Capitulo 1 Elementos de Geodesia Fisica

Diapositiva 1

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica

I semestre, 2014

Ing. Jos Francisco Valverde CaldernEmail: [email protected] web: www.jfvc.wordpress.com

La superficie del mar es una superficie menos compleja que la superficie topogrfica; presenta una orografa suave, sin rupturas, por lo que cuando esta en reposo, es una superficie equipotencial .El campo gravitatorio terrestre establece el nivel de los mares, ya que esta tiende a estar en una posicin de equilibrio.Por ello, es que se considera este superficie como la ptima para los sistemas de alturas.

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IntroduccinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20142Se debe tener claro que lo anteriormente indicado es una situacin ideal, debido a que los mares se ven afectados por:Mareas (atraccin de la Luna y el Sol)Corrientes ocenicas.Diversas densidades del mar niveles de sal que contienen;La topografa del suelo marino.Viento.Para hablar de la forma de la Tierra, hay que encontrar una superficie que sea fsica, ya que esta forma es generada por el campo gravitatorio terrestre.Esta forma puede ser aproximada mediante una forma geomtrica o matemtica, como el elipsoide o la esfera. Por tanto, es una tarea de la geodesia encontrar ambas superficies.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernIntroduccinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20143

Prof: Jos Fco Valverde CaldernDiferencias entre el geoide y el elipsoide* Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20144Proporciona la vertical del lugar (este elemento es una caracterstica fsica y su direccin se ve influenciada por el campo gravitatorio terrestre);Determinar rbitas satelitales;Efectuar nivelacin con mtodos satelitales;Anlisis de la distribucin de masas a lo interno de la Tierra.Necesario para que otras geociencias cumplan sus tareas, donde se destaca la Geofsica.


Importancia del campo gravitatorio terrestreGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20145

Prof: Jos Fco Valverde CaldernEl operador nabla () es un operador diferencial utilizado frecuentemente tanto en la geometra vectorial como en diversas leyes de la fsica. Puede aplicarse de diferentes formas a escalares y a vectores; de ah su utilidad.El operador nabla est definido matemticamente como:

Existen tres formas de aplicar este operador, cada una con su significado fsico y su expresin matemtica.Operador Nabla

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20146

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGradienteConsiderando una funcin V(x, y, z) definida y derivable en todo punto como un campo escalar, el gradiente de V define la derivada direccional de ese campo. Aplicando el operador nabla :

El gradiente indica hacia que direccin y en que magnitud existe un cambio en las propiedades puntuales del espacio indicado por el campo escalar, por ejemplo, la variacin de la temperatura en una habitacin.Su significado fsico esta asociado a la mxima tasa de cambio espacial del escalar y proporciona a la vez la direccin de esa variacin mxima.


Prof: Jos Fco Valverde CaldernDivergenciaConsiderando ahora V(x,y,z) como un campo vectorial definido y derivable en todo punto, se define la divergencia de V como:

Grficamente, la divergencia representa la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale de un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen.


Prof: Jos Fco Valverde CaldernEl rotor o rotacional indica la tendencia de un campo vectorial a inducir rotacin alrededor de un punto.Rotor o Rotacional

Si V(x,y,z) es un campo vectorial definido y derivable en todo punto, el rotacional de este campo est dado por:


Prof: Jos Fco Valverde CaldernEl operador de Laplace o Laplaciano (2) se define como la divergencia del gradiente de un potencial V, es decir:

Cuando se expresa en coordenadas cartesianas.Cuando el Laplaciano de un campo escalar o potencial es cero, se dice que satisface la ecuacin de Laplace. Operador de Laplace o Laplaciano


Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Informacin adicional sobre calculo vectorial

Vector gradiente de una funcinhttp://www.youtube.com/watch?v=B6Z5Y62MhYE

Interpretacin fsica de la divergenciahttp://www.youtube.com/watch?v=WcKdulG7LBc

Interpretacin fsica del rotacionalhttp://www.youtube.com/watch?v=J5ixUmioRyM

Operador nabla en coordenadas esfericas y cilindricashttp://www.youtube.com/watch?v=hrT2d1qsPpc&list=PLAFn9q_BCao_SZiGhwfIy1XpNNOAo97ez

11Ejemplo: El Sol ejerce una fuerza de atraccin sobre los planetas que giran a su alrededor. sta es una fuerza a distancia, pues no hay contacto entre el Sol y los planetas.Para explicar estas fuerzas a distancia se admite que el Sol perturba el espacio que lo rodea; esto produce una deformacin que afecta los cuerpos que estn a su alrededor.Un planeta gira alrededor del Sol, debido a que el Sol tira de l, a travs de los millones de kilmetros de espacio vaco entre ellos, basado en el concepto de accin a distancia. La interpretacin fsica es suponer que el Sol crea algn tipo de perturbacin que hace que, cuando un planeta se sita en el mismo espacio, ste sea atrado. Esta perturbacin del espacio es lo que se denomina CAMPO.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernConcepto de campoGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201412Un campo es una funcin que determina en cada punto del espacio el valor de una magnitud fsica.

Si la magnitud es un escalar, es un campo escalar.Si la magnitud es un vector, es un campo vectorial.

A los campos escalares se les asocia superficies equipotenciales o de nivel.A los campos vectoriales se les asocia lneas de campo o de fuerza.

El campo se usa para describir el comportamiento de toda magnitud fsica definida en cada punto de una regin del espacio y del tiempo, es decir, un campo represente una cantidad medible y variable que depende de donde y cuando se haya hecho la medida.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014


Prof: Jos Fco Valverde CaldernOtra definicin: En una regin cerrada S, existe un campo, creado por una magnitud fsica, si es posible asignar en cualquier momento, el valor de dicha magnitud fsica para todos los puntos de S.Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201415

Si ahora colocamos el cuerpo ligero en el mismo lugar que antes, se comprobara que sobre l acta una fuerza como si fuera atrado por el cuerpo pesado.El cuerpo pesado produce una deformacin (perturbacin) en la superficie, dotndola de cierta propiedad en cada uno de sus puntos que antes no tena : esto es, crea un campo.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201416El campo gravitatorio de la Tierra es un ejemplo de campo de fuerzas centrales.Si la magnitud es escalar, se trata de un campo escalar: campo de temperatura, campo de alturas, etc.Si la magnitud es vectorial, se trata de un campo vectorial: campo de velocidades, campo de fuerzas, etc.Uniforme En ellos los vectores fuerza tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido en todos los puntosCentralesEn ellos las direcciones de todos los vectores fuerza convergen en un mismo punto llamado centro del campo

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201417Campo uniforme

Prof: Jos Fco Valverde Caldern+++++++++++++

------------Ejemplo: el campo elctrico que existe entre las placa de un condensador plano es un ejemplo de un campo uniformeGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201418

Prof: Jos Fco Valverde CaldernCampo centralEn los campos centrales las direcciones de todos los vectores de fuerza convergen en un mismo punto, llamado centro de campo

El modulo del vector depende nicamente de la distancia del punto considerado al centro del campo

Ejemplo: el campo gravitatorio terrestreGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201419Un campo de fuerzas es conservativo, si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partcula desde un punto A a otro punto B depende solo de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido.El campo gravitatorio es conservativo.

El trabajo que se debe hacer para subir la caja desde el suelo a la plataforma, venciendo las fuerzas del campo gravitatorio terrestre, es el mismo tanto si lo subimos verticalmente (por la izquierda) como si nos ayudamos de una rampa (por la derecha)

Prof: Jos Fco Valverde CaldernCampos conservativosGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201420La energa potencial gravitatoria de la masa m cuando se encuentra a una distancia r de la masa M viene dada por la expresin:La energa potencial gravitatoria ser negativa, ya que su mximo valor lo alcanza cuando la masa m est infinitamente alejada de M, y en ese punto se le asigna un valor cero.Llamamos campo gravitatorio a la perturbacin que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener MASA.El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales (radiales) y por tanto conservativo.El campo gravitatorio se describe mediante dos magnitudes:Una vectorial: Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo (aceleracin de la gravedad)Una escalar: Potencial gravitatorio en un punto del campo, V

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201421Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, idealizado como los mares en reposo, proyectados bajo las masas continentales.Potencial: Cantidad de trabajo necesario en un punto P para traer una partcula de masa unitaria hacia P desde el infinito.Se define con la letra W.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernTeora del potencial

Superficies equipotenciales, vector de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201422El vector de gravedad es perpendicular a la superficie equipotencial y su magnitud depende de la densidad (aplicacin geofsica) del terreno. Superficie equipotencial: superficie en donde el potencial de gravedad es el mismo. En esta, el vector de gravedad es perpendicular en cada punto de esa superficie.El geoide es una superficie equipotencial, donde W es constante.A las superficies equipotenciales tambin se les llama superficies de nivel.La lneas que cortan de forma normal a las superficies de nivel se llaman Lneas de plomada.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201423Quiere decir que conociendo el valor de la gravedad de puede determinar que sustancia lo produce, es decir, efectuar una prospeccin. Sin embargo, se tiene el problema que varias sustancias pueden tener la misma densidad y ser completamente diferentes Son continuas, sin rupturas y forman superficies cerradas alrededor de la Tierra. Su distribucin esta dada por la distribucin de masas de la Tierra. Las S.N no son paralelas. Su radio de curvatura no varia bruscamente y sus variaciones se asocian con cambios de densidad. No se cortan entre si. El vector de gravedad es perpendicular a estas. El valor de la gravedad NO es constante. En cada punto, el vector de gravedad y la superficie de nivel son tangentes. En general, las lneas de plomada no son rectas, al no ser paralelas las superficies de nivel.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPropiedades de las S.NGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201424


Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica

Los sistemas de medicin utilizados para la determinacin de alturas (y en general coordenadas) se orientan segn campo de gravedad terrestre. El plano horizontal del instrumento coincide con la lnea tangente a la superficie equipotencial que pasa por el punto de observacin. El eje vertical del instrumento coincide con la lnea de la plomada Propiedades de las S.NGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201425

Prof: Jos Fco Valverde CaldernTomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa RicaLa falta de paralelismo de la S.N producen que la altura de un punto dependa del camino que se recorra (HB dn)Propiedades de las S.NGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Galileo Galilei fue quien demostr la relacin entre la aceleracin de la gravedad y la distancia recorrida por un cuerpo en cada libre, mediante la frmula:s = distanciag = aceleracin de la gravedadt = tiempo


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201427Newton enuncia la ley de gravitacin universal.Esta relaciona la masa y la fuerza gravitacional

F = fuerza de atraccinm = masas de los cuerposl = distancia entre las masask = constante de gravitacin universal


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201428A partir de la anterior ecuacin, se puede calcular el potencial generado por una masa puntual sobre una determinada masa.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernFuncin potencial gravitatoria:Funcin potencialSi se tiene un sistema con n- masas atrayentes

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201429Cuando se tiene un nmero infinito de masas atrayentes con densidad homognea, en una regin cerrada, cada una con masas infinitesimalmente pequeas, se tiene:= densidadm = masav = volumen del cuerpo

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201430Considerando una porcin diferencial del cuerpo:

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPor lo que calculamos el potencial debido a una distribucin infinita de masas como:Considerando la densidad constante:

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201431Potencial de una distribucin de masas puntuales contra un slido:


Definicin del elemento diferencial de volumenGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201432

Definicin del elemento diferencial de volumen

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201433Potencial debido de una masa puntual:

Potencial debido a una distribucin de masas puntuales:

Potencial debido a un nmero infinito de masas puntuales:

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Prof: Jos Fco Valverde Caldern341. El valor de V cuando r tiende al infinito es cero.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPropiedades de la funcin potencial2. El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio.3. En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuacin de Laplace.

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201435La ecuacin de Laplace es una ecuacin de derivadas parciales

Para una funcin u en R2, se escribe como:

Para una funcin u en R3, se escribe:

Las soluciones a la ecuacin de Laplace se llaman Funciones armnicas, y tienen la caracterstica de que las primeras y segundas derivadas son continuas. El potencial gravitacional V, en el exterior de las masas atrayentes, se expresa mediante funciones armnicas, ya que (1/r) satisface la ecuacin de Laplace ( = 0)

Prof: Jos Fco Valverde CaldernEcuacin de LaplaceGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201436Puede demostrarse que el potencial V de una masa puntual satisface la ecuacin de Laplace.

Donde l esta en trminos de coordenadas cartesianas X, Y, Z


Ecuacin de LaplaceGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201437El potencial V es continuo para todo el espacio y como se vio en una de las propiedades de la funcin potencial, se anula cuando la distancia tiende al infinito.Las primeras derivadas de V, tambin son continuas en todo el espacio (propiedad 2 de la funcin potencial)Sin embargo, no ocurre lo mismo con las segundas derivadas del potencial, ya que para el interior de las masas atrayentes presenta discontinuidades.Ladiscontinuidad de Mohorovicic , a veces llamada "moho", es una zona de transicin entre lacortezay elmantoterrestre.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernEcuacin de PoissonGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201438Se sita a una profundidad media de unos 35km (a unos 70 km de profundidad bajo los continentes o tan solo 10kmbajo losocanos). Cuando las ondas ssmicas P y S pasan por el Moho, aumentan bruscamente su velocidad

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Por este motivo, dentro de las masas atrayentes, el potencial V satisface la Ecuacin de Poisson

Por lo tanto, el potencial gravitacional es una funcin armnica en el espacio exterior, sea fuera de las masas atrayentes.

Ecuacin de Poisson


Ecuacin de PoissonGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201440El sistema de coordenadas esfricas se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante distancia y dos ngulos.Un punto P queda determinado por tres magnitudes: el radio r, el ngulo polar o colatitud y el azimut .En algunos casos, se puede encontrar que en vez de la colatitud, se utiliza la latitud o en vez del azimut, la longitud .

Prof: Jos Fco Valverde CaldernCoordenadas esfricas

Coordenadas esfricasr = Radio = Colatitud = AzimutGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201441Ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas


Ecuacin de Laplace en coordenadas cilndricas

Ecuacin de Laplace en coordenadas Esfricas


La ecuacin de Laplace, en coordenadas esfricas, se escribe de la siguiente forma:

Prof: Jos Fco Valverde CaldernSolucin a la ecuacin de LaplacePara resolver la anterior ecuacin, se recurre al mtodo de separacin de variables:

La solucin esta dada por los trminos:

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201443n es un nmero entero, mayor o igual a 0.m es un nmero entero y su rango es 0 m n.Pnm son las funciones asociadas de Legendre, de grado n y orden m.Potencial gravitacional en coordenadas esfricas:

Donde anm, bnm son constantes. Con base a la frmula anterior, se puede desarrollar una serie pare expresar en potencial en el exterior de la esfera. Si se desea formular una serie para el potencial en el interior de la esfera, se sustituye el termino 1/rn+1, por el termino rn.


Solucin a la ecuacin de Laplace

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201444Calculo de la funcin de Legendre

Existe un caso especial, cuando m=0, la funcin de Legendre se llama Polinomio de Legendre

Frmula de Rodrguez

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPolinomios de Legendre

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201445Tanto las funciones de Legendre, como los polinomios de Legendre, se pueden determinar por medio de formulas recursivas:

Con base a esta frmula, se puede calcular el polinomio P2, a partir de conocer P0 y P1, conocer P3 a partir de P1 y P2Usualmente, las funciones de Legendre son normalizadas:


Polinomios de Legendre

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201446La magnitud de los armnicos esfricos son valores muy pequeos y su valor disminuye conforme se incrementa el grado de las Funciones Asociadas de Legendre.Por ello, es numricamente ventajoso la normalizacin de las Funciones Asociadas de Legendre.La normalizacin se logra al multiplicar los valores obtenidos por un factor de escala que depende del grado y orden de la Funcin Asociada de Legendre.Retomando la ecuacin de Laplace en armnicos en coordenadas esfricas y efectuando una nueva separacin de variables de la forma:

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPolinomios de Legendre


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201447Donde f es una funcin del radio e Y es una funcin de ,. La nueva solucin ser entonces:

A la expresin Yn(,) se le conoce como armnicos esfricos de superficie.Se debe encontrar ahora una solucin para la armnica esfrica Yn(,). Considerando una nueva separacin de variables. Se puede demostrar que las soluciones para h() esta dada por:

Prof: Jos Fco Valverde CaldernArmnicos esfricos


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201448La solucin para g() tiene significado fsico solamente si n y m son nmeros enteros y si m es menor o igual que n.Una solucin para g() son las funciones de Legendre Pnm(cos ), citadas anteriormente.Por lo tanto:

Se establecen las funciones:

Como soluciones a la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas.


Armnicos esfricos

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201449Se escribe ahora la funcin Yn(,) como:

Donde anm y bnm son constantes arbitrariasFinalmente, escribimos la solucin a la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas como:


Armnicos esfricos

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201450Se concluye que los armnicos esfricos son el producto de las funciones de Legendre por los trminos cos m o sin m Se puede efectuar una representacin geomtrica de los armnicos esfricos.Considerando:


Cuando m=0 se denominan armnicos esfricos zonales. Como se puede observar, son independientes de la longitud. Armnicos esfricos

Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201451Los armnicos esfricos zonales tienen n ceros en el intervalo 0 En el caso de que n=m, se llaman armnicos esfricos sectoriales

La esfera queda dividida en sectores positivos y negativos.


Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201452Cuando m n, se denominan armnicos esfricos teserales. Dividen la esfera como un tablero de ajedrez








n = 2, m = 0n = 16, m = 0Armnicos esfricos

n = 35, m = 0n = 50, m = 0



n = 4, m = 4

n = 16, m = 16n = 4, m = 2

n = 16, m = 4

Prof: Jos Fco Valverde CaldernArmnicos esfricosGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Potencial gravitacional terrestre en Armnicos Esfricos



Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201458Satlites en rbitas bajas son afectados por un amplio espectro de perturbaciones debido al C.G de la Tierra.Las mayores perturbaciones son producidas por el achatamiento de la Tierra. Mas all del aplanamiento, hay ondulaciones pequeas en el campo de gravedad. El modelado del campo de gravedad de la Tierra usando armnicos esfricos es conveniente para la integracin numrica de las trayectorias de los satlites, asi tambin como desarrollos analticos para las perturbaciones orbitales.La implementacin computacional de estas ecuaciones es facilitado por relaciones de recurrencia para las Funciones Asociadas de Legendre.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional VGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014El enfoque comn para el modelado del campo gravitacional de un cuerpo planetario es a travs de la representacin en armnicos esfricos:

GM es el producto de G por la masa de la Tierra, a es el semieje mayor del elipsoide, (r, , ) es la distancia al satlite, la latitud y longitud respectivamente., Cnm, Snm son los coeficientes armnicos esfricos de grado n y orden m; Pnm son las funciones asociadas de Legendre de grado n y orden m.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional V

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Un modelo gravitacional consiste en un conjunto de constantes que especifican GM, a, e y los coeficientes , Cnm y Snm. Se debe notar que tal conjunto de constantes tambin implica definir un sistema de coordenadas body-fixedLa representacin del geopotencial puede ser definido como un conjunto de tres partes constituyentes:

V = V0 + V1 + V2

La primera parte es simplemente el termino dominante de la expresin, correspondiente al grado y orden 0. La funcin asociada de Legendre P00 tiene un valor de 1 , lo mismo que el coeficiente C00. De esta forma, el termino V0 = GM/r. Este es el potencial familiar resultante de tratar el cuerpo como una masa puntual.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional VGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014La segunda parte de la representacin armnica esfrica son estos trminos lo cuales no tienen dependencia de la longitud. Estos son trminos corresponden a m = 0 y son denotados como la contribucin zonal del potencial

El termino zonal 2 modela la contribucin debido al achatamiento planetario. Asi, este es el segundo mayor contribuyente de todo el potencial, siguiendo la contribucin del cuerpo central. El termino de grado 1 es 0 asumiendo que el centro del sistema de coordenadas fijo a la Tierra .


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014La notacin Jn es frecuentemente usada para los coeficientes zonales en lugar del de Cn,0. Las dos notaciones difieren en signo:

Y la parte zonal de potencial puede ser escrito de la siguiente forma:

La parte remanente de la representacin armnica esfrica es la parte dependiente de la longitud:


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014El mayor contribuyente longitudinal del potencial es usualmente los trminos de grado 2 y orden 2. Estos trminos representan la cantidad en que el planeta esta fuera de redondez sobre el ecuador. Como el coeficiente zonal de grado 1, coeficientes de grado y orden 1 sern 0 bajo al asumir que el centro del sistema de coordenadas coincide con el centro de masas


La representacin armnica esfrica puede ser escrita como:Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Expresin para el potencial gravitacional (V) de la Tierra:

GM = constante G por la masa terrestre.a =Semieje mayor del elipsoide de referencia.r = distancia desde P al centro de la Tierra.Pnm = Funciones asociadas de Legendre. =colatitud.Cnm, Snm = coeficientes armnicos, los cuales describen la distribucin de masas dentro del cuerpo central, en este caso, la Tierra. Comnmente estn normalizados.El termino GM/r describe el potencial de un cuerpo esfrico homogneo, por lo que se le conoce como Termino Kepleriano.

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional VGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201465Para la geodesia de satlites, la anterior frmula se escribe de la siguiente manera:

Esto debido a que los coeficientes de grado 0 estn relacionados con la masa de la Tierra y los coeficientes de grado 1 estn relacionados con el origen del sistema coordenado, en este caso el centro de masas de la Tierra o geocentro.En la prctica es imposible extender el grado del polinomio hasta el infinito, por lo que se modifica la frmula anterior para expresarla en trminos mas reales, esto es extender el grado a valores posibles de calcular, como n = 360.


Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional VGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201466

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional VTomado de: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/, 2013Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201467

Prof: Jos Fco Valverde CaldernTomado de: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/, 2013Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Prof: Jos Fco Valverde CaldernPotencial gravitacional V, AIUB-CHAMP03S


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