515

P Endiversos puntos alrededor delciclista, el aire se ve obligado a pasarpor marcadas constricciones (como entreel brazo y el tronco). Esto hace que elaire se frene, se acelere o ninguna de lasdos cosas?

Este ciclista olmpico monta una bicicletaestacionada en un tnel de viento. Obser-vando el flujo de aire en torno a su cuerpo(con la ayuda de estelas de humo), loscientficos pueden determinar qu diseosde bicicleta y tcnicas de ciclismo reducenal mnimo la resistencia del aire y aumen-tan al mximo eldesempeo.

Una propiedad importante de cualquier material es su densidad, la cual es definidacomo su masa por unidad de volumen. Un material homogneo, como el hielo o elhierro, tiene la misma densidad en todas sus partes. Usamos la letra griega p (ro) pa-ra la densidad. Si una masa m de material tiene un volumen V, la densidad p es

14.1 I Densidad

Los fluidos desempean un papel crucial en muchos aspectos de la vida cotidia-na. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan por nuestro organis-mo y controlan el clima. Los aviones vuelan en ellos y los barcos flotan en ellos. Unfluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el trmino tanto para lquidoscomo para gases. Normalmente, pensamos que los gases son fciles de comprimir yque los lquidos son casi incompresibles, empero hay casos excepcionales.

Comenzaremos nuestro estudio con la esttica de fluidos, o sea el estudio defluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equi-librio, sta se basa en la primera y tercera leyes de Newton. Exploraremos los con-ceptos clave de densidad, presin y flotacin. La dinmica de fluidos, es decir, elestudio de fluidos en movimiento, es mucho ms compleja; de hecho, es una delas ramas ms complejas de la mecnica. Por fortuna, podemos analizar muchassituaciones importantes usando modelos idealizados sencillos y los principios queya conocemos, como las leyes de Newton y la conservacin de la energa. Aun as,apenas tocaremos la superficie de este tema tah amplio e interesante.

\!

MECNICA DEFLUIDOS

La gravedad especfica de un material es la razn entre su densidad y la delagua a 4.0C, 1000 kg/rrr'; es un nmero puro sin unidades. Por ejemplo, la grave-dad especfica del aluminio es 2.7. Aunque "gravedad especfica" no es un buentrmino, pues nada tiene que ver con la gravedad; habra sido mejor la definicinde "densidad relativa".

La medicin de la densidad es una tcnica analtica importante. Por ejemplo,podemos determinar el nivel de carga de un acumulador midiendo la densidad desu electrlito, o sea una disolucin de cido sulfrico (H2S04)' Al descargarse labatera, e~H2S04 se combina con el plomo de las placas del acumulador para for-mar sulfato de plomo (PbS04) insoluble, lo que reduce la concentracin de la di-solucin. ~a densidad baja decerca de 1.30 X 103 kg/rrr' en un acumuladorcargado a rIs X 103 kg/nr' en uno descargado.

Otro ejemplo automotriz es el anticongelante permanente, que suele ser una di-solucin de etiln glicol (p = 1.12 X 10.3kg/nr') y agua, El punto de congelacinde la disolucin depende de la concentracin de glicol, el cual puede determinar-se midiendo su gravedad especfica. Tales mediciones se realizan en forma rutina-ria en los talleres de servicio automotriz por medio de un dispositivo llamadohidrmetro, el cual estudiaremos en la seccin 14.3.

*Paraobtenerlas densidadesen gramospor centmetro cbico,dividaentre 103

1 g/crrr' = 1000 kg/rrr'resulta til. En la tabla 14.1, se dan las densidades de varias sustancias comunes atemperaturas ordinarias (vase tambin la Fig. 14.1).Observe la amplia gama demagnitudes. El material ms denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio(p = 22,500 kg/rrr'), pero esto no es nada en comparacin con la densidad de losobjetos astronmicos exticos como las estrellas enanas blancas y las estrellas de

La densidad de algunos materiales vara de un punto a otro dentro del material;ejemplos de ello son la atmsfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) ylos ocanos (que son ms densos a grandes profundidades). En el caso de estos ma-teriales, la ecuacin (14.1) describe la densidad media. En general, la densidad deun material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presin.

La unidad de densidad en el SI es el kilogramo por metro cbico (1 kg/rrr').Tambin se usa mucho la unidad cgs, gramo por centmetro cbico (1 g/cnr'). Elfactor de conversin

(14.1)(definicin de densidad)m

p=-V

CAPTULO 14 I Mecnica de fluidos

,

14.1 El precio de) oro se cotiza por peso(digamos, en dlares por onza). Dado queel oro es uno de los metales ms densos, esposible almacenar una fortuna en oro en unvolumen pequeo.

516

neutrones.

Tabla 14.1 Densldadss'da algunas sustancias comunesMaterial Densidad (kg/m3)* Material Densidad (kg/m3)*Aire (1 atm, 20C) 1.20 Hierro,acero 7.8 X 103 .Etanol 0.81 X lo' Latn 8.6 X 103Benceno 0.90 X 103 Cobre 8.9 X 103Hielo 0.92 X 103 Plata 10.5 X 103Agua 1.00 X 103 Plomo 11.3 X 103Aguademar 1.03 X 103 Mercurio 13.6 X 103Sangre l.06 X 103 Oro 19.3 X 103 .Glicerina 1.26 X 103 Platino 21.4 X 103

f Concreto 2 X 103 Estrellaenanablanca 1010Aluminio 2.7 X 103 Estrellade neutrones 1018

14.2 La presin que acta sobre amboslados de un rea pequea dentro de unfluido es p = dF J.ldA.

Fuerzas normales igualesejercidas sobre ambos ladospor el fluido circundante

(14.3)

(definicin de presin)l

dFj_p=-

dA

Calcule la masa y el peso del aire de una estancia cuyo piso mide4.0 m X 5.0 ID Y que tiene una altura de 3.0 m. Qu masa y pesotiene un volumen igual de agua?

Si la presin es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de reaA, entonces

(14.2)

Cuando un fluido (lquido o gas) est en reposo, ejerce una fuerza perpendiculara cualquier superficie en contacto con l, como la pared de un recipiente o uncuerpo sumergido en el fluido. sta es la fuerza que sentimos en las piernas al me-terlas en unapiscina. Aunque el fluido global est en reposo, las molculas que locomponen estn en movimiento; la fuerza ejercida por el fluido se debe a los cho-ques de las molculas con su entorno.

Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido a cada lado de ellaejerce fuerzas iguales y opuestas sobre ella. (Si no, la superficie se acelerara y elfluido no permanecera en reposo.) Considere una superficie pequea de rea dAcentrada en un punto en el fluido; la fuerza normal que el fluido ejerce sobre cadalado es dFj_ (Fig. 14.2). Definimos la presinp en ese punto como la fuerza nor-mal por unidad de rea, es decir, la razn de,dFj_ a dA:

14.2 I Presin en un fluido

Qu volumen de agua tendra la misma masa que un metro cbico de platino? Siesa a~ua ocupara un cubo, cunto medira cada lado?

EVALUAR: El aire contenido en un cuarto pesa aproximadamentelo que pesa una persona adulta! El agua es casi mil veces ms den-sa que el aire, y su masa ypeso son mayores en la misma propor-cin. De hecho, el peso de un cuarto lleno de agua seguramentehundira el piso de una casa comn.

rea pequea dA dentro del fluido

W.gun= m.gu,g = (6.0 X 104kg) (9.8 m/s")= 5.9 X 105 N = 1.3 X 105 lb = 66 tons

magua = P.llu.V = (1000 kg/m3)( 60 m3) = 6.0 X 104 kg

El peso es

W.irc = m.",g = (12 kg)(9.8 m/s") = 700 N = 160lbLa masa de un volumen iguaLde agua es

EJECUTAR:El volumendel recinto es V= (3.0m)(4.0 m) X (5.0m)= 60 m3La masa mairo est dada por la ecuacin (14.1):

mairc = P.,,,V = (1.2 kg/m3)( 60 m3) = 72 kg

PLANTEAR: Usaremos la ecuacin (14.1) para relacionar la masa(la incgnita) con el volumen (que calculamos a partir de las di-mensiones del cuarto) y la densidad (de la tabla 14.1).

lit! !1(3[tU'IDENTIFICAR: Suponemos que el aire es homogneo, as que ladensidad es la misma en todo el cuarto. (Es verdad que el aire esmenos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero la va-riacin de densidad a lo largo de la altura de 3.0 m del cuarto esdespreciable; vase la seccin 14.2.)

Peso de un cuarto lleno de aire

El peso del aire es

51714.2 l Presin en un fluido

-

Presin, profundidad y ley de PascalSi podemos despreciar el peso del fluido, la presin en un fluido es la misma entodo su volumen. Usamos esta aproximacin al ver el esfuerzo y la deformacinde volumen en la seccin 11.4, pero muchas veces el peso del fluido no es despre-ciable. La presin atmosfrica es menor a gran altitud que al nivel del mar, lo queobliga a presurizar la cabina de un avin que vuela a 35,000 pies. Al sumergirnosen agua profunda, los odos nos indican que la presin aumenta rpidamente al au-mentar la profundidad.

Podemos deducir una relacin general entre la presin p en cualquier punto deun fluido en reposo y la altura y del punto. Supondremos que la densidad p y la

EVALUAR:'EI rea del piso esA = (4.0 m) (5.0m) = 20 ml.Por laecuacin (14.3) la fuerza total hacia abajo es

EVALUAR: Al igual que en el ejemplo 14.1, esta fuerza basta parahundirel piso. Porqu no lo hace?Porquehayuna fuerzahaciaarri-ba en el lado de abajo del piso. Si la casa tiene stano, dicha fuerzaes ejercida por el aire bajo el piso. En este caso, si despreciamosel espesordel piso, la fuerzaneta debidaa la presindel aire es cero.

IDENTIFICAR y PLANTEAR: La presin es uniforme, as que usa-mos la ecuacin (14.3) para determinar la fuerza Fl. a partir de lapresin y el rea

Fl. =pA = (1.013 x 105N/m2)(20m2)

= 2.0 X 106N = 4.5 x lOS lb = 225 toneladas.'.Ilt3t'IEn la estancia del ejemplo 14.1, gu fuerza total acta hacia abajosobre el piso debida a una presin del aire de 1.00atrn?

La fuerza del aire

......x.&l....,.....",u Enel lenguaje ordinario, las palabras "presin" y "fuerza" signifi-cancasi lo mismo, pero en la mecnicade fluidos describencantidadesdistintascon caractersticasdiferentes (Fig.14.3).Lapresinde fluidos acta perpendicu-lar a cualquier superficie en el fluido, sin importar su orientacin. Portanto, la.presin no tiene uria direccin intrnseca:esun escalar.Encambio, la fuerza esun vector con direccin definida. Recuerdeque la presin esfuerza por unidadde rea.

(Pa)"led = 1atm = 1.013 X 105Pa= 1.013 bar = 1013 milibares = 14.70 lb/pulg,?

donde F1. es la fuerza normal neta en un lado de la superficie. La unidad en el SIde la presin es el pascal, donde

1 pascal = 1 Pa = N/m2Yapresentamos el pascal en el captulo .11. Dos unidades relacionadas, que se em-plean principalmente en meteorologa, son el bar, igual a 105 Pa, y el milibar,igual a lOOPa.

La presin atmosfrica P es la presin de la atmsfera terrestre, es decir, lapresin en el fondo del mar de aire en que vivimos. Esta presin vara con el esta-do del tiempo y con la altitud. La presin atmosfrica normal al nivel del mar (va-lor medio) es 1 atmsfera (atm), definida como exactamente 101,325 Pa. Concuatro cifras significativas,

CAPTULO 14 I Mecnica de fluidos

14.3 La presin es un escalar (no tienedireccin intrnseca) y sus unidades sonnewtons por metro cuadrado. En contraste,la fuerza es un vector y sus unidades sonnewtons.

La presin no tiene direccinpropia: puede producir unafuerza dF, =p dA encualquierdireccin

518

14.6 La presin en la parte superior de ca-da columna de fluido es igual aPo, la pre-sin atmosfrica. La presin slo dependede la altura, no de la forma del recipiente,as que todas las columnas de fluido tienenla misma altura.

14.5 La presinp a una profundidad h enun fluido es mayor que en la superficie,por pgh.

14.4 Fuerzas que actan sobre unelemento de fluido en equilibrio.

519

p = Po + pgh (presin en un fluido de densidad uniforme) (14.6)\l

La presin p a una profundidad h es mayor que la presin Po en la superficie, en unacantidad pgh. Observe que la presin es la misma en cualesquier dos puntos situa-dos en el mismo nivel en el fluido. Lajorma del recipiente no importa (Fig. 14.6).

La ecuacin (14.6) nos dice que, si aumentamos la presinp en la superficie; talvez usando un pistn que embona hermticamente en el recipiente para empujar

Suele ser til expresar la ecuacin (14.5) en trminos de la profundidad bajo lasuperficie de un fluido (Fig. 14.5). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en elfluido y seap la presin en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del flui-do, donde la presin es Po (el subndice indica profundidad cero). La profundidaddel punto' es h = 12 - Yl>Yla ecuacin (14.5) se convierte en

Po - P = -pg(Y2"- :)11) = -pgh

P2 -PI = -pg(Y2 - YI) (presin en un fluido de densidad uniforme) (14.5)

(14.4)

Dividiendo entre el rea A y reacomodando, obtenemosdp-= -pgdy

Esta ecuacin indica que, siy aumenta.ji disminuye; es decir, al subir en el fluidola presin disminuye, como esperaramos. Si PI YP2 son las presiones en las altu-ras YI y Y2 respectivamente, y si p y g son constantes, entonces

-Fy = O as que pA - (p + dp)A - pgA dy = O

aceleracin debida a la gravedad g son las mismas en todo el fluido. Si el fluidoest en equilibrio, cada elemento de volumen est en equilibrio. Considere un ele-mento delgado, de altura dy (Fig. 14.4). Las superficies inferior y superior tienenrea A, y estn a distancias y y y + dy por arriba de algn nivel de referencia don-de y = O. El volumen del elemento es dV = A dy, su masa es dm = p dV = pA dy,y su peso es dw = dm g = pgA dy.

Qu otras fuerzas actan sobre este elemento? Llamemos a la presin en la su-perficie inferior p; la componente y de fuerza total hacia arriba que acta sobre esasuperficie es pA. La presin en la superficie de aniba es p 4- dp, y la componentey de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es - (p + dp)A. El elemento defluido est en equilibrio, as que la componente y de fuerza total, incluido el peso ylas fuerzas en las superficies de arriba y abajo, debe ser cero:

(a)

pA

(b)

(p + dp)A

14.2 I Presin en un t1uido

",] Klti!eaIDENTIFICAR: El agua es casi incompresible. (Imagine que trata decomprimir con un pistn un cilindro lleno de agua. [No podra hacer-lo!) Por tanto, consideramos que el fluido tiene densidad uniforme.

Un sistema de calentamiento solar del agua usa paneles solares co-locados en el techo, 12.0 m arriba del tanque de almacenamiento.La presin del agua en el nivel de los paneles es de 1 atm. Qu pre-sin absoluta hay en el tanque? Y cul es la presin manomtrica?

Presin absoluta, presin manomtrica y manmetrosSi la presin dentro de un neumtico es igual a la presin atmosfrica, el neumticoestar desinflado. La presin debe ser mayor'

14.8 Dos tipos de medidores de presin.(a) Manmetro de tubo abierto. (b) Bar-metro de mercurio.

(b)

)'2 - YI(/)

Po = O

P. + PKY2P + pg)'1(a)

As, el barmetro de mercurio indica la presin atmosfrica Po directamente por laaltura de la columna de mercurio.

En muchas aplicaciones, las presiones suelen describirse en trminos de la al-tura de la columna de mercurio correspondiente, como "pulgadas de mercurio" o"milmetros de mercurio" (abreviado mm Hg). Una presin de 1mm Hg es 1 torr, -por Evangelista Tonicelli, inventor del barmetro de mercurio. Sin embargo, estasunidades dependen de,la densidad del mercurio, que vara con la temperatura, y delvalor de g, que vara con el lugar, y por ello se prefiere el pascal como unidad depresin. '- ~

Un dispositivo comn para medir la presin arterial, llamado esfigmomanme-tro, usa un manmetro lleno de mercurio. Las lecturas de la presin arterial, como130/80, se refieren a las presiones manomtricas maxima y mnima en las arterias,medidas en mm Hg o torrs. La presin arterial vara con la altura en el cuerpo; elpunto de referencia estndar es la parte superior del brazo, a la altura del corazn.

Muchos tipos de medidores de presin usan un recipiente flexible sellado (Fig.14.9). Un cambio en la presin dentro o fuera del recipiente causa un cambio ensus dimensiones, que se detecta ptica, elctrica o mecnicamente.

(14.9)P = P = O + pg(Y2 - YI) = pgh

En la ecuacin (14.8), P es la presin absoluta, y la diferencia P - Po entre lapresin absoluta y la atmosfrica es la presin manomtrica. As, la presin ma-nomtrica es proporcional a la diferencia de altura (Y2 - YI) de las columnas.

Otro medidor de presin comn es el barmetro de mercurio, que consiste enun tubo de vidrio largo, cerrado por un extremo, que se llena con mercurio y lue-go se invierte sobre unplato con mercurio (Fig. (14.8b). El espacio arriba de la co-lumna slo contiene vapor de mercurio, cuya presin es insignificante, as que lapresin Po arriba de la columna es prcticamente cero. Por la ecuacin (14.6),

(14.8)p + pgy, = Po + pgY2

P - Po = pg (Y2 - YI) = pgh

El medidor de presin ms sencillo es elmanmetrode tubo abierto (Fig. 14.8a).El tubo en forma de U contiene un lquido de densidad p, con frecuencia mercu-rio o agua. Un extremo del tubo se conecta al recipiente donde se medir la pre-sin, y el otro est abierto a la atmsfera, con Po =Pa' La presin en el fondo deltubo debida al fluido de la columna izquierda es P + pgyl> Y la debida al fluido dela columna derecha es Po + pgY2' Estas presiones se miden en el mismo punto, asque deben ser iguales:

Po = P

= 2.19 X 105Pa = 2.16 atm = 31.8Ib/pulg2

EVALUAR: Si un tanque as tiene un medidor de presin, segura-mente estar calibrado para indicar la presin manomtrica, no lapresin absoluta. Como sealamos, la variacin en la presin at-mosfrica a esta altura es despreciable.

521

EJECUTAR: Por la ecuacin (14.6), la presin absoluta esP = Po + pgh.= (1.01 X IOSPa) + (1000 kg/m3)(9.80 rnls2)(12.0 m)

14.2 I Presin en un fluido

= 1.18 X 105 Pa = 1.16 atm = 17.11b/pulg2

PLANTEAR: El nivel de los paneles corresponde al punto 2 de la La presin manomtrica esfigura 14.5,y el del tanque, al punto l. Por tanto, la incgnitaesp enlaecuacin (14.6);nos danpo = I atm = 1.01X 105Pay h = 12.0m. P - Po = (2.19 - 1.01) X lOsPa

EVALUAR: Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra-zn Pagu/Paceite es mayor que la unidad y h"e.itc es mayor que h"IlUft(como se muestra en la Fig. 14.10).Este resultado es lgico: se ne-cesita una mayoraltura de aceite menos denso para producir la mis-ma presinp en la base del tubo.

Paguah.ceit= --hagua

Paceite.

Puesto que la presinp en la base del tubo es la misma para ambosfluidos, igualamos las dos expresiones y despejamos hacehe en tr-minos de h.gu.' Puede demostrarse que el resultado es

P = Po + Pagu.gh.guap = Po + Poceiteghaceite

EJECUTAR: Para los dos Huidos,la ecuacin (14.6) se convierte en

PLANTEAR: SeaPola presin atmosfrica, yp, la presin en el fon-do del tubo. Las densidades de los dos fluidos son Pagu. YPaceite(quees menor que P.gua). Usamos la ecuacin (14.6) para cada fluido.

no podemos escribir una sola ecuacin para el aceite y el agua jun-tos. Lo que s podemos hacer es escribir una relacin presin-pro-fundidad para cada fluido por separado, tomando en cuenta queambas columnas de fluido tieoen la misma presin en la base (don-de estn en contacto y en equilibrio, as que las presiones deben seriguales) y en la parte superior (donde ambas estn en contacto conla atmsfera y en equilibrio con ella).

14.10 Tubo con forma.de U que contiene aceite (a la izquierda) yagua (a la derecha). Qu relacin hay entre las alturas de las doscolumnas de fluido?

"aceite

1

Un tubo de manmetro se llena parcialmente con agua. Despus sevierte aceite (que no semezcla con el agua y tiene menor densidadque el agua) en el brazo izquierdo del tubo hasta que la interfazaceite-agua est en el punto medio del tubo (Fig. 14.10). Ambosbrazos del tubo estn abiertos al aire. Determine la relacin entrelas alturas haceit y ha~'

".]'1"")11IDENTIFICAR: La relacin entre presin y profundidad en un flui-do slo es vlida para los fluidos de densidad uniforme. Por tanto,

Historia de dos fluidos

14.9 (a) Medidor de presin de Bourdon. Al aumentar la presin dentro del tubo espiralmetlico, ste se endereza y desva la aguja unida a l. (b) Medidor de presin tipoBourdon empleado en un tanque de gas comprimido.

(b)(a)

Presinpque semide

CA PTU LO 14 1Mecnica de fluidos522

14.11 Principio de Arqumedes. (a) Unelemento de un fluido en equilibrio. Lafuerza de flotacin del fluido circundantees igual al peso del elemento. (b) Si el ele-mento de fluido se sustituye por un cuerpode idntica forma, el cuerpo experimentala misma fuerza de flotacin que en (a).Esta fuerza es igual al peso del fluido des-plazado

523

(b)(a)

Fluido reemplazado porcuerpo de forma idntica; experimenta

la misma fuerza de notacinElemento de fluido

en equilibrio

La flotacin es un fenmenomuy conocido: un cuerpo sumergido en agua parecepesarmenos que en el aire. Si el cuerpo esmenos denso que el fluido, entonces flo-ta. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio flotaen el aire.

El principio de Arqumedes establece que: Si un cuerpo est parcial o total-mente sumergido en un fluido, ste ejerce una fuerza hacia arriba sobre elcuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar este.principio, consideremos una porcin arbitraria de fluido en reposo. En la figura14.11a, el contorno irregular es la superficie que delimita esta porcin de fluido.Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la super-ficie de frontera.

Todo el fluido est en equilibrio, as que la suma de todas las componentesy defuerza sobre esta porcin de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las compo-nentesy de las fuerzas de superficie debe seruna fuerza hacia arriba de igualmag-nitud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Adems, la suma de losmomentos de torsin sobre la porcin de fluido debe ser cero, as que la lnea,deaccin de la componentey resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por elcentro de gravedad de esta porcin de fluido.

Ahora quitamos el fluido que est dentro de la superficie y lo reemplazamosporun cuerpo slido cuya forma es idntica (Fig. 14.11b).La presin en cada punto esexactamente la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercidapor el fluido sobre el cuerpo tambin es lamisma, igual enmagnitud al pesomg delfluido que se desplaz para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arribala fuerza de flotacin que acta sobre el cuerpo slido. La lnea de accin de lafuerza de flotacinpasa por el centro de gravedaddel fluido desplazado (queno ne-cesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).

14.3 I Flotacin

Elmercurio esmenos denso a altas temperaturas que a bajas temperaturas. Supon-ga que saca al exterior un barmetro de mercurio que estaba dentro de un refrige-rador bien sellado, en un caluroso da de verano, y observa que la columna demercurio semantiene a la misma altura en el tubo. Compare la presin del aire enel exterior con la del-interior del refrigerador. (Haga caso omiso del cambio anmenor en las dimensiones del tubo de vidrio debido al cambio de temperatura.)

14.3 1 Flotacin

Usando otra vez la tabla 14.1, calculamos el peso de ese volumende agua de mar:

wam = marnf5 = Paro Vg= (1.03 X l3'kg/m3)(7.77 ~ 10-4 m3)(9.80 m/s")= 7.84N

Esto es igual a la fuerza de flotacin E.La estatua est en reposo, as que la fuerza externa neta que ac-

. ta sobre ella es de cero. De la figura 14.13b,

L:Fy = B + T + (-mg) = OT = mg - B = (15.0 kg)(9.80 m/s") - 7.84 N= 147 N - 7.84 N = 139 N

15.0 kgV = _!!!_ = = 7.77 X 10-4 m3

Poro 19.3 X 103 kg/nr'

EJECUTAR: a) Para .calcular la fuerza de flotacin, primero calcu-lamos el volumen de la estatua, usando la densidad del oro de la ta-bla 14.1:

PLANTEAR: La figura 1-4.13bmuestra el diagrama de cuerpo librede la estatua en equilibrio. La incgnita es la tensin T. Nos dan elpeso mg ypodemos calcular la fuerza de flotacin B usando el prin-cipio de Arqumedes. Lo haremos en dos casos: (a) cuando la esta-tua est sumergida en el agua y (b) cuando est fuera del agua ysumergida en el aire.

en equilibrio (en reposo) y consideramos las tres fuerzas que actansobre ella: su peso, la fuerza de flotacin y la tensin en el cable.

14.13 (a) La estatua completamente sumergida en reposo.(b) Diagrama de cuerpo libre de la estatua sumergida.

(b)

mg = 147 N

y

tw--=----x(a)

,{tj!iI;uUIDENTIFlAR: Cuando la estatua est sumergida, experimenta unafuerza de flotacin hacia arriba igual en magnitud al peso del fluidodeplazado. Para calcular la tensin, observamos que la estatua est

Una estatua de oro slido de 15.0 kg de peso est siendo levantadade un barco hundido (Fig, 14.l3a). Qu tensin hay en el cablecuando [a estatua est en reposo y a) totalmente sumergida? b)Fuera del agua?

Flotacin

14.12 (a) Hidrmetro sencillo. (b) Uso deun hidrmetro para probar cido de IDIacumulador o del anticongelante.

Si un globo flota en equilibrio en el aire, su peso (incluido el gas en su interior)debe ser igual al del aire desplazado por el globo, Si un submarino sumergido es-t en equilibrio, su peso debe ser igual al del agua que desplaza. Un cuerpo cuyadensidad media es menor que la del lquido puede flotar parcialmente sumergidoen la superficie superior libre del lquido. Cuanto mayor es la densidad dellqui-do menor ser la porcin sumergida del cuerpo. Si nadamos en agua de mar (den-sidad 1030 kg/nr'), flotamos ms que en agua dulce (1000 kg/nr'). Aunqueparezca improbable, el plomo flota en el mercurio. El "vidrio flotado" de superfi-cie muy plana se fabrica flotando vidrio fundido en estao fundido y dejndoloenfriar.

Otro ejemplo conocido es el hidrmetro, empleado para medir la densidad delos lquidos (Fig. 14.12a). El flotador calibrado se hunde en el fluido hasta que elpeso del fluido que desplaza es igual a su propio peso. El hidrmetro flotamps al-to en los lquidos ms densos que en los lquidos menos densos, y tiene un pesoen su base para que la posicin enderezada sea estable; una escala en el tallo.su-perior permite leer directamente la densidad. La figura 14.12bmuestra un tipo dehidrmetro de uso comn para medir la densidad del cido de un acumulador o delanticongelante. La base del tubo grande se sumerge en el lquido; se aprieta el bul-bo para expulsar el aire y luego se suelta, como si fuera un gotero gigante. Ell-quido sube por el llib.? exterior, y el hidrmetro flota en la muestra de lquido.

CAPTULO 14 I Mecnica de fluidos

(b)(a)

524

t'

14.15 La superficie del agua acta comomembrana sometida a tensin, y permite aeste zancudo caminar literalmente sobre elagua.

Iensn superficialUn objeto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire,flota con una parte de su volumen bajo la superficie. Por otra parte, un clip puededescansar sobre una superficie de agua aunque su;densidad es varias veces mayorque la del agua. Esto es un ejemplo de tensin sup~rficial: la superficie del lqui-do se comporta como una membrana en tensin (Fig. 14.15). La tensin superfi-cial se debe a que las molculas del lquido ejercen fuerzas de atraccin entre s.La fuerza neta sobre una molcula dentro del volumen del lquido es cero, perouna molcula en la superficie es atrada hacia el volumen (Fig. 14.16). Por ello, ellquido tiende a reducir al mnimo su rea superficial, tal como lo hace una mem-brana estirada.

14.14 Cmo cambia la lectura de la balanza cuando la estatua sesumerge en agua?

"" '1I3(.8Considere el agua, la estatua y el recipiente juntos como un sistema;el peso total no depende de si la estatua est sumergida o no. La fuer-za total de soporte, incluida la tensin J:y la fuerza hacia arribaF dela balanza sobre el recipiente (igual a la lectura) es la misma en am-bos casos. Sin embargo, en el ejemplo 14.5 vimos que T disminuyeen 7.84 N cuando la estatua est sumergida, asi que la lectura de labalanza debe aumentaren 7.84 N. Otra forma de verlo es que el aguaejerce una fuerza de flotacin de 7.84 N sobre la estatua, as que s-ta debe ejercer una fuerza igual hacia abajo sobre el agua, haciendoa la lectura 7.84 N mayor que el peso del agua y el recipiente.

Se coloca un recipiente con agua de mar en una balanza y se anotala lectura; luego se suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua(Fig. 14.14). Cmo cambia la lectura?

Cuestin de peso

EVALUAR: Recordemos que la fuerza de notacin es proporcionala la densidad del fluido, no la de la estatua. Cuanto ms denso es elfluido, mayor ser la fuerza de flotacin y menor ser la tensin enel cable. Si el fluido tuviera la misma densidad que la estarna, lafuerza de flotacin seria igual al peso de la estatua y la tensin se-ra cero (el cable se aflojara). Si el fluido fuera ms denso que laestatua, la tensin sera negativa: la fuerza de flotacin sera mayorque el peso de la estatua, y se requerira una fuerza hacia abajo pa-ra evitar que suba la estatua.

mos. La tensin en el cable con la estatua en el aire es igual al pesode la estatua, 147 N.

52514.3 I Flotacin

Esto es slo 62 millonsimas del peso real de la estatua. Este efec-to es menor que la precisin de nuestros datos, as que lo desprecia-

B = P;ilieVg = (1.2 kg/m") (7.77 X 10-4 m3)(9.80 m/s")= 9.1 X 10-3 N

Si hay una balanza de resorte unida al extremo superior del cable,marcar 7.84 N menos de lo que marcara si la estatua no estuvierasumergida en agua de mar. Por ello, la estatua sumergidaparece pe-sar 139 N, cerca de 5% menos que su peso real de 147 N.b) La densidad del aire es de cerca de 1.2kg/m', as que la fuerzade flotacin del aire sobre la estatua es

Ahora ya estamos preparados para considerar el movimiento de un fluido. El flujode fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes delos rpidos de los ros o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones sepueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideales incompresible (su densidad no puede cambiar) y no tiene friccin interna (llama-da viscosidad). Los lquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas lassituaciones, y tambin podemos tratar a un gas como incompresible si las diferen-cias de presin de una regin a otra no son' muy grandes. La friccin interna en unfluido causa. esfuerzos de corte cuando dos capas de fluido adyacentes tienenun movimiento rela.tivo, como cuando un fluido fluye dentro de un tubo o alrededorde un obstculo. En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte encomparacin con las fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presin.

El camino de una partcula individual en un fluido enmovirniento se llama l-nea de flujo. Si el patrn global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tene-mos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento que pasa por un puntodado sigue la misma lnea de flujo. En este caso, el "mapa" de las velocidades delfluido 'en distintos puntos del espacio permanece constante, aunque la velocidadde una partcula especfica pueda cambiar tanto en magnitud como en direccindurante su movimiento. Una lnea de corriente es una curva cuya tangente encualquier-punto tiene la direccin de la velocidad del fluido en ese punto. Si el pa-trn de flujo cambia con el tiempo, las lneas de corriente no coinciden con las deflujo. Consideraremos slo situaciones de flujo estable, en las que las lneas de flu-jo y las de corriente son idnticas.

Las lneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de rea imaginario, co-mo A en la figura 14.18, forman un tubo Ilarnado tubo de flujo. Por la definicin delnea. de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede cruzar las paredes lateralesde un tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.

14.4 I Flujo de fluidos.

Un objeto con densidad uniforme flota en agua con un tercio de su volumen sobrela superficie: Compare la densidad del objeto con la del agua.

La tensin superficial explica por qu las gotas de lluvia en cada libre son es-fricas (no con forma de lgrima): una esfera tiene menor rea superficial para unvolumen dado que cualquier otra forma. Tambin explica por qu-se usa aguaja-bonosa caliente en el lavado d la ropa. Para lavarla bien, se debe hacer pasar elagua por los diminutos espacios entre las fibras (Fig. 14.17). Esto implica aumen-tar el rea superficial del agua, 10 que es dificil por la tensin superficial. La tarease facilita aumentando la temperatura del agua y aadiendo jabn, pues ambas co-sas reducen la tensin superficial.. La tensin superficial es importante para una gota de agua de 1mm de dime-tro, que tiene un rea relativamente grande en comparacin con su volumen. (Unaesfera de radio-z tiene rea 47772 y volumen (41T/3)r3. La razn superficie/rea es3/r, y aumenta al disminuir el radio.) En cambio, si la cantidad de.lquido es gran-de, la tazn superficie/volumen es relativamente pequea y la tensin superficiales insignificante en comparacin con las fuerzas de presin. En el resto del cap-tulo, slo consideraremos volmenes grandes de fluidos, as que haremos casoomiso de los efectos de la tensin superficial.

e A PLTU LO 14 I Mecnica de fluidos

14.18 Tubo de flujo delimitado por lineas'de flujo. En flujo estable, el fluido no puedecruzar las paredes de un tubo de flujo.

Tubo de flujo

14.17' La:tensn superficial dificulta elpasodel agua por aberturas pequeas. Lapresin requerida p puede reducirse usandoagu~.ca.liente cojabn.todo lo cu'reducel'tensin superficial.

14.16 Cada molcula de un lquido esatrada por las dems molculas. Unamolcula en la superficie es atrada haciael volumen del lquido, y esto tiende areducir el rea superficial del lquido.

526

14.20 El flujo de humo que sale de estospalitos de incienso es laminar hasta ciertopunto; luego se vuelve turbulento.

527

14.21 Tubode flujo con rea de seccin. transversalcambiante. Si el fluido es in-

(14.11) compresible, el productoAv tiene el mismovalor en todos los puntos a lo largo del tubo.

(razn de flujo de volumen)dV-=Avdi

El producto Aves la razn dejlujo de volumen dV/dt, la rapidez con que el volu-men cruza una seccin del tubo:

La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto da pie a una relacincuantitativa importante llamada ecuacin de continuidad. Considere una porcinde un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias con reas A IYA2 (Fig. 14.21). La rapidez del fluido en estas secciones es VI y V2, respectivamen-te. No fluye fluido por los costados del tubo porque la velocidad del fluido es tan-gente a la pared en todos sus puntos. Durante un tiempo corto di, el fluido en Alse mueve una distancia VI dt, as que un cilindro de fluido de altura VI dt y volu-men dt/, = A IV I dt fluye hacia el tubo a travs de A i- Durante ese mismo lapso, uncilindro de volumen dV2 = A2V2 dt sale del tubo a travs de A2.

Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad p tie-ne el mismo valor en todos los puntos. La masa dm, que fluye al.tubo por Al en eltiempo di es dm I = pA IVI dt. As mismo, la masa dm, que sale por A2 en el mis-mo tiempo es dm2 = pA2V2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es cons-tante, as que dmI = dm'2 y

pAI V Idt = pA2U2 dt o seaAlvl = A2v2 (ecuacin de continuidad, fluido incompresible) (14.10)

,!.

La ecuacin de continuidad

La figura 14.19 muestra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha al-rededor de varios obstculos. Las fotografas se tomaron inyectando un tinte en elagua que fluye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representa-tivos del flujo laminar, en el que capas adyacentes de fluido se deslizan suave-mente una sobre otra y el flujo es estable. (Una lmina es una hoja delgada.) Si latasa de flujo es suficientemente alta, o si las superficies de frontera causan cam-bios abruptos en la velocidad, el flujo puede hacerse irregular y catico. Esto sellama flujo turbulento (Fig. 14.20). En flujo turbulento no hay un patrn de esta-do estable; el patrn de flujo cambia continuamente.

14.19 Flujo laminar alrededor de obstculos con diferente forma,

14.4 I Flujo de fluidos

Segn la ecuacin de continuidad,la,rapidez de flujo deun fluido puede variar a 10largo de las trayectoriasdel fluido. La presin tambin puede variar; depende de laaltura igual que en la situacin esttica (seccin 14.2)y tambinde la rapidez de flu-

14.5 I Ecuacin de Bernoulli

El air~en la atmsfera es casi incompresible. Use este hecho para explicar por quen los pasos montaosos se observan vientos especialmente rpidos.

\i

EVALUAR: La segunda seccin de tubo tiene la mitad del dimetroy la cuarta parte del rea transversal de la primera seccin. Por tan-to, la rapidez debe ser cuatro veces mayor en la segunda seccin, yeso es precisamente lo que muestra nuestro resultado (V2= 4v).

La razn de flujo de masa es p dV/dt = (850 kg/rn") (9.5 X 10-3m3/s) = 8.1 kg/s.b) Puesto que el aceite es incompresible, la razn de flujo de volu-men tiene el mismo valor (9.5 LIs) en ambas secciones del tubo. Porla ecuacin (14.i0),

Al 71(4.0 X 1O-2m)2Vz=-V = ( 2 )2(1.9m/s) = 7.6 mIs

A2 71 2.0 X 10 m

(9.5L/s) (10-3 m3/L)( , )' = 1.9mis71 4.0 X 10--m -

dVldtv =--=Al

EJECUTAR: a) La razn de flujo .de volumen dV/dt es igual al pro-ducto A v , donde A es el rea transversal del tubo de 8.0. cm dedimetro (radio 4.0 cm). Por tanto,

Como parte de un sistema de lubricacin para maquinaria pesada, unaceite con densidad de 850 kg/m' se bombea a travs de un tubo cilin-drico de 8.0 cm de dimetro a razn de 9.'5 litios por segundo. a) Calcu-le la rapidez del aceite y la razn de flujo de masa. b) Si el dimetrodel tubo se reduce a 4.0 cm, qu nuevos valores tendrn la rapidez yla razn de-flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible.

"')!lI3['SIDENTIFICAR y PLANTEAR: Usaremos la definicin de razn deflujo de volumen [ecuacin (14.11)] para determinar la rapidez ven la seccin de 8.0 cm de dimetro. La razn de flujo de masa esel producto de la densidad y la razn de flujo de volumen. La ecua-cin de continuidad para flujo incompresible, ecuacin (14.10), nos'permite obtener la rapidez V2en la seccin de 4.0 cm de dimetro.

Flujo de fluido incompresible

Dejamos los detalles como ejercicio. Si el fluido es incompresible, de modo quePI y P2 siempre son iguales, la ecuacin (14.12) se reduce a la ecuacin (14.10).

(ecuacin de continuidad, fluido compresible) (14.12)

La razn de flujo demasa es el flujo demasa por unidad Ci"tiempo a travs de unaseccin transversal, y es igual a la densidad P multiplicada por la razn de flujo de.a.:> volumen dV/dt.

- La ecuacin (14.10) indica que la razn de flujo de volumen tiene el mismo va-lor en todos los puntos de cualquier tubo de flujo. Si disminuye la seccin de untubo de flujo, la rapidez aumenta, y viceversa. La parte profunda de un ro tienemayor rea transversal y una corriente ms lenta que la parte superficial, pero lasrazones de flujo de volumen son las mismas en los dos puntos. El chorro de aguade un grifo.se angosta al adquirir rapidez durante su cada, pero dV/dt tiene el mis-mo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 cm de dimetro se conecta aun tubo de 1cm de dimetro, la rapidez de flujo es cuatro veces ms grande en elsegundo tubo que en el primero.

Podemos generalizar la ecuacin (14.10) para el caso en que el fluido no es in-compresible. Si PI y P2 son las densidades en las secciones 1y 2, entonces

CAPTULO 14 I Mecnica de fluidos528

14.22 El trabajo neto realizado sobre unelemento de fluido por la presin delfluido circundante es igual-al cambio en laenerga cintica ms el cambio en la energapotencial gravitacional.

529

(14.15)

(14.14)l .:

dK = '2pdv(vl- vn

Y qu hay del cambio en la energa potencial gravitacional? Al iniciar dt, laenerga potencial para la masa que est entre a y b es dm gyl = P dV gyl' Al finalde dt, la energa potencial para la masa que est entre e y des dm gy2 = P dV gY2'El cambio neto de energa potencial dU durante dt es

El segundo trmino tiene signo negativo porque la fuerza en e se opone al despla-zamiento del fluido.

El trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservado-ra, as que es igual al cambio en la energa mecnica total (energa cintica msenerga potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energa mecnicapara el fluido entre las secciones b y e no cambia. Al principio de dt, el fluido en-tre a y b tiene volumen A Ids,masa pA Ids, y energa cintica !p(A dsl)v?, Al fi-nal de dt, el fluido entre e y d tiene energa cintica !p (A2 ds2) vt El cambio netode energa cintica dK durante dt es

(14.13)

jo. Podemos deducir una relacin importante, llamada ecuacin de Bernoulli, que re-laciona la presin, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de tul fluido ideal. Laecuacin de Bemoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas deplomera, las estaciones generadoras hidroelctricas y el vuelo de los aviones.

La dependencia de la presin respecto a la rapidez se sigue de la ecuacin de con-tinuidad, ecuacin (14.10). Si un fluido incompresible fluye por un tubo con seccintransversal variable, su rapidez debe cambiar, as que un elemento de fluido debe te-ner una aceleracin. Si el tubo es horizontal, la fuerza que causa esta aceleracin de-be ser aplicada por el fluido circundante. Esto implica que la presin debe serdiferente en regiones con diferente seccin transversal; si fuera la misma en todos la-dos, la fuerza neta sobre cada elemento de fluido sera cero. Si un tubo es horizontalse estrecha y un elemento de fluido se acelera, debe estarse moviendo hacia una re-gin de menor presin para tener una fuerza neta hacia adelante que 10 acelere. Si laaltura tambin cambia, esto causa una diferencia de presin adicional.

Para deducir la ecuacin de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y laenerga al fluido en una seccin de un tubo. En la figura 14.22, consideramos elelemento de fluido que en algn instante inicial est entre las dos secciones trans-versales a y c. Las rapideces en los extremos inferior y superior son v y V2'En un

. pequeo intervalo de tiempo dt, el fluido que est en a se mueve a b, una distan-cia dSI = u.dt, Yel fluido que est inicialmente en e se mueve a d, una distancia...dS2 = V2dt. Las reas transversales en los dos extremos son A, YA2, como semuestra. El fluido es incompresible, as que, por la ecuacin de continuidad, ecua-cin (14.10), el volumen de fluido dV que pasa por cualquier seccin transversaldurante dt es el mismo. Es decir, dV == A .ds, = A2 ds-:

Calculemos el trabajo efectuado sobre este elemento durante dt. Suponemos quela friccin interna del fluido es despreciable (es decir, no hay viscosidad), as que lasnicas fuerzas no gravitacionales que efectan trabajo sobre el elemento fluido sedeben a la presin del fluido circundante. Las presiones en los extremos son PI yP2; la fuerza sobre la seccin en a es PIAI, y la fuerza en e es PzA2' El trabajo netodWefectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplaza-miento es entonces

14.5 I Ecuacin de Bemoulli

l'

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Primero, asegrese deque el flujo del fluido sea estable y que el fluido sea ineompresi-ble y no tenga friccin interna. Este caso es una idealizacin, pe-ro se acercamucho a la realidad en el caso de fluidos que fluyenpor tubos suficientemente grandes y en el de flujos dentro degrandes cantidades de fluido (como aire que fluye alrededor

- de un avin o agua que fluye alrededor de un pez).

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:1. Siempre comience por rdenticar claramente los puntos 1

y 2 a los que se refiere la ecuacin de Bernoulli.2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en

quey = O.3. Haga listas de las cantidades conocidas y desconocidas de

la ecuacin (14.17). Las variables sonPI,PQ, VI' V2,YI YY2'Ylas constantes son p y g.Decida qu incgnitas debe de-terminar.

La ecuacin de Bernoulli se deduce del teorema del trabajo y laenerga, as que gran parte de las estrategias sugeridas en la sec-cin 7.1 puede aplicarse aqu. ~',

Ecuacin de BernoulliEstrategia para

resolver problemas

LCUIDAllbJ Subrayamosde nuevo que la ecuacinde Bernoulli slo esvlidapara un flujo estable de un fluido incompresible sin friccin interna (sin viscqsi-dad). Esuna ecuacin sencilla y fcil de usar; no por ello vaya a aplicarla ensituacionesen que no esvlida.

(14.18) .1

p + pgy + "2pv2 = constante

Observe que, si el fluido no se mueve (v I = V2 = O), la ecuacin (14.17) se reducea la relacin de presin que dedujimos para un fluido en reposo (ecuacin 14.5).

Los subndices 1y 2 se refieren a cualesquier dos puntos del tubo de flujo, as quetambin podemos escribir

1 1PI + pgYI + "2Pu? = P2 + pgY2 + 2_pvl (ecuacin de Bernoulli) (14.17)

sta es la ecuacin de BernoulJi, y dice que el trabajo efectuado sobre un vo-lumen unitario de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cam-bios de las energas cintica y potencial por unidad de volumen que se dan duranteel flujo. Tambin podemos interpretar la ecuacin (14.16) en trminos de presio-nes. El primer trmino de la derecha es la diferencia de presin asociada al cam-bio de rapidez del fluido; el segundo es la diferencia de presin adicional causadapor el peso del fluido y la diferencia de altura de los dos extremos.

Tambin podemos expresar la ecuacin (14.16) en una forma ms til:

"

Combinando las ecuaciones (14.13), (14.14) Y (14.15} la ecuacin de energadW = dK + dU, obtenemos

CAPTULO 14 I Mecnica de fluidos530

(14.16)

(PI - p~)dV= ~PdV(U22 - un + pdVg()'2 - )'1)1

PI - P2 = "2p(Ul- u?) + pg(Y2 - )'1)

to de rea A2 Deduzca expresiones para la rapidez de flujo en el tu-bo y la razn de flujo de volumen. . ) "

,',

La figura 14.24 muestra un tanque de almacenamiento de gasolinacon rea transversal A 1> lleno hasta una altura h. El espacio arribade la gasolina contiene aire apo y la gasolina sale por un tubo cor-

Rapidez de salidaEjemplo14.9

EVALUAR: sta es una razn de flujo razonable para un lavabo oducha. Cabe sealar que, al cerrar el agua, el trmino !p( ul - v(2)de la ecuacin de la presin desaparece, y la presin sube a 3.5 x105Pa.

= 4.7 X 10-4 m3/s = 0.47 LIs

EJECUTAR: La rapidez V2 en el cuarto de bao se obtiene de laecuacin de continuidad, ecuacin (14. JO):

Al '7T(1.0cm)2 ,V2 = -VI = ( )2(1.5 mis) = 6.0mJs

A2 '7T0.50 cm

Nos dan PI y v 1, y podemos obtener P2 con la ecuacin de Bernoulli:I

P2 = PI - 2_p(ul- un - pg(Y2 - YI) = 4.0 X 105 PaI

- -( 1.0 X 103 kg/m3) (36 m2/s2 - 2.25 m2/s2)2 .

-(1.0 X I03kg/m3)(9.8m/s2)(5.0m)

= 4.0 x lQsPa - 0.17 X JOSPa - 0.49 X l05Pa= 3.3 X 105 Pa = 3.3 atm = 481b/pulg2

La razn de flujo de volumen e~

dV = A2u2 = '7T(0.50 X 10-2 m)2( 6.0 m/s)dt

VI Y la presin PI en el tubo de entrada, y los dimetros de los tubosen Jos puntos 1 y 2 (con lo cual calculamos las reas Al Y Al)' To-mamos YI = O (en la entrada) y Y2 = 5.0 _m(en el cuarto de bao).'Las dos primeras incgnitas son la rapidez V2 Y la presin P2' Pues-to que tenemos ms de una incgnita, usamos tanto la ecuacin deBernoull como la ecuacin de continuidad. Una vez que tengamosV2, calcularemos la razn de flujo de volumen VzA2 en el punto 2.

:!

14.23 Qu presin tiene el agua en el cuarto de bao del segun-do piso de esta casa?

Del suministrode agua(tubo de 2 cm)

Tanqueagua caliente

""'iIaleu'IDENTIFICAR y PLANTEAR: Tomamos los puntos I y 2 en el tubode entrada y el cuarto de bao, respectivamente. Nos dan la rapidez

Entra agua en una casa por un tubo con dimetro interior de 2.0 cma una presin absoluta de 4.0 X 105 Pa (unas 4 atm). Un tubo de 1.0cm de dimetro va al cuarto de bao del segundo piso, 5.0 m msarriba (Fig. 14.23). La rapidez de flujo en el tubo de entrada es de1.5 m/s, Calcule la rapidez de flujo, presin y razn de flujo de vo-lumen en el cuarto de bao.

Presin de agua en el hogar

EVALUAR la respuesta: Como siempre, verifique que los resul-tados sean lgicos fsicamente. Compruebe que las unidadessean congruentes. En el SI, la presin est en Pa, la densidad enkg/m! y la rapidez en mis. Recuerde tambin que las presionesdeben ser todas absolutas o todas manomtricas.

EJECUTAR la solucin como sigue: Escriba la ecuacin de Ber-noulli y despeje las incgnitas. En algunos problemas, habr queusar la ecuacin de continuidad, ecuacin (14.10), para tener unarelacin entre las dos rapideces en trminos de reas transversalesde tubos o recipientes. O tal vez se tienen ambas rapideces y hayque determinar una de las reas. Tal vez necesite tambin la ecua-cin (14.11) para calcular la razn de flujo de volumen.

53114.5 I Ecuacin de BemoulJi

EVALUAR: Puesto que z es.mayor que A2, Vl es mayor que VI y lapresin P2 en la garganta-es menor que PI' Una fuerza neta a la de-recha acelera el fluido al entrar en la garganta, y una fuerza neta ala izquierda lo frena al salir.

) 2ghVI = (AIIAz)2 - 1

, -, -La diferencia de presin PI - P2 tambin es igual a pgh, donde hes la diferencia de nivel del lquido en los dos tubos, Combinandoesto con el resultado anterior y despejando VI, obtenemos

_ 1 2(A? )PI - P2 - 2,pv I Al - 1

Por la ecuacin de continuidad, vi = (A lA2)VI, Sustituyendo y rea-comodando, obtenemos

EJECUTAR: Los dos puntos tienen la misma coordenada vertical(YI = Y2), as que la ecuacin (14,17) dice

,12_ 12PI T '2PVI - P2 + 2,PV2

14.25 El medidor Venturi.

,

14.27 La lava es un ejemplo de fluido vis-coso. La viscosidad disminuye al aumentarla temperatura: cuanto ms caliente est lalava, ms fcilmente fluye.

ViscosidadLa viscosidad es friccin interna en un fluido. Las fuerzas viscosas se oponen almovimiento de una porcin de un fluido relativo a otra. La viscosidad hace quecuestealgn trabajo remaruna canoaen aguas tranquilas,pero tambin es lo queha-ce que funcione el remo. Los efectos viscosos son importantes en el flujo de fluidosen las tuberas, en el flujo de la sangre, en la lubricacin de las partes de un motory en muchas otras situaciones. .,

Los fluidos que fluyen con facilidad, corno el agua y la gasolina, tienen menorviscosidad que los lquidos "espesos" como la mielo el aceite para motor. Las vis-cosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura, aumentan paralos gases y disminuyen para los lquidos al subir la temperatura (Fig. 14.27).Unobjetivo importante en el diseo de aceites para lubricar motores es reducir lo msposible la variacin de la viscosidad con la temperatura.

Al hablar del flujo de fluidos supusimos que el fluido no tena friccin interna yque el flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son vlidos, enmuchas situaciones fsicas importantes los efectos de la viscosidad (friccin inter-na) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Exami-nemos someramente algunas de esas situaciones.

*14.6 I Viscosidad y turbulencia

No es sorprendente que Wl viento que sopla directamente contra una puerta abier-ta haga que se cierre de golpe. Utilice el principio de Bernoulli para explicar c-mo un viento que sopla paralelo a la abertura de una puerta puede hacer que stase cierre. (Suponga que la puerta se abre hacia adentro.)

14.26 Lneas de flujo alrededor de un ala de avin. La cantidadde movimientode una porcin de aire (relativa al ala) es Pi antes dellegar al ala y Pr despus.

Pi5tt Ap (aire)Pr

sustentacinque acta sobre la parte superior d un paraguas abiertopuede hacer que ste se doble hacia arriba.Tambinacta una fuerzade sustentacinsobre un automvilque vaa gran velocidadporque elaire se mueve sobre el techo curvo del vehculo. Esa sustentacinpuede reducir la traccinde losneumticos,y espor ello quemuchosautomviles estn equipados con un "spoiler" aerodinmico en laparte trasera. El spoiler se parece a un ala invertida y hace que unafuerza hacia abajo acte sobre las ruedas traseras.

La figura 14.26muestra lneas de flujo alrededor de un corte del alade un avin.Las lneas se aprietan arriba del ala, 10que correspondea una mayor rapidez de flujo y una presin reducida en esta regin,igual que en la garganta del Venruri, La fuerza que acta hacia arri-ba sobre el lado inferior del ala es mayorque la que acta hacia aba-jo sobre el lado superior; hay una fuerza neta bacia arriba, osustentacin. La sustentacin no se debe slo al impulso del aireque incide bajo el ala; de hecho, la presin reducida en la superfi-cie de arriba del ala es lo que ms contribuye a la sustentacin. (Es-ta explicacin muy simplificada no considera la formacin devrtices; un anlisis ms completo los tendra en cuenta.)

Tambinpodemos entender la fuerzade sustentacinen trminosde cambios de cantidad demovimiento.La figura 14.26muestra quehay un cambio neto hacia abajo en la componentevertical de la can-tidad de movimientodel aire que fluye por el ala, correspondiente ala fuerzahacia abajo que el ala ejerce sobreel aire. La fuerza de reac-cin que acta sobre el ala es hacia arriba, como habamos visto.

Se observa un patrn de flujo y una fuerza de sustentacin s~i-lares en las inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando haceviento (vase el flujo de aire sobre la espalda del ciclista en la foto-grafa inicial del captulo).En un viento bastante intenso, la fuerzade

Sustentacin en un ala de avin

53314.6 I Viscosidad y turbulencia

TurbulenciaSi la rapidez de un fluido que fluye excede cierto valor critico, el flujo deja de serlaminar. El patrn de flujo se vuelve muy irregular y complejo, y cambia conti-nuamente con el tiempo; no hay patrn de estado estable. Este flujo irregular ycatico se denomina turbulencia. La figura 14.20 muestra el contraste entre flujolaminar y turbulento para humo que asciende en el aire. La ecuacin de Bemoullino es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estable.

El que un flujo sea laminar o turbulento depende en parte de la viscosidad delfluido. Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir encapas y.es ms probable que el flujo sea laminar. (Cuando hablamos de la ecua-cin de Bemoulli en la seccin 14.5, supusimos que el flujo era laminar y que elfluido tena cero viscosidad. De hecho, se requiere un poco de viscosidad paraasegurar que el flujo sea laminar.)

Para un fluido de cierta viscosidad, la rapidez de flujo es un factor determinante.Un patrn de flujo que es estable a baja velocidad se vuelve inestable de repen-te cuando se alcanza una rapidez critica. Las irregularidades en el patrn de flujopueden deberse a asperezas en la pared del tubo, variaciones en la densidad delfluido y muchos otros factores. Si la rapidez de flujo es baja, estas perturbacionesse eliminan por amortiguacin; el patrn de flujo es estable y tiende a mantener su

Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie slida que est en contac-to con ella. Hay una capa de frontera delgada de fluido cerca de la superficie, enla que el fluido est casi en reposo respecto a ella. Es por eso que las partculas depolvo pueden adherirse a un aspa de ventilador aun cuando est girando rpida-mente, y a que no podamos limpiar bien un auto con slo dirigir el chorro de aguade una manguera hacia l.

La viscosidad tiene efectos importantes sobre el flujo de los lquidos a travs detuberas, y esto incluye el flujo de la sangre por el aparato circulatorio. Pensemos pri-mero en un fluido con cero viscosidad, para poder aplicar la ecuacin de Bernoulli,ecuacin (14.17). Si los dos extremos de un tubo cilndrico largo estn a la mismaaltura, (y] = y:z) y la rapidez de flujo es la misma en ambos extremos (VI = v:z), laecuacin de Bemoulli nos indica que la presin es la misma en ambos extremos. Sinembargo, este resultado simplemente no es vlido si tomamos en cuenta la viscosi-dad. Para ver por qu, considere la figura 14.28, que muestra el perfil de rapidez de flu-jo para el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilndrico largo. Debido a laviscosidad, la rapidez es cero en las paredes del tubo (a las que se adhiere el fluido) ymxima en el centro del tubo. El movimiento semeja muchos tubos concntricos quese deslizan Wl0S relativos a otros, con el tubo central movindose ms rpidamente yel ms exterior en reposo. Las fuerzas viscosas entre los tubos se oponen a este des-lizamiento; si quereI;tlos mantener el flujo, deberemos aplicar una mayor presinatrs del flujo que delante de l. Es por ello que necesitamos seguir apretando un tu-bo de pasta dentfrica o una bolsa de salsa catsup (ambos fluidos viscosos) para quesiga saliendo el fluido del envase. Los dedos aplican detrs del flujo una presin mu-cho mayor que la presin atmosfrica al frente del flujo.

La diferencia de presin requerida para sostener una razn dada de flujo de vo-lumen a travs de un tubo de pasta cilndrico de longitud L y radio R resulta serproporcional a L/R4. Si disminuimos R a la mitad, la presin requerida aumenta 24= 16 veces; si disminuimos R en un factor de 0.90 (una reduccin dell 0%), la di-ferencia de presin requerida aumentar en un factor de (1/0.90)4 = 1.52 (un au-mento de 52%). Esta sencilla relacin explica el vnculo entre una dieta alta encolesterol (que tiende a angostar las arterias) y una presin arterial elevada. Debi-do a la-dependencia R4, incluso un estrechamiento pequeo de las arterias puedeelevar considerablemente la presin arterial y forzar el msculo cardiaco.

CAPTULO 14 l Mecnica de fluidos

14.28 Perfil de velocidad para un fluidoviscoso en un tubo cilndrico.

534

Cunta ms presin deber aplicar una enfermera con el pulgar para administrar unainyeccin con una aguja hipodrmica de dimetro interno de 0.40 mm, en compara-cin con una aguja con dimetro interno de 0.55 mm? Suponga que las dos agujas tie-nen lamisma longitud y que la razn de flujo de volumen es la misma en ambos casos.

14.30 Fotografa estroboscpica de una pelota de golf golpeadapor un palo. La imagen se tom a 1000destellos por segundo. Labola gira aproximadamente una vez cada ocho imgenes, lo quecorresponde a una rapidez angular de 125rev/s, o 7500 rpm.

(e)

la es ahora mayor que abajo. La fuerza neta desva la bola haciaabajo, como se muestra en la figura 14.29c. Es por esto que se usael "top spin" en tenis para evitar que un servicio rpido se salga dela cancha (Fig. 14.29d).En un lanzamiento de curva en bisbol, labola gira alrededor de un eje casi vertical, y la desviacin real esa un lado. En un caso as, la figura 14.29ces una vista superior dela situacin. Una curva lanzadapor un lanzador zurdo se curvahaciaun bateador derecho, y es ms dificil golpearla (Fig. 14.2ge).

Un efecto similar se da con las pelotas de golf, que siempre tie-nen "giro hacia atrs" por el impacto con la cara inclinada del palo.La diferencia de presin resultante entre la parte de arriba y de aba-jo de la bola causa una fuerza de sustentacin que mantiene la bolaen el aire mucho ms tiempo del que sera posible sin el giro. Ungolpe fuerte bien dado parece hacer que la bola/'flote" o incluso securve hacia arriba durante la porcin inicial del vuelo. ste es unefecto real, no una ilusin.Los hoyuelosde lapelota desempean unpapel fundamental; la viscosidad del aire hace que una bola sin ho-yuelos tenga una trayectoriamucho ms corta que una con hoyueloscon la misma velocidad y giro iniciales. La figura 14.30muestra elgiro de una pelota de golfjusto despus de ser golpeadapor un palo.

14.29 El movimientodel aire de derecha a izquierda,relativo a labola, corresponde al movimientode una bola por aire inmvi 1de iz-quierda a derecha. (a) Una bola que no gira tieneuna regin de tur-bulencia simtricaatrs. (b) Una bola que gira arrastra capas de airecerca de su superficie. (e) La regin de turbulencia asimtricaresultante y la desviacin de la corriente de aire por la bola girato-ria. La fuerza que se muestra es la que la corriente de aire ejercesobre la bola; empuja la bola en la direccin de la velocidad tan-gencial del frente de la bola. La fuerza puede (d) empujar una bolade tenis hacia abajo o Ce)curvar una bola de bisbol. '

~~~t e

(e)

--utal"

BO(a)

Un lanzamientodecurvaen bisboles realmente una curva? Sindu-da,y la raznes la turbulencia.La figura 14.29amuestrauna bola quesemueveen el aire de izquierdaa derecha.Para un observadorque semuevejunto con el centro de la bola, la corriente de aire parece mo-versede derecha a izquierda,como muestran las lineas de flujo de lafigura. Las velocidadessuelen ser altas (cerca de 160kmIh), as quehay una reginde flujo turbulento detrs de la bola.

La figura 14.29bmuestra una bola que gira con "top spin". Ca-pas de aire cerca de la superficie de la bola son llevadas en la direc-cin del giro por la friccin entre la bola y el aire y por la friccininterna (viscosidad) del aire. La rapidez del aire relativa a la supe~ficie de la bola se hace menor en la parte de arriba de la bola que enla parte de abajo, y la turbulencia se presenta ms hacia adelanteen e11adode arriba que en el de abajo. Esta asimetra causa una di-ferencia de presin; la presin media en la parte de arriba de la bo-

La curva

naturaleza laminar. Cuando se alcanza la rapidez critica, el patrn de flujo se ha-ce inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta des-truir el patrn de flujo laminar.

El flujo de sangre normal en la aorta humana es laminar, pero una alteracinpequea, como una patologa cardiaca, puede hacer que el flujo se vuelva turbu-lento. La turbulencia hace ruido; por ello, escuchar el flujo sanguneo con un es-tetoscopio es un procedimiento de diagnstico til.

53514.6 1 Viscosidad y turbulencia

(14.11)

Alul = A2u2(ecuacin de continuidad, fluido incom-presible) (14.10)

clV-=Audt

(razn de flujo de volumen)

La conservacin de la masa en un fluido incom-presible se expresa con la ecuacin de continui-dad, que relaciona las rapideces de flujo UI Y U2para dos secciones transversales A IY A2 de untubo de flujo. El producto Au es la razn de flujode volumen, dV/dt, la rapidez con que el volu-men cruza una seccin del tubo. (Vase el ejem-plo 14.7.)

Un fluido ideal es incompresible y no tiene viscosidad (no hay friccin interna). Una li-nea de flujo es la trayectoria de una partcula de fluido; una lnea de corriente es una cur-va tangente en todo punto al vector de velocidad en ese punto. Un tubo de flujo es untubo delimitado en sus costados por lneas de flujo. En flujo laminar, las capas de fluidose deslizan suavemente unas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el pa-trn de flujo cambia constantemente.

Fluido reemplazado por un cuerpo de forma idntica:experimenta la misma fuerza de flotacin

rea pequea dA dentro del fluido

El principio de Arqumedes dice que, si un cuerpo se sumerge en un fluido, ste ejercesobre l una fuerza de flotacin hacia arriba igual al peso del fluido que el cuerpo des-plaza. (Vanse los ejemplos 14.5y 14.6.)

P2 - PI = -pg(Y2 - YI)(presin en un fluido de densidad uni-forn~e) (14.5)

P = Po + pgh(presin en un fluido de densidad uni-forme) (14.6)

(14.2)dFJ.

P=-dA

l't:

La diferencia de presin entre dos puntos 1 y 2 enun fluido esttico con densidad uniforme p (un flui-do incompresible) es proporcional a la diferenciaentre las alturas YI y Y2' Si la presin en la superfi-cie de un lquido incompresible en reposo es Po, lapresin a una profundidad h es mayor en una canti-dad pgh. (Vanse los ejemplos 14.3 y 14.4.)

Presin es fuerza normal por unidad de rea. La ley de Pascalestablece que la presin aplicada a la superficie de un fluidoencerrado se transmite sin disminucin a todas las porcionesdel fluido. La presin absoluta es la presin total en un flui-do; la presin manomtrica es la diferencia entre la presinabsoluta y la atmosfrica. La unidad SI de presin es el pas-cal (Pa): l.pa = l N/m2 (Vase el ejemplo 14.2.)

mp =-

V(14.1)Densidad es masa por unidad de volumen. Si una masa m de

material homogneo tiene un volumen V, su densidad p es elcociente m/V. La gravedad especifica es la relacin entre ladensidad de un material y la del agua. (Vase el ejemplo 14.1.)

RESUMEN

CAPTU LO 14 I Mecnica de fluidos536

Notas del lector

presin absoluta, 520presin atmosfrica, 518presin manomtrica, 520principio de Arqumedes, 523tensin superficial, 525tubo de flujo, 526turbulencia, 534viscosidad, 526viscosidad, 533

flujo laminar, 527flujo turbulento, 527fuerza de flotaci, 523gravedad especfica, 516ley de Pascal, 520lnea de corriente, 526lnea de flujo, 526pascal, 518presin, 517

barmetro de mercurio, 521densidad, 515dinmica de fluidos, 515ecuacin de Bernoulli, 530ecuacin de continuidad, 527esttica de tluidos, 515flotacin, 523fluido ideal, 526flujo estable, 526

Trminos clave

1 2 1 2PI + pgYI + "2PVI = P2 + pgY2 + "2PV2(ecuacin de Bemoulli) (14.17)

La ecuacinde Bemoulli relaciona la presinp, la rapidez de flujo v yla alturay de dos puntos 1 y 2 cuales-quiera, suponiendo flujo estable en 1un fluido ideal. (Vanse los ejemplos14.8a 14.11.)

Notas del lector 537

P14.1 Si el peso de un cuarto lleno de agua es tan grande (ejemplo14.1, seccin 14.1), por qu no se colapsa el piso de las casas constano cuando se inundan hasta el techo del stano?P14.2 Una manguera de hule se conecta a un embudo y el extremolibre se dobla hacia arriba. Si se vierte agua en el embudo, sube almismo nivel en la manguera que en el embudo, a pesar de que stetiene mucha ms agua, Por qu?P14.3 Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 de las secciones 14.1 y14.2, parece que 700 Nde aire ejercen una fuerza hacia abajo de 2':0X 106 N sobre el piso. Cmo es posible?P14.4 La ecuacin (14.7) muestra que una relacin de rea de 100a 1 puede dar 100 veces ms fuerza de salida que de entrada. Noviola esto la conservacin de la energa? Explique.

Seccin 14.1 Por la tabla 14.1, la densidad del platino es 21.4 ve-ces la del agua (21.4 X 103 kg/nr' contra] .00 X 103 kg/nr'), Por laecuacin (14.1), el volumen y la densidad 5011 inversamente propor-cionales, as que la misma masa de agua tiene 21.4 veces el volu-men que e'Jlatino, o sea, 21.4 nr'. La longitud de cada lado delcubo seria 3 21.4 m3 = 2.78 m.Seccin 14.2 Por la ecuacin (14.9), la presin exterior es igual alproducto pgh. La densidad p decrece, mientras que la altura h de lacolumnade mercurio no cambia; por tanto, la presin debe ser me-nor afuera que dentro del refrigerador. ",Seccin 14.3 El objeto desplaza dos tercios de su volumen V, asque la fuerza de flotacin hacia arriba es B = jPagua Vg. El objeto es-t en equilibrio, as que B es igualal peso del objeto, PobieloVg. Portanto, PobjelO= ~Pniu.' ste es un ejemplo de una regla general: si unobjeto flota un un lquido con una fraccin x de su volumen sumergi-da, la densidad media del objeto es x veces la densidad del lquido.Seccin 14.4 Dado que el aire es casi incompresible, la razn deflujo de volumen del aire es prcticamente constante. Cuando soplaaire a travs de una constriccin, como un paso montaoso, su rapi-dez aumenta para mantener constante la razn de flujo de volumen.Seccin 14.5 Por la ecuacin de Bernoulli, un aumento en la rapi-dez de flujo v corresponde a una disminucin en la presin del airep. La presin reducida del aire en el lado "exterior" de la puerta ha-ce que la puerta oscile hacia ese lado, cerrndose.Seccin 14.6 La presin requerida es proporcional a lIR4 Con laaguja de menor dimetro, la presin es mayor en un factor de[(0.55 mm)/(0.40 mm)]4 = 3.6.

Preguntas para anlisis

Respuestas ~ las preguntas de Evalesu comprensron

El aire mantiene casi la misma densidad al pasar por semejanteconstriccin, as que puede aplicarse la ecuacin de continuidad pa-ra un fluido incompresible [ecuacin (14.10)]. Una constriccin co-rresponde a un rea de seccin transversal reducida, as que larapidez v debe aumentar.

Respuesta a la pregunta inicialdel captulo

e A pTUL o 14 1 Mecnica de fluidos

P14.5 Tal vez haya notado que, cuanto menor es la presin de unneumtico, mayor es el rea de contacto entre l y el pavimento.Por qu?P14.6 Un globo de aire caliente se llena con aire calentado por unquemador en la base. Por qu debe calentarse el aire? Cmo secontrola el ascenso y el descenso?P14.7 Al describir el tamao de un barco grande, se dice por ejem-plo, "desplaza 20,000 toneladas". Qu significa esto? Se puedeobtener de este dato el peso .del barco?P14.8 Se deja caer una esfera slida de aluminio en un cubo deagua que descansa en el suelo. La fuerza de flotacin es igual al pe-so del agua desplazada, que es menor que el peso de la esfera, asque sta se hunde. Si llevamos el cubo a un elevador que acelera ha-cia arriba, el peso aparente del agua aumenta y,por tanto, aumenta lafuerza de flotacin que acta sobre la esfera. La aceleracin del ele-vador podra ser tan grande que haga que la esfera flote en el agua?Explique.P14.9 Un dirigible rgido ms ligero que el aire, lleno de helio, nopuede elevarse indefinidamente. Por qu no? Qu determina laaltitud mxima alcanzable?P14.10 La presin del aire disminuye al aumentar la altitud. Porqu entonces el aire cerca de la superficie no es succionado conti-nuamente hacia las regiones altas que estn a baja presin?P14.11 Puede probarse la pureza del oro pesndolo en ai re y enagua. Cmo? Cree que podria hacer pasar por oro un lingote dematerial ms barato chapeado con oro?P14.12 Durante la gran inundacin del ro Mississippi de 1993, losdiques en San Luis tendan a romperse primero en la base. Porqu?P14.13 Un barco carguero viaja del Atlntico (agua salada) al lagoOntario (agua dulce) por el ro San Lorenzo. El barco se sume va-rios centmetros ms en el agua del lago que en el ocano. Expliquepor qu.P14.14 Un submarino es ms compresible que el agua. Cmopuede entonces un submarino rodeado completamente por agua es-tar slo en equilibrio inestable?P14.15 Una vieja pregunta reza as: "Qu pesa ms, una libra deplumas o una de plomo?" Si el peso en libras es la fuerza gravitacio-nal, una libra de plumas equilibrar una libra de plomo en charolasopuestas de una balanza de brazos iguales? Explique, considerandolas fuerzas de flotacin.P14.16 Suponga que la puerta de no cuarto embona hermtica-mente, pero sin friccin en su marco. Cree que podra abrir lapuerta si la presin del aire en un lado fuera la presin atmosfricaestndar y en el otro difiriera en un 1%? Explique.P14.17 Un globo es menos compresible que el aire. Cmo es quehay una altura en la que un globo inflado con helio est en equili-brio estable?P14.18 Un trozo de hierro est pegado encima de un bloque demadera. Si ste se coloca en una cubeta de agua con el hierro arri-ba, flota. Ahora se voltea el bloque para que el hierro quede sumer-gido bajo el bloque. El bloque flotar o se hundir? El nivel deagua en la cubeta subir, bajar o no cambiar? Explique.P14.19. Se toma una jarra de vidrio vaca y se mete en no tanque deagua con la boca hacia abajo, atrapando el aire dentro de la jarra. Simete ms la jarra en el agua, cambia la fuerza de flotacin que ac-

538

I

. 14.7 A qu profundidad del mar hay una presin manomtrica de1.00 X 105Pa?14.8 En la alimentacin intravenosa, se inserta una aguja en unavena del brazo del paciente y se conecta un tubo entre la aguja y undepsito de fluido (densidad 1050kg/rrr') que est a una altura so-bre el brazo. El depsito est abierto a la atmsfera por arriba. Si lapresin manomtrica dentro de la vena es de 5980 Pa, qu valormnimo de h permite que entre fluido en la vena? Suponga que eldimetro de la aguja es lo bastante grande como para despreciar laviscosidad (seccin 14.6)del fluido.

'14.9 Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600kg/nr') de 0.120 m sobre 0.250 m de agua. a) Qu presin mano-mtrica hay en la interfaz aceite-agua? b) Qu presin manomtri-ca bay en el fondo del barril?14.10 Una vagoneta vacapesa 16.5kN. Cada neumtico tiene unapresin manomtrica de 205 kPa (29.7 lb/pulg''). a) Calcule el reade contacto total de los neumticos con el suelo. (Suponga que lasparedes del neumtico son flexibles de modo que la presin ejerci-da por el neumtico sobre el suelo es igual a la presin de aire en suinterior.)b) Con la misma presin en los neumticos, calcule el readespus de que el auto se carga con 9.1 kN de pasajeros y carga.14.11 Se est diseando una campana de buceo que resista la pre-sin del mar a 250 m de profundidad. a) Cunto vale la presinmanomtrica a esa'profundidad? (Desprecie el cambio en la densi-dad del agua con la profundidad.) b)A esta profundidad, qu fuer-za neta ejercen el agua exterior y el aire interior s.obre unaventanilla circular de 30.0 cm de dimetro si la presin dentro de lacampana es la que hay en la superficie del agua? (Desprecie la pe-quea variacin de presin sobre la superficie de la ventanilla.)14.12 Qu presin manomtrica (en Pa'Yatm) debe producir.unabomba para subir agua del fondo del Gran Can (elevacin 730 m)a Indian Gardens (elevacin 1370m)?

~ 14.13 El lquidodelmanmetro de tubo abierto de la figura 14.8aesmercurio.y, = 3.00 cm YY2 = 7.00 cm. La presinatmosfrica es de980 milibares. a) Qu presin absoluta hay en la base del tubo enU? b) Yen el tubo abierto 4.00 cm abajo de la superficie libre? e)Qu presin absoluta tiene el aire del tanque? d) Qu presin ma-nomrrica tiene el gas en pascales?14.14 Hayuna profundidadmxima a la que- un buzo puede respirarpor UD "snorkel" (Fig. 14.31)pues, al aumentar la profundidad, au-menta la diferencia de presin que tiende a colapsar los pulmonesdel buzo. Dado que el snorkel conecta los pulmones con la atms-fera, la presin en ellos es la atmosfrica. Calcule la diferencia depresin interna-externa cuando los pulmones del buzo estn a 6.1 mde profundidad. Suponga que el buzo est en agua dulce. (Un buzoque respira el aire comprimido de un tanque puede operar a mayo-res profundidades que uno que usa snorkel, porque la.presin del

Seccin 14.2 Presin en un fluido

14.5 Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio tienen lamisma masa. Qu relacin hay entre el radio de la esfera de alumi-nio y el de la esfera de plomo?14.6 a) Calcule la densidad media del Sol. b) Calcule la densidadmedia de una estrella de neutrones que tiene la misma masa que elSol pero un radio de slo 20.0 km.

539Ejercicios

Seccin 14.1 Densidad14.1 En WI trabajo de medio tiempo, un supe~isorle pide traer delalmacn una varilla cilndrica de acero d~.8 cm de longitud y2.85 cm de dimetro. Necesitar usted un carrito? (Pare contestar,calcule el peso de la varilla.) ~; , .14.2 El radio de la Luna es de 1740km; su masa ~sde7.35 X 1O~2...kg. Calcule su densidad media. _ ~14.3 Imagine que compra una pieza rectangular demetal de 5.0 X15.0 X 30.0 mm y masa de 0.0158 kg. El vendedor le dice que esde oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la pie-za. Qu valor obtiene? Fue una estafa?14.4 Un secuestrador exige un cubo de platino de 40.0 kg comorescate. Cunto mide por lado?

Ejercicios

la sobre lajarra? Si lo hace, aumenta o disminuye? Justifique surespuesta.P14.20 Imagine que flota en una canoa en el centro de una alberca.Una amiga est en la orilla, tomando nota del nivel exacto del aguaen la pared de la alberca. Usted lleva consigo en la canoa una bola deboliche, la cual deja caer cuidadosamente por la borda. La bola sehunde hasta el fondo de la alberca. El nivel de agua en la albercasube o baja?P14.21 Imagine que flota en una canoa en el centro de una alber-ca. Un ave grande llega volando y se posa en su hombro. El nivelde agua en la alberca sube o baja?P14.22 Imagineque est nadando en una alberca y se encarama enuna balsa inflablede plstico que est flotandoen el agua. Si ustedes-t totalmentefueradel agua cuandoest arriba de labalsa, el niveldeagua en la alberca subeo baja cuando usted se sube a la balsa?P14.23 Un cubo de hielo flota en un vaso de agua. Al derretirse elhielo, el nivel de agua en el vaso subir, bajar o no cambiar? Ex-plique.P14.24 Le dicen que "la ecuacin de Bemoulli nos dice que, don-de la rapidez del fluido es ms alta, su presin es ms baja, y vice-versa". Es verdad siempre esa afirmacin, incluso en el caso de unfluido idealizado? Explique. . __P14.25 Si en un fluido en flujo estable la velocidad en cada puntoes constante, cmo puede acelerar una partcula de fluido?P14.26 En una exhibicin de escaparate, una pelota de ping-pongest suspendida en un chorro de aire expulsado por la manguera desalida de una aspiradora de tanque. La pelota se mueve un poco pe-ro siempre regresa al centro del chorro, aunque ste no est vertical.Cmo ilustra este comportamiento la ecuacin de Bernoulli?P14.27 Un tomado consiste en un vrtice de aire que gira rpida-mente. Por qu es la presin mucho ms baja en el centro queafuera? Cmo explica esto la potencia destructiva de un tornado?P14.28 Los aeropuertos a gran altitud tienen pistas ms largas pa-ra los despegues y aterrizajes, que los aeropuertos que estn al ni-vel del mar. Un motivo es que los motores de los avionesdesarrollan menos potencia en el aire enrarecido. Cite otro motivo.P14.29 Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo,se angosta al caer. Explique este fenmeno.

Seccin 14.4 FI~jo de fluidos14.29 Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es deLOOmm. La regadera est conectada a un tubo de 0.80 cm de radio.Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0mis, con qu rapidez sal-dr de los agujeros de la regadera?14.30 Fluye agua por un tubo de seccin transversal variable, lle-nndolo en todos sus puntos. En el punto 1, el rea transversal deltubo es de 0.070 rrr', y la rapidez del fluido es de 3.50 mis. a) Qu'rapidez tiene el fluido en puntos donde el rea transversal es de i)

Seccin 14.3 Flotacin14.21 Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce, Quvolumen mnimo debe tenerpara que una niujer de 45.0kg puedapararse en ella sin mojarse los pies?14.22 Una muestra de lUineralpesa 17.50 N en el aire pero, si secuelga de un hilo ligero y se sumerge por completo en agua, la ten-sin en el hilo es de 11.20N. Calcule el volumen total y la densidadde la muestra.

6.1m

Po 14.23 Un objeto con densidadmedia:p'flota sobre un fluido.de den-sidad Pnuido' a) Qu relacindebe haber entre las dos densidades?b)A la luz de su respuesta a laparte (a), cmopueden tlotar barcos deacero en el agua? e) En trminos de P y Plluido, qu fraccin del ob-jeto est sumergiday qu fraccinest sobreel fluido?Verifiquequesus respuestas den el comportamiento conecto en el lmite donde P-7 Pnuido Y donde P -7 O.d) Durante un paseo en yate, su primo Titorecorta una pieza rectangular (dimensiones: 5.0 X4.0 X 3.0 cm) deun salvavidas y la tira al mar, donde flota. La masa de la pieza esde 42 g. Quporcentaje de su volumen est sobre la superficie?14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostieneuna esfera hueca de plstico bajo la superficie. El volumen de la es-fera es de 0.650 m3 y la tensin en el cable es de 900 N. a) Calculela fuerza de flotacin ejercida por el agua sobre la esfera. b) Qumasa tiene la esfera? e) El cable se rompe y la esfera sube a la su-perficie. En equilibrio, qu fraccin del volumen de la esfera esta-r sumergida?

I 14.25 Un bloque cbico de ma-dera de 10.0cm por lado flota enla interfaz entre aceite yagua

Ejer- con su superficie inferior 1.50'''''_cm bajo la interfaz (Fig. 14.32).

'La densidad del aceite es de 790kg/m", a) Qu presin mano-mtrica hay en la-superficie dearriba del bloque? b) Yen lacara inferior? e) Qu masa y Figura 14.32 Ejercicio 14.25.densidad tiene el bloque?14.26 Un lingote de aluminio slido pesa 89N en el aire. a) Quvolumen tiene? b) El lingote se cuelga de una cuerda y se sumergepor completo en agua. Qu tensin hay en la cuerda (el peso apa-rente del lingote en agua)?14.27 Dos bloques cbicos idnticos en tamao y forma se cuel-gan de hilos y se sumergen totalmente en una alberca. El bloque Aes de aluminio; su cara superior est 0.5 m bajo la superficie del.agua.El bloque B es de latn; su cara superior est 1.5 bajo la su-perficie del agua. Indique si las siguientes cantidades tienen un va-lor mayor para el bloqueA o para el bloque B, o si son iguales: a) lapresin del agua sobre la cara superior del bloque; b) la fuerza deflotacin ejercida por el agua sobre el bloque; e) la tensin en.el hi-lo del que cuelga el bloque.14.28 Una roca cuelga de'un hilo ligero. Cuando est en el aire, latensin en el hilo es de 39.2N. Cuando est totalmentesumergidaenagua, la tensines de 28.4N. Cuandoest totalmentesUl1'!.ergidaenunlquido desconocido, la tensin es de 18.6N. Determine la densidaddel lquidodesconocido.

aire dentro de los pulmones aumenta hastaequilibrar la presin externa del agua.)14.15 Un cilindro alto con rea transversalde 12.0cm' se llen parcialmente con mer-curio hasta una altura de 5.00 cm. Se viertelentamente agua sobre el mercurio (los doslquidos no se mezclan). Qu volumen deagua deber aadirse para aumentar al do-ble la presin manomtrica en la base delcilindro?14.16 Un recipiente cerrado se llena par-cialmente con agua. En un principio, el airearriba del agua est a presin atmosfrica(1.01' X 10' Pa) y la presin manomtri-ca en la base del recipiente es de 2500 Pa.Despus; se bombea aire adicional al inte-rior, aumentando la presin del aire sobreel agua en 1500Pa. a) Calcule la nuevapre-sin manomtrica en el fondo. b) Cuntodeber reducirse el nivel del agua en el re-cipiente (extrayendo agua a travs de una Figura 14.31vlvula en el fondo) para que la presin cicio 14.14.manomtrica en el fondo vuelva a ser de2500 Pa? La presin del aire sobre el agua se mantiene a 1500 Pasobre la presin atmosfrica.14.17 Un corto deja sin electricidad a un submarino que est 30 mbajo la superficie del mar. 'Paraescapar, la tripulacin debe empu-jar hacia afuera una escotilla en el fondo que tiene un rea de 0.75m2 y pesa 300 N. Si la presin interior.es de 1.0 atm, qu fuerzahacia abajo se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?14.18 imagine que le encargan disear un tanque de agua cilndri:'co presurizado para una futura colonia en Marte, donde la acelera-cin debida a la gravedad es de 3.71 m/s". La presin en lasiiperficie del agua ser de 130kPa, y la profundidad del agua serde 14.2m. La presin del aire en la construccin afuera del tanqueser de 93 kPa. Calcule la fuerza neta hacia abajo que el agua y elaire interior y el aire exterior ejercen sobre la base plana del tanque(rea = 2.00 m2).

,114.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene0.250 m3 de queroseno, con una masa de 205 kg. La presin en lasuperficie del queroseno es de 2.01 X lO' Pa. El queroseno ejerceuna fuerza de 16.4 kN sobre el fondo del tanque, cuya rea es de0.0700 m2. Calcule la profundidad del queroseno.14.20 El pistn de un elevador hidrulico para autos tiene 0.30 mde dimetro. Qu presin manomtrica, en pascales y en atm, serequiere para levantar un auto de 1200kg?

11I

1::

e A PTUL o 14 I Mecnica de fluidos540

I14.42 En una demostracin en la clase, una profesora separa confacilidad dos cascos hemisfricos de acero (dimetro D) usando lasasas con las que estn provistos. Luego los une, extrae el aire hastauna presin absoluta p,y se los da a un fisicoculturista que est sen-tado en la ltima fila del saln para que los separe. a) Si la presinatmosfrca es Po, qu fuerza deber ejercer el fisicoculturista so-bre cada casco? b) Evale su respuesta para el caso en que p =0.025 atm y D = 10.0 cm.14.43 El punto ms profundo conocido de los ocanos es la Fosade las Marianas, con una profundidad de 10.92 km. a) Suponiendoque el agua es incompresible, qu presin haya esa profundidad?Use la densidad del agua de mar. b) La presin real es de 1.16 X IO~Pa; su valor calculado ser menor porque la densidad s vara con laprofundidad. Usando la compresibilidad del agua y la presin real,calcule la densidad del agua en el fondo de la fosa. Qu procenta-je de cambio experimenta la densidad?14.44 Una' piscina mide 5.0 m de longitud y 4.0 m de anchura, ytiene 3.0 m de hondo. Calcule la fuerza ejercida por el agua contraa) el fondo; b) cualquier pared. (Sugerencia: Calcule la fuerza queacta sobre una tira horizontal delgada a una profundidad 11, e inte-gre a lo alto del extremo de la piscina.) No incluya la fuerza debida (a la presin del aire.14.45 El borde superior de unacompuerta en una presa est alnivel de la superficie del agua.La compuerta tiene 2.00 m de al-tura y 4.00 m de anchura, y pivo-ta sobre una linea horizontal quepasa por su centro (Fig. 14.33).Calcule el momento de torsin Figura 14.33 Problema 14.45..en tomo al pivote causado porel agua. (Sugerencia:Use un procedimiento similar al del problema14.44: calcule el momento de torsin de una tira horizontal delgadaa una profundidad 11 e integre a lo alto de la compuerta.)14.46 Fuerza y momento de torsin sobre una presa. Una presatiene forma de sLido rectangular. El lado que da al lago tiene reaA y altura H. La superficie del lago de agua dulce detrs de la pre-sa llega al borde superior de la presa. a) Demuestre que la fuerzahorizontal neta ejercida por el agua sobre la presa es jpgHA, es de-cir, la presin manomtrica media sobre la cara de la presa multipli-cada por el rea. (vase el problema 14.44.) b) Demuestre que elmomento de torsin ejercido por el agua alrededor de un eje que co-rre a lo largo de la base de la presa es pgH2A/6. e) Cmo depen-den la fuerza y el momento de torsin del tamao del lago?14.47 Un astronauta est parado en el polo norte de un planeta esf-ricamente simtrico recin descubierto, cuyo radio es R. En las ma-nos, sostiene un recipiente lleno con un lquido de masa In y volumenV.En la superficie del lquido, la presin es Po; a una profundidad dbajo la superficie, la presin tiene un valor ms grande p. Determinela masa del planeta con esta informacin. .14.48 Para obtener la densidad en un punto dado dentro de un ma-terial, considere un volumen pequeo dV centrado en ese punto. Sila masa dentro de ese volumen es dm, la densidad en ese punto es

541Problemas

Seccin 14.5 Ecuacin de Bernoulli14.33 Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altu-ra de 11.0 m contiene tambin aire sobre el agua a una presin ma-nomtrica de 3.00 atm. Sale agua del tanque a travs de un agujeropequeo en el fondo. Calcule la rapidez de salida del agua.14.34 Se corta un agujero circular de 6.00 mm de dimetro en elcostado de un tanque de agua grande, 14.0 m debajo del nivel delagua en el tanque. El tanque est abierto al aire por arriba. Calcule a)la rapidez de salida; b) el volumen descargado por unidad de tiempo.14.35 Qu presin manomtrica se requiere. en una toma munici-pal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos.co-nectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Suponga qu"'ela toma tiene un dimetro mucho mayor que la manguera.)14.36 En un punto de una tubera, la rapidez del agua es de 3.00mis y la presin manomtrica es de 5.00 X 104 Pa. Calcule la pre-sin manomtrica en otro punto de la tubera, J 1.0 m ms abajo, siel dimetro del tubo ah es el doble que en el primer punto.14.37 Sustentacin en un avin. El aire fluye horizontalmentepor las alas de una avioneta de modo que su rapidez es de 70.0 mIsarriba del ala y 60.0 mis debajo. Si la avioneta tiene una masa de1340 kg Y un rea de alas de 16.2 m2, qu fuerza vertical neta (in-cluida la gravedad) acta sobre la nave? La densidad del aire es de1.20 kg/m'.14.38 Una bebida no alcohlica (principalmente agua) fluye poruna tubera de una planta embotelladora con una razn de flujo demasa que llenara 220 latas de 0.355 L por minuto. En el punto 2del tubo, la presin manomtrica es de 152 kPa y el rea transver-sal es de 8.00 cm2 En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el reatransversal es de 2.00 crrr', Calcule a) la razn de flujo de masa; b)la razn de flujo de volumen; e) la rapidez de flujo en los puntos Iy 2; d) la presin manomtrica en el punto l.14.39 Se descarga agua de un tubo horizontal cilndrco a razn dc465 cm3/s. En un punto del tubo donde el radio es de 2.05 cm, lapresin absoluta es de 1.60 X 105Pa. Qu6 radio tiene una constric-cin del tubo donde la presin se reduce a 1.20 x 105 Pa?14.40 En cierto punto de una tubera horizontal, la rapidez delagua es de 2.50 mis y la presin manomtrica es de 1.80 x 104 Pa.Calcule la presin manomtrica en un segundo punto donde el reatransversal es el doble que en el primero. .;14.41 Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua deun tubo horizontal a razn de 7200 cm3/s. En un punto del tubo,donde el radio es de 4.00 cm, la presin absoluta del agua es de 2.40x 105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una cons-rriccin cuyo radio es de 2.00 cm. Qu presin absoluta tiene elagua al fluir por esa constriccin?

0.105 m2? ii) 0.047 m2? b) Calcule el volumen de agua descarga- Problemasda del extremo abierto del tubo en 1.00 h.

, 14.31 Fluye agua por un tubo circular de seccin transversal varia-ble, llenndolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tu-bo de 0.150 m. Qu rapidez tiene el agua en este punto si la raznde flujo de volumen en el tubo es de 1.20