CAPÏTULO 1

EXACTITUD, ERRORES, INCERTIDUMBRE

METROLOGÍA ELÉCTRICA C1- 1

CAPÍTULO 1.

EXACTITUD, ERRORES EN LAS MEDICIONES E INCERTIDUMBRE EN EL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN.

INTRODUCCION. Cuando el valor de una magnitud1 física se obtiene por medio de una medición, solamente por casualidad el valor obtenido coincide con su valor verdadero2, y aún en el caso extremadamente improbable que este evento ocurra el operador desafortunadamente nunca puede saberlo. El valor de una magnitud física M se expresa por un número {m} que representa la medida de la magnitud y una unidad de medida [m] apropiada, relacionada con la magnitud.

El objetivo de la medición de una magnitud M es la de determinar el valor numérico {m} del mensurando3, esto es, el valor de la cantidad particular a ser medida ,en función de la unidad de medida [m] que corresponde a su valor verdadero μ. En algunas ocasiones M es una magnitud sin unidad de medida, como es el caso de la relación de dos resistencias y aquí solo se busca estimar el valor de dicha relación que es independiente de la unidad de medida de las dos magnitudes. De aquí que una medición comienza con una especificación apropiada del mensurando, el método de medición y el procedimiento de medición4. En general, el resultado de una medición5 sólo es una aproximación o estimación del valor del mensurando y entonces sólo queda completo cuando va acompañado por una declaración de la incertidumbre de esa estimación.

1 NMX-Z-055-1997- IMNC. 1.18. VIM 1.18. 1993. VALOR (DE UNA MAGNITUD). Expresión cuantitativa de una magnitud particular, expresada generalmente en la forma de una unidad de medida multiplicada por un número. NMX-Z-055-1997 - INMC. 1.1. VIM 1.1. 1993. MAGNITUD (MEDIBLE). Atributo de un fenómeno, cuerpo o substancia que puede ser diferenciado cualitativamente y determinado cuantitativamente. 2 NMX-Z-055-1997 - IMNC. 1.18. VIM 1.19. 1993. VALOR VERDADERO (DE UNA MAGNITUD). Valor compatible con la definición de una magnitud particular dada. 3 NMX-Z-055-1997 - IMNC. 2.6. VIM 2.6. 1993. MENSURANDO. Magnitud particular sujeta a medición. 4 NMX-Z-055-1997- IMNC. 2.5. VIM 2.5. 1993. PROCEDIMIENTO (DE MEDICIÓN). Conjunto de operaciones, descritas específicamente, para realizar mediciones particulares de acuerdo a un método dado. 5 NOM-Z-055-1997. - IMNC. 3.1. VIM 3.1. 1993. RESULTADO DE UNA MEDICION. Valor atribuido a un mensurando, obtenido por medición.

[m]}{ . m = M



En la práctica la especificación requerida o definición del mensurando es dictada por la exactitud de la medición requerida. El mensurando se debe definir lo suficiente con respecto a la exactitud requerida para que, para todos los propósitos prácticos asociados con la medición, su valor sea único. Ejemplo. Si la longitud de una barra de acero de nominalmente un metro va a ser determinada por la exactitud de un micrómetro, esta especificación debe incluir la temperatura y presión en la cual la longitud esta definida. Entonces el mensurando se debe especificar como, por ejemplo, la longitud de la barra a 25,00 0C y 101 325 Pa ( más cualquier otro parámetro de definición necesario) así como la manera en que la barra esta sostenida. De otra manera, si la longitud va a ser determinada para una exactitud de sólo milímetros, esta especificación no debe requerir una temperatura o presión de definición o un valor para cualquier otro parámetro de definición. EXACTITUD. Exactitud de medición6 La exactitud de medición la podemos definir como la, proximidad de la concordancia entre el resultado de una medición y el valor verdadero del mensurando. La exactitud de medición es la propiedad global desde el punto de vista de los errores. La exactitud de la medición es tanto mayor cuanto más cerca del valor verdadero están los resultados. El valor verdadero de una magnitud se define como, el valor que caracteriza a una magnitud perfectamente definida, en las condiciones que existen cuando esa magnitud es considerada. Este es un concepto ideal y, en general, no puede ser conocido exactamente, sino que solo se puede tener una estimación de él, por lo que en su lugar, en la práctica, se utiliza el concepto de valor convencionalmente verdadero7, el cual se define como, valor atribuido a una magnitud particular y aceptado, algunas veces por convención, como un valor que tiene una incertidumbre apropiada para un propósito dado. Antes de efectuar una medición, es preciso formarse un concepto claro de la exactitud requerida para el caso de que se trata, y solamente entonces se está en condiciones de elegir acertadamente los métodos y los aparatos más convenientes. No es necesario usar aparatos de gran exactitud para toda clase de mediciones; es más, para muchas de ellas, no sólo es suficiente, sino hasta más conveniente utilizar aparatos de servicio o industriales, como en los casos en que hay que contar con un manejo rudo de parte del operador, o cuando las condiciones del servicio no corresponden a la delicadeza de los instrumentos. Se debe tomar en consideración que un aumento en la exactitud de los aparatos se obtiene en detrimento de las propiedades mecánicas del sistema de medición y que, por lo tanto, un instrumento de mayor exactitud resiste mucho menos un manejo rudo que un aparato industrial. 6 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.5. EXACTITUD DE MEDICIÓN. 7 NMX-Z-055-1997-IMNC. 1.20. VIM 1.20. 1993. VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO (DE UNA MAGNITUD).



La clase e importancia de la medición que se ha de ejecutar, determinará siempre el grado de exactitud de la misma. Así, para verificar las condiciones normales de servicio bastará generalmente la exactitud de un aparato industrial, pero ésta no será suficiente cuando se trata de realizar pruebas de recepción, de determinar rendimientos, o cuando se quiere seguir un proceso hasta en sus más pequeños detalles, o realizar trabajos científicos. Exactitud de un instrumento de medición. La exactitud de un instrumento de medición8 la podemos definir como la aptitud de un instrumento de medición de dar respuestas próximas a un valor verdadero. La exactitud es tanto mayor cuanto más cerca del valor verdadero están las indicaciones. Por lo tanto el error de exactitud de un instrumento de medición lo podemos definir como el error global de una medición en condiciones determinadas. El error de exactitud es la diferencia entre el valor nominal de una medida materializada9 o la indicación de un instrumento de medición10 y el valor convencionalmente verdadero de la magnitud medida. Clase de exactitud de un instrumento de medición (con indicador)analógico . Un concepto relacionado con la exactitud de los instrumentos de medición analógicos11, es lo que se denomina "Clase de exactitud12" y la cual podemos definir como la clasificación de los instrumentos de medición que satisfacen ciertas exigencias metrológicas destinadas a conservar los errores, dentro de límites especificados. Generalmente la cifra que marca la clase de exactitud indica los errores máximos tolerados13, expresados en por ciento, que puede tener el instrumento; por ejemplo, la expresión "ampérmetro de clase de exactitud 0,25" significa que los errores relativos máximos tolerados no exceden al 0,25% de su indicación mayor; a menudo se omite la expresión "de exactitud" y se dice simplemente "ampérmetro clase 0,25". Exactitud nominal de un instrumento de medición con indicación digital. Por otro lado, la exactitud nominal14 de los instrumentos de medición con indicación digital15 se especifica como el límite expresado como un porcentaje de la entrada (Nm) más un

8 NMX-Z-055-1997-IMNC. 5.18. EXACTITUD DE UN INSTRUMENTO DE MEDICION. 9 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.2. MEDIDA MATERIALIZADA. Dispositivo destinado a reproducir o a proporcionar, de manera permanente durante su uso, uno o varios valores conocidos de una magnitud dada 10 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.1. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN. Dispositivo destinado a ser utilizado para hacer mediciones, sólo o asociado a uno o varios dispositivos anexos. 11 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.10. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN (CON INDICADOR) ANALÓGICO. Instrumento de medición cuya señal de salida o indicación es una función continua del mensurando o de la señal de entrada. 12 NMX-Z-055-1997-IMNC. 5.19. Clase de instrumentos de medición que satisfacen ciertos requisitos metrológicos destinados a conservar los errores dentro de los límites especificados. 13 NMX-Z-055-1997.5.21. ERRORES MÁXIMOS TOLERADOS (DE UN INSTRUMENTO DE MEDICIÓN). Límites de los errores tolerados (de un instrumento de medición), valores extremos de un error, tolerados por las especificaciones, reglamentos, y otros para un instrumento de medición dado. 14 NMX-CH-131/1-1993. 3.7. EXACTITUD NOMINAL.



número del dígito(s) menos significativo (cuentas) (Nc), que la incertidumbre no debe exceder cuando el instrumento se usa en condiciones nominales especificadas.

ivos)significat menos digitos de número entrada la de %(Nc)Nm( +±=+±=cu ERRORES EN LAS MEDICIONES. En general, una medición tiene imperfecciones que dan origen a error en el resultado de la medición, es por esto, que el conocimiento de los errores que se puedan apreciar durante la medición es de vital importancia para estimar la confiabilidad de los resultados. El tratamiento de los errores en las mediciones generalmente requiere de una buena experiencia en el laboratorio, en el cual se aprende a vencer con cierta dificultad los problemas que se presentan. Para llegar a un resultado con la exactitud requerida no es suficiente con interconectar aparatos de una buena clase de exactitud sino que se debe definir completamente el mensurando, comprender con amplitud la teoría de los métodos utilizados, conocer en detalle todas las características del equipo que se utiliza, así como hacer mínimos y corregir los factores que influyen en los resultados, y si es necesario, hacer mediciones complementarias y evaluar las posibles fuentes de los errores. Error de medición y corrección. El error de medición16, por simplificación error, lo podemos definir como el, resultado de una medición menos el valor verdadero del mensurando, siendo este último, en la práctica, el valor convencionalmente verdadero.

XXex −= 1

Relacionada íntimamente con el error de medición tenemos la corrección17, la cual se puede definir como, valor agregado algebraicamente al resultado no corregido de una medición, para compensar el error sistemático.

cXX += 1

xeXXc −=−= 1 Error relativo. El error absoluto ex, no suministra información sobre la calidad de la medición, es por esto que es necesario relacionarlo con el valor convencionalmente verdadero. Así tenemos que el error de medición dividido entre un valor verdadero del mensurando le denominamos error relativo 15 NMX-Z-055-1997. 4.11. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN CON INDICACIÓN DIGITAL. Instrumento de medición que proporciona una señal de salida o una indicación en forma digital. 16.NMX-Z-055-1997. 3.10. ERROR DE MEDICIÓN.

17 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.15. CORRECCIÓN.



erx18. Puesto que un valor verdadero no puede ser determinado, en la práctica se utiliza un valor

convencionalmente verdadero. Ejemplo. Dos tensiones, una de 500 volts y la otra de 10 volts, se miden y la diferencia con relación a cada uno de sus valores de comparación es de 1 volt. ¿Cuál es la mejor medición? El error absoluto en los dos casos es igual a, ex = 1 Volt Los errores relativos son iguales a,

002,0500

1500 ===

Xe

e xr

o sea 0,2%.

1,0101

10 ==re

o sea 10%. Evidentemente, de la observación de los cálculos anteriores podemos concluir, que aunque los errores absolutos son iguales, la mejor medición es la correspondiente a la tensión de 500 volts. Fuentes de error. En las mediciones podemos considerar tres fuentes básicas de los errores, estas son: Fallas del elemento sensor primario para reflejar la cantidad medida. Como ejemplo tenemos el caso de la unión de un termopar que está corroída o floja, lo que ocasiona pérdidas de radiación o conducción que dan como resultado que la temperatura de la unión sea diferente de la temperatura que la rodea. Fallas en la parte secundaria o indicadora del instrumento que ocasionan que la respuesta del elemento sensor no sea reflejada fielmente. Como ejemplo tenemos un potenciómetro que da una indicación incorrecta cuando se alimenta de un termopar, debido a una estandarización inapropiada, un desajuste, o un mal funcionamiento de sus componentes ya sean eléctricas o mecánicas. Fallas del observador para obtener correctamente las indicaciones de los instrumentos. Como ejemplo tenemos el caso de una persona que lee incorrectamente la escala de la carátula de un potenciómetro. 18 NOM-Z-055-1997-IMNC.3.12. ERROR RELATIVO.



Si bien las tres fuentes de los errores pueden estar presentes en una medición dada, una u otra pueden ser el problema mayor. Estas fuentes de problemas producen dos clases básicas de errores en las mediciones, siendo éstos el error sistemático y el error aleatorio. Error sistemático. El error sistemático19 se define como, media que resultaría de un número infinito de mediciones del mismo mensurando, efectuadas bajo condiciones de repetibilidad20, menos un valor verdadero del mensurando. Los errores sistemáticos son la componente del error de medición, que durante un número de mediciones del mismo mensurando, permanecen constantes o varían en forma previsible. Las causas de los errores sistemáticos pueden ser conocidas o desconocidas; si su valor se puede determinar por cálculo o por la experiencia, éstos se deben eliminar usando una corrección apropiada; si su valor no se puede determinar, se debe evaluar como una incertidumbre tipo B21, esto es por otros medios diferentes al análisis estadístico. Como ejemplos de errores sistemáticos constantes tenemos, el error que resulta de una pesada realizada por medio de una pesa cuya masa se toma igual a su masa nominal de 1 kg mientras que su valor verdadero convencional es de 1,010 kg; el error que resulta al usar a una temperatura ambiente de 20oC una regla graduada a 0oC, sin introducir la corrección correspondiente; el error que resulta al usar un termómetro termoeléctrico cuyo circuito sufre de efectos termoeléctricos parásitos. Como ejemplo de error sistemático variable tenemos, el error de indicación de un instrumento de medición que surge de una variación sistemática de temperatura durante un número de mediciones consecutivas del mismo valor. Error aleatorio. El error aleatorio22 se define como el, resultado de una medición menos la media de un número infinito de mediciones del mismo mensurando, efectuadas estas en condiciones de repetibilidad. Los errores aleatorios o fortuitos son la componente del error de medición, que durante un número de mediciones del mismo mensurando varía de manera imprevisible. No es posible eliminar el error aleatorio por medio de la aplicación de una corrección al resultado no corregido23 y sólo es

19 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.14. ERROR SISTEMÁTICO. 20 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.6. VIM 3.6. 1993. REPETIBILIDAD (DE LOS RESULTADOS DE MEDICIONES). Proximidad de la concordancia entre los resultados de las mediciones sucesivas del mismo mensurando, con las mediciones realizadas con la aplicación de la totalidad de las siguientes condiciones: 1) Aestas condiciones se les llama condiciones de repetibilidad. 2) Las condiciones de repetibilidad comprenden: el mismo procedimiento de medición; el mismo observador; el mismo instrumento de medición utilizado en las mismas condiciones; el mismo lugar; la repetición dentro de un período corto de tiempo. 21 GUÍA BIM/ISO. 1993. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE TIPO B. Método para evaluar la incertidumbre por otro medio que no sea el análisis estadístico de una serie de observaciones. 22 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.13. 23 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.3. RESULTADO NO CORREGIDO. Resultado de una medición antes de la corrección del errores sistemático.



posible realizar una evaluación de la incertidumbre tipo A24 para estimar sus efectos en el resultado de una medición. La totalidad de la serie de mediciones se debe realizar bajo condiciones de repetibilidad En la práctica es de esperarse que las mediciones posean un error compuesto de errores sistemáticos y errores aleatorios pero con diferentes pesos relativos, dependiendo del tipo de instrumento, método o sistema de medición. Un mismo error puede presentar siguiendo las condiciones de la experiencia, un carácter sistemático o un carácter aleatorio. Como en el error de la graduación de un vóltmetro particular que es manifiestamente sistemático, por el contrario, para diferentes vóltmetros que pertenecen a una misma población (en el sentido estadístico del término) este error presenta un carácter aleatorio. Este es el caso para el conjunto de aparatos de una misma serie de fabricación. Causas de los errores sistemáticos. A diferencia de los errores aleatorios en los cuales es posible aplicar un modelo estadístico, con el fin de evaluar la incertidumbre correspondiente al resultado de una medición, en los errores sistemáticos no se puede justificar un tratamiento igual y solo por medio de un análisis de los fenómenos y condiciones de la medición propia de cada técnica utilizada podemos detectar este tipo de errores. Si bien las causas de los errores sistemáticos son diversas, enseguida describiremos algunas de ellas, tales como las debidas a los instrumentos, a la observación de las indicaciones, a la aproximación en las expresiones utilizadas y al medio ambiente.. Como parte de los errores de los instrumentos tenemos los errores debidos a su construcción, los errores debidos a sus efectos de carga, errores por envejecimiento y errores debidos a daños. Errores sistemáticos debidos a la construcción de los instrumentos. Todos los aparatos de medición tanto del tipo industrial como los patrones poseen errores que son el resultado inevitable de las imperfecciones que surgen durante su construcción, estas imperfecciones sólo se compensan parcialmente durante su calibración25, puesto que la calibración misma es imperfecta, pero aún en el caso de que esta fuera perfecta únicamente sería posible compensar los errores sistemáticos. Entre las imperfecciones podemos citar el rozamiento del eje móvil, el basculamiento de este eje entre los cojinetes, la histéresis elástica del resorte espiral o de las bandas de suspensión, el autocalentamiento de los conductores ( el cual produce variaciones en las propiedades eléctricas y mecánicas de estos), las tolerancias de los elementos que los 24 GUÍA BIMP/ISO. 1993. EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE TIPO A. Método para evaluar la incertidumbre mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones. 25 NMX-Z-055-1997-IMNC. 6.11. CALIBRACION. Conjunto de operaciones que establecen, en condiciones especificadas, la relación entre los valores de las magnitudes indicadas por un instrumento de medición o un sistema de medición, o los valores representados por una medida materializada o un material de referencia y los valores correspondientes de la magnitud realizada por los patrones.



constituyen, etc. Si bien estas imperfecciones tienen un carácter sistemático consideradas aisladamente, al tomarlas en conjunto son tan complejas que según el azar de las circunstancias producen efectos globales en uno u otro sentido con intensidad variable y por consiguiente sus errores correspondientes tienen un carácter aleatorio, por lo que mediante la calibración los errores sólo se pueden mantener dentro de ciertos límites. En los aparatos analógicos, éste error se expresa en forma de errores máximos tolerados26, y generalmente se marcan en sus cuadrantes27, con un número que corresponde a lo que se ha denominado como índice de clase. Estos límites se expresan, como un porcentaje del valor máximo de la escala28. Así, un ampérmetro cuyo alcance y escala es de 5A y tiene marcado un índice de clase de 0.5, tendrá unos errores máximos tolerados iguales a,

Tomando los límites de la incertidumbre relativa valores muy grandes para lecturas pequeñas; por ejemplo, si tenemos una lectura de L=0,4A, sus límites de la incertidumbre relativa en por ciento serán iguales a,

En los aparatos digitales éste error se especifica, en sus manuales de operación, como el límite expresado como un porcentaje de la entrada más un número del dígito(s) menos significativo (cuentas)29, que la incertidumbre no debe exceder. Por ejemplo, un vóltmetro digital cuya especificación de exactitud es igual a ±(0,5% + 2d), en el alcance de 20V, con un intervalo30 de 19,99V o 1999 cuentas, los errores máximos tolerados de construcción para una lectura igual al alcance serán de,

26 NMX-Z-055-1997.IMNC 5.21. ERRORES MÁXIMOS TOLERADOS (DE UN INSTRUMENTO DE MEDICION). Límites de los errores tolerados (de un instrumento de medición), valores extremos de un error, tolerados por las especificaciones, reglamentos, y otros para un instrumento de medición dado.

27 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.27. CUADRANTE. Parte fija o móvil de un dispositivo indicador que porta la o las escalas.

28 OIML 7.4.2.1.2-1982. VALOR MAXIMO DE LA ESCALA. Valor de la magnitud medida correspondiente al valor máximo de la escala.

29 NMX-Z-CH-131/1-1993.3.61. DIGITO MENOS SIGNIFICATIVO (LSD). Es el dígito más a la derecha del exhibidor y su correspondiente valor asociado en "BCD" (Código decimal binario).

30 NMX-Z-CH-131/2. 1993. 3.93. INTERVALO. Es una banda continua de valores de una señal de entrada que pueden ser medidos.

100

ALCANCE X CLASE DE INDICE = uc

A025,0100

55,0 =

= ±

×±

3,6 100 x 0,40,025 = 100 x

L±≈

±u = ur% cc

Nc) + entrada la de (% = Nc) + (Nm ±± = uc



donde Nm es el error en cuentas o dígitos, relacionado con la magnitud de la señal de entrada y expresado en X% de la señal de entrada, y Nc es el número fijo de cuentas o dígitos menos significativos que establece la exactitud nominal31. De aquí que,

V12,0dígitos o cuentas12)210( ±=±=+±=cu y los límites de los errores relativos tolerados en por ciento serán,

Si tuviéramos una lectura igual a 6,00V o 600 cuentas, los límites de la incertidumbre, para esta condición serán iguales a,

dígitos3600100

5,0Nm =×=

V05,0dígitos5)2(3Nc)Nm( ±=±=+±=+±=cu

y en por ciento,

Errores sistemáticos debidos al efecto de carga de los instrumentos. Es indispensable tener en cuenta que la magnitud que se mide inevitablemente se altera con el proceso de la medición misma. Por ejemplo, un vóltmetro bien calibrado puede dar un valor menor que el debido, y por consiguiente una indicación errónea si se conecta a través de dos puntos de alta resistencia. Los instrumentos de medición siempre cambian en algún grado las condiciones del circuito donde se incluyen, algunas veces su efecto es tan pequeño que se puede despreciar, como cuando se conecta un vóltmetro a una fuente de gran potencia; algunas veces su efecto no se considera despreciable y este se debe corregir por medio de cálculos; otras veces, la presencia del aparato de medición produce un gran cambio en las condiciones del circuito alterándolo radicalmente, como sucede si se conecta un vóltmetro de baja resistencia a la placa o a la rejilla de un tubo de vacío de un amplificador, una solución para evitar esta condición es utilizar un instrumento más adecuado, que en este caso sería un vóltmetro de alta resistencia o un vóltmetro de vacío. Otro ejemplo del efecto de carga de los instrumentos, es el que se produce al obtener la curva de resonancia de un circuito RLC con un ampérmetro de diferentes alcances, con el cual se obtiene

31 NMX-Z-CH-131/2-1993. APENDICE A.

y V,0,10 = gitosíd o cuentas 10 1999 x 1000,5 = Nm ±±≈±

60,0100199912 = ur% c ±≈×±

83,01006005 = = ur% c ±×±



una curva no continua, debido a las diferentes resistencias e inductancias de los diferentes alcances. Por lo anterior, siempre se debe tomar en cuenta, en el plan de la medición, los efectos de carga que pueda tener el equipo de medición sobre el circuito bajo medición. Como ejemplo, consideremos el circuito sencillo de la figura número 1, que puede ser el circuito equivalente de un arreglo más complicado. Sea AM un ampérmetro digital de corriente directa, con un alcance de 20mA, cuyas especificaciones indican que tiene una tensión de carga de 0,20V. E es una fuente de corriente directa de 5V con una resistencia interna RF de 1Ω, y R es una resistencia de 400Ω a la cual se le quiere medir la corriente que circula por ella.

La corriente que toma la resistencia R cuando no se ha intercalado el ampérmetro es igual a,

La corriente en la resistencia R, cuando se intercala el ampérmetro en el circuito es igual a,

El valor de la resistencia del ampérmetro se puede calcular observando las especificaciones del aparato, esto es,

De donde,

mA12,47 = A01247,040015 = +

= R + R

E = IF

R + R + R

E = IAF

A

Ω10 = 10 x 20

,200 = ALCANCE

CARGA DE TENSION3-

= RA

FIGURA NÚMERO 1

AM AM

E

RF

R



Lo que representa un error sistemático relativo en por ciento, por efecto de carga, de

De otra forma tenemos que el error relativo también se puede expresar como,

Donde R1=RF+R Para nuestro ejemplo tendremos que,

Valor que corresponde al que se había calculado anteriormente, en función de las corrientes. Haciendo RA=R1/n se ha construido la tabla número 1, en la que se puede ver que RA debe ser mucho menor que la resistencia combinada de la fuente y el resistor R para que el error por efecto de carga sea despreciable. Un análisis de los efectos de carga introducidos por los vóltmetros, en comparación con la resistencia del circuito da una tabla similar a la de la tabla número 1, con la diferencia de que en este caso la resistencia del aparato debe ser mucho mayor que la resistencia del circuito. TABLA NUMERO 1.

n ERROR POR EFECTO DE CARGA %

1 10 100 1000 10000

50 9,1 0,99 0,10 0,01

mA12,17 = A01217,0400101

5 = ++

= I A

4,210047,12

47,1217,12100 - = =

II - I = %e A

r ×−

×

100100 ×× R + R

R - =

RE

RE -

R - RE

= %eA1

A

1

1A1r

4,2100104001(

10 - = + ) +

- = %er ×



Errores sistemáticos debidos al envejecimiento de los instrumentos. A medida que el equipo envejece es posible que se tengan cambios ligeros en algunas de sus componentes y éstos pueden afectar a sus especificaciones. Por lo que es necesario calibrar los instrumentos a intervalos regulares para estar seguro de que están funcionando dentro de sus especificaciones o de lo contrario hacer las correcciones necesarias. Errores sistemáticos debidos a instrumentos dañados. Estos se presentan cuando por descuido o ignorancia se usa un instrumento que ha sido dañado. Como un ejemplo simple, tenemos el caso de la medición de una longitud que se hace con un metro de madera, en el cual después de un cierto número de mediciones se ha desgastado el extremo donde se encuentra el cero, o en el caso de una medición eléctrica, el uso de un ampérmetro que se ha dañado debido a una sobrecarga; en ambos casos tanto las lecturas presentes como las futuras no son de confiar. Una persona con verdadero sentido de lo que es una medición siempre tiene una vigilancia estrecha de las condiciones de su equipo. Errores sistemáticos de observación32 e indeterminación. Estos son los que comete el observador durante el proceso de una medición. Como ejemplo, tenemos el error que se comete en una medición de la intensidad luminosa efectuada por medio de un fotómetro de contraste, debido a una igualación incorrecta de las dos zonas; otro ejemplo es, el error que se comete en una medición efectuada con un puente de corriente alterna debido a una regulación incorrecta de la intensidad mínima del sonido del receptor de audio; otro ejemplo más es, el error que se comete en las mediciones en las cuales está involucrado el tiempo, debido a una anticipación o retardo al obtener la señal. Uno de los errores de observación que merece una mención especial es el error de lectura33 de los aparatos indicadores, el cual es el que resulta de la lectura inexacta de la indicación de un instrumento de medición por el observador; este error lo podemos dividir en dos partes, siendo estas el error de paralaje34 y el error de interpolación35. El error de paralaje, es el error de lectura que se comete cuando estando el índice a cierta distancia de la superficie de la escala, la lectura no se efectúa en la dirección de la observación prevista para el instrumento utilizado. El error de interpolación, es el error de lectura resultante de la evaluación inexacta de la posición del índice con relación a dos marcas vecinas entre las cuales está situado. El error de lectura se expresa como parte de una división. Por supuesto que el error de lectura también depende de la construcción de la escala del instrumento, en algunos casos puede ser de 0,1 de división y en otros mucho mayor; la mayoría de los instrumentos de medición que se utilizan en los laboratorios tienen escalas provistas de espejos y en algunos casos también tienen verniers, con el objeto de disminuir el error de lectura. 32 OIML. 1982. 8.5. ERROR DE OBSERVACION.

33 OIML. 8.5.1. 1982. ERROR DE LECTURA.

34 OIML.8.5.1.1. 1982. ERROR DE PARALAJE.

35 OIML. 8.5.1.2. 1982. ERROR DE INTERPOLACION.



FIGURA NÚMERO 2. EJEMPLO DE ERROR DE PARALAJE. Como ejemplo de la determinación del error de interpolación, consideremos que se tiene un wáttmetro analógico, con una escala prácticamente uniforme, con 120 divisiones y que debido al grueso de su aguja y a que cuenta su escala con un espejo, se puede distinguir ± 0,1 de división. Los límites del error relativo, debidos al error sistemático de interpolación, en algunas partes de la escala serán, Para 20 divisiones,

Para 60 divisiones,

Para el final de la escala,

100 x LEIDASDIVISIONES

DISTINGUIR PUEDE SE QUE DIVISION DE FRACCION = r%e i

5,0100

201.0 = = ×

0,17 = 100 x 600,1 = ir%e

0,08 = 100 x 1200,1 = ir%e



Errores sistemáticos debidos a aproximación en las expresiones. Este error se debe a la aproximación que se hace al determinar por medio de una expresión aproximada el valor de una magnitud medida. Por ejemplo, la medición de una fuerza por medio de un dinamómetro de elemento elástico para el que se supuso una relación lineal entre la deformación y la fuerza, mientras que en realidad la relación entre estas dos magnitudes no es lineal. Otro ejemplo más lo tenemos en la ecuación de equilibrio del puente doble de Kelvin,

La cual en la práctica, dadas las características de las resistencias del puente, se aproxima a la ecuación,

que es mucho más fácil de manejar, si bien da lugar a un error debido a que se han despreciado los términos entre corchetes. Errores sistemáticos debidos al medio ambiente o condiciones externas. Cuando se miden magnitudes eléctricas con cierta exactitud no hay que perder de vista las posibles influencias de los elementos exteriores sobre el instrumento empleado. Estos elementos pueden falsear completamente la medición. Los errores relativos que resultan de los elementos exteriores generalmente son difíciles de evaluar, pero se pueden reducir o volver despreciables por medio de una concepción conveniente del arreglo utilizado, en general se hace un esfuerzo para suprimirlos o disminuirlos ya sea desde la causa o de sus efectos. Sin agotar el tema citaremos algunas de las principales influencias exteriores que se pueden presentar, según las circunstancias. Los campos magnéticos parásitos pueden crear un par perturbador (o una fuerza perturbadora) sobre el elemento móvil de ciertos instrumentos de medición, también pueden inducir fuerzas electromotrices parásitas en los circuitos. Estos campos son por ejemplo, el campo terrestre, el campo de fuerza de un imán permanente de un aparato, el campo creado en una corriente por un conductor (una corriente de un Amperé crea un campo de alrededor de 16 A/m a un centímetro de distancia). Un campo demasiado intenso puede alterar el imán permanente de un instrumento magnetoeléctrico. Para disminuir la influencia de estos campos parásitos se siguen, según las circunstancias, las prácticas siguientes: alejar u orientar los elementos de la causa, acorazar los instrumentos, o volverlos astáticos, o tomar la media de dos lecturas realizadas con dos sentidos de

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛rr -

RR

r + r + JJ r + R

RR = R

2

1

2

1

21

23

2

1X

R RR = R 3

2

1X



corriente, evitar a lo largo de la construcción de un circuito realizar rizos alrededor de los instrumentos, etc. Los campos eléctricos parásitos también pueden alterar las mediciones. Por ejemplo, la posible acción de un campo eléctrico sobre un instrumento electrostático que no esta provisto de una pantalla, o la atracción electrostática entre las bobinas de un wáttmetro electrodinámico mal intercalado. También señalaremos que frotando una tela sobre el vidrio que protege la carátula de un instrumento de medición se pueden producir cargas eléctricas que atraen y hacen desviar el índice, aún si el instrumento no está conectado. Para hacer desaparecer las cargas es suficiente con humedecer el vidrio, por ejemplo, soplando sobre él; en algunos aparatos el vidrio o el material utilizado en su lugar generalmente es conductor por lo que no se produce este fenómeno. Las capacitancias parásitas que aparecen entre las diversas partes de un circuito y el exterior pueden producir perturbaciones importantes, sobre todo en los instrumentos de medición de alterna. Las fuerzas electromotrices parásitas pueden hacer circular corrientes perturbadoras en los circuitos cerrados o producir diferencias de potencial entre las terminales de un circuito abierto. Las fuerzas electromotrices debidas al contacto entre materiales de diferente naturaleza pueden alcanzar valores del orden de un volt (en un circuito metálico isotérmico cerrado la suma de las fuerzas ahí engendradas es nula, lo mismo que para un circuito isotérmico abierto en el cual los materiales de los extremos son de la misma naturaleza). En principio se puede suprimir el efecto de estas fuerzas electromotrices debidas a los contactos, tomando la media de las mediciones realizadas antes y después de la inversión de la polaridad de la fuente de continua utilizada. Las fuerzas electromotrices termoeléctricas, entre dos puntos de un mismo metal a dos temperaturas diferentes (por ejemplo, para el cobre es alrededor de 2,2μV/oC); entre las uniones de dos metales diferentes (para las uniones cobre-constantan, son de 40 a 50 μV por grado centígrado de diferencia de temperatura entre las uniones). Para disminuir los efectos debidos a estas causas es necesario evitar tocar las uniones, o si es posible, esperar que todos los elementos alcancen la misma temperatura antes de hacer la medición; también se pueden disminuir realizando mediciones con los dos sentidos de corriente. Si las resistencias útiles que intervienen en un circuito de medición son pequeñas, hay la posibilidad de que las resistencias parásitas tengan influencia, tales resistencias son debidas a los contactos y a los conductores de unión. Para disminuir estas resistencias parásitas, es necesario utilizar conductores lo más cortos posibles y efectuar buenos contactos. Por ejemplo, la resistencia de contacto para los postes de latón reunidos en una clavija es del orden de 0,4 mΩ, si los postes están limpios y bien apretados; pero si estas condiciones no se cumplen, la resistencia puede tomar valores entre 10 y 100 veces mayores y algunas veces más. Por otra parte, un conductor de cobre de un milímetro de diámetro, por ejemplo, tiene una resistencia de alrededor de 0,02 Ω por metro de longitud a 20oC. Los defectos e imperfecciones del aislamiento del circuito bajo medición, sobre todo cuando la tensión es elevada, producen corrientes de fuga perturbadoras que pueden circular a través de los aislamientos y superponerse a la intensidad de corriente útil que atraviesa los instrumentos de



medición. Lo anterior se disminuye vigilando los aislamientos, además de que en el caso de resistencias útiles elevadas se utilizan anillos y placas de guarda para desviar las corrientes de fuga. Las piezas conductoras localizadas en la vecindad de los circuitos recorridos por corrientes variables pueden ser asiento de corrientes de Foucault que reactúan sobre estos circuitos. Así las corrientes inducidas en una placa metálica localizada en la proximidad de una bobina disminuyen la inductancia propia aparente de esta última (por disminución del flujo) y aumenta su resistencia aparente (por crecimiento de las pérdidas). Si la pieza es de material ferromagnético, a estos efectos se superpone la influencia de cambio de permeabilidad del medio (crecimiento de la inductancia propia, aumento adicional en las pérdidas a causa de la histéresis). La influencia de la frecuencia y la forma de onda de la corriente sobre la indicación de ciertos instrumentos de medición también produce errores, la frecuencia tiene más influencia en cuanto son más elevadas las características de las resistencias, de las bobinas y de las capacitancias. Por otra parte, se debe prever una construcción especial para el material destinado a las mediciones en frecuencias altas. La temperatura tiene influencia sobre la fuerza electromotriz de una pila patrón, sobre el valor de las resistencias, sobre las propiedades mecánicas y eléctricas de los instrumentos de medición. En particular, se deben evitar sobrecargas permanentes en los instrumentos y se les debe poner a cubierto de fuentes de calor exteriores. Otras influencias que si bien no afectan a todos los instrumentos, pero que con frecuencia son importantes, son la humedad, la presión barométrica, el campo gravitacional, la presencia de humos u otros compuestos extraños en el aire, y el ruido. Detección de los errores sistemáticos. Comparación con la medición de una magnitud conocida de la misma naturaleza. El método que con más frecuencia se emplea para poner en evidencia los errores sistemáticos que están involucrados en un método de medición, consiste en medir con el mismo método una magnitud conocida de la misma naturaleza y de un valor igual o cercano al valor de la magnitud medida. Este método permite descubrir una desviación entre la indicación del instrumento de medición y el valor de la magnitud medida. También se utiliza para verificar si un instrumento cumple con ciertas especificaciones dentro de las tolerancias permitidas. Así se obtienen resultados que en general difieren entre ellos, esto permite poner en evidencia los errores sistemáticos.



Medición de la magnitud con un instrumento diferente. El valor numérico de la magnitud desconocida se determina midiendo esta con instrumentos de características metrológicas diferentes. Medición de la misma magnitud con métodos diferentes. En ciertos casos es posible obtener el valor de una magnitud utilizando dos métodos independientes basados en principios físicos diferentes. Medición de la misma magnitud con diferentes sistemas de medición o en condiciones con medio ambiente variable. Una variación controlada de ciertos parámetros relativos al medio ambiente o al proceso de operación permite poner en evidencia algunos errores sistemáticos. Comparación entre laboratorios. La comparación de los resultados obtenidos en pruebas, en diferentes laboratorios para la medición de una misma magnitud permite constatar la presencia de errores de carácter sistemático. Reducción de los errores sistemáticos. Algunos de los métodos o técnicas de medición permiten reducir los errores sistemáticos. Unas son de aplicación general mientras que otras son específicas de la medición considerada. Ajuste de un instrumento de medición antes de su utilización. Esta operación consiste en llevar el instrumento de medición a sus condiciones normales de empleo, utilizando los medios puestos a la disposición del usuario, esto permite ajustar prácticamente la indicación del instrumento de medición en uno o varios puntos de la escala. Reducción de los errores por medio de la selección del método de medición. Ciertas técnicas de medición permiten, por su principio, reducir los errores de carácter sistemático. Tal es el caso del método de sustitución. Reducción de los errores sistemáticos utilizando las correcciones. Cuando un instrumento de medición ha sido objeto de una calibración, éste debe estar acompañado de una ficha de calibración, en donde se indica en forma de tabla o de una curva las correcciones que se le deben efectuar, en las condiciones del medio ambiente dadas, a sus indicaciones, con el objeto de tener una mejor estimación del valor verdadero de la magnitud medida.



Debido a los diferentes fenómenos que ocurren a lo largo del tiempo, la corrección de la calibración de un instrumento de medición cambia. Las calibraciones de los instrumentos solo se pueden considerar válidas durante un tiempo limitado, el cual varía según la naturaleza del instrumento. Algunas correcciones se pueden calcular teóricamente teniendo como base una ley física o empírica. Es así que el resultado de una medición se puede corregir teniendo en cuenta uno o varios de los factores de influencia, los cuales modifican las indicaciones del instrumento de medición. Reglas generales para la reducción de los errores sistemáticos. La investigación de las causas de los errores sistemáticos requiere un tiempo considerable, así mismo, la determinación de las correcciones que se aplican a las magnitudes medidas también toma su tiempo y generalmente requieren de mediciones adicionales con un equipo también adicional adaptado a estas mediciones. En la práctica el aspecto del costo de una medición es un elemento de criterio de decisión para saber si la causa del error sistemático se debe poner en consideración y si da lugar a efectuar las correcciones correspondientes, solo es posible responder a esta situación si se ha fijado la incertidumbre que se puede tolerar. INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN. MEDICIÓN. La palabra “incertidumbre” significa duda, y por tanto en su sentido más amplio “ incertidumbre de medición” significa duda en la validez del resultado de la medición. La definición formal del término “incertidumbre de medición” que se ha desarrollado para utilizarse en este escrito, ha sido tomada del “ International vocabulary of basic and general terms in metrology “ (VIM), segunda edición de 1993, y de la norma “NMX-Z-055-1997-IMNC, Metrología – Vocabulario de términos fundamentales y generales” y es la siguiente: “Incertidumbre de medición . Parámetro asociado con el resultado de una medición que caracteriza la dispersión de los valores, que razonablemente pudiera ser atribuida al mensurando.” El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación estándar36 (o un múltiplo de ésta), o la mitad de un intervalo de nivel de confianza37 determinado. La incertidumbre de medición comprende, en general, varios componentes. Algunos pueden ser evaluados a partir de la distribución estadística de los resultados de una serie de mediciones y pueden ser caracterizados por desviaciones estándar experimentales. Los otros componentes, que también pueden ser caracterizados por las desviaciones estándar, son

36 ISO 3534-1. 1.23. 1993. DESVIACIÓN ESTÁNDAR. La raíz cuadrada de la varianza. 37 ISO 3534-1. 2.59. 1993. COEFICIENTE DE CONFIANZA; NIVEL DE CONFIANZA. El valor (1 - α) de la probabilidad asociada con un intervalo de confianza o un intervalo de cobertura estadística. (1 - α) se expresa frecuentemente como un porcentaje.



evaluados admitiendo distribuciones de probabilidad38, según la experiencia adquirida o de acuerdo con otras informaciones. Se entiende que el resultado de la medición es la mejor estimación del valor del mensurando, y que todos los componentes de la incertidumbre, incluyendo aquellos que provienen de efectos sistemáticos, tales que los componentes asociados a las correcciones y a los patrones de referencia, contribuyen a la dispersión. Mientras que los valores exactos de las contribuciones al error de un resultado de medición son desconocidos y no se pueden conocer, las incertidumbres asociadas con los efectos aleatorios y sistemáticos que dan lugar al error pueden ser evaluadas. Pero, aún si las incertidumbres evaluadas son pequeñas, no existe garantía de que el error en el resultado de la medición sea pequeño; ya que podría pasarse por alto algún efecto sistemático, en la determinación de una corrección o debido a la falta de conocimiento, por no haberse identificado. Por tanto, la incertidumbre del resultado de una medición no es necesariamente una indicación de la factibilidad de que el resultado de la medición este cerca del valor del mensurando; simplemente implica un estimado de la factibilidad de cercanía con el mejor valor que es consistente con el conocimiento disponible actualmente. Incertidumbre de medición es, por tanto, una forma de expresar el hecho de que, para un mensurando y su resultado de medición dados, no hay un solo valor, sino un número infinito de valores dispersos alrededor del resultado que son consistentes con todas las observaciones, datos y conocimientos que se tengan del mundo físico, y que con distintos grados de credibilidad pueden ser atribuidos al mensurando. En la práctica, existen muchas fuentes posibles de incertidumbre en una medición, incluyendo: a) definición incompleta del mensurando; b) realización imperfecta de la definición del mensurando;

c) muestreos no representativos, la muestra medida puede no representar el mensurando definido;

d) conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre las mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones ambientales; e) errores de apreciación del operador en la lectura de los instrumentos analógicos; f) resolución39 finita del instrumento o umbral40 de discriminación finito; g) valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia;

38 ISO 3534-1. 1.3. 1993. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. Una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria tome cualquier valor dado o pertenezca a un conjunto de valores dados. La probabilidad sobre el conjunto de valores de la variable aleatoria es igual a 1. 39 NMX-Z-55-1986. 5.13. RESOLUCIÓN (DE UN DISPOSITIVO INDICADOR). Expresión cuantitativa de la aptitud de un dispositivo indicador para presentar significativamente la distinción entre valores muy próximos de la magnitud indicada. 40 NMX-Z-55-1986. 5.12. UMBRAL DE LA MOVILIDAD. La más pequeña variación de una señal de entrada que provoca una variación perceptible de la respuesta de un “instrumento de medición”.



h) valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y usados en los algoritmos de reducción de datos; i) aproximaciones y suposiciones incorporadas a los métodos y procedimientos de medición;

j) variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones aparentemente iguales.

Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas fuentes desde a) hasta i) pueden contribuir a la fuente j). Por supuesto, un efecto sistemático no reconocido no puede ser tomado en cuenta en la evaluación de la incertidumbre del resultado de la medición pero contribuye a su error. La recomendación INC-1 (1980) del grupo de trabajo del BIMP41 y el CIMP42 para la expresión de las incertidumbres agrupa a las componentes de la incertidumbre en dos categorías, esta clasificación se basa en los métodos de evaluación empleados, a saber: “A” y “B”. Estas categorías se aplican a la incertidumbre y no son sustitutos para las palabras “aleatorio” y “sistemático”. La incertidumbre de una corrección para un efecto sistemático conocido puede en algunos casos ser obtenida mediante una evaluación Tipo A, y por una evaluación Tipo B en algunos otros, según como pueda caracterizar la incertidumbre al efecto aleatorio. El propósito de la clasificación Tipo A y Tipo B es para indicar las dos diferentes maneras de evaluar las componentes de la incertidumbre y es por conveniencia de discusión solamente; la clasificación no significa que exista alguna diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluación. Ambos tipos de evaluación están basados en distribuciones de probabilidad, y las componentes de incertidumbre resultantes de cualquier tipo son cuantificadas por varianzas y desviaciones estándar. La varianza estimada u2 que caracteriza a una componente de incertidumbre obtenida de la evaluación tipo A se calcula mediante series de observaciones repetidas y es la varianza estimada estadística familiar s2. La desviación estándar estimada u, la raíz cuadrada positiva de u2, es entonces u= s y por conveniencia es llamada algunas veces incertidumbre estándar Tipo A. Para una componente de incertidumbre obtenida de una evaluación Tipo B, la varianza estimada u2 es evaluada mediante el uso de la información disponible, y la desviación estándar u es algunas veces llamada incertidumbre estándar Tipo B. Entonces la incertidumbre estándar tipo A es obtenida de una función de densidad de probabilidad43 deducida de una distribución de frecuencia44 observada, mientras que la incertidumbre estándar Tipo B se obtiene de una función de densidad de probabilidad supuesta

41 BIMP. Buró Internacional de Pesas y Medidas. 42 CIMP.Comité Internacional de Pesas y Medidas. 43 ISO 3534-1. 1.5. 1993. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. La derivada (cuando existe) de la función de distribución. 44 ISO 3534-1. 2.26. 1993. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA. La relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o sus frecuencias relativas. La distribución puede presentarse gráficamente como un histograma, diagrama de barras, polígono de frecuencias acumulativo, o como una tabla de dos vías.



basada en el grado de creencia de que un evento pueda ocurrir (a menudo llamada probabilidad subjetiva). Ambas aproximaciones emplean interpretaciones de probabilidad reconocidas. Una evaluación Tipo B de una componente de incertidumbre generalmente se basa en una fuente común de información comparativamente confiable. La incertidumbre estándar del resultado de una medición, cuando éste resultado se obtiene de los valores de un conjunto de otras cantidades, se llama incertidumbre estándar combinada45 y se denota por uc. Esta es la desviación estándar estimada asociada con el resultado y es igual a la raíz cuadrada positiva de la varianza combinada obtenida a partir de todas las componentes de varianza y covarianza46, evaluados de cualquier forma, utilizando la llamada ley de propagación de incertidumbres. Para satisfacer las necesidades de algunas aplicaciones industriales y comerciales y comerciales, así como los requerimientos en áreas de la salud y seguridad, se obtiene una incertidumbre expandida47 U multiplicando la incertidumbre estándar combinada uc por un factor de cobertura48 k. El propósito de obtener U es el de proveer de un intervalo alrededor del resultado de una medición en el que puede esperarse que se incluya una fracción grande de la distribución de valores que pueden razonablemente ser atribuidos al mensurando. La elección del factor k, la cual usualmente se encuentra en el intervalo de 2 a 3, está basada en la probabilidad de cobertura o nivel de confianza requerido para el intervalo. El factor de cobertura tiene que ser declarado siempre, de tal manera que la incertidumbre estándar del mensurando pueda ser recuperada para su uso en el cálculo de la incertidumbre estándar combinada de otros resultados de la medición que pueden depender de esa cantidad. Incertidumbre estándar49. Es la incertidumbre del resultado de una medición expresada como una desviación estándar. Es decir, cada magnitud medida tendrá una desviación estándar estimada que se utilizará para caracterizar la incertidumbre en la medición de esa magnitud.

45 BIMP/ISO. 2.3.4.1993. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA. Incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando el resultado se obtiene a partir de los valores de algunas otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos, siendo estos términos las varianzas y covarianzas de estas otras magnitudes ponderadas de acuerdo a cómo el resultado de la medición varía con respecto a cambios en esas magnitudes. 46 ISO 3534-1. 1.32. 1993. COVARIANZA. La covarianza de dos variables aleatorias es una medida de su dependencia mutua. 47 BIMP/ISO. 2.3.5. 1993. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA. Cantidad que define un intervalo alrededor de una medición del que se puede esperar que abarque una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente pudieran ser atribuidos al mensurando. 48 BIMP/ISO. 2..6. 1993. FACTOR DE COBERTURA. Factor numérico usado como multiplicador de la incertidumbre estándar combinada para el propósito de obtener una incertidumbre expandida. 49 GUÍA BIMP/ISO. 2.3.1. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR.



Evaluación de la incertidumbre estándar. Modelo de medición. En la mayoría de los casos, el mensurando Y no se mide directamente sino que se determina a partir de otras N magnitudes X1, X2, ......, XN, a través de una relación funcional f:

)1(......)......,,2,1( NXXXfY= Ejemplo. Si una diferencia de potencial V se aplica a las terminales de un resistor dependiente de la temperatura que tiene una resistencia R0 a la temperatura definida t0 y un coeficiente lineal de temperatura α, la potencia P (el mensurando) disipada por el resistor a la temperatura t depende de V, R0, α y t de acuerdo a,

( )[ ]00

2

1),,0,(

ttRVtRVfP

−+==

αα

Los argumentos X1, X2, ... , XN, de los cuales depende el resultado de la medición Y, se puede visualizar a su vez como mensurandos y depender de otras magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección para efectos sistemáticos, todo ello dando lugar a complicadas relaciones funcionales f que pudieran nunca ser expresadas explícitamente. Adicionalmente, f puede ser determinada experimentalmente o existir sólo como un algoritmo que deba ser evaluado numéricamente. La función f como aparece en este escrito debe ser interpretada en este sentido más amplio, es decir, como aquella función que contiene cada magnitud, incluyendo todas las correcciones y factores de corrección, que pueden contribuir con componentes significativos de incertidumbre al resultado de la medición. Por lo tanto, si los datos indican que f no modela la medición el grado impuesto por la exactitud requerida del resultado de medición, entonces se deben incluir argumentos adicionales en f para eliminar el problema. Esto puede requerir la introducción de un argumento que sirva para reflejar la carencia de conocimiento de un fenómeno que afecta al mensurando. En el ejemplo anterior, se podrían necesitar argumentos adicionales para tomar en cuenta a una distribución conocida, no uniforme, de temperatura a través del resistor, un posible coeficiente de temperatura de resistencia no lineal, o una posible dependencia de la resistencia en la presión barométrica. El conjunto de argumentos X1, X2, ... , XN pueden dividirse en las categorías siguientes:

-magnitudes cuyos valores e incertidumbres se determinan directamente en la presente medición. Estos valores e incertidumbres pueden ser obtenidos de, por ejemplo, una sola observación, observaciones repetidas o por juicio basado en la experiencia, y pueden involucrar la determinación de correcciones en la lectura de los instrumentos y correcciones debidas a la presencia de magnitudes cuya influencia debe ser tomada en cuenta, tales como la temperatura ambiente, la presión barométrica y la humedad;



- magnitudes cuyos valores e incertidumbres son incorporados a la medición y que provienen de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas con patrones de medición calibrados, materiales de referencia certificados y datos de referencia obtenidos de manuales. Una estimación del mensurando Y, denotada como y, se obtiene de la ecuación (1) usando los argumentos estimados x1, x2, ... , xN para los valores de las N cantidades X1, X2, ... , XN. Por lo tanto, la estimación de la magnitud resultante y, que es el resultado de la medición, está dada por,

),...,2,1( Nxxxfy= ...... (2)

En algunos casos la estimación se puede obtener de:

∑=

∑=

===n

k

n

k kNXkXkXfnkY

nYy

1)

1 ,,...,,2,,1(11

Esto es, y se toma como la media aritmética o promedio de n determinaciones independientes Yk de Y, cada una de éstas teniendo la misma incertidumbre y estando basada en un grupo completo de valores observados de los N argumentos Xi obtenidos al mismo tiempo. Esta forma de promediar, en lugar de

n

n

k kiX

iXNXXXfy

∑=

==1 ,

donde),,...,2,1(

es la media aritmética de las observaciones individuales Xi,k , puede ser preferible cuando f es una función no lineal de los argumentos X1, X2, ... , XN , pero las dos aproximaciones son idénticas si f es una función lineal de Xi . La desviación estándar estimada asociada con la estimación de la magnitud resultante o el resultado de la medición y se denomina incertidumbre estándar combinada se denota por uc(y). Se determina a partir de la desviación estándar estimada asociada con cada valor estimado de los argumentos xi , la cual se denomina incertidumbre estándar y se denota por u(xi). Cada valor estimado de un argumento xi y su incertidumbre estándar asociada u(xi ) se obtienen a partir de una distribución de los posibles valores del argumento Xi . Esta distribución de probabilidad puede estar basada en una frecuencia, es decir, basada en una serie de observaciones Xi,k de Xi , o puede ser una distribución a priori. Las evaluaciones Tipo A de las componentes de la incertidumbre estándar están basadas en distribuciones de frecuencia, mientras que las evaluaciones del Tipo B se basan en distribuciones a priori. Se debe reconocer que en ambos casos las distribuciones son modelos que se usan para representar el estado de nuestro conocimiento.



Evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar. Incertidumbre tipo A. Es aquella cuya incertidumbre estándar se evalúa por medio de análisis estadístico de una serie de observaciones. En la mayoría de los casos, la mejor estimación disponible de la esperanza o valor esperado μq de una magnitud q que varía aleatoriamente (una variable aleatoria), y de la cual se han obtenido n observaciones independientes qk bajo las mismas condiciones de medición, es la

media aritmética o promedio _

q de las n observaciones.

∑=

=n

kkq

nq

1)3(......1

Por tanto, para un argumento Xi estimado a partir de n observaciones repetidas

independientes Xi,k la media aritmética _

iX obtenida de la ecuación (3) se usa como una estimación del argumento, xi, en la ecuación (2) para determinar el resultado de la medición y;

esto es x i= _

iX . Aquellos argumentos no evaluados a partir de observaciones repetidas deben obtenerse por otros métodos. Las observaciones individuales qk difieren en valor debido a las variaciones aleatorias en las magnitudes que las afectan, es decir, debido a efectos aleatorios. La varianza experimental de las observaciones, la cual estima la varianza σ2 de la distribución de probabilidad de q, está dada por

( )∑=

−−

=n

kkk qq

nqs

1

22 )4......(1

1)(

Esta estimación de la varianza y su raíz cuadrada positiva s(qk), denominada desviación estándar experimental, caracterizan a la variabilidad de los valores observados qk, o más

específicamente, su dispersión alrededor de la media _

q .

La mejor estimación de σ2(_

q ) = σ2/n, la varianza de la media, está dada por:

)5......()(

)(2

2

nqs

qs k=

La varianza experimental de la media s2(_

q ) y la desviación estándar experimental de la



media s(_

q ), que es igual a la raíz cuadrada positiva de s2(_

q ), cuantifican que también _

q estima el valor esperado μk de q, y cualquiera de ellas se puede usar como una medida de la estimación de _

q . Por lo tanto, para un argumento Xi determinado a partir de n observaciones

independientes repetidas Xi,k la incertidumbre estándar u(xi) de su estimación xi = _

iX es

u( ix_

)=s(_

iX ), donde s2( iX_

) se calcula de acuerdo con la ecuación (5). Por conveniencia,

u2(_

ix )=s2( iX_

) y u( ix_

)=s( iX_

) son a veces llamadas varianza Tipo A e incertidumbre estándar Tipo A, respectivamente. NOTAS. 1 El número de observaciones de n debe ser suficientemente grande para asegurar que _

q es una estimación confiable del valor esperado μq de la variable aleatoria q y que s2(qk) es una

estimación confiable de la varianza σ2(q) = σ2/n. La diferencia entre s2(_

q ) y σ2(_

q ) que debe ser considerada cuando se construyen intervalos de confianza. En este caso, si la distribución de probabilidad de q es una distribución normal, la diferencia se toma en cuenta mediante la distribución t de Student.

2 A pesar de que la varianza s2(_

q ) es el parámetro más fundamental asociado a la

dispersión, la desviación estándar s(_

q ) es más conveniente en la práctica debido a que tiene las mismas dimensiones que q y se comprende más fácilmente que la varianza. Para una medición bien caracterizada bajo control estadístico, pudiera disponerse de una estimación combinada o ponderada de la varianza s2

p ( o una varianza estándar experimental ponderada sp) que caracterizase a la medición. En tales casos, cuando el valor de un mensurando q se determina a partir de n observaciones independientes, la varianza experimental de la media

aritmética _

q de las observaciones está mejor estimada por s2p/n que por s2(

_

q )/n, siendo la incertidumbre u = sp/√n. Frecuentemente una estimación xi de un argumento Xi se obtiene a partir de una curva que ha sido ajustada a datos experimentales por el método de mínimos cuadrados. Las varianzas estimadas y las incertidumbres estándar resultantes de los parámetros ajustados que caracterizan la curva y de cualquier punto predicho por tal ajuste puede ser calculado comúnmente usando procedimientos estadísticos bien conocidos.



Los grados de libertad50 vi de u(xi), que son n – 1 en el caso simple en que xi = iX_

y

u(xi)=s( iX_

) y que se calculan a partir de n observaciones independientes, siempre deben ser expresados cuando se documentan las evaluaciones de las componentes de la incertidumbre Tipo A. Si las variaciones aleatorias en las observaciones de un argumento están correlacionadas, por ejemplo, en el tiempo, la media y la desviación estándar experimental de la media pudieran ser estimadores inapropiados de la estadística deseada. En tales casos, las observaciones deben ser analizadas por medios estadísticos especialmente diseñados para tratar una serie de mediciones correlacionadas que varían aleatoriamente. NOTA. Estos métodos especializados se usan para tratar mediciones de patrones de frecuencia. Sin embargo, es posible que conforme se va de mediciones en el corto plazo a mediciones a largo plazo de otras magnitudes metrológicas, la suposición de variaciones aleatorias no correlacionadas pudiera ya no ser válida y los métodos especializados pudieran entonces ser usados también para tratar estas mediciones. La discusión de la evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar en los párrafos anteriores no pretende ser exhaustiva; existen muchas situaciones, algunas muy complejas, que pueden ser tratadas por métodos estadísticos. Un ejemplo importante es el uso de diseños de calibración, que se basan frecuentemente en el método de mínimos cuadrados, usados para evaluar las incertidumbres que surgen de las variaciones aleatorias a corto y largo plazo en los resultados de las comparaciones de artefactos materiales de valor conocido, tales como bloques patrón y patrones de masa, con patrones de referencia de valores conocidos. En estas situaciones de mediciones comparativamente simples, los componentes de incertidumbre pueden ser evaluados, frecuentemente, mediante el análisis estadístico de los datos obtenidos de diseños que consisten de secuencias anidadas de mediciones del mensurando, utilizando varios valores diferentes de las magnitudes de las cuales depende. Este procedimiento es conocido como análisis de varianza. Nota. En los niveles más bajos de la cadena de calibración, en donde frecuentemente se supone que los patrones de referencia son exactamente conocidos debido a que han sido calibrados por un laboratorio nacional o primario, la incertidumbre del resultado de una calibración puede ser simplemente una incertidumbre estándar Tipo A, evaluada mediante una desviación estándar ponderada que caracterice las mediciones. La incertidumbre Tipo A, que es la desviación estándar de la media es igual a,

)6......()(

__

nqs

qsqu kA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

50 ISO 3534-1-1993;2.85. GRADOS DE LIBERTAD. En general, el número de términos de una suma menos el número de restricciones sobre los términos de la suma.



a) Con frecuencia se piensa que la incertidumbre Tipo A por haber sido determinada por métodos estadísticos, se conoce mejor que la Tipo B. Sin embargo, esto no es así, ya que cualquier incertidumbre basada sobre una muestra finita de “n” mediciones, tiene en sí misma una incertidumbre estadística implícita que, aún para 10 mediciones ésta llega a ser del 24 % para una distribución normal. Así que, se debe tener presente que las estimaciones Tipo A pueden ser poco confiables si el número de mediciones es pequeño.

Para calcular la incertidumbre sobre la desviación estándar estimada se emplea la aproximación siguiente:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) )7.....(212 21

21

_

−− ≈−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= νσ

σn

q

qsqu k

ks

en donde ν son los grados de libertad51. En la tabla número 1, se muestran las incertidumbres en la desviación estándar estimadas en función del número de datos disponibles utilizando la ecuación (7). b) En caso de que se disponga de menos de 10 mediciones y si además no se cuenta con alguna estimación basada en la experiencia o datos previos, entonces el resultado de la ecuación (6) se debe multiplicar por el factor t de la tabla número 2 que están basados en la distribución “t de Student”, y que se aplican con un factor de cobertura k = 2. Obteniéndose finalmente la incertidumbre Tipo A como:

)8.....(

_

tn

qsu A

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Si n ≥ 10 entonces t ≈ 1.

TABLA NÚMERO 1. INCERTIDUMBRES EN LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ESTIMADAS EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE DATOS DISPONIBLES.

NÚMERO DE

OBSERVACIONES Us(qk)

% 2 71 3 50 4 41 5 35 10 24 20 16 30 13 50 10

51 ISO 3534-1:1993.2.85. GRADOS DE LIBERTAD. En general el número de términos de una suma menos el número de restricciones sobre los términos de la suma.



TABLA NÚMERO 2. FACTOR t EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE OBSERVACIONES.

NÚMERO DE

OBSERVACIONES FACTOR

t 2 7,0 3 2,3 4 1,7 5 1,4 6 1,3 7 1,3 8 1,2 9 1,2

Evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar. Incertidumbre tipo B. Es aquella cuya incertidumbre estándar se evalúa por medios diferentes que un análisis estadístico de una serie de observaciones. Para una estimación xi de un argumento Xi que no se obtuvo de observaciones repetidas, la varianza estimada asociada u2(xi ) o la incertidumbre estándar u(xi ) son evaluadas mediante juicios y criterios científicos basados en toda la información disponible sobre la variabilidad de Xi . Esta información puede incluir: - datos de mediciones anteriores; - experiencia con el conocimiento general de las características y el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos relevantes; - especificaciones de los fabricantes; - datos obtenidos tanto de los certificados de calibración y otros tipos de certificados; - incertidumbres asignadas a datos de referencia tomados de manuales. Por conveniencia, u2(xi ) y u(xi ), evaluadas de este modo, son algunas veces llamadas varianza Tipo B e incertidumbre estándar Tipo B, respectivamente. Nota. Cuando xi se obtiene a partir de una distribución a priori, la varianza asociada es denotada, propiamente como u2(Xi ), pero, por simplicidad, se usan u2(xi ) y u(xi ). El uso adecuado de la información disponible para una evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar requiere de una visión basada en la experiencia y el conocimiento general, y es una habilidad que se puede aprender con la práctica. Se debe reconocer que una evaluación de la incertidumbre estándar Tipo B puede ser tan confiable como una evaluación Tipo A, especialmente en una situación en donde una evaluación Tipo A se basa en un número comparativamente pequeño de observaciones estadísticamente independientes. Si la estimación xi se toma de una especificación del fabricante, de un certificado de



calibración, manual, u otra fuente y su incertidumbre asignada se establece como un múltiplo particular de una desviación estándar, la incertidumbre estándar u(xi ) es simplemente el valor asignado dividido por el multiplicador, y la varianza estimada u2(xi ) es el cuadrado de dicho cociente. Ejemplo. Un certificado de calibración establece que la masa ms de un patrón de masa hecho de acero inoxidable, de valor nominal un kilogramo es 1 000,000 325 g y que “la incertidumbre de este valor es 240 μg al nivel de tres desviaciones estándar”. La incertidumbre estándar del patrón de masa es entonces simplemente u(ms ) = 240 μg/3 = 80 μg. Esto corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(ms )/ms de 80 X 10-9. La varianza estimada es u2(ms ) = (80 μg)2 = 6,4 X 10-9 g2. Nota. En muchos casos, se proporciona poca o ninguna información acerca de las componentes individuales a partir de los cuales se ha obtenido la incertidumbre asignada. Esto generalmente no es importante para la expresión de la incertidumbre de acuerdo a las prácticas de este escrito ya que todas las incertidumbres estándar de tratan del mismo modo cuando se calcula la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición La incertidumbre asignada a xi no necesariamente está dada como un múltiplo de una desviación estándar. En lugar de eso, se puede encontrar que la incertidumbre asignada define un intervalo con un nivel de confianza de 90, 95 o 99 por ciento. A menos que se indique otra cosa, uno puede suponer que se usó una distribución normal para calcular la incertidumbre asignada, y recuperar la incertidumbre estándar de xi dividiendo la incertidumbre asignada por el factor apropiado para la distribución normal. Los factores correspondientes a los tres niveles de confianza mencionados son 1,64; 1,96; y 2,58.

TABLA NÚMERO 3. FACTORES k PARA DIFERENTES NIVELES DE CONFIANZA

NIVEL DE CONFIANZA FACTOR k 50 % 0,67

68,3 % 1 90 % 1,64 95 % 1,96

95,45 % 2 99 % 2,58

97,3 % 3 Ejemplo. Un certificado de calibración declara que la resistencia de un resistor patrón Rs de valor nominal diez ohms, tiene una resistencia de 10,000 742 Ω ± 129 μΩ a 23 0C y que “la incertidumbre asignada de 129 μΩ define un intervalo con un nivel de confianza de 99 por ciento”. La incertidumbre estándar del resistor se puede tomar como u(Rs ) = (129 μΩ)/2,58 = 50 μΩ, que corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(Rs /Rs) de 5,0 X 10-6. La varianza estimada es u2(Rs) = (50 μΩ)2 = 2,5 X 10-9 Ω2.



Considere el caso donde, con base en la información disponible, es posible establecer que “existe una probabilidad cincuenta-cincuenta de que el valor del argumento Xi se encuentre en el intervalo de a- hasta a+ (en otras palabras, la probabilidad de que Xi caiga dentro de este intervalo es 0,5 o 50 por ciento). Si puede suponerse que la distribución de valores posibles de Xi es aproximadamente normal, entonces la mejor estimación xi de Xi se puede tomar como el punto medio de tal intervalo. Adicionalmente, si la mitad del ancho del intervalo se denota como a=(a+ - a-)/2, uno pude tomar u(xi ) = 1,48 a, por que para una distribución normal con valor esperado μ y desviación estándar σ el intervalo μ ± σ/1,48 incluye aproximadamente al 50 por ciento de la distribución. Ejemplo. Un mecánico, al determinar las dimensiones de un objeto, estima que su longitud se encuentra, con probabilidad de 0,5 en el intervalo que va de 10,07 mm a 10,15 mm, e informa que l=(10,11 ± 0,04) mm, queriendo decir que ± 0,04 mm define un intervalo con un nivel de confianza del 50 por ciento. Entonces a = 0,04 mm, y si se supone una distribución normal para los posibles valores de l, la incertidumbre estándar de la longitud es u(l) = 1,48 X 0,04 mm ≈ 0,06 mm y la varianza estimada es u2(l) = (1,48 X 0,04 mm)2 = 3,5 X 10-3 mm2. Considere un caso similar al del inciso anterior pero donde, con base a la información disponible, es posible establecer que “existen alrededor de dos de cada tres posibilidades de que el valor de Xi se encuentre en el intervalo de a- hasta a+” (en otras palabras, la probabilidad de que Xi esté dentro de ese intervalo es alrededor de 0,67). Entonces razonablemente es posible tomar u(xi ) = a, por que para una distribución normal con esperanza μ y desviación estándar σ el intervalo μ ± σ comprende alrededor del 68,3 por ciento de la distribución. Nota. Si se usara el valor de la desviación normal real de 0,96742, correspondiente a una probabilidad p = 2/3, esto es, si se escribiera u(xi ) = a/0,96742 = 1,033 a, ello daría al valor de u(xi ) considerablemente un significado mayor de lo que está obviamente garantizado. En otros casos puede que sea posible estimar sólo los límites (superior o inferior) para Xi , en particular, para establecer que “la probabilidad de que el valor de Xi esté dentro del intervalo de a- hasta a+ para todos los propósitos prácticos es igual a uno y la probabilidad de que Xi caiga fuera de ese intervalo es esencialmente cero”. Si no existe un conocimiento específico acerca de los posibles valores de Xi dentro del intervalo, uno puede únicamente suponer que es igualmente probable para Xi tomar cualquier valor dentro del intervalo (una distribución uniforme o rectangular de valores posibles). Entonces xi , la esperanza o valor esperado de Xi es el punto medio del intervalo, xi = (a- + a+)/2, con varianza asociada

( ) )9(......12/)( 22−+ −= aaxu i

Si la diferencia entre los límites, a+ - a-, se denota por 2a, entonces la ecuación (9) se convierte en

( ) )10(......3/22 axu i =



Nota. Cuando una componente de la incertidumbre determinada de esta manera contribuye significadamente a la incertidumbre del resultado de una medición, es prudente obtener datos adicionales para su posterior evaluación. Ejemplos. 1 Un manual establece el valor del coeficiente de expansión lineal térmica del cobre puro a 20 0C, α20 (Cu), como 16,52 X 10-6 0C-1 y simplemente declara que “el error en este valor no debería exceder 0,40 X 10-6 0C-1”. Basados en esta información limitada, es razonable suponer que el valor de α20 (Cu) se encuentre, con igual probabilidad, en el intervalo que va de 16,12 X 10-6 0C-1 a 16,92 X 10-6 0C-1, y que es muy poco probable que el valor de α20 (Cu) este fuera de este intervalo. La varianza de esta distribución rectangular simétrica de valores posibles de α20 (Cu), con un semiintervalo igual a a = 0,40 X 10-6 0C-1 es entonces, de la ecuación (10), u2(α20) = (0,40 X 10-6 0C-1)2/3 = 53,3 X 10-15 0C-2, y la incertidumbre estándar es

u(α20) = (0,40 X 10-6 0C-1)/√3 = 0,23 X 10-6 0C-1.

2 Las especificaciones de un fabricante para un vóltmetro digital establecen que “entre uno y dos años después de que el instrumento es calibrado, su exactitud en la escala de 1 V es 14 X 10-6 veces la lectura más 2 X 10-6 veces la escala”. Considere que el instrumento se usa 20 meses después de la calibración para medir en su escala de 1 V una diferencia de potencial V. Se

encuentra que la media aritmética de varias observaciones independientes repetidas de V es _

V =

0,928 571 V con una incertidumbre estándar Tipo A u(_

V ) = 12 μV. Se puede obtener la incertidumbre estándar asociada con las especificaciones del fabricante de una evaluación Tipo B, suponiendo que la exactitud declarada proporciona límites simétricos para una corrección

aditiva de _

V , Δ_

V , de esperanza igual a cero y con igual probabilidad de que se encuentre en cualquier lugar dentro de los límites. El semiintervalo a de la distribución rectangular simétrica

de valores posibles de Δ_

V es entonces a = (14 X 10-6) X (0,928 571 V) + (2 X 10-6 X 1V) = 15

μV, y de la ecuación (10), u2(Δ_

V ) = 75 μV2 y u(Δ_

V ) = 8,7 μV. La estimación del valor del

mensurando V, por simplicidad denotada con el mismo símbolo V, esta dado por V = _

V + Δ_

V = 0,928571 V. Se puede obtener la incertidumbre estándar combinada de esta estimación

combinando la incertidumbre estándar Tipo A de 12 μV de _

V con la incertidumbre estándar

Tipo B de 8,7 μV de Δ_

V . En el ejemplo anterior los límites superior e inferior, a+ y a-, respectivamente, del

argumento Xi podrían no ser simétricos con respecto a su mejor estimación xi; más específicamente si el límite inferior se escribe como a- = xi – b- y el límite superior como a+ = xi + b+, entonces b- ≠ b+. Debido a que en este caso xi (que se supone que es la esperanza de Xi) no está en el centro del intervalo de a- hasta a+, la distribución de probabilidad de Xi no puede ser



uniforme en todo el intervalo. Sin embargo, podría no haber suficiente información disponible para escoger una distribución adecuada; diferentes modelos conducirán a diferentes expresiones para la varianza. En ausencia de tal información la aproximación más simple es:

( ) ( ))11(......

1212)(

222 −+−+ −

=+

=aabbxu i

la cual es la varianza de una distribución rectangular con ancho b+, + b-.

EJEMPLO - Si en el ejemplo 1 anterior el valor del coeficiente de expansión térmica se da en el manual como α20 (Cu) = 16,52 X 10-6 0C-1 y se establece que “el valor posible más pequeño es 16,40 X 10-6 0C-1 y el valor posible más grande de α20 (Cu), es 16,92 X 10-6 0C-1”, entonces b-=0,12 X 10-6 0C-1,b+ =0,40 X 10-6 0C-1 y, de la ecuación (11), u(α20) = 0,15 X 10-6 0C-1.

Notas. 1 En muchas situaciones práctica de medición en donde los límites son asimétricos,

podría ser apropiado aplicar una corrección a la estimación xi cuya magnitud sea igual a (b+ - b-)/2 de tal modo que la nueva estimación x´i, de Xi esté en el punto medio de los límites: x’i = (a- + a+)/2. Esto reduce la situación del caso anterior, con nuevos valores b´+ = b´- = (b+ + b-)/2 = (a+ - a-)/2 = a.

2 Con base en el principio de la máxima entropía, puede demostrarse que en la función de densidad de probabilidad en el caso asimétrico es p(Xi) = A exp[- λ (Xi – xi)], donde A = [b- exp(λb-) + b+ exp(- λb+)]-1 y λ = {exp[λ(b- + b+) – 1}/{b- exp[λ(b- + b+)] + b+ }. Esto conduce a la varianza u2(xi) = b+b- - (b+ - b-)/λ; para b+ > b-, λ > 0 y para b+ < b-, λ< 0.

En los párrafos anteriores, debido a que no había conocimiento específico acerca de los

posibles valores de Xi dentro de sus límites estimados a- y a+, era posible suponer únicamente que para Xi era igualmente probable tomar cualquier valor dentro de estos límites, con probabilidad cero de caer fuera de ellos. Tales discontinuidades de la función escalón en una distribución de probabilidad no tienen, frecuentemente, sentido físico. En muchos casos es más realista esperar que los valores cercanos a los límites sean menos probables que aquellos que están cerca del punto medio. Es entonces razonable reemplazar la distribución rectangular simétrica con una distribución trapezoidal simétrica con igual pendiente en ambos lados (un trapezoide isósceles), una base inferior de longitud a+ - a- = 2a, y una base superior de longitud 2aβ, donde 0 ≤ β ≤ 1. Conforme β → 1 esta distribución trapezoidal se aproxima a la distribución rectangular, mientras que para β = 0 ésta es una distribución triangular. Suponiendo tal distribución trapezoidal para Xi, uno encuentra que la esperanza de Xi es xi = (a- + a+)/2 y su varianza asociada es:

( ) ( ) a)12......(6/1 222 β+=axu i



la cual se convierte para la distribución triangular, con β = 0, en

( ) )b12(......6/22 axu i = Notas. 1 Para una distribución normal con esperanza μ y desviación estándar σ, el intervalo μ + 3σ cubre aproximadamente 99,73 por ciento de la distribución. Entonces, si los límites superior e inferior a+ y a- definen límites al 99,73 por ciento, en lugar de límites al 100 por ciento, y puede suponerse que Xi tiene una distribución aproximadamente normal, en lugar de asumir que no se tiene información sobre Xi entre los límites, entonces u2(xi ) = a2/9. Para fines de comparación, la varianza de una distribución rectangular simétrica con semiintervalo a es a2/3 [ecuación (10)] y la de una distribución triangular simétrica con semiintervalo a es a2/6 [ecuación(12b)]. La magnitud de las varianzas de las tres distribuciones son sorprendentemente similares dadas las grandes diferencias en la cantidad de información requerida para justificarlas 2 La distribución trapezoidal es equivalente a la convolución de dos distribuciones rectangulares, con un semiintervalo a1 igual al promedio de la longitud del semiintervalo de una distribución trapezoidal, a1 = (1 + β)/2, la otra con un semiintervalo a2 igual al promedio de la longitud de una de las porciones triangulares del trapezoide, a2 = a (1 - β)/2. La varianza de la distribución es u2 = a1

2/3 + a22/3. La distribución convolucionada se puede interpretar como una

distribución rectangular cuyo ancho, 2a1, tiene una incertidumbre propia representada por una distribución rectangular de ancho 2a2 y que modela el hecho de que los límites de un argumento no son exactamente conocidos. Pero aún si a2 es tan grande como un 30 por ciento de a1, u es mayor que a1/√3 por menos del 5 por ciento. Es importante no “contar dos veces” las componentes de la incertidumbre. Si una componente de incertidumbre que resulta de un efecto en particular se obtiene a partir de una evaluación Tipo B, debería incluirse como una componente independiente de incertidumbre en el cálculo de la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición únicamente si el efecto no contribuye a la variabilidad apreciada en las observaciones. Esto es así por que la incertidumbre debida a la porción del efecto que contribuye a la variabilidad observada está ya incluida en la componente de la incertidumbre obtenida a partir del análisis estadístico de las observaciones. La discusión sobre la evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar se debe obtener sólo como una serie de indicaciones. Adicionalmente, las evaluaciones de incertidumbre deberían basarse en datos cuantitativos tanto como sea posible. Ilustración gráfica de la evaluación de la incertidumbre estándar. La figura 3 representa la estimación del valor de un argumento Xi y la evaluación de la incertidumbre de esa estimación a partir de la distribución desconocida de los posibles valores medidos de Xi , o la distribución de probabilidad de Xi la cual se muestra mediante observaciones repetidas.



FIGURA NÚMERO 3. ILUSTRACION GRÁFICA DE LA EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR DE UN ARGUMENTO A PARTIR

DE OBSERVACIONES REPETIDAS



En la figura 3a se supone que el argumento Xi es una temperatura y que su distribución desconocida es una distribución normal con esperanza μt = 100 0C y desviación estándar σ = 1,5 0C. Su función de densidad de probabilidad es entonces

( ) 22 2/

21)( σμ

πσttetp −−=

La figura 3b muestra un histograma de n = 20 observaciones repetidas de tk de la

temperatura t que se supone han sido tomadas aleatoriamente de la distribución de la figura 3a. Para obtener el histograma, las 20 observaciones o muestras, cuyos valores se dan en la tabla 4, se agrupan en intervalos de 1 0C. (La preparación de histogramas, por supuesto, no se requiere para el análisis estadístico de datos.)

La media aritmética o promedio _

t de las n = 20 observaciones calculada de acuerdo a la

ecuación (3) es _

t = 100,145 0C, asumiéndose que es la mejor estimación de la esperanza μt de t basada en los datos disponibles. La desviación estándar experimental s(tk ) calculada usando la ecuación (4) es s(tk ) = 1,489 0C ≈ 1,49 0C, y la desviación estándar experimental de la media

s(_

t ) calculada usando la ecuación (5), la cual es la incertidumbre estándar u(_

t ) de la media _

t , es:

( ) ( ) ( )C0,33C333,0

2000 ≈=== kts

tstu

Tabla 4. Veinte observaciones repetidas de la temperatura t agrupadas en intervalos de 1 0C.

Intervalo t1 ≤ t < t2 Temperatura t1 / 0C t2 / 0C t / 0C 94,5 95,5 96,5 97,5 98,5 99,5 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5

95,5 96,5 97,5 98,5 99,5 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5 105,5

--- --- 96,90 98,18;98,25 98,61;99,03;99,49 99,56;99,74;99,89;100,07;100,33;100,42 100,68;100,95;101,11;101,20 101,57;101,84;102,36 102,72 --- ---



Nota - Aunque los datos de la tabla 4 son razonables considerando el amplio uso de los termómetros digitales electrónicos de alta resolución, sólo tienen propósitos ilustrativos y no se deben interpretar como descripciones de una medición real. La figura 4 representa la estimación del valor del argumento Xi y la evaluación de la incertidumbre de esa estimación a partir de una distribución a priori de valores posibles de Xi , o distribución de probabilidad de Xi , basada en toda la información disponible. Para los dos casos mostrados, se supone que el argumento es, nuevamente, una temperatura t. Para el caso ilustrado en la figura 4a, se asume que se dispone de poca información acerca del argumento t y que todo lo que se puede hacer es suponer que t está descrita mediante una distribución de probabilidad a priori simétrica y rectangular, con límite inferior a- = 96 0C, límite superior a+ = 104 0C , y por lo tanto, un semiintervalo a = (a+ - a-)/2 = 4 0C. La función de densidad de probabilidad de t es entonces

( ) +− ≤≤= ataa

tp ,21

( ) caso otrocualquier en ,0=tp Como se indico anteriormente, la mejor estimación de t es su esperanza μt = (a+ - a-)/2 = 100 0C. La incertidumbre estándar de esta estimación es u(μt ) = a/√3 ≈ 2,3 0C. Para el caso ilustrado en la figura 4b, se supone que la información disponible acerca de t está menos limitada y que t se puede describir mediante una distribución de probabilidad a priori simétrica, triangular con el mismo límite inferior a- = 96 0C, el mismo límite superior a+ = 104 0C y, por lo tanto, con el mismo semiintervalo a = (a+ - a-)/2 = 4 0C. La función de densidad de probabilidad de t es entonces

( ) ( ) ( ) 2/,/ 2−+−− +≤≤−= aataaattp

( ) ( ) ( ) +−++ ≤≤+−= ataaatatp 2/,/ 2 caso otrocualquier en ,0)( =tp

Como se indico anteriormente, la esperanza de t es μt = (a+ + a-)/2 = 100 0C. La incertidumbre estándar de esta estimación es u(μt ) = a/√6 ≈ 1,6 0C [ver ecuación (12b)]. El valor anterior, u(μt ) = 1,6 0C, se puede comparar con u(μt ) = 2,3 0C obtenido anteriormente a partir de una distribución rectangular del mismo ancho de 8 0C; con σ = 1,5 0C de la distribución normal de la figura 3a cuyo ancho de – 2,58σ a + 2,58σ, que incluye el 99 por ciento de la distribución, es cercano a 8 0C; y con u(t) = 0,33 0C obtenido anteriormente a partir de 20 observaciones que se supone fueron tomadas aleatoriamente de la misma distribución normal



FIGURA NÚMERO 4. ILUSTRACIÓN GRÁFICA DE LA EVALUACIÓN DE LA

INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR DE UN ARGUMENTO A PARTIR DE UNA DISTRIBUCIÓN A PRIORI.



Determinación de la incertidumbre estándar combinada. Argumentos no correlacionados. La incertidumbre estándar de y, donde y es la estimación del mensurando Y y por lo tanto el resultado de la medición, se obtiene combinando apropiadamente las incertidumbres estándar de las estimaciones de los argumentos x1, x2, ... , xN . Esta incertidumbre estándar combinada de la estimación y se denota por uc (y). La incertidumbre estándar combinada uc (y) es la raíz cuadrada positiva de la varianza combinada uc

2 (y), la cual está dada por:

( ) ( ) )13(...2

1

2

2i

N

i ic xu

xfYu ∑

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

donde f es la función dada en la ecuación 1. Cada u(xi ) es una incertidumbre estándar evaluada como se describió anteriormente en la evaluación Tipo A o evaluación Tipo B. La incertidumbre estándar combinada uc (y) es una desviación estándar estimada que caracteriza la dispersión de los datos que pueden ser razonablemente atribuidos al mensurando Y. La ecuación (13) y su contraparte para argumentos correlacionados, ecuación (16), las cuales están basadas en una aproximación en serie de Taylor a primer orden de Y = f (X1, X2, ... , XN ), expresan lo que se denomina la ley de propagación de incertidumbres. Nota. Cuando la no linealidad de f es significativa, se deben de incluir términos de mayor orden de la expansión en serie de Taylor de la expresión para uc

2 (y), ecuación (13). Cuando la distribución de cada Xi es simétrica alrededor de su promedio, los términos más importantes del siguiente orden mayor que se deben sumar a los términos de la ecuación (13) son:

( ) ( )j

N

ii

N

j jiiji

xuxuxxf

xf

xxf 2

1

2

12

32

2

21∑∑

= = ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

Las derivadas parciales ∂f/∂xi son iguales a ∂f/∂Xi evaluadas en Xi = xi . Estas derivadas, llamadas frecuentemente coeficientes de sensibilidad, describen cómo la estimación y varía con los cambios en las estimaciones de los argumentos x1, x2, ..., xN. En particular, el cambio en y producido por un cambio pequeño Δxi en la estimación del argumento xi está dado por (Δy)i = (∂f/∂xi ) (Δxi). Si este cambio es generado por la incertidumbre estándar de la estimación xi, la correspondiente variación en y es (∂f/∂xi)u(xi). La varianza combinada uc

2(y) puede entonces ser vista como una suma de términos, cada uno de los cuales representa la varianza estimada asociada con la estimación del mensurando y generada por la varianza estimada asociada con cada estimación xi. Esto sugiere escribir la ecuación (13) como



( ) ( )[ ] ( )∑ ∑= =

==N

i

N

iiiic yuxucyu

1 1

222 )a14(...

donde

( ) ( ) )b14(..., iiii

i xucyuxfc =

∂∂

=

NOTAS 1 Hablando estrictamente, las derivadas parciales son ∂f/∂xi = ∂f/∂Xi evaluadas en las esperanzas de Xi. Sin embargo, en la práctica, las derivadas parciales se estiman mediante

Nii

xxxXf

xf .....,,, 21∂

∂=

∂∂

2 La incertidumbre estándar combinada uc(y) se puede calcular numéricamente si se sustituye ciu(xi) en la ecuación (14a) por

( )( ) ( )( )[ ]NiiNiiii xxuxxfxxuxxfZ ,...,,...,,...,,...,21

1 −−+=

Esto es, ui(y) es evaluada numéricamente calculando el cambio en y debido al cambio en xi de + u(xi) a – u(xi). El valor de ui(y) entonces puede ser tomada como |Zi| y el valor del correspondiente coeficiente de sensibilidad ci como Zi/u(xi). EJEMPLO. En el ejemplo de la página 22, usando, por simplicidad de notación, el mismo símbolo para la cantidad y su estimación

( )[ ] VPttRVVPc /21/2/ 001 =−+=∂∂= α

( )[ ] 002

02

02 /1// RPttRVRPc −=−+−=∂∂= α

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]002

0002

3 1/1// ttttPttRttVPc −+−−=−+−−=∂∂= ααα ( )[ ] ( )[ ]0

200

24 1/1// ttPttRVtPc −+−=−+−=∂∂= αααα

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutPuPRu

RPVu

VPPu 2

22

2

02

2

0

22

2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

= αα

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2

42

32

022

1 tucucRucVuc +++= α



( ) ( ) ( ) ( ) ( )PuPuPuPuPu 24

23

22

21

2 +++= Los coeficientes de sensibilidad ∂f/∂xi , en lugar de ser calculados a partir de la función f, algunas veces son determinados experimentalmente: se mide el cambio en Y producido por un cambio en una Xi particular, manteniéndose constantes las demás. En este caso, el conocimiento de la función f ( o una porción de estas cuando solamente algunos coeficientes de sensibilidad son determinados de esta manera) se ve reducido a una expansión en serie de Taylor de primer orden experimental basada en los coeficientes de sensibilidad medidos. Si la ecuación (1) para el mensurando Y es expandida alrededor de los valores nominales Xi,0 de los argumentos Xi, entonces, a primer orden (que es usualmente una aproximación adecuada), Y = Y0 + c1∂1 + c2∂2 + ... + cN∂N, donde Y0 = f(X1,0, X2,0, ... , XN,0), ci = (∂f/∂Xi) evaluada en Xi,0, y ∂i = Xi – Xi,0. Así para los propósitos de un análisis de incertidumbres, un mensurando es usualmente aproximado por una función lineal de sus variables al transformar sus argumentos de Xi a ∂i. Ejemplo. Del ejemplo 2 de la página 31, la estimación del valor del mensurando V es V = −

V + Δ−

V , donde −

V = 0,928571 V, u(−

V ) = 12 μV, la corrección aditiva Δ−

V = 0, y u(Δ−

V ) = 8,7

μV. Ya que ∂V/∂−

V = 1 y ∂V/∂(Δ−

V ) = 1, la varianza combinada asociada con V está dada por

( ) ( )−

−−−

×=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1222222 10219V7,8V12 μμVuVuuc

y la incertidumbre estándar combinada es uc(V) = 15 μV, la cual corresponde a una incertidumbre estándar combinada relativa uc(V)/V de 16 X 10-6. Este es un ejemplo del caso donde el mensurando es una función lineal de las magnitudes de que depende, con coeficientes ci = + 1. Se sigue de la ecuación (13) que si Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN y si las constantes ci = + 1 o – 1, entonces

( ) ( )∑=

=N

iic xuyu

1

22

Si Y es de la forma

NPN

PP XXcXY ...2121=

y los exponentes pi son números conocidos positivos o negativos que tienen incertidumbres despreciables, la varianza combinada, ecuación (13), se puede expresar como

( )[ ] ( )[ ]∑=

=N

iiiic xxupyyu

1

22 )15(...//



Esta ecuación tiene la misma forma que la (14a) pero con la varianza combinada uc

2 (y) expresada como una varianza combinada relativa [uc (y)/y)2 y la varianza estimada u2(xi ) asociada con cada estimación de los argumentos como una varianza relativa estimada [u(xi )/xi ]2. (La incertidumbre estándar combinada relativa es uc (y)/|y| y la incertidumbre estándar relativa de cada estimación de los argumentos es u(xi )/|xi |, |y| ≠ 0 y |xi | ≠ 0.) Notas: 1 Cuando Y tiene esta forma, su transformación a una función lineal de variables se realiza fácilmente haciendo Xi = Xi ,0 ( 1 + ∂i ), donde se sigue la relación: (Y - Y0)/Y0 = ∑N

i =1 p1 ∂i . Por otro lado, la transformación logarítmica Z = ln Y y Wi = ln Xi conduce a una linealización exacta en términos de las nuevas variables: Z = ln c + ∑N

i =1 pi Wi . 2 Si cada pi es o +1 o -1, la ecuación (15) se puede escribir como

( )[ ] ( )[ ]∑=

=N

iiic xxuyyu

1

22 //

la cual muestra que para cada caso especial la varianza combinada relativa asociada a la estimación de y es simplemente igual a la suma de las varianzas relativas estimadas asociadas con las estimaciones de los argumentos de xi . Argumentos correlacionados52. La ecuación (13) y las deducidas a partir de ellas, tales como las ecuaciones (14) y (15) son válidas solamente si los argumentos Xi son independientes o no correlacionados (las variables aleatorias, no las cantidades físicas que son asumidas como invariantes). Si algunas de las Xi están significativamente correlacionados, las correlaciones se deben tomar en cuenta. Cuando los argumentos están correlacionados, la expresión apropiada para la varianza combinada uc

2 (y) asociada al resultado de la medición es

( ) ( )∑∑= = ∂

∂∂∂

=N

i

N

jji

jic xxu

xf

xfyu

1 1

2 ,

( ) ( )∑ ∑∑=

−

= += ∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=N

i

N

i

N

ijji

jii

i

xxuxf

xfxu

xf

1

1

1 1

2

2

)16(...,2

52 ISO 3534-1-1993, 1.13. CORRELACIÓN. La relación entre dos o más variables aleatorias dentro de una distribución de dos o más variables aleatorias.



donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj y u(xi ,xj ) = u(xj ,xi ) es la covarianza estimada asociada con xi y xj . El grado de correlación entre xi y xj está caracterizado por el coeficiente de correlación estimado

( ) ( )( ) ( ) )17(...

,,

ji

jiji xuxu

xxuxxr =

donde r(xi , xj ) = r(xj ,xi ), y -1 ≤ r(xi , xj ) ≤ +1. Si las estimaciones xi y xj son independientes r(xi , xj ) = 0, y un cambio en una de ellas no implica un cambio en la otra. En términos de coeficientes de correlación, que son más fácilmente interpretables que las covarianzas, el término de covarianza de la ecuación (16) se puede escribir como

( ) ( ) ( )∑∑−

= += ∂∂

∂∂1

1 1

)18(...,2N

i

N

ijjiji

ji

xxrxuxuxf

xf

La ecuación (19) se puede escribir entonces, con la ayuda de la ecuación (14b), como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑=

−

= +=

+=N

i

N

i

N

ijjijijiiic xxrxuxuccxucyu

1

1

1 1

222 )19(...,2

Notas: 1 Para el caso muy especial donde todas las estimaciones de los argumentos están correlacionados con coeficientes de correlación r(xi , xj ) = +1, la ecuación (19) se reduce a

( ) ( ) ( )2

1

2

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

==

N

ii

i

N

iiic xu

xfxucyu

La incertidumbre estándar combinada uc (y) es, por lo tanto, simplemente la raíz cuadrada positiva de una suma lineal de términos que representan la variación de las estimaciones del mensurando y generada por la incertidumbre estándar de cada estimación de los argumentos xi . (Esta suma lineal no se debe confundir con la ley general de propagación de errores que tiene una forma similar; las incertidumbres estándares no son errores.) Ejemplo. Diez resistores, cada uno de resistencia nominal Ri = 1000 Ω, son calibrados, con una incertidumbre despreciable, por comparación con respecto a la resistencia patrón Rs de 1000 Ω caracterizada por una incertidumbre estándar u(Rs ) = 100 mΩ, de acuerdo con su certificado de calibración. Los resistores son conectados en serie con alambres de resistencia despreciable para obtener una resistencia de referencia Rref de valor nominal 10 kΩ. Así que:



( ) ∑=

==10

1iiiref RRfR

Puesto que r(xi , xj ) = r(Ri , Rj ) = +1 para cada par de resistencias, la ecuación de esta nota se aplica. Dado que para cada resistencia ∂f/∂xi = ∂Rref /∂Ri = 1, y u(xi ) = u(Ri ) = u(Rs ), esta ecuación da como resultado para la incertidumbre estándar combinada de Rref ,

( ) ( ) ( )∑=

Ω=Ω×==10

11m10010

isref RuRu

Así que el resultado

( ) ( ) Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=

32,021

10

1

2

isrefc RuRu

Obtenido de la ecuación (13) es incorrecto ya que no se toma en cuenta que todos los valores de las calibraciones de las diez resistencias están correlacionados. 2 Las varianzas estimadas u2(xi ) y las covarianzas estimadas u(xi , xj ) se pueden considerar como los elementos de una matriz de covarianzas con elementos uij . Los elementos de la diagonal uii de la matriz son las varianzas u2(xi ) mientras que los elementos fuera de la diagonal uij (i ≠ j ) son las covarianzas u(xi ,xj ) = u(xj ,xi ). Si las estimaciones de dos argumentos no están correlacionadas, su covarianza asociada y los elementos correspondientes uij y uji de la matriz de covariancias son 0. Si las estimaciones de todos los argumentos no son correlacionadas, todos los elementos fuera de la diagonal son cero y la matriz de covarianza es diagonal. 3 Para propósitos de evaluación numérica, la ecuación (19) se puede escribir como

( ) ( )∑∑= =

=N

i

N

jjijic xxrZZyu

1 1

2 ,

4 Si las Xi son de forma especial y además están correlacionadas, entonces los términos

( )[ ] ( )[ ] ( )∑ ∑−

= +=

1

1 1,//2

N

i

N

ijjijjjiii xxrxxupxxup

se deben agregar al lado derecho de la ecuación (15).

Considérense dos medias aritméticas q−

y r−

que estiman las esperanzas μq y μr de dos



variables aleatorias q y r y calcúlense q−

y r−

a partir de n pares independientes de observaciones simultáneas de q y r hechas bajo las mismas condiciones de medición. Entonces la covarianza de

q−

y r−

se pueden estimar por

( )∑= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

kkk rrqq

nnrqs

1

____

)20(...1

1,

donde qk y rk son las observaciones individuales de las cantidades q y r, y q−

y r−

se calculan a partir de las observaciones de acuerdo con la ecuación (3). Si, en efecto, las observaciones no están correlacionadas, se espera que la covarianza calculada sea aproximadamente cero. Así, la covarianza estimada de dos argumentos correlacionados Xi y Xj que se estima

mediante las medias X Xi j

− −

y determinada a partir de pares independientes de observaciones

simultáneas está dada por u(xi , xj ) = ( )s X Xi j

− −

, , con ( )s X Xi j

− −

, calculada de acuerdo con la ecuación (20). Esta aplicación de la ecuación (17) es una evaluación Tipo A de la covarianza. El coeficiente de correlación estimado para Xi y Xj se obtiene de la ecuación (17). Puede existir una correlación significativa entre dos argumentos si se han usado, para su determinación, un mismo instrumento de medición, patrón físico de medición, o datos de referencia que tengan una incertidumbre estándar significativa. Por ejemplo, si un cierto termómetro es utilizado para determinar una corrección de temperatura requerida en la estimación del argumento Xi , y el mismo termómetro se usa para determinar una corrección similar de temperatura requerida en la estimación en la estimación del argumento Xj , los dos argumentos podrían estar significativamente correlacionados. Sin embargo, si Xi y Xj en este ejemplo se redefinen como las magnitudes no corregidas y las magnitudes que definen la curva de calibración para el termómetro se incluyen como argumentos adicionales con incertidumbres estándar independientes, se remueve la correlación entre Xi y Xj . No se pueden ignorar las correlaciones entre argumentos cuando aquellas existen y son significativas. Las covarianzas asociadas se deben evaluar experimentalmente, de ser posible, variando los argumentos correlacionados, o usando la información disponible sobre la variabilidad correlacionada de las magnitudes en cuestión (evaluación Tipo B de la covarianza). La intuición basada en la experiencia y el conocimiento general son esencialmente requeridos para estimar el grado de correlación entre argumentos que surgen de los efectos de influencias comunes, tales como la temperatura ambiente, la presión barométrica, y la humedad. Afortunadamente, en muchos casos, los efectos de tales influencias tienen interdependencia despreciable y los argumentos pueden ser asumidos como no correlacionados. Sin embargo, si no pueden suponerse no correlacionados, las correlaciones mismas pueden ser evitadas si se consideran como argumentos adicionales las influencias comunes.



Determinación de la incertidumbre expandida. Las diferentes asociaciones internacionales que trabajan sobre los temas de metrología, abogan por el uso de la incertidumbre estándar combinada uc (y) como el parámetro para expresar cuantitativamente la incertidumbre en el resultado de una medición. Aunque uc (y) se puede usar universalmente para expresar la incertidumbre del resultado de una medición, en algunas aplicaciones comerciales, industriales o regulatorias, y cuando la salud o la seguridad están involucradas, frecuentemente es necesario proporcionar una medida de la incertidumbre que define un intervalo alrededor del resultado de la medición que se espera incluya una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente pueden ser atribuidos al mensurando. Incertidumbre expandida. La medida adicional de la incertidumbre que cumple con el requisito de definir un intervalo es llamada incertidumbre expandida y se designa por el símbolo U. La incertidumbre expandida U se obtiene al multiplicar la incertidumbre estándar combinada uc (y) por un factor de cobertura k:

( ) )21(...yukU c=

Entonces el resultado de una medición se expresa, convenientemente como Y = y ± U, que se interpreta diciendo que la mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y, y que se espera que el intervalo que va de y - U a y + U abarque una fracción importante de la distribución de los valores que razonablemente se pueden atribuir a Y . Tal intervalo también se puede expresar como;

UyYUy +≤≤− Los términos intervalo de confianza y nivel de confianza tienen definiciones específicas en estadística y sólo se aplican al intervalo definido por U cuando se satisfacen ciertas condiciones, incluyendo aquella de que todas las componentes de la incertidumbre que contribuyen a uc (y) sean obtenidas de las evaluaciones Tipo A. Entonces, la palabra “confianza” no se usa para modificar a la palabra “intervalo” cuando se hace referencia al intervalo definido por U; y el término “intervalo de confianza” no se usa para hacer referencia a ese intervalo, utilizándose, en cambio, el término “nivel de confianza”. Específicamente, se debe interpretar a U como el valor que define un intervalo alrededor del resultado de la medición que abarca una fracción grande p de la distribución de probabilidad caracterizada por ese resultado y también por su incertidumbre estándar combinada, y p es la probabilidad de cobertura o nivel de confianza del intervalo. Cuando sea posible, el nivel de confianza p asociado con el intervalo definido por U



deberá ser estimado y declarado. Deberá de reconocerse que al multiplicar a uc(y) por una constante no se añade nueva información, sino que se presenta a la información previamente disponible en una forma diferente. Sin embargo, también se debe reconocer que en la mayoría de los casos el nivel de confianza p (especialmente en los casos cuando p toma valores cercanos a la unidad) es un tanto inseguro, no sólo por la limitación en el conocimiento de la distribución de probabilidad caracterizada por y y por uc (y) (particularmente en los extremos), sino también por la incertidumbre en uc (y) misma. Elección del factor de cobertura. El valor del factor de cobertura k se elige en base al nivel de confianza requerido para el intervalo de y – U a y + U . En general, k tomará valores entre 2 y 3, que equivalen a los niveles de confianza de 95,45 % y 99,73 %. Sin embargo, para ciertas aplicaciones especiales k podrá estar fuera de este intervalo de valores. La experiencia y el conocimiento a fondo del uso que se le dé a los resultados de las mediciones, pueden facilitar grandemente la selección del valor apropiado para k. Nota. Ocasionalmente, es posible encontrar que una corrección conocida b de un efecto sistemático no ha sido aplicada al resultado informado de una medición, por el contrario, se ha tratado de tomar en cuenta este efecto ampliando la “incertidumbre” asignada al resultado. Esto se debe evitar; sólo en circunstancias muy especiales no se aplicarán las correcciones para efectos sistemáticos significativos conocidos al resultado de una medición. La evaluación de la incertidumbre del resultado de una medición no deberá de confundirse con la asignación de niveles de seguridad a una cantidad. Idealmente, se debería ser capaz de elegir un valor especifico del factor de cobertura k

que determinaría al intervalo Y = y ± U = y ± kuc(y) correspondiente al nivel de confianza

particular p, tal como 95 o 99 por ciento; en forma equivalente, para un valor dado de k, sería

agradable poder establecer inequívocamente el nivel de confianza asociado con el intervalo. Sin

embargo, esto no es sencillo de hacer en la práctica ya que se requiere un conocimiento amplio

de la distribución de probabilidad caracterizada por el resultado de la medición y, y la

incertidumbre estándar combinada uc(y). Aunque estos parámetros son de importancia crítica,

son por sí mismos insuficientes para el propósito de establecer intervalos que tengan niveles de

confianza exactamente conocidos.

En donde la distribución de probabilidad caracterizada por y y por uc(y) es



aproximadamente normal y el número de grados de libertad efectivos de uc(y) es grande. Cuando

este es el caso, que ocurre frecuentemente en la práctica, es posible suponer que al tomar k = 2 se

obtiene un intervalo cuyo nivel de confianza es aproximadamente 95 %, y que al elegir k =3 se

obtiene un intervalo que tiene un nivel de confianza de aproximadamente el 99 por ciento.

Los principales institutos internacionales de metrología han seleccionado k = 2, por lo que se considera recomendable adoptar este criterio, entonces

)22.....(2 cuU = La selección de un nivel de confianza particular que quiera darse a la expresión de la incertidumbre, condiciona la selección del factor de cobertura, lo que implica evaluar los grados de libertad efectivos de uc y determinar el valor de k por medio de la distribución “t-Student”. Para muchas situaciones de medición prácticas, generalmente las siguientes condiciones prevalecen:

a) La estimación y del mensurando Y se obtienen de iguales estimaciones de xi de argumentos Xi cuyas distribuciones probabilísticas se conocen con suficiente certeza, tales como la “normal” o “rectangular”.

b) Las incertidumbres estándar u(xi) de estas estimaciones, las cuales pudieran haber sido obtenidas por evaluaciones tipo A o B, contribuyen proporciones similares para la obtención de la incertidumbre combinada uc(y) del resultado de la medición y.

c) Es adecuada la aproximación lineal que implícitamente se indica en la Ley de Propagación de las Incertidumbres, ecuación (3).

d) La incertidumbre de uc(y) es razonablemente pequeña cuando el número de grados de libertad efectivos νef es grande, por ejemplo mayor que 10. Para obtener los νeff se utiliza la ecuación siguiente:

( )( ) )23.....(

1

4

4

∑=

=N

i i

i

ceff yu

yu

ν

υ

donde uc(y) es la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición y, ui(y) es la incertidumbre estándar i-ésima tipo A o B y νi son los grados de libertad correspondientes que se utilizaron para el cálculo de ui(y).



TABLA NÚMERO 5. VALORES DE tp DE LA DISTRIBUCIÓN t PARA ν GRADOS DE LIBERTAD QUE DEFINEN UN INTERVALO – tp A + tp QUE INCLUYEN LA FRACCIÓN

p DE LA DISTRIBUCIÓN. Grados de Libertad

Fracción p en por ciento

ν 68,27(a) 90 95 95,45(a) 99 99,73(a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 50 100 200 ∝

1,844 1,321 1,197 1,142 1,111 1,091 1,077 1,067 1,059 1,053 1,048 1,043 1,040 1,037 1,034 1,032 1,030 1,029 1,027 1,026 1,024 1,023 1,022 1,021 1,020 1,020 1,019 1,018 1,018 1,017 1,015 1,013 1,010 1,005 1,003 1,000

6,31 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,756 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,690 1,684 1,676 1,660 1,653 1,645

12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,030 2,021 2,009 1,984 1,972 1,961

13,97 4,527 3,307 2,869 2,649 2,517 2,429 2,366 2,320 2,284 2,255 2,231 2,212 2,195 2,181 2,169 2,158 2,149 2,140 2,133 2,126 2,120 2,115 2,110 2,105 2,101 2,097 2,093 2,090 2,087 2,074 2,064 2,051 2,025 2,016 2,000

63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,724 2,704 2,678 2,626 2,601 2,577

235,77 19,206 9,219 6,620 5,507 4,904 4,530 4,277 4,094 3,957 3,850 3,764 3,694 3,636 3,586 3,544 3,507 3,475 3,447 3,422 3,400 3,380 3,361 3,345 3,330 3,316 3,303 3,291 3,280 3,270 3,229 3,199 3,157 3,077 3,038 3,000

(a) Para una magnitud z descrita mediante una distribución normal con esperanza μz y desviación estándar σ, el intervalo μz ± kσ incluye la fracción p = 68,27; 95,45; y 99,73 % de la distribución para k = 1, 2 y 3.



La determinación de νi(y) de una incertidumbre estándar tipo A es fácilmente reconocible a partir del número de mediciones de que se dispone, en cambio νi(y) para una incertidumbre estándar tipo B se determina a partir de la ecuación (7), quedando como,

( )( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

( )

( )( ) )24.....(

211

21

21

21

2

2

2

2

2 −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ≈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≈≈

i

i

i

ii

i

i

ii xu

xu

xxuxu

xxu

x

σσσ

σσσ

ν

donde u(xi) es la incertidumbre del estimado xi y es igual a s(_

q ), que a su vez es un “estadístico”

que estima la desviación estándar de la distribución de probabilidad de _

q ; )()(_

ixq σσ = la

desviación estándar de la distribución de los valores de _

q que se obtendrían si las mediciones se repitiesen un número infinito de veces. Al cociente entre paréntesis rectangulares se le conoce como la “incertidumbre relativa de u(xi)” para evaluaciones estándar tipo B y su valor está en función de la información disponible, quedando a juicio del metrólogo la estimación de la confiabilidad de u(xi). Por ejemplo, si en un caso particular se considera que u(xi) es confiable al 20 %, entonces los grados de libertad de esta incertidumbre estándar relativa tipo B serán de (16),

( )( )

( ) 1222,02,0

2

≈=∴=Δ −

ii

i

xuxu

ν

ya que no pueden existir fracciones de grados de libertad se toma el entero inferior inmediato. Informes de incertidumbre.

Guía general.

En general, conforme se avanza en la jerarquía de las mediciones, se requieren más

detalles acerca de cómo se obtuvieron el resultado de una medición y su incertidumbre. No

obstante, en cualquier nivel de dicha jerarquía, incluyendo las actividades comerciales y

reglamentarias en el mercado, trabajos de ingeniería en la industria, instalaciones de calibración

no primarias, investigación y desarrollo industrial, investigación académica, laboratorios de

calibración y patrones primarios industriales, los laboratorios nacionales y el BIPM, debería estar

disponible toda la información necesaria para la reevaluación de la medición para quienes



pudieran necesitarla. La diferencia primordial es que en los niveles más bajos de la cadena

jerárquica, la mayor parte de la información puede estar disponible en informes publicados de

calibración y prueba del sistema, especificaciones de prueba, certificados de prueba y

calibración, manuales de instrucciones, normas internacionales y nacionales, y reglamentos

locales

Cuando se proporcionan los detalles de la medición, incluyendo el método para la

evaluación de la incertidumbre, haciendo referencia a documentos publicados, como es frecuente

en casos cuando los resultados de la calibración se declaran en un certificado, es imperativo que

estas publicaciones se mantengan actualizadas de manera que sean consistentes con los

procedimientos de medición que realmente están utilizándose.

En la industria y el comercio cada día se hacen numerosas mediciones sin un informe

explícito de la incertidumbre. Sin embargo, muchas se efectúan con instrumentos sujetos a

calibraciones periódicas o a inspecciones legales. Si se sabe que los incrementos se trabajan en

conformidad a sus especificaciones o a los documentos normativos existentes que puedan

aplicarse a ellos, las incertidumbres de sus indicaciones pueden inferirse a partir de esas

especificaciones o de esos documentos normativos.

Aunque en la práctica la cantidad de información necesaria para documentar el resultado

de una medición depende del uso pretendido, el principio básico de lo que se requiere permanece

sin cambio: cuando se informa el resultado de una medición y su incertidumbre, es preferible

equivocarse suministrando demasiada información en lugar de suministrarla incompleta. Por

ejemplo, se puede:

a) describir claramente los métodos utilizados para calcular el resultado de la medición y

su incertidumbre a partir de las observaciones experimentales y los argumentos utilizados;

b) hacer listas de todas las componentes de la incertidumbre y documentar totalmente

sobre como fueron evaluadas;



c) presentar los análisis de datos de una manera tal que cada uno de sus pasos importantes pueden ser seguidos de manera sencilla y el cálculo del resultado informado pueda ser repetido de manera independiente, en caso de ser necesario;

d) proporcionar todas las correcciones y las constantes utilizadas en al análisis, así como las fuentes de cada una de ellas. Una prueba de la lista que antecede es preguntar “¿se ha proporcionado suficiente información, de una manera suficientemente clara, de tal manera que el resultado pueda ser actualizado en el futuro en caso de que se tenga disponible nueva información?” Guía especifica. Cuando se informa el resultado de una medición y cuando la medida de la incertidumbre es la incertidumbre estándar combinada uc(y), se debe:

a) dar una descripción completa de cómo se define el mensurando Y;

b) dar el valor estimado y del mensurando Y y su incertidumbre estándar combinada uc(y); dando siempre las unidades tanto de y como de uc(y);

c) incluir la incertidumbre estándar combinada relativa uc(y)/|y|, |y| ≠ 0, cuando sea apropiado

d) dar la información detallada de cómo fueron obtenidos los resultados de la medición o hacer referencia a un documento publicado que la contenga.

Si se juzgara útil para los posibles usuarios de los resultados de las mediciones, por ejemplo, para ayudar en cálculos futuros de factores de cobertura o para asistir en la comprensión de las mediciones, se debe indicar:

- los grados de libertad efectivos estimados veff;

- las incertidumbres estándar combinadas Tipo A y Tipo B, ucA(y) y ucB(y),

respectivamente, y sus grados de libertad efectivos estimados veffA y veffB. Cuando la medida de la incertidumbre es uc(y), es preferible declarar el resultado numérico de la medición en una de las cuatro maneras siguientes, con el propósito de evitar malas interpretaciones. (Se supone que la magnitud cuyo valor se está informando es, nominalmente, una masa patrón ms de 100 g; las palabras que se encuentran entre paréntesis pueden ser omitidas por brevedad si uc se define en cualquier parte del documento que informa el resultado.)

1) “ms = 100,021 47 g con (una incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg”.



2) “ms = 100,021 47(35) g. Donde el número entre paréntesis es el valor numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc referido a los últimos dígitos correspondientes del resultado citado.”

3) “ms = 100,02147(0,00035) g, donde el número entre paréntesis es el valor numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc expresado en la unidad del resultado citado.” 4) “ms = (100,02147 ± 0,00035) g, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc y no un intervalo de confianza.” Nota- El formato que usa el símbolo ± se debe evitar cada vez que sea posible ya que, tradicionalmente, se le ha usado para indicar un intervalo que corresponde a un alto nivel de confianza y puede, por tanto, ser confundida con la incertidumbre expandida. Aún más, aunque el propósito de la advertencia en 4) es prevenir tal confusión, escribir Y = y ± uc(y) se puede seguir malinterpretándose al hacer creer que implica, especialmente si la advertencia es accidentalmente omitida, que se pretende una incertidumbre expandida con k = 1 y que el intervalo y – uc(y) ≤ Y ≤ y + uc(y) tiene un nivel de confianza especificado p, es decir, aquel asociado con la distribución normal, la interpretación de uc(y) en este sentido usualmente es difícil de justificar. Cuando se informen los resultados de una medición y cuando la medida de la incertidumbre sea la incertidumbre expandida U = kuc(y), se debe:

a) dar una descripción completa de cómo se define el mensurando Y;

b) declarar el resultado de la medición como Y = y ± U y dar las unidades de y y de U;

c) incluir la incertidumbre expandida relativa U/|y|, |y| ≠ 0, cuando sea apropiado;

d) dar el valor de k usado para obtener U [o, para conveniencia del usuario del resultado, dar tanto k, como uc(y)];

e) dar el nivel de confianza aproximado asociado con el intervalo Y = y ± U y declarar

como se determinó.

f) Dar la información mencionada en los puntos A) a D) o hacer referencia a un

documento publicado que la contenga.

Cuando la medida de la incertidumbre es U, es preferible, para máxima claridad, declarar

el resultado numérico de la medición como en el ejemplo siguiente. (Las palabras que se encuentran entre paréntesis pueden ser omitidas por brevedad si U, uc y k son definidas en cualquier parte del documento que informa el resultado.)



“ ms = (100,02147 ± 0,00079) g, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de (una incertidumbre expandida) U = kuc, con U determinada a partir de (una incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg y (un factor de cobertura) k = 2,26; basada en la distribución t para ν = 9 grados de libertad, y define un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de 95 porciento.”

Si una medición determina simultáneamente a más de un mensurado, o sea, si suministra dos o más estimados yi, entonces, además de dar yi y uc(yi), dar los elementos matriciales de la covarianza u(yi, yj) o los elementos r(yi, yj) de la matriz de coeficientes de correlación (y es preferiblemente mejor ambos). El valor numérico del estimado y y de su incertidumbre estándar uc(y) o su incertidumbre expandida U no deben ser dadas con un número excesivo de dígitos. Usualmente es suficiente expresar uc(y) y U [así como las incertidumbres estándar u(xi) de los argumentos xi], con a lo más dos dígitos significativos, aunque en algunos casos puede ser necesario retener dígitos adicionales para evitar errores de redondeo en cálculos subsecuentes. Al informar los resultados finales, puede ser algunas veces apropiado redondear incertidumbres al dígito superior en lugar de al dígito más cercano. Por ejemplo, uc(y) = 10,47 mΩ se puede redondear hasta 11 mΩ. Sin embargo, el sentido común deberá prevalecer y un valor como u(xi) = 28,05 Hz debe ser redondeado a 28 Hz. Las estimaciones de los argumentos y el mensurando deben ser redondeados para ser consistentes con sus incertidumbres; por ejemplo, si y = 10,05762 Ω con una uc(y) = 27 mΩ, y se debe redondear a 10,058 Ω. Los coeficientes de correlación deberían ser dados con una exactitud de tres dígitos si sus valores absolutos son cercanos a la unidad. En el informe detallado que describe como fueron obtenidos el resultado de una medición y su incertidumbre, se debe;

A) dar el valor para cada estimación de los argumentos xi y su incertidumbre estándar u(xi); dar, además, una descripción de cómo fueron obtenidas;

B) dar las covarianzas estimadas o coeficientes de correlación estimados

(preferentemente ambos) asociados con todas las estimaciones de los argumentos que están

correlacionados y los métodos utilizados para obtenerlos;

C) dar los grados de libertad para la incertidumbre estándar de cada estimación de

argumentos y el método utilizado para obtenerlo; D) dar la relación funcional Y = f(X1, X2, ..., XN) y, cuando se considere útil, las derivadas parciales o coeficientes de sensibilidad ∂f/∂xi. Como sea, se debe proporcionar cualesquiera de tales coeficientes determinados experimentalmente.



Nota. Dado que la relación funcional f puede ser extremadamente compleja o puede no existir explícitamente sino únicamente como un programa computacional, puede no ser siempre posible dar f y sus derivadas. La función f puede ser entonces descrita en términos generales o el programa usado puede ser citado mediante una referencia apropiada. En tales casos, es importante que quede claro como fueron obtenidos el estimado y, del mensurado Y así como su incertidumbre estándar combinada uc(y).

Resumen del procedimiento para la evaluación y expresión de la incertidumbre. Los pasos a seguir para evaluar y expresar la incertidumbre de los resultados de una medición como se presentan en este escrito se pueden resumir como sigue:

1. Expresar matemáticamente, por medio de un modelo de medición, la relación entre el mensurando Y y los argumentos Xi de los cuales depende Y: Y = f(X1, X2, ..., XN). La función f deberá contener cualquier magnitud incluyendo las correcciones y factores de corrección que puedan contribuir como una componente significativa de incertidumbre al resultado de la medición.

2. Determinar xi , el valor estimado del argumento Xi, ya sea sobre la base de análisis estadístico de una serie de observaciones o por otro método.

3. Evaluar la incertidumbre estándar u(xi) de cada estimación de x. Para la estimación de

un argumento obtenida a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, la incertidumbre estándar se evalúa como una incertidumbre estándar Tipo A. Para el caso de una estimación obtenida por otros métodos, la incertidumbre estándar u(xi) se evalúa como una incertidumbre estándar Tipo B.

4. Evaluar las covarianzas asociadas con cualquiera estimaciones de los argumentos que estén correlacionadas.

5. Calcular el resultado de la medición, esto es, la estimación y del mensurando Y , a partir de la relación funcional f usando, para los argumentos Xi , las estimaciones xi obtenidas en el paso 2.

6. Determinar la incertidumbre estándar combinada uc(y) del resultado de la medición y a

partir de las incertidumbres estándar y las covarianzas asociadas con las estimaciones xi . Si la medición determina simultáneamente más de un resultado, calcule sus covarianzas.

7. Si es necesario declarar una incertidumbre expandida U cuyo propósito sea establecer un intervalo de y – U a y + U que pueda esperarse abarque una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente puedan ser atribuidos al mensurando Y, multiplíquese a la incertidumbre estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k, típicamente en el intervalo de 2 a 3, para obtener U = kuc(y). Seleccione k sobre la base del nivel de confianza requerido para el intervalo.



8. Informar el resultado de la medición y junto con su incertidumbre estándar combinada uc(y) o su incertidumbre expandida U. Descríbase, como se obtuvieron y y uc(y) o U. EJEMPLO. Determinar el valor y la incertidumbre del resultado de la medición de la potencia disipada por un resistor, la cual se realizo con un vóltmetro y un ampérmetro analógicos, utilizando el circuito de la figura

Las características de los aparatos que se utilizaron son,

CARACTERÍSTICA VÓLTMETRO AMPÉRMETRO ALCANCE 60 V 2,4 A

NÚMERO TOTAL DE DIVISIONES 120 120 CONSTANTE DE LECTURA, C 0,5 V/D 0,02 A/D

CLASE DE EXACTITUD 0,5 0,5 RESISTENCIA, Ω 10 000 0,05

Las lecturas que se obtuvieron en los aparatos son,

CONJUNTO NÚMERO

k

VÓLTMETRO VM

DIVISIONES

AMPÉRMETRO AM

DIVISIONES 1 116,4 100,1 2 116,2 99,8 3 116,6 100,2 4 116,3 100,1 5 116,6 100,3



SOLUCIÓN. Las lecturas de los aparatos se multiplican por sus constantes para obtener los valores en unidades eléctricas, quedando como

VMCV1 ×=V

AMCA ×=I

CONJUNTO NÚMERO

k

TENSIÓN V1 V

CORRIENTE I A

1 58,20 2,002 2 58,10 1,996 3 58,30 2,004 4 58,15 2,002 5 58,30 2,006

a) Definición del mensurando.

El método de medición es indirecto, es decir la potencia disipada en el resistor se

determina en función de las magnitudes relacionadas funcionalmente con la magnitud a medir,

esto es la tensión y la corriente.

La corriente medida por el ampérmetro, I, es la misma que circula por la resistencia R, pero la caída de tensión medida por el vóltmetro, V1, esta afectada por la caída de tensión en el ampérmetro, VA, por lo que es necesario eliminar está caída (error sistemático) para determinar la caída de tensión, V, en la resistencia.

Tomando en cuenta lo anterior, tenemos que la potencia disipada por la resistencia es,

IVP= pero,

IRVVVV A1A1 −=−= sustituyendo tenemos,

( ) )a(2A1A1 IRIVIIRVP −=−=

No se estiman relevantes los efectos por temperatura y otros factores, así que se

determinará la potencia y la incertidumbre de su medición a partir de la ecuación anterior.



De donde tenemos que la potencia se puede expresar funcionalmente como,

( ) b).....(,,1 ARIVfP =

b) Fuentes de incertidumbre.

Tomando en cuenta el procedimiento de la medición y el modelo matemático de la medición de la potencia, podemos considerar como fuentes de incertidumbre las siguientes:

• Medición de la tensión con el vóltmetro. • Medición de la intensidad de corriente con el ampérmetro. • Correlación entre las mediciones de tensión y corriente. • Clase de exactitud del vóltmetro. • Clase de exactitud del ampérmetro. • Valor de la resistencia del ampérmetro. c) Evaluación de las incertidumbres estándar.

c1) Evaluación Tipo A de las incertidumbres estándar.

Las fuentes de incertidumbre que se pueden evaluar como tipo A, son las mediciones repetidas de tensión y corriente, éstas se calculan con las fórmulas siguientes: Valor medio (media aritmética) de una magnitud.

∑=

=n

kkq

nq

1

_

)4.....(1

Varianza experimental de las observaciones,

( ) ( )∑=

−−

=n

kkk qq

nqs

1

22 )5(1

1

Desviación estándar experimental,

( ) ( )kk qsqs 2=



Desviación estándar experimental de la media, que se considera igual a la incertidumbre estándar experimental tipo A, tomando en cuenta que se tienen menos de 10 juegos de observaciones,

( ))8.....(

__

tn

qsqsqu k

A =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

El factor de multiplicación t se obtiene utilizando la distribución “t de student” y un factor de cobertura k = 2, que para 5 observaciones y (5 – 1) = 4 grados de libertad, de acuerdo con la tabla número 2, es igual a,

4,1=t

Aplicando las ecuaciones anteriores a las lecturas obtenidas tenemos,

n= 5, t = 1,4 TENSIÓN

Valor medio _

V V

Varianza estándar ( )kVs 2 V2

Desviación estándar ( )kVs V

Incertidumbre estándar

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ __

VsVu A

V 58,21 0,0080 0,089 0,056

CORRIENTE Valor medio

_

I A

Varianza estándar ( )kIs 2 A2

Desviación estándar ( )kIs A

Incertidumbre estándar

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ __

IsIu A

A 2,002 0,000014 0,0037 0,0023

c2) Evaluación del coeficiente de correlación,

Ya que las medias de _

V e _

I se obtienen de observaciones simultáneas estas están correlacionadas, siendo su coeficiente de correlación,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

__

__

__,

,IsVs

IVsIVr

Donde la estimación de la covarianza del promedio de los argumentos es,



( )∑= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

kkk IIVV

nnIVs

1

____

11,

La sumatoria se puede calcular como, n= 5

Conjunto número k

_

VVk − _

II k − ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

__

IIVV kk

1 2 3 4 5

- 0,01 - 0,11 0,09

- 0,06 0,09

0,000 - 0,006

0,002 0,000 0,004

0,00 0,000660 0,000180

0,00 0,000360

∑ = 0,001200 Sustituyendo valores tenemos,

( ) 00006,0155

001200,0,__

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ IVs

De donde el coeficiente de correlación es,

466,00023,0056,0

00006,0,__

=×

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ IVr

c3) Evaluación Tipo B de las incertidumbres estándar.

Las fuentes de incertidumbre que se pueden evaluar como tipo B son la clase de exactitud del vóltmetro, la clase de exactitud del ampérmetro y el valor de la resistencia del ampérmetro. Tomando en cuenta las especificaciones suministradas por los fabricantes de los instrumentos.

Considerando la clase de exactitud de los aparatos como su incertidumbre especificada, uE, tenemos que para el vóltmetro esta incertidumbre es igual a,

( ) V30,0100

605,0100

ALCANCE EXACTITUD DE CLASEVM =

×=

×=Eu

Para el ampérmetro,



( ) A012,0100

4,25,0AM =

×=Eu

Teniendo en cuenta que los fabricantes de instrumentos utilizan resistencias de buena exactitud, se puede utilizar para ellas una incertidumbre de 1 %, de donde la incertidumbre especificada en la resistencia del ampérmetro es,

( ) Ω=×

= 0005,0100

05,01AE Ru

Como en los manuales de los instrumentos se especifica su clase de exactitud como un intervalo simétrico de valores máximos, consideraremos este intervalo como una distribución probabilística del tipo uniforme con valor medio igual a cero, entonces la evaluación tipo B de las incertidumbres estándar para cada magnitud serán,

( ) ( )V17,0

330,0

3VM

VM ≈== EB

uu

( ) ( )A007,0

3012,0

3AM

AM ≈== EB

uu

El mismo criterio se puede seguir para la resistencia del ampérmetro, por lo que,

( ) ( )Ω≈== 0003,0

30005,0

3AE

ABRu

Ru

d) Cálculo de la mejor estimación de la potencia. Ya que las medias de la tensión y la corriente se consideran como las mejores estimaciones de los valores esperados, utilizaremos estas para calcular la mejor estimación de la potencia, esto es,

W3,116002,205,0002,221,58 22___

=×−×=−= IRIVP A

e) Determinación de la incertidumbre estándar combinada. El cuadrado de la incertidumbre estándar combinada se calcula a partir de la ecuación,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑=

−

= += ∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=N

i

N

ijij

N

iji

jii

ic xxrxuxu

xf

xfxu

xfyu

1

1

1 1

22

2 )3...(,2

Sustituyendo las condiciones de nuestro ejemplo,



( ) ( ) ( ) ( )ABBBAAAAc RuCuCuCIVrIuVuCCIuCVuCPu 223

222

221

____

21

_22

2

_22

12 AMVM,2 +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Donde los coeficientes de sensibilidad, tomando en cuenta la ecuación (a) son,

A002,2_

11

===∂∂ ICVP

V00,58002,205,0221,582__

2 =××−=−==∂ IRVCIP

A

22

2_

3 A008,4002,2 =−=−==∂∂ ICRP

A

Sustituyendo,

( )

325,010446,11648,01158,001406,001780,001257,00003,0008,4007,000,5817,0002,2

466,00023,0056,000,58002,220023,000,58056,0002,2

6

222222

22222

=×+++++=

×+×+×+

×××××+×+×=

−

PucA

Y la incertidumbre estándar combinada de la potencia es,

( ) W6,0570,0 ≈=Puc

f) Cálculo de la incertidumbre expandida.

En virtud de que el resultado de la medición se informará con un intervalo asociado con

un nivel de confianza de 95,45 %; se utilizará para obtener la incertidumbre expandida la

fórmula siguiente:

( ) ( ) ( )PutPU cp ν=

donde tp(ν) es el factor de cobertura de la incertidumbre expandida.

Para obtener tp(ν) es necesario calcular los grados de libertad efectivos, por medio de la

ecuación,



( )( )

( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

RA

RAccc

C

Cc

A

Ac

V

Vc

c

N

i

i

ceff

PuPuPuPuPuPuPu

PuPu

νννννν

ν

ν

4

AM

4AM

VM

4VM

444

4

1

4

4

+++++

=

=

∑

El número de observaciones para el cálculo de la incertidumbre tipo A y el coeficiente de

correlación es de 5, por lo tanto, a todas ellas les corresponde un grado de libertad igual a 4.

Si consideramos que las especificaciones de incertidumbre de los fabricantes son

confiables al 25 %, entonces los grados de libertad de las incertidumbres estándar tipo B serán,

82

25,0 2

AMVM ≈===−

RAννν

Sustituyendo valores en la ecuación de los grados de libertad efectivos, tenemos,

( )20

810446,1

81648,0

81158,0

401406,0

401780,0

401257,0

325,02622222

2

≈×

+++++

=−effν

Para 20 grados de libertad y un nivel de confianza de 95,45 %, de la tabla de valores de

t(p) de la distribución de Student, tenemos,

( ) 113,220 =pt

De aquí que,

( ) W2,1570,0113,2 =×=PU

g) La magnitud de la potencia disipada con su incertidumbre de medición, se puede

expresar como,

%1W3,116W2,13,116 ±=±=P



donde el número que sigue al signo ± es el valor numérico de la incertidumbre expendida, con U

obtenida a partir de una incertidumbre estándar combinada de 0,570 W y un factor de cobertura

de 2,113, obtenido de un nivel de confianza de 95,45 % y 20 grados de libertad.

ERRORES DE REDONDEO Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Las mediciones no son la única fuente de las inexactitudes en la determinación de las cantidades. Trátese de escribir π o √2 como un decimal exacto, no importa cuantos lugares decimales se llenen, habrá algún error en la representación. Tal error proviene del hecho de que el número no está dado exactamente por la representación decimal usada y se llama error de redondeo. Los errores de medición y de redondeo en los datos tienen un efecto similar cuando se usan para calcular una magnitud. Una notación común para especificar los límites del error absoluto de redondeo es escribir, por ejemplo,

005,041,12 +=

para indicar que 1,41 es un valor aproximado del número exacto √2 y que el límite del error absoluto es 0,005. También podemos especificar los límites del error de redondeo tomado en cuenta las convenciones del redondeo de los números. Por ejemplo, el número √2 con ocho cifras decimales es 1,41421352. En general muy raras veces trabajamos con este valor, sino que usamos la mejor aproximación obtenible con, digamos 2 o 4 cifras decimales. La aproximación con dos cifras decimales es 1,41, esta tiene un error absoluto de 1,41 – 1,41421352... igual a – 0,00421352... mientras que cualquier otra aproximación con dos cifras decimales, digamos 1,40 o 1,42 tendrá un error mayor. Por otra parte la mejor aproximación con cuatro cifras decimales es 1,4142 ya que el error es igual a – 0,00001352..., que es menor para digamos, 1,4141 o 1,4143. Este procedimiento de representar un número por el decimal más cercano con algún número dado de dígitos digamos n, después del punto decimal, se llama redondeo del número a n cifras decimales. Si un número exacto X se aproxima por su forma redondeada con n cifras decimales, Xn, el límite del error absoluto de redondeo es, 0,(n ceros)5. Esto muestra que cualquier redondeo decimal implica un límite de error, así que podemos usar decimales redondeados para especificar la exactitud de una aproximación sin dar explícitamente el límite del error. Entonces escribimos,

41,12 =



para significar que la aproximación 1,41 tiene el límite de error de redondeo que caracteriza a la exactitud con dos cifras decimales, esto es,

005,041,12 += A veces el término cifras significativas se usa en lugar de "número de cifras decimales". Por ejemplo, decimos que el número 18,06 tiene cuatro cifras significativas, dos antes de la coma decimal y dos después. El número 0,0001806 también tiene cuatro cifras significativas, las últimas cuatro, los tres primeros ceros sirven para distinguir el número de, por ejemplo, 0,180 y no se llaman significativas. En la expresión el sol está a 150000000 km de la tierra, sólo las primeras dos cifras son significativas. La información significa que la distancia al sol desde la tierra está más cercana a 150000000 que a 151000000 o a 149000000 y no que sea más cercana a 150000000 que a 150000001 o a 149999999. Para evitar ambigüedades, en estos casos es conveniente escribir tales números en la forma siguiente: 15X107, que aclara el hecho de que hay sólo 2 cifras significativas, de modo que los límites del error absoluto de redondeo son de 0,5X107 o sea 500000 km. La determinación de la exactitud con que se obtiene una cantidad es muy importante, sin embargo se debe tener cuidado de no afirmar que la magnitud se ha determinado con una exactitud mayor que la que en realidad se puede obtener. Cuando se realizan los cálculos los resultados se deben informar solamente con una exactitud que sea congruente con la de los datos involucrados. Por ejemplo, se quiere determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyas mediciones de la altura y de la base fueron de 3,00 metros y 6,00 metros respectivamente. Las mediciones se hicieron con una exactitud hasta el centímetro. La longitud de la hipotenusa se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras, esto es se puede calcular como 6,708204 metros. Como se puede observar el resultado informado tiene una exactitud hasta de 6 cifras decimales, mientras que los datos sólo tienen una exactitud hasta de 2 cifras decimales, lo cual nos hace ver que la exactitud con que se está estableciendo la longitud de la hipotenusa es mayor que la de los datos de los que se obtuvo, razón por la cual podemos considerar que la exactitud con que se está dando la respuesta es incongruente, por lo que una respuesta más razonable será dar la longitud de la hipotenusa como igual a 6,71 metros. El valor numérico de cualquier medida es una aproximación; ninguna medida física como longitud, masa, tensión corriente, resistencia, etc., es absolutamente correcta. La confiabilidad de toda medida está limitada por la exactitud del instrumento de medida, el cual nunca es absolutamente confiable. Consideremos que se ha medido una corriente, apreciándose 35,7 A. Por convenio esto significa que la corriente se ha medido hasta el décimo del ampere más próximo y que su valor exacto esta entre 35,65 y 35,75 A. Si esta medida fuera exacta hasta el centésimo de ampere más



próximo se hubiera anotado 35,70 A. El valor 35,7 representa tres dígitos significativos (3,5,7) mientras que el valor 35,70 representa cuatro dígitos significativos (3,5,7,0). Una cifra significativa es aquella que se conoce razonablemente como confiable. De igual forma, una resistencia registrada como 64 082 Ω, medida con un puente de Wheatstone, significa que la resistencia se midió hasta la unidad de ohm más próxima y representa cinco dígitos significativos, siendo el último (2) razonablemente confiable, garantizando la certidumbre de los cuatro dígitos precedentes. La escala de un wáttmetro de 150 W, está graduada con divisiones con una separación de un watt, estimándose una décima de watt. Una potencia leída de 121,8 tiene cuatro dígitos significativos. El último dígito (8), siendo estimado, puede tener una incertidumbre de uno o dos dígitos, en ambos sentidos. Los tres dígitos precedentes son completamente ciertos. En las mediciones, el último dígito es estimado y se considera también dígito significativo. Los ceros se pueden utilizar ya sea para indicar un valor específico, como cualquier dígito, o para indicar la magnitud de una cifra. Una corriente registrada de 23 mA representa dos dígitos significativos (2,3). Si la misma corriente se escribe en la forma 0,023 A, sigue contando con sólo dos dígitos significativos. Los ceros que aparecen como los primeros dígitos de la cifra no son significativos, ya que se limitan a situar la coma decimal. Sin embargo, los valores 0,023 0 A y 0,230 A tienen tres dígitos significativos (2, 3, y el último cero); el valor 1,023 tiene cuatro dígitos significativos (1, 0, 2, 3). De igual forma el valor 38,00 contiene cuatro dígitos significativos. Decir que se ha medido una tensión de 6 300 V no indica en forma adecuada la exactitud de la medición. Los dos últimos ceros pueden haber sido utilizados simplemente para situar la coma decimal. Si se ha medido hasta el centenar de volt más próximo, la medición contendrá solamente dos dígitos significativos y se puede escribir en la forma de 6,3 X 103 V. Si se ha medido hasta la última decena de volt más próxima se podrá escribir como 6,30 X 103 V, lo que indica que el valor tiene una exactitud de tres dígitos significativos. Como el cero, en este caso, no es necesario para situar la coma decimal, tiene que ser un dígito significativo. Si la medición se ha realizado hasta el volt más próximo, la tensión se podrá escribir como escribir como 6,300 X 103 V (cuatro dígitos significativos) Como se puede observar, en estos últimos ejemplos, se acostumbra situar la coma decimal después del primer dígito significativo. En conclusión podemos llegar a las convenciones siguientes:

1. El último dígito expresado representa el punto de incertidumbre.

2. Se entiende (a menos que se indique lo contrario) que hay una incertidumbre de una unidad en el último dígito.



3. Para evitar la necesidad de poner ceros después del dígito incierto se debe utilizar, cuando sea necesario, una potencia apropiada de 10. Al hacer cálculos es innecesario consumir tiempo y esfuerzo al usar más dígitos que los significativos. Además aquellos que usan las cifras significativas pueden llegar a conclusiones de ingeniería o científicas basadas en dígitos sin sentido. Para evitar el manejo de dígitos superfluos, se puede utilizar el procedimiento de redondeo. La regla básica del redondeo es que no se debe retener un dígito que no conduzca a alguna información efectiva. El último dígito dado debe representar el punto de incertidumbre. Hay algunas excepciones a esta filosofía. Si los datos van a estar sujetos a un análisis estadístico, el número de dígitos significativos que se retienen en la media es normalmente uno más que en los datos primarios, esto se justifica por que la desviación normal es 1/√n veces la de una variable individual. Las medidas de incertidumbre, tales como la desviación normal y límites del error, normalmente se expresan con un dígito significativo y no necesitan incluir más de dos. Cuando un número se va ha redondear a una cantidad de dígitos menor que el número total disponible, el procedimiento se debe realizar como se indica a continuación:

1. Cuando el primer dígito descartado es menor que 5, el último dígito retenido no se debe cambiar.

2. Cuando el primer dígito descartado es mayor que 5 o es un cinco seguido de cuando menos un dígito distinto de cero, el último dígito retenido se incrementa en una unidad.

3. Cuando el primer dígito descartado es exactamente 5 seguido únicamente por ceros, el

último dígito retenido se redondea incrementándolo en una unidad si es un número non, pero no se hace ajuste alguno si es un número par. La elección de par en lugar de impar es arbitraria, la idea es que con una convención permanente se producirá un efecto equilibrador a lo largo de un gran número de casos. 4. Si la coma decimal está después del dígito (s) eliminado, reemplace el dígito (s) con ceros, y cuando informe el número hágalo como el producto de un número y una potencia de 10. Para ilustrar las indicaciones anteriores, en la tabla número 5 se muestran algunos números de cinco dígitos. Los números que se muestran en la primera columna se han informado hasta el límite de exactitud. En cada número, el paréntesis muestra el punto de incertidumbre. En la segunda columna se muestra el número redondeado y en la tercera columna se ilustra la forma de informar el número redondeado.



TABLA NÚMERO 5. EJEMPLOS DE PROCEDIMIENTO DE REDONDEO NÚMERO

NÚMERO

REDONDEADO NÚMERO

INFORMADO 26 54(3) 26 543 26 543 26 5(4)3 26 540 2, 654 X 104 26 (5)43 26 500 2,65 X 104 2(6) 500 26 000 2,6 X 104 2(7) 500 28 000 2,8 X 104

(2)6 543 30 000 3 X 104 2 6(5)4,6 2 650 2,65 X 103

Frecuentemente los datos requeridos para una investigación se pueden obtener de una variedad de fuentes donde ellos se han registrado con diferentes grados de exactitud, y para llegar a resultados adecuados se deben observar reglas específicas cuando tales datos se vayan a sumar, restar, multiplicar o dividir. La regla para sumar y restar es que el resultado no debe contener dígitos significativos más allá del extremo derecho de los que tienen la cifra con menor exactitud. Consideremos la suma de tres números tomados de tres fuentes, el primero de los cuales está informado en miles, el segundo en unidades, y el tercero en milésimos. ⇓

543 000,000 + 204 886,000 77 233,217

_____________ 825 119, 217

El total indica una exactitud que no es válida. Primero se deben redondear los números a un dígito significativo más allá de la derecha de los que tienen el número menos exacto, y la suma se toma como sigue: ⇓

543 000,000 + 204 900,000

77 200, 000 ____________________

825 100,000

El resultado se debe redondear a 825 000,000, según dice la regla e informarse como 825 X 103. Note que si el segundo sumando hubiera sido 204 986,000 el redondeo antes de la suma habría sido 205 000,000, en cuyo caso el cero siguiente a 205 hubiera sido significativo. La regla para multiplicar y dividir es que el producto o cociente no tenga más dígitos significativos que los que están contenidos en el número que tiene menos dígitos significativos de



los que se usan en la multiplicación o división. Por ejemplo, al multiplicar 44,8(5) por 1,6(2), donde ambos 5 y 2 tienen incertidumbre.

44,85 X 1,62 _______ 8970 26 910 44 85

________________ 72,6570

Informando el número hasta el último dígito con incertidumbre tendremos 72,7 puesto que 0,02 X 44,85 = 0,897 0 es completamente incierto. La regla anterior es una aproximación al enunciado más exacto de que la incertidumbre relativa o porcentual de un producto o un cociente no puede ser menor que el correspondiente a cualquier factor. Por esta razón los números cuyo primer dígito significativo sea 1 (ocasionalmente 2) tienen que contener un dígito significativo adicional, para tener una incertidumbre relativa determinada en comparación con un número que empiece por 8 o 9. Consideremos la división 9,64/9,1 = 1,06. Por la regla aproximada la contestación sería 1,1 (dos dígitos significativos). Sin embargo, una diferencia de 1 en el último dígito de 9,1 (9,1±0,1) da lugar a una incertidumbre aproximada del 1 %, mientras que en 1,1 (1,1±0,1) da lugar a una incertidumbre de aproximadamente 10 %. Por tanto, la respuesta 1,1 tiene un porcentaje de exactitud mucho menor que 9,1. En consecuencia, en este caso, la contestación debe ser 1,06, ya que una diferencia de 1 en el último dígito del factor menos exacto utilizado en el cálculo (9,1) da un porcentaje de incertidumbre aproximadamente igual a 1 % que una diferencia de 1 en el último dígito de 1,06 (1,06±0,01). De igual forma tendríamos que 0,93 X 1,12 = 1,04. Para destacar la diferencia entre la regla para la suma y resta y la regla para la multiplicación y división utilizaremos los ejemplos siguientes: Suma 232,3 + 3,62 = 235,92 redondeado a 235,9 Resta 232,3 – 3,62 = 228,68 redondeado a 228,7 Multiplicación 232,3 X 3,62 = 840,926 redondeado a 841 División 232,3/3,62 = 64,171 27 redondeado a 64,2 El producto y el cociente están limitados a tres dígitos significativos, puesto que 3,62 contienen solamente tres dígitos significativos. En contraste con los resultados redondeados de la



suma y resta, de los ejemplos, los cuales contienen cuatro dígitos significativos. Los números utilizados en todas las ilustraciones anteriores son estimados o medidos. Los números que son conteos exactos se trabajan como si consistieran de un número infinito de dígitos significativos. Estableciendo esto en forma más simple, cuando se usa un conteo en conjunto con una medición para realizar cálculos, el número de dígitos significativos en el resultado es el mismo que el número de dígitos significativos que tiene la medición. Si un conteo de 30 se multiplica por una medición de 21,3; el producto es 639. Sin embargo, si 30 hubiera sido una estimación exacta solamente hasta la decena más cercana, y de aquí que contenga sólo un dígito significativo, el producto debería redondearse a 600 e informarse como 6 X 102.



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CAPÏTULO 1