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FISICA I
Lic. Carlos Enrique Quiche Surichaqui
6. TRABAJO Y ENERGIA.6.1. TRABAJO (W)Consideremos una partcula que se mueve a lo largo de una curva y esta bajo la
accin de una fuerza
F . En un tiempo muy corto dt la partcula se mueve de A a A,
siendo el desplazamiento
rd . El trabajo dW efectuado por la fuerza
F durante tal
desplazamiento se define por el producto escalar:
= rdFdW
Designando la magnitud del desplazamiento
rd por ds; luego:
cosdsFdW =
Pero TFcosF = , es la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento
dsFdW T=
Integrando encontramos el trabajo realizado por la fuerza
F en el tramo AB:
= BA
dsFW TAB (Definicin de trabajo) (6.1)
La unidad de trabajo en el SI es el Joule (J):
1 joule = 1 newton-metro (1J = 1 N . m)
El trabajo es una cantidad escalar; tiene un signo algebraico pero no tiene direccin en
el espacio.
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APLICACIN. Para mantener un resorte estirado una distancia x ms all de sulongitud sin estiramiento debemos aplicar una fuerza:
xkFx = (Ley de Hooke)donde k es una constante llamada constante de fuerza del resorte
El trabajo realizado por Fx cuando el resorte se estira de cero a un valor mximo X es
2X
0
X
0x Xk2
1dxxkdxFW ===
Problema 6.1.Una mujer que pesa 600N se sube a una balanza que contiene un resorte rgido. En el
equilibrio, el resorte se comprime 1cm bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del
resorte y el trabajo total efectuado sobre l durante la compresin.
Solucin:De la ley de Hooke:
N/m6x100.01m600N
xFkxkF 4====
El trabajo realizado por el peso sobre el resorte de la balanza es:
J3)N/m)(0.01m(6x1021 242
=== Xk21W
6.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.
Cuando una fuerza constante
F acta sobre una partcula que sufre un
desplazamiento rectilneo
s , el trabajo realizado por la fuerza sobre la partcula se
define como el producto escalar de syF .
cossFsFW ==
= ngulo entre syF
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Casos particulares:
Si =0, entonces sFW += (trabajo positivo)Si =90, entonces 0=W (trabajo cero)Si =180, entonces sFW = (trabajo negativo)
Problema 6.2.A partir del grafico determine la el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre
el bloque de 30N de peso; para un tramo de 10 m.
Solucin:Haciendo un DCL del bloque
150JWnto)despazamiealoponesefriccion(lad.fW
Finalmente15N0.5)(30)(nf:Luego
30Nn0wnvertical)movimientohay(no0F
k
kk
y
=
=
===
==
=
PROBLEMA (6.2)Un bloque de 6.75kg cuelga en un pozo del extremo de una cuerda que pasa sobre
una polea sin friccin en la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda
horizontalmente para levantar el cubo lentamente 4m. a) Cunto trabajo efecta
usted sobre el bloque? b) Qu trabajo total se realiza sobre el bloque?
Solucion:
a) J.6.264)m00.4)(s/m80.9()kg75.6(mgsFsW 2 ====
b) El trabajo neto sobre el bloque es cero
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Problema (6.3)Un pescador enrolla 12m de sedal al tirar de un pez que ejerce una resistencia
constante de 25 N. Si se tira con velocidad constante, cunto trabajo realiza sobre
el pez la tensin del sedal?
Solucin:
J300)m0.12)(N0.25(W ==
Problema (6.7)Dos remolcadores tiran de un buque averiado. Cada uno ejerce una fuerza constante
de 1.8x106 N, uno 14 al oeste del norte y el otro 14 al este del norte, tirando del
buque tanque 0.75 km al norte. Qu trabajo total efectan sobre el buque tanque?
Solucin:
,J1062.214cos)m1075.0)(N1080.1(2cosFs2W 936total ===
Problema (6.8)
Se aplica una fuerza constante
= J)N40(i)N30(F sobre un carrito mientras ste
sufre un desplazamiento
= J)m3(i)m9(S . Cunto trabajo efecta la fuerza que se
aplica al carrito?
Solucin:
)j)m0.3(i)m0.9(()j)N40(i)N30((sF =
)m0.3)(N40()m0.9)(N30( +=J150mN120mN270 =+=
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6.3. ENERGIA CINETICA.Sea F la fuerza neta aplicada sobre una partcula en la direccin de su desplazamiento
ds, el trabajo dW es:
dvvmdvdtdsmds
tddVmdsFdW ====
Integrando en el tramo AB:
2A
2B
v
vAB mv2
1mv21dvvmW B
A
== (6.2)Llamamos a la cantidad 2mv2
1 energa cintica K de la partcula2mv2
1K = (Definicin de energa cintica) (6.3)La energa cintica es una cantidad escalar. Su unidad en el SI tambin es el Joule (J).
La energa cintica nunca puede ser negativa y es cero solo si la partcula est en
reposo.
Reemplazando la ecuacin (6.3) en la ecuacin (6.2) tenemos:
KKK AB ==ABW (Teorema del trabajo y la energa) (6.4)
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El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partcula es igual al cambio en la
energa cintica de la partcula.
Problema 6.3.Sobre un bloque de masa 3 kg acta una fuerza horizontal de 6 N como se muestra
en la figura. Si parte del reposo, encuentre la energa cintica del bloque despus de
2 segundos. (Desprecie el rozamiento)
Solucin:Como la nica fuerza horizontal que acta sobre el cuerpo es F = 6 N
Por la segunda ley de newton:
22m/s36
mFaamF ====
Por cinemtica con v1 = 0 y t = 2s:
4m/satvv 12 =+=
La energa cintica final al cabo
de 2 segundos es:
Problema 6.4.Un martillo de acero de 200 kg se levanta 3m sobre una viga que se est clavando en
el suelo. El martillo se suelta, metiendo la viga otros 7.4 cm en el suelo. Los rieles
verticales que guan el martillo ejercen una fuerza de friccin constante de 60N sobre
l, Use el teorema del trabajo y la energa para determinar a) la rapidez del martillo
justo antes de golpear la viga y b) la fuerza media que el martillo ejerce sobre la viga.
Solucin:
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El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partcula es igual al cambio en la
energa cintica de la partcula.
Problema 6.3.Sobre un bloque de masa 3 kg acta una fuerza horizontal de 6 N como se muestra
en la figura. Si parte del reposo, encuentre la energa cintica del bloque despus de
2 segundos. (Desprecie el rozamiento)
Solucin:Como la nica fuerza horizontal que acta sobre el cuerpo es F = 6 N
Por la segunda ley de newton:
22m/s36
mFaamF ====
Por cinemtica con v1 = 0 y t = 2s:
4m/satvv 12 =+=
La energa cintica final al cabo
de 2 segundos es:
Problema 6.4.Un martillo de acero de 200 kg se levanta 3m sobre una viga que se est clavando en
el suelo. El martillo se suelta, metiendo la viga otros 7.4 cm en el suelo. Los rieles
verticales que guan el martillo ejercen una fuerza de friccin constante de 60N sobre
l, Use el teorema del trabajo y la energa para determinar a) la rapidez del martillo
justo antes de golpear la viga y b) la fuerza media que el martillo ejerce sobre la viga.
Solucin:
24Jmv21Ec 22 ==
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El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partcula es igual al cambio en la
energa cintica de la partcula.
Problema 6.3.Sobre un bloque de masa 3 kg acta una fuerza horizontal de 6 N como se muestra
en la figura. Si parte del reposo, encuentre la energa cintica del bloque despus de
2 segundos. (Desprecie el rozamiento)
Solucin:Como la nica fuerza horizontal que acta sobre el cuerpo es F = 6 N
Por la segunda ley de newton:
22m/s36
mFaamF ====
Por cinemtica con v1 = 0 y t = 2s:
4m/satvv 12 =+=
La energa cintica final al cabo
de 2 segundos es:
Problema 6.4.Un martillo de acero de 200 kg se levanta 3m sobre una viga que se est clavando en
el suelo. El martillo se suelta, metiendo la viga otros 7.4 cm en el suelo. Los rieles
verticales que guan el martillo ejercen una fuerza de friccin constante de 60N sobre
l, Use el teorema del trabajo y la energa para determinar a) la rapidez del martillo
justo antes de golpear la viga y b) la fuerza media que el martillo ejerce sobre la viga.
Solucin:
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a) El trabajo neto sobre el martillo en el tramo 1-2 es:
Wneto = Wpeso + Wrozamiento = (200kg)(9.8m/s2)(3m) (60N)(3m) = 5700J
Por el teorema del trabajo y la energa:
7.5m/s57v0(200kg)v215700J 2
22 ===
=21
2212 mv2
1mv21W
b) Haciendo un DCL del martillo en el tramo 1-2:
Por la tercera ley de Newton la fuerza de reaccin normal es igual en modulo a la
fuerza media que ejerce el martillo sobre la viga.
Por el teorema del trabajo y la energa:
5700Jm/s)57(200kg)(210 2 === 22
2323 mv2
1mv21W
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Luego:
Wneto = Wpeso + Wroz + Wn-5700J = (200kg)(9.8m/s2)(0.074m) (60N)(0.074m) n (0.074m)
n = 5840.6N
Problema 6.5.Un bloque con masa de 0.1 kg se encuentra en una superficie horizontal y est
conectado por un extremo a un resorte, que esta fijo a una superficie vertical con
constante de fuerza de 20 N/m. Inicialmente el resorte no est estirado y el bloque se
mueve con rapidez de 1.5 m/s a la derecha. Calcule la distancia mxima que el bloque
se mueve hacia la derecha. a) Si no hay friccin en la superficie. b) Hay friccin
cintica en la superficie con 0.47k =
Solucin:Por el teorema del trabajo y la energa:
J8095m/s)(0.1kg)(1.
210mv
21mv
21 22
O2AOA ===W
a) Si no hay friccin la nica fuerza que acta sobre el bloque es la fuerza elstica. Si
el punto de mximo estiramiento cuando la velocidad del bloque se hace cero es A:
10.61m0.1061mdd(20N/m)21J
809
dk21W
2
2OA
===
=
b) Si hay friccin entonces sobre el bloque actan dos fuerzas la elstica y la friccin.
8.55cm0.0855md
d(20N/m)21J
809
dk21W
2
2OA
==
=
=
dsmkg
dnk
)/8.9)(1.0)(47.0(
)(
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Problema 6.62
Un paquete de 5 kg baja deslizndose por una rampa inclinada 12 bajo la horizontal.
El coeficiente de friccin entre el paquete y la rampa es k =0.31. Calcule el trabajo
realizado sobre el paquete por a) la friccin, b) el peso del paquete, c) la fuerza
normal d) el trabajo total sobre el paquete, e) si el paquete tiene una rapidez de 2.2m/s
en la parte superior de la rampa, Qu rapidez tiene despus de bajar deslizndose
1.5m?
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6.4. POTENCIA.La potencia (P) se define como la rapidez con que se efecta trabajo. La potencia es
una cantidad escalar.
La potencia media es
tWPmed = (6.5)
La potencia instantnea es:
tddWP =
Cuando una fuerza
F acta sobre una partcula que se mueve con velocidad
v la
potencia instantnea es el producto escalar de vyF
= vFPProblema 6.6.El motor de una lancha le hace desarrollar a esta una velocidad constante de 36km/h,
venciendo la fuerza de resistencia del agua de 3000N. Determinar la potencia
desarrollada por el motor.
Solucin:
La velocidad de la lancha es: 10m/s1km
1000m3600s
1hh
km36v =
=
La fuerza que hace el motor de la lancha es: F = 3000N
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La potencia desarrollada por el motor de la lancha es:
P = F. v = (3000 N)(10 m/s)
P=30 KW
Problema 6.7.Cada uno de los dos motores a reaccin de un avin Boeing 767 desarrolla un empuje
(fuerza hacia adelante sobre el avin) de 197 000N. Cuando el avin est volando a
250m/s (900km/h) cuntos caballos de potencia desarrolla cada motor?
Solucin:La potencia desarrollada por el motor de la lancha es:
P = F. v = (197000 N)(200 m/s)
P=39400 KW
Sabemos:
1caballo de fuerza (hp) = 746W = 0.746KW
Entonces:
hp81552)0.746KW
1hp39400KW(P ==
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6.5. ENERGIA POTENCIAL.
En un sistema fsico, la energa potencial es la energa que mide la capacidad quetiene dicho sistema para realizar un trabajo en funcin exclusivamente de su posicin
o configuracin. Puede pensarse como la energa almacenada en el sistema, o como
una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra
o .
La energa potencial puede presentarse como energa potencial gravitatoria, energa
potencial electrosttica, y energa potencial elstica.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.El trabajo efectuado sobre una partcula por una fuerza gravitacional constante puede
representarse en trminos de un cambio en la energa potencial U =m g y, Esta
energa es una propiedad compartida de la partcula y la tierra.
UUUmgymgyW
21
21grav==
=
Problema 7.14.Una piedrita de 0.12kg est atada a un hilo sin masa de 0.8 m de longitud, formando
un pndulo que oscila con un ngulo mximo de 45 con la vertical. La resistencia del
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6.5. ENERGIA POTENCIAL.
En un sistema fsico, la energa potencial es la energa que mide la capacidad quetiene dicho sistema para realizar un trabajo en funcin exclusivamente de su posicin
o configuracin. Puede pensarse como la energa almacenada en el sistema, o como
una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra
o .
La energa potencial puede presentarse como energa potencial gravitatoria, energa
potencial electrosttica, y energa potencial elstica.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.El trabajo efectuado sobre una partcula por una fuerza gravitacional constante puede
representarse en trminos de un cambio en la energa potencial U =m g y, Esta
energa es una propiedad compartida de la partcula y la tierra.
UUUmgymgyW
21
21grav==
=
Problema 7.14.Una piedrita de 0.12kg est atada a un hilo sin masa de 0.8 m de longitud, formando
un pndulo que oscila con un ngulo mximo de 45 con la vertical. La resistencia del
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6.5. ENERGIA POTENCIAL.
En un sistema fsico, la energa potencial es la energa que mide la capacidad quetiene dicho sistema para realizar un trabajo en funcin exclusivamente de su posicin
o configuracin. Puede pensarse como la energa almacenada en el sistema, o como
una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra
o .
La energa potencial puede presentarse como energa potencial gravitatoria, energa
potencial electrosttica, y energa potencial elstica.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.El trabajo efectuado sobre una partcula por una fuerza gravitacional constante puede
representarse en trminos de un cambio en la energa potencial U =m g y, Esta
energa es una propiedad compartida de la partcula y la tierra.
UUUmgymgyW
21
21grav==
=
Problema 7.14.Una piedrita de 0.12kg est atada a un hilo sin masa de 0.8 m de longitud, formando
un pndulo que oscila con un ngulo mximo de 45 con la vertical. La resistencia del
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aire es despreciable. a)Qu rapidez tiene la piedra cuando el hilo pasa por la posicin
vertical? b) Qu tensin hay en el hilo cuando forma un ngulo de 45 con la vertical?
c) y cuando pasa por la vertical?
Solucin:
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
Un resorte ideal estirado o comprimido ejerce una fuerza elstica xkFx = sobreuna partcula, donde x es la distancia de estiramiento o compresin. El trabajo
efectuado por esta fuerza puede representarse como un cambio en la energa
potencial elstica del resorte, 2kx21U =
UUUkx2
1kx21W
21
22
21elas
==
=
La energa potencial total es la suma de las energas potenciales gravitacional y
elstica.
6.6. CONSERVACION DE LA ENERGIA.Si solo fuerzas gravitacional y elstica realizan trabajo sobre una partcula, la suma de
las energas cintica y potencial se conserva. Esta suma E = K + U, se denomina
energa mecnica total.
K1 + U1 = K2 + U2
Si otras fuerzas adems de la gravitacional y de las fuerzas elsticas realizan trabajo
sobre una partcula, el trabajo Wotras efectuado por esas otras fuerzas es igual al
cambio en la energa mecnica total.
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K1 + U1 + Wotras = K2 + U2
6.7. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS.Todas las fuerzas son conservativas o bien no conservativas. Una fuerza conservativa
es aquella para la cual la relacin trabajo-energa cintica es totalmente reversible. El
trabajo de una fuerza conservativa siempre puede representarse mediante una funcin
de energa potencial, no as el de una fuerza no conservativa.
El trabajo realizado por fuerzas no conservativas se manifiesta como cambios en la
energa interna de los cuerpos. La suma de las energas cintica, potencial e interna
siempre se conserva.
0=++ intUUkProblema 6.8.Lanzamos una pelota con masa de 0.145 kg hacia arriba, dndole una rapidez inicial
de 20 m/s. Use la conservacin de la energa para determinar que altura mxima
alcanza, despreciando la resistencia del aire.
Solucin:Si las fuerzas que actan sobre la pelota son conservativas, entonces:
K1 + U1 = K2 + U2
2221
21 ygmmv2
1ygmmv21
+=+
Donde v1=20m/s; y1=0; v2=0; y2=? altura mxima
20.41my
y)9.8m/s(0.145kg)(o)(0.145kg)(21)(0)9.8m/s(0.145kg)(20m/s)(0.145kg)(
21
2
22222
=
+=+
Problema 7.19
Un bloque de 1.2kg se coloca en un resorte vertical con masa despreciable y constante de
rigidez k=1800N/m que esta comprimido 15 cm. Cuando se suelta el resorte, Qu altura
alcanza el bloque sobre su posicin original? (el bloque y el resorte no estn unidos
Problema 6.9.Un bloque de masa m=0.2kg descansa sobre una superficie horizontal sin friccin,
conectado a un resorte con k=5N/m. Se tira del bloque, estirando el resorte 0.1m y
luego se suelta con velocidad inicial cero. El bloque regresa a su posicin de equilibrio
(x=0). Qu velocidad tiene cuando x=0.08m?
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Solucin:Como no hay friccin, entonces todas las fuerzas sobre el bloque son conservativas.
Por el principio de conservacin de la energa con x1=0.1m; v1=0; x2=0.08m; v2=?
K1 + U1 = K2 + U2
22
22
21
21 kxmv2
1kxmv21
21
21
+=+
0.3m/sv
8m)(5N/m)(0.021)(0.2kg)(v
21)(5N/m)(0.1
21(0.2kg)(0)
21
2
222
22
=
+=+
Problema 6.10.Un elevador de 2000kg con cables rotos cae a 25m/s cuando hace contacto con un
resorte amortiguador en el fondo. Se supone que resorte debe detener al elevador,
comprimindose 3m al hacerlo. Durante el movimiento un freno de seguridad aplica
una fuerza de friccin constante de 17000N al elevador. Qu constante de fuerza
debe tener el resorte?
Solucin:Por el principio de conservacin de la energa, con y1=0; v1=25m/s; y2=-3m; v2=0
K1 + U1 + Wotras = K2 + U2
N/m1.41x10k
3m)k(213m))(.8m/s(2000kg)(9(0)m)(17000N)(3(0)(0)5m/s)(2000kg)(2
21
ky21mgymv
21)y(yfky
21mgymv
21
5
222
222
2221roz
211
21
=
++=++
++=++
6.8. FUERZA Y ENERGIA POTENCIALEl trabajo realizado por una fuerza conservativa en la direccin del eje x, Fx(x), est
dado por la siguiente ecuacin:
W = - U
Para un desplazamiento pequeo dx en la direccin del eje X,
dW = - dU
Fx(x)dx = -dU
dxdU)x(Fx =
Si la partcula se desplaza en tres dimensiones, bajo la accin de una fuerza
conservativaF con componentes rectangulares Fx, Fy, Fz. Entonces:
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xUFx
= ; y
UFy
= ; zUFZ
=
PROBLEMAS PROPUESTOS.TRABAJOProblema (6.4)Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30 kg una distancia de 4.5m en un
piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de friccin cintica entre el piso y la
caja es de 0.25. a) Qu magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) Qu trabajo
total se efecta sobre la caja?
Problema (6.5)Suponga que el obrero del problema anterior empuja con un ngulo de 30 bajo la
horizontal a) Qu magnitud de fuerza debe aplicar para mover la caja con velocidad
constante? b) Qu trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja 4.5 m? c)
Qu trabajo realiza la friccin sobre la caja en este desplazamiento? d) Qu trabajo
total se efecta sobre la caja?
Problema (6.6)Una lancha tira de una esquiadora con una cuerda horizontal. Ella esqua hacia un
lado, hasta que la cuerda forma un ngulo de 15 con su direccion de movimiento, y
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luego sigue en linea recta. La tensin en la cuerda es de 18 N. Cunto trabajo
realiza la cuerda sobre el esquiador durante un desplazamiento de 300 m?
Problema.
Un bloque de 2kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante de
rigidez k=400 N/m, comprimindolo 0.22 m. Al soltarse el bloque, se mueve por una
superficie sin friccin que primero es horizontal y luego sube a 37 a) Qu rapidez
tiene el bloque justo despus de separarse del resorte? b) Qu altura mxima
alcanza el bloque?