Capítulo 2 - 2015

CapítuloÁlgebra

2

Preparación IPN 2015

Los términos son cada una de las separaciones en una expresión algebraica.

a+b-cAquí son 3 términos.

abcAquí sólo hay 1 término porque

todo está pegado.

abc+defAquí hay 2 términos.

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

TÉRMINOS

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

TÉRMINOS

¿Qué son los términos?

ab ______wxyz ____2bc _____

a+b _______wx+yz _____2+b+c _____abcdef __ ab+cd+ef ___

Elementos de un término

3a2coeficient

e

exponentito

letra/base

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

COMPONENTES DE UN TÉRMINO

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


Si tuviéramos el término “x”, ¿Cuál sería su coeficiente, exponentito y literal?

Elementos de un término

xcoeficient

e

exponentito

letra/base

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son términos que poseen la(s) misma(s)

letra(s) y exponente(s). Ejemplos:

2a bc2

y3

5a bc2 3

3x ym

yn

-6x ym n

¿Qué son los términos semejantes?Misma letra

Mismo exponente

4a5 y 2a5

3a3b7 y 6a3b7

4a5 y 2a5

3a3b7 y 6a3b7

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


5a3b3 y 5a3b2

¿Son términos semejantes?

x5y5 y 2x5y5

2x2y5 y 3y5x2

Sí

Sí

Sí

No

No

No

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

OPERACIONES ALGEBRAICAS – SUMA

Operación Exponentes

Suma Nada

Resta Nada

Multiplicación Sumas

División Restas

Potencia Multiplicas

Raíz Divides

¿Qué hacer con los exponentes?

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

OPERACIONES ALGEBRÁICAS – SUMA

• Sólo puedes sumar los coeficientes de los términos

semejantes. 3a4 + 2a4 = 5a4

• NUNCA modifiques exponentitos

6x2 + x3 + 3x2 = 9x2 + x3 • No siempre se podrá sumar

3a4 + 5a2 = 3a4 + 5a2

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


3a b2 3 2a b2 3+ =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


6x y2 5 6x y5 5+ =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


Para sumas más largas, se recomienda hacer familias de los términos semejantes.

2x y z2 2 + 5x y5 4

7x y z2 2 x y5 4

+ + =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

OPERACIONES ALGEBRÁICAS – RESTA

• Sólo puedes restar los coeficientes de los términos

semejantes. 3a4 – 5a4 = –2a4

• NUNCA modifiques exponentitos

6x2 – x3 – 3x2 = 3x2 – x3 • No siempre se podrá restar

3a4 – 5a2 = 3a4 – 5a2

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


6a b4 3 2a b4 3– =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


3x y2 3 3x y4 3– =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


Para restas más largas, se recomienda hacer familias de los términos semejantes.

5x y z4 3 – 6x y6 5

2x y z4 3 x y6 5

– – =

3a4b5c6 – 2a4b5c6 =

2xy – 3xy – 4xyz – 5xy =

2a3b4 – 2a3b2 – 2a3b4 – 2a3b2 =

3xnym – xnyn – 2xnym – 3 =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


f(x)=5x2+y f(y)=2x2–4y f(z)=2y

– f(x) – f(y) + f(z)C

APÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

f(x) – f(y) – f(z)

f(x)=5x2+y f(y)=2x–4y2 f(z)=2y

(5x2+y)–(2x–4y2)–(2y)

5x2+y–2x+4y2–2y

5x2–y–2x+4y2

5x2+4y2–2x–y

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


A= a3-a4b-3a5 B= 3a3-4a4+a4b

C= -2a3+7a5+5a4b D= 2a4-a3-a5

A+B =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


A= a3-a4b-3a5 B= 3a3-4a4+a4b

C= -2a3+7a5+5a4b D= 2a4-a3-a5

B-C =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

• Se multiplican los coeficientes.

2a4 (6a3) = 12a7• Se suman los exponentitos

– 4a4b2c (2a3bc) = – 8a7b3c2• Se multiplica letra por

letra–2a2b3c6 (–2a3bd) =

4a5b4c6d

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


-3ab2(-2ab)=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


x3y2 (x4y7) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


sen3(30°) sen4(30°)=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


sen5x(sen2x)=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN CON LETRAS COMO EXPONENTES

x(x3) = x1+3 = x4

xn(x) = xn+1

xn (xn) = xn+n = x2n

x2n (xn) = x2n+n = x3n

xn (xn ) = xn+n 2 2

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


x2m(x)=

am(a)=

am(a2)=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


2am(-an) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


(𝐱𝐦𝟐+𝟏)(𝐱𝐦𝟐+𝟐)=¿

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


(𝐱𝐧𝟐

)(𝐱𝐧)=¿

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


(𝐱𝟐𝐦𝟐+𝟏)(𝐱𝐦𝟐

)=¿

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN MONOMIO POR BINOMIO

x2 (x3 + x4 ) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN MONOMIO POR BINOMIO

ab4 (a3b2 + b5c2 ) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN BINOMIO POR BINOMIO

(a+b)(a+b) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN BINOMIO POR BINOMIO

(a2 + b3 ) (b4 + c5 ) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN POLINOMIO POR POLINOMIO

(a + b) (a + b + c + d) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN POLINOMIO POR POLINOMIO

(a + b) (a + c ) (c + d) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN ALGEBRAICA

• Se dividen los coeficientes.• Se restan los exponentitos

9a2b3c4

3a5b c4

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN ALGEBRAICA

𝐚𝟓𝐛𝟑𝐜𝟒𝐞𝐚𝟐𝐛𝟕𝐜𝟒𝐝

𝐚𝟐𝐛𝟑𝐜𝟒

𝟖𝐚𝟗𝐛𝟒𝐜𝟒𝐝

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

SUBIR Y BAJAR EXPONENTES

𝐚−𝟐

𝐛−𝟒

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

SUBIR Y BAJAR EXPONENTES

𝟓𝐚−𝟑𝐜𝟒

𝐛𝟐𝐝−𝟓

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN CON EXPONENTES NEGATIVOS

2x4x 2

x -2

a3a 5

a -5

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


4 x3y2z –2

16w3x3y8

z

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


𝐱𝟐 𝐲𝟒𝐳𝟑

𝐱𝟕𝐲𝟑𝐳−𝟓

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


𝐚𝟑𝐛−𝟓

𝐚−𝟐𝐛𝟒

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


𝐚−𝟒𝐛−𝟐

𝐚−𝟓𝐛−𝟏

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN CON LETRAS COMO EXPONENTES

2a5n bn cm

7 a2nb3ncn=

6a4nb4ncn

2a–3b2mcn=2

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN CON LETRAS COMO EXPONENTES

𝐚𝐦𝐛𝐧𝐜𝐦−𝐧

𝐛𝟐𝐜𝐧−𝟑

𝟏𝟎𝐱𝟓𝐧−𝟑 𝐲𝟐𝐧𝟐−𝟒𝐧

𝟏𝟖𝐱𝟒𝐧+𝟏 𝐲𝟓𝐧−𝟐

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN POLINOMIO ENTRE MONOMIO

x2 + x5 + x3

x3

=1x

x2 + 1

+

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


a5 b2 c2n + a b2 c3 + a3 b3

a3 b4 cn

=

Método de Ruffini1.- Escoger al multiplicador supremo.2.- Dibujar la casilla.3.- Pasar lista a los términos en orden y escribir únicamente su coeficiente.4.- Bajar el 1er coeficiente.5.- Hacer las multiplicaciones y sumas.6.- Pasar lista otra vezC

APÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN ENTRE BINOMIOS (DIVISIÓN SINTÉTICA O MÉTODO DE RUFFINI)

x5 – 4x4 + 30xx – 3

=

1 –4 0 0 30

Multiplicador Supremo = 3

3

1 –1 –3 –9 3

3 –3 –9 –27

x5 x4 x3 x2 x

x4 x3 x2 x #x4 –x3 – 3x2 – 9x

+ 3

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


x3 – x2 + 2x – 2 x – 1

=C

APÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


𝟔𝐱𝟒+𝟒𝐱−𝟖𝐱𝐧

𝟐𝐱𝟐

x3 – 3x2 + 4 x – 2

=C

APÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


8x2y3+8xy – 6x2y2z – 6xz

2xy2+2

=

Guía 2014

4x2y+3x2z 4x2y – 3x2z

4xy – 3xz 4xy + 3xz

a)

c)

b)

d)CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS

x3+x– 2x –1

=

Guía 2014

x2+x+2 x2+x – 2

x2 – x+2 x2 – x – 2

a)

c)

b)

d)CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


El cociente de la siguiente expresión es:

A) 2x2+3 B) 2x2+ x + 3 C) 2x+1 D) 2x2+ 2x + 3

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


Elige la expresión algebraica equivalente a:

A) a+1 B)

C) a+5 D)

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

POTENCIA ALGEBRAICA

• Se potencializan los coeficientes.• Se multiplican los exponentitos

(4x3)2 =

(2x3y z5)3 =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

POTENCIA ALGEBRAICA

(2a2b3c4)3 =

(Se multiplican los exponentitos)

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

POTENCIA CON EXPONENTES NUMÉRICOS

(4a4b3c5)2 =

(Se multiplican los exponentitos)

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

POTENCIA CON EXPONENTES LITERALES

(3an+2)3 =

(-2ab2ncm+2)4 =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


(4xn)n =

(4x2n)n =

(4x2n) =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


(4xn)n =

(5am+2b2m)n =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

POTENCIA DE UN POLINOMIO

(a+b)2 =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ ALGEBRAICA

• Se racionalizan los coeficientes.• Se dividen los exponentitos

4x2y4z6 = 2xy2z3

27x3y15z12 = 3xy5z43

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ ALGEBRAICA

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ ALGEBRAICA

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ DE UN MONOMIO

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ DE UN MONOMIO

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

RAÍZ DE UN MONOMIO

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

CONVERTIR RAÍZ A POTENCIA

=

=

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

CONVERTIR RAÍZ A POTENCIA

x = x12

x = x13

3

x = x14

4

x2 = x25

5

a2 = a22

a = a1n

n

xm+2 = xm+2

55

= a

am = amn

n

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

SUMA Y RESTA DE RAÍCES

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

SUMA Y RESTA DE RAÍCES

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES CON EL MISMO RADICAL

=

=

=

=

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


=

=

=

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


=

=

=

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


=

=

=

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


() =

() =

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES CON DIFERENTE RADICAL

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES CON DIFERENTE RADICAL

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN DE RAÍCES CON EL MISMO RADICAL

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


𝟒√𝐱𝟑

𝟒√𝐱𝟕

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA


=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN DE RAÍCES CON DIFERENTE RADICAL

=

CA

PÍT

ULO

2 –

ÁLG

EB

RA

DIVISIÓN DE RAÍCES CON DIFERENTE RADICAL

=

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Capítulo 2 - 2015