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Capítulo 2.
Fluctuaciones superconductoras
En este capítulo se exponen las ideas básicas del estudio de fluctuaciones
termodinámicas superconductoras en HTSC y su relación con la teoría de Ginzburg-
Landau; además, se hace énfasis en las teorías y modelos matemáticos aplicados al
estudio de fluctuaciones en la magnetización por encima y por debajo de la
temperatura de transición de campo medio.
2.1. INTRODUCCIÓN A LAS FLUCTUACIONES
TERMODINÁMICAS SUPERCONDUCTORAS
Las fluctuaciones superconductoras consisten en la aparición de pares de Cooper, aún
por encima de la temperatura crítica ((T-Tc)/Tc~102), que tienen un tiempo de vida
finito y característico ( ), tal que, aparecen y desaparecen como
consecuencia de fluctuaciones termodinámicas que se presentan en un estado de no
equilibrio; como consecuencia, se presentan variaciones abruptas medibles en ciertos
parámetros como la conductividad eléctrica, la capacidad calorífica, la magnetización
o la susceptibilidad magnética, entre otros; p.e. en un amplio rango de temperatura
por encima de la Tc, el principal efecto de las fluctuaciones, es crear un gap virtual en
el espectro electrónico del superconductor, esto se produce, porque el número total de
estados electrónicos cambia debido a la interacción de Cooper y solamente podrá
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haber una distribución de niveles a lo largo del eje energético ocurriendo un pseudo
gap en el nivel de Fermi. La disminución de la densidad de estados electrónicos en el
nivel de Fermi origina una reducción de la conductividad eléctrica y un aumento de
su resistividad, como resultado, esta presenta un máximo cerca de la Tc [27, 28].
En la fase normal, hay presencia de cierta cantidad de pares fuera del equilibrio, los
cuales dan lugar a tres efectos importantes sobre la conductividad: 1) la aparición del
efecto Meissner-Ochsenfeld que incrementa la susceptibilidad diamagnética, este
efecto se conoce como contribución de Aslamasov-Larkin o paraconductividad. 2)
Disminución en la densidad de estados electrónicos en el nivel de Fermi conocida
como contribución a la densidad de estados y 3) una contribución cuántica conocida
como contribución de Maki-Thompson debida a las dispersiones elásticas y
coherentes de los pares de Cooper con las impurezas de los materiales.
Las fluctuaciones termodinámicas tienen un papel importante en la descripción de las
transiciones de fase de segundo orden porque explican las variaciones del parámetro
de orden y la capacidad calorífica, esta última, presenta un salto justo en la Tc
(Fig.1.6); existe un rango de temperatura (determinado por Ginzburg-Landau) en el
que la corrección por fluctuaciones este parámetro es importante y esta dado por [29]:
(2.1)
donde a es la distancia interatómica y ξ0 es la longitud de coherencia. Como puede
verse en (2.1) el rango de temperatura ΔT en el que las fluctuaciones tienen efectos
importantes, puede aumentar si se incrementa a y/o disminuye ξ0, esto ocurre en los
superconductores de alta temperatura (HTSC) anisótropos como la familia
TRBa2Cu3O7-δ.
2.1.1. Fluctuaciones y energía libre de Ginzburg-Landau
Las fluctuaciones superconductoras pueden ser tratadas a través de la teoría de
Ginzburg-Landau [30], en la que se consideran las causantes de la variación de la
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energía libre f en una cantidad aproximada a kBT por encima del valor mínimo
considerándose fluctuaciones débiles (k<<λ2) y fuertes (k>>λ2) de acuerdo con un
parámetro k (diferente del parámetro de Ginzburg-Landau) definido en [27] como
función de la Tc, la frecuencia y una constante que depende de la tasa de dispersión
electrónica del material. Estas variaciones se estudian a través de la expansión de la
energía libre de Ginzburg-Landau (1.2):
(2.2)
en la que se presentan dos casos dependiendo del signo de . En campo magnético
nulo (A=0), si es positivo, la mínima diferencia de energía libre ocurre en |Φ|2=0
(Fig. 2.1a), lo que corresponde al estado normal; por otro lado, si es negativo, el
mínimo de la diferencia de energía, calculado como la segunda derivada con respecto
al parámetro de orden, permite encontrar
(2.3)
que corresponden a los dos mínimos en la Fig. 2.1b. Reemplazando (2.3) en (2.2) con
A=0 y de acuerdo con (1.4a) se tiene que en los puntos mínimos la diferencia de
energía vale
(2.4)
Figura 2.1. Densidad de energía libre en función del parámetro de orden (Φ=ψ) para a) α>0 y b) α<0.
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27
El parámetro de orden puede saltar hacia otros valores de Φ(r) con energía f siempre
que f-f0< kBT (siendo f0 la energía asociada al equilibrio); tales desviaciones se
conocen como fluctuaciones térmicas [30]. A causa de estas fluctuaciones, el sistema
puede pasar a estados distintos de equilibrio con una probabilidad significativa a
pesar de ser energéticamente menos favorables, así, las fluctuaciones en la energía se
manifiestan como fluctuaciones del parámetro de orden. La magnitud de las
fluctuaciones del parámetro de orden pueden calcularse encontrando la segunda
derivada de F respecto a en el punto de equilibrio Φ0, este procedimiento se
desarrolla en [31]; por debajo de Tc las fluctuaciones son pequeñas comparadas con
el valor de equilibrio, estas se conocen como fluctuaciones gaussianas ya que sus
expresiones resultan de considerar una función de partición que resulta tener forma de
una Gaussiana [32]; cerca del punto crítico se van haciendo más apreciables pues |Φ|2
decrece suavemente incluso por encima de Tc donde decae como ε-1 (ε es la
temperatura reducida) [31], en ese régimen no es posible despreciar los términos de
orden superior de la expansión de F.
El estudio de fluctuaciones es aplicable bajo ciertas condiciones generales, siendo su
principal limitación el rango de temperatura: debe considerarse un límite inferior y un
límite superior (ε<<1) dentro de los cuales pueda considerarse un régimen Gaussiano
si no se van a considerar interacciones significativas de las fluctuaciones; sin
embargo, la teoría de fluctuaciones se asume válida, por ejemplo, para una
concentración arbitraria de impurezas, paso de modelos 2D a 3D y campos aplicados
paralelos al eje c [33].
2.2 TEORÍA DE FLUCTUACIONES EN LA MAGNETIZACIÓN
Para incluir el efecto de las fluctuaciones por encima de la Tc se debe ir más allá de la
teoría BCS, la cual es una aproximación de campo medio y donde además, la
formación de los pares y la superconductividad ocurren a la misma temperatura: el
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28
efecto de las fluctuaciones invalida la teoría de campo medio cerca de Tc [34]. Una
de las variables más adecuadas para el estudio de fluctuaciones termodinámicas en
los HTSC en el límite de campo débil, es la variación de la magnetización Mab(T,B)
con campos (B) perpendiculares a los planos ab; estas fluctuaciones pueden ser
cuantificadas a través del llamado exceso de magnetización
, donde es la magnetización asociada al
estado normal en caso que no se diera la transición superconductora, es decir, la
contribución extrapolada muy por encima de la temperatura de transición de campo
medio con H=0 (Tc0) donde los efectos de fluctuaciones son despreciables [35].
2.2.1. Fluctuaciones por encima de Tc0
Por encima de Tc0, la magnetización depende linealmente del campo y el estudio de
proporciona información acerca de la longitud de coherencia de
Ginzburg-Landau a 0 K en el plano ab (ξab(0)) y en c (ξc(0)); por debajo de Tc0, en el
estado mixto reversible, es debida al diamagnetismo tipo London y a
fluctuaciones térmicas [7], que en campo débil, se asocian a las posiciones de los
vórtices; en ausencia de acoplamiento superconductor (como ocurre en los
superconductores laminares) los vórtices bidimensionales de una capa y otra
interactúan solamente a través del campo magnético [2]. En el rango de campos
magnéticos intermedios ( es el cuanto de flujo
magnético) donde el parámetro de GL k>>1 la magnetización M varía linealmente
con el lnB si se asume que los vórtices no se traslapan [4].
Se habla de límite de campo débil si donde es la temperatura
reducida y el campo crítico superior a 0 K. La temperatura reducida está dada
en términos de Tc0 así: [5].
Por encima de Tc0 suele usarse el llamado exceso de diamagnetismo
para el estudio de fluctuaciones térmicas, teniendo en
cuenta la creación de pares de Cooper como consecuencia de las mismas. El exceso
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29
de diamagnetismo puede abordarse matemáticamente desde la teoría de Ginzburg-
Landau o desde la teoría microscópica BSC [36], sin embargo, es más usual tratarla
desde la expresión de la energía libre de GL. La aparición de pares de Cooper por
encima de la temperatura crítica disminuye la medida de la susceptibilidad magnética
χ(T) induciendo el exceso de diamagnetismo dado por:
(2.5)
donde χB(T) corresponde a la susceptibilidad normal por encima de la transición
superconductora en ausencia de fluctuaciones [26]; este exceso puede ser obtenido,
teniendo en cuenta la cantidad de planos fluctuantes independientes (Ne) con una
periodicidad s (s~11,7 Å para el YBCO), en términos de la longitud de coherencia de
los planos (ξab) y en eje (ξc), de los componentes complejos de las funciones de onda
de los planos (g) y de los coeficientes de acoplamiento Josephson (γj) [26]. Partiendo
de una expansión de la energía libre de GL (1.2) con un término adicional y
despreciando potencias superiores del parámetro de orden se tiene [26, 36, 37]:
(2.6)
(ver Fig. 2.2), aquí m corresponde a la masa efectiva del plano. De acuerdo con esto
el exceso de diamagnetismo puede ser expresado como:
(2.7)
donde V es el volumen y el promedio es conocido como energía libre efectiva [26,
37] y resulta de considerar la función de partición Z así:
(2.8)
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30
De introducir una expansión de Fourier del parámetro de orden en función de las
funciones propias del operador resulta una expresión de energía libre
similar a los niveles de Landau de partícula libre, de hecho, el diamagnetismo
inducido por las fluctuaciones puede ser debido, cualitativamente, a la presencia de
pares de Cooper que aparecen y desaparecen por las fluctuaciones térmicas y que se
mueven en órbitas circulares con la frecuencia de un oscilador armónico, más
exactamente, la frecuencia de ciclotrón [26, 36]. Este tipo de expansión permite
expresar (2.8) así (el procedimiento completo es desarrollado en [26]):
(2.9)
Siendo λjkz función de los acoplamientos Josephson (kz proviene de la expansión de
Fourier). Así, en el eje c se encuentra:
y (2.10)
con y la misma relación se cumple para los planos.
Desarrollando la integral (2.9) para N=1 se tiene que:
(2.11)
Reemplazando (2.11) en (2.7) se encuentra que, en la región de campo débil (también
válido en campo medio) y asumiendo que la magnitud del acoplamiento Josephson es
la misma para todos los planos CuO2 (aproximación de Schmidt), el exceso de
diamagnetismo está dado por [5, 7]:
(2.12)
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31
donde (con la permeabilidad del vacío, la constante de
Boltzman y el cuanto de flujo magnético) es el diamagnetismo de Schmidt y
(siendo s la longitud entre capas sucesivas de CuO2) es el parámetro
de Lawrence-Doniach que controla la variación del parámetro de orden. El 2 (g) en
(2.12) corresponde al número efectivo de planos fluctuantes independientes por cada
longitud s, este valor depende de la fuerza del acoplamiento Josephson entre capas
subyacentes y tiene relevancia en la contribución de las fluctuaciones del parámetro
de orden a la paraconductividad [26]. Sin la aproximación de Schmidt, (2.12) sería
mucho más complicada pero puede reducirse en esa forma porque, en la región de
campo medio y por encima de Tc0, los efectos de las fluctuaciones del parámetro de
orden son bidimensionales pues ξc(ε)<<s. Como esta última condición es
ampliamente verificada en los HTSC, en estos, (2.12) se reduce a
. Si la interacción Josephson entre capas sucesivas de CuO2, en la región de campo
medio es muy fuerte, esto es equivalente a una sola capa sin estructura interna [38,
26]. Un amplio estudio de las fluctuaciones del diamagnetismo en superconductores
laminares con diferentes acoplamientos se encuentra en [26].
Ahora, para N=2 se cumple que:
(2.13)
Donde
El primero de estos límites incluye el caso en que la interacción Josephson es tan
fuerte que en la región de campo medio se comportan como un solo plano sin
estructura interna, en el otro límite, si los acoplamientos son iguales, el sistema
biperiódico es equivalente a un superconductor laminar con un solo valor de
periodicidad [36,37,38].
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32
Así, en la región de campo medio (ε>>1 y ξc<<s) la amplitud del parámetro de orden
está en el límite 2D, esto significa que cada plano de CuO2 fluctúa
independientemente, por otro lado, si ε<<1 y ξc<<s, la amplitud del parámetro de
orden está en el límite 3D y los planos fluctúan todos juntos [26]. Debido a la
anisotropía, se espera que en el límite 3D el exceso de diamagnetismo en c para H
aplicado perpendicular a c sea diferente del exceso de diamagnetismo en los planos,
estos se relacionan así [26]:
(2.14)
Además, Δχ para H paralelo al eje del cristal aplicando el formalismo convencional
de la función de partición utilizado por Schmid [36] el diamagnetismo inducido por
fluctuaciones resulta ser:
(2.15)
donde es la longitud de correlación superconductora en la dirección
de H y es la media geométrica de la longitud de correlación de las
direcciones perpendiculares.
Figura 2.2. Vista esquemática de un superconductor laminar con s=d1+d2 donde j es el plano
superconductor de la n celda de longitud s [26].
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33
2.2.2. Fluctuaciones por debajo de Tc0 (modelo BLK)
Para campos magnéticos suficientemente altos para confinar los pares de Cooper en
el más bajo nivel de Landau, las fluctuaciones adquieren un carácter unidimensional a
lo largo de la dirección del campo magnético lo cual aumenta la importancia de la
fluctuaciones en temperaturas alrededor de la Tc, la región en la que ocurre esto
depende del campo y para determinarla se utiliza el llamado “criterio de campo
dependiente” que está dado por:
(2.16)
donde Hc2(0) es el campo crítico superior extrapolado a T= 0 K para B perpendicular a
los planos ab [38].
Por debajo de Tc0 se utiliza el modelo para el exceso de magnetización propuesto por
Bulaevskii, Ledvig y Kogan (BLK) [2] que tiene en cuenta las fluctuaciones en las
posiciones de los vórtices [35]. Este formalismo introduce un término adicional en la
energía libre debido a un aumento de la entropía causada por el desorden de la red de
vórtices [6], esta contribución está dada por donde el primer término,
, es la energía del vórtice (πR2 es su área y d su espesor) y
en el segundo, es su entropía y TKT es la temperatura de Kosterlitz-
Thouless [39] por encima de la cual la creación espontánea de vórtices 2D es
favorable debido a que la energía libre resulta negativa [2], está dada por:
(2.17)
Cuando el acoplamiento Josephson es débil, la energía del vórtice crece linealmente
con R mientras que la entropía de vórtices bidimensionales aún lo hace
logarítmicamente, en ese caso, la creación de vórtices espontánea, inducida
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34
térmicamente es imposible. El funcional de la densidad de energía libre puede
expresarse como:
(2.18)
Donde F0 es la densidad de energía de la red no distorsionada, fel representa la energía
elástica y u la energía interna promedio [2]. Están dadas por:
(2.19)
(2.20)
Donde k=λab/ξab es el parámetro de GL, k=(kx,ky), i,j=x,y, c66, cL, c44 son módulos
laminar, de volumen y de inclinación., PL y PT son los operadores de proyección
longitudinal y trasversal y Q2 y u son los componentes de Fourier de las distorsiones.
Desarrollando la integración y la suma en (2.20) se tiene que fel=Fth(B,T) dado por:
(2.21)
Siendo λJ=sλc/λab la longitud Josephson, e la constante de Euler, α una constante de
valor unidad y Bcr un “campo crítico” dado por:
(2.22)
Ahora, la energía de un solo vórtice renormalizada por fluctuaciones térmicas puede
encontrarse con (2.19) y (2.21) obteniendo:
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35
(2.23)
Por encima de una cierta temperatura Ts, definida por E(Ts)=0 la energía libre de un
vórtice es negativa por lo que la generación espontánea de vórtices es posible para
T>Ts. Con esta consideración, puede encontrarse que si E(T)=0:
(2.24)
Sea (2.25)
En Ts se satisface (2.26)
Para λJ<< λab(0) el lado derecho de (2.25) es menor que uno; definiendo f(T*)=1,
asumiendo Tc0-Ts<<Tc0 y sabiendo, que λab(T)=0,7 λab(0)/t1/2 por la teoría
microscópica, con t=1-T/Tc0 se obtiene:
(2.27)
y (2.28)
donde t*=1-T*/Tc0 y se sigue que
(2.29)
y , que al reemplazar en (2.27) se encuentra ts=1-Ts/Tc0 que
satisface:
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36
(2.30)
La presencia de vórtices y antivórtices inducidos térmicamente en el intervalo
Ts<T<Tc0 resulta en fluctuaciones del capo magnético en la muestra [2].
Por debajo de Ts, en presencia de un campo aplicado, se puede calcular la
magnetización renormalizada por fluctuaciones térmicas . Para
campos Bcr<<B<<Hc2(T) puede calcularse el exceso de magnetización en función de
la temperatura T y el campo H así [2,4,5,7]:
(2.31)
Siendo η una constante relacionada con la energía de la red de vórtices (η ̴ 1,4),
y f (T) definida como en (2,25). En (2.31) el primer término
corresponde a la magnetización usual de London y el segundo a la contribución de las
fluctuaciones; la variación del exceso con lnB según (2.31) está dado por [4]:
con (2.32)
En (2.32), g(T) representa las fluctuaciones térmicas en la magnetización, las cuales
como es evidente, aumentan con el incremento de T y de λ. varía linealmente
con lnB hasta cierta temperatura en la que se presenta una leve desviación debida,
posiblemente, a contribuciones cuánticas de la fluctuación de vórtices o la influencia
del anclaje su distribución [35].
Como se vio, ésta teoría se predice la existencia de una temperatura T*, inferior a Tc0,
a la cual el exceso de magnetización = es independiente del campo
magnético [7] tal que, si se hacen varias curvas de vs. T, para diferentes campos
(Fig. 2.3), todas se cruzan en T* (debe tenerse en cuenta que este formalismo es
válido solamente para temperatura cercanas a T*). Como en T* la magnetización no
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37
depende del campo, entonces g(T*)=1. Para valores cercanos a Tc0 (T*~Tc0), de
(2.31) se sigue que:
(2.33)
donde por la aproximación de Tesanovic . Así, varias curvas isotermas
de M vs. lnB relacionadas como (2.31) permiten determinar el valor de temperatura
(T*) para el cual la magnetización se muestra como una función constante (de valor
), así, de acuerdo con (2.33) puede encontrarse también el valor de s; por otra
parte, estos parámetros y curvas vs. T permiten, usando (2.32),
determinar el valor de λab(T). Cuando no se considera el término debido las
fluctuaciones térmicas, λab(T) diverge en T* haciéndose infinita, sin embargo, con las
fluctuaciones se encuentra una contribución adicional para λab(T) [40] que evita este
problema.
Figura 2.3. vs. T para una muestra de CaLaDyBaCuO [40].
Los datos de M(B) pueden usarse también para determinar Hc2 y k (y por consiguiente
) reescribiendo (2.31) en la forma:
(2.34)
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38
y graficando el lado derecho de (2.34) contra lnB para diferentes T; extrapolando los
datos se puede obtener ηHc2(T)/e; obtenido el campo superior, se estima
[4]. Así, el estudio de este modelo permite tener en cuenta los
efectos de las fluctuaciones térmicas en los vórtices, y de este pueden obtenerse los
parámetros críticos corregidos de un HTSC a través de medidas de magnetización
únicamente.
Algunos de los parámetros característicos estimados, son los mismos por encima y
por debajo de Tc0, como es el caso de la longitud de coherencia de los planos de los
HTSC laminares y también algunos de los posibles efectos no intrínsecos de
; así, el análisis simultáneo de a ambos lados de Tc0 puede
reducir las incertidumbres experimentales y el número de parámetros libres en las
aproximaciones teóricas [35].
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