CAPITULO 11. ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES s(1; n; i); a(1; n; i) Y SUS CUOTAS RESPECTIVAS.

En el desarrollo de este punto se utilizará la fórmula del binomio de Newton.

Recordemos que:

n (n - 1) n(n - 1) (n - 2)(1 + i) n = 1 + i + i 2 + i 3 + .... (11.1) 2! 3!

11.1 Análisis de s(1; n; i)

Se puede comprobar que s (1; n; i) es una función que crece cuando aumenta la tasa de interés, i, o cuando aumenta el número de períodos, n, en los cuales se abonan cuotas unitarias para constituir el valor final s(1; n; i).

Como:

(1 + i) n - 1 s(1; n; i) = , entonces considerando (11.1), el numerador i

puede escribirse deduciendo 1 a la fórmula mencionada:

n (n - 1) n (n - 1) (n - 2)(1 + i) n - 1 = i + i 2 + i 3 + .... (11.1.1) 2! 3!

Si i 0 y n 0, entonces { (1 + i) n - 1 } i; es decir, el numerador s (1; n; i) es mayor que el denominador y como el desarrollo (11.1.1) muestra que el numerador depende de i y de n se comprueba que el valor final aumenta si crece la tasa de interés empleada para la valuación, o bien si crece el número de períodos de capitalización.

En el gráfico siguiente se muestra el desarrollo de s(1; n; 0,05)

s(1; n; 0,05)

s (1; n; 0,05)

0 nTambién se comprueba que si n aumenta en una unidad el aumento de s (1; n; i)

-72-

entonces es (1 + i) n. En efecto:

s (1; n; i) = s (1; n+1; i) - s (1; n; i) = ( 1 + i ) n+1 - 1 ( 1 + i ) n - 1 = - i i

( 1 + i ) n+1 - (1 + i) n (1 + i) n [ ( 1 + i ) - 1 ] = = = i i

= ( 1 + i ) n

Ejemplo 11.1.1

(1,05)10 - 1s (1; 10; 0,05) = = 12,57789253 0,05

s (1; 11; 0,05) = 14,20678716

s (1; 10; 0,05) = 14,20678716 - 12,57789253 = 1,6288946

Por otra parte:

(1,05) 10 = 1,6288946

El hecho que s(1; n; i) = ( 1 + i ) n sea una función creciente al aumentar n es explicable debido a que s (1; n; i) es una función exponencial (resultante de aplicar las reglas del interés compuesto) y esto implica que cuando aumenta el número de períodos se capitaliza una masa de intereses creciente ya que con el correr del tiempo los intereses se van acrecentando por la incorporación de nuevos intereses.

11. 2 Ejercicios 1. Verifique que s (0; n; i) es una función que crece cuando crece n o cuando crece i.

Como:

(1 + i) n - 1 s( 0; n; i) = (1 + i ) i

-73-

entonces efectuando el mismo desarrollo que en (11.1. 1), el numerador puede escribirse n (n - 1) n (n - 1) (n - 2)[ (1 + i) n - 1] ( 1 + i) = [ i + i 2 + i 3 + .... ] (1 + i ) 2! 3!

Si i 0 y n 0, entonces { (1 + i) n - 1 } (1 + i ) i; es decir, el numerador s (1; n; i) es mayor que el denominador y como el desarrollo precedente muestra que el numerador depende de i y de n se comprueba que el valor final aumenta si crece la tasa de interés empleada para la valuación, o bien si crece el número de períodos de capitalización.

2. Compruebe que s (0; n; i) = s (0; n+1; i) - s (0; n; i) = ( 1 + i ) n+1

Teniendo en cuenta que: s (1; n; i) = s (1; n+1; i) - s (1; n; i) = ( 1 + i ) n y ques (0; n; i) = (1 + i ) s (1; n; i), resultará:

s (0; n; i) = [ s (1; n+1; i) - s (1; n; i) ] = ( 1 + i ) n + 1

3. Efectúe el ejemplo 11.1.1 considerando ahora s (0; 10; 0,05)

(1,05) 10 - 1s (0; 10; 0,05) = (1,05) = 13,20678716 0,05

s (0; 11; 0,05) = 14,91712652

s (1; 10; 0,05) = 14,91712652 - 13,20678716 = 1,71033933

Por otra parte:

(1,05) 11 = 1,71033933

11.3 Análisis de a (1; n; i)

El comportamiento de a (1; n; i) se analizará a partir de la fórmula:

1 - v n 1 a (1; n; i) = donde v n = i ( 1 + i ) n

En primer término consideremos a i una constante (positiva) prefijada y a n el elemento

-74-

1 1variable de la relación. Para n 0; como a (1; n; i) = - y puesto que i i (1 + i) n

i i (1 + i) n para n > 0, resulta que: a) a (1; n; i) 0; b) si aumenta n el denominador del segundo término también crece y por lo tanto la diferencia se hace más grande. Luego: si n aumenta también aumenta a (1; n; i).

Calculemos ahora el aumento de a (1; n; i) cuando n crece en una unidad.

1 - v n + 1 1 - v n

a (1; n; i) = a (1; n+1; i) - a (1; n; i) = - = i i

v n - v n + 1 1 - v v n = = v n = [ 1 - 1 / (1 + i) ] = v n +1 (11. 3. 1) i i i

Como v n +1 decrece cuando aumenta n, se comprueba que los aumentos de a (1; n; i) son menores cuando el valor de n es creciente. Esto significa que los valores actuales de las cuotas unitarias son cada vez menores a medida que estas cuotas distan más del presente. Esto también predispone a considerar la convergencia de a (1; n; i) que luego consideraremos. Los crecimientos cada vez más pequeños de la función cuando aumenta n, pueden verificarse gráficamente o bien considerando:

2 a (1; n; i) = [ a (1; n; i) ] = a (1; n+1; i) - a (1; n; i) =

v n+1 v n vn

= [ 1 - 1/(1+i) ] - [ 1 - 1/(1+i) ] = [ 1 - 1/(1+i) ] (v - 1) = i i i

vn

= - [ 1 - 1/(1+i) ] 2 (11.3.2) i

El factor entre corchetes es constante; v n decrece cuando n crece y el signo es negativo.

Así que, los crecimientos de a (1; n; i) son cada vez menores cuando aumenta n.

Ejemplo 11.3.

(1,05) 10 - 1 Sea a (1; 10; 0,05) = = 7,72173493 (1,05) 10 . 0,05

-75- a (1; 11; 0,05) = 8,30641422

a (1; 12; 0,05) = 8,86325164 a (1; 10; 0,05) = a (1; 11; 0,05) - a (1; 10; 0,05) = 0,58467929 a (1; 11; 0,05) = a (1; 12; 0,05) - a (1; 11; 0,05) = 0,55683742

Por (11.3.1) resulta:

1 1 a (1; 10; 0,05) = . [ 1 - (1 / 1,05 ) ] = 1 / (1,05) 11 = 0,58467929 0,05 (1,05) 10

y por (11. 3.2) se tiene: 1 2 a (1; 10; 0,05) = - [ 1 - ( 1 / 1,05) ] 2 = - 0,02784187 0,05 (1,05) 10 en tanto que:

a (1; 11; 0,05) = - a (1; 10; 0,05) = 0,55683742 - 0,58467929 = - 0,02784187

También se comprueba que si n crece lo suficiente (esto es si n ), entonces:

1 1 - vn

a (1; n; i) (puesto que vn 0 en a (1; n; i) = i iEste es el caso de una renta perpetua, en la que el número de pagos es tan grande como se desee.

Seguidamente se presenta el gráfico de a (1; n; 0,05).

a (1; n; 0,05)

1 / 0,05 a(1; n; 0,05)

0 n

El signo negativo de 2 a (1; n; i) explica la concavidad de la curva representativa de la función.

-76-

Mencionemos también que si n es fijo e i variable a (1; n; i) decrece al aumentar i. En

1 - v n 1 1efecto, de a (1; n; i) = sigue que: a (1; n; i) = - i i i (1+i) n

y ambos términos disminuyen cuanto aumenta la tasa de interés i. Se representará

gráficamente a (1; 10; i).

a (1; 10; i).

a(1; 10; i)

0 i

Se hace notar que no se efectuará ningún desarrollo matemático con derivadas – como muchos textos suelen hacer habitualmente - ni en este último caso ni en los que se refieren a s-1 (1; n; i) y a-1 (1; n; i) porque la presencia en el denominador del factor (1+i)n

complica en gran medida la fluidez de estos procedimientos sin que los resultados justifiquen el esfuerzo empleado.

11. 4 Ejercicios

1. Grafique a (0; n;0,30) en función de n.

Este ejercicio se efectuará mediante el empleo del programa Excel.

En la columna A se escribió 0 en A3 y en A4 la fórmula =A3 +0,5 que permite incrementar el período en 0,5 unidades. Obviamente 0,5 es un valor arbitrario. Luego hemos “arrastrado”con el cursor hacia abajo y aparecen los valores sucesivos 1, 1,5 etc.

Período Tasa Valor Actual

0 0,3 10,5 1,40980661 1,76923077

1,5 2,084466622 2,36094675

2,5 2,603435863 2,81611288

3,5 3,00264297

-77-

En B3 se escribió la tasa indicada que es 0,30 y en la celda C3 se trascribió la fórmula: =((1+$B$3)*(1+$B$3)^A3-1)/($B$3*(1+$B$3)^A3) y luego se arrastró hacia abajo con el cursor.

Luego se utilizó la opción Gráficos y un gráfico de dispersión en el que los valores de los períodos fueron colocados en el eje de abcisas y los valores de la función fueron representados en el eje de ordenadas.

2. Halle a (0; n; i) en función de n. E s decir: a (0; n; i) = a (0; n+1; i) - a (0; n; i).

a (0; n; i) = (1+i) a (1; n; i) = (1+i) a (1; n; i) = (1+i) v n +1 = v n . (11. 3. 3)

La penúltima igualdad deriva del hecho que (1+i) es constante y de la fórmula (11. 3. 1).

3. Calcule a (0; 10; 0,05) en función de n. Es decir: a (0; n; i) = a (0; n+1; i) - a (0; n; i).

Por (11. 3. 3) a (0; n; i) = v n . Así que: a (0; n; i) = 1 / 1,05 10 = 0,61391325.

Además: a (0; 11; 0,05) - a (0; 10; 0,05) = 8,72173493 – 8,10782168 = 0,61391325.

11.5 Análisis de s-1 (1; n; i )

Dado que s-1 (1; n; i) = i / [ (1+i)n - 1] y que cuando n > 1, entonces i [ (1+i)n - 1], entonces sigue en forma inmediata que s-1 (1; n; i) es una función que decrece cuando aumenta n o cuando aumenta i. Se graficará s-1 (1; n; 0,05).

s -1

s -1 (1; n; 0,05)

n

Por otra parte, haciendo variar n se puede expresar s -1 (1; n; i), mediante el producto de dos funciones financieras como sigue:

s -1 (1; n; i) = s -1 (1; n +1; i) - s -1 (1; n; i) = i / [ (1+ i ) n + 1 - 1 ] – i / [ 1+ i ) n – 1 ]

Si se extrae factor común i y se efectúa la suma indicada queda:

s -1 (1; n; i) = - i 2 (1 + i ) n / [(1 + i ) n + 1 - 1 ] [ ( 1 + i ) n – 1 ]

que puede expresarse así: s -1 (1; n; i) = - s -1 (1; n +1; i) . a –1 (1; n; i)-78-

o también si se quiere por: s -1 (1; n; i) = - s -1 (1; n +1; i) . [ s –1 (1; n; i) + i ]. Se comprueba que la variación de la cuota es negativa cuando aumenta el número de períodos.

11.6. Ejercicios

1. Grafique s -1 (0; n; 0,05) en función de i.

Este ejercicio se puede hacer mediante el empleo del programa Excel.

Por ejemplo en la columna A se puede escribir 0 en A3 y en A4 la fórmula =A3 +0,5 que permite incrementar el período en 0,5 unidades. Obviamente 0,5 es un valor arbitrario. Luego hemos “arrastrado”con el cursor hacia abajo y aparecen los valores sucesivos 1, 1,5 etc.

En B3 se puede escribir la tasa indicada que es 0,05 y en la celda C3 se puede trascribir la fórmula: s -1 (0; n; 0,05) = v . s -1 (1 ; n; 0,05) = v . i / [ (1 + i ) n – 1] , la que, en el lenguaje del Excel, resulta: =((1/(1+$B$3))*$B$3/(1+$B$3)^A3-1) y luego se arrastra hacia abajo con el cursor obteniendo otros valores de la función para hacer el gráfico.

Luego se puede utilizar la opción Gráficos y elaborar un gráfico de dispersión en el que los valores de los períodos se colocarán en el eje de abcisas y los valores de la función en el eje de ordenadas.

2. ¿Cómo se modifica s - 1 (0; n; i) cuando aumenta i o cuando aumenta n?. Justifique su respuesta.

Puesto que: s -1 (0; n; i) = v . s -1 (1 ; n; i) = v . i / [ (1 + i ) n – 1] y dado que si i es fijo, el numerador es menor que el denominador s -1 (0; n; i) decrece cuando crece n.

Además si n es fijo, también el numerador es menor que el denominador y por lo tanto la función s - 1 (0; n; i) decrece si i aumenta.

Esto significa, en general, que la cuota para constituir un cierto valor final disminuye si aumentan el número de períodos o la tasa de interés.

2. ¿Cómo explica, en términos financieros, que sea razonable esperar que s -1 (1; n; i) disminuya cuando aumenta n?

Puesto que la tasa de interés es constante, para constituir un valor final dado se requiere un número especificado de cuotas. Si este número aumenta, debe aumentar el valor final, pero como este es fijo por hipótesis y para no caer en una contradicción, entonces deberá disminuir el monto de la cuota, en este caso s -1 (1; n; i).

3. ¿Como explica, en términos financieros, que es razonable esperar que s -1 (1; n; i) disminuya cuando aumenta i?

-79-

Un razonamiento similar al que aplicamos en el ejercicio anterior muestra que si el número de cuotas es constante, para constituir un valor final dado se requiere un número especificado de cuotas. Si la tasa de interés aumenta, debe aumentar el valor final de las cuotas, pero como este es fijo por hipótesis y para no caer en una contradicción, entonces deberá disminuir el monto de la cuota, en este caso s -1 (1; n; i).

5. Verifique la fórmula s -1 (1; n; i) = - s -1 (1; n +1; i) . a –1 (1; n; i), considerando, por ejemplo, n = 10 e i = 0,05. - s -1 (1; 11 ; 0,05) . a –1 (1; 10; 0,05) = - 0,07038889 * 0,12950457= - 0,00911568

s -1 (1; 11 ; 0,05) - s -1 (1; 10; 0,05) = 0,07038889 – 0,07950457 = - 0,00911568

11.7 Análisis de a -1 (1; n; i)

El gráfico de a-1 (1; n; 0,05) se presenta a continuación:

a-1 (1; n; 0,05).

a-1 (1; n; 0,05). 0,05

0 nSe hace notar que la forma de esta función se deduce de la gráfica de s -1 (1; n; i) puesto

que s -1 (1; n; i) + i = a -1 (1; n; i); es decir, que para i fijo, a-1 (1; n; i) difiere en una constante, i, de s -1 (1; n; i) .

Teniendo en cuenta que a (1; n; i) puede escribirse como:

1 - v n 1 1 a (1; n; i) = = - i i i (1+i)n

resulta: 1 a -1 (1; n; i) = (11.7.1) 1 1 - i i ( 1+i )n

Si i se mantiene fijo y se hace aumentar n, el segundo término del denominador se -80-

anula y se verifica que a - 1 (1; n; i) i. (En el ejemplo 11.3 hemos visto que a (1; n; i) 1/ i si n ).

Desde el punto de vista financiero este comportamiento se explica por el hecho que cuando el número de cuotas es tan grande como se quiera, cada cuota contiene una fracción despreciable de capital y por lo tanto esta sólo incluye el interés i, por el uso de ese capital.

Se puede comprobar en (11.7.1) que si n se mantiene fijo e i aumenta, entonces aumenta a - 1 (1; n; i), ya que ambos términos del denominador tienden a cero. Esto también puede explicarse en términos financieros, porque para saldar un préstamo unitario en n períodos hay que abonar una cuota a - 1 (1; n; i). La suba de la tasa de interés hace subir el interés contenido en la cuota y por lo tanto esta aumenta; la suba indefinida de la tasa de interés provoca la suba indefinida de la cuota sin que lo compense el decrecimiento que experimenta la amortización del capital, dado por s-1 (1; n; i), que declina cuando i aumenta, tal como hemos visto en el punto 11.5.

11.8. Ejercicios

1. Grafique:

a) a - 1 (1; 10; i) b) a - 1 (1; n; 0,05) c) a- 1 (0; 10; i)

Preferentemente emplee el programa Excel.

2. Analice el comportamiento de a - 1 (0; n; i), cuando varía n o cuando varía i.

Puesto que: a - 1 (0; n; i) = v a (1; n; i) y tomando en cuenta (11. 7. 1) resulta:

1 a -1 (0; n; i) = v 1 1 - i i ( 1+i )n

El razonamiento es similar al que hemos seguido en (11.7.1). Se puede comprobar en que

si n se mantiene fijo e i aumenta, entonces aumenta a - 1 (0; n; i), ya que todos los términos que figuran en el denominador tienden a cero. Esto también puede explicarse en términos financieros, porque para saldar un préstamo unitario en n períodos hay que abonar una cuota a - 1 (1; n; i). La suba de la tasa de interés hace subir el interés contenido en la cuota y por lo tanto esta aumenta.

Por otra parte, si i permanece constante y aumenta n, entonces, considerando la fórmula;a -1 (0; n; i) = v i / ( 1 - v n ) se ve que v . i y 1 / i permanecen constantes, en tanto que v n

-81-disminuye y ( 1 - v n ) aumenta, así que la cuota a -1 (0; n; i) se reduce.

4. Probar que si crece n, a -1 (1; n; i) = s -1 (1; n; i) = s -1 (1; n +1; i) . a –1 (1; n; i),

a -1 (1; n; i) = a -1 (1; n + 1; i) - a -1 (1; n ; i)

Si se escribe: i ( 1 + i ) n + 1 i ( 1 + i ) n - ( 1 + i ) n + 1 - 1 ( 1 + i ) n - 1

y se efectúan las sumas resulta que esta expresión es igual a:

- i 2 (1 + i ) n

[ ( 1 + i ) n + 1 - 1] [ ( 1 + i ) n - 1]

Así que: a -1 (1; n; i) = s -1 (1; n; i) = s -1 (1; n +1; i) . a –1 (1; n; i).

Verificaremos la fórmula para n = 10 e i = 0,05.

- s -1 (1; 11 ; 0,05) . a –1 (1; 10; 0,05) = - 0,07038889 * 0,12950457= - 0,00911568

a -1 (1; 11 ; 0,05) - a -1 (1; 10; 0,05) = 0,12038889 – 0,12950457 = - 0,00911568

-82-CAPITULO 12. RENTAS PERPETUAS Y DIFERIDAS.

12.1 Rentas perpetuas.

Una renta perpetua, como su nombre lo indica no termina nunca. Veremos que en las rentas perpetuas importan los valores actuales ya que los valores finales carecen de sentido financiero. Entonces pueden ser consideradas como préstamos y su naturaleza es tal que nunca se devuelve el capital sino que se abonan periódicamente intereses.

El valor actual de una renta perpetua, que denotaremos mediante VA (1; ; i) se obtiene al hacer tender n a ; es decir:

VA (1; ; i) = lim VA (1; n; i) = c. lim a (1; n; i) = c. a (1; ; i) n n

Hemos visto en el Ejemplo 11.3 que ese límite existe y es igual a 1 / i. Por lo tanto: 1 VA (1; ; i) = c (12.1.1) i

Se hace notar que para que exista una renta perpetua se debe declarar explícitamente este hecho y el valor presente de la renta siempre será c .(1 / i ). La renta, teóricamente, no acaba nunca y el préstamo no debería tener cláusulas de rescisión pues dejaría de constituir una renta perpetua. Los casos prácticos de emisión de rentas perpetuas son muy escasos.

Ejemplo 12.1.1.

El gobierno del país XX emite una renta perpetua de 1.000 pesos valor nominal, al 5% anual de interés. Se desea saber el precio al que lanzará la emisión.

1 VA (1; ; 0,05) = $ 50 x = $ 1.000 0,05

Un inversor que espera obtener, digamos un rendimiento del 5,20% anual deberá ofrecer:

1 VA (1; ; 0,0520) = 50 $ x = $ 961,54 0,0520

El cálculo de la cuota de la renta perpetua, a -1 (1; ; i), es sencilla ya que a partir de la

-83-fórmula: VA (1; ; i) = c. a (1; ; i), donde a (1; ; i) = 1 / i resulta:

c = VA (1; ; i) . a -1 (1; n; i) = VA (1; ; i) . i

En el ejemplo 12.1.1 en el que el gobierno del país XX emite una renta perpetua de 1.000 pesos valor nominal, al 5% anual de interés, la cuota resulta:

c = $ 1.000 x 0,05 = $ 50

12.2 Ejercicios

1. Efectúe el gráfico de a (1; ; i), haciendo variar a i.

El gráfico de a (1; ; i) haciendo variar a i consiste en el gráfico de 1/ i. Como los valores de i son no negativos se trata de la rama de una hipérbola equilátera que corresponde al primer cuadrante.

Se puede comprobar, por ejemplo, que un aumento de la tasa de interés en una cierta proporción modifica el valor de a (1; ; i) en la misma proporción.

Por ejemplo; si i = 0,05 entonces a (1; ; 0,05) = 1/ 0,05 = 20. Si i = 0,08 entonces, resulta a (1; ; 0,08 ) = 1 / 0,08 = 12,5. La tasa de interés aumentó 37,5% y otro tanto lo hizo a (1; ; i).

2. Explique el significado de a (1; ; i). Efectúe un esquema utilizando el eje de tiempo 0 1 2 ........ n n+1 ........

a (1; ; i) 1 1 ........ 1 1 ........

a (1; ; i) es el valor actual de infinitos pagos periódicos unitarios, abonados por período vencido, valuados a la tasa i según las reglas del interés compuesto.

3. ¿Es correcta la igualdad? a (0; ; i) = 1 / d, donde d es la tasa de descuento.

Explique y/o demuestre. Sugerencia, puede utilizar la fórmula: a (0; ; i) -1 = a (1; ; i).

Esta última fórmula es inmediata y se puede obtener simplemente observando el

esquema anterior. Partiendo de ella se puede obtener: a (0; ; i) = 1 + a (1; ; i) es

decir; a (0; ; i) = 1 + 1 / i = (1+ i ) / i y teniendo en cuenta que d = i / ( 1 + i ) resulta: a (0; ; i) = (1+ i ) / i = 1 / d.

4. Verifique la fórmula anterior para i = 0,05.-84-

a (1; ; 0,05) = 1 / 0,05 = 20 ; por otra parte: a (0; ; 0,05) = 21 y dado que la tasa de descuento d = 0,05 / 1,05 = 0,047619 resultará: a (0; ; 0,05) = 1 / 0,047619 = 21.

5. ¿Por qué se desnaturaliza la renta perpetua en caso de que haya cláusulas de rescisión?

Si existieran cláusulas de rescisión la renta perpetua dejaría de ser una renta cierta puesto que no podría conocerse en el momento de la valuación si la renta será rescatada en algún punto del tiempo o no. También la ubicación de este punto resultaría incierta. Si fuera rescatada dejaría de ser perpetua y aún la posibilidad de que este rescate ocurra desnaturaliza a la renta perpetua que se contrata y valúa considerando infinitos pagos.Por otra parte, esta incertidumbre introduce a la probabilidad en la valuación e imposibilita que esta pueda efectuarse exclusivamente con las técnicas que hemos considerado en este trabajo.

5. ¿Cuál sería el precio del bono del Ejemplo 12.1.1, “El gobierno del país XX emite una renta perpetua de 1.000 pesos valor nominal, al 5% anual de interés. Se desea saber el precio al que lanzará la emisión”, si la renta perpetua se abona por término adelantado?

1 VA (0; ; 0,05) = $ 50 x = $ 1.050 0,047619

Notemos que este ejercicio también puede resolverse como el valor actual de una renta perpetua abonada por período vencido por la que se debió abonar $ 1050 lo que da el derecho a percibir $ 50 anualmente.

6. Explique el significado de a (0; ; i).

a (0; ; i) es el valor actual de infinitos pagos periódicos unitarios, abonados por período adelantado, valuados a la tasa i según las reglas del interés compuesto.

7. Explique por qué carecen de sentido financiero los valores finales de las rentas perpetuas.

Consideremos el valor final de una renta perpetua pagadera por término vencido puesto que el razonamiento para la que se abona por período adelantado es similar.

Sabemos que el valor final s ( 1; ; i). resulta de capitalizar infinitos pagos 1 a la tasa i, obteniéndose una sucesión de términos (1 + i) k donde k siempre tiende a ser un número tan grande como se quiera. Puesto que si i > 0 entonces ( 1 + i ) > 1, tal suma carece de sentido. Inclusive, carece de sentido la suma de infinitos términos 1. Lo mismo ocurre con s ( 0; ; i).

-85-

12.3 Rentas diferidas.

Una renta diferida se caracteriza porque en el inicio de la operación existe por lo menos un período de carencia en el que no existen cobros o pagos, tanto de capital como de intereses. En esta clase de prestaciones interesan las fórmulas relativas a los valores actuales. Las fórmulas correspondientes a los valores finales carecen de sentido práctico y, por lo tanto, no serán desarrolladas.

El esquema tendiente a evaluar el valor actual de una renta diferida por p períodos, considerando pagos abonados por período vencido puede ser el siguiente:

0 1 2 p p+1 p+2 p+3 n-1 n . . . . . . . . . .

c v p+1 c c c c c

c v p+2

c v p+3

. . . . .c v n-1

c v n

* VA (p+1; n - p; i)

Con VA (p+1; n - p; i) se representa el valor en el origen, de d = (n - p) pagos equiespaciados cronológicamente, de valor constante c, el primero de los cuales se abona en el momento (p + 1 ), valuados mediante la aplicación de la tasa i, según las reglas del interés compuesto..

Se verifica inmediatamente que:

VA (p+1; n - p; i) = c v p+1 + c v p+2 + . . . + c v n

Si extraemos el factor común c v p resulta:

VA (p+1; n - p; i) = c v p [ v + v 2 + . . . + v n-p ]

La expresión entre corchetes es, por (10.1.2) y ( 10. 1. 3) igual a a (1; n-p; i), de modo que:

VA (p+1; n - p; i) = c v p a (1; n - p; i), (12.3.1)

Se hace notar que el factor v p actúa como si “desplazara” los pagos p períodos hacia el origen.

-86-El cálculo de la cuota, c, se deduce sencillamente de (12.3.1):

c = VA (p+1; n - p; i) (1 + i) p . a-1 (1; n - p; i), (12.3.2)

Se puede observar que esta cuota se distingue de la que hubiera correspondido abonar en caso de no haber diferimiento en el factor (1+i) p que representa el “recargo” por diferir los pagos por p períodos.

Ejemplo 12.3.1

El 05/04/96 se otorga un préstamo de $ 10.000 que será devuelto en 20 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, la primera de las cuales se abonará el 05/08/96. Determinar el monto de la cuota si la tasa de interés es el 2% mensual.

El esquema gráfico se puede presentar así:

05/04/96 05/05/96 05/06/96 05/07/96 05/08/96 05/09/96 05/03/98 0 1 2 3 4 5 23

c c c

* VA (4; 20; 0,02)

* 10.000Si se aplica la fórmula (12.3.2) resulta:

c = 10.000 (1,02) 3 . a-1 (1; 20; 0,02),

donde: 0,02 (1,02) 20 a (1; 20; 0,02) = = 0,06115672 (1,02) 20 - 1

de modo que:

c = $ 10.000 . 1,061208 . 0,06115672 = $ 649.-

12.4 Ejercicios

1. Verifique que VA (p+1; n - p; i) puede calcularse también como:

VA ( p+1; n – p; i) = c . v p+1 a (0; n-p; i)

Por consiguiente:-87-

c = VA ( p+1; n - p; i) (1 + i) p+1 a -1(0; n - p; i)

Verifiquemos primero que: VA ( p+1; n – p; i) = c . v p+1 . a (0; n - p; i). A partir de (12.3.1) se tiene que:

VA (p+1; n - p; i) = c v p a (1; n - p; i) (12. 4. 1)

Además por (10.2.2) se tiene: a -1(0; n - p; i) = ( 1 + i ) a (1; n - p; i), Así que es inmediato

que: a (1; n - p; i) = v a (0; n - p; i).

Si en (12.4.1) se reemplaza a (1; n - p; i) por v a (0; n - p; i), se halla la fórmula buscada, es decir: VA ( p+1; n – p; i) = c . v p+1 a (0; n-p; i)

Si se despeja c en esta última fórmula resulta:

c = VA ( p+1; n - p; i) (1 + i) p+1 a –1 (0; n - p; i)

2. Calcule el Ejemplo 12.3.1, “El 05/04/96 se otorga un préstamo de $ 10.000 que será devuelto en 20 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, la primera de las cuales se abonará el 05/08/96. Determinar el monto de la cuota si la tasa de interés es el 2% mensual” aplicando las fórmulas del ejercicio precedente.

c = VA ( p+1; n - p; i) (1 + i) p+1 a -1(0; n - p; i)

c = VA (4; 20; 0,02) . (1,02) 4 . a-1 (0; 20; 0,02)

donde: 1 0,02 (1,02) 20 a (0; 20; 0,02) = = 0,0599575668 1,02 (1,02) 20 - 1

de modo que:

c = $ 10.000 . 1,08243216 . 0, 0599575668 = $ 649.-

3. Compruebe que VA ( p+1; ; i), es decir el valor actual de una renta perpetua vencida,

diferida por p períodos es: VA ( p+1; ; i) = (1/ i) . c . v p

0 1 2 ........ p p+1 ........

a (p +1; ; i) ........ 1 1 ........

-88-

El esquema muestra que: a (p +1; ; i) = v p a (1; ; i) es decir si se actualizan p períodos los pagos unitarios a la tasa i, según las reglas del interés compuesto - cometido que cumple v p - entonces queda una renta perpetua pagadera por término vencido cuyo valor actual es a (1; ; i). Este valor actual a (1; n; i) 1/ i si n . Así que si se

reemplaza a (1; ; i) por 1 / i resulta: a (p +1; ; i) = (1/ i ) . v p . Luego:

VA ( p+1; ; i) = (1/ i) . c . v p

4. Determine cuánto dinero recibió una persona el 13/03/96 si canceló su deuda en 6 cuotas mensuales de $ 500 cada una, las que comenzó a abonar a partir del 13/08/96. La tasa aplicada a la operación es del 8% nominal anual.

La operación presenta el siguiente esquema 13/03/96 13/04/96 13/05/96 13/06/96 13/07/96 13/08/96 13/09/96 13/01/97

0 1 2 3 4 5 6 10

p = 4 c c c

?

Calculamos la tasa efectiva mensual de la operación:

0,08 x 30 i 30 = = 0,00657534 365

Aplicamos la fórmula:

VA (p+1;n-p; i) = c a (1;n-p; i) . v p

(1,00657534) 6 - 1 1 VA (4; 6; 0,00657534) = $ 500 (1,00657534)6 0,00657534 (1,00657534)4

VA (4; 6; 0,00657534) = $ 500 . 5,8643045 . 0,9741255

VA (4; 6; 0,00657534) = $ 2.856,28

Si aplicamos la fórmula del ejercicio 1, VA ( p+1; n – p; i) = c . v p+1 a (0; n - p; i)llegaremos al mismo resultado:

-89- VA (p+1; n-p; i) = c . v p +1 a (0; n-p;i)

1 (1,00657534) 6 - 1 VA (p+1;n-p; i) = $ 500 0 ,00657534

(1,00657534)5 (1,00657534)6 0,00657534

VA (p+1; n-p; i) = $ 500 . 0,9677622 . 5,8643045 .1,00657534

VA (p+1;n-p; i) = $ 2.856,28

Respuesta: El 13/03/96 recibió $ 2.856,28

5. Determinar en qué fecha un individuo debió haber pagado la primera cuota de una moratoria impositiva, sabiendo que la deuda establecida al 20/06/96 ascendía a $6.709,76, si se previó la cancelación de la misma en 24 pagos mensuales, iguales de $384 c/u, que incluyen un interés efectivo mensual del 2% y habiéndose diferido el primer pago.

Aplicaremos la fórmula del valor actual de una renta diferida que es abonada por período vencido, esto es: VA (p+1; n - p; i) = c a (1; n - p; i) . v p

Entonces: $ 6709,76 = $ 384 . (1 /1,02) p . [1,02 24 - 1] / [1,02 24 .0,02]

Si se resuelven los cálculos y se despeja p (aplicando logaritmos), se tiene que p = 4

Respuesta: El primer pago deberá efectuarlo el 20/10/96.

6. Efectuar un cuadro ilustrativo de la evolución de un préstamo de $ 10.000 otorgado el 10/3/97 y cuya cancelación se efectuará en 6 cuotas mensuales, iguales y consecutivas, pagaderas a partir del 10/6/97. La tasa pactada es del 13% efectivo anual.

El cuadro que hemos propuesto incluye las siguientes columnas: fecha, saldo del préstamo es decir, el monto de la deuda, las partes constitutivas de la cuota: amortización e interés, la cuota y el total amortizado. Señalemos que la cuota la hemos calculado mediante la aplicación de la fórmula VA (p+1; n - p; i) = c a (1; n - p; i) . v p es decir,

haciendo: c = $ 10.000 . a -1 (1; 6; 0,010096) . (1 / 1,010096 ) 2 = $ 1761,08. El interés se calculó aplicando la tasa al saldo de la deuda y la amortización se obtuvo restando el interés de la cuota. El total amortizado es la suma de las respectivas amortizaciones.

-90-

FECHA SALDO INTERÉS AMORTIZACIÓN CUOTATOTAL

AMORTIZADO

10/03/97 $ 10.000,00 - - 0,00 0,0010/04/97 $ 10.000,00 (100,96) - 0,00 -100,9610/05/97 $ 10.100,96 (101,98) - 0,00 -202,94

10/06/97 $ 10.202,94 103,01 1658,07 $ 1.761,08 1.455,1310/07/97 $ 8.544,87 86,27 1674,81 $ 1.761,08 3.129,9410/08/97 $ 6.870,06 69,36 1.691,72 $ 1.761,08 4.821,6610/09/97 $ 5.178,34 52,28 1.708,80 $ 1.761,08 6.530,4610/10/97 $ 3.469,54 35,03 1.726,05 $ 1.761,08 8.256,5110/11/97 $ 1.743,49 17,60 1.743,48 $ 1.761,08 10.000,00

Entre paréntesis se consignaron los intereses que no se abonaron y que se incorporan al monto adeudado.

7. Determinar, considerando una tasa efectiva mensual del 1%, el valor actual al 22/10/96 del siguiente flujo de fondos:

22/10/96 22/11/96 22/12/96 22/01/97 22/02/97 22/03/97 22/04/97 22/05/97 22/08/97 22/09/97

$ 1.000 $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000

?

(1+0,01) 3 - 1 1 (1+0,01) 2 - 1 1 VALOR ACTUAL = $1.000 + (1+0,01) 3 0,01 (1+0,01) 2 (1+0,01) 2 0,01 (1+0,01) 7

VALOR ACTUAL = $4.720,86

12. 5. Empleo del Excel .

La utilización del Excel para calcular el valor actual de las rentas diferidas se puede efectuar siguiendo un procedimiento análogo al seguido para obtener el valor actual de una renta en la que no haya ningún período de diferimiento, con la salvedad que completaremos con ceros las cuotas correspondientes a los períodos de carencia.

A modo de ejemplo calcularemos el valor actual de una renta abonada por período vencido diferida por cuatro períodos que consta de cuatro cuotas de $ 200 cada una. La tasa de interés del período es el 2%. El cuadro es el siguiente.

-91-Período Cuota Valor Actual

0 0 01 0 02 0 0

3 0 04 0 05 200 181,1461626 200 177,5942767 200 174,1120368 200 170,698074

Tasa 0,02 703,550548

Una vez completados en las columnas A y B los datos referentes a los períodos, a las cuotas y a la tasa, en la columna C se efectuó el cálculo del valor actual.

En C3 se escribió: =B3/(1+$B$13)^A3 y luego se dio Enter. A continuación se “arrastró” hasta C11. Por último se sumaron los valores en la celda C13, donde aparece el valor actual, 703,55.

También, por ejemplo, se puede calcular la tasa. Si consideramos los datos del ejemplo anterior, colocamos el cursor en una celda cualquiera y hacemos click en Herramientas y luego en Buscar objetivo aparece el cuadro Buscar objetivo. En él completamos con C13 en definir la celda, con 600 en Con el valor y con B13 para cambiar la celda.

Período Cuota Valor Actual

0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 200 160,1441496 200 153,1818437 200 146,5222268 200 140,152137

Tasa 0,04545124 600,000354

La nueva tasa, correspondiente a un valor actual de 600 aparece en B13 y es 4,545124%.

-92-