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CAPÍTULO 0. PRELIMINARES MATEMÁTICOS

(UN RESUMEN INSERVIBLE POR SÍ SÓLO)

Seguimos Antelo (2000), Cap. 0, pp. 1-66

FUNCIÓN. Qué es?

Caso más general: mn RYxfRXxf ⊂∈→⊂∈ )(: (función vectorial de variable vectorial)

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Dominio / Imagen, Rango o Recorrido

El dominio de una función f es el conjunto de existencia de la misma (conjunto de valores para los cuales está definida).

Ejemplo: f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen el conjunto R g(x) = x² tiene como dominio R pero como imagen R+

CARACTERIZACIÓN FUNCIONAL: Caso particular RxfRXf n ∈→⊂ )(:

El conjunto imagen de una función f está formado por los valores que alcanza la función, i.e. es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

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1. Continuidad: f(x) es continua en un punto a∈X si:

• Existe f(a):

• tiene lim por la izquierda:

• tiene lim por la derecha:

• El lím por la derecha, el lim por la izquierda y el valor de la función coinciden:

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2. Derivabilidad: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente Una función RXf →: es derivable en ax = ∈X si existe el lím

hafhaf

axafxf

hax

)()(lim)()(lim0

−+=

−−

→→

Dicho lim se llama derivada de )(xf en ax = .

Geométricamente: la pte de la recta tangente a la curva )(xfy = en el punto ax = es igual a )(' af y por lo

tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en ax = se escribe como

))(()( axafafy −′=−

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Resultado: Derivabilidad implica continuidad

Si una función f(x) es derivable en x=a, i.e. si )(af ′∃ , entonces es continua en x=a

El recíproco no es válido, i.e. nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua.

Ejemplo: la función valor absoluto f(x)= |x| es continua en todo su dominio pero no es derivable en x= 0

REPASAR TODO EL TEMA DE DIFERENCIABILIDAD

3. Tipos de funciones:

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Funciones Elementales

• Funciones polinómicas (de grado n) Son las expresadas como un polinomio en x, i.e. una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales

011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

−

o Función lineal: 01)( axaxf += es un binomio del 1º grado o Función cuadrática: 01

22)( axaxaxf ++= es un trinomio del 2º grado

• Funciones racionales: Funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula

)()()(

xQxPxf = , 0)( ≠xQ

• Función raíz: nxxf /1)( = . Recíproca de la función potenciación nxxf =)(

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Funciones trascendentales

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica

• Función logarítmica: f(x)=logax o f(x)=lnx

Qué forma tiene?

• Función exponencial: f(x)=ax o f(x) = ex (Inversa de la logarítmica)

Qué forma tiene?

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• Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente

• Funciones inversas trigonométricas

• Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica.

Funciones no elementales

• Función módulo (o valor absoluto): f(x)=f(-x). Siempre toma valores no negativos

• Función escalón de Heaviside o escalón unitario

><

=0,10,0

)(xsixsi

xf

• Función parte entera : f(x)=[x]=ent(x) • Función potencial: f(x) = xa • Función mantisa y otras funciones • Función signo • Función de Dirichlet • Función de Ackermann

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• Transformaciones lineales • Transformada de Hilbert • Transformada de Laplace • Transformada de Fourier • Función hipergeométrica

Ver Ejercicio 0.3 de Antelo (2003), pp. 3-5.

4. Concavidad / Convexidad

Concavidad: RxfRXf n ∈→⊂ )(: f cóncava sobre X:

(i) Sii para todo Xzx ∈, y para todo [ ]1,0∈α , se verifica )()1()())1(( zfxfzxf αααα −+≥−+

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Qué significa esto geométricamente? Representarlo (Sólo posible de R en R)

Para funciones cuya imagen es un conjunto de mayor dimensión, es especialmente útil la siguiente

caracterización de concavidad:

(ii) (Utilizando álgebra matricial) Sii su matriz Hessiana es una matriz sdn

IDEA: Esta condición equivale a exigir que la función se aleje siempre de cualquier tangente,

independientemente de la dirección que se tome.

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Matriz (hessiana) sdn sii menores principales alternan de signo empezando con no-positivo: ,011 ≤f

02221

1211 ≥ffff ,…

jiij xx

ff∂∂⋅∂

≡)(2.

Convexidad:

(i) Análogo

(ii) Matriz hessiana sdp (signo no-negativo): ,011 ≥f 02221

1211 ≥ffff ,…

IDEA: La idea de que sea sdp es la misma de antes (por eso la representación de ambos tipos de

función es la misma; véase Antelo (2000))

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Ejercicio 1: ¿Qué tipo de función es βα21)( xxxf −= , para 0, >βα ?

Pequeño problema: Cómo es la función 3)( xxf = en R? Hacer. Veréis que no es cóncava ni tampoco

convexa [cóncava en (-∞,0) y convexa en (0, ∞)]. PERO, en todo R ¿qué es?...

…La existencia de funciones como la anterior obliga a definir una caracterización funcional (quizás) menos

“fuerte” que la concavidad/convexidad.

Otro problema adicional añadido a éste:

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Transformación Monótona de una función: Dada una función RxfRXxf n ∈→⊂∈ )(: una TM de f es otra

función h (lineal o no), h=g(f(x)), estrictamente creciente de f, i.e., 0>′g .

Ejemplos de TM de una función: Sumar o restar un escalar a la función, Multiplicar por un escalar positivo,

elevar la función a un exponente impar, tomar el logaritmo de dicha función, tomar la exponencial,…

OJO: Diferenciar esto de una transformación afín!! Importante para el análisis de la función de utilidad

en certidumbre y la función de utilidad (esperada) en incertidumbre.

Nos gustaría (para nuestro análisis económico) que cualquier TM de una función cóncava tb fuese cóncava.

Pero esto no está garantizado que sea cierto.

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Ejemplo 1: RRf →: definida como xxf =)( es cóncava para todo Rx∈ ( 0≤′′f ). Sin embargo, la función

RRh →: definida como 3))(( xxfgh == es una TM de f, pero no es cóncava para todo Rx∈ , i.e. en (-∞,-∞),

como lo era f; es cóncava tan solo en (-∞,0), en tanto que pasa a ser convexa en (0,∞).

Entonces, para qué tipo de funciones lo anterior es cierto? Para las que son cuasicóncavas.

5. Cuasiconcavidad / Cuasiconvexidad

Cuasiconcavidad: RxfRXxf n ∈→⊂∈ )(: es cuasicóncava sobre X

(i) sii para todo Xzx ∈, y para todo [ ]1,0∈α , )}(),(min{))1(( zfxfzxf ≥−+ αα .

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(ii) sii el conjunto })(/{ kxfXx ≥∈ es convexo (Podéis imaginar ya las curvas de indiferencia? Cómo

son?,…)

Ejemplo 1 (continuación): Comprobar que la función 3)( xxf = es cuasicóncava en todo R.

(iii) sii su Hessiano orlado (con las primeras derivadas parciales de la función) es una matriz sdn. Hessiano

orlado es:

nnnn

n

n

fff

fffff

1

1111

1 ...0

M y es matriz sdn si sus menores principales que conservan la orla alternan de

signo, empezando con signo no-positivo: -, +, -, +,…

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00

111

1 ≤fff , 0

0

22212

12111

21

≥ffffffff

, …

Ejercicio 2: Resolver Ejercicio 0.6, Antelo (2003).

Resultado: Concavidad implica cuasiconcavidad, pero lo contrario no está garantizado

Resultado: Cualquier función RRf →: monótona decreciente es cuasicóncava (pero no cóncava)

Sea la función (Cobb-Douglas) βα2121 ),( xxxxu = .

(i) Probar que dicha función es cuasicóncava

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(ii) Probar que si 1>+ βα , no es cóncava (demostrando así que no todas las funciones cuasicóncavas son

cóncavas)

Otra función que utilizaremos mucho es la potencial: αxxf =)( , 10 ≤≤α .

Probar que es cóncava (y, por lo tanto, cuasicóncava). ¿Cuándo es e-cóncava?

La forma multivariante de la función potencial es βα2121 ),( xxxxf += .

(i) Probar que también es cóncava (y cuasicóncava).

(ii) Una forma de incorporar efectos de “escala” en esta función es utilizar la TM δβαδ ][)]([))(( 21 xxffg +=⋅=⋅ ,

donde 0>δ . ¿Mantiene esta TM la concavidad de la función f?, ¿Es g cuasicóncava?

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Cuasiconvexidad: Ver Antelo (2000), pp. 19 y ss.

Representación gráfica de una función cuasicóncava y cuasiconvexa: Es igual; sólo cambia el sentido en el

que la función crece. Ver Antelo (2000), pp. 20-21.

6. Optimización. Programación No Lineal

a) Sin restricciones (No propia de la economía)

MAX f(x), MIN f(x) CPO

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b) Con restricciones o condicionada:

• por una o varias restricciones (lineales) en forma de igualdad → CPO aplicadas al lagrangiano

• por una o varias restric. en forma de desigualdad→ Se generaliza el método de Lagrange; Teorema

de Kuhn-Tucker

Ejercicio: Sea la función :),( 221 RRxxf → definida como 2

22121 ),( xxxxf += . Resolver:

MAX ),( 21 xxf ; MIN ),( 21 xxf

CPO (Necesarias)

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Jacobiano de f es la matriz )2,2()( 21 xxDf =⋅ .

Se necesita resolver el sistema de ecuaciones )0,0()2,2()( 21 ==⋅ xxDf . La solución es el punto )0,0(),( 21 =xx .

Punto Crítico

C.S.O. (Suficientes):

Hessiano de f es

=

2002

(.)2 fD . Evaluada en el punto (0,0), resulta

=

2002

)0,0(2 fD .

Cómo es la función objetivo?

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Menores principales del Hessiano: 021 ≥=M , 042 ≥=M . Como no siguen el patrón -, + ⇒ la función no es

localmente cóncava ⇒ no tiene un máx irrestricto en el punto (0,0), sino un mín irrestricto.

De hecho, los menores siguen el patrón 0≥ , 0≥ , 0≥ ,… H es sdp la función es (localmente) convexa en

el punto (0,0) este punto no puede ser max.

El max (no finito) de la función está situado en los puntos (∞,∞), (∞,-∞), (-∞,∞) y (-∞,-∞)

Resolver ahora

22

21 xxMAX + , s.a: 221 =+ xx ; 2

221 xxMIN + , s.a: 221 =+ xx

22

Ahora tenemos una fn objetivo, 22

21)( xxf +=⋅ , y otra función más, 02)( 21 =−+=⋅ xxg , que define el conjunto

en el que optimizamos la fn objetivo. Fuera de este conjunto, nada importa.

Hemos visto cómo atacar problemas de optimización: resolviendo un sistema de ecuaciones.

Sin embargo, cuando existen (una) restricción s/ las vs, surge una ecuación adicional (la restricción) sin que

haya vs adicionales ⇒ el sistema de ecuaciones está sobredimensionado.

La técnica lagrangiana introduce una variable adicional (el multiplicador) y no sólo ayuda a resolver el

problema (pasamos a tener 1+n ecs con 1+n incógnitas), sino que en determinados contextos económicos

tiene una interpretación muy útil (VER CAPS. 1 y 2 por ejemplo)

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Importante: Bolzano-Weierstrass. Función objetivo continua y conjunto definido por la restricción

compacto garantiza que la función alcanza MAX y MIN condicionados (estando, además, en el conjunto

definido por la restricción).

En este caso, el conjunto }2/),{( 2121 =+ xxxx NO es acotado. Por lo tanto, la función puede tener (o no tener)

MAX y MIN en dicho conjunto.

Función auxiliar de Lagrange:

)2(),,( 2122

2121 −+−+= xxxxxxL λλ

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donde λ es la variable adicional (además de las x’s) llamada multiplicador de Lagrange.

Ahora se trata de MAX esta función (el cual es ya un problema no condicionado). Podemos aplicar lo de

antes:

Matriz de primeras derivadas (CPO)

)2,2,2(),,( 212121 +−−−−= xxxxxxDL λλλ

Resolviendo el sistema de CPO, )0,0,0(),,( 21 =λxxDL , se obtiene el candidato a óptimo restringido

)1,1(),( 21 =xx , con 2=λ . (Punto extremo).

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Matriz de segundas derivadas (CSO)

Ahora tendremos una Hessiana ampliada con filas y columnas para reflejar el problema sin restricción

(equivalente al problema con restricción que tenemos).

A partir de 1L y 2L , el Hessiano orlado es

=

=⋅

2010211100

)(

22212

12111

21

LLgLLggg

H .

Para que la función sea cuasicóncava, H debe ser sdn: menores con orla deben seguir el patrón -, +, -, +, …

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Para MIN, H debe ser sdp: menores deben seguir el patrón +, +, +,…

Evaluado en el punto anterior resulta

=

201021110

)1,1(H . Los menores (conservando la orla) son:

12110

−= y 4201021110

−= .

Dado que no alternan de signo, NO es una función cuasicóncava el punto )1,1(),( 21 =xx NO es un MAX

local restringido de la función (de hecho es un MIN local restringido)

Los MAX restringidos de la función están situados en los puntos )0,2( y )2,0( .

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Representación de esta función: circunferencias con centro en (0,0). En el contexto de la utilidad,

corresponde a una función de utilidad de preferencias estrictamente cóncavas (Solución de esquina!!)

Interpretación del multiplicador de Lagrange (Averiguar)

Con más de una restricción: Similar. Introducimos tantos multiplicadores de Lagrange como restricciones

haya (Ver arriba)

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Con 2 restricciones, g(x1,x2) y h(x1,x2), entonces:

=⋅

222121

121121

21

21

0000

)(

LLhhLLgghhgg

H , etc.

Con restricciones en forma de desigualdad (Problemas típicos de la economía)

Es el tipo de Problema más general posible de Programación Lineal (PPL) o No Lineal (PPNL).

En un PPL, una función lineal es optimizada sujeta a restricciones lineales en forma de desigualdad.

En un PPNL:

(i) la función objetivo o alguna de las funciones restricción es no lineal,

(ii) o las restricciones tienen forma de desigualdad,

(iii) o ambas condiciones se verifican simultáneamente

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Las CPO (de Kuhn-Tucker) son similares a las CPO en problemas con restricciones en igualdad, pero con

dos diferencias:

1. Basta con que las derivadas parciales de la función auxiliar de Lagrange c.r.a. cada variable y a los

multiplicadores sean no-positivas (para MAX), no-negativas (para MIN)

2. Surgen las condiciones de holgura complementaria (CHC) (que antes no existían). (Ver pp. 30 y ss. de

Antelo (2000)).

Las CSO vuelven a ser las asociadas a la caracterización de la función objetivo

Ejemplo: 642 +−− xxMAX , s.a: 0≥x

30

En problemas de MAX, es útil (re)escribir las restricciones en forma 0≤ . En este caso,

642 +−− xxMAX , s.a: 0≤− x

Lagrangiano es

)(64() 2 xxxL −++−−= λ

Como sólo hay una variable y una restricción, las 6 CPO de Kuhn-Tucker, 3 (1+1), son:

042)( ≤−−=′≡∂∂ xxf

xL (1)

31

0)42()( =−−=′≡∂∂ xxxfx

xLx (CHC) (2)

0≤−=∂∂ xLλ

(3)

0)( =−=∂∂ xL λλ

λ (CHC) (4)

0≥x (5)

0≥λ (6)

Se trata de resolver el sistema (1)-(6). Una buena regla consiste en empezar por la CHC. Los valores que

satisfacen (2) son 0=x y 2−=x . La condición (5) elimina 2−=x como posible solución, dejando sólo 0=x .

Finalmente, comprobamos que 0=x tb satisface la condición (1), por lo que la solución es 0* =x

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Si 0* =x , entonces 0* >λ : La restricción se satura.

Comprobar que la función objetivo es cuasicóncava

En problemas de MIN,

(i) Es útil escribir las restricciones en forma 0≥

(ii) Cambia es el signo de las derivadas con respecto a la vs a minimizar: pasa a ser 0≥

Ejercicios 0.3, 0.6, 0.14, 0.15, 0.17, 0.19 y 0.20 de Antelo (2003).