Capítulo 1

Conjuntos

1.1 Conjuntos. Operaciones básicas

Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos

más utilizados: el de conjunto. La Teoría de conjuntos, desde el punto de vista

axiomático, fue introducida por Georg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo

en 1845, donde vivió sus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor

en la universidad de Halle. Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis

artículos en el Mathematische Annalen en los que desarrollaba una introducción

básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.

En este primer tema pretendemos proporcionar una primera toma de contacto

con el lenguaje de la Teoría de conjuntos. Empezamos dando una “definición

intuitiva” de conjunto.

Conjunto

Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos. Normal-

mente los objetos que forman un conjunto estarán caracterizados

por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien

definido debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o

no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los objetos

de los que consta entre llaves, por ejemplo

A = {1, 2, 3, 4, 5},

17

o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un

objeto dado está o no en el conjunto, por ejemplo

A = {x | x es un número natural par},

que se leerá: “A es el conjunto formado por los x tales que x es un número natural

par”. Esta última opción (la definición implícita) es la que usamos cuando no nos

resulta posible (o conveniente) dar la lista de todos sus elementos, por ejemplo si

el conjunto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos.

El uso de las llaves a la hora de especificar un conjunto es preceptivo. Si A es

el conjunto formado por los objetos 1, 2, 3, 4 y 5, escribiremos

A = {1, 2, 3, 4, 5},

pero nunca

A = 1, 2, 3, 4, 5

que para nosotros carecerá de sentido.

Uno de los conjuntos más importantes de las Matemáticas es el de los números

naturales

N = {x | x es un número natural} = {0, 1, 2, 3, . . .}.Para referirnos al conjunto de los naturales estrictamente positivos utilizaremos la

siguiente notación

N+ = {x ∈ N | x > 0} = {1, 2, 3, . . . }.

Otro conjunto igualmente importante es el conjunto de los números enteros

Z = {x | x es un número entero} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Relación de petenencia

Los objetos de los que consta un conjunto se denominan elemen-

tos del conjunto y decimos que pertenecen a él. La pertenencia

es la relación fundamental de la Teoría de conjuntos. Si A es un

conjunto y a es un elemento que pertenece a A escribiremos

a ∈ A, que leeremos “a pertenece a A”.

Si b no pertenece a A escribiremos b /∈ A.

Por ejemplo:

18

-) si A = {1, 2, 3, 4, 5} se tiene: 1 ∈ A y 6 /∈ A.

-) Si A = {x | x es un número natural par} se tiene: 2 ∈ A y 3 /∈ A.

A partir de ahora para referirnos a que un objeto x forme parte de un con-

junto A, emplearemos la frase x pertenece a A, o también, x es un elemento de A(a todos los efectos, ambas frases tendrán el mismo significado para nosotros),

que simbólicamente escribiremos: x ∈ A. Análogamente con la negación: em-

plearemos la frase x no pertenece a A, o también, x no es un elemento de A, que

simbólicamente escribiremos: x /∈ A.

En ocasiones hay que considerar varios conjuntos simultáneamente. En estos

casos es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subíndi-

ce que los diferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo,

X1, X2, X3, X4, X5,

finitos pero en cantidad desconocida,

X1, X2, ..., Xn, donde n ∈ N,

o arbitrarios, pero serán siempre a su vez elementos de algún conjunto; un ejemplo

de esto sería considerar

{Ai}i∈I ,

que se leería: la familia de conjuntos Ai donde i pertenece a I . Aquí I es el

conjunto de subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anteriores I ={1, 2, 3, 4, 5}, I = {1, 2, . . . , n} con n ∈ N y también I podría ser todo N).

Ejemplo 1.1.1. 1) Para cada i = 0, 1, . . . , 9, definimos los conjuntos Xi como

Xi = {Españoles cuyo año de nacimiento termina en i}.

2) Para cada n ∈ N, definimos el conjunto

An = {m ∈ Z |m es múltiplo de n}.

De esta forma se tiene una familia infinita {An}n∈N de conjuntos. En particular,

si n = 5 se tiene

A5 = {. . . ,−10,−5, 0, 5, 10, . . .}.

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Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elemen-

tos. O dicho de otra forma, para que dos conjuntos sean distintos

es necesario que uno de ellos tenga algún elemento que no perte-

nezca al otro.

En forma simbólica, dados dos conjuntos A y B se tiene:

A = B ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B) .

En un conjunto no tiene sentido hablar de “elementos repetidos”. Si al listar

los elementos de un conjunto repetimos algún elemento, el conjunto no varía:

{a, b, c} = {a, b, c, a},

o también

{a, b, c} = {a, b, c, d} si b = d.

El conjunto vacío

El conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío

y se denota por ∅:

∅ = {}.

Un conjunto con un único elemento se denomina unitario.

Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre

el conjunto {x} y el elemento x:

x 6= {x}.

Además, consideraremos siempre que ningún objeto se pertenece a sí mismo co-

mo conjunto. Expresado simbólicamente, dado cualquier objeto x, se tiene x /∈ x.

20

Subconjunto

Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es a su vez

elemento de B diremos que A es un subconjunto de B y lo no-

taremos A ⊂ B. En caso contrario se notará A 6⊂ B.

En forma simbólica:

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) .

Hemos dicho que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los

mismos elementos, es decir, si todo elemento de A es un elemento de B y si todo

elemento de B es un elemento de A, o dicho de otro modo, si A ⊂ B y B ⊂ A.

Esto constituye el procedimiento más habitual de demostración en teoría de

conjuntos: la prueba por doble inclusión. Si queremos probar que dos conjuntos

A y B son iguales, lo que haremos es probar que A ⊂ B y que B ⊂ A. A lo largo

de esta sección veremos algunos ejemplos de esta técnica.

En situaciones concretas, a menudo existe un cierto conjunto del que los

conjuntos que estemos considerando son subconjuntos. Por ejemplo, si A ={−1, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {x | x ∈ N es par}, A y B son subconjuntos del conjun-

to de los números enteros Z. Cuando este conjunto esté fijado y nos interese, lo

denominaremos conjunto universal y lo denotaremos por U. De una forma algo

más precisa, sin olvidar que estamos dando nociones intuitivas, podemos dar la

siguiente definición:

Conjunto universal

Conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U , es un

conjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos

que origina el problema que tratamos.

Cuando el conjunto universal U se haya fijado, todo conjunto A podrá repre-

sentarse con un diagrama de Venn.

Proposición 1.1.2. Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las

siguientes propiedades:

(a) A ⊂ A, ∅ ⊂ A.

21

A

U

Figura 1.1: Diagrama de Venn

(b) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

PRUEBA: La primera propiedad se sigue directamente de la definición.

La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemen-

to de A está en B, por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B, está en C por ser

B ⊂ C. Así todo elemento de A está en C y hemos finalizado. �

Los subconjuntos de A distintos de ∅ y de A se denominan subconjuntos

propios de A.

Complementario

Supongamos que hayamos fijado un conjunto universal U . Dado

un conjunto A se define el complementario de A, notado por Ao Ac, como

A = {x | x ∈ U, x /∈ A}.

A

U

Figura 1.2: Complementario

Dado A ⊂ U , se dan las siguientes igualdades:

∅ = U, U = ∅, A = A.

Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En

efecto, por definición

A = {x | x ∈ U, x /∈ A},

22

pero para un x ∈ U , x /∈ A si y sólo si x ∈ A, por tanto los elementos de A son

precisamente los de A.

Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B, notado

A ∪ B, como el conjunto formado por aquellos elementos que

pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, A ó B, es decir

A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Nótese que en la definición anterior la disyunción x ∈ A ∨ x ∈ B no es

excluyente, es decir un tal x podría pertenecer simultáneamente a A y a B.

U

A B

Figura 1.3: Unión

Ejemplo 1.1.3. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A ∪ B = {a, b, c, 2, 5, 7}.

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A ∪B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 7}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.

Entonces

A ∪B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.

Se definen de forma similar la unión de una familia finita de conjuntosA1, ..., An,

que denotaremos

A1 ∪ ... ∪An =

n⋃

i=1

Ai,

23

o de una familia arbitraria de conjuntos A = {Ai}i∈I , que denotaremos

⋃A =

⋃

i∈I

Ai :

⋃

i∈I

Ai = {x | ∃i ∈ I tal que x ∈ Ai}.

Propiedades de la unión

La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para

cualesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

(b) Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

(c) A ⊂ A ∪B,B ⊂ A ∪ B.

(d) ∅ ∪A = A.

(e) A ⊂ B si y sólo si A ∪ B = B.

PRUEBA: (a) Los elementos de A ∪ B son los que pertenecen a A ó a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B ó a A, es decir

A ∪ B = B ∪ A. La prueba de (b) se hace igual.

(c) Sea a ∈ A. Es claro que a ∈ A ∪ B pues el elemento a verifica que está en Ao en B. Análogamente B ⊂ A ∪ B.

(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A ⊂∅ ∪ A. Recíprocamente, sea a ∈ ∅ ∪ A. Esto quiere decir que el elemento a tiene

que estar, al menos, en uno de los conjuntos ∅ ó A. Sabemos que a /∈ ∅, luego

a ∈ A.

(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∪ B = B basta probar que

A ∪ B ⊂ B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A ∪ B, entonces

x ∈ A ó x ∈ B. Pero si x ∈ A, como A ⊂ B se tiene que x ∈ B.

Recíprocamente, supongamos que A ∪ B = B. Entonces, por (c) tenemos

A ⊂ A ∪ B = B.

�

24

Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B,

notado A∩B, como el conjunto formado por aquellos elementos

que pertenecen al mismo tiempo a ambos conjuntos, A y B, es

decir

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

U

A B

Figura 1.4: Intersección

Ejemplo 1.1.4. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A ∩ B = {a, c}.

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A ∩B = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 3}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.

Entonces

A ∩B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}.

Se definen de forma similar la intersección de una familia finita de conjuntos

A1, ..., An, y la intersección de una familia arbitraria de conjuntos A = {Ai}i∈I ,

que denotaremos, respectivamente,

A1 ∩ ... ∩An =

n⋂

i=1

Ai, y⋂

A =⋂

i∈I

Ai :

⋂

i∈I

Ai = {x | x ∈ Ai ∀i ∈ I}.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩ B = ∅ se dice que A y B son

disjuntos.

25

Propiedades de la intersección

La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades,

para cualesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∩B = B ∩A.

(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(c) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B.

(d) ∅ ∩ A = ∅.

(e) A ⊂ B si y sólo si A ∩B = A.

PRUEBA: (a) Los elementos de A ∩ B son los que pertenecen a A y a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B y a A, es decir

A ∩ B = B ∩ A. La prueba de (b) se hace igual.

(c) Sea a ∈ A ∩ B. Entonces a ∈ A pues el elemento a verifica que está en A y

en B. Análogamente B ∩A ⊂ B.(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A∩∅ ⊂ ∅.

La inclusión contraria se tiene pues sabemos que el ∅ es subconjunto de todos los

conjuntos, en particular es ∅ ⊂ ∅ ∩ A.(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∩ B = A basta probar que

A ⊂ A∩B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A, entonces x ∈ Bpues A ⊂ B. Es decir x ∈ A ∩ B.

Recíprocamente, supongamos que A ∩ B = A. Entonces, por (c) tenemos

A = A ∩ B ⊂ B.�

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B(en este orden), notada A \B, como el conjunto formado por los

elementos de A que no están en B, es decir

A \B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Cuando tengamos fijado un conjunto universal, se tiene que A \ B = A ∩ B.En efecto, sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x /∈ B, luego x ∈ A y x ∈ B, es

26

decir x ∈ A ∩B. Para demostrar la inclusión contraria basta leer la demostración

anterior de derecha a izquierda.

U

A B

Figura 1.5: Diferencia

Ejemplo 1.1.5. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A \B = {b}.

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A \B = {x ∈ Q | 3 ≤ x ≤ 7}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.

Entonces

A \B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero}.

Notemos que, en general, A \ B 6= B \ A. En el apartado 1) del ejemplo

anterior es A \B = {a} y B \ A = {2, 5, 7}.

Diferencia simétrica de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de

A y B, notada A△B, como el conjunto formado por los elemen-

tos que pertenecen a uno sólo de los conjuntos A,B, es decir

A△B = {x | x ∈ A \B ∨ x ∈ B \ A}.

Se tiene que A△B = (A∩B)∪(A∩B) = (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).

Ejemplo 1.1.6. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A△B = {b, 2, 5, 7}.

27

U

A B

Figura 1.6: Diferencia simétrica

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A△B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x < −2 o 3 < x ≤ 7}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.

Entonces

A△B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero o en los pares del resto de meses}.

Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos

algunos resultados fundamentales utilizando la técnica de la doble inclusión.

Proposición 1.1.7. Sean A y B dos conjuntos. Se satisfacen las siguientes pro-

piedades:

1. A ∩ (B \ A) = ∅.

2. A ∪ (B \ A) = A ∪ B.

3. Si A ⊂ B, entonces A ∪ (B \ A) = B.

PRUEBA: La demostración de ambas afirmaciones es sencilla y se deja como

ejercicio. �

28

Leyes distributivas - Leyes de De Morgan

Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igual-

dades:

(a) Leyes distributivas:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(b) Leyes de De Morgan:

C \ (A ∪B) = (C \ A) ∩ (C \B),

C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \B)

PRUEBA: Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de De

Morgan; las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a las probadas.

Ambos resultados se probarán por doble inclusión.

Veamos que A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Para ello tomemos un elemento

arbitrario x ∈ A∩ (B ∪C). Esto quiere decir que x está en A y además en B ó en

C. Esto implica que, bien está en A ∩ B, bien está en A ∩ C. En cualquier caso

x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Demostremos ahora que (A∩B)∪ (A∩C) ⊂ A∩ (B ∪C). Si consideramos

un elemento cualquiera y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y ha de pertencer a A ∩ B o a

A∩C. Por tanto, bien está en A y en B o en A y en C. En cualquier circunstancia

ha de estar en A y al menos en uno de los otros dos conjuntos B ó C, es decir,

y ∈ A y además y ∈ B ∪ C.

Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩B) ⊂ (C \ A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C, pero

no en A ∩ B, por lo que no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos

A ó B. Así, x ha de pertenecer, bien a C \ A, bien a C \ B. En cualquier caso

x ∈ (C \ A) ∪ (C \B).Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \ A) ∪ (C \ B), observemos que z ha

de estar, bien en C \A, bien en C \B, por lo que debe estar en C y no estar en Ao en B. Así, z ∈ C, pero nunca puede estar en A∩B, por lo que z ∈ C \ (A∩B).�

Notemos que si en el apartado (b) del teorema anterior tomamos C = U, el

conjunto universal, la leyes de De Morgan nos dicen que:

29

A ∪B = A ∩B, A ∩ B = A ∪ B.

A B

C

A B

C

Figura 1.7: Ley distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A B

C

A B

C

Figura 1.8: Ley de De Morgan C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \B)

Damos ahora una noción clave en Teoría de conjuntos que permite construir

nuevos conjuntos a partir de uno dado.

Partes de un conjunto

Dado un conjunto X , el conjunto de las partes de X , notado

P(X), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos

de X .

De manera simbólica:

A ∈ P(X) ⇔ A ⊂ X.

La consideración del conjunto P(X) transforma pues la propiedad “ser subconjunto

de X” en ser “elemento perteneciente a P(X)”:

Nótese que si B ⊂ C, se tiene P(B) ⊂ P(C).

30

Ejemplo 1.1.8. Si tenemos el conjunto X = {0, 1, 2, 3}, entonces

P(X) = { ∅, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, X }

1.2 Producto cartesiano. Relaciones de equivalen-

cia.

Pares ordenados

Dados dos objetos x e y, diremos que x (respectivamente y) es la

primera (resp. la segunda) componente del par ordenado (x, y).Dos pares ordenados son iguales si y sólo si coinciden sus prime-

ras componentes y coinciden sus segundas componentes:

(x, y) = (x′, y′) ⇔

x = x′

∧y = y′.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano

de A y B como el conjunto cuyos elementos son todos los pares

ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuya

segunda componente es un elemento de B y se denota A×B:

A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Nótese que ∅ ×B = ∅ = A× ∅.

Ejemplo 1.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3}. Entonces el conjunto A×Bes igual a:

{(a, b), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, b), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

De manera similar, podemos considerar n-uplas ordenadas de objetos (x1, . . . , xn)y definir el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos (no trataremos

31

por ahora el caso de familias infinitas):

A1 × ...× An =n∏

i=1

Ai = {(a1, ..., an) | ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n} .

Cuando todos losAi son iguales a un conjunto dado A notaremosAn = A×· · ·×A(n veces).

En muchas situaciones, dados dos conjuntos A y B, nos aparecen reglas o

procedimientos para asociar ciertos elementos de A con ciertos elementos de B.

Damos a continuación la noción matemática que sirve para modelizar este hecho.

Correspondencia

Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del pro-

ducto A×B. Una correspondencia de A en B se interpreta como

una regla que asocia algunos elementos de A con algunos elemen-

tos de B. Concretamente, entendemos que la correspondencia G“asocia” a ∈ A con b ∈ B si y sólo si (a, b) ∈ G.

Ejemplo 1.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3} los conjuntos del ejemplo

anterior. Entonces G = {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)} es una correspondencia

de A en B.

Si A = B = [−1, 1] (el intervalo de los números reales x con −1 ≤ x ≤ 1),

una correspondencia de A en B viene dada por

G = {(x, y) ∈ [−1, 1]× [−1, 1] | x2 + y2 = 1}.

Las correspondencias se pueden representar como sigue:

ba

c

b1

2

3

A B

Figura 1.9: Correspondencia

32

Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar

con conjuntos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos, las

correspondencias (no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los pares

que la componen. Por ejemplo, si A = Z, B = N una correspondencia de Z en N

es G = {(x, y) | x es par, y es impar}.

Relación

Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una corres-

pondencia de A en sí mismo.

Ejemplo 1.2.3. Sea A = {a, b, c}. Entonces R = {(a, a), (a, c), (b, c)} es una

relación en A.

Si el par (x, y) ∈ A×A está en R, diremos que x está R–relacionado con y, o

que x está relacionado con y por R. Esto se notará normalmente xRy (nótese que

el orden es importante).

Algunas propiedades de una relación

Sea R una relación en A. Diremos que R es:

(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx.

(b) Simétrica cuando xRy siempre implica yRx (y por tanto

xRy ⇔ yRx).

(c) Antisimétrica cuando, si tenemos xRy e yRx, entonces

x = y necesariamente.

(d) Transitiva cuando, si tenemos xRy e yRz, entonces se tie-

ne xRz.

Relaciones de orden y de equivalencia

Las relaciones que son reflexivas, simétricas y transitivas se de-

nominan relaciones de equivalencia. Las relaciones que son re-

flexivas, antisimétricas y transitivas se denominan relaciones de

orden.

33

Ejemplo 1.2.4. 1) En el conjunto Z definimos las relaciones siguientes:

xRy ⇐⇒ x ≤ y, xSy ⇐⇒ x− y es par, xTy ⇐⇒ x divide a y

a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominan así

por ser éste el ejemplo fundamental). En efecto:

• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n ≤ n, luego nRn.

• Antisimétrica: Si nRm y mRn se tiene que n ≤ m y m ≤ n, luego n = m.

• Transitiva: Si nRm y mRs es n ≤ m ≤ s, luego nRs.

b) S es una relación de equivalencia.

• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n− n = 0 es par, luego nSn.

• Simétrica: si nSm es n−m par, luego m− n es par y, por tanto, mSn.

• Transitiva: si nSm y mSp se tiene que n−m y m− p son pares. Sumando

se tiene que n− p es par, luego nSp.

c) T no es ni de orden ni de equivalencia, pues T no verifica la propiedad antisi-

métrica ni la simétrica.

Notemos que S es de equivalencia si sustituimos la condición “x − y es par”

por la condición “x − y es múltiplo de p”, para cualquier número p que fijemos

con antelación.

2) Sea U un conjunto y A ⊂ U un subconjunto fijo. En P(U) definimos la

relación RA :

∀B,C ∈ P(U), BRAC si A ∩ B = A ∩ C.

Veamos que es una relación de equivalencia.

• Reflexiva: ∀B ∈ P(U), A ∩ B = A ∩ B, es decir BRAB.

• Simétrica: si BRAC, es A ∩B = A ∩ C, luego A ∩C = A ∩B y CRAB.

• Transitiva: si BRAC y CRAD se tiene que A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D,luego BRAD.

3) En el conjunto Z la relación definida por el menor estricto, xRy ⇐⇒ x < y,verifica la propiedad antisimétrica ya que no existe ningún par de enteros n,mtales que nRm y mRn. La relación es también transitiva, pero no es reflexiva ni

simétrica.

34

Clase de equivalencia

Si R es una relación de equivalencia en A, denominamos clase de

equivalencia de un elemento x ∈ A, que notaremos simplemete

x (ó [x]) si se sobreentiende R y no hay peligro de confusión, ó

R(x) si es necesario precisar a R, al conjunto de todos los ele-

mentos de A relacionados con x, esto es,

x = [x] = R(x) = {y ∈ A | xRy} (= {y ∈ A | yRx}) .

Ejemplo 1.2.5. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del

ejemplo anterior.

1) En Z consideramos la relación de equivalencia S, nSm si n − m es par. Sea

n un número par. Entonces m ∈ Z está relacionado con n si m − n = 2k es par,

luego m = n + 2k es par. Luego todos los elementos de la clase de equivalencia

de n son pares. Recíprocamente, si m es par se tiene que n−m es par. Por tanto,

la clase de equivalencia de n, S(n), es el conjunto de todos los números pares.

Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalencia S(n) es el conjunto de

todos los números impares.

Notar que si n1 y n2 son ambos números pares (impares) entonces S(n1) =S(n2). De aquí se sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equiva-

lencia, por ejemplo S(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese

también que S(0) ∩ S(1) = ∅ y que Z = S(0) ∪ S(1). En el teorema siguiente se

probará que estas propiedades se verifican en cualquier relación de equivalencia.

2) Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P(U), definida por:

∀B,C ∈ P(U), BRAC si A ∩ B = A ∩ C, siendo A un conjunto fijo. Estu-

diaremos, primero, un caso particular que nos servirá para entender mejor el caso

general. Supongamos que el conjunto A que fijamos tiene sólo dos elementos,

A = {x, y}. Veamos que, en este caso, sólo existen 4 clases de equivalencia:

RA(∅),RA(A),RA({x}) y RA({y}). En efecto: sea B un conjunto cualquiera.

Las posibilidades para A ∩ B son

• A ∩ B = ∅ = A ∩ ∅, de donde BRA∅ y B ∈ RA(∅).

• A ∩ B = A = A ∩A, de donde BRAA y B ∈ RA(A).

• A ∩ B = {x} = A ∩ {x}, de donde BRA{x} y B ∈ RA({x}).

• A ∩ B = {y} = A ∩ {y}, de donde BRA{y} y B ∈ RA({y}).

35

Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases ante-

riores no tienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas es P(U).

Pasemos al caso general. Sea A un conjunto cualquiera. Veamos que existen

tantas clases de equivalencia como subconjuntos de A.

2-1) Si A1, A2 ⊂ A son distintos, entonces RA(A1) 6= RA(A2). En efecto: A1

y A2 no están relacionados ya que A ∩ A1 = A1 6= A2 = A ∩A2.

2-2) Todo conjunto B pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto

de A. En efecto: basta tomarA∩B ⊂ A, entonces A∩ (A∩B) = (A∩A)∩B =A ∩ B, luego B ∈ RA(A ∩ B).

Hemos visto en los ejemplos anteriores que las clases de equivalencia distin-

tas no tienen ningún elemento en común, y que la unión de todas la clases es el

conjunto total. Veamos que esta es una propiedad de cualquier relación de equi-

valencia, pero antes daremos una nueva noción.

Partición de un conjunto

Dado un conjunto A 6= ∅, una partición de A es un subconjun-

to Q ⊂ P(A) (los elementos de Q son subconjuntos de A) que

verifica las siguientes propiedades:

(a) Todos los elementos de Q son no vacíos.

(b) La unión de todos los elementos de Q es A.

(c) Los elementos de Q son disjuntos entre sí.

O expresado simbólicamente,

(a) ∀B ∈ Q se tiene B 6= ∅ (ó equivalentemente: ∅ /∈ Q).

(b)⋃

Q = A (ó escrito de otro modo: ∀x ∈ A, ∃B ∈ Q tal que

x ∈ B)a.

(c) Si B,C ∈ Q y B 6= C, entonces B ∩ C = ∅.

aNótese que la inclusión⋃

Q ⊂ A siempre se tiene puesto que Q ⊂ P(A).

La idea que hay detrás de una partición de un conjunto A (no vacío) es muy

sencilla: se trata de una descomposición de A en subconjuntos no vacíos y disjun-

tos.

36

Las clases de equivalencia como una partición

Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Enton-

ces el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de

A es una partición de A.

PRUEBA: La propiedad reflexiva implica que cada elemento a ∈ A pertenece

a su clase de equivalencia, por tanto cada clase de equivalencia es no vacía (pro-

piedad (a)) y la unión de todas las clases de equivalencia es A (propiedad (b)).

Para probar (c) supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y)de tal forma que existe z ∈ R(x) ∩ R(y). Tenemos que demostrar entonces que

R(x) = R(y), y lo haremos por doble inclusión. De hecho, sólo probaremos que

R(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusión es absolutamente análoga.

Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aRx y xRz,

por lo que aRz. De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zRy. Así

tenemos aRy, luego a ∈ R(y).Observemos que para demostrar (c) hemos usado tanto la propiedad simétrica

como la transitiva de R. �

Corolario 1.2.6. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A, x, y ∈A. Se tiene que las clases de equivalencia de x y de y son iguales, R(x) = R(y),si y sólo si xRy.

Conjunto cociente

Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto

A, el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de

A por R se denomina conjunto cociente de A por R. La notación

usual es

A/R = {R(x) | x ∈ A}.

El conjunto cociente de A por R es por tanto una partición de A. En particular

A/R es un subconjunto de P(A).

Ejemplo 1.2.7. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.

a) Sea la relación de equivalencia S, en Z, dada por nSm si n − m es par.

Entonces

Z/S = {S(0), S(1)}

37

En general, si fijamos un entero p y consideramos

xSy ⇐⇒ x− y es múltiplo de p,

se tiene que, para todo x ∈ Z

S(x) = {y ∈ Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entre p},

por lo que

Z/S = {S(0), S(1), ..., S(p− 1)}.b) Consideremos la relación de equivalencia, en P(U), definida por:

∀B,C ∈ P(U), BRC si A ∩ B = A ∩ C,

siendo A un conjunto fijo. En este caso

P(U)/R = {R(D) | D ∈ P(A)}.

1.3 Aplicaciones

Aplicación

Una aplicación f de A en B es una correspondencia f ⊂ A× Bdonde todo elemento de A tiene asociado un único elemento de

B. Esto es, en notación matemática, la correspondencia f es una

aplicación si y sólo si se verifica que

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ f.

Nota 1.3.1. Para referirnos a una correspondencia f ⊂ A×B que sea una aplica-

ción, es habitual denotarla de la forma f : A −→ B. Además, en este caso, dado

un a ∈ A, el único b ∈ B verificando (a, b) ∈ f se denotará f(a) y se denominará

imagen de a (por la aplicación f ). A veces también llamaremos a f(a) valor de

f en a. Una aplicación f de A en B también se especificará en la forma

a ∈ A 7−→ f(a) ∈ B.

De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar a Aconjunto de partida (o dominio) y a B conjunto de llegada (o rango) de la

aplicación f .

Para dar una aplicación debemos pues indicar:

38

-) su conjunto de partida,

-) su conjunto de llegada, y

-) la imagen de cada elemento del conjunto de partida, que habrá de ser un

único elemento del conjunto de llegada.

A veces, cuando estamos definiendo una aplicación, para dar la imagen de ca-

da elemento del conjunto de partida utilizamos alguna elección auxiliar. En tal

caso hemos de probar que el resultado no depende de esta elección, o dicho de

otra forma, que la imagen de cada elemento del conjunto de partida está “bien

definida”.

Ejemplo 1.3.2. 1) Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación

f : X → X, definida por f(x) = x, ∀x ∈ X,

que llamaremos aplicación identidad y notaremos por 1X .2) Sean X, Y conjuntos cualesquiera e y0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene

la aplicación

g : X → Y definida por g(x) = y0, ∀x ∈ X,

que llamaremos aplicación constante (con valor y0).3) Si X es un subconjunto de Y , X ⊂ Y , siempre disponemos de una aplicación

especial iX : X → Y , definida por iX(x) = x para cada x ∈ X . Dicha aplicación

se denomina la inclusión de X en Y .

4) Sea f ⊂ R× R la correspondencia dada por

(a, b) ∈ f si y sólo si b2 = a.

La correspondencia f no es aplicación, pues no todos los elementos de R poseen

una imagen (si a < 0, no existe b ∈ R con b2 = a.)5) Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la su-

ponemos en R+ (los números reales positivos), es decir f ⊂ R+×R. En este caso,

a todos los elementos de R+ les corresponde algún elemento de R, pero f no es

aplicación, pues este elemento no es único. Por ejemplo, (4, 2) ∈ f y (4,−2) ∈ f.6) Si consideramos f ⊂ R+ × R+, definida por

(a, b) ∈ f si y sólo si b2 = a,

entonces sí es aplicación.

7) La correspondencia

f ⊂ (Z− {1})×Q, f =

{(n,

n

n− 1

)| n ∈ Z− {1}

}

39

es aplicación.

8) Sean U un conjunto y A ⊂ U un subconjunto fijos. Definimos las correspon-

dencias f, g ⊂ P(U)×P(U) por:

f = {(B,A ∩B) | B ∈ P(U)}, g = {(B,A ∪ B) | B ∈ P(U)}.Ambas son aplicaciones.

9) Si R es una relación de equivalencia en X , la aplicación cociente, también

denominada proyección natural, es la aplicación cuyo conjunto de partida es X ,

cuyo conjunto de llegada es el conjunto cociente X/R y que viene dada por:

π : X → X/R, π(x) = R(x) para cada x ∈ X.

10) Si X e Y son conjuntos, las aplicaciones p : X × Y → X , q : X × Y → Ydadas por

p(x, y) = x, q(x, y) = y

se denominan respectivamente primera y segunda proyección.

11) Si A = ∅, se tiene que ∅×B = ∅ y por tanto hay una única correspondencia del

conjunto ∅ en B: la corresponencia vacía. Esta correspondencia es una aplicación,

y es de hecho la única aplicación de ∅ en B. Si A 6= ∅ y B = ∅, no existe ninguna

aplicación de A en ∅.

Potenciación de conjuntos

Dados dos conjuntos X e Y , el conjunto potencia Y X , leído “Yelevado a X”, es por definición el conjunto cuyos elementos son

todas las aplicaciones de X en Y :

Y X = {f : X → Y | f es una aplicación.}.

Se tiene pues que Y X ⊂ P(X × Y ).

Producto cartesiano de aplicaciones

Dadas dos aplicaciones f : X → Y y f ′ : X ′ → Y ′, el producto

cartesiano de f y f ′ es la aplicación que denotaremos f × f ′ :X ×X ′ → Y × Y ′ definida por

(f × f ′)(x, x′) = (f(x), f ′(x′)), para cada (x, x′) ∈ X ×X ′.

40

Imagen y anti-imagen

Dada una aplicación f : X −→ Y y subconjuntos A ⊂ X y

B ⊂ Y , definimos:

(a) La imagen de A (o imagen directa de A), notada f(A),como

f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f(x) = y} ⊂ Y,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto de llegada

que son imagen de algún elemento de A. Si A = X se

denota f(X) = Im(f) y se denomina imagen de f .

(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o

imagen inversa) de B, notada f−1(B), como

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} ⊂ X,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto de partida

cuya imagen pertenece a B.

Nota 1.3.3. En general, si f : X → Y es una aplicación, f(X) 6= Y. Basta tomar

la última aplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre que f−1(Y ) = X.

Dada una aplicación f : X −→ Y , la notación f(·) se utiliza para dos situa-

ciones distintas:

-) Cuando x ∈ X , es decir, x es un elemento de X , f(x) denota la imagen de

x por f , que es un elemento de Y : f(x) ∈ Y .

-) Cuando A ⊂ X , es decir, A es un subconjunto de X , f(A) denota la imagen

(directa) de A, que es un subconjunto de Y : f(A) ⊂ Y .

Siempre debemos saber en qué contexto estamos utilizando f(·). Una posibilidad

para evitar confusiones sería usar una notación para la imagen (o imagen directa)

de un subconjunto A ⊂ X por la aplicación f distinta de la notación de la imagen

de un elemento x ∈ X , como por ejemplo f∗(A) ó f [A], pero como no es lo

habitual en los textos de Matemáticas, no lo haremos en estas notas.

Nótese que si x ∈ X , f({x}) = {f(x)}, donde estamos utilizando la notación

f(·) en las dos situaciones.

41

Ejemplo 1.3.4. 1) Consideremos la aplicación

f : Z → Z definida por f(n) = 2n,

y A = {−1, 0, 4, 5}. Entonces f(A) = {−2, 0, 8, 10}, y la imagen de f es

Im(f) = {enteros pares}.Sean B1 = {2, 3, 8,−4,−1}, B2 = {1, 3}. Se tiene que

f−1(B1) = {1, 4,−2}, f−1(B2) = ∅.

2) Sea la aplicación

f : R → R definida por f(x) = x2,

A = [0, 2]. Entonces f(A) = [0, 4], pues ∀x ∈ [0, 4], existe√x ∈ [0, 2] tal que

f(√x) = x. En este caso, la imagen de f es Im(f) = [0,+∞), los números reales

no negativos.

Proposición 1.3.5. Sea f : X −→ Y una aplicación, A1, A2 ⊂ X y B1, B2 ⊂ Y .

Se verifica:

(a) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

(b) f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2).

(c) f(f−1(B1)) ⊂ B1, A1 ⊂ f−1(f(A1)).

PRUEBA: Vamos a probar la segunda afirmación de (a) y la primera de (b) y

de (c). Las demás son similares.

(a) Consideremos y ∈ f(A1 ∩ A2). Entonces existe x ∈ A1 ∩ A2 tal que

y = f(x). Por tanto, y ∈ f(A1) e y ∈ f(A2), por lo que se tiene el resultado.

Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusión no es cierta,

basta con dar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el

enunciado. Para ello consideremos f : N −→ N definida por

f(x) =

{x/2 + 1 si x es par

x+ 2 si x es impar

Tomamos A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6}. Claramente f(A1 ∩ A2) = f(∅) = ∅,

pero f(A1) ∩ f(A2) = {3}.

(b) Sea x un elemento de f−1(B1 ∪ B2). Entonces

x ∈ f−1(B1 ∪ B2) ⇔ f(x) ∈ B1 ∪B2 ⇔ f(x) ∈ B1 ó f(x) ∈ B2 ⇔

⇔ x ∈ f−1(B1) ó x ∈ f−1(B2) ⇔ x ∈ f−1(B1) ∪ f−1(B2).

42

(c) Probemos ahora que f(f−1(B1)) ⊂ B1. Si y ∈ f(f−1(B1)), es porque

existe x ∈ f−1(B1) tal que y = f(x). Pero, al ser x ∈ f−1(B1), por definición

tenemos que y = f(x) ∈ B1.

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general podemos

tomar la misma aplicación que en el caso anterior y considerar B1 = {1, 3, 5}nuevamente. Entonces f−1(B1) = {0, 1, 3, 4, 8}. Pero f(f−1(B1)) = {3, 5}, por

lo que hemos acabado.

Veamos que A1 ⊂ f−1(f(A1)). Pongamos C = f(A1). Sea x ∈ A1, lue-

go f(x) ∈ C. Esto quiere decir, por la definición de contraimagen, que x ∈f−1(C) = f−1(f(A1)).

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general consideramos

la aplicación constante f : X → Y dada por f(x) = y0, para un elemento y0 ∈ Yfijado. Sea A cualquier subconjunto propio de X. Entonces

f−1(f(A)) = f−1({y0}) = X 6⊂ A.

�

Nota 1.3.6. Sea f : X → Y una aplicación e {y} ⊂ Y un subconjunto unitario

de Y . Con objeto de aligerar la notación, en la mayoría de los textos se escribe

f−1(y) en lugar de f−1({y}), es decir, la notación f−1(y) se refiere a:

f−1(y) = {x ∈ X | f(x) ∈ {y}} = {x ∈ X | f(x) = y}.

Hemos de tener especial cuidado con esta notación, pues puede confundirse con la

imagen de y por la aplicación inversa de f , cuando dicha aplicación inversa exista

(ver Nota 1.3.16).

43

Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Sea una aplicación f : X −→ Y .

(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siem-

pre tienen imágenes distintas. Dicho de otro modo, si para

x, x′ ∈ X se tiene

f(x) = f(x′) ⇒ x = x′.

(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Yes imagen de algún elemento de X . O sea, f es sobre si

f(X) = Im(f) = Y , o dicho de otro modo, si

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X tal que f(x) = y.

(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 1.3.7. 1) Sea f : R → R la aplicación definida por f(x) = x2. Esta

aplicación no es inyectiva, pues f(x) = f(−x). Tampoco es sobreyectiva, pues

Im(f) = [0,+∞) 6= R.2) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = 2n. Esta aplicación es

inyectiva ya que, si f(n) = f(m), entonces 2n = 2m, y de aquí se tiene que

n = m. La aplicación no es sobreyectiva pues Im(f) = {números pares} 6= Z.3) Sean U,A ⊂ U,A 6= ∅ unos conjuntos fijos. Sea f : P(U) → P(A) la

aplicación definida por f(B) = A ∩ B. Esta aplicación no es inyectiva, pues

si f(B) = f(C), tenemos que A ∩ B = A ∩ C, y de aquí no se deduce que

B = C. Basta tomar dos conjuntos distintos B,C ⊂ A. Entonces se verifica que

A ∩ B = ∅ = A ∩ C y B 6= C.Veamos que esta aplicación es sobreyectiva. Sea D ∈ P(A) y pongamos

B = D. Entonces

f(B) = A ∩B = A ∩D = D.

Notar que también podemos tomar B = A ∪D, pues

f(B) = A ∩B = A ∩ (A ∪D) = (A ∩ A) ∪ (A ∩D) = ∅ ∪D = D.

Esto nos da otra forma de ver que la aplicación no es inyectiva.

4) La aplicación identidad es biyectiva.

5) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = n + 3. Veamos que esta

aplicación es biyectiva.

44

Inyectiva: si f(n) = f(m) ⇒ n + 3 = m+ 3 ⇒ n = m.Sobreyectiva: si m ∈ Z, tomando n = m− 3 se tiene que f(n) = m.

6) Si X ⊂ Y , la inclusión ix : X → Y es una aplicación inyectiva.

7) Si X e Y son conjuntos con Y 6= ∅, la primera proyección p : X × Y → X es

sobreyectiva. Se tiene un resultado análogo para la segunda proyección si X 6= ∅.

La prueba de la siguiente proposición se deja como ejercicio.

Proposición 1.3.8. Sean dos números enteros m,n ≥ 1. Probar que existe una

aplicación biyectiva f : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → {1, . . . , mn}.

Nota 1.3.9. En términos de la imagen inversa de conjuntos unitarios tenemos las

siguientes equivalencias:

(a) f es inyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, a

lo más, de un elemento.

(b) f es sobre si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, por lo

menos, de un elemento (es decir, es no vacío).

(c) f es biyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta,

exactamente, de un elemento.

Sólo en este último caso tiene sentido hablar de aplicación inversa.

Nota 1.3.10. A partir de cualquier aplicación f : X → Y podemos definir una

aplicación sobreyectiva f̂ : X → Im(f) cuya acción sobre los elementos de X

coincide con la de f : f̂(x) = f(x) para cada x ∈ X . Aunque la acción de ambas

aplicaciones está definida de la misma manera, debemos considerarlas en general

como aplicaciones distintas, pues sus conjuntos de llegada son distintos. Tan sólo

serán iguales cuando la aplicación f de partida fuera sobreyectiva.

Composición de aplicaciones

Dadas dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z se define

la composición de f y g, notada g ◦ f : X −→ Z, que será una

aplicación de X en Z, como

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ X.

Obviamente g ◦ f es una aplicación.

45

Ejemplo 1.3.11. 1) Sean las aplicaciones f : Z → Q, g : Q → R definidas por

f(n) =n

2, g(x) =

√x2 + 3.

La composición de f y g es

g ◦ f : Z → R dada por (g ◦ f)(n) =√(n

2

)2

+ 3,

pues

(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n2

)=

√(n2

)2

+ 3.

2) Sea A un conjunto fijo y consideremos las aplicaciones

f, g : P(U) → P(U) definidas por f(B) = A ∩B, g(B) = A ∪B.

En este caso podemos calcular la composición de f y g y la composición de g y

f .

Calculamos g ◦ f :

(g◦f)(B) = g(f(B)) = g(A∩B) = A∪(A∩B) = (A∪A)∩(A∪B) = U∩(A∪B) = A∪B,

luego la composición de f y g es la aplicación

g ◦ f : P(U) → P(U), (g ◦ f)(B) = A ∪B, ∀B ∈ P(U).

Por otro lado, f ◦ g :

(f◦g)(B) = f(g(B)) = f(A∪B) = A∩(A∪B) = (A∩A)∪(A∩B) = ∅∪(A∩B) = A∩B,

luego la composición de g y f es

f ◦ g : P(U) → P(U), (f ◦ g)(B) = A ∩B, ∀B ∈ P(U).

Nótese que f ◦ g 6= g ◦ f.

Nota 1.3.12. Dadas aplicaciones entre conjuntos

X1f−→ X2

g−→ X3h−→ X4,

es elemental comprobar que (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) (asociatividad de la compo-

sición de aplicaciones).

46

Aplicaciones invertibles

Diremos que una aplicación f : X −→ Y es invertible cuando

exista una aplicación g : Y −→ X tal que

g ◦ f = 1X , f ◦ g = 1Y .

Proposición 1.3.13. Si una aplicación f : X −→ Y es invertible, la aplicación

g : Y −→ X tal que g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y es única.

A la aplicación g de la proposición anterior se la denomina aplicación inversa

de f y se denota por f−1 : Y −→ X .

Ejemplo 1.3.14. 1) La aplicación identidad 1X : X → X es invertible y su

inversa es ella misma.

2) La aplicación

f : Z → Z definida por f(n) = n+ 3

es invertible y su inversa es la aplicación

f−1 : Z → Z definida por f−1(m) = m− 3.

Proposición 1.3.15. Sea f : X → Y una aplicación. Las propiedades siguientes

son equivalentes:

(a) f es invertible.

(b) f es biyectiva.

PRUEBA: (a) ⇒ (b): Supongamos que f es invertible y consideremos su

aplicación inversa f−1. Veamos que f es biyectiva:

Inyectiva: si f(a) = f(b), aplicando f−1 tenemos f−1(f(a)) = f−1(f(b)),luego a = b por ser f−1 ◦ f = 1X .

Sobreyectiva: sea y ∈ Y y consideremos x = f−1(y) ∈ X. Aplicando ftenemos que f(x) = f(f−1(y)) = 1Y (y) = y, luego f es sobreyectiva.

(b) ⇒ (a): Si f es biyectiva, tomemos la aplicación g : Y → X definida del

siguiente modo: para cada y ∈ Y , g(y) = x siendo x el único (pues f es inyectiva)

elemento de X que verifica f(x) = y (que existe, pues f es sobreyectiva).

Comprobamos sin dificultad que g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y , y por tanto f es

invertible. �

47

Nota 1.3.16. Al igual que ocurría con la notación f(·) (ver Nota 1.3.3), cuando

f : X → Y es una aplicación, la notación f−1(·) se utiliza para dos situaciones

distintas que pueden dar lugar a confusiones de fondo:

i) Cuando B ⊂ Y , f−1(B) denota la anti-imagen de B por f , que es un

subconjunto de X .

ii) Cuando f es invertible e y ∈ Y , f−1(y) indica la imagen de y por la inversa

de f , que es un elemento de X .

De hecho, tal como indicamos en la Nota 1.3.6, la notación f−1(·) es también

utilizada en una tercera situación que puede confundirse fácilmente con ii). Es

pues fundamental saber en cada caso en qué situación estamos. En ii) estamos

suponiendo que f es invertible (o, equivalentemente, biyectiva), mientras que i)

tiene sentido para cualquier aplicación f , invertible o no.

Restricción de una aplicación

Dada una aplicación f : X −→ Y y un subconjunto A ⊂ X , se

define la restricción de f a A como la aplicación

f |A : A −→ Y

x ∈ A 7−→ f |A(x) := f(x) ∈ Y

Esto es, f |A actúa exactamente como f , pero sólo sobre los elementos de A.

Nótese que la restricción f |A coincide con la composición de f con la inclusión

iA : A → X:

f |A = f ◦ iA.

Ejemplo 1.3.17. Sean A ⊂ U conjuntos fijos y consideremos la aplicación f :P(U) → P(U) definidas por f(B) = A ∩ B. La restricción de f a P(A),f : P(A) → P(U) es

f |P(A)(B) = f(B) = A ∩B = B, ya que B ⊂ A.

Ejemplo 1.3.18. Veamos un ejemplo que pone de manifiesto la importancia de, a

la hora de dar una aplicación, precisar los conjuntos de partida y de llegada y no

sólo cómo se determina la imagen de cada elemento.

Consideremos f : A → B dada por f(x) = x2. Entonces:

• Si A = B = R, la función anterior no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

48

• Si A = R y B = R+, f es sobreyectiva y no inyectiva.

• Si A = [0, 1] y B = R, f es inyectiva y no sobreyectiva.

• Si A = B = [0, 1], f es biyectiva.

Factorización canónica de una aplicación

Relación asociada a una aplicación

Dada una aplicación f : X → Y , definimos la relación asociada

a f de la siguiente forma: para a, b ∈ X

aRfb ⇔ f(a) = f(b).

Dejamos la demostración de la siguiente proposición como ejercicio.

Proposición 1.3.19. La relación Rf asociada a una aplicación es una relación

de equivalencia.

Nota 1.3.20. La construcción del conjunto cociente por una relación de equivalen-

cia puede verse como un recíproco del proceso anterior: toda relación de equiva-

lencia R es la relación asociada a una cierta aplicación, concretamente a la aplica-

ción cociente π : X → X/R que a cada x ∈ X le asocia su clase de equivalencia,

π(x) = R(x).

La aplicación cociente π : X → X/R verifica la siguiente “propiedad univer-

sal”.

Proposición 1.3.21. (Propiedad universal de la aplicación cociente) Sean X, Yconjuntos no vacíos, R una relación de equivalencia en X y f : X → Y una

aplicación. Si se tiene

f(a) = f(b) siempre que aRb,

entonces existe una única aplicación F : X/R → Y tal que f = F ◦ π, es decir

el siguiente diagrama es conmutativo:

Xf

//

π

��

Y.

X/R

F

<<③

③

③

③

49

Factorización canónica de una aplicación

Toda aplicación f : X → Y se descompone de manera canónica

como composición f = i ◦ f̄ ◦ π,

Xf

//

π

��

Y

X/Rf

f̄// Im(f)

i

OO

donde π es la aplicación cociente, i es la inclusión de Im(f) en

Y y f̄ : X/Rf → Im(f) es la única aplicación que hace conmu-

tativo el diagrama anterior, que viene dada por f̄(Rf (x)) = f(x).Además, la aplicación f̄ es biyectiva y por tanto toda aplicación

entre dos conjuntos se descompone canónicamente como compo-

sición de una aplicación inyectiva, una aplicación biyectiva y una

aplicación sobreyectiva.

1.4 Conjuntos finitos y conjuntos infinitos

Uno de los aspectos que caracterizan a las Matemáticas dentro del conocimiento

humano es ser la única disciplina que trata científicamente el concepto de infinito.

De hecho, esto se hace a través de la Teoría de conjuntos y fue precisamente una

de las motivaciones principales de Georg Cantor.

En esta sección vamos a dar una introducción a este tema, evitando entrar

en detalles técnicos que requerirían un conocimiento de la Teoría axiomática de

conjuntos.

Nuestros prototipos de conjuntos finitos son los de la forma {1, 2, . . . , n}, don-

de n es un número natural mayor o igual que 1. Pero en Matemáticas, uno de los

conjuntos más importantes, el de los números naturales

N = {0, 1, 2, 3, . . .},

cae fuera de los primeros. Se trata de hecho del primer contacto que tenemos con

la noción de “infinito”.

Otra de las nociones más usadas en la práctica es la de “cantidad de elementos”

de un conjunto finito. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, . . . , n} tiene n elementos.

Pero en lugar de comenzar por darle sentido a la “cantidad de elementos” de

un conjunto, vamos a comenzar por dar sentido a que dos conjuntos tengan “la

50

misma cantidad de elementos”, sin saber qué es la cantidad de elementos de un

conjunto.

Conjuntos equipotentes

Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existe una

aplicación biyectiva f : X → Y .

Es fácil ver que la relación de equipotencia es una relación de equivalencia en

cualquier “conjunto de conjuntos”.

Proposición 1.4.1. Sean dos números enteros m,n ≥ 1 y sea f : {1, . . . , m} →{1, . . . , n} una aplicación. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Si f es inyectiva, entonces m ≤ n.

2. Si f es sobreyectiva, entonces m ≥ n.

3. Si f es biyectiva, entonces m = n.

Además, si m = n, las propiedades siguientes son equivalentes:

(a) f es inyectiva.

(b) f es sobreyectiva.

(c) f es biyectiva.

PRUEBA: La prueba se deja como ejercicio. �

Proposición 1.4.2. Sea un número entero m ≥ 1 e Y ⊂ {1, . . . , m} un sub-

conjunto no vacío. Entonces existe un entero n ≥ 1 y una aplicación biyectiva

f : {1, . . . , n} → Y . Además, por la proposicón anterior se debe tener n ≤ m.

PRUEBA: La prueba se deja como ejercicio. �

Corolario 1.4.3. Sea un número entero m ≥ 1, Y ⊂ {1, . . . , m} y supongamos

que existe una aplicación sobreyectiva f : Y → {1, . . . , m}. Entonces Y ={1, . . . , m}.

51

PRUEBA: Es una consecuencia inmediata de las dos proposiciones anteriores.

�

Para tratar matemáticamente a las nociones de “conjunto finito” y de “conjunto

infinito” debemos dar definiciones formales de ellas.

Conjuntos finitos y conjuntos infinitos

Decimos que un conjunto X es finito si o bien es vacío, o si no es

vacío, existe un número natural n ≥ 1 tal que X es equipotente a

{1, 2, . . . , n}.

Decimos que un conjunto X es infinito, si X es equipotente a

algún subconjunto propio de X , i.e. a algún Y ⊂ X con ∅ 6=Y 6= X .

Ejemplo 1.4.4. (1) Para cada número natural n ≥ 1, el conjunto {1, 2, . . . , n} es

finito (según la definición anterior).

(2) El conjunto de los números naturales N es infinito, pues N es equipotente a

N+:

f : N → N+, f(x) = x+ 1,

es una aplicación biyectiva, y N+ es un subconjunto propio de N.

(3) Si X es un conjunto finito (resp. infinito) e Y es un conjunto equipotente a X ,

entonces Y es también un conjunto finito (resp. infinito).

La proposición siguiente nos garantiza que las definiciones dadas de de con-

junto finito y de conjunto infinito son excluyentes y cubren todos los casos.

Proposición 1.4.5. Sea X un conjunto. Las propiedades siguientes son equiva-

lentes:

(a) X es un conjunto finito.

(b) X no es un conjunto infinito.

PRUEBA: (a) ⇒ (b): Se prueba sin mucha dificultad a partir del Corolario

1.4.3.

(b) ⇒ (a): es equivalente a probar que si X no es finito, entonces X es infinito.

Supongamos que X no es finito, es decir, no es vacío y no es posible establecer

una aplicación biyectiva entre X y ningún conjunto de la forma {1, 2, . . . , m},

con m ≥ 1. Como X 6= ∅, podemos encontrar un elemento x1 ∈ X . Sea

f1 : {1} → X la aplicación inyectiva definida por f1(1) = x1. Como X no es

52

finito, la aplicación f no puede ser sobreyectiva y por tanto podremos encontrar

un x2 ∈ X que no pertenece a la imagen de f1. Consideremos la aplicación

f2 : {1, 2} → X que extiende a f1 y tal que f2(2) = x2. Por la misma razón

anterior f2 no puede ser sobreyectiva.

Continuando con este proceso definimos una familia de aplicaciones

fn : {1, . . . , n} → X, n ∈ N,

todas ellas inyectivas, que cada una prolonga a la anterior. Con esta familia cons-

truimos una aplicación f : N → X de la siguiente forma:

f(n) = fn(n) para cada n ∈ N.

Se prueba sin dificultad que f es inyectiva, y como N es infinito, concluimos

aplicando la Proposición 1.4.6, 3)1. �

En la siguiente proposición damos las principales propiedades que se deducen

de las definiciones dadas de conjunto finito y de conjunto infinito. Con ellas com-

probamos que dichas definiciones modelizan correctamente las ideas intuitivas

previas que teníamos de estas nociones.

Proposición 1.4.6. Se tienen las siguientes propiedades:

1) Si X es un conjunto finito y f : X → Y es una aplicación sobreyectiva,

entonces Y también es un conjunto finito.

2) Si Y es un conjunto finito y f : X → Y es una aplicación inyectiva, enton-

ces X también es un conjunto finito.

3) Si X es un conjunto infinito y f : X → Y es una aplicación inyectiva,

entonces Y también es un conjunto infinito.

4) Si Y es un conjunto infinito y f : X → Y es una aplicación sobreyectiva,

entonces X también es un conjunto infinito.

5) El producto cartesiano de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

6) X es un conjunto finito si y sólo si P(X) es un conjunto finito.

7) X es un conjunto infinito si y sólo si P(X) es un conjunto infinito.

1En esta prueba hemos utilizado un axioma de la Teoría axiomática de conjuntos denominado

el “axioma de elección numerable”. Al tratarse de una introducción a la Teoría de conjuntos, no

entraremos en más detalles.

53

PRUEBA: Nos limitaremos a dar algunas indicaciones.

1): Podemos restringirnos al caso en que X = {1, . . . , m} con m ≥ 1. Definimos

g : Y → X = {1, . . . , m} de la siguiente forma: para cada y ∈ Y

g(y) := min f−1({y}) ∈ X.

Se prueba sin dificultad que f ◦ g = 1Y , por lo que g es inyectiva e Y será

equipotente a Im(g) ⊂ X = {1, . . . , m}. Concluimos aplicando la Proposición

1.4.2.

2): Es una consecuencia casi inmediata de la Proposición 1.4.2.

3): Basta probar que si X ⊂ Y con X conjunto infinito, entonces Y también es

infinito.

Como X es infinito, existe un subconjunto propio X ′ ( X y una aplicación

biyectiva f : X ′ → X . Es claro que Y ′ := X ′∪(Y \X) es un subconjunto propio

de Y , y que la aplicación g : Y ′ → Y definida por

g(y) =

{f(y) si y ∈ X ′

y si y ∈ Y \X

es biyectiva. Por tanto Y es equipotente a un subconjunto propio y concluimos

que Y es infinito.

4): Por reducción al absurdo. Si X fuera finito, deduciríamos que Y también es

finito por 1), lo que contradice que Y sea infinito de acuerdo con la Proposición

1.4.5.

5): Es fácil a partir de la Proposición 1.3.8.

6) y 7): Una idea fundamental es que siempre hay una aplicación inyectiva de Xen P(X):

x ∈ X 7−→ {x} ∈ P(X).

Por tanto, si X es infinito, P(X) también es infinito (aplicar 3)), y si P(X) es

finito, X también es finito (aplicar 2)).

Para probar X finito ⇒ P(X) finito, basta considerar el caso en que X ={1, . . . , m}, con m ≥ 1. En este caso se procede por inducción probando prime-

ramente que los conjuntos

P({1, . . . , n+ 1}) y P({1, . . . , n})× {0, 1}

son equipotentes.

Por último, si P(X) fuera infinito, X no podría ser finito y entonces ha de ser

infinito por la Proposición 1.4.5. �

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Cardinal de un conjunto finito

Si X es un conjunto finito, o bien es vacío, en cuyo caso decimos

que su cardinal es 0, o si no es vacío, existe un entero n ≥ 1tal que X es equipotente a {1, . . . , n}. De acuerdo con la Propo-

sición 1.4.1, este entero n es único y lo llamaremos cardinal de

X .

El cardinal de un conjunto finito X se denotará por ♯(X), o tam-

bién |X| si no hay peligro de confusión con otras notaciones al

uso.

Nota 1.4.7. Una de las primeras sorpresas que trajo el estudio matemático de los

conjuntos infinitos es que “no todos los infinitos son iguales”, o dicho de modo

más preciso, no todos los conjuntos infinitos son equipotentes. De hecho, Can-

tor probó mediante su conocido “método diagonal” que los conjuntos N, de los

números naturales, y R, de los números reales, no son equipotentes. Más gene-

ralmente, ningún conjunto X es equipotente al conjunto de sus partes P(X), lo

que nos proporciona “infinitos tipos de infinito”. Todo esto lleva a la Teoría de

cardinales (y de ordinales), que no abordaremos en estas notas.

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