xvU v
xvU v y x x
22
21ˆ
21ˆ En dirección X:
En dirección Y:
D
D
y y
vU v
y
vU v x y y22
2
1ˆ
2
1ˆ
x x x x x
qq y DDEnergía cinética:
y y y y y qq x
DDEnergía interna:
El trabajo de fuerzas externas:
Presión en x: x x x x x Pv Pv y DD
y y y y y Pv Pv x
DDPresión en y:
F viscosas en x: x x y yx x xx x y yx x xx vvvv y DD
F viscosas en y: y y y yy x yx y y yy x yx
vvvv xD
D
Otras fuerzas: y x Yv Xv y x DD
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8
Reemplazando en el balance de energía :
y xqYv Xv y x
vvvv x
vvvv y
Pv Pv x Pv Pv y
qq xqq y
vU t
y x
y x
y y y yy x yx y y yy x yx
x x y yx x xx x y yx x xx
y y y y y x x x x x
y y y y y x x x x x
y yvU yv
yvU yv x
x x
vU xv
x
vU xv y
DDDD
D
D
DD
DD
DD
D
D
DD
DD
DD
D
D
2
2
1ˆ2
2
1ˆ
2
2
1ˆ2
2
1ˆ2
2
1ˆ
Dividiendo por los deltas y con def. derivada se llega a la ecuación de
energía mecánica y térmica:
yv yy xv yx y
yv yx xv xx x
q yYv x Xv y
y Pv
x
x Pv
y
yq
x
xq
vU yv y
vU xv x
vU t
2
2
1ˆ2
2
1ˆ2
2
1ˆ
toma la Ecuación de movimiento se multiplica por la velocidad en cada coordenadaresta de la ecuación de energía mecánica y térmica luego de considerab
anipulación, para estado estable se obtiene la Ecuación de Energía Térmica:
q y
yv
x xv
P y
yq
x xq
y
U v
x
U v y x
ˆˆ
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El término representa:
2
3
222
2
2
y
yv
x xv
y
yv
x xv
x
yv
y xv
De las reglas de Maxwell se tiene que: dTv
C V d P V T
P T U d ˆˆ
ˆ
ˆ
plicando Fourier , Maxwell y re-arreglando la ecuación de energía térmica
e llega a:
q y
yv
x xv
V T
P T
y
T k
y x
T k
x y
T v
x
T v
vC y x
ˆ
ˆ
Para un fluido incompresible EE, Cv=Cp y de la
Ecuación de continuidad:
0
y
v
x
v y x
Entonces se tiene:
q y
T k
y x
T k
x y
T v
x
T v
pC y x
ˆ
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CAPA LIMITE DE CONCENTRACIÓN
El flujo másico de A estaría dado por: v A
mvAm A
A A A
Por convección en x: x x x A x x A
vv yD
D
Por convección en y: y y y A y y A vv x DD
Por difusión en x: x x x
y x A x A nn DD
,,
Por difusión en y: y y
y A
y
y A nn x DD ,,
Al reemplazar en el balance de masa:
y xn
nn xnn
vv xvv y y x
A
y y y A
y y A x A x A
y y y A y y A x x x A x x A A
x x x
y
t
DD
D
DDDD
D
DD
DD
,,,,
Dividiendo en y aplicando concepto derivada en EE: y xDD
A
n y
y An
x
x An
y
yv
A
x
xv
A
,,
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11
La difusión de masa A por la ley de Fick se describe como:
x Dn A
B A x A
,,
Entonces:
An y
A D B A y x
A D B A x y
yv
A
x
xv
A
,,
Si la densidad de masa total se supone constante y se aplica la
ecuación global de continuidad:
A y x nvv y A
D B A y x
A
D B A x y
A
x
A
,,
o en su forma molar:
A y x N y A
C
D B A y x A
C
D B A x y A
C
x A
C
vv
,,
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APROXIMACIONES Y CONDICIONESESPECIALES
La forma más usual de usar las ecuaciones de conservación, es
aquella en la que el fluido es incompresible
, propiedades constantes
,
fuerza externa despreciable
, sin reacción química
y sin generación de
energía .
Otras simplificaciones que se pueden hacer son las llamadas
implific ciones de c p límite
. Como los espesores de la capa límite
normalmente son muy pequeños se asumen las siguientes
desigualdades:
y x vv
x
yv
y
yv
x
xv
y
xv
,,
x
T
y
T
x
C
y
C A A
Capa límite de velocidad o hidrodinámica
Capa límite térmica
Capa límite de concentración
2
21
y
v
x
P
y
vv
x
vv x x y
x x
0
y
v
x
v y x 0
y
P
2
2
2
y
xv
pC
v
y
T
y
T v
x
T v
y
y x
2
2
, y
C Dvv A B A A y A x y
C
x
C
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SIMILITUD DE CAPAS LIMITE:ecuaciones de transferencia por
convección normalizadas
L
x x *
L
y y *
V
vv x x *
V
vv
y
y *
s
s
T T
T T T
*
s A A
s A A
AC C
C C C
,,
,*
2
*
V
P P
0*
*
*
*
y
v
x
v y xContinuidad adimensional completa el modelo
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VL L Re
Números adimensionales:
k
C p
Pr
AB DSc
Pr
Sc
D Le
AB
Ojo:
asvis
inerciaVL
LV
LV
F
F L
S
I
cosRe
2
2
n Le
c
t n
t
Pr nSc
c
FORMA FUNCIONAL DE LAS SOLUCIONES:
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15
Otros números adimensionales:
Número deNusselt:
Número deSherwood:
0**
*
y f y
T
k
hL Nu
0**
*
y
A
AB
m
y
C
D
LhSh
Coeficientes de convección:
0**
*
0**
*
y
f
y s
f
y
T
L
k
y
T
T T
T T
L
k h
0*
*
*
0**
*
,,
,,
y
A AB
y
A
AS A
S A A ABm
y
C
L
D
y
C
C C
C C
L
D
h
ANALOGIA DE CALOR Y MASA :
nn Sc
Sh x f x f
Nu L L Re,Re,
Pr
*
7
*
4
n
n LeC
Le D
k
h
h p
ABm
1
Generalmente n = 1/3
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ANALOGIA DE REYNOLDS:
Para y0** x P 1Pr Sc 631 f f f
742 f f f (Ver tabla 6.1 y tabla 6.3)
Sh NuC L f 2
Re m f St St C
2
Esta es la
ANALOGIA DE REYNOLDS
Pr Re
Nu
VC
hSt
P
Para mayor aplicabilidad se tiene la modificación de Chilton-Colburn:
Donde el número de Stanton y Stanton de masa se define como:
Sc
Sh
V
hSt mm
Re
H
f jSt C 32Pr
2
Donde jH y jm son los factores de Colburn
60Pr 6.0
mm
f jScSt
C 32
2 30006.0 Sc
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