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Matemática Financiera. Matemática para Decisiones Empresarias. Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de La Plata. FCE. UNLP. Interés simple. Interés Compuesto. Descuento. Tasas de interés. Conceptos.
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Capitalización / Actualización.Capitalización / Actualización.Tasas de InterésTasas de InterésTasas de InterésTasas de Interés
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasRÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN:RÉGIMEN DE ACTUALIZACIÓN:
Retomando lo expresado en la Primera Clase, en esta analizaremos la siguiente situación:
2. Necesita realizar un Consumo y no tiene el dinero, por tanto puede realizar las siguientes operaciones:
a) Solicitar un préstamo, comprometiéndose a restituir el capital, con más los intereses y gastos.
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 22
los intereses y gastos.
b) Poseer un documento que se cancelará en el futuro y venderlo(descontarlo), recibiendo una determinada cantidad de dinero menoslo intereses que le cobran.
Observación: La operación a) se asemeja o es una operación capitalización y por tanto, en principio ya la hemos analizado.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasGráficamente :Gráficamente :
Donde:Donde:Hoy: Es el día presente.Hoy: Es el día presente.P: Es un día, cualquiera, del P: Es un día, cualquiera, del
futuro.futuro.C: Capital, Dinero, Moneda C: Capital, Dinero, Moneda
del presente.del presente.CC11: Capital, Dinero, Moneda : Capital, Dinero, Moneda
del Futuro.del Futuro.D: Intereses descontado en D: Intereses descontado en
$.$.
CC
CC11
DD
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 33
De este gráfico se puede concluir, generalizando:
Además, que la valorización de la operación la hacemos en el momento Hoy.
HoyHoy PP
C= CC= C11--DD
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasDefiniciones Generales:Definiciones Generales:
Valor Actual / Valor Nominal:Valor Actual / Valor Nominal:
“El Valor Actual (V) Es aquel capital que a un tipo de interés dado y un período de tiempo determinado ascenderá a la suma futura a la que llamaremos valor nominal (N) de dicha suma”♥
Sinónimos Financieros: Sinónimos Financieros:
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 44
Sinónimos Financieros: Sinónimos Financieros: 1.1.Valor actual:Valor actual: tiene como sinónimos los siguientes conceptos: Capital Original, Inversión Inicial.2.2.Valor Nominal:Valor Nominal: tiene como sinónimos los siguientes conceptos: Monto, Valor Final.
Los mismos se aplican de acuerdo a la Operación Financiera que se esta analizando.
♥ Decisiones Empresarias (Aplicaciones de Cálculo Financiero e investigación de operaciones). Buzzi, Ana. ED. Buyatti.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasDefiniciones Generales:Definiciones Generales:
Descuento:Descuento: se define de manera general como la diferencia algebraica entre el Valor Nominal y el Valor Actual.
D=N-V
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 55
Y es la compensación que se debe abonar por la disponibilidad del capital.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Descuento Racional o Matemático:Descuento Racional o Matemático:
Se define como el interés simple del Valor Actual.
Si utilizamos la fórmula general:
( ) niVD n;0 ××=
( ) VND n;0 −=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 66
Reemplazamos, tenemos:
( )n;0
( )
( )ni1
NV
ni1VN
niVVNVNniV
×+=⇒
⇒×+=⇒⇒××+=⇒−=××
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis Gráfico:Análisis Gráfico:
Análisis Gráfico Función Valor Actual
0,80
1,00
1,20
$
( ) ( )ni1
1f n ×+
=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 77
0,00
0,20
0,40
0,60
1 125 249 373 497 621 745 869 993 1117 1241 1365 1489 1613 1737 1861Tiempo
( )ni1 ×+
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasDescuento Comercial:Descuento Comercial:
Se define como el interés simple del Valor Nominal.
Si utilizamos la fórmula general:
( )
descuentodetasad
ndND n;0
:Donde
=
××=
VND −=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 88
Reemplazamos, tenemos:
( ) VND n;0 −=
( )( )nd1NV
nd1NV
ndNNVVNndN
×−=⇒⇒×−=⇒
⇒××−=⇒−=××
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis Gráfico:Análisis Gráfico:Análisis Gráfico Función Valor Actual
0,50
1,00
1,50
$
( ) ( )nd11f n ×−×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 99
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201
Tiempo
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasTiempo en el que el descuento comercial Tiempo en el que el descuento comercial
anula al Valor nominal anula al Valor nominal ::
( ) ( )nd100N
nd1N0nd1NV
⇒×−=∴≠⇒⇒×−=∧×−=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1010
d
1n1nd
nd100N
=⇒=×
⇒×−=∴≠⇒
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasComparación Gráfica e/ Racional y Comercial:Comparación Gráfica e/ Racional y Comercial:
Comparación Valor Actual Racional vs Comercial
0,50
1,00
1,50
$
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1111
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201
Tiempo
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis Conjunta de las Funciones:Análisis Conjunta de las Funciones:
¿Existe alguna relación entre el factor de actualización y el descuento?Si nos interrogamos de otra manera:¿Se puede aplicar uno u otro descuento a los mismos valores nominales y actuales?
Respuesta: SI !!!!!
Aunque tenemos las siguientes posibilidades:A) B)
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1212
A) B)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )dn1ni1
1
NmosSimplif icadn1Nni1
N
dn1NVni1
NV
−=×+
⇒
⇒⇒−=×+
⇒−=∧×+
=∃
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ni1dn1
1
NmosSimplificadn1Nni1
N
dn1NVni1
NV
×+=−
⇒
⇒⇒−=×+
⇒−=∧×+
=∃
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis Conjunta de las FuncionesAnálisis Conjunta de las Funciones (continuación) (continuación) ::De A, obtenemos:
( ) ( )
( )( )
numeradorelresolvemos
n
ni1
11
dni1
11dn
ddespejamosdn1ni1
1
⇒⇒
⇒×+
−=⇒
×+−=⇒
⇒⇒−=×+
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1313
Observación: Dada una tasa fija i y diferentes plazos de duración de la OF, Existirán diferentes valores de d, relacionados con antedichos plazos.
( )( )ni1
id
n
ni1
1ni1
d
numeradorelresolvemos
×+=⇒×+
−×+
=⇒
⇒⇒
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis Conjunta de las FuncionesAnálisis Conjunta de las Funciones (continuación) (continuación) ::
De B, obtenemos:
( ) ( )
( )( ) dndn11
restalaresolvemos1dn1
1ni
idespejamosni1dn1
1
⇒=×⇒−−=×⇒
⇒⇒−−
=×⇒
⇒⇒×+=−
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1414
Observación: Dada fija d y diferentes plazos para la OF, existirán diferentes valores de i, que se relacionaran directamente con los plazos.
( )( ) ( )
( )dn1
di
dn1
dnni
dn1
dn11ni
−=⇒
⇒
−=×⇒
−−−=×⇒
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Descuento a Interés Compuesto:Descuento a Interés Compuesto:Se define, también como la diferencia entre el Valor Actual (V) y el Valor Nominal (N). La diferencia es que tanto V o N, dependiendo del caso es calculado a Interés Compuesto.
Si Recordamos la siguiente Fórmula:
Y utilizamos, la nomenclatura de Descuento, tenemos la siguiente correspondencia:
( )n0n i1CC +×=
nCporsubstituyeseN
⇒
∧
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1515
Donde el descuento es:
( )n0
i1VN
CporsubstituyeseV
+=⇒
⇒
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )
+−=
+−=−=
∨−+=−+=−=
nnn;0
nn
n;0
i1
11N
i1
NNVND
1i1VVi1VVND
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Factor de Actualización a Tasa Vencida:Factor de Actualización a Tasa Vencida:
Tomando la Fórmula:
Y despejamos el Valor Actual (V), Tenemos:
( )ni1VN +×=
( ) ( )nni1
1N
i1
NV
+×=
+=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1616
Donde:
Se denomina Factor de actualización.
( ) ( )i1i1 ++
( )i1
1v
+=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Descuento a Interés CompuestoDescuento a Interés Compuesto (Continuación):(Continuación):
Si aplicamos la tasa de interés al Valor Nominal (N), debemos substituir la tasa aplicada, pues ya no podemos aplicar una tasa de interés que agregue el capital al final del período.
Para determinar la fórmula y comprender el razonamiento, utilizaremos el siguiente ejercicio práctico:
El Señor Luís Rey desea comprar un automóvil deportivo (Mini
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1717
El Señor Luís Rey desea comprar un automóvil deportivo (Mini Hot Pepper), pero si bien es solvente, se encuentra sufriendo un período de iliquidez, dado que el giro de sus negocios todavía no le permite apartar dinero, para realizar gastos que no sean los destinados a la empresa. Y posee una deuda adecuadamente documentada de Laura Carrera, cuyo valor nominativo asciende a u$s 60.000y vence dentro de un año. Recurre a el Banco de Galicia y Río de la Plata, donde es cliente a descontarlo, el banco le ofrece al 5% semestral. El auto tiene un costo de u$s 37.000, ¿Le alcanzará el Valor Actual obtenido? Calcular sabiendo que la institución financiera aplicará interés compuesto.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasResolución del Ejercicio:Resolución del Ejercicio:
00 11 22
Descontamos el Primer Descontamos el Primer semestre.semestre.
Datos:N=60.000 u$SPlazo = n = 1 año =2 semestresTasa = 5% = 0,05 semestral
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1818
00 11 22
60.00060.000
60.00060.000
--3.0003.000
57.00057.000
57.00057.000
57.00057.000
--2.8502.850
54.15054.150
Descontamos el Descontamos el segundo semestre.segundo semestre.
( )205.016000054150 −=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasResolución del Ejercicio Resolución del Ejercicio (Continuación)(Continuación)::
Si generalizamos, Tenemos:
( )( ) 5850D
05.016000054150
2;0
2
=−=
( )( ) VND
d1NV
n;0
n
−=−=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 1919
Donde:
Es el Factor de actualización
( ) VND n;0 −=
( )nd1 −
Función Valor Actual a Interes Compuesto con tasa v encida
0,60
0,80
1,00
1,20
$
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis Gráfico de las Funciones:Análisis Gráfico de las Funciones:
( )nni1
1f
+=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2020
0,00
0,20
0,40
0,60
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201Tiempo
Función Valor Actual a Interes Compuesto con tasa a delantada
0,80
1,00
1,20
$
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis Gráfico de las Funciones:Análisis Gráfico de las Funciones:
( )nn d1f −=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2121
0,00
0,20
0,40
0,60
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201Tiempo
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasComparación Gráfica de todos los descuentos:Comparación Gráfica de todos los descuentos:
Comparación todas las funciones Valor Actual
0,80
1,00
1,20
$
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2222
0,00
0,20
0,40
0,60
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Tiempo
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis Conjunta de las Funciones:Análisis Conjunta de las Funciones:
¿Existe alguna relación entre el factor de actualización y el descuento?Si nos interrogamos de otra manera:¿Se puede aplicar uno u otro descuento a los mismos valores nominales y actuales?
Respuesta: SI !!!!!
Aunque tenemos las siguientes posibilidades:A) B)
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2323
A) B)
Observación: en A) son factores de Actualización; en B) son factores de Capitalización.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )d1i1
1nmosSimplif icad1
i1
1
NmosSimplif icad1Ni1
N
d1NVi1
NV
n
n
n
n
n
n
−=+
⇒⇒−=+
⇒
⇒⇒−=+
⇒−=∧+
=∃
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )i1d1
1nndoSimplif icai1
d1
1
NmosSimplificad1Ni1
N
d1NVi1
NV
n
n
n
n
n
n
+=−
⇒⇒+=−
⇒
⇒⇒−=+
⇒−=∧+
=∃
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis Conjunta de las FuncionesAnálisis Conjunta de las Funciones (continuación) (continuación) ::De A, obtenemos:
( ) ( )
( ) ( )1
1d1
1d
ddespejamosd1i1
1
⇒−=⇒−=⇒
⇒⇒−=+
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2424
.
( ) ( )
( ) ( )i1
id
i1
1i1d
numeradorelresolvemos
i11d
i11d
+=⇒
+−+=⇒
⇒⇒
⇒
+−=⇒
+−=⇒
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis Conjunta de las FuncionesAnálisis Conjunta de las Funciones (continuación) (continuación) ::
De B, obtenemos:
( ) ( )
( ) restalaresolvemos1d1
1i
idespejamosi1d1
1
⇒⇒−−
=⇒
⇒⇒+=−
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2525
( )( )
( ) ( )d1
di
d1
d11i
d1
−=⇒
−−−=⇒
−
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasVencimiento Común:Vencimiento Común:
Se trata de substituir varios capitales nominales, con vencimientos diversos por un sólo capital nominal, con un único vencimiento.Por ejemplo: 0 1
5.000
Existen tres documentos de
vencimiento
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2626
0 1 2
0 1 2 3
5.000
7.000
9.000
vencimiento diversos y
permutarlos por un único documento, con vencimiento a 4 años, el banco lo nos ofrece un 5%
anual adelantado.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasVencimiento Común Vencimiento Común (Continuación):(Continuación):
¿Qué hacemos con los datos anteriores?
Capitalizamos los valores por el tiempo que falta.
O
Actualizamos los valores y después obtenemos el valor nominal único.
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2727
Actualizamos los valores y después obtenemos el valor nominal único.
Observación: Debemos recordar que tener una deuda documentada, significa que su valor nominal, incluye intereses convenidos por las partes hasta el vencimiento y que no se pueden agregar intereses que no hayan sido convenido por las partes, después de haber vencido la obligación
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasVencimiento Común Vencimiento Común (Continuación):(Continuación):
Definido que no podemos capitalizar, obtenemos los valores actuales.
0 1
0 1 2
5.0005.000(1-0.05)
4750
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2828
0 1 2
0 1 2 3
7.000
9.000
7.000(1-0.05)2
6317,50
9.000(1-0.05)3
7716,38
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasVencimiento Común Vencimiento Común (Continuación):(Continuación):
0 1 2 3 4
4.750,00
+
6.317,50
+
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 2929
7.716,38
18.783,88
( )23.061,68=
=−
×
4
44
C
C05.01
188,783.18
Capitalizando a Tasa Adelantada, tenemos:
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de InterésDefiniciones Generales:Definiciones Generales:
El interés ∃ cuando un agente económico cede a otro un capital durante un cierto tiempo, con la condición de rembolsar una suma
mayor al vencimiento.
Es el precio del Capital.
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3030
Cualquier agente Económico prestará el capital, si se cumplen al menos estos 4 requisitos ��:
1. Precio al no consumo actual.
2. Costos de oportunidad.
3. Riesgo de repago.
4. Protección al poder de Compra.
�� IRVING FISHER: “Teoría del interés”
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis de Tasa de Interés:Análisis de Tasa de Interés:
Supongamos el siguiente ejemplo:Luís, realiza 9 colocaciones a Plazo de $ 100 c/u, por un año (360) y el
interés que le abonaran será calculado a interés simple.
1. Al 12% anual.2. Al 6% semestral.3. Al 4% trimestral.4. Al 3% cuatrimestral.
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3131
4. Al 3% cuatrimestral.5. Al 2% bimestral.6. Al 1% mensual.7. Al 0,5% quincenal.8. Al 0,25% semanal.9. Al 0,0333% diario.
Determinar el Monto que obtendrá en cada una de las colocaciones.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis de Tasa de Interés Análisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
Formula a Utilizar:
Datos de las Operaciones: Resolución:
( )in1CM 0 +=
1) C0=$ 100
i = 12% =0,12 anual. ( ) 112112,01100M =×+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3232
i = 12% =0,12 anual.
n = 1 año
( ) 112112,01100M =×+×=
2) C0=$ 100
i = 6% =0,06 Semestral.
n = 2 semestres
( ) 112206,01100M =×+×=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis de Tasa de Interés Análisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
1) C0=$ 100
i = 4% =0,04 cuatr.
n = 3 cuatrimestres
( ) 112304,01100M =×+×=
2) C0=$ 100
i = 3% =0,03 Trimestral.
n = 4 trimestres
( ) 112403,01100M =×+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3333
n = 4 trimestres
2) C0=$ 100
i = 2% =0,02 bimestral.
n = 6 bimestres
( ) 112602,01100M =×+×=
1) C0=$ 100
i = 1% =0,01 mensual
n = 12 meses
( ) 1121201,01100M =×+×=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis de Tasa de Interés Análisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
2) C0=$ 100
i = 0,50% =0,005 quincenal
n = 24 quincenas
( ) 11224005,01100M =×+×=
2) C0=$ 100
i = 0,25% =0,0025 ( ) 112480025,01100M =×+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3434
i = 0,25% =0,0025 semanal.
n = 48 semanas
( ) 112480025,01100M =×+×=
2) C0=$ 100
i = 0,0333% =0,000333 semanal.
n = 48 semanas
( ) 112360000333,01100M =×+×=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):Análisis de Tasa de Interés (Continuación):
Conclusión:
En todas las colocaciones, se obtiene el mismo monto. Por tanto, determinamos que es indiferente, cualquier colocación.
Entonces las tasas de interés son equivalentes si para un mismo plazo de duración de la operación financiera, es indiferente colocar nuestro capital a
cualquier tasa.
¿Existe alguna relación entre las tasas?¿Existe alguna relación entre las tasas?
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3535
¿Existe alguna relación matemática entre las tasas?¿Existe alguna relación matemática entre las tasas?
Dadas dos tasas de interés unitarias i e i’, que respectivamente, se refieren a dos períodos de tiempo t y t’, diremos que ellas son proporcionales sise
verifican las siguientes relaciones:
t
t
i
i
′=
′
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):¿Qué resultado obtendríamos si al ejercicio anterior lo calculamos a interés compuesto?Fórmulas a Utilizar: ( )n0n i1CC +=1) C0=$ 100
i = 12% =0,12 anual.
n = 1 año( ) 11212,01100C
1
12 =+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3636
2) C0=$ 100
i = 6% =0,06 Semestral.
n = 2 semestres( ) 36,11206,01100C
2
2 =+×=
1) C0=$ 100
i = 4% =0,04 cuatr.
n = 3 cuatrimestres
( ) 49,11204,01100C3
3 =+×=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasDefiniciones Generales:Definiciones Generales:
2) C0=$ 100
i = 3% =0,03 Trimestral.
n = 4 trimestres
( ) 55,11203,01100C4
4 =+×=
2) C0=$ 100
i = 2% =0,02 bimestral. ( ) 62,11202,01100C6 =+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3737
i = 2% =0,02 bimestral.
n = 6 bimestres
( ) 62,11202,01100C6
6 =+×=
1) C0=$ 100
i = 1% =0,01 mensual
n = 12 meses
( ) 68,11201,01100C12
12 =+×=
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones Empresarias
Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
2) C0=$ 100
i = 0,50% =0,005 quincenal
n = 24 quincenas
( ) 72,112005,01100C24
24 =+×=
2) C0=$ 100
i = 0,25% =0,0025 ( )48 =+×=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 3838
i = 0,25% =0,0025 semanal.
n = 48 semanas
( ) 73,1120025,01100C48
48 =+×=
2) C0=$ 100
i = 0,0333% =0,000333 semanal.
n = 48 semanas
( ) 75,112000333,01100C360
360 =+×=
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
Conclusión:Aquí, las colocaciones nos dan valores diferentes, haciendo preferible la colocación diaria.
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¿Por qué es así?¿Por qué es así?
Es preferible el monto con capitalización diaria pues es el mayor.
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
Desarrollaremos el ejercicio desde otro punto de vista:
a) Si tomamos como dato una tasa del 12% anual y la dividimos por los períodos en el cual se renueva la colocación y la colocamos por un
año. ¿Qué monto obtendríamos?
b) Si tomamos, la tasa del período en el cual se renueva la colocación
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b) Si tomamos, la tasa del período en el cual se renueva la colocación y la colocamos por un año. ¿Qué monto obtendríamos?
¿Existe una tasa anual que refleje el rendimiento, desde el inicio de la operación hasta el final de la operación?
Observación:Observación: Comenzar con la operación que mayor cantidad de vencimientos y renovaciones posee.
Matemáticas para Decisiones EmpresariasMatemáticas para Decisiones EmpresariasAnálisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):
Dado el 12% y 360 los vencimientos y renovaciones, tenemos:
1275,1360
12,01
360
=
+
( ) 1275,0i11275,1ii11275,11 =⇒−=⇒+=
( ) 1275,1000333,01360 =+
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 4141
( ) 1275,0i11275,1ii11275,1
Podemos concluir:
( ) ( ) 1275,11275,01300033,01360
12,01
360360
=+=+=
+)
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Análisis de Tasa de Interés Análisis de Tasa de Interés (Continuación)(Continuación)::Dado el 12% y 48 los vencimientos y renovaciones, tenemos:
1273,148
12,01
48
=
+
( ) 1273,0i11273,1ii11273,11 =⇒−=⇒+=
( ) 1273,10025,0148 =+
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 4242
Podemos Concluir:
( ) ( ) 1273,11273,010025,0148
12,01
48
48
=+=+=
+
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación):(Continuación):Si el ejercicio lo aplicamos a todos los montos que logramos en el ejercicio anterior, obtendríamos el mismo resultado. Por tanto:Generalizando, podríamos decir, que se cumplen las siguientes igualdades:
( )( )( ) ( )i1i1
m
J1
m
m
m
m +=+=
+
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Donde: ciónCapitaliza de frecuencia=m
( ) ciones.capitaliza m con Anualnominal Tasa=mJ
( ) m. subperiodo del efectiva Tasa=mi
anual. efectiva Tasa=i
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación)(Continuación)::
¿Qué pasa con la igualdad, si existe una sola capitalización en el año?O sea:
Dada la tasa del 12% anual, con una capitalización en el año. ¿Que monto obtendríamos?
12,112,0
1
1
=
+ ( ) 12,112,01
1 =+
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12,11
12,01 =
+
( ) 12,0i112,1ii112,11 =⇒−=⇒+=
( ) 12,112,011 =+
Conclusión:Conclusión: cuando exista una sola capitalización en el año, la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva anual e igual a la tasa efectiva subperiódica.
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación)(Continuación)::
Pregunta: Supongamos que obtenemos un rendimiento anual del 16%. ¿Cuál será el valor que tomará la tasa nominal anual? Para las siguientes capitalizaciones:
a) m=1b) m=2c) m=3
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c) m=3d) m=4e) m=6f) m=12
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Análisis de Tasa de InterésAnálisis de Tasa de Interés (Continuación)(Continuación)::
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ¿?J¿?;J¿?;J¿?;J¿?;J¿?;J
12m;6m;4m;3m;2m;1m
16,0i
:Datos
1264321 ============
=
Dr. CP. Leandro Eduardo PineaDr. CP. Leandro Eduardo Pinea 4646
( ) ( )i1m
J1
:aplicaraFórmulam
m +=
+
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Ejercicio PrácticoEjercicio Práctico::
Un productor agropecuario debe cancelar un documento de $15000 que vence hoy, otro de $14000 que venció hace 4 meses (al cual el
acreedor le adiciona el 2% mensual a interés simple) y otro de $18000 que vencerá dentro de 6 meses; para ello el deudor entrega
-$6000 al contado-un pagare que vencerá dentro de 3 meses por $11000
- y por el resto firma un documento a 180 días a interés compuesto
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- y por el resto firma un documento a 180 días a interés compuesto cuyo valor nominal se debe averiguar. Considerar que sobre este
documento se paga de impuesto a los sellos el 1% del valor nominal.
Tasa i: 0.01 mensualA) Resolver por descuento racional y descuento compuesto.
B) Resolver con tasa j(365/30) = 1,5%