4-1

Capítol 4

Energia i Potència

4.1 Introducció

4.2 Energia del corrent elèctric. Llei de

Joule

4.3 Generador lineal

4.4 Receptor lineal

4.5 Diferència de potencial entre dos

punts d’un circuit

4.6 Equació del circuit

4.7 Problemes

Objectius • Conéixer els efectes energètics del corrent elèctric i l’efecte

Joule.

• Conéixer el generador de força electromotriu i el receptor de força contraelectromotriu.

• Realitzar balanços energètics en circuits.

• Calcular la diferència de potencial entre dos punts d’un circuit.

• Resoldre circuits simples.

4.1 Introducció En aquest capítol es descriuen els efectes energètics del corrent elèctric dins d’un circuit. Es descriuran quins elements subministren energia al sistema i quins elements la consumeixen, descrivint allò que es coneix com a balanç de potències.

4-2

4.1 Energia del corrent elèctric. Llei de Joule Ja s’ha esmentat abans amb la

llei d’Ohm, que el corrent elèctric impli-cava una caiguda de tensió entre dos punts i, per tant, pèrdua d’energia. Si considerem un element qualsevol entre els extrems del qual circula una intensi-tat I, les càrregues, que inicialment te-nen una càrrega dqV1, en travessar l’element la seua energia ha disminuït fins a dqV2. La diferència d’energia és:

∆U = dq (V2 - V1) la rapidesa amb què les càrregues perden l’energia és la potència consumida

IVVVdtdq

dtdUP =−== )( 12

Si l’element considerat és una resistència, aplicant la llei d’Ohm, l’expressió de la potencia consumida es pot reescriure de les formes següents:

R

VRIVIP2

2 === Ecuación 4-1

Convé recordar respecte això que la potència es mesura en watts (W).

En una resistència l’energia consumida ho és per dissipació de calor. Aquest fet físic, la transformació de l’energia elèctrica en energia calorífica, es denomina efecte Joule. Aquest fenomen és indesitjable en els casos que utilit-zem el corrent com a vehicle de la informació, és a dir, en aplicacions informà-tiques o telemàtiques i, en general, en els casos que, a diferència del que pas-sa en escalfadors i estufes, no es tracta de produir explícitament energia calorí-fica.

4.2 Generador lineal L’existència de càrrega lliure sotmesa a l’acció d’un camp elèctric dóna

com a resultat un corrent elèctric a causa de les forces elèctriques que actuen sobre aquestes càrregues. L’existència d’un gradient de potencial elèctric impli-ca l’existència d’un camp elèctric, per la qual cosa es pot relacionar directament el corrent elèctric amb la diferència de potencial entre dos punts.

Si s’uneixen amb un fil conductor dos conductors a distint potencial, s’iniciarà un moviment de càrregues elèctriques que comporten el transport d’electrons del conductor de menor potencial al de major potencial fins a acon-seguir l’equilibri electrostàtic en què ambdós conductors estan a igual potencial i, per tant, es deté el moviment de càrrega elèctrica. Cal recordar que la intensi-tat, tal com s’ha definit, es correspon amb el moviment de les càrregues positi-ves, després aniria des del conductor de major potencial fins al de menor po-tencial. Per a produir un corrent durador, cal mantenir la diferència de potencial

I

dqV2

dqV1

x

R

U

Figura 4.1. Pèrdua d’energia en una resistència.

4-3

de manera permanent, i això s’aconsegueix mitjançant un dispositiu denominat generador.

Un generador és el dispositiu que manté la diferència de potencial entre els dos extrems, denominats borns i, per tant, subministra l’energia necessària perquè les càrregues circu-len per un circuit.

Un símil el trobem en una font d’aigua de cicle tancat: de la mateixa manera que cal una bomba per elevar l’aigua fins a l’eixida de la ca-nella, cal un dispositiu que “eleve” el potencial

de les càrregues, perquè aquestes adquirisquen l’energia necessària. La bom-ba pren aigua del recipient i li proporciona energia potencial per a elevar-la. De manera anàloga, considerarem que les càrregues entren al generador amb un potencial V1, i per tant amb una energia qV1, i són portades a un altre potencial V2, i per tant una energia qV2. L’energia subministrada a cada càrrega és q∆V.

Figura 4.3. Als gene-

radors, el corrent ix del born positiu.

En la Figura 4.3 es pot observar el símbol del generador, on la línia verti-

cal major es correspon amb el born de major potencial (born positiu). A diferèn-cia del que passa en una resistència, la intensitat de corrent travessa el gene-rador des del born de menor potencial (born negatiu) fins al de major potencial.

Els generadors poden ser de tipus diferents, segons siga l’energia primà-ria que es transforma en energia elèctrica, per exemple, de tipus químic (piles o bateries), mecànic (alternadors i generadors elèctrics) i fotovoltaic, entre d’altres. També convé assenyalar que, a més de generar-se corrent continu, es pot generar corrent altern, com passa a les grans centrals elèctriques o a l’alternador d’un automòbil. En aquest tema ens limitarem a estudiar els gene-radors de corrent continu, també denominats fonts de tensió.

Es defineix l’energia generada com aquella que el generador converteix des de l’energia primària en energia elèctrica. Aquesta energia s’utilitza per a aportar energia potencial a les càrregues que travessen el generador. L’energia generada per unitat de càrrega es denomina força electromotriu, ε.

Força electromotriu d’un generador (fem) és l’energia produïda per unitat de càrrega que traves-sa el generador

dqdU

=ε

Equació 4.1

També pot definir-se en funció de la potència, dividint numerador i deno-

minador de l’expressió anterior entre dt:

IP

dtdqdtdU

generada==ε Pgenerada = εI

qV1 ∆U = q∆Vq

UqV2

Figura 4.2

I

qV1 qV2

∆ U = q (V2 - V1)

4-4

Les dimensions de la força electromotriu són les mateixes que les del po-

tencial electrostàtic i, per tant, la seua unitat en el SI és el volt (V). La seua de-nominació com a “força” té caràcter històric i prové de quan el concepte de for-ça s’associava a tot "motor" de canvi: no s’ha de confondre amb el concepte actual de força, més restrictiu, que es deriva de les lleis de Newton.

.

Generador lineal El funcionament que seria desitjable que tinguera un generador és que la

diferència de potencial entre els borns es poguera fixar de manera independent a la intensitat subministrada. Però això no és així. En un generador real, en augmentar la intensitat que subministra al circuit, la diferència de potencial en-tre els borns disminueix. Això es deu a diferents factors de funcionament i de-pén del dispositiu utilitzat.

Una situació bastant habitual és la mostrada en la Figura 4.4, en la qual la caiguda de tensió entre els borns del generador va-ria linealment amb la intensitat. Un generador amb aquest comporta-ment es denomina generador li-neal. El generador ideal seria e-quivalent a un generador lineal de pendent nul i com a conseqüència la d.d.p. entre els borns seria constant i igual a la força electro-motriu.

Assumint que la caiguda de tensió es deu a pèrdues energètiques a l’interior del generador, la força elec-tromotriu serà la d.d.p. en els borns del generador quan la intensitat siga nul·la (en circuit obert).

En connectar el circuit i travessar una intensitat el generador, part de la potència generada (εI ) serà dissipada en el mateix generador abans de ser subministrada al circuit. Si es considera que aquestes pèrdues internes es cor-

responen a pèrdues per efecte Joule al generador, tindran com expressió rI2, sent r la resistència interna del genera-dor. A l’eixida del generador, la potència consumida pel circuit en què està instal·lat, o subministrada pel genera-dor, té com a valor I(VA-VB), sent VA>VB (Figura 4.5).

Si es realitza un balanç de potències, la potència subministrada al circuit ha de ser igual a la generada al generador menys les pèrdues internes:

Psum = Pg - Pjoule = εI - I2r = I (ε - Ir) = I (VA – VB)

on, eliminant les intensitats, s’obté l’equació de la recta que representa el com-portament del generador lineal en la Figura 4.4. Llavors, l’equació de la recta que ens dóna la característica tensió–intensitat del generador serà de la forma:

I

V

εGenerador ideal: VAB = ε

Generador real: VAB = ε - Ir

Figura 4.4. Corbes característiques d’un generador ideal i

real.

ε

r

A

B

I

Figura 4.5. Model de

generador lineal.

4-5

VA – VB = ε - Ir Equació 4.2

la qual cosa és equivalent a suposar que un generador real és equivalent a un generador ideal i una resistència r, denominada resistència interna, posats en sèrie (Figura 4.5).

La recta té un pendent negatiu, la qual cosa significa que hi haurà una intensitat tal que la diferència de potencial als borns s’anul·le. Aquesta intensitat es denomina intensitat de curtcircuit, i és la intensitat màxima que pot produir un generador.

∆V → 0 ; I → r

ICε

=

La fem es calcularà com la intersecció entre la recta i l’eix d’ordenades, mentre que el pendent de la recta es corres-pon amb la resistència interna. La intensitat pot calcular-se considerant el circuit on està connectat el generador. Si denominem R la resistència externa, la caiguda de tensió en aquesta val IR = VA – VB = ε - Ir. La resistència interna no pot aïllar-se de la resta del generador, ja que no és una resistència tangible, però ha sigut separada en l’esquema per a major claredat. En la Figura 4.7 s’ha representat de manera esquemàtica la caiguda de potencial entre els borns d’un generador lineal tenint en compte els elements

que el formen. Aïllant I de l’expressió anterior, tindrem:

rRI

+ε

=

Convé ressaltar la distinció entre po-tència generada i potència subministrada. Potència generada és tota la potència que el generador aporta al sistema al qual pertany, i val εI. La potència subministrada al circuit ex-tern al generador, I(VA-VB), és menor, ja que part de la potència generada es dissipa en la resistència interna per efecte Joule, que val I2r,

Pgenerada εI Pdissipada I2r

Psubministrada I (VA – VB)

El rendiment d’un sistema és la relació entre l’“objectiu assolit pel siste-ma” i el “cost utilitzat per fer-ho”. L’objectiu d’un generador és subministrar po-tència al circuit i amb aquest fi ha hagut de produir una determinada quantitat de potència. Així doncs, el rendiment d’un generador és el quocient entre la potència subministrada i la potència generada:

ε

r

A

B

R

I

Figura 4.6. Generador

lineal amb càrrega.

r ε

A BI

VA

VB

Irε

Figura 4.7. Desglossament d’un generador real en el component generador i el com-

ponent resistiu.

4-6

12

<ε

=ε−ε

==η AB

gen

sum VIrII

PP

En aquesta expressió, es veu que el rendiment augmenta en disminuir la resistència interna. En una bateria ideal el rendiment és la unitat, i per a qual-sevol bateria real, el rendiment és sempre menor que un.

4.2 Receptor lineal Un receptor és un dispositiu que transforma energia elèctrica en altres

formes de l’energia distintes de la calor, és a dir, qualsevol dispositiu que dissi-pe o emmagatzeme energia per mecanismes diferents a la llei de Joule. Si bé el cas més comú són els motors que transformen energia elèctrica en mecàni-ca, hi ha sistemes de consum d’energia per a usos químics, com els acumula-dors o els banys electrolítics; generadors d’ones electromagnètiques, com els forns microones; o de camps magnètics com les grues electromagnètiques, per posar-ne uns exemples.

El paràmetre característic de tot receptor és la força contralectromotriu ε’ que es defineix de la manera següent:

La força contraelectromotriu d’un receptor és l’energia transformada pel receptor en energia me-cànica o altres, per unitat de càrrega que travessa el receptor.

dqdU

=ε'

Equació 4.3

L’equació dimensional és igual a la de la força electromotriu i la unitat en

el SI és el volt (V). La potència que transforma, pot obtenir-se dividint numerador i denomi-

nador en l’expressió anterior per dt:

Ptransf = ε’ I

El comportament d’un receptor ideal seria el del que transforma tota l’energia que se li subministra, és a dir, que la potència consumida pel receptor (Pcons=I(VA-VB), sent VA-VB la d.d.p. entre els borns del receptor) siga igual a la potència transformada, de manera que la diferència de potencial als borns VA - VB, coincidisca amb la seua força contraelectromotriu en qualsevol circumstàn-cia.

El símbol d’un receptor està representat en la Figura 4.8. La intensitat que travessa un receptor ho fa sempre entrant pel born de major potencial, de la mateixa manera que passa en una resistència.

M+ -ε'ε' ε'

+-

Figura 4.8. Símbols de receptors. En tots aquests la intensitat els

travessa entrant pel born de major potencial.

4-7

Quan en un circuit s’ha instal·lat un generador i la intensitat que el tra-vessa ho fa entrant pel born positiu, aquest generador es comporta com un re-ceptor de força contraelectromotriu igual a la força electromotriu del generador. Seria aquest el cas, per exemple, quan instal·lem una bateria recarregable en un circuit de càrrega.

En la realitat sempre hi ha pèrdues d’energia al receptor, per la qual cosa consu-meix més energia que la que es transforma, o, el que és el mateix, la diferència de potencial a l’entrada del receptor sempre és major que la força contraelectromotriu.

Un receptor lineal serà aquell en què l’evolució de la d.d.p. entre els seus borns amb la intensitat siga una línia recta. Si se suposa que les pèrdues al receptor són degudes a dis-sipació de calor per efecte Joule i es realitza un balanç de potències, s’obté:

Pcons=Ptransf + Pcalor = ε’ I + I2r’ = I(ε’ + Ir’) = I (VA – VB)

on, eliminant la intensitat, s’obté l’equació d’una recta que relaciona la d.d.p. en borns del receptor amb la intensitat que el travessa:

VA – VB = ε’ + Ir’ Equació 4.4

que es correspon amb la descrita en el gràfic. El pendent positiu de la recta es correspon amb la resistència interna del receptor r’, responsable de la calor dissipada. Llavors, el comportament d’un receptor es pot considerar anàleg al d’un receptor ideal i una resistència en sèrie.

Per tant, un receptor lineal està caracteritzat per dos paràmetres, força contrelectromotriu i resistència interna: Es pot considerar equivalent al d’un re-ceptor ideal amb una resistència en sèrie.

ε' ε'r' r'

Figura 4.10. Model de receptor lineal.

En la Figura 4.11 es representa la caiguda de potència dels borns d’un receptor lineal descompost a partir dels dos elements que el conformen.

I

V

ε’Receptor ideal: VAB = ε’

Receptor real: VAB = ε’ + Ir’

Figura 4.9. Corbes característiques d’un

receptor ideal i real.

4-8

De forma anàloga al receptor, convé assenyalar les diferències existents en un receptor lineal entre la potència que el receptor transforma en un altre tipus d’energia, potència transfor-mada; les pèrdues per efecte Joule en la resistència interna, potència dissipada, i la potència consumida pel receptor, que és la suma de les dues anteriors:

Ptransformada ε’I Pdissipada I2r’ Pconsumida I (VA – VB)

L’objecte d’un receptor és la transformació de potència elèctrica en un al-

tre tipus de potència, per a la qual cosa consumeix una quantitat major de po-tència a causa de la presència de pèrdues. Llavors, el rendiment d’un receptor és el quocient entre la potència transformada i la potència subministrada:

1'<

ε==η

ABsum

transf

VPP

el rendiment augmenta quan disminueix la resistència interna. El rendiment és la unitat per al cas d’un receptor ideal, i menor que un per al cas d’un receptor real.

4.3 Diferència de potencial entre dos punts d’un circuit Si considerem el tram d’un circuit, representat en la Figura 4.12, traves-

sat per una intensitat amb sentit del punt A al B, podem realitzar un balanç de potències tenint en compte que la potència consumida pel tram en la seua tota-litat serà la potència consumida en cadascun dels elements que el formen.

ε1 r1 ε2 r2 ε' r' R

A B

+

Figura 4.12. Branca d’un circuit entre els punts A i B, amb ge-

neradors, receptors i una resistència.

Atés que la intensitat que travessa el tram, ho fa des de A cap a B, la po-tència total consumida és I(VA-VB) (si aquest valor fóra negatiu indicaria que el tram del circuit considerat genera més energia de la que consumeix). Les po-tències consumides apareixeran amb signe positiu a la dreta de la igualtat, mentre que les generades apareixeran amb signe negatiu.

Així, el generador 1, treballa com a receptor, atés que la intensitat el tra-vessa de major a menor potencial, de manera que consumeix una potència i-gual a ε1I+r1I2; el generador 2, participa com a generador i, per tant, genera una potència igual a ε2I (que apareixerà amb signe negatiu) i la potència dissipada val r2I2; el receptor té la polaritat assenyalada en la figura i consumeix una po-

VA

VB

r’ ε‘

A BI

Ir’

ε‘

Figura 4.11. Desglossament d’un receptor real en el component transformador i el component resistiu.

4-9

tència igual a ε'I+r'I2 i la resistència dissipa RI2. Realitzant el balanç de potènci-es, tenim:

I(VA-VB)= ε1I+r1I2+ε2I+ r2I2+ε'I+r'I2+ RI2

equació que, dividida per la intensitat, quedarà:

VA-VB= ε1+r1I+ε2+ r2I+ε'+ r'I + RI

Expressió que ens permet calcular la diferència de potencial entre els

punts A i B. Aquest resultat, pot sistematitzar-se per a poder usar-lo com una regla:

VAB = VA - VB = ΣIR - Σε Equació 4.5

Equació que s’ha d’utilitzar amb el criteri de signes següent:

1. VA – VB representa la diferència de potencial entre el punt A i el punt B. Per a

calcular aquesta diferència de potencial es recorre la branca del circuit des de A fins a B.

2. En el sumatori ΣIR, s’han de considerar totes les resistències del circuit, in-

cloent-hi les resistències internes de bateries i receptors. En aquest sumato-ri, la intensitat és positiva si va de A a B (en el mateix sentit en què es recor-re la branca), i negativa si va en sentit oposat.

3. Σε representa el sumatori per a totes les forces electromotrius i contraelec-

tromotrius. En aquest sumatori, ε es considera positiu quan en recórrer la branca de A a B eixim pel born positiu de la bateria o del receptor, i ε és ne-gatiu quan en anar de A a B eixim pel born negatiu de la bateria o del recep-tor. En aquest criteri no es diferencia entre bateries i receptors, l’única cosa que s’ha de considerar és el signe del born pel qual s’ix en recórrer el circuit de A a B.

Podem arribar a la mateixa solució recorrent el circuit element a element.

Amb aquest fi partim d’una branca com la de la Figura 4.13, i la recorrem d’un punt A a un altre B. En aquest cas, suposarem que la intensitat que travessa el tram de circuit ho fa des de B cap a A, la qual cosa implica la polaritat assenya-lada en el receptor.

4-10

Eixint del punt A, travessem en primer lloc una resistència, que és travessada pel corrent I. Les resistèn-cies sempre produeixen una caiguda del potencial, per la qual cosa la ten-sió a l’eixida (el punt A) és menor que a l’entrada. Com hem eixit del punt A, això suposa que el potencial puja en una quantitat IR. A continuació tra-vessem un receptor ideal que implica una nova caiguda de potencial en el sentit de la intensitat. Posteriorment, travessem un receptor ε1, eixint pel born positiu, per la qual cosa “eixim” amb més potencial que hem entrat, en una quantitat ε1. Finalment, travessem un generador ε2, eixint pel born negatiu, és a dir, “eixim” amb un potencial ε2 menor. Si sumem tots aquests augments i disminucions del potencial, arribem a: VAB = VA - VB = -IR - ε' - ε1 + ε2.

Exemple 4.1

Calculeu la diferència de potencial entre els punts A i B de la branca de la figura. La branca consumeix o subministra energia a la resta del circuit?

30 Ω 10 V10 Ω30 V50 V

BI = 2 A

MA

Solució Aplicant l’Equació 4.5, tindrem:

VAB = VA - VB = ΣIR - Σε = -2(40) - (-50 + 30 + 10) = -80 +10 = -70 V Observem d’una banda, que la intensitat va de B a A, i per tant en sentit contrari al nostre desplaçament, per la qual cosa és negativa. D’altra banda, en els motors, el corrent ix pel negatiu, per la qual cosa en anar de A a B, hem eixit pel positiu. En aquesta branca, les càrregues ixen per A amb menys energia que han entrat per B, per la qual cosa la branca en conjunt consumeix energia de la resta del circuit.

R ε1 ε2

A BI

VAIR

ε1 ε2

ε'

ε'

+

VB

Figura 4.13. Diferència de potencial entre A i B.

4-11

4.4 Equació del circuit Si en un circuit tancat es coneixen tots els e-

lements que el configuren, és possible calcular el valor de la intensitat que hi circula. Així, suposem el circuit de la Figura 4.14 i ens fixem en els punts A i B, que estan units per un conductor sense resistèn-cia, per la qual cosa la diferència de potencial VAB és zero. Si calculem VAB pel camí llarg, tindrem:

VAB = 0

ΣIR = Σε

Obtenint una equació que ens permet calcular la intensitat de corrent que circula per un circuit tancat que conté generadors, receptors i resistències:

∑∑ε

=R

I Equació 4.6

Resulta útil per comprendre el funcionament d’un circuit fer un balanç

d’energia o de potències, assenyalant en un esquema la totalitat de les energi-es posades en joc per cada element d’un circuit, i comprovar així el principi de conservació de l’energia.

Per exemple, per al circuit mostrat en la Figura 4.14, tindríem un diagra-ma com el mostrat en la Figura 4.15.

I2rI2r’

Pgen= εI

Pacum= ε’I

I2R

Figura 4.15. Diagrama d’un balanç d’energia.

Hi observem que la suma de la potència subministrada equival a la suma de la potència consumida.

εI = I2r + I2r’ + ε’I + I2R

Determinació del sentit de la intensitat En les equacions presentades, se suposa coneguda la intensitat del cir-

cuit. Normalment, resoldre un circuit implica calcular la intensitat, coneguts els elements que el formen. A l’hora de calcular la intensitat, és important obtenir adequadament el sentit. De vegades, la col·locació de les bateries indica cla-rament quin és el sentit de la intensitat, però altres vegades (quan hi apareixen bateries i receptors), pot no ser evident quin és el sentit que tindrà la intensitat.

En cas de dubte sobre el sentit de la intensitat s’ha de procedir de la manera següent:

R

ε, r ε‘, r’

A

B

I

Figura 4.14. Circuit simple amb un generador, un receptor i una re-

sistència.

4-12

1. Suposar de manera arbitrària un sentit per a la intensitat. 2. Mitjançant l’expressió anterior, calcular el valor de la intensitat, i comprovar

si és positiva o negativa. 3. Si la intensitat resultant és positiva, el sentit que inicialment hem suposat és

el correcte i el problema queda resolt. 4. Si la intensitat és negativa el sentit que inicialment hem suposat en l’apartat

1 no és l’adequat. Llavors hem d’assignar-li el sentit contrari. 5. Calculem novament la intensitat, i tornem a comprovar-ne el signe. 6. Si la intensitat és positiva, el sentit que hem suposat en el punt 4 és el cor-

recte i el problema queda resolt. 7. Si la intensitat és negativa, aquest sentit que hem suposat tampoc és el cor-

recte. D’aquesta manera, cap dels dos sentits de la intensitat és possible, la qual cosa indica que no hi ha corrent en el circuit: la intensitat és zero. Això pot ser així en el cas que en el circuit tinguem algun motor, i les bateries d’aquest no tinguen potència suficient per moure el motor.

Hem d’assenyalar que en absència de receptors, si la intensitat és ne-gativa, podem deduir que la intensitat va en sentit contrari al calculat però amb el mateix valor absolut. Això es deu al fet que l’Equació 4.5 és simètrica (el canvi de sentit de la intensitat afecta per igual el signe de tots els sumands) en absència de receptors. La presència d’un receptor trenca aquesta simetria i obliga a realitzar novament els càlculs davant d’un valor de la intensitat negati-va que el travesse.

Exemple 4.2

Calculeu la intensitat que circula pel circuit de la figura. Solució

Podem observar que els possibles genera-dors estan disposats de manera que els seus efectes se sumen, per la qual cosa no hi ha re-ceptors, i el sentit del corrent és el de la figura. La intensitat, l’obtenim aplicant l’equació del cir-cuit.

A54,102230

=+

=I

4 Ωε

2 Ω

3 Ω

1 Ω

22 V0,2 Ω

30 V0,2 Ω

I

4-13

Exemple 4.3

Donat el circuit de la figura, responeu les qüestions següents: a) Calculeu el valor i el sentit de la intensitat que circula pel circuit. b) Diferència de potencial entre el punt A i el C (VA – VC). Desenvolu-

peu el càlcul pel camí ABC i pel camí ADC. c) Quins elements subministren energia al circuit? Calculeu el valor de

la potència subministrada per cada element. d) Quins elements consumeixen energia en el circuit? Calculeu el valor

de la potència consumida per cada element. e) Quin és el rendiment del motor? I el de la font (2)? f) Si modifiquem la força electromotriu de la font (1), quin ha de ser el

nou valor perquè la diferència de potencial entre els punts A i C tinga valor zero? Quina és la intensitat del circuit en aquest cas?

Solució:

a) A la vista de les fonts que actuen i la polaritat d’aquestes, cal espe-rar que la intensitat tinga sentit dextrogir. Si calculem el valor amb aquesta consideració prèvia:

( ) A04,0

2502030

=−

=ε′−ε

=∑

∑i

ii

RI

com I > 0, el sentit de les intensitats, tal com s’havia previst, és dextrogir. Si haguérem suposat un sentit levogir d’intensitats, haguérem obtingut el següent:

( ) A0,12

250101030

i

'ii −=

+−−=

ε−ε=

∑∑

RI

La qual cosa implicaria recalcular novament la intensitat en l’altre sentit. Ob-serveu que la presència de la força contraelectromotriu del motor fa que l’equació no siga simètrica amb el sentit de les intensitats i, per tant, els va-lors absoluts de les quantitats calculades no coincideixen. b) Calcularem en primer lloc VA - VC seguint el camí que passa pel punt B: Apliquem l’equació:

( )∑∑ ε′−ε−=−ACAC ii

ACiACCA RIVV

4-14

IAC és la intensitat que va de A a C, amb el signe corresponent, i els termes inclosos en el sumatori corresponen als elements que es troben entre A i C en el camí elegit. Llavors:

VA – VC = 0,04(10+100+10) - (-10 + 10) = 4,8 V Si el camí elegit és el que passa pel punt D, observem la presència d’una força contraelectromotriu deguda al motor. Llavors el càlcul correcte de la diferència de potencial haurà de fer-se de tal manera que la intensitat que travessa el motor tinga valor positiu en l’expressió: per tant calcularem VC - VA. D’aquesta manera la intensitat considerada en l’equació travessa el mo-tor amb la polaritat correcta.

VC – VA = 0,04(20+100+10) - (20 - 10) = - 4,8 V amb la qual cosa,

VA – VC = 4,8 V valor que es correspon amb el que hem trobat anteriorment. c) Les fonts són els únics elements amb capacitat de subministrar energia al circuit. Entre aquestes, subministraran energia aquelles l’aportació de les quals al circuit implique prendre càrregues a un potencial i tornar-les al circuit amb un potencial major, o el que és el mateix, amb major energia potencial. Llavors, subministraran energia aquelles fonts en les quals el corrent elèctric entra pel born negatiu. En aquest exercici, això pas-sa amb les fonts (2) i (3). La potència que subministren al circuit serà el resultat de llevar a la potència generada per les fonts les pèrdues per efecte Joule en les seues resistènci-es internes:

PS = Pg - PJ = εI - rI2 La font (2):

PS = 10·0,04 - 10·0,042 = 0,384 W La font (3):

PS = 20·0,04 - 20·0,042 = 0,768 W La potència total subministrada al circuit és la suma d’ambdós valors = 1,152 W d) Consumiran energia les resistències, el motor i aquelles fonts en les quals les càrregues elèctriques perden energia en travessar-les (entren pel born positiu), la qual cosa passa, en aquest exercici, amb la font (1). La potència consumida serà: - En les resistències, per efecte Joule:

PJR = RI2 = 100·0,042 = 0,16 W Sent aquest valor comú per a ambdues resistències. - En el motor s’haurà de considerar la potència transformada i les pèrdues per efecte Joule en les seues resistències internes:

4-15

PCM = PT + PJ = ε’I + rI2 = 10·0,04 + 10·0,042 = 0,416 W

- En el generador (1), la força electromotriu actua com a contraelectromo-triu, consumint o emmagatzemant energia. També s’hauran de considerar les pèrdues per efecte Joule en les seues resistències internes.

PCε = Pε + PJ = εI + rI2 = 10·0,04 + 10·0,042 = 0,416 W En total, la potència consumida en el circuit (sense considerar les resistèn-cies internes dels generadors que actuen com a tals), és: PC = 2PJR + PCM + PCε = 2·0,16 + 0,416 + 0,416 = 1,152 W Valor que és igual a la potència subministrada al circuit. El balanç de potèn-cies dóna per tant, tal com ha de passar, la igualtat entre energies subminis-trades i consumides en el circuit. e) L’objecte d’un receptor és transformar potència elèctrica en un al-tre tipus de potència. En el cas del motor aquesta última serà potència me-cànica. El rendiment ens donarà una valoració de l’èxit obtingut en aquesta tasca. El seu valor vindrà donat per la relació entre la potència transformada i la potència total consumida:

962,0416,0

4,0+

2 ==

ε′ε′

==ηrI I

IPP

MC

T

Donant el resultat en %, tindrem:

η = 96,2 % O siga, cada 100 watts consumits pel motor, 96,2 es transformen el potèn-cia mecànica, i la resta es perd per escalfament. Per la seua banda, l’objecte d’un generador és prendre potència d’una font energètica i subministrar-la al circuit en forma de potència elèctrica. Però part de la potència transformada, que en aquest cas denominem "genera-da", es perd abans d’arribar al circuit a causa de l’existència de resistències internes al generador. El rendiment ens donarà una valoració de l’èxit obtin-gut pel generador per a executar la seua tasca i vindrà donat per la relació entre la potència subministrada al circuit i la generada:

96,04,0

384,0- 2

==ε

ε==η

Ir I I

PP

g

S

Valor que donat en % queda:

η = 96 % Llavors cada 100 watts generats per la font, 4 es perden per escalfament en les resistències internes.

4-16

f) La presència del motor planteja la possibilitat que hi haja dues so-lucions distintes que donen com a resultat que VA - VC = 0, atés que l’equació que determina aquesta diferència de potencial pel camí ADC és distinta en funció del sentit que tinga la intensitat en el circuit.

Si considerem que la intensitat manté el sentit dextrogir, i calculem VC - VA pel camí ADC:

VC - VA = 130 I - (20 - 10) = 0 d’on

A131

=I

Per a calcular el valor de la força electromotriu de la font (1), calcularem a-questa mateixa diferència de potencial pel camí ABC:

( ) 0=10- - 131 120 ε

−=− AC VV

d’on

V1310

1312010 =−=ε

Exemple 4.4

El motor del circuit de la figura consumeix 20 W, dels quals un 10 % és per efecte Joule. Si la font subministra 60 W al circuit extern, determineu: a) la potència consumida en la resistència de 10 W, b) si la font genera una potència de 64 W, determineu-ne les característiques: ε, r c) finalment, calculeu les característiques del motor: ε´, r´

M

ε

50 Ω

rr’

ε’

Solució: El problema està plantejat en termes d’energia, i podem recordar el comportament dels elements del circuit a partir d’aquest punt de vista per poder fer un plantejament general del circuit abans de resoldre els apartats:

4-17

El generador és l’únic que pot aportar energia al circuit. L’energia que genera per unitat de temps, la potència generada, és proporcional a la intensitat que circula pel circuit: Pg = εI. D’aquesta energia, una part es perd en forma de calor en el mateix generador (I2r), i la resta és la que es transmet a les càrregues, se subministra al circuit.:

PJG = I2r; PS = IVB - IVA = ε·I - I2r

En la resistència les càrregues sempre perden energia, segons la llei de Joule, la qual ens donarà la calor produïda per unitat de temps:

PJ = I2R

Finalment, en el motor les càrregues aporten l’energia que es transforma una part en energia mecànica (ε'I), i una altra que es perd en forma de calor en el mateix motor (I 2r'). Per tant, l’energia que consumeix el motor per unitat de temps és la suma de la transformada més les pèrdues per efecte Joule en la seua resistència interna: Pc = ε’I + I2r’

Així, podem considerar el circuit com un sistema en el qual, de manera contínua, es produeixen intercanvis d’energia, i podem representar-lo utilitzant el diagrama de flux d’energia per unitat de temps següent:

4-18

Si ara, tenint en compte totes aquestes consideracions, interpretem progressivament les dades del problema, arribarem a determinar totes les característiques del generador i del motor. En el generador la potència consumida s’inverteix en produir potència mecànica (90%) i en pèrdues per efecte Joule (10%)

ε' I + I2r’ = 20 W 10 % (20 W) = 2 W = I2r’

18 W = ε’I

La potència que subministra el generador al circuit (60 W) serà igual a la suma de la que consumeix el motor (20 W) i la que es perd per efecte Joule en la resistència R:

60 W = 20 W + I2R → PJ = I2R = 40 W = I2·10 Ω → I = 2 A Dels 64 W que genera el generador, 60 W se subministren al circuit i la res-ta són pèrdues per efecte Joule en el mateix generador:

εI = 64 W = 60 W + I2r Ara ja podem resoldre tots els apartats del problema: a) PJ = I2R = 40 W b) εI = 64 W → ε = 32 V I2r = 4 W → r = 1 Ω c) ε’I = 18 W → ε’ = 9 V I2r’ = 2 W → r ‘= 0,5 Ω

Règim transitori d'un circuit rc. processos de càrrega i descàrrega del condensador

Un fenomen important dins de l'estudi dels circuits elèctrics són els processos transitoris que condueixen a condicions de règim permanent. Per exemple, des del moment en què es connecten els generadors als circuits fins que s'arriba a les condicions de règim permanent: valors constants d'intensitats de corrent, diferències de potencial, càrregues..., transcorre un cert temps en què les dife-rents magnituds varien fins a arribar a estabilitzar-se en el valor que conside-rem en corrent continu. La presència als circuits de condensadors, bobines, o la

4-19

pròpia autoinducció dels circuits, provoquen l'aparició d'aquests règims transi-toris.

Ara estudiarem el cas del circuit RC, format per un condensador de capacitat C, una resistència R connectada en sèrie, i un generador de força electromotriu ε. El cir-cuit es tanca mitjançant un interruptor, tal com indiquem en la figura.

C

R ε

q(t)i(t)

Procés de càrrega

Suposem que inicialment el condensador està descarregat. Quan tan-quem l'interruptor s'inicia el procés de càrrega, que suposa un moviment de càrregues entre les seues armadures al llarg del circuit. La força electromotriu del generador sempre serà la suma de la diferència de potencial en el conden-sador i en la resistència,

)()( tVtV CR +=ε

En finalitzar el procés de càrrega, el condensador actuarà com un circuit obert, i la intensitat de corrent serà zero. Per tant, la condició inicial del circuit és que el condensador està descarregat (q=0), i la final, que el moviment de càrregues desapareix (i=0) i per tant, la diferència de potencial en el condensa-dor serà igual a la fem del generador. Denominarem Q a la càrrega final que adquireix el condensador.

La intensitat de corrent que circula pel circuit és la corresponent al pro-cés de càrrega del condensador: si, a partir d'un instant t, en un dt la càrrega del condensador q(t) augmenta un dq(t), la intensitat que circula serài(t)=dq(t)/dt , és a dir, la càrrega que es mou entre les armadures del conden-sador per unitat de temps.

D'altra banda, la capacitat del condensador sempre es mantindrà com a relació constant entre càrrega i diferència de potencial C=q(t)/Vc(t)

Si tota l’explicació anterior la utilitzem en l'equació de les diferències de potencial,

CtqR

dttdqtVRti C

)()()()( +

=+=ε

→ )()( tdq

Rdt

Ctq

=

−ε

equació diferencial que podem integrar per a obtenir l'expressió de la càrrega del condensador en funció del temps, ja que sabem que en l'instant inicial el condensador està descarregat

)()( tdqRdt

Ctq

=

−ε →

−=

−RCt

eCtq

1)( ε

4-20

La càrrega segueix una llei exponen-cial, va augmentant des de la càrrega zero a la càrrega màxima Q=ε·C en temps infinit. La idea de temps infinit la podem matisar mitjançant la constant de temps, τ, que es defineix com τ=RC, i té dimensions de temps. Si fem que el temps de càrrega tinga per valor la constant de temps,

[ ] QCeCeCq RCRC

63,063,011)( 1 ==−=

−= −−

εεετ

La constant de temps és el temps que cal perquè el condensador es carregue fins al 63% de la càrrega total. Ens pot donar una idea de la velocitat del procés de càrrega, i de com controlar-lo: un condensador de 1µF connectat a una resistència de 100Ω tardarà 0,0001 segons en arribar al 63% de càrrega, mentre que connectat a una resistència de 100kΩ tardaria 0,1 segons, el procés seria molt més lent.

Al laboratori difícilment podrem mesurar de forma directa la càrrega del

condensador, però sí que podem mesurar la diferència de potencial entre les seues armadures, que també seguirà la mateixa llei exponencial

−==

−RCt

c eCtqtV

1)()( ε

Les dades experimentals que es recullen seran diferències de potencial en funció del temps de càrrega. A partir d’aquests podrem determinar la cons-tant de temps observant el valor màxim de la diferència de potencial i determi-nant el temps per al qual la diferència de potencial en el condensador és el 63% de la màxima.

Procés de descàrrega:

Una vegada carregat el condensador, el procés de descàrrega consistirà a curtcircuitar el conjunt resistència-condensador (figura 4). D'aquesta forma, les càrregues de les armadures podran neutralitzar-se, es mouran d’una a l’altra produint un corrent elèctric que s'anul·larà quan es descarregue per com-plet el condensador.

4-21

En iniciar el procés, el condensa-dor estarà carregat amb càrrega Q, la que haja adquirit durant el procés inicial, i en finalitzar la càrrega serà zero. D'altra banda, durant el procés de descàrrega se seguirà mantenint la mateixa capacitat característica del condensador, la relació entre la càrrega i la diferència de poten-cial entre armadures.

C

R ε

q(t)i(t)

L'equació del circuit ara serà 0=i(t)R+VC(t)

Durant la descàrrega, la càrrega del condensador disminueix, i aquesta disminució és igual a la càrrega que es mou pel circuit: en un instant t la càrre-ga del condensador q(t) disminueix en un dq(t) durant un temps dt (q(t) →q(t+dt)=q(t)-dq(t)). Aquest -d(q) és la càrrega que es mou pel circuit en el temps dt, per la qual cosa la intensitat serà i(t)=-dq(t)/dt. Hem de considerar també que en el procés de descàrrega el corrent circula en sentit contrari al que tenia durant la càrrega

[ ]CtqRdttdq )(/)(0 +−−= →

RCdttqtdq )(/)( −=

Integrant l'equació diferencial, i tenint en compte el valor de la càrrega inicial del condensador (Q), obtindrem l'expressió de la càrrega en funció del temps

=

−RCt

eCtq

)( ε

El procés de descàrrega segueix una llei exponencial decreixent. El significat de la constant de temps és semblant a la que tenia en la càrrega. Vegem el valor de la càrrega del condensador en un temps de descàrrega igual a la constant de temps

QCeCeCq RCRC

37,037,0)()( 1 ===

= −−

εεετ

És a dir, que a un temps igual a la constant de temps el condensador

s'ha descarregat fins a un valor igual al 37% de la càrrega inicial. La forma en què s'estudia el procés de descàrrega, i es determina la constant de temps, és la mateixa que en el procés de càrrega, és a dir, mesurant la diferència de po-tencial en el condensador

−==

−RCt

c eCtqtV

1)()( ε

4-22

4.3 Problemes 1. Es calcula una resistència de 10 Ω per a dissipar 5,0 W com a màxim. a) Quin corrent màxim pot tolerar aquesta resistència? b) Quina tensió entre els borns produirà aquest corrent? Sol: a) 0,707 A b) 7,07 V 2. Si l’energia costa 8 cèntims per kilowatt hora. Quant costarà fer funcionar un ordinador durant 4 hores si té una resistència de 120 Ω i està connectat a una tensió de 220 V? Sol: 12,91 cèntims

3. En el circuit de la figura, indiqueu: a) Quina resistència dissipa més potència per efecte Joule? b) Quina resistència dissipa menys potència? Justifiqueu les respostes. Sol: a) R2 , b) R1 4. Dues resistències iguals es connecten en sèrie a una tensió V. Posteriorment es munten en paral·lel i es connecten a la mateixa tensió V. En quin dels dos mun-tatges es dissipa menys potència? Sol: PS < Pp 5. Es connecta una resistència variable R a un generador de força electromotriu ε que es manté constant independentment de R. Per a un valor de R = R1 el corrent és de 6 A. Quan R augmenta fins a R = R1 + 10 Ω, el corrent cau fins a 2 A. Calculeu: a) R1, b) ε. Sol: a) 5 Ω, b) 30 V 6. Una bateria té una força electromotriu ε i una resistència interna r. Quan es connecta una resistència de 5 Ω entre els terminals d’aquesta, el corrent és de 0,5 A. Quan se substitueix aquesta resistència per una altra d’11 Ω, el corrent és de 0,25 A. Calculeu: a) La força electromotriu ε i b) la resistència interna r. Sol: a) 3 V, b) 1 Ω 7. En el circuit de la figura la ε = 6 V i la r = 0,5 Ω. La dissipa-ció de calor per efecte Joule en r és 8 W. Calculeu: a) la inten-sitat, b) la diferència de potencial entre els extrems de R, c) valor de R. Sol: a) 4 A, b) 4 V, c)1 Ω

R1 = 10 Ω

R2 = 10 Ω

R3 = 5 Ω

I

ε , r

R

4-23

8. Calculeu la diferència de potencial entre els borns del generador ε. Sol: 29 V 9. Si a un generador de força electromotriu ε i resistència interna r es connecta una resistència R, determineu quin ha de ser-ne el valor perquè la potència dis-sipada en R siga màxima. Sol: R = r 10. En les figures es representa la característica tensió corrent de diferents e-lements d’un circuit de CC. Identifiqueu-ne cadascuna amb l’element al qual correspon.

recta característica generador receptor resistència

1

1

V (V)

I (A)2 3 4 5

2

3

4

5

6

7 (a)

(b)

(c)

11. En la figura es representa la característica tensió corrent d’un generador. Representeu en la mateixa figura la gràfica corresponent a: a) tres generadors idèntics a l’anterior disposats en paral·lel, b) ídem en sèrie.

ε

1 Ω

4 Ω

3 Ω

30 V0,2 Ω

2 Ω 22 V0,2 Ω

4-24

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

789

V (V)

I (A)

a) b)

ε r ε r ε r ε r

ε r

ε r

ε r

12. Determineu la diferència de potencial entre els punts A i B en les figures següents: Sol: a) 290 V, b) -118 V, c) 10 V, d) 5 V

20 Ω 50 V10 Ω30 V10 V

BI = 10 A

MA

5 Ω 7 Ω12 V

BI = 10 A

A

10 V 20 V

4 Ω 3 ΩB

A

10 V

2 Ω

C

D

3 Ω 1 Ω

A B

4 Ω

a)

b)

c)

d)

10 V 2 Ω 9 Ω 10 V

13. Un conjunt de N generadors idèntics amb força electromotriu ε i resistència interna r s’associen en sèrie tancant el circuit amb un fil sense resistència. Cal-culeu: a) intensitat que recorre el circuit, b) diferència de potencial entre dos punts qualssevol j i k. Sol: a) ε/r , b) 0

4-25

14. Donat el circuit de la figura amb r1 > r2, calculeu el valor de R perquè la diferència de potencial en borns d’un dels generadors siga zero. Indiqueu en quin. Sol: R = r1 - r2. En l’1. 15. El motor del circuit de la figura consumeix 50 W, dels quals un 20% ho és per efecte Jou-le. Si la font subministra 100 W al circuit extern, determineu: a) potència consumida en la resistència de 50 Ω, b) si la font genera una potència de 110 W, determineu les característiques de la font: ε, r, c) les característiques del motor: ε´, r´. Sol: a) 50 W, b) 110 V, r = 10 Ω, c) 40 V, 10 Ω. 16. Si pel circuit de la figura circula una inten-sitat I = 2 A, en el sentit indicat, i el rendiment del generador εx és del 80%. Determineu els valors de εx i Rx. Sol: εx = 225 V i Rx = 22,5 Ω.

GLOSARIO Efecte Joule: Dissipació d’energia, en forma de calor, que es produeix en circular corrent per un conductor Força electromotriu d’un generador és l’energia que subminis-tra per unitat de càrrega. Generador lineal: Dispositiu que subministra energia a un cir-cuit, que produeix una diferència de potencial entre els borns que decreix linealment amb la intensitat en la forma

VA – VB = ε - Ir Rendiment d’un generador és el quocient entre la potència que subministra i la potència que genera. Receptor: Dispositiu que transforma energia elèctrica en altres formes de l’energia distintes de la calor. Força contraelectromotriu d’un receptor és l’energia transfor-mada pel receptor en energia mecànica o altres formes distintes de la calor, per unitat de càrrega que travessa el receptor. Rendiment d’un receptor és el quocient entre la potència trans-formada i la potència subministrada.

R

r1 r2

εε

Mε, r

50 Ω

ε’r’

5 Ω

20 Ω

50 Ω

10 V

20 V

I = 2 Aεx

rx