Cap´ıtulo 1 VECTORES - vc.ehu.es · PDF fileCAP´ITULO 1. VECTORES 4 b a s Figura 1.1: Suma geometrica´ de dos vectores Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores

Capıtulo 1

VECTORES

1.1 Magnitud escalar

Magnitud escalar es aquella cuya determinacion solo requiere el conocimiento de un numeroreal y de una unidad de medida. El numero indica la cantidad de veces que la magnitudmedida contiene a la unidad considerada.Ejemplos tıpicos de magnitudes escalares son: la longitud, la masa, el tiempo, el trabajo, laenergıa, etc.. y cualquier numero real.

1.2 Magnitud vectorial

Es una magnitud para cuya determinacion se requiere ademas del conocimiento de la mag-nitud escalar, su direccion y su sentido.Ejemplos de magnitudes vectoriales son: la velocidad, la aceleracion, la fuerza, la cantidadde movimiento..

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

Consideramos el espacio tridimensional euclideo, es decir el espacio en el que acontecen losfenomenos fısicos, y denominamos “E” al conjunto de los puntos de este espacio.Generamos a continuacion el conjunto producto cartesiano ExE, el cual estara formado porpares de puntos ordenados de este espacio, y constituimos un nuevo conjunto que deno-minaremos (ExE)*, el cual es igual al conjunto anterior, pero en el que se han suprimidolos elementos diagonales, estando por tanto este conjunto formado por pares ordenados depuntos distintos del espacio. Este conjunto podra ser expresado como:

(ExE)* = {(ExE) − (x, x)} ; ∀x ∈ E

Como podemos observar, cada elemento de este conjunto es un segmento orientado, siendo−→AB 6=

−→BA ya que en el producto cartesiano el elemento AB es distinto del elemento BA.

Definimos los vectores ligados como el conjunto ordenado de los elementos del conjunto

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CAPITULO 1. VECTORES 2

(ExE)*, anadiendo ademas el vector nulo ~0, es decir:

{(ExE)*,~0 }

Las caracterısticas que definen a un elemento de este conjunto, es decir a un vector fijo sonlas siguientes:

• Modulo ~|AB|: Es un real positivo asociado a la recta AB y define la longitud delsegmento que une los puntos A y B.

• Direccion: Es la de la recta sobre la cual se encuentra el segmento AB.

• Sentido: Viene dado por la ordenacion de puntos A y B.

• Localizacion o punto de aplicacion: Es el primero de los puntos que constituyen el parordenado.

1.4 Concepto de vector libre

Dentro del conjunto de los vectores libres ya definido, introducimos una relacion que deno-minaremos de equipolencia, “L”, a la cual enunciamos ası:Dos vectores fijos son equipolentes entre sı, cuando ambos tienen igual modulo, direccion ysentido.Dicha relacion es facil de comprobar que se trata de una relacion de equivalencia, pues cum-ple las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.Ası pues, el conjunto de los vectores fijos habra quedado dividido o clasificado en unas cla-ses de equivalencia; en cada una de las cuales se encontraran todos los vectores equipolentesentre sı. El conjunto de estas clases (cada clase puede ser idealizada en un solo elementorepresentante), es el conjunto de los vectores libres.Dicho conjunto podra ser expresado ası:

{(ExE)*/L,~0 }

Un vector libre vendra definido por:

• Modulo.

• Direccion.

• Sentido.

Un ejemplo de magnitud fısica representada por un vector libre es el “par”, el cual puede serlocalizado en cualquier punto del espacio.


1.5 Concepto de vector deslizante

Dentro del conjunto de los vectores fijos introducimos una nueva relacion que denominare-mos ‘D” y que la enunciames como sigue:Dos vectores fijos estan relacionados si son colineales, tienen igual modulo y el mismo sen-tido.Es facil comprobar que esta relacion ‘D” es tambien de equivalencia.El conjunto de las clases en que se divide el conjunto de los vectores fijos al introducir estarelacion, es el conjunto de los vectores deslizantes, el cual podra ser expresado ası:

{(ExE)*/D,~0 }

Un vector deslizante quedara definido por:

• Modulo.

• Recta de aplicacion.

• Sentido.

Ejemplo de vectores deslizantes son las fuerzas que actuan sobre solidos indeformables

1.6 Producto de un vector por un escalar

Es una operacion definida tanto para vectores libres, como ligados, como deslizantes.Consiste en asociar a un vector ~a y a un escalar λ, un nuevo vector (del tipo del de ~a, es decir,libre, ligado o deslizante) que representaremos por λ · ~a y que se obtiene de modo que:

1. |λ · ~a| = |λ| · |~a| Donde:|λ|: Valor absoluto de λ|~a|: Modulo del vector ~a

2. La direccion y sentido de λ ·~a es igual a la direccion y sentido de ~a en el caso de queλ > 0, y de sentido contrario cuando λ < 0.

1.7 Suma de vectores

Es una operacion definida para:

• Vectores libres

• Vectores deslizantes, caso de que sus rectas de accion se corten en un punto

• Vectores fijos, caso de que sus puntos de aplicacion coincidan


b

as

Figura 1.1: Suma geometrica de dos vectores

Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores dados asocia un tercer vector,que viene dado por la composiccion geometrica denominada ley del paralelogramo:

~s = ~a +~b

Cuando se trata de la suma de mas de dos vectores se procedera sumando los dos primeros,y a continuacion sumando su resultado con el tercero y ası sucesivamente, o bien, efectandola composicion geometrica siguiente, denominada polıgono de vectores:

s

cb

a

Figura 1.2: Suma de mas de dos vectores

~s = ~a +~b + ~c

Con respecto a esta operacion suma el conjunto de los vectores tiene estructura de grupoabeliano o conmutativo, ya que se cumplen las siguientes propiedades:

1. Es una ley de composicion interna

2. Conmutativa

3. Asociativa

4. Existencia del elemento neutro, ~0

5. Existencia del elemento simetrico


NOTAS:

1. La eliminacion de los elementos diagonales que hemos efectuado en elconjunto ExE para formar (ExE)*, volviendo a reintroducir posteriormenteel vector ~0; lo cual a primera vista podrıa parecer un contrasentido, tienepor objeto preservar la unicidad del elemento neutro en la operacion suma.

2. El elemento simetrico del vector ~a , sera el ~a′ tal que:

~a + ~a′ = ~0

Este es un vector que denominaremos opuesto al ~a y que se caracteriza por:

• Tener el mismo modulo que ~a

• Tener la misma direccion que ~a

• Tener sentido contrario a ~a

A este vector lo designamos como −~a

1.8 Diferencia de vectores

Definimos la diferencia entre vectore~a y~b como la operacion que consiste en sumar al vector~a el vector opuesto al ~b ; es decir el ~b′ = −~b

~a−~b = ~a + (−~b)

Evidentemente, esta operacion no cumple la propiedad conmutativa.

1.9 Concepto de espacio vectorial

Se dice que un determinado conjunto tiene estructura de espacio vectorial, cuando habiendosedefinido en el mismo dos operaciones o leyes de composicion, una interna: la suma, y otraexterna: el producto por los elementos de un cuerpo (K) de escalares, estas cumplen las si-guientes propiedades:

Primera operacion

1. Conmutativa: ~a +~b = ~b + ~a

2. Asociativa: ~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~c

3. Existencia del elemento neutro: ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a

4. Existencia del elemento simetrico: ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~0 ∀~a ∈ V


Segunda operacion

1. Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ + µ) ~a = λ ~a + µ ~a

2. Distributiva respecto a la suma de vectores: λ(~a +~b) = λ ~a + λ~b

3. Asociativa respecto al producto de escalares: λ (µ ~a) = λ µ ~a

4. Existencia del elemento neutro: 1 · ~a = ~a

El conjunto de los vectores libres por nosotros definido, con las operaciones suma y productopor un escalar, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL.Dentro de los espacios vectoriales, recordemos las siguientes definiciones:

Combinacion lineal:

Se dice que un vector ~V es combinacion lineal de los vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, cuando existenlos escalares λ1, λ2, . . . , λn , cualesquira tales que:

~V = λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an

Sistema de generadores:Un conjunto de vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, se dice que es un sistema generador de un espa-cio vectorial, cuando cualquir vector del mismo puede ser formado a partir de ese sistema~a1, ~a2, . . . , ~an mediante combinacion lineal.

Independencia lineal:Se dice que los vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, son linealmente independientes, cuando no se puedenencontrar “n” escalares, no todos ellos nulos, tales que:

λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an = ~0

Expresado de otra forma: La unica combinacion lineal de los vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, quegenera el vector nulo ~0 , es aquella en la que todos los escalares λ son nulos.

Base de un espacio vectorial:Denominamos base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores que:

• Son un sistema generador.

• Son linealmente independientes.

Componentes de un vector:Componentes de un vector respecto de una base dada son los escalares λ1, λ2, . . . , λn, talesque:

~V = λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an

Donde ~a1, ~a2, . . . , ~an, es una base del espacio vectorial.


La expresion de un vector en una base dada es unica, es decir, un vector en una base solopuede tener unas componentes. En efecto, sea ~a1, ~a2, . . . , ~an una base de un cierto espaciovectorial, y supongamos que un vector ~V del mismo admite dos representaciones distintasen dicha base:

~V = λ1 ~a1 + λ2 ~a2 + · · ·+ λn ~an = λ′1 ~a1 + λ′2 ~a2 + · · ·+ λ′n ~an

Operando, ordenando y teniendo en cuenta la distributividad:

(λ1 − λ′1) ~a1 + (λ2 − λ′2) ~a2 + · · ·+ (λn − λ′n) ~an = ~0

Dado que ~a1, ~a2, . . . , ~an, es una base, y por tanto los vectores de la misma son linealmenteindependientes, la unica posibilidad es que los escalares sean nulos:

λ1 − λ′1 = 0 ⇒ λ1 = λ′1λ2 − λ′2 = 0 ⇒ λ2 = λ′2

......

λn − λ′n = 0 ⇒ λn = λ′n

Lo cual ratifica que las componentes de un vector en una cierta base son unicas

1.10 Proyeccion de un vector sobre un eje

Una recta es un espacio de una sola dimension, al cual podemos orientar mediante una baseconstituida por un unico vector, que se toma de referencia, y con lo cual la recta queda con-vertida en lo que denominamos un eje.Proyeccion de un vector sobre un eje es una “magnitud escalar” igual a la longitud del seg-mento que se encuentra entre las proyecciones del origen y del extremo del vector sobre eleje, provista del signo (+) o (−) segun que el sentido del vector y del eje sean o no coinci-dentes.

x

A

B P

E

a b p e

B1 P1

α ϕ

α1F Q

Figura 1.3: Proyeccion de vector sobre eje


Fx = AB1 = ab = |~F | · cos α

Qx = −P1E = −pe = −| ~Q| · cos ϕ = | ~Q| · cos α1

Podemos redifinir entonces la proyeccion de un vector sobre un eje, como el producto delmodulo del vector por el coseno del angulo formado por el sentido preferente del eje y elvector.

Proyx~F = Fx = |~F | · cos α

1.11 Proyeccion de un vector sobre un plano

La proyeccion de un vector sobre un plano resulta ser “otro vector”, contenido en el plano,tal que su origen es la proyeccion del origen, y cuyo extremo es la proyeccion del extremo.Notamos que a diferencia de la proyeccion sobre un eje, el resultado es una magnitud vecto-rial.La proyeccion puede realizarse segun cualquier direccion. Si esta direccion es ortogonal alplano sobre el que se proyecta, se cumple que:

|Proyπ~a| = |~a| · cos θ

π

θ

Proyπ a

a

Figura 1.4: Proyeccion de vector sobre plano

1.12 Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores es un “escalar” que se obtiene efectuando el producto delos modulos de los vectores por el coseno del angulo que forman.

~U · ~V = |~U | · |~V | · cos α


Dado que |~V | · cos α = Proy~U~V ; y que |~U | · cos α = Proy~V

~U ; el producto escalar de dosvectores tambien puede definirse como:El producto del modulo de uno de ellos por la proyeccion del otro sobre el.

~U · ~V = |~U | · Proy~U~V = |~V | · Proy~V

~U

VU

Proy

UV

Proy

U

V

α

Figura 1.5: Producto escalar de dos vectores

Propiedades del producto escalar:

• El producto escalar de dos vectores es conmutativo.

~U · ~V = ~V · ~U

En efecto:~U · ~V = |~U | · |~V | · cos α

~V · ~U = |~V | · |~U | · cos(2π − α) = |~V | · |~U | · cos α

Por tanto: ~U · ~V = ~V · ~U

• El producto escalar cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores.

~U · (~V + ~W ) = ~U · ~V + ~U · ~W

En efecto:~U · (~V + ~W ) = |~U | · Proy~U(~V + ~W )


Dada la linealidad en la operacion de proyeccion se cumple que:

Proy~U(~V + ~W ) = Proy~U~V + Proy~U

~W

Por tanto:

~U · (~V + ~W ) = |~U | · Proy~U(~V + ~W ) = |~U | · (Proy~U~V + Proy~U

~W ) =

= |~U | · Proy~U~V + |~U | · Proy~U

~W = ~U · ~V + ~U · ~W

• El producto escalar no cumple la ley asociativa.

(~U · ~V )︸︷︷︸

escalar

· ~W 6= ~U · (~V · ~W )︸︷︷︸

escalar

Simplemente observamos que el primer termino es un vector con la direccion de ~W,en tanto que el segundo termino es un vector en la direccion de ~U

• Norma de un vector.

Definimos como norma de un vector ~U , al producto escalar de dicho vector por sı mis-mo.

nor ~U = ~U · ~U = |~U | · |~U | · cos 0 = |~U |2

Entonces podemos decir: |~U | =√

|~U |2 =√

nor ~U

El producto escalar de dos vectores podra ser expresado ahora como:

~U · ~V =√

nor ~U ·√

nor ~V · cos α

• El producto escalar de dos vectores sera nulo cuando:

– Alguno de los vectores es nulo.

– Si ambos vectores son ortogonales.

1.13 Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo modulo es igual alproducto de losmodulos de ambos por el seno del angulo que forman; cuya direccion es ortogonal al plano


determinado por ambos, y cuyo sentido es tal que el triedro determinado por el primer vector,el segundo vector y el resultado sea directo.Esta determinacion del sentido del vector producto coincide con la denominada clasicamentecomo ley del sacacorchos, la cual indica que el sentido del vector resultado coincide con eldel avance de un sacacorchos que gira desde el primer vector hacia el segundo por el caminomas corto.

|~U ∧ ~V | = |~U | · |~V | · sen α

U

V

VU ∧

α

Figura 1.6: Producto vectorial de dos vectores

El modulo del producto vectorial ~U ∧ ~V coincide con el area del paralelogramo formadosobre los vectores ~U y ~V

|~U ∧ ~V | = |~U | · |~V | · senα︸︷︷︸

h

= Area “A”

U

V

α

Area Ah

Figura 1.7: Significado geometrico del modulo del producto vectorial

Propiedades del producto vectorial:

• El producto vectorial no es conmutativo.

~U ∧ ~V 6= ~V ∧ ~U


En efecto; ambos productos dan como resultado vectores de igual modulo pero desentidos opuestos. Propiamente podrıamos afirmar que el producto vectorial es anti-conmutativo, es decir :

~U ∧ ~V = −~V ∧ ~U

• El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores:

~U ∧ (~V + ~W ) = ~U ∧ ~V + ~U ∧ ~W

Esta propiedad la comprobaremos cuando veamos la expresion analıtica del productovectorial.

• El producto vectorial no es asociativo.

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W 6= ~U ∧ (~V ∧ ~W )

El primer producto, por ser perpendicular a ~U ∧ ~V estara contenido en el plano de-terminado por ~U y ~VEl segundo producto, por ser perpendicular a ~V ∧ ~W estara contenido en el planodeterminado por ~V y ~WLa coincidencia de ambos planos se materializara en ~V y solo se darıa cundo ~U y~W sean perpendiculares a ~VLa demostracion la veremos al tratar el doble producto vectorial

• El producto vectorial de un vector por sı mismo, siempre da el vector nulo

|~U ∧ ~U | = |~U | · |~U | · sen 0 = 0

~U ∧ ~U = ~0

• El producto vectorial de dos vectores es nulo cuando:

– Uno cualquiera de los dos vectores es nulo

– Ambos vectores son paralelos

• En las operaciones con producto vectorial ( al igual que en las operaciones con pro-ducto escalar ) no se admite la simplificacion:

Si ~a ∧~b = ~a ∧ ~c No implica que ~b = ~c


En efecto:

~a ∧~b = ~a ∧ ~c =⇒

~a ∧~b− ~a ∧ ~c = ~0 ; Por la propiedad distributiva:

~a ∧ (~b− ~c) = ~0 ; Pero esto no implica que:~b − ~c = ~0 ; o sea que ~b = ~c dado que ~a y (~b − ~c) pueden ser vectoresparalelos

1.14 Producto mixto

Se denomina producto mixto de tres vectores ~U, ~V y ~W y se representa como (~U · ~V · ~W ) ala operacion consistente en efectuar en primer lugar el producto vectorial de los dos primeros( un vector ) y multiplicar escalarmente este resultado por el tercer vector. El resultado finalde esta operacion sera por tanto un escalar.

(~U · ~V · ~W ) = (~U ∧ ~V ) · ~W

Este producto mixto es igual al volumen del paralelepıpedo formado sobre esos tres vec-tores tomados como aristas contiguas.

U

V

QVU =∧

α

ϕh

S

W

Figura 1.8: Producto mixto de tres vectores

(~U · ~V · ~W ) = (~U ∧ ~V ) · ~W = ~Q · ~W = ||~U | · |~V | · sen α|︸︷︷︸

S

· | ~W | · cos ϕ︸︷︷︸

h

= Volumen.

Propiedades del producto mixto:

• El producto mixto lleva un signo dependiendo este del valor de ϕ , o lo que es igual:sera positivo siempre que ~W este en el mismo semiespacio que el vector ~U ∧ ~V , con


respecto al plano que determinan los vectores ~U y ~V .Esto tambien podrıa expresarse diciendo que si la terna de vectores ~U, ~V y ~W seorienta a derechas el producto mixto es positivo. Caso contrario, el producto mixtosera negativo.

• Segun la propiedad anterior, el producto mixto es circularmente conmutativo, esto es:

(~U · ~V · ~W ) = (~V · ~W · ~U) = ( ~W · ~U · ~V ) 6= (~V · ~U · ~W ) = ( ~W · ~V · ~U) = (~U · ~W · ~V )

• El producto mixto se anula cuando:

– Alguno de los vectores es nulo.

– Dos de los vectores son colineales.

– Tres de los vectores se encuentran sobre un mismo plano.

Todo esto es verificable teniendo en cuenta el caracter volumetrico que tiene el pro-ducto mixto.

1.15 Doble producto vectorial

Esta operacion, para la que no se emplea ninguna notacion epecial consiste en multiplicarvectorialmente dos vectores, y este resultado multiplicarlo vectorialmente por un tercero, esdecir:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W

La colocacion del parentesis es imprescindible, ya que su situacion diferente puede afec-tar el resultado.El doble producto vectorial da como resultado un vector que se encuentra en el plano de losvectores ~U y ~V , es decir de los que se encuentran entre parentesis.

En efecto:

Sea π el plano determinado por los vectores ~U y ~V , estando el producto vectorial~U ∧ ~V situado sobre una recta normal a este plano; el vector ~W lo decompone-mos en otros dos, uno de ellos ~W1 segun su proyeccion ortogonal sobre el planoπ y otro ~W2 sobre dicha recta normal; entonces el doble producto vectorial delos vectores ~U, ~V , ~W, lo podremos expresar:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W = (~U ∧ ~V ) ∧ ( ~W1 + ~W2)


UV

VU ∧W

1W

2W

WVU ∧∧ )(

π

Figura 1.9: Doble producto vectorial

Y teniendo en cuenta la propiedad distributiva del producto vectorial respecto ala suma de vectores:

(~U ∧ ~V ) ∧ ( ~W1 + ~W2) = (~U ∧ ~V ) ∧ ~W1 + (~U ∧ ~V ) ∧ ~W2.

El segundo sumando (~U∧ ~V )∧ ~W2 es nulo, al ser colineales los vectores (~U∧ ~V )

y ~W2 ; con lo que nos queda:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W = (~U ∧ ~V ) ∧ ~W1

El resultado de esta operacion debe ser un vector ortogonal a cada uno de losvectores que en ella intervienen (~U ∧ ~V ) y ~W1 , por consiguiente estara situadoen el plano π , es decir, el determinado por ~U y ~V , por lo que podra ser expre-sado como una combinacion lineal de dichos vectores.

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W1 = λ~U + µ~V

Donde λ y µ son escalares no nulos. Mediante calculo que aquı no detallamosdeterminamos que:

λ = −~V · ~Wµ = ~U · ~W

Por tanto el doble producto vectorial quedara expresado en la siguiente forma en la que solointervienen productos escalares:

(~U ∧ ~V ) ∧ ~W = (~U · ~W ) · ~V − (~V · ~W ) · ~U


1.16 Producto escalar de dos productos vectoriales (Rela-cion de Lagrange)

Sea el producto : (~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s); queremos transformar esta operacion de forma que soloaparezcan productos escalares. Dicha transformacion es la denominada relacion de Lagran-ge.Primeramente nombramos como ~w al producto (~r ∧~s) y lo sustituimos en la expresion plan-teada:

(~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s) = (~u ∧ ~v) · ~w

Lo cual es un producto mixto.Teniendo en cuenta la conmutatividad circular del producto mixto :

(~u ∧ ~v) · ~w = (~u · ~v · ~w) = (~w · ~u · ~v)

Aplicando dicha conmutatividad circular y deshaciendo el cambio nos queda :

(~w · ~u · ~v) = (~w ∧ ~u) · ~v =(

(~r ∧ ~s) ∧ ~u)

· ~v

Observamos un doble producto vectorial que desarrollamos segun lo visto en el apartadoanterior:

(

(~r ∧ ~s) ∧ ~u)

· ~v =(

(~r · ~u) · ~s− (~s · ~u) · ~r)

· ~v

Como el producto escalar es distributivo con respecto a la suma (o diferencia) de vecto-res:

(~u ∧ ~v) · (~r ∧ ~s) = (~r · ~u) · (~s · ~v)− (~s · ~u) · (~r · ~v)

Expresion esta que se conoce como relacion de Lagrange.

1.17 Norma de un producto vectorial

La norma de un producto vectorial sera evidentemente el producto escalar del producto vec-torial por si mismo, es decir :

nor (~u ∧ ~v) = (~u ∧ ~v) · (~u ∧ ~v)

Para su determinacion batara con tomar la relacion de Lagrange del apartado anterior y enella hacer ~r = ~u y ~s = ~v :

(~u ∧ ~v) · (~u ∧ ~v) = (~u · ~u) · (~v · ~v)− (~u · ~v) · (~v · ~u)


Es decir :

nor (~u ∧ ~v) = nor ~u · nor ~v − (~v · ~u)2

Lo que podemos enunciar de la siguiente forma: La norma de un producto vectorial es igualal producto de las normas de los dos vectores, menos el cuadrado de su producto escalar.

1.18 Base ortonormal

De todas las bases que puede tener un espacio vectorial, ( recordemos que una base es unsistema generador compuesto por vectores linealmente independientes ) vamos a considerarla que denominamos ortonormal, lo que es tanto como exigirle estas dos nuevas condiciones:

1. La norma de todos sus elementos debe ser la unidad

2. El producto escalar de dos cualesquiera de sus elementos entre sı, debe se nulo

Para el espacio euclideo de tres dimensiones en el que tienen su escenario los fenomenosfısicos, esta base ortonormal es la terna de los vectores unitarios o versores ( versor es unvector cuyo modulo es la unidad ) dirigidos en las tres direcciones del epacio euclideo, segunse indica en la figura y denominados versores fundamentales~i , ~j y ~k, en la notacion de Ha-milton. Estos tres vectores son una base ortonormal ya que:

i

j

k

Figura 1.10: Base ortonormal

• Son un sistema generador ( cualquier vector puede ser expresado como combinacionlineal de ellos )

• Son linealmente independientes ( Ya que no son coplanarios )

• Son ortonormales, pues:


nor~i = nor ~j = nor ~k = |1|2 = 1

~i ·~j = ~j ·~i =~i · ~k = ~k ·~i = ~j · ~k = ~k ·~j = 0 ( Ya que los vectores~i , ~j y~k son perpendiculares entre sı )

Se podrıa considerar la existencia de otra base ortonormal, la que denominamos a izquierdaso inversa, cuya disposicion serıa la indicada en la figura 1.11. De todas formas la base orto-

i

j

k−

Figura 1.11: Base ortonormal inversa

normal a la que nos referiremos de ahora en adelante sera la primera, denominada a derechaso directa. El producto mixto de los tres vectores de la base ortonormal directa da la unidad:

(~i ·~j · ~k) = 1

1.19 Ternas reciprocas de referencia

Dos ternas de vectores {~a,~b,~c} y {~a′, ~b′, ~c′} , se dice que son recıprocas cuando:

• ~a · ~a′ = ~b · ~b′ = ~c · ~c′ = 1

• ~a · ~b′ = ~a · ~c′ = ~b · ~a′ = ~b · ~c′ = ~c · ~b′ = ~c · ~a′ = 0

Dada la terna {~a,~b,~c}, para obtener los vectores que componen su terna recıproca, bastaraaplicar:

~a′ =~b ∧ ~c

(~a ·~b · ~c); ~b′ =

~c ∧ ~a

(~a ·~b · ~c); ~c′ =

~a ∧~b

(~a ·~b · ~c)

En efecto, al efectuar ~a · ~a′ , nos queda el cociente de dos productos mixtos identicos, lo queda la unidad; y al efectuar ~a · ~b′ en el numerador nos queda un producto mixto con un vectorrepetido, lo que da como resultado cero.

Las dos ternas de vectores recıprocos de referencia, desde el punto de vista geometrico estanconstituidas por dos triedros suplementarios, es decir, dos triedros que cada uno de los cualestiene las aristas perpendiculares a las caras del otro.


Se pueden aprovechar las propiedades de las ternas recıprocas para operar en forma sim-plificada:Sean los vectores ~u y ~v expresados cada uno en una base recıproca a la otra:

~u = u1 · ~a + u2 ·~b + u3 · ~c

~v = v1 · ~a′ + v2 · ~b′ + v3 · ~c′

El producto escalar ~u · ~v sera:

~u · ~v = (u1 · ~a + u2 ·~b + u3 · ~c) · (v1 · ~a′ + v2 · ~b′ + v3 · ~c′)

~u · ~v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 ; ya que:

~a · ~a′ = ~b · ~b′ = ~c · ~c′ = 1, y

~a · ~b′ = ~a · ~c′ = ~b · ~a′ = ~b · ~c′ = ~c · ~b′ = ~c · ~a′ = 0

Importante

La dificultad de esta operacion estriba en que cada vector debe ser expresado en una ba-se distinta; por esta razon el hecho de que la base ortonormal {~i,~j,~k} sea recıproca de sımisma, la hace especialmente util y en este hecho reside su importancia.

1.20 Expresion de un vector en la notacion de Hamilton

Un vector cualquiera ~v puede ser expresado como combinacion lineal de los vectores de unabase; si la base elegida es la base ortonormal {~i,~j,~k} este vector podra ser expresado como:

~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

Donde los escalares v1, v2 y v3 son las componentes del vector ~v en esa base ortonormal.

Caracterısticas de este vector:

• Modulo |~v| =√

v21 + v2

2 + v23

• Cosenos directores del vector ( Determinan la direccion de su recta de aplicacion ):

cos α =v1

|~v|; cos β =

v2

|~v|; cos γ =

v3

|~v|

Si el modulo del vector es la unidad |~v| = 1


cos α = v1 , cos β = v2 y cos γ = v3.

Y entonces la expresion de este vector serıa : ~v = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k

Los vectores de modulo unidad se denominan vectores unitarios o versores. Esto nos in-dica que en la base de Hamilton las componentes de un versor son los cosenos directores dela lınea sobre la que se sustenta dicho versor.

i j

k

α

β

γ

iV1

jV2

kV3

V

Figura 1.12: Vector en la base de Hamilton

1.21 Expresion analıtica en la notacion de Hamilton de lasoperaciones entre vectores

Suma de vectores

Sea el vector ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k y el vector ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

El vector ~w suma de ambos, sera:

~w = ~u + ~v = w1 ·~i + w2 · ~j + w3 · ~k = u1 ·~i + u2 · ~j + u3 · ~k + v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k =(u1 + v1) ·~i + (u2 + v2) ·~j + (u3 + v3) · ~k, en donde:

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

w3 = u3 + v3

Las componentes del vector suma son iguales a la suma de las componentes de los vec-tores sumandos.


Producto de un vector por un escalar

Sea el vector ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k y el escalar λ

El vector ~v = λ · ~u sera:

~v = λ ·~u = v1 ·~i+v2 ·~j +v3 ·~k = λ · (u1 ·~i+u2 ·~j +u3 ·~k) = λ · u1 ·~i+λ · u2 ·~j +λ · u3 ·~k

En donde:

v1 = λ · u1

v2 = λ · u2

v3 = λ · u3

Las componentes del vector producto de un vector por un escalar son iguales al productodel escalar por las componentes del vector.

Producto escalar de vectores

Sean los vectores ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k y ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

La expresion analıtica de su producto escalar, teniendo en cuenta la distributividad respectoa la suma:

~u · ~v = (u1 ·~i + u2 · ~j + u3 · ~k) · (v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k) = u1 · v1 ·~i ·~i + u1 · v2 ·~i ·~j+u1 ·v3 ·~i ·~k+u2 ·v1 ·~j ·~i+u2 ·v2 ·~j ·~j +u2 ·v3 ·~j ·~k+u3 ·v1 ·~k ·~i+u3 ·v2 ·~k ·~j+u3 ·v3 ·~k ·~k

Lo cual puede ser expresado en la siguiente forma matricial:

~u · ~v = (u1, u2, u3)

~i ·~i ~i ·~j ~i · ~k~j ·~i ~j ·~j ~j · ~k~k ·~i ~k ·~j ~k · ~k

v1

v2

v3

Teniendo en cuenta las caracterısticas ortonormales de la base {~i,~j,~k} la matriz del centroqueda convertida en:

1 0 00 1 00 0 1

Con lo que el producto escalar nos queda:

~u · ~v = (u1, u2, u3)

1 0 00 1 00 0 1

v1

v2

v3

= u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3


Recordemos que esta expresion es similar a la obtenida cuando los vectores eran expresadosen bases recıprocas, con la ventaja en este caso de que aquı la base es unica para los dosvectores.

Producto vectorial

Sean los vectores ~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k y ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

La expresion analıtica del producto vectorial, teniendo en cuenta la propiedad distributivasera:

~u∧~v = (u1 ·~i+u2 ·~j+u3 ·~k)∧(v1 ·~i+v2 ·~j+v3 ·~k) = u1 ·v1 ·(~i∧~i)+u1 ·v2 ·(~i∧~j)+u1 ·v3 ·(~i∧~k)+u2 ·v1 ·(~j∧~i)+u2·v2 ·(~j∧~j)+u2 ·v3 ·(~j∧~k)+u3 ·v1 ·(~k∧~i)+u3 ·v2 ·(~k∧~j)+u3·v3 ·(~k∧~k)

Expresion que en forma matricial adopta la forma:

~u ∧ ~v = (u1, u2, u3)

~i ∧~i ~i ∧~j ~i ∧ ~k~j ∧~i ~j ∧~j ~j ∧ ~k~k ∧~i ~k ∧~j ~k ∧ ~k

v1

v2

v3

Dadas las propiedades de la base ortonormal, la matriz del centro sera:

~0 ~k −~j

−~k ~0 ~i~j −~i ~0

Y el desarrollo del producto vectorial da lugar a la siguiente expresion en forma de determi-nante:

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

Habiendo definido el producto vectorial para vectores geometricos con la expresion obtenida,ahora estamos en condiciones de comprobar la propiedad distributiva del producto vectorialcon respecto a la suma de vectores.

~u ∧ (~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w

En efecto:∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3

(v1 + w1) (v2 + w2) (v3 + w3)

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ku1 u2 u3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

La distributividad queda comprobada por la propiedad de los determinantes que nos diceque para sumar dos determinantes del mismo orden basta sumar dos filas o dos columnascorrespondientes.


Producto Mixto

Sean los vectores ~u, ~v y ~w cuyas expresiones en la base de Hamilton son:

~u = u1 ·~i + u2 ·~j + u3 · ~k

~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k

~w = w1 ·~i + w2 ·~j + w3 · ~k

Efectuando la operacion (~u · ~v · ~w) = (~u∧ ~v) · ~w obtendremos un desarrollo de 27 terminos,cuyo resultado en forma abreviada resulta ser:

(~u · ~v · ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

· (~i ·~j · ~k)

Teniendo en cuenta que el producto mixto (~i ·~j ·~k) de los tres vectores de la base de Hamiltonda la unidad, nos queda:

(~u · ~v · ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣

Determinante cuyos elementos son todos escalares, y por tanto su valor sera un escalar comocorresponde a un producto mixto. Esta expresion del producto mixto en forma de determi-nante permitira comprobar las propiedades de la conmutatividad circular ya vistas, en baseahora a las propiedades de los determinantes.

Proyeccion de un vector sobre un eje

Un eje es una recta orientada, que puede quedar definida mediante un vector unitario ~u quetenga por lınea de accion la propia recta.Sea este vector unitario el ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k; donde las componentes son loscosenos directores de la recta.Sea el vector ~v a proyectar ~v = v1 ·~i + v2 ·~j + v3 · ~k.Recordemos que:

Proy~u~v = ~v · ~u

Ya que:~v · ~u = |~v| · |~u| · cos α = |~v| · 1 · cos α = |~v| · cos α

Por tanto:Proy~u~v = v1 · cos α + v2 · cos β + v3 · cos γ


Proyeccion de un vector sobre un plano

Sea el plano π definido por el vector unitario ~u perpendicular a dicho plano.El modulo de la proyeccion de ~a sobre el plano π vale |~a| · sen α , lo cual nos encamina apensar en el producto vectorial ~u∧~a , ya que |~u∧~a| = 1 · |~a| · sen α, pero ~u∧~a nos aparecedesviado como tal vector π/2 respecto a la verdadera proyeccion. Bastara entonces multi-plicar ~u ∧ ~a vectorialmente por ~u , para corregir esos π/2 radianes y mantener su caractervectorial.En definitiva:

Proyπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u

Y desarrollando la expresion del doble producto vectorial:

Proyπ~a = (~u ∧ ~a) ∧ ~u = (~u · ~u) · ~a− (~a · ~u) · ~u = ~a− (|~a| cosα ) · ~u

u au ∧

aoyuau πPr)( =∧∧

aα

π

Figura 1.13: Proyeccion de un vector sobre un plano

1.22 Derivada de un vector respecto a un escalar

Sea un vector, o mas propiamente una funcion vectorial ~v , la cual depende de un parametroescalar u en la forma ~v = ~v (u)Definimos derivada del vector ~v con respecto al escalar u al lımite ( si este existe ) del


cociente entre ~v (u +4u)− ~v (u) y 4u cuando 4u tiende a cero.

d~v

du= lim

4u→0

~v (u +4u)− ~v (u)

4u

Interpretacion geometrica

Sea ~v1 el valor que adopta el vector ~v (u) para el valor escalar u

~v1 = ~v (u)

Por otra parte sea ~v2 el valor que adopta el vector ~v (u) para el escalar u +4u

~v2 = ~v (u +4u)

)(vv1 u=

)(vv 2 uu ∆+=

12 vv −

Figura 1.14: Interpretacion geometrica de la derivada de un vector

La derivada d~vdu

sera el valor que toma ~v2 − ~v14u

en el lımite, es decir, sera un vector que tiene

la direccion de ~v2 − ~v1

Es interesante notar que aun suponiendo que el modulo del vector ~v (u) permanece cons-

tante al incrementarse el escalar u , existira d~vdu siempre que haya un cambio en la direccion

de ~v (u)

Expresion analıtica de la derivada de un vector

Sea el vector ~v = x · ~i + y · ~j + z · ~k , el cual si es funcion de un parametro escalar u,lo es porque sus componentes son funciones de dicho parametro escalar; en general:

x = x (u) ; y = y (u) ; z = z (u)

Luego el vector ~v se expresara propiamente como:

~v (u) = x (u) ·~i + y (u) ·~j + z (u) · ~k


La derivada de este vector respecto del escalar u sera:

d~v

du= lim

4u→0

~v (u +4u)− ~v (u)

4u=

= lim4u→0

x (u +4u) ·~i + y (u +4u) ·~j + z (u +4u) · ~k − [x (u) ·~i + y (u) ·~j + z (u) · ~k]

4u=

= lim4u→0

[

x (u +4u)− x (u)

4u

]

·~i+ lim4u→0

[

y (u +4u)− y (u)

4u

]

·~j+ lim4u→0

[

z (u +4u)− z (u)

4u

]

·~k =

=dx

du·~i +

dy

du·~j +

dz

du· ~k

Resultado que podriamos enunciar de la siguiente forma: La derivada de un vector respectoa un escalar es otro vector cuyas componentes son las derivadas de las componentes. Todoello en el supuesto de que esta operacion se realiza en una referencia fija, es decir, que losvectores de la base no sufren ninguna variacion al variar el escalar .

Consideraciones cinematicas en torno al vector velocidad y al vector aceleracion

Consideramos los siguientes casos:

1. El vector ~v es constante en modulo y direccion.

Definimos la aceleracion como: ~a = d~vdt

; El parametro escalar es el tiempo. En es-te caso evidentemente d~v

dt= ~0 y la aceleracion es por tanto nula. Nos encontramos

entonces ante un movimiento rectilineo y uniforme

2. El vector ~v es variable en modulo, pero constante en direccion.

~a = d~vdt

=d(v · ~τ)

dt

En donde ~τ es el vector unitario en la direccion de la trayectoria, direccion que re-cordamos es ahora constante.

~a = d~vdt =

d(v · ~τ)dt = dv

dt · ~τ + v · d~τdt

d~τdt

es nula por ser el vector ~τ constante, luego:

~a = dvdt

· ~τ = ~aτ


A esta aceleracion ~aτ se la denomina tangencial y esta dirigida en la direccion dela trayectoria.Nos encontramos ante un movimiento rectilineo variado , acelerado o deceleradosegun el signo del escalar dv

dt

3. El vector ~v es constante en modulo, pero variable en direccion.

~a = d~vdt =

d(v · ~τ)dt = dv

dt · ~τ + v · d~τdt

En este caso es el primer sumando nulo, ya que el escalar v no varıa.

~a = v · d~τdt = ~aη

Posteriormente veremos en cinematica que d~τdt

= vρ· ~η , en donde ρ es el radio de

curvatura de la trayectoria, y ~η es el vector unitario en la direccion normal principal ala trayectoria. Nos queda entonces:

~a = ~aη = v · d~τdt = v2

ρ · ~η

Se trata en este caso de un movimiento curvilineo con aceleracion tangencial nula.

4. El vector ~v es variable en modulo y direccion.

~a = d~vdt

=d(v · ~τ)

dt= dv

dt· ~τ + v · d~τ

dt= dv

dt· ~τ + v2

ρ · ~η

En este caso ninguno de los dos sumandos es nulo, ya que existe tanto variacion en elmodulo como en la direccion. Se trata de un movimiento curvilineo con aceleracionnormal y tangencial.

~a = ~aη + ~aτ = v2

ρ · ~η + dvdt · ~τ

1.23 Estudio de los sistemas de vectores deslizantes

La importancia del estudio de los sistemas de vectores deslizantes radica en su aplicacion ala estatica de los solidos indeformables, en donde las fuerzas tienen el comportamiento delos vectores deslizantes.

En efecto, si un solido indeformable se encuentra en equilibrio bajo la accion de deter-minadas fuerzas, y si desplazamos estas sobre sus lıneas de accion, conservando moduloy sentido, observamos que el estado de equilibrio no se altera, si bien en algun caso puede


variar de ser estable a ser inestable o indiferente.

1.23.1 Momento central de un vector deslizante

Sea el vector ~a que actua en la lınea de accion AA′ aplicado en A . Definimos momento delvector ~a con respecto al punto O , como el producto vectorial

−→OA ∧ ~a

~MO =−→OA ∧ ~a

Designando−→OA como ~r ; vector de posicion del punto A con origen en O

~MO =−→OA ∧ ~a = ~r ∧ ~a

Veamos ahora algunas propiedades del momento central:

1. El valor del momento no depende del punto de aplicacion elegido para el vector desli-zante, siempre que sea un punto de su lınea de accion.

En efecto, tomemos como punto de aplicacion del vector ~a otro punto A′ dentro dela misma lınea de accion.

a

aA´

A

0

´r

r

Figura 1.15: Momento central de un vector deslizante

Con punto de aplicacion en A:~MO = ~r ∧ ~a

Con punto de aplicacion en A′:

~M ′O = ~r′ ∧ ~a = (~r +

−−→AA′) ∧ ~a = ~r ∧ ~a +

−−→AA′ ∧ ~a︸︷︷︸

= ~r ∧ ~a = ~MO

El producto−−→AA′ ∧ ~a = ~0 por ser el producto vectorial de dos vectores colineales.

Por tanto al ser ~MO = ~M ′O queda comprobado lo enunciado


2. Si el momento del vector ~a con respecto al punto O es nulo, es que la lınea de acciondel vector pasa por el punto O.

En efecto, si ~r ∧ ~a = ~0 , no siendo nulo el vector ~a, es que o bien ~r = ~0, o bien ~ry ~a son vectores colineales. En ambos casos se verifica lo enunciado.

3. Condicion para que el vector ~a tenga momentos iguales respecto a dos puntos distintosO y O′ del espacio.

~MO = ~r ∧ ~a =−→OA ∧ ~a

~MO′ = ~r′ ∧ ~a =−−→O′A ∧ ~a

Siendo−−→O′A =

−−→O′O +

−→OA , y sustituyendo en la expresion anterior:

a

r ´r

0´0

A

Figura 1.16: Momento respecto a dos puntos del espacio

~MO′ = (−−→O′O +

−→OA) ∧ ~a =

−−→O′O ∧ ~a +

−→OA ∧ ~a =

−−→O′O ∧ ~a + ~MO

Expresion que podemos enunciar como: El momento de un vector ~a con respecto a unpunto cualquiera del espacio O′ es igual al momento de dicho vector ~a con respecto aotro punto del espacio O , mas el momento con respecto a O ′ de un vector equipolenteal ~a situado en O

Si lo que pretendemos es que ~MO = ~MO′ , lo que tendra que ocurrir es que−−→O′O∧~a =

~0, es decir que−−→O′O y ~a sean paralelos.

La condicion necesaria y suficiente para que el momento central de un vector ~a res-pecto de dos puntos O y O′ distintos sea el mismo, es que dichos puntos determinenuna recta paralela a la lınea de accion de ~a .

4. Expresion analıtica del momento central

Sea el vector ~a = a1~i + a2

~j + a3~k cuyo punto de aplicacion es A de coordena-

das (x, y, z) .


El punto O respecto al cual queremos determinar el momento tiene por coordena-das (x0, y0, z0)

El momento ~MO sera:

~MO = ~r ∧ ~a =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kx− x0 y − y0 z − z0

a1 a2 a3

∣∣∣∣∣∣∣

= [a3 · (y − y0)− a2 · (z − z0)] ·~i+

[a1 · (z−z0)−a3 · (x−x0)] ·~j +[a2 · (x−x0)−a1 · (y−y0)] ·~k = Mx~i+My

~j +Mz~k.

Siendo Mx, My y Mz las componentes del vector ~M0 en los ejes X, Y y Z

1.23.2 Momento axial

Se denomina tambien momento de un vector respecto a un eje. Sea una recta MN orientadapor medio de un vector unitario ~u , es decir un eje, y sea el vector deslizante ~a , con puntode aplicacion en A . Llamamos momento axial del vector ~a respecto al eje orientado por ~u ,a la proyeccion sobre dicho eje del momento central del vector ~a con respecto a un punto Operteneciente al eje. El resultado es evidentemente un escalar.

M

N

0

ra

u

oM

uM

A

Figura 1.17: Momento axial de un vector

Aplicando la definicion:

M~u = ~MO · ~u = (~r ∧ ~a) · ~u = (~r · ~a · ~u)

Es decir, el momento de un vector con respecto a un eje es el producto mixto de los vectores~r, ~a y ~u

Para que la definicion dada sea coherente, el valor del momento axial obtenido debe ser


independiente del punto O del eje elegido.

En efecto, supongamos que elegimos otro punto O′ del eje distinto del O , tendremos:

M ′~u = (

−−→O′A · ~a · ~u) = (

−−→O′A ∧ ~a) · ~u

Teniendo en cuenta la relacion:

−−→O′A =

−−→O′O +

−→OA

Y sustituyendo:

M ′~u = [(

−−→O′O +

−→OA) ∧~a] · ~u = (

−−→O′O ∧~a) · ~u + (

−→OA∧~a) · ~u = (

−−→O′O ·~a · ~u) + (

−→OA ·~a · ~u)

Observamos que el primer sumando es nulo, ya que se trata de un producto mixto en elque los vectores

−−→O′O y ~u son colineales. Por tanto:

M ′~u = (

−→OA ∧ ~a) · ~u = M~u

Lo que demuestra que la definicion dada para el momento axial es coherente, y el resul-tado que se obtiene es independiente del punto del eje elegido.

Veamos ahora algunas propiedades del momento axial:

1. Condiciones en las que se anula el momento axial:

El momento axial sera nulo cuando: (~r · ~a · ~u) = O.

Es decir, cuando ~r, ~a y ~u sean coplanarios, lo cual exige que la lınea de accion de ~acorte al eje de vector unitario ~u, o bien que ~a y ~u sean paralelos.

2. Relacion entre los momentos axiales de un mismo vector respecto a dos ejes paralelos.

Sean dos ejes paralelos con sus correspondientes vectores unitarios ~u iguales paraambos, ası como el vector ~a aplicado en A con sus vectores de posicion ~r y ~r′ conrespecto a los puntos O y O′ situados en cada eje. Los momentos axiales de ~a conrespecto a cada eje los designaremos M~u y M ′

~u

Tendremos que:

M~u = (−→OA · ~a · ~u) = (~r · ~a · ~u)

Siendo ~r =−→OA =

−−→OO′ +

−−→O′A

Y sustituyendo en la expresion anterior, teniendo en cuenta que los productos mix-tos encierran en sı productos vectoriales, y que el producto vectorial es distributivo


r

´r

0

0Á

a

u

u

Figura 1.18: Momento axial de un vector respecto de ejes paralelos

con respecto a la suma de vectores:

M~u = (−−→OO′ · ~a · ~u) + (

−−→O′A · ~a · ~u)

Con lo que nos queda:

M~u = (−−→OO′ · ~a · ~u) + M ′

~u

Expresion que nos da la relacion entre los momentos axiales de un mismo vector res-pecto de dos ejes paralelos.

Si lo que queremos es que ambos momentos sean iguales, es decir que : M~u = M ′

~u

entonces debera cumplirse que (−−→OO′ · ~a · ~u) = 0 , lo cual ocurrira cuando el vector

~a sea paralelo al plano definido por−−→OO′ y ~u , o sea el plano determinado por los dos

ejes.

3. Expresion analıtica del momento axial

Sea un vector ~a de componentes (a1, a2, a3) aplicado en el punto A (xA, yA, zA) .

Sobre el eje definido por el vector unitario ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k elegimos elpunto O (x0, y0, z0)

La expresion analıtica del momento axial M~u del vector ~a con respecto al eje definidopor ~u sera tal como corresponde a un producto mixto:

M~u = ( ~OA · ~a · ~u) =

∣∣∣∣∣∣∣

xA − x0 yA − y0 zA − z0

a1 a2 a3

cos α cos β cos γ

∣∣∣∣∣∣∣


1.23.3 Reduccion a un punto de un sistema de vectores deslizantes

Sea un conjunto de vectores deslizantes ~a1, ~a2, . . . ~an ; denominamos resultante de este siste-ma a la suma de todos los vectores que lo componen, considerando que estos fuesen libres.Esta resultante sera por tanto un vector libre.

~R =i=n∑

i=1

~ai

Este vector resultante ~R no representa por sı solo a todo el sistema ( recordemos que la sumade vectores solo esta definida para los vectores libres, los deslizantes con un punto comunen sus lıneas de accion y los fijos en un mismo punto de localizacion ), sino que constituyesolamente una caracterıstica del sistema.

Para definir por completo el sistema es necesario anadir el momento del sistema respectoa un cierto punto “O”, que denominaremos momento resultante del sistema en dicho punto,el cual no sera otra cosa sino la suma de todos los momentos centrales de todos los vectoresque componen el sistema con respecto a dicho punto.

~MO =i=n∑

i=1

~ri ∧ ~ai

Se trata de la suma de vectores ligados al punto “O” , y por tanto el resultado sera un vectortambien ligado a “O”.

En resumen: Un sistema de vectores deslizantes ~a1, ~a2, . . . ~an queda reducido en un pun-to del espacio “O” por dos vectores:

• Una resultante ~R que es un vector libre

• Un momento resultante ~MO que es un vector fijo

1.23.4 Sistema par de vectores

Denominamos “Par de vectores” al sistema formado por dos vectores deslizantes cuyas lıneasde accion son paralelas, cuyos modulos son iguales, y que tienen sentidos opuestos.

Las caracterısticas de este sistema son:

~R = ~a + ~a′ = ~a + (−~a) = ~0

~MO =−→OA∧~a+

−−→OA′∧~a′ =

−→OA∧~a+

−−→OA′∧(−~a) =

−→OA∧~a−

−−→OA′∧~a = (

−→OA−

−−→OA′)∧~a =

−−→A′A∧~a

El par de vectores resulta ser un sistema cuya resultante ~R es nula, y cuyo momento resul-tante con respecto a un punto O, ~MO coincide con el momento de uno de los vectores con


0

A

A´

a

aa −=´

Figura 1.19: Par de vectores

respecto a un punto contenido en la lınea de aplicacion del otro.

Es importante observar que en este caso el momento resultante ~MO es independiente delpunto O elegido, y por tanto se trata de un vector libre. Veremos que cuando esta circustan-cia concurre en un sistema de vectores deslizantes, este sera equivalente a un par.

1.23.5 Momento mınimo

Hemos visto como todo sistema de vectores deslizantes puede reducirse en un punto O enuna resultante ~R que es la suma de todos los vectores del sistema considerados como libresaplicada en O y en un momento resultante ~MO que es la suma de todos los momentos cen-trales de todos los vectores que componen el sistema con respecto al punto O.

Con anterioridad, concretamente en 1.23.1, hemos visto como se relacionaba el momentode un vector con respecto a un punto O con el momento de ese mismo vector con respecto aotro punto O’

~MO =−−→OO′ ∧ ~a + ~MO′

Si disponemos de un sistema de vectores deslizantes ~a1, ~a2, . . . ~an , la expresion anteriorpodra ser propuesta para todos y cada uno de los vectores que componen ese sistema:

~MO1=−−→OO′ ∧ ~a1+ ~MO′

1

~MO2=−−→OO′ ∧ ~a2+ ~MO′

2

......

...~MOn

=−−→OO′ ∧ ~an+ ~MO′

n

Efectuando la suma de todas estas expresiones nos quedara:

~MO =−−→OO′ ∧ ~R + ~MO′


En donde ~MO es el momento resultante del sistema en el punto O, ~MO′ es el momento re-sultante del sistema en el punto O’, y ~R es el vector resultante del sistema.

Multiplicando escalarmente por ~R esta ultima expresion en sus dos terminos, y haciendouso de la distributividad del producto escalar frente a la suma de vectores:

~MO · ~R = (−−→OO′ ∧ ~R) · ~R + ~MO′ · ~R

Observamos un producto mixto con dos vectores ~R iguales, por tanto este producto mixtosera nulo, con lo que nos queda:

~MO · ~R = ~MO′ · ~R

Recordemos que en este producto escalar ~R no es simplificable. En virtud de la definicionde producto escalar, la ecuacion anterior podra ser puesta como:

|~R| · Proy~R~MO = |~R| · Proy~R

~MO′

En la que ahora | ~R| si se puede simplificar al se una operacion entre escalares, y por tantotendremos:

Proy~R~MO = Proy~R

~MO′

De aquı deducimos que la proyeccion sobre la resultante del momento resultante del sistemaen un punto cualquiera del espacio permanece constante e invariante; a este valor lo denomi-namos “m” y recordemos que es un escalar como toda proyeccion de un vector sobre un eje.

Dibujamos en la siguiente figura las proyecciones de los distintos momentos resultantes enlos puntos O, O′ y O′′ sobre los ejes que determinan la resultante ~R y en ella podemosobservar que aunque varien los momentos para los diferentes puntos, sus proyecciones per-manecen constantes.

0 0´ 0´´

R R R

óM ´óMoM

α´´α´αm

Figura 1.20: Proyeccion constante del momento sobre la resultante

El valor de esta proyeccion escalar “m” podra ser positivo, negativo o nulo, segun que elangulo α sea menor, mayor o igal a π/2

Definimos momento mınimo de un sistema de vectores deslizantes como la descomposicion


en la direccion de la resultante ~R del vector momento en ese punto. Es decir, el momentomınimo es “m” pero con caracter vectorial.

~Mmin = m ·~R

|~R|

1.23.6 Invariantes de un sistema de vectores deslizantes

De lo visto hasta ahora, deducimos que en un sistema de vectores deslizantes son invariantes,es decir, independientes del punto del espacio considerado:

• La resultante ~R.

• El producto escalar del momento resultante del sistema por la resultante

~MO · ~R = ~MO′ · ~R

• La proyeccion sobre la resultante ~R del momento resultante

Proy~R~MO = Proy~R

~MO′

Lo que viene a ser equivalente a decir que el momento mınimo es un invariante

1.23.7 Eje central

0π

A

oM

1M

2M

R

α

Figura 1.21: Localizacion de un punto del eje central

Sea la resultante de un sistema de vectores deslizantes ~R y el momento resultante del sistemaen el punto O ~MO

Reducido ası el sistema, situamos un plano π que pasa por O y es perpendicular a ~R. Situa-mos ası mismo el el punto O el momento resultante ~MO ; descomponiendolo en dos vectores,uno ~M1 colineal con ~R, y otro ~M2 situado en el plano π y logicamente perpendicular a ~M1


Tratamos de encontrar un punto A, situado en el plano π en el cual la resultante y el mo-mento resultante sean vectores colineales.

Establecemos la ya conocida expresion que relaciona los momentos resultantes en dos pun-tos:

~MA =−→AO ∧ ~R + ~MO

Y expresamos la condicion de colinealidad entre ~MA y ~R , es decir: ~MA ∧ ~R = ~0 :

~MA ∧ ~R = (−→AO ∧ ~R) ∧ ~R

︸︷︷︸

Doble producto vectorial

+ ~MO ∧ ~R = ~0

Desarrollando el valor del doble producto vectorial tal y como vimos en el apartado 1.15 :

(−→AO · ~R) · ~R − (~R · ~R) ·

−→AO + ~MO ∧ ~R = ~0

(−→AO · ~R) · ~R − nor ~R ·

−→AO + ~MO ∧ ~R = ~0

Tanto el punto A como el punto O estan en el plano π, por lo tanto el vector−→AO esta en

dicho plano, y es perpendicular a ~R

A ∈ πO ∈ π

}

=⇒−→AO ∈ π =⇒

−→AO · ~R = 0

De lo que se deduce que: nor ~R ·−→AO = ~MO ∧ ~R, o bien: nor ~R ·

−→OA = ~R ∧ ~MO.

Quedando ası definido el vector de posicion del punto A desde el punto O , que tendrala direccion y sentido del producto vectorial ~R ∧ ~MO

−→OA =

~R ∧ ~MO

nor ~R

Vector de posicion que tendra por modulo:

|−→OA| =

|~R| · | ~MO| · senα

|~R|2=| ~M2|

|~R|(∗)

Queda ası determinado el punto A del plano π para el cual la resultante y el momento resul-tante del sistema son vectores colineales.

Veamos ahora si fuera del plano π existen otros puntos, por ejemplo el A′ , en los que secumple tambien la misma condicion de colinealidad entre resultante ~R y momento resultan-te ~MA′

Expresamos el momento resultante en A′ en funcion del momento resultante en A :

~MA′ =−−→A′A ∧ ~R + ~MA


La condicion de colinealidad sera: ~MA′ ∧ ~R = ~0

~MA′ ∧ ~R = (−−→A′A ∧ ~R) ∧ ~R + ~MA ∧ ~R = ~0

Recordemos que: ~MA ∧ ~R = ~0 segun vimos antes, luego:

(−−→A′A ∧ ~R) ∧ ~R = ~0

Desarrollando el doble producto vectorial:

(−−→A′A · ~R) · ~R− (~R · ~R) ·

−−→A′A = ~0

(−−→A′A · ~R) · ~R− nor ~R ·

−−→A′A = ~0 (∗∗)

El producto−−→A′A · ~R 6= 0 , ya que si se anularıa eso significarıa que los vectores

−−→A′A y

~R son perpendiculares, o lo que es lo mismo, que−−→A′A esta contenido en el plano π , lo que

es contrario a la hipotesis establecida.

Tampoco nor ~R es nula, por lo que la expresion (∗∗) nos indica que ~R y−−→A′A son lineal-

mente dependientes, o lo que es lo mismo, colineales.

De lo dicho se deduce que todos los puntos A′ estan situados en una recta paralela a laresultante ~R, o perpendicular al plano π , cuyo punto de corte con dicho plano es el punto A.

A esa recta, lugar geometrico de los puntos en los que resultan ser colineales la resultan-te y el momento resultante del sistema, se la denomina “Eje Central” del sistema de vectoresdeslizantes.

Dado que el momento mınimo, o bien la componente ~M1 del momomento ~M en cualquierpunto del espacio es invariante, y que la componente ~M2 es siempre perpendicular a ~R y a−→OA y es linealmente proporcicional a la distancia OA del punto considerado al eje central,segun vemos en la expresion (∗), estando contenida en el plano π , podemos decir que elconjunto de los momentos resultantes de un sistema, ofrece una simetrıa cilındrica, cuyo ejees el eje central del sistema, segun se muestra en la figura 1.22

En vista a esta figura podemos deducir:

1. El angulo α que forman ~R y ~M crece a medida que nos alejamos del eje central, en talforma que tanα es proporcional a la distancia del punto al eje central, creciendo | ~M |proporcionalmente a dicha distancia.

2. Los vectores ~Mequipolentes se encuentran en una recta paralela al eje central, porejemplo ~M0′

1y ~M0′

2.

3. Los puntos respecto a los cuales el | ~M | es el mismo, tienen por lugar geometrico uncilindro cuyo eje es el eje central del sistema, por ejemplo los puntos 0′, 0′1 y 0′2 en losque los modulos de sus momentos | ~M0′ |, | ~M0′

1| y | ~M0′

2| son iguales.


A

0´1

0´

0´´

0

0´2

2M ´2M ´´2M

1M

1M

1M

1M

1M

0M ´0M ´´0M

10M

2´´0M

1MM min =

R

π

Figura 1.22: Simetrıa cilındrica de los momentos en torno al eje central

1.23.8 Clasificacion de los sistemas de vectores deslizantes

Para esta clasificacion nos atendremos a la nulidad o no nulidad de ~R y “m”, pudiendosepresentar los siguientes casos:

1. ~R 6= ~0 y m 6= 0.Este es el caso general. El sistema que presenta estas caracterısticas puede reducirseen un punto del espacio a una resultante ~R y a un momento resultante ~M no perpen-diculares entre sı. Dentro de este caso, si el punto considerado se encuentra en el ejecentral, ~R y ~M son colineales, siendo ~M = ~Mmin

2. ~R 6= ~0 y m = 0.En este caso, en todos los puntos del espacio ~R y ~M son perpendiculares. Al ser elinvariante ~R · ~M = cte, y en este caso cte = 0; el sistema de vectores deslizantesestara representado en los puntos del eje central unicamente por la resultante ~R

3. ~R = ~0 y m 6= 0.Dado que ~R = ~0, podemos decir que el eje central esta situado en el infinito, o bienque no existe. El momento tiene el mismo valor en todos los puntos del espacio. Elsistema es equivalente a un par de vectores.

4. ~R = ~0 y m = 0.Este sistema es el sistema nulo. Es equivalente a no aplicar nada a un sistema material.


1.23.9 Sistemas de vectores coplanarios, concurrentes y paralelos

Sistema de vectores coplanarios

Sea el sistema de vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, contenidos todos ellos en el plano π

Su resultante sera: ~R =i=n∑

i=1

~ai, Estando ası mismo ~R ∈ π.

El momento resultante del sistema con respecto a un punto O del plano π sera:

~MO =i=n∑

i=1

(−−→OAi ∧ ~ai)

Que sera perpendicular a ~R por ser todos los vectores del sumatorio perpendiculares a π, yaque

−−→OAi y ~ai estan contenidos en π

En consecuencia: ~R · ~MO = 0 y tambien m = 0

Si ~R 6= ~0 nos encontramos en el 2o caso de la clasificacion de los sistema de vectoresdeslizantes. Entonces un sistema de vectores coplanarios se puede reducir a un unico vector~R situado sobre el eje central del sistema que se encontrara igualmente en el plano π, siendoel momento resultante en todos los puntos de dicho eje central nulo.

Sistema de vectores concurrentes

Sea el sistema de vectores ~a1, ~a2, . . . , ~an, en general no coplanarios, y cuyas lıneas de accionpasan todas por el punto A.

La resultante ~R del sistema pasara por A.

El momento de cada vector respecto de A es nulo, luego el momento resultante del siste-ma respecto de dicho punto A sera tambien nulo y por lo tanto el eje central del sistemapasara por A , al ser este un punto en el que el momento es mınimo.

Nos encontramos tambien en el 2o caso de la clasificacion de sistemas de vectores desli-zantes, y el sistema sera equivalente a un vector unico ~R situado en el eje central.

Sistema de vectores paralelos

Esta clase de sistemas se puede considerar como un caso particular de los sistemas de vecto-res concurrentes en los que ahora el punto de concurrencia es un punto impropio del infinitoque viene definido por la direccion comun a todos los vectores, dada por el vector unitario:

~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k

Cada vector del sistema podra ser expresado como: ~ai = ai ~u , siendo ai un numero real.


La resultante del sistema sera:

~R =i=n∑

i=1

~ai =i=n∑

i=1

(ai ~u) = (i=n∑

i=1

ai) ~u

El momento resultante respecto a un punto O sera:

~MO =i=n∑

i=1

~ri ∧ ~ai =i=n∑

i=1

~ri ∧ ai ~u =i=n∑

i=1

ai ~ri ∧ ~u = (i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u

Y el producto escalar ~MO · ~R :

~MO · ~R =[

(i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u]

· (i=n∑

i=1

ai) ~u =[

(i=n∑

i=1

ai ~ri) · ~u · (i=n∑

i=1

ai) ~u]

= 0

Ya que se trata de un producto mixto en el que aparecen dos vectores colineales

Por lo tanto:

~MO · ~R = 0 =⇒ m = 0

Luego una vez mas nos encontramos en el 2o caso de la clasificacion de los sistemas devectores deslizantes.

1.23.10 Teorema de Varignon

Eje Central

0

0M

0=AM

A

R

Figura 1.23: Teorema de Varignon

El teorema de Varignon solo es aplicable a los sistemas de vectores deslizantes que han sidoclasificados en el 2o caso, es decir, los que son concurrentes, o coplanarios o paralelos. Dichoteorema se enuncia de la siguiente manera:


En los sistemas de vectores deslizantes concurrentes, coplanarios o paralelos el momentoresultante del sistema en un punto O coincide con el momento de la resultante ~R con res-pecto a dicho punto, considerando a esta resultante como un vector deslizante cuya lınea deaccion es el eje central del sistema.

En efecto, consideremos un punto A del eje central, en el estara definida la resultante ~Ry el momento resultante ~MA. En un punto cualquiera del espacio O el momento resultantesera ~MO, el cual podra ser expresado en funcion de ~MA mediannte la conocida relacion:

~MO =−→OA ∧ ~R + ~MA

Pero al ser A un punto del eje central, ~MA = ~Mmin = ~0, por tratarse de un sistema clasificadoen el 2o caso, con lo que:

~MO =−→OA ∧ ~R +~0 =

−→OA ∧ ~R

Con lo que queda demostrado el enunciado propuesto.

1.23.11 Eje central en los sistemas de vectores deslizantes paralelos

Sea el sistema de vectores paralelos ~a1, ~a2, . . . , ~ai, . . . , ~an cuya direccion comun esta definidapor el vector unitario ~u = cos α~i + cos β ~j + cos γ ~k

π

u 1a 2a ia

1r

2r

ir

)( iiii zyxP

0 )( zyx

Figura 1.24: Determinacion del eje central en un sistema de vectores paralelos

Considero un punto del espacio O y sean ~r1, ~r2, . . . , ~ri, . . . , ~rn los vectores de posicion quetienen como origen O y como extremo las trazas de las lıneas de accion de cada vector sobreun plano π que contiene a O y es perpendicular a ~u. Denominamos (xi, yi, zi) a las coorde-nadas del punto Pi que es la traza de la lınea de accion del vector ~ai en el plano π, y (x, y, z)a las coordenadas del punto O que supongo que pertenece al eje central cuya ecuacion que-remos determinar.

Cada vector de posicion ~ri podra ser expresado como:

~ri = (xi − x)~i + (yi − y) ~j + (zi − z) ~k


La ecuacion del eje central la obtendremos expresando que el momento resultante del sistemaen cualquier punto del mismo O es nulo, ya que al tratarse de un sistema de vectores paralelosesta clasificado en el 2o caso, y utilizando la expresion del momento con respecto a un puntode un sistema de vectores paralelos ya vista, tendremos:

~MO = (i=n∑

i=1

ai ~ri) ∧ ~u = ~0

Ecuacion que desarrollada con la expresion analıtica del producto vectorial:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~ki=n∑

i=1

ai (xi − x)i=n∑

i=1

ai (yi − y)i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos α cos β cos γ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= ~0 =⇒

=⇒

i=n∑

i=1

ai (yi − y) · cos γ −i=n∑

i=1

ai (zi − z) · cos β = 0

i=n∑

i=1

ai (zi − z) · cos α−i=n∑

i=1

ai (xi − x) · cos γ = 0

i=n∑

i=1

ai (xi − x) · cos β −i=n∑

i=1

ai (yi − y) · cos α = 0

Dividiendo en estas expresiones respectivamente por (cos γ · cos β), (cos α · cos γ) y (cos β ·cos α) resulta:

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β=

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ=

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α=

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β

De donde podremos expresar:

i=n∑

i=1

ai (xi − x)

cos α=

i=n∑

i=1

ai (yi − y)

cos β=

i=n∑

i=1

ai (zi − z)

cos γ


i=n∑

i=1

ai xi − xi=n∑

i=1

ai

cos α=

i=n∑

i=1

ai yi − yi=n∑

i=1

ai

cos β=

i=n∑

i=1

ai zi − zi=n∑

i=1

ai

cos γ

Y dividiendo en la doble igualdad los numeradores por:(

−i=n∑

i=1

ai

)

:

x−

i=n∑

i=1

ai xi

i=n∑

i=1

ai

cos α=

y −

i=n∑

i=1

ai yi

i=n∑

i=1

ai

cos β=

z −

i=n∑

i=1

ai zi

i=n∑

i=1

ai

cos γ

Ecuacion que nos expresa el eje central de este sistema de vectores deslizantes paralelos.Observamos que este eje tiene la direccion de ~u, comun a todos los vectores y por tantotambien la de la resultante. Ademas este eje pasa por el punto de coordenadas:

i=n∑

i=1

ai xi

i=n∑

i=1

ai

,

i=n∑

i=1

ai yi

i=n∑

i=1

ai

,

i=n∑

i=1

ai zi

i=n∑

i=1

ai

Cuyos valores son totalmente independientes de la direccion comun de los vectores ~u.

1.23.12 Composicion de sistemas de vectores deslizantes

Sean dos sistemas de vectores deslizantes, uno de ellos que denominaremos S1 definido me-diante su resultante y su momento resultante en el punto O, { ~R1, ~M1 (0)} y otro sistema S2

que vendra definido tambien por su resultante y momento resultante en O, { ~R2, ~M2 (0)}

La composicion de estos dos sistemas, que sera el resultado de aplicar conjuntamente losmismos, sera un sistema S con resultante ~R y momento resultante en O, ~M(0) tales que:

• ~R = ~R1 + ~R2

• ~M(0) = ~M1 (0) + ~M2 (0)

Sin embargo, m1 + m2 6= m, salvo que ~R1 y ~R2 fuesen vectores colineales. Tampoco podraenuciarse en general la composicion del momento mınimo del sistema conjunto como lasuma de los momentos mınimos de los sistemas S1 y S2.

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Cap´ıtulo 1 VECTORES - vc.ehu.es · PDF fileCAP´ITULO 1. VECTORES 4 b a s Figura 1.1: Suma geometrica´ de dos vectores Se trata de una ley de composicion interna, que a dos vectores