Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de Electricidad

Representacin por Suma de Productos y Producto de Sumas

En la seccin anterior vimos las definiciones bsicas para comprender los mtodos de sntesis de circuitos lgicos. En esta leccin se explicarn los dos primeros de estos mtodos para sintetizar circuitos lgicos.

Mtodo de Suma de Productos (SDP)

La suma de productos de una funcin lgica es la suma de los mintrminos correspondientes a las lneas de la tabla de verdad para las que la funcin produce una salida igual a 1. La funcin obtenida es la suma de productos.

Ejemplo

Obtener la suma de productos para la funcin lgica de la tabla 2.3.1.

Lnea A B C Funcin de salida F10 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 04 1 0 0 15 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 1 1

Tabla 2.3.1.Tabla de verdad para la funcin lgica F1

La funcin puede ser expresada conformando un trmino mnimo por cada combinacin de variables que producen un 1 en la funcin para luego obtener la suma de todos los trminos. La funcin lgica para la tabla 2.3.1 se determina expresando las combinaciones 010, 100, 101 y 111 como A'BC', AB'C', AB'C y ABC:

F1= A,B,C( 2,4,5,7)= A'BC' + AB'C' + AB'C + ABC.

Cada mintrmino de la funcin anterior representa una compuerta AND de tres entradas y la implementacin de la funcin es posible a travs de la aplicacin de la operacin OR a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el nmero total de compuertas AND depender del total de mintrminos de la expresin. El circuito se muestra en la figura 2.3.1.

Sistemas Digitales: Productos Estandar 1

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Figura 2.3.1. Circuito lgico para la funcin lgica F1.

En una suma de productos se cumple la igualdad de la funcin al valor lgico 1 si al menos uno de sus trminos productos es igual a 1.

Sistemas Digitales: Productos Estandar 2

Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de ElectricidadEjemplo

Obtener la suma de productos para la funcin lgica de la tabla 2.3.2.

A B F20 0 00 1 11 0 11 1 0

Tabla 2.3.2.Tabla de verdad de la funcin F2.

En la tabla de verdad existen dos condiciones para las cuales la salida es 1. Estas son las siguientes:

La primera se presenta cuando A es Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de esta condicin se puede expresar como el producto lgico:

AB

La segunda condicin se presenta cuando A es 1 y B es 0. Esta condicin ocasiona un resultado 1, si el producto lgico es:

AB

Como cualquiera de estas 2 condiciones hace que la salida sea 1, entonces la funcin lgica que los representa es la suma lgica de los productos anteriores:

F2= AB + AB = A B

La representacin de la funcin anterior con compuertas OR y AND se muestra en la figura 2.3.2.

Figura 2.3.2. Funcin F2 utilizando compuertas AND Y OR

Esta funcin corresponde a la funcin OR exclusiva, cuya compuerta se representa en la figura 2.3.3.

Figura 2.3.3. Smbolo lgico de la funcin OR - exclusiva.

Sistemas Digitales: Productos Estandar 3

Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de ElectricidadEjemplo

Obtener la funcin SDP para la funcin lgica de la tabla 2.3.3. Simplificar la funcin y dibujarla.A B F30 0 10 1 01 0 01 1 1

Tabla 2.3.3.Tabla de verdad de la funcin F3

Utilizando suma de productos para las lneas 1 y 4 de la tabla se obtiene,

F3=A'B'+ AB, simplificando

F3=(A+B) + AB

F3= (A B)'

El circuito lgico de la funcin anterior se muestra en la figura 2.3.4.

Figura 2.3.4. Funcin F3 utilizando compuertas AND, NOR y OR.

El smbolo lgico de la compuerta NOR - Exclusiva se muestra en la figura 2.3.5.

Figura 2.3.5. Smbolo lgico de la funcin NOR - exclusiva

Conversin de una expresin lgica a formato de suma de productos

La metodologa empleada en la transformacin de una suma de productos a su forma estndar se basa en el teorema 6 (Ver leccin 1 parte 2), que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes:

Los trminos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un trmino formado por dicha variable ms el complemento de la misma (teorema 6).

Repetir el paso 1 para todos los trminos de la expresin que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los trminos intervenidos.

Ejemplo

Convertir la expresin booleana AB.C' + BC + A' a su forma estndar.

El dominio de la expresin es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato estndar para el segundo y tercer trmino producto. Sobre ellos se aplicar el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresin:

Trmino BC

BC = BC (A+A') = ABC + A'BC

Trmino A

Sistemas Digitales: Productos Estandar 4

Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de ElectricidadA' = A'(C+C') = A'C+A'C' ; la expresin an no tiene el formato estndar, entonces multiplicamos cada trmino por (B+B')A'C(B+B') +A'C'(B+B') = A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C'

La expresin en su formato estndar es:

AB.C' + BC + A' = ABC + A'BC + A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C'

Mtodo de producto de sumas (PDS)

El producto de sumas de una funcin lgica es la multiplicacin de los maxtrminos correspondientes a las lneas de la tabla de verdad para las que la funcin produce una salida igual a 0. La funcin obtenida es el producto de sumas.

Ejemplo

Obtener el producto de sumas para la funcin lgica de la tabla 2.3.4.Rengln o lnea A B C Funcin de salida F4

0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 04 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1

Tabla 2.3.4.Tabla de verdad para la funcin lgica F4

La funcin puede ser expresada conformando un trmino mximo para cada combinacin de variables que producen un 0 en la funcin y luego obtener el producto de todos los trminos. La funcin lgica para la tabla 2.3.4 se determina expresando las combinaciones 000, 001, 011 y 110 como (A+B+C),(A+B+C'),(A+B'+C') y (A'+B+C). La funcin lgica es la siguiente:

F4= A,B,C( 0,1,3,4)= (A+B+C)(A+B+C')(A+B'+C')(A'+B+C).

Cada maxtrmino de la funcin anterior representa una compuerta OR de tres entradas y la implementacin de la funcin es posible a travs de la aplicacin de la operacin AND a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el nmero total de compuertas AND depender del total de mintrminos de la expresin. El circuito se muestra en la figura 2.3.6.

Figura 2.3.6. Circuito lgico para la funcin lgica F4Sistemas Digitales: Productos Estandar 5

Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de ElectricidadUn producto de sumas es igual a 0 si al menos uno de los trminos suma es igual a 0.

Ejemplo

Obtener el producto de sumas para la funcin lgica de la tabla 2.3.5.

A B F50 0 00 1 11 0 11 1 0

Tabla 2.3.5.Tabla de verdad de la funcin OR - exclusiva

Considere el complemento de la funcin de Boole F5. Este puede obtenerse de la tabla 2.3.5. formando un trmino mnimo por cada combinacin que produce un cero y luego haciendo la suma de los trminos. El complemento de F5 se expresa as:

F5' = A'B' + AB

La expresin F5 se obtiene la negar F5':

F5 = (F5')' = (A'B' + AB)' =(A'B')'(AB)' = [(A')'+(B')'](A'+B') = (A+B)(A'+B')

Si cualquiera de los trminos del PDS es cero, la funcin es cero.

De los 2 mtodos anteriores, se pueden escoger algunos criterios para aplicar un mtodo u otro, siendo estos los siguientes:

Si en la ltima columna de la tabla de verdad, o sea en la columna que indica los resultados, s predominan los ceros es ms conveniente utilizar las suma de productos.

Si en la columna que indica los resultados, predominan los unos, es ms conveniente utilizar el mtodo del producto de sumas.

Sistemas Digitales: Productos Estandar 6

Representacin por Suma de Productos y Producto de SumasMtodo de Suma de Productos (SDP)Conversin de una expresin lgica a formato de suma de productosMtodo de producto de sumas (PDS)