Capítulo 1. ERRORES

ERRORES Y ARITMETICA DEL COMPUTADOR

Captulo 1. Errores y Aritmtica del Computador Lic. Elizabeth Vargas 6

1.1 INTRODUCCIN.

El Anlisis Numrico proporciona mtodos numricos para encontrar soluciones aproximadas de problemas que no puedan resolverse con mtodos analticos o cuya solucin sea muy difcil de hallar. Los valores obtenidos de esta manera se llaman soluciones numricas y como se obtienen con la ayuda de una calculadora o de la computadora estn sujetas a errores.

Cuando se usa un mtodo numrico se debe analizar el problema dado y determinar que tan prximo al valor exacto se desea la solucin numrica. Es decir, se debe sealar el nmero de cifras significativas que debe tener la solucin aproximada ( esto se conoce como la tolerancia (TOL) ) . Si esta no se especifica, entonces no se pude determinar si la solucin numrica encontrada es suficientemente correcta .

1.2 CAUSAS PRINCIPALES DE ERROR EN LOS MTODOS NUMRICOS

Algunas de ellas son:

a) El error de truncamiento: son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un proceso matemtico exacto y dependen solamente del mtodo empleado. La serie de Taylor es el mtodo ms importante que se emplea para obtener modelos matemticos y analizar los errores de truncamiento.

Ms adelante cuando se estudien los mtodos numricos se analizarn sus respectivos errores de truncamiento o error del mtodo.


b) El error de redondeo: se debe a que el computador solo guarda un nmero finito de cifras significativas durante los clculos. El error surge porque las operaciones aritmticas realizadas en el computador incluyen exclusivamente un nmero finito de dgitos, de manera que los clculos se realizan con aproximaciones de los nmeros. Este tipo de error no se puede evitar pero si se puede controlar reduciendo el nmero de operaciones a realizar y reformulando el problema.

c) Los errores inherentes o heredados: son aquellos propios de datos experimentales ( se deben tanto al instrumento como a las condiciones en que se realiza la medicin) . Este tipo de error tambin se debe a que se obtienen de clculos previos: por ejemplo si se usan aproximaciones de 32 y para efectuar otros clculos.

d) Errores generados por el programador. En la Seccin 1.7 se darn algunas recomendaciones para evitar estos errores.

1.3 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

Definicin 1.1. S el nmero real *X es una aproximacin del nmero X , el

error absoluto cometido en esta aproximacin est dado por Ea = *XX ,

y el error relativo por ER =X

XX * s 0X . El error relativo porcentual

ER% = ERx100%.

El error relativo se usa para obtener una medida de los dgitos significativos de una aproximacin.


1.4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS. EXACTITUD Y PRECISIN DE UNA MEDIDA.

DEFINICIN 1.2 . Cifras Significativas.

Se llaman cifras significativas de un nmero a todas sus cifras, a excepcin de los ceros puestos a la izquierda de la primera cifra distinta de cero. Los ceros puestos al final de un nmero son siempre significativos (en caso contrario no deben escribirse). Los ceros que se encuentran entre dos cifras significativas no nulas son significativos, ya que forma parte de la medida. El nmero de cifras significativas es independiente del sistema de medicin que se use.

Ejemplo 1.1

Nmero Cifras Significativas 0.004603 4

50800 5 500x103 3 0.40x105 2

9x105 1

La precisin se refiere al nmero de cifras significativas que tiene la medida. Se refiere a que tan cercano esta un valor aproximado con respecto a los otros.

La exactitud se relaciona con la cercana entre un valor aproximado de una medida y su valor exacto. Mucha precisin no es garanta de gran exactitud.

Por ejemplo, sean P = 3.1567 el valor exacto, P*=3.1501 y P**=3.001 aproximaciones a P: observe que P* es ms exacto y preciso que P** ( P y P* comparten cifras significativas )


Definicin 1.3. Se dice que el nmero *X aproxima a X con k cifras significativas si k es el mayor entero no negativo para el cual se cumple:

k*

xX

XX 0 tal que Mxf n + )()1( para todo [ ]bax , , entonces

10.)!1()(

+

+ nn xx

n

MxR

Sea ,.)!1(1

0+

+=

nxx

n

ME luego: ExRxPxf nn = )()()(

de all que: ExPxfExP nn + )()()(


v) Al evaluar funciones trigonomtricas recuerde realizar los clculos en el sistema radin.

Ejemplo 1.6. Sea )()( xsenxf = : a) Halle el polinomio de Taylor de grado 3 para f alrededor de x0 = 0.

b) Usando el polinomio obtenido en (a) aproxime )1,0(sen , y evaluar la precisin de esta aproximacin.

c) Halle el polinomio de Taylor de grado n para f alrededor de cero. Halle la formula para el error.

Solucin: a) Para hallar el polinomio de Taylor de grado 3 se requiere las tres primeras derivadas de f evaluadas en x0 = 0:

10001000 321

321

====

====

)()(,)(,)(

)cos()()()(),cos()(),()(

)()()(

)()()(

fyfff

xxfyxsenxfxxfxsenxf

Aplicando la frmula ( 1.6 ) se obtiene: !3

)(3

3x

xxP = .

El error de truncamiento asociado es:

( )43 04 = xsen

xR x!

)()( , con x entre 0 y x.

As, 43

!4)(

!3)( xsenxxxsen x+= , con x entre 0 y x.

b) Evaluando )(3 xP y R3(x) en x = 0,1 se obtienen: 09983333,0)1,0()1,0( 3 = Psen

( ) 643 1016666,4)(.)1,0(!411,0 = xsenR x pues 1)( xsen para todo x.


As : ( ) 00000416,0)1,0()1,0(1,0 33 = PsenR de donde: 099837,0)1,0(099829,0 sen . El valor de )1,0(sen que arroja la calculadora es 0998334,0)1,0( =sen (el cual se toma como valor exacto) , por lo que el error absoluto es: 00000416,00000034,0)1,0()1,0( 3


Ejemplo 1.7 a) Halle el grado del polinomio de Taylor, centrado en 10 =x , que debe usarse para aproximar )2,1(Ln con un error menor que 0,001. b) Evale )2,1(Ln usando el polinomio obtenido en (a). c) Evale el polinomio obtenido en (a) en 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 1,01 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,8 ; 2. d) Aproxime Ln(1.2) usando polinomios de grado 1,2,3,4,5,6,7,8

Solucin: a) Sea f(x) = Ln(x), con x > 0, derivando f se obtiene:

44

33

221 32211

xxf

xxf

xxf

xxf .)(,)(,)(,)( )()()()( ==== ..,

n

nn

x

nxf )!1.()1()(

1)(

=

+

. El error asociado al aproximar )2,1(Ln mediante el

polinomio de Taylor de grado n viene dado por:

)(.)12,1()!1(1)2,1( )1(1 +++

=nn

n fn

R , con entre 1 y 1.2 .

Pero !!!.)1()( 112

)1( nnnfnn

nn


El menor entero positivo que satisface la desigualdad (1.8) es n = 3. Luego, el polinomio de Taylor centrado en x0 = 1, es de grado 3:

323 )1(3

1)1(21)1()( += xxxxP (1.9)

b) Para aproximar )2,1(Ln usando )(3 xP se sustituye x = 1,2 en (1.9) obtenindose 182667,0)2,1()2,1( 3 = PLn . El valor de )2,1(Ln que arroja la calculadora es 182326,0)2,1( =Ln (el cual se toma como valor exacto) por lo que el error absoluto es: 33 1034,0)2,1()2,1( = xPLn .

Cuntas cifras significativas comparten )2,1(Ln y )2,1(3P ?.

c) En la tabla 1.1 se muestran los resultados obtenidos al evaluar )(3 xP y f(x)=Ln(x) en distintos valores. Para ello se elaboro un programa en MATLAB ( identificado con el nombre PROGRAMA 1.1), el cual realiza las evaluaciones funcionales de ambas funciones , calcula el error absoluto y las graficas.

x Ln(x) p(x) error absoluto 0.50000 -0.69315 -0.66667 0.02648 0.80000 -0.22314 -0.22267 0.00048 0.90000 -0.10536 -0.10533 0.00003 1.01000 0.00995 0.00995 0.00000 1.10000 0.09531 0.09533 0.00002 1.20000 0.18232 0.18267 0.00035 1.80000 0.58779 0.65067 0.06288 2.00000 0.69315 0.83333 0.14019

TABLA 1.1


A continuacin se muestra la grafica de )(3 xP y f(x)=Ln(x):

0 0.5 1 1.5 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO 3 PARA F(X)=Ln(X)

y=P(X) ----->


w=input ('introduzca el nmero de evaluaciones que desea '); n=input ('entre el grado del polinomio: n entero positivo '); salida=[]; for j=1:w x=input('entre los valores de x a evaluar'); %EVALUACION DEL POLINOMIO EN EL VALOR x s=0; for i=1:n m=((-1)^(i+1))/ i ; m1=m*((x-1)^i); s=s+m1; end % EVALUACION DE LA FUNCION LOGARITMO EN x( valor exacto, denotado por ve) ve=log(x); % Calculo del error absoluto error=abs(s-ve); salida=[salida;n,x,ve,s,error]; end fprintf('\n') fprintf(' n x Ln(x) p(x) error absoluto\n') for h=1:w fprintf('%3.0f %10.5f %10.5f %10.5f %10.5f',salida(h,:)) fprintf('\n') end % creacin del polinomio de Taylor con el fin de graficarlo p=[]; for k=n:-1:1 c=((-1)^(k+1))/k; p=[p,c]; end p=[p,0]; % Graficacin del polinomio de Taylor y de la funcin f(x)=Ln(x)


x2=0.1:.1:2; x3=x2-1; z=polyval(p,x3); y1=log(x2); q=[]; for l=0.1:.1:2; q=[q,0]; end plot(x2,z,'r',x2,y1,'b',x2,q) fprintf('\n') title('POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO 3 PARA F(X)=Ln(X)') gtext('y=P(X) ----->') ; gtext('


EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3

1) Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado de la funcin coseno en 4/pi y la forma de Lagrange del residuo.

2) Estimar el error cometido al aproximar 6.0e por !5!4!3!2

15432

xxxxx +++++

3) Qu grado de polinomio de Maclaurin para )1()( xLnxf += se debe usar para hallar )5.1(Ln con un error menor que 0,0001?

4) a) Obtenga el polinomio de Taylor de grado 3 para 2)1()( += xxf alrededor de x0 = 0, y use este polinomio para aproximar f(0,05). Compare con el valor exacto.

b) Encuentre una cota para el error en esta aproximacin . Compare su resultado con el error exacto de f(0,05).

c) Use el polinomio obtenido en (a) para aproximar +05.0

02.)1( dxx .

5) Encuentre el menor entero n necesario para aproximar

xxf 1)( = en x = 1,25 con un error menor que 10-8, usando el polinomio de

Taylor de grado n alrededor de x0 = 1.

6) Sea )1()( xLnxf += , encuentre el polinomio de Taylor de cuarto grado para f, expandido alrededor de x0 = 0 y selo para aproximar )1,1(Ln . Encuentre una cota para el error en esta aproximacin.

7) Halle el polinomio de Maclaurin de grado n para las siguientes funciones:


xx exfxarcsenexarctgdxcebxa .)),()),()),sec(),)),cos() 2

8) Use los polinomios obtenidos en (7) con n = 3 para aproximar cos(0,3), arcsen(0,4), arctg(0,5). Determine el error en cada aproximacin.

AUTOEVALUACIN 1

1) CALCULE: 31912

X

X en X =0.3334 usando :

a) Aritmtica de redondeo a cuatro dgitos

c) Aritmtica de truncamiento a cuatro dgitos

Compare ambos resultados con el valor exacto.

2) CALCULE: -10pi + 6 e -623

usando :

a) Aritmtica de redondeo a tres dgitos

b) Aritmtica de truncamiento a tres dgitos

c) Calcule el valor exacto con 6 cifras significativas.

d) Compare ambos resultados con el valor exacto.


3) CALCULE: 171723

usando :

a) Aritmtica de redondeo a tres dgitos

b) Aritmtica de truncamiento a tres dgitos c) Calcule el valor exacto con 6 cifras significativas.

d) Compare ambos resultados con el valor exacto.

4) Considere la funcin f definida por: f(x) = sen(5pipipipi x) a) Halle el polinomio de Taylor de grado 2 para f alrededor de X0=0.5 y selo para aproximar f(0.8) .

b) Calcule una cota superior para el error de truncamiento .

5) Sea F definida por F(x) = ex .cos(x). Obtenga el polinomio P4 (x) de Taylor de grado 4 para F alrededor de x0 = 0.

6) Sea la funcin F definida por F(x)= arctan(x) a) Halle el polinomio de Taylor de grado 3 para F alrededor de X0=0.

b) Aproximar el valor de pi usando el polinomio obtenido en (a) y la

siguiente expresin

+ )

31

arctan()21

arctan(4 .

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Capítulo 1. ERRORES