Capítulo 10

Captulo 10Momentos de Inercia

PUCP ciclo 2012-1

Captulo 10 Momentos de Inercia

PUCP ciclo 2012-1


Momentos de inerciaPUCP ciclo 2012-1

IL = u^2 dA Ix = y^2 dA > 0Iy = x^2 dA > 0


Momento polar de inerciaPUCP ciclo 2012-1

Jo = r^2 dA

cuando el rea est contenida en un plano:

Jo = (x^2 + y^2) dA

Jo = x^2 dA + y^2 dA

Jo = Ix + Iy


Producto de inerciaPUCP ciclo 2012-1

Pxy = xy dA

Pxy 0 Pxy 0


Radio de giroPUCP ciclo 2012-1

IL = (KL)^2 dAIL = (KL)^2 dAIL = (KL) ^2 . AKL = ( IL / A )^1/2


Kx = ( Ix / A )^1/2Ky = ( Iy / A )^1/2Ko = ( Jo / A )^1/2Kx^2 + Ky^2 = Ko^2

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Ejercicio 1: Calcular los momentos de inercia del rea rectangular respecto a los ejes x e y.


Teorema de Steiner: traslacin de ejesPUCP ciclo 2012-1


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Ix = (y + yo)^2 dAIy = (x + xo)^2 dAPxy = (x + xo) (y + yo) dA

Ix = yo^2 dA + 2.y.yo dA + y^2 dAIx = Ix + 2.y yo dA + y^2 dA

Ix = Ix + A.y^2Iy = Iy + A.x^2Pxy = Pxy + A.x.y

Jo = JG + A(x^2 + y^2)


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Ejercicio 2: Calcular los momentos de inercia del rea rectangular respecto a los ejes centroidales x e y.


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Ejercicio 3: Calcular Ix, Iy, Jo y Pxy.


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Ejercicio 4: Con respecto al rea mostrada, determinar los momentos de inercia y producto de inercia respecto de los ejes x - y.


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Ejercicio 5: Se sueldan dos ngulos de 102x102x12.7 mm a una placa de acero de 12 mm como se indica., Si b = 300 mm, determinar los momentos de inercia de la seccin combinada respecto a sus ejes centroidales (uno de ellos paralelo y el otro perpendicular a la placa de acero).


Rotacin de ejesPUCP ciclo 2012-1


Ix , Iy , Pxy OK

OK

Iu , Iv , Puv ?

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u = x.cos + y senv = y.cos - x sen

Iu = v^2 dA = (y.cos - x sen)^2 dA.Iu = y^2 cos^2 dA - 2 x y cos sen dA

+ x^2 sen^2 dAIu = cos^2 y^2 dA - 2 cos sen x y dA

+ sen^2 x^2 dAIu = cos^2 Ix - 2 cos sen Pxy + sen^2 Iy

como: cos2 = cos^2 - sen^2 = 2 cos^2 1cos2 = 1 - 2 sen^2 => sen^2 = (1 cos2) /2


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Iu = (1 + cos2) /2 Ix sen2 Pxy + (1 cos2) /2 Iy

Iu = ( Ix + Iy ) / 2 + ( Ix - Iy ) / 2 * cos2 - Pxy sen2

Iv = ( Ix + Iy ) / 2 - ( Ix - Iy ) / 2 * cos2 + Pxy sen2

Puv = ( Ix - Iy ) / 2 * sen2 + Pxy cos2


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para hallar Imx e Imn, a qu ngulo tendremos que girar los ejes?

dIu = ( Ix - Iy ) / 2 * (-2 sen2) - Pxy (2 cos2) = 0d

= -2 [ ( Ix - Iy ) / 2 * (sen2) + Pxy (cos2) = 0= -2 ( Puv ) = 0

=> Puv = 0

se les llamar a Imx e Imn ejes principales.despejando : tan 2 = 2 Pxy / ( Iy - Ix )


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Iu = ( Ix + Iy ) / 2 + ( Ix - Iy ) / 2 * cos2 - Pxy sen2 [ ]^2 +

Puv = ( Ix - Iy ) / 2 * sen2 + Pxy cos2 [ ]^2

[ Iu (Ix + Iy)/2 ]^2 + Puv^2 = [ (Ix - Iy)/2 ]^2 + Pxy^2

(Iu a)^2 + (Puv)^2 = b^2 ; donde a y b son conocidos

como la ecuacin de la circunferencia es:

(x xo)^2 + (y yo)^2 = R^2 , entonces


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donde: C ( (Ix + Iy)/2 , 0 )R = { [ (Ix - Iy)/2 ]^2 + Pxy^2 }^(1/2)

donde, Imx = C + RImn = C - R


Construccin del Crculo de MohrPUCP ciclo 2012-1


X ( Ix , Pxy )Y ( Iy , -Pxy ) C y R ; Imx y Imntan = 2 Pxy / (Ix - Iy) => | | = | 2 |

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tan (+) = Puv / [ Iu - (Ix + Iy)/2 ]tan (+) = tan 2 + tan / ( 1 tan tan)tan (+) = tan (2+) = 2


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Ejercicio 6: a) Determinar los momentos de inercia para los ejes x e y, los cuales forman un ngulo de 30 con los ejes x e y mostrados; b) determinar los momentos de inercia principales, as como sus respectivos ejes.


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Ejercicio 7: Haciendo uso del Crculo de Mohr, determinar para el rea mostrada los momentos principales de inercia respecto a los ejes x-y. Ubicar los ejes en el rea.


Momento de inercia de masasPUCP ciclo 2012-1


Iuu = v^2 dm Iuu = Iuu + M.d^2

Momento de Inercia de PlacasPUCP ciclo 2012-1


Placa homogneaIxx = y^2 dmcomo: dm = .dA.tIxx = .t y^2 dA

=> Ixx = .t.Ix=> Iyy = .t.Iy

Izz = r^2 dm=> Izz = Ixx + Iyy

= .t.(Ix + Iy)= .t.Jo

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