Capítulo 11 (Osciladores)-Rashid-por GEORGE2

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Osciladores'Contenido del captulo11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.611.7

Introduccin Principios de operacin de los osci1adores Osci1adores de corrimiento de fase ,Osciladores de cuadratura Osciladores trifsicos Osciladores Osciladores de puente de Wien de Colpitts,

11.8 11.9 11.10 11.11

Osci1adores de Hartley Osci1adores de cristal Osci1adores sintonizados por filtro activo Diseo de osciladores~ REFERENCIAS DE REPASO ~ PROBLEMAS

RESUMEN PREGUNTAS

,L

r.~\~~

11.1Introducci6n

De la seccin 10.11, se sabe que un amplificador con retroalimentacin negativa ser inestable si la magnitud de la ganancia de lazo es mayor o igual que 1, y su corrimiento en fase es de ::t 180. Bajo estas condiciones, la retroalimentacin se hace positiva 'f la salida del amplificador oscila. Un oscilador es un circuito que genera una forma de onda repetitiva de amplitud fija a una frecuencia fija, sin ninguna seal externa de entrada, Una forma de onda con esta caracterstica se puede obtener al aplicar retroalimentacin positiva a los amplificadores. La retroalimentacin positiva proporciona suficiente seal de retroalimentacin para mantener las oscilaciones. Aunque stas son muy poco deseables en los circuitos de amplificacin lineal, los osciladores se disean especficamente para producir una oscilacin contro1adfl y predecible. Por tanto la estrategia para el diseo de los osciladores es bastante diferente de la correspondiente al diseo de los amplificadores lineales. Ocasionalmente los osciladores tienen entradas que se utilizan para controlar la frecuencia o para sincronizar las oscilaciones con una referencia externa. Los osciladores son utilizados en muchos crcuitos electrnicos, tales como radios, televisores, computadoras y equipo de comunicacin. Los objetivos de aprendizaje de este captulo son los siguientes: Aprender sobre los principios de operacin de los osciladores para la generacin de un voltaje senoidal y las condiciones requeridas par~ oscilaciones sostenidas Examinar los tipos de oscilado res Analizar y disear un circuito osci1ador y hacer que un amplificador funcione como oscilador 541

542

CAPITULO 11

~

OSCILADORES

:

11.2Principios de operacin de los osciladores

Un oscilador es un amplificador con retroalimentacin positiva. El diagrama de bloques de un amplificador con retroalimentacin positiva, que aparece n la figura 11.1 (a), sugiere las relaciones siguiet:tes:Ve

= vi += AVe

vf

Vo

vf={3vo

Utilizando estas relaciones, se obtiene la ganancia en voltaje de lazo cerrado A(Vo

AA{3

(11.1)

Af

= ~ = 1-

mismo que, haciendo 1 - A{3 = O, se puede hacer muy grande. Esto es, puede obtenerse una salida de una magnitudrazonable con una seal de entrada de valor muy pequeo, que tiende a cero, segn se puede observar en la figura ll.l(b). Por tanto, cuando 1 - A{3 = O, el amplificador ser inestable, lo que da la ganancia de lazo comoA{3

=1 =1

(11.2)

Expresando

la ecuacin (11.2) en forma polar, se obtieneA{3

LO o

1

L360

(11.3)

FIGURA 11.1Diagrama de bloques de un osciladorVi

=O

~~(f.,

-1!~~_;7

l

Circuito retroalimentacin

(a) Retroalimentacin

(b) Oscilador

El anlisis anterior nos lleva a los siguientes criterios de diseo para los osciladores:

l.

La magnitud de la ganancia de lazo I A{3, a la frecuencia de oscilacin deseada, debe ser la unidad o ligeramente mayor.cjJ,

2. El corrimiento en fase total cin normalmente ponentes.

a esa misma frecuencia, debe ser 0 o 3600 los valores de los com-

3. Las primeras dos condiciones no deben satisfacerse a otras frecuencias. Esta situase cumple al seleccionar cuidadosamente

4. Las dos primeras condiciones deben seguir cumplindose

conforme los valores de los parmetros cambian como respuesta a la tolerancia de los componentes, cambios en la temperatura, envejecimiento y remplazos de dispositivos. El cumplimiento de este criterio a menudo requiere consideraciones especiales de diseo.

Si un amplificador proporciona un corrimiento de fase de 180, el circuito de retroalimentacin debe proporcionar un corrimiento en fase adicional de 1800, de forma que el corrimiento en fase total alrededor del lazo sea de 360. El tipo de forma de onda generado por un oscilador depende de los tipos de componentes utilizados en el circuito; por tanto, la forma de onda puede ser senoidal, cuadrada o triangular. La frecuencia de oscilacin queda determinada por los componentes de la retroalimentacin. Los componentes RC generan una forma de onda senoidal a las frecuencias de audio -esto es, desde varios hertz (Hz) hasta varios kilohertz (kHz). Los componentes LC generan una onda cuadrada a frecuencias de radio -esto es, desde los 100 kHz hasta los 100 MHz.

________

.~~---------------------------.

_ ..----_ .._--_.

0----

SECCIN

11.2

PRINCIPIOS

DE OPERACIN

DE LOS OSCILADORES

543

Los cristales generan una onda triangular o en diente de sierra en una amplia gama -esto es, desde los 10 kHz hasta los 10 MHz. Los oscHadores pueden ser clasificados en muchos tipos, dependiendo de los componentes de retroalimentacin, de los amplificadores y de las topologas de circuito utilizadas [2]. En este captulo se analizarn los siguientes tipos de osciladores: osciladores de corrimiento de fase, osciladore; de cuadratura, osciladores trifsicos, osciladores de puente de Wien, osciladores de Colpitts, osciladores de Hartley, osciladores de cristal y osciladores sintonizados por filtro activo.

EJEMPLO 11.1

Determinacin de la ganancia y de la fase para la oscilacin En la figura 11.2 se muestra el diagrama de bloques de un oscilador. Determinar los valores de la ganancia A y del ngulo de fase e que producirn una oscilacin estable.

I

I

FIGURA 11.2Amplificador inversor AL 1800

Circuito oscilador

II

Atenuador 0.01 L 00

Amplificador no inversor 10 L 0

Amplificador de desplazamiento de fase0.5

Le

SOLUCIN

.Aplicando la condicin de la ecuacin (11.3), se sabe que la ganancia de lazo debe ser A L 1800 X 0.01 LOa X 0.5 Le X de la cual se obtiene

la

LOa = 1 L360

Ay

X 0.01 X 0.5 X la

= loAo

=

1/(0.01

X 0.5 X la) 1800

= 20

180

+ O+ e + O=

360

e = 360 - 180 =

.I

EJEMPLO 11.2

Determinacin de la frecuencia y las condiciones para sostener la oscilacin El amplificador que se muestra en la figura 11.3 tiene una ganancia en voltaje A = 50, una resistencia de entrada R = 10 k.n y una resistencia de salida Ro = 200 .n. Determinar la frecuencia de resonancia Wo y los valores de R y de R3 que mantendrn la oscilacin.

FIGURA 11.3

Amplificador

Le retroalimentado

e '! I1

!}.~

-

R

..L. _.

I

544

CAPTULO

11

~

OSCILADORES

SOLUCIN

R est en paralelo con R, y sea R1 == R R. Adems, Ro est en serie con RJ, as que RF == Ro + RJ El circuito equivalente aparece en la figura 11.4, misma que representa al amplificador como un amplificador ideal de voltaje. La funcin de transferencia de retroalimentacin b del circuito retroalimentado est dada por11

.

Vf.

jwLl1 (-j/wC)

IIR +RF

(3(}w)== Vo (}w)==.jwLII(-j/wC)IIR

que se puede simplificar para dar la ganancia de lazo como A{3(jw)==

RF(l - w2LC) Esto proporcionar un corrimiento1Wo== ,~

jwLA + jwL(l

+ RF/R)wo' dada por

(11.4)

en fase de 00 en la frecuencia de resonancia

vLC

(en rad/s) .

(11.5)

A esta frecuencia, la magnitud de A{3(jw) se convierte enA (11.6)

IA{3(jw) I

==

1 + RF/R

que debe ser igual a 1, y da la condicin para la oscilacin comoRF==

A - 1 49. Si R 49RR R

(11.7)

R

Esto es, para A Por tanto,

==

50, RF/RRoRJ

==

==

11

==

5 kG, entonces, para R

==

10 kG, R

==

10 kG.

RF

==

+

RJ

==

==

245 kG

As, para Ro

==

200 G,

==

244.8 kG.

FIGURA

1.4+Vi

Circuito equivalente

para el ejemplo 11.2

+Vf

+L

.

Estabilidad en la frecuencia

La capacidad de un oscilador para oscilar a una frecuencia exacta se conoce como estabilidad en la frecuencia. La frecuencia de oscilacin es una funcin de los componentes del circuito (por ejemplo, los componentes Le), y puede cambiar como respuesta a cambios en la temperatura, remplazo de dispositivos o a elementos parsitos. Se puede obtener una buena estabilidad en la frecuencia haciendo que el corrimiento en fase sea una funcin fuerte de la frecuencia en la resonancia. Esto es, Idjdw, Por lo general, los osciladores LC y de cristal se utilizan para generar seales de alta frecuencia; los osciladores RC son utilizados principalmente para aplicaciones de audiofrecuencia.

Estabilidad en la amplitud

},t1

i

Al igual que en la frecuencia, la ganancia de los amplificadores reales puede cambiar como respuesta a modificaciones en los parmetros, como la temperatura, el envejecimiento y el punto de operacin. Por tanto, I Af31 puede caer por debajo de la unidad. Si la magnitud de Af3 cae por debajo de la unidad, el circuito oscilador deja de oscilar. En la prctica, el oscilador se disea con un valor I Af3lligeramente superior a la unidad -por ejemplo, en un 5%- a la frecuencia de oscilacin. Cuanto mayor sea el valor de I Af3I, mayores sern la amplitud de la seal de salida y su distorsin. Normalmente, esta distorsin disminuir la ganancia A al valor requerido para sostener la oscilacin. Para una buena estabilidad, el cambio en la ganancia A ante un cambio en la amplitud del voltaje de salida Vo debe hacerse bastante grande; un incremento de la amplitud debe dar como resultado una reduccin de ganancia. Esto es, dAjdvo debe ser un nmero negativo grande. A menudo, el oscilador se estabiliza agregando dispositivos limitadores o elementos no lineales, como diodos. ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIN 11.2

f

A fin de sostener las oscilaciones, la magnitud de la ganancia de lazo IA,B I debe ser la unidad o ligeramente mayor a la frecuencia de oscilacin deseada, y el corrimiento en fase total 4J de la ganancia de lazo debe ser igual a 00 o 3600 a la misma frecuencia. Para una buena estabilidad en la frecuencia, el corrimiento en fase debe ser una funcin fuerte de la frecuencia en la resonancia. Esto es, el factor Q debe ser elevado. Para una buena estabilidad, el cambio en la ganancia ante un cambio en la amplitud del voltaje de salida Vo debe hacerse grande, lo que debe dar como resultado un incremento en la amplitud a partir de la reduccin en la ganancia.

11.3Osciladores de corrimiento de faseFIGURA 11.5 Oscilador de corrimiento de fase

Un oscilador de corrimiento de fase est formado por un amplificador inversor con un circuito de retroalimentacin positiva. El amplificador da un corrimiento en fase de 1800, Y el circuito de retroalimentacin da otro corrimiento en fase de 1800, por lo que el corrimiento en fase total alrededor del lazo es de 3600 En la figura 11.5(a) se muestra un oscilador de corrimiento de fase formado por un amplificador operacional inversor con retroalimen-

R

(b) Red de retroalimentacin

.~......

ITT~(a) Oscilador

-

546

CAPTULO

11

~

OSCILADORES

tacin positiva. El circuito de retroalimentacin proporciona retroalimentacin de voltaje , de la salida a la entrada del amplificador. Cualquier seal que aparezca en la terminal inversora se corre 180 en la salida. Por tanto, se requiere de un corrimiento adicional de 180 para la oscilacin a una frecuencia especficafo' a fin de obtener un corrimiento de fase total alrededor del lazo, igual a 360. Como se puede observar en la figura l1.5(b), la red de retroalimentacin est formada por re~istores y capacitores, por 10 que este tipo de oscilador tambin se conoce como oscilador Re. La funcin de transferencia de la red de retroalimentacin est dada porf3(s)

= --

Vf(s)

Vo(s)

= --------R3C3s3

R3C3s3

(11.8)

+

6R2C2s2

+ SRCs + 1

(ver el problema 11.3). La ganancia en voltaje de lazo cerrado del circuito con amplificador operacional esA(s)

= __

Vo(s)o

= --

RF

(11.9)

Vf(s) En vist~ de queAf3

R

=

1 para un oscilador, de las ecuaciones (11.8) y (11.9), se obtiene

__RF[ R3C3s3 R

=1 +R3C3s3 6R2C2s2

(1110)

+ SRCs + 1 1

. ,los elementos del denominador,

Remplazando se llega a

s

= jw

en la ecuacin (11.10) io~celando "",.=R(-jR3C3W3-

-RF(-jR3C3w3)

6R'Tc2w2

+ jSRCw + 1)

Igualando con cero las partes reales, se obtiene R( -6R2C2w2

+

1)

=OWo

con lo cual la frecuencia de oscilacin 1 w = w =o21TJ:

es (en rad/s)(11.11)

o

= ---

V6RC

donde fo es la frecuencia en Hz. Al igualar las partes imaginarias en ambos miembros, se obtiene

la cual da(11.12)

RF

= R 1[ R2C2w2 -S =

Wo

11 de la ecuacin (11.11) en la (11.12), se tlega a(11.13)

Si se sustituye el valor de wR

~=29R

que da la condicin para oscilaciones sostenidas. Esta relacin no controla la amplitud pico del voltaje de salida. La frecuencia de oscilacin Wo de la ecuacin (11.11) es inversamente proporcional al producto RC, suponiendo que tanto las resistencias como las capacitancias son iguales. Tericamente, se puede variar la frecuencia modificando ya sea R o e. En la prctica, por lo general es ms fcil variar R de manera continua y variar C de manera discreta. En cada intervalo de frecuencias se introducen capacitores idnticos en el circuito. Tambin, para variar la frecuencia de manera continua, en cada intervalo de frecuencia se utilizan resistencias idnticas montadas sobre una misma flecha, que juntas se conocen como potencimetro calibrado. Obsrvese que el hecho de ajustar la ganancia de lazo a la unidad no es un mtodo confiable para disear un oscilador. Para estabilizar el oscilador, por lo general es necesario limitar el voltaje de salida introduciendo alguna no alinealidad. Se puede conseguir la esta#

~.:-,

SECCIN

11.3

OSCILADORES

DE CORRIMIENTO

DE FASE

547

FIGuRA 11.6Estabilizacin de un oscilador de corrimiento de faseR

e+R

e

e+

o

(a) Estabilizacin de amplitud

(b) Caractersticas

vo-vx

bilidad agregando dos diodos zener en serie con la resistencia RB, como se muestra en la figura 11.6(a). Siempre que la magnitud del voltaje vf a travs de R 1 sea menor que el voltaje de ruptura de Vz, los diodos zeneractuarn como un circuito abierto, y--Ia ganancia del amplificador ser

IAll

=R

RF

(11.14)

1

En cuanto la magnitud de vf empieza a crecer por encima de Vz, los diodos zener conducen, y de repente el resistor RB se pone en paralelo con RF, de manera que se reduce la ganancia. La nueva ganancia se convierte en

I Azl

=

RF ~ 1 RB

(11.15)

la cual es menor que lA 1 l. Adicionalmente, si la amplitud de salida empieza a 'reducirse, la ganancia IAl se incrementa de nuevo. La caracterstica vo-vf del amplificador se muestra en la figura 11.6 (b).

EJEMPLO 11.3

Diseo d'e un oscilador

de corrimiento

de fase de fase de la figura 1 I.S(a), de manera que la frecuencia de

rn1

(a) Disear el oscilador de corrimiento oscilacin sea fo = 400 Hz.

(b). Utilizar PSpice/SPICE para trazar la grfica de la respuesta transitoria del voltaje de salida vo(t) del inciso (a), desde O a 4 ms. Suponer que Vcc = VEE = 12 V.

SOLUCIONe

(a) Se pueden utilizar los siguientes pasos para completar el diseno. Paso

1.

Elegir un valor adecuado de C: sea C 1 =---=

= 0.1

.LE

Paso 2. Calcular el valor de R con la ecuacin (11.11):.'!'.1-

R

.12Tr X Y6X

= 1624.0.X

1-

2TrY6foCEscoger R

400

0.1

.LF

1-

=

1.7 k.o. (utIlizar un potencimetro

de 2.7 kD).

./

I/

CAPTULO

11

OSCILADORES

Paso 3. Para evitar cargar e] amplificador operacional con la red RC, elegir una R I que sea mucho ms grande que R haciendo que R 2: lOR. Por tanto, seaJ

RI

=

IOR

= 10RF

X 1.7 kD

= 17 kD

Paso 4. Escoger el valor deRF

con la ecuacin (11.13):

=

29R I

= 29 x 17 kD = 493 kla tolerancia, eljase un potencimetroRF

A fin de tomar en consideracin

de 500 kD.

(b) E] oscilador de corrimiento de fase con los valores calculados de los parmetros de circuito, aparece en la figura] 1.7. E] archivo de circuito para la simulacin con PSpice es el siguiente:Ejemplo Rl RF *ROM R C RX CX RY CY VCC VEE 4 4 7 7 8 8 5 O 2 2 1 O 7 O 8 O 3 O 6 4 3 O 11.3 Oscilador 17K 493K 16. 95K RO.M no se incluye de corrimiento de fase

1624 O .1UF 1624 O. IUF 1624 O .IUF DC DC 12V 12V de la biblioteca de PSpice, para el macromodelo de amplificador opeIC=lV Establece en 1 V el voltaje inicial del capacitar

*

Invoca al archivo NOM.LIB racional UA741

.LI8 NOM.LIB Xl 5UA741

Invoca

al macromodelo

del amplificador

operacional

*

vi+ vi- .~+ vp- vo 100US 4MS UlC Usa las condiciones iniciales

.

UA741

.TRAN .PROBE .END

/-

FIGURA 11.7corrimiento con PSpice

Osci]ador de

de fase para la simulacin

FIGURA 11.8 Grfica producida por PSpice para el voltaje de salida de] ejemplo 1 ] .3

RI 17 kD 6VEE

2

2_

3 Vcc --

12V'-f VI12V-;rC, 1 V 0.1 fl.F

03

Cx

4

0.1 fl.F

"Cy 0.1 fl.F

+"f 1624 D

+

}

1624 D. ~16;i

R,h-~DVo ==

La grfica producida PSpice para el voltaje de salida cual da un voltaje pico a pico Vpp = 6.78 410 Hz (el valor esperado era 400 Hz).

Y(RF:2) aparece en la figura 11.8, la \.875 m) =

+

6.65 = ]3.43 Y ajo = 1/(4.3125 m -

SECCIN

11.4

OSCILADORES

DE CUADRATURA

549

~ NOTAS: .~,.~.'.~

1. Al observar con cuidado se notar que la amplitud del voltaje de salida decae lentamente, y la oscilacin no se sostendr por mucho tiempo. A menudo, para estabilizar el oscilador, es necesario aadir un dispositivo no lineaL 2. Se asign al capacitor C un voltaje inicial de 1 V a fin de iniciar el oscilador, y la instruccin UIC (usa las condiciones iniciale~) se utiliza en el anlisis transitorio. De lo contrario, PSpice calcular primero los valores de polarizacin y a continuacin utilizar estos valores para encontrar las soluciones, y el circuito no oscilar. En la prctica, el ruido aleatorio o los transitorios pueden hacer que las oscilaciones inicien, y se sostendrn por la retroalimentacin de la seal apropiada.

ASPECTO PRINCIPAL DE LA SECCION 11.3 El oscilador de corrimiento de fase utiliza un amplificador inversor y una red de corrimiento de fase para satisfacer los requisitos de ganancia ae lazo unitaria con un corrimiento en fase de 0 o 360. La frecuencia de oscilacin Wo es inversamente proporcional al producto Re de la red de retroalimentacin. Sin embargo, a menudo se introduce un dispositivo no lineal a fin estabilizar el oscilador.

I

.~ ,

11.4Osciladores de cuadratura

Un oscilador de cuadratura, como el que se muestra en la figura 11.9(a), genera dos seales (seno y coseno) que estn en cuadratura -esto es, desfasadas 90-. La ubicacin real de las sales seno y coseno es arbitraria. En la figura 11.9(a), la salida del amplificador Al est sealada como seno, y la del amplificador Az, como coseno. Este oscilador requiere un amplificador operacional dua1. El amplificador Az funcipna como integrador inversor, y proporciona un corrimiento en fase de -270 (es decir, 90); el amplificador Al' combinado con la red de retroalimentacin, funciona como integrador no inversor, y proporciona los -90 restantes (o 270) para dar el corrimiento en fase total de 360 requerido para satisfacerla condicin de oscilacin. La funcin de transferencia de la red de retroalimentacin que aparece en la figura 11.9(b), est dada porVf(S)

1/ Cs0;=

1

f3(s)

0;=

Vo(s)

R

+ 1/ Cs

1

+ RCs

(11.16 )

FIGURA 11.9

Oscilador de cuadraturaEstabilizacin

senoR

C coseno

+

R

+Vf

+

IC(al Oscilador (b) Red de retroalimentacin

50

CAPTULO 11

~

OSCILADORES

Si Vol es el voltaje en la salida del amplificador A , el voltaje est dado porVRV01 =---R RCsVo1

Vx,

en su terminal inversora,

x

+ l/Cs

1

+ RCs

(11.17)

Como el voltaje diferencial entre las terminales del amplificador operacional es muy pequeo (Vd = O), se puedeVf

=

Vx -

Vd = Vx

\

Esto esRCsVo

, ! ,(11.18) del amplificadorA,1

=

1

+ RCs

la cual da funcin de transferencia tacin, comoVol (s)

incluyendo la red de retroalimen-

f3G(s)

=

Vo (s)

=

RCs

(11.19) .'

En el dominio de la frecuencia, las ecuaciones (11.16) y 01.19) se convierten, respectivamente, enf3(jw)

= ...

1

1 + jwRC 1

...jwRC

(11.20)

.Y

f3G(]w)

= jwRC = Va.

(11.21)

La funcin de transferencia G.

del amplificador A2 es

(]w) = -(]w)2

= --o -

1

= --

j

Vol

]wRC

wRCf3G1(jw)

que da un corrimiento de -90.

en fase de 90. Por tanto

debe dar un conimiento

de fase

l' ;. I

A fin de obtener un corrimiento en fase de -90, el trmino I f3G(jw) I de la ecuacin (11.21) debe ser igual a la unidad. Esto es, wRC = 1, Y la frecuencia de oscilacin estar dada por1 fa

=

27TRC

(en Hz)

(11.22)

A esta frecuencia, la magnitud de f3(jw) de la ecuacin (11.20) se convierte en1 f3

=

I f3(jw) I

=

11 ~ j

l

I

V2. 1 1

(11.23)

La ganancia de lazo se hacef3A(jw)

=

G7(jw)f3C(jw) -

=

C w,R]

X-.]wRC

=

-2w RC

= 1

Por tanto, la ganancia total de lazo cenadoAf

Av

de los amplificadores Al y A2 est dada por (11.24)

=-

1

f3

= V2 =

1.4142

lo que implica una ganancia constante de 1.4142. El diseo del oscilador de cuadratura es muy simple. ParaJo = 200 Hz y suponiendo que C == 0.1 ..t.F, la ecuacin (11.22) da R = 7958 fl (se utiliza un potencimetro de 10 fl). Este oscilador se puede estabilizar conectando dos diodos zener, uno contra otro, a travs de uno de los capacitores de integracin, como se muestra en la figura 11.9(a) en el rea sombreada.

I}:--'

I

''4\

SECCIN

11.5

~

OSCILADORES

TRIFSICOS

551

ASPECTO PRINCIPAL DE

L>\.

SECCIN 11.4

El oscilador de cuadratura utiliza dos integradores inversores construidos con amplificadores operacionales y un desplazador de fase Re La salida puede ser seno o coseno. La frecuencia de oscilacin Wo es inversamente proporcional al producto RC de la red de retro"limentacin.

11.5Osciladores trifsicos

Un oscil~dor trifsico genera tres voltajes senoidales de igual magnitud, pero desplazados 120 uno del otro. Tienen la misma forma que los voltajes de los sistemas de energa trifsicas, y normalmente se utilizan para generar seales de control sincronizadas con el sisteI ma de energa. En la figura 11.10 se muestra un ascilador trifsico, formado por tres circuitos integradores "con prdidas", conectados en cascada con retroalimentacin unitaria. La funcin de transferencia de cada uno de los inl.egradores est dada por (11.25) En vista de quef3

= 1 para la retroalimentacin =G(s)G (s)G3(s) 1 2

unitaria, la ganancia de lazo es -(RF/R)3 (11.26)

f3A(s)

= ----------(RFCd

+ 3(RFCd + 3(RFCs) + 1= O, es ~(11.27)

Entonces, la ecuacin caracterstica,

que es el numerado; de 1 - f3A(s)

Al sustituir s = jw en la ecuacin (11.27) e igualando con cero la parte imaginaria, se obtiene la frecuencia de oscilacin Wo comowo

= --

v'3

(en rad/s)

(11.28)

RFC

FIGURA 11.10

Oscilador trifsicoEstabilizacir

R

R

eeR

+Va

+I

tZ-"

I

l_.

52

CAPTULO 11

~

OSCILADORES

Igualando con cero la parte real de la ecuacin (11.27), a esta frecuencia, se obtiene la condicin de oscilacin como (RF/R)3 = 8. Esto es,RF -=2R

(11.29)

En esta situacin, se puede detenninar la fuucin de transferencia de cada integrador a la frecuencia de oscilacin, a partir de la ecuacin (11.25). Es decir, 2G(jw)

= G2(jw) = G3(jw) = - 1+]v3';; = 1 L120 .,wt

(11.30)

Si se selecciona como referencia el voltaje.vaU), de manera queva