Capítulo 2: Fundamentos teóricos - bibing.us.esbibing.us.es/proyectos/abreproy/12048/fichero/PFC+Memoria... · Capitulo 2: Fundamentos ... (2.1.2) y (2.1.3) es el que sigue: 2.1.2

Capítulo 2: Fundamentos teóricos

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Capitulo 2: Fundamentos teóricos


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En este capitulo vamos a explicar algunos de los conceptos fundamentales en los que se basan los enlaces radioeléctricos. Para la realización de un radioenlace es necesario la transferencia de energía electromagnética al medio de propagación por parte del transmisor, así como la extracción de energía del medio por parte del receptor. De esto se encargará el sistema radiante en transmisión y la antena receptora en recepción. Por lo que, comenzaremos realizando un breve estudio de las antenas como elementos transmisores y receptores de la señal radioeléctrica, definiendo a la vez algunos de los parámetros básicos de un enlace. Por último, veremos los principales mecanismos de propagación de las ondas electromagnéticas haciendo uso de la Óptica Geométrica y la Teoría Uniforme de la Difracción.

2.1. Principios de la radiación electromagnética

2.1.1. Caracterización de la antena como elemento r adiante Idealmente, la antena transmisora es un elemento que radia una potencia igual a la que se le entrega. Sin embargo, en el trayecto que existe desde la alimentación de la antena hasta que se radia la potencia existen pérdidas que hay que modelar. La antena se puede caracterizar eléctricamente como una impedancia de la forma Za = Ra + jXa siendo la parte resistiva desglosable en dos componentes:

Ra = Rp + Rr Rp representa la resistencia de pérdidas que modela las pérdidas por calentamiento y Rr es la resistencia de radiación, de forma que para una corriente de valor eficaz entregada a la antena igual a i, la potencia radiada por la antena sea:

pt = Rr i2

Xa representa la reactancia que modela el comportamiento de la antena en campos cercanos (para distancias inferiores a tres veces la longitud de onda). En este punto, ya podemos representar el modelo eléctrico de la antena mediante el circuito equivalente de la Figura 2.1.

Figura 2.1. Modelo eléctrico de la antena en transmisión.

(2.1.1)

(2.1.2)


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En lo que sigue, supondremos siempre que las antenas están sintonizadas a la frecuencia de emisión, de modo que Xa = 0, y que el generador está adaptado a la antena. La potencia entregada por el generador, pe se divide a su vez en dos partes: la potencia disipada en la resistencia de pérdidas pd y la potencia radiada pt:

pe = pd + pt = (Rp + Rr)i2

Tenemos, por tanto, que el rendimiento de la antena transmisora definido como el cociente pt/pe usando (2.1.2) y (2.1.3) es el que sigue:

2.1.2. Campo radiado por la antena transmisora A continuación, vamos a realizar un estudio del campo que radia la antena en transmisión suponiendo que no hay pérdidas (Rp = 0) y que cuando el generador que alimenta la antena a una frecuencia f la potencia radiada es pt. Para ello, vamos a partir de las ecuaciones de Maxwell, con objeto de validar la expresión que presentamos del campo elétrico. Las ecuaciones de Maxwell se muestran a continuación: Ley de Gauss Ley de Gauss para campo magnético Ley de Ampère-Maxwell Ley de Maxwell-Faraday Haciendo uso de las propiedades del operador nabla y de algunas fórmulas vectoriales podemos hacer el siguiente desarrollo. Suponiendo lejanía del transmisor, que no hay carga ni densidad de corriente (ρ = 0 y J = 0):

Aplicando en (2.1.8) el rotacional y usando (2.1.7):

(2.1.3)

rp

r

e

t

RR

R

p

p

+==η (2.1.4)

ερ=⋅∇ E

rr

0=⋅∇ Hrr

t

HE

∂∂−=×∇r

rrµ

t

EJH

∂∂+=×∇r

rrrε

(2.1.5)

(2.1.6)

(2.1.7)

(2.1.8)

EEEErrrrrrrr

22)()( −∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ (2.1.9)

2

2)()()(

t

E

t

H

t

HE

∂∂−=

∂×∇∂−=

∂∂−×∇=×∇×∇

rrrrrrrr

µεµµ (2.1.10)


10

λσεδεωεσε

εεε 60)1( ''

0

'

0

jjtgj rrr −≈−=−==

por último, igualando las expresiones (2.1.9) y (2.1.10): que se trata de la ecuación de Helmholtz para el campo eléctrico. Realizando un desarrollo análogo para el campo magnético, se obtiene: En este punto, ya podemos presentar la solución a esta ecuación para el caso del campo eléctrico producido por la antena a una distancia a la que sea válida la hipótesis de campo lejano para ondas planas armónicas, en situación de propagación por espacio libre con dirección ς y para una polarización lineal. El valor del campo eléctrico en las condiciones descritas será: Para el caso del campo magnético y haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que: siendo

2.1.3. Superficies dieléctricas Solo los conductores perfectos pueden reflejar ondas electromagnéticas totalmente. En la práctica, todas las superficies son, en cierta medida, materiales dieléctricos. Estos materiales llevan asociados los siguientes parámetros:

• Permitividad: es el valor que relaciona el desplazamiento eléctrico y la intensidad del campo eléctrico. Esta medida describe la cantidad de campo eléctrico se genera por unidad de carga en un medio y viene dada en F/m (Faradios por metro). En el vacío y de forma aproximada para el aire la permitividad vale:

La permitividad de un material homogéneo suele expresarse como la permitividad relativa a la del espacio libre εr = ε/ε0.

En esta expresión, tgδ representa la tangente de pérdidas.

ekrtj ueEetrE ˆ

~),( )(

0−ℜ= ω

r

== −

m

F1290 10.854,8

10.94

1

πε

02

22 =

∂∂−∇

t

EE

rr

µε (2.1.11)

02

22 =

∂∂−∇

t

HH

rr

µε (2.1.12)

ℜ=×= −h

krtj ueE

etrE

trH ˆ~

),(ˆ),( )(0 ω

ηης

rr

(2.1.13)

(2.1.14)

eh uu ˆˆˆ ×= ς 000

~ ϕjeEE =λππω 22 ===

c

f

ck


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• Conductividad: es una medida de la facilidad con la que la corriente eléctrica

fluye a través de un material. La conductividad es la inversa de la resistividad y viene dada en S/m (Siemens por metro). En conductores perfectos la conductividad vale σ = ∞ y en el espacio libre σ0 = 0.

• Permeabilidad: Es el valor que relaciona la inducción magnética y la intensidad de campo magnético. Esta medida indica la cantidad de onda electromagnética absorbida por el material y viene dada en H/m (Henrios por metro). En el vacío y para materiales no magnéticos, la permeabilidad vale:

2.1.4. Propiedades de campos electromagnéticos en e spacio libre El campo electromagnético que es producido a consecuencia de la radiación de una antena, en cualquier dirección, tiene las siguientes propiedades:

• El vector del campo magnético H, es ortogonal al vector del campo eléctrico E.

• El cociente de los módulos de los vectores del campo eléctrico y del magnético, determina la impedancia intrínseca del medio. En general, la impedancia intrínseca viene dada por la siguiente fórmula:

donde ω = 2πf . Para el caso en que el medio sea el vacío, la fórmula queda reducida a:

• La velocidad de fase de la onda electromagnética, viene dada por:

que es la velocidad de la luz en el vacío vp = c =3.108 m/s.

= −

m

H70 10.4πµ

ωσε

µηj−

= (2.1.15)

πεµη 120

0

00 == (2.1.16)

(2.1.17) 00

1

εµ=pv


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• La densidad de flujo de potencia viene dada por el módulo del vector de poynting w/m2 (watt. por metro cuadrado). Para el cálculo de dicho vector, tenemos las relaciones siguientes. Por definición:

promediando:

Si ahora suponemos campos monocromáticos o armónicos, de la forma: podemos expresar (2.1.18) como: sustituyendo en la expresión (2.1.19) obtenemos:

Finalmente si operamos en (2.1.21) teniendo en cuenta la expresión

(2.1.14) y tomando el módulo: si escogemos el valor eficaz del campo eléctrico resulta:

πη 120

22EE

S ==

(2.1.18) HESvrr

×=

dtHET

HEST

∫ ×=×=0

)(1 rrrrr

)(

0

)(0

),(

),(krtj

krtj

eHetrH

eEetrE−

−

ℜ=

ℜ=ω

ω

rr

rr

*00

)(200

)(2*0

*00

*0

*00

)(200

)(*0

)(0

)(*0

)(0

)(0

)(0

2

1

2

14

1

4

1

4

1

4

12

1

2

1

HEeeHEe

eHEHEHEeHE

eHeHeEeE

eHeeEeS

krtj

krtjkrtj

krtjkrtjkrtjkrtj

krtjkrtj

rrrr

rrrrrrrr

rrrr

rrv

×ℜ+×ℜ=

=×+×+×+×=

=+×+=

=ℜ×ℜ=

−

−−−

−−−−−−

−−

ω

ωω

ωωωω

ωω

(2.1.19)

(2.1.20)

*00

0

*00

0

)(200 2

1

2

11

2

11HEedtHEe

TdteHEe

TS

TTkrtj

rrrrrrr×ℜ=×ℜ+×ℜ= ∫∫

−ω(2.1.21)

η22

12

0*00

EHEeS

rrrr

=×ℜ= (2.1.22)

(2.1.23)


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2.1.5. Características de radiación de las antenas Ahora vamos a ver algunas de las características más representativas de las antenas, para ello vamos a tomar el sistema de coordenadas representado en la Figura 2.2. y un punto de observación P.

• Ancho de banda: se define como el rango de frecuencias en el cual los parámetros de la antena cumplen determinadas características. Normalmente tomado entre los puntos de media potencia, pero también puede definirse un ancho de banda de impedancia o polarización, entre otros. En entornos WLAN, las antenas funcionan en la banda de los 2.4 GHz (802.11 b/g) ó los 5 GHz (802.11 a).

• Polarización: referida a la orientación del campo eléctrico creado por la antena. Se define como la figura geométrica descrita por el vector de campo eléctrico. En una situación de campo lejano tendremos, en general, un campo contenido en el plano perpendicular al vector radial (dirección de propagación).

Esta expresión pone de manifiesto que existe una diferencia tanto de magnitud como de fase. Tenemos, por tanto, una onda que se propaga en la dirección radial y que tiene estas componentes en el plano tangencial-transversal a la dirección de propagación tal y como puede verse en la figura 2.3.

Figura 2.2. Sistema de coordenadas.

φθφθ αθθφθ

))))rjekEEEEE +=+= (2.1.24)


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Según los valores de k y α tendremos distintos tipos de polarización:

- Polarización lineal: solo existe amplitud en uno de los ejes.

- Polarización circular: k = 1 y el desfase entre ambas componentes es α = ± π/2.

- Polarización elíptica: cualquier otro caso.

En la figura 2.4. se ilustran los distintos tipos de polarización comentados.

Figura 2.3. Componentes del campo.

Figura 2.4. Tipos de polarización.

Polarización lineal Polarización circular Polarización elíptica


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En este proyecto, sólo se ha tenido en cuenta la polarización lineal, que a su vez, puede dividirse en polarización horizontal y polarización vertical. La polarización horizontal se da cuando el campo eléctrico es paralelo a la superficie y perpendicular al plano de incidencia; y el campo magnético es perpendicular a la superficie y paralelo al plano de incidencia, como se aprecia en la figura 2.5. Por contra, la polarización vertical se da cuando el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y paralelo al plano de incidencia; y el campo magnético es paralelo a la superficie y perpendicular al plano de incidencia, tal y como puede verse en la figura 2.6.

Figura 2.5. Polarización horizontal.

Figura 2.6. Polarización vertical.


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• Intensidad de radiación (watt/estereorradián): es la potencia radiada por unidad

de ángulo sólido. Para un ángulo sólido elemental dΩ queda:

Para el caso hipotético de una antena isótropa, es decir, que la intensidad de radiación es la misma en todas las direcciones, la expresión (2.1.25) se reduce a:

• Densidad de flujo de potencia (watt/m2): potencia que fluye a través de una superficie elemental dS perpendicular a la dirección de propagación:

Ya que dS = d2 dΩ. Para el caso de una antena isótropa la densidad de flujo de potencia, despejando (2.1.26) en (2.1.27), será: Conocido el valor eficaz del campo en el punto P, la expresión (2.1.27) se reduce a:

• Directividad y ganancia directiva: da una idea de cómo se reparte en el espacio la potencia entregada a la antena, ya que representa la ganancia producida en cada dirección respecto a una antena isótropa que emitiese la misma potencia. Se define la ganancia directiva como el cociente entre la intensidad de radiación en un punto del espacio y la intensidad de radiación de una antena isótropa alimentada con la misma potencia:

Ω=

d

dpi

),(),(

ϕθϕθ (2.1.25)

2

),(),(),(

d

i

dS

dpS

ϕθϕθϕθ == (2.1.27)

πϕθϕθ

120

),(),(

2ES = (2.1.29)

π4t

iso

pi = (2.1.26)

24 d

pS t

iso π= (2.1.28)

isott

ant

iso

antant S

S

p

dS

p

i

i

id

),(

4/

),(

4/

),(),(),(

2 ϕθπ

ϕθπ

ϕθϕθϕθ ==== (2.1.30)


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Para esta antena tenemos su intensidad de radiación y densidad de flujo de potencia son:

Juntando (2.1.25) con (2.1.30), obtenemos la potencia para un haz determinado: De donde observamos:

En otras palabras, una antena no puede amplificar potencia. La antena se limita a repartir en el espacio la potencia que se le entrega, de distinta forma según la dirección, ésto es lo que indica la ganancia directiva. La directividad es una característica que nos indica la habilidad de la antena para concentrar la potencia radiada en una determinada dirección. Se define como el máximo de la ganancia directiva:

Ahora estamos en condiciones de evaluar el campo según estos parámetros. En el caso de una antena isótropa, el campo no dependerá de la dirección, por lo cual, igualando (2.1.23) y (2.1.24) se obtiene: En general, para cualquier antena, combinando (2.1.24) con (2.1.27) se obtiene:

πϕθϕθ

4

),(),( antt

ant

dpi =

24

),(),(),(

d

dp

dS

diS anttant

ant πϕθϕθϕθ =

Ω=

(2.1.31)

(2.1.32)

θθϕθϕπ

ϕθπ

ϕθ

ππ

dsenddp

ddpdidpp

antt

anttantthaz

∫∫

∫∫∫∫∫∫

=

Ω=Ω==ΩΩΩ

0

2

0

),(4

),(4

1),(

πϕθθϕθππ

4),(0

2

0

=∫∫ ddsend ant

(2.1.33)

(2.1.34)

),(,

ϕθϕθ

dmáxD = (2.1.35)

ππ 1204

2

2isot E

d

p=

d

pE t

iso

30=

d

dpE t ),(30

),(ϕθ

ϕθ =

(2.1.36)

(2.1.37)

(2.1.38)


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2.1.6. Potencia recibida por la antena La antena en recepción, debe ser capaz de extraer energía de la onda electromagnética y entregársela al receptor. Caracterizaremos la antena receptora en términos de potencia. El circuito equivalente de una antena en recepción con pérdidas es el mostrado en la figura 2.7. Aquí v = lef E, siendo E el valor eficaz del campo incidente y lef la longitud efectiva de recepción de la antena, la cual, según el teorema de reciprocidad, es la misma que para transmisión. Rr es la resistencia de radiación y Rp representa las pérdidas La expresión de la longitud efectiva es: La potencia transferida a la carga, suponiendo que existen pérdidas, es: Podemos ver entonces el factor de rendimiento de la antena en recepción como el cociente A’ef/Aef-

Si la antena no estuviera adaptada a la resistencia de carga Rl, es decir Rl = Rp + Rr, se producirá una reflexión de potencia, con un coeficiente de reflexión ρ:

Figura 2.7. Modelo eléctrico de la antena en recepción.

λπ 120

rref

DRl = (2.1.39)

'22222

1204120)(4 efpr

rr

pr

efr A

E

RR

RDE

RR

lEp

ππλ

π=

+=

+= (2.1.40)

pr

refef RR

RAA

+='

pr

rr RR

R

+=η (2.1.42)

lrp

lrp

RRR

RRR

++−+

=)(

)(ρ (2.1.43)

(2.1.41)


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En esta situación, la potencia entregada por la antena receptora a la carga que tiene conectada será: Denominamos potencia recibida en un enlace de radiocomunicación a la potencia disponible en bornas de una antena adaptada. Para evaluar la potencia recibida por una antena, es necesario comentar uno de los parámetros más relevantes de las antenas como elementos receptores.

• Área eficaz: se define como el cociente entre la potencia disponible pr y la densidad de flujo de potencia incidente en la antena.

Ahora supondremos un escenario hipotético, donde la antena receptora tenga un área eficaz Aef y esté situada en un punto donde la densidad de flujo de potencia valga <S> y la intensidad de campo eléctrico valga E. En esta situación, la potencia recibida será: Para una antena arbitraria, la expresión resultante para la potencia recibida es:

2.2. Óptica geométrica (GO) La Óptica Geométrica es una aproximación que considera los frentes de onda como rayos que representan una onda esférica, válida para altas frecuencias. Ésto es debido a que, a medida que aumenta la frecuencia, la primera zona de Fresnel (que es la que concentra la mayor parte de la energía), se va estrechando hasta el punto de poder simularse, como si fuera un rayo. De esta forma, se puede obviar el carácter ondulatorio de los campos electromagnéticos para realizar un estudio del problema usando teoría de rayos, lo cual simplifica enormemente el análisis mediante las ecuaciones de Maxwell. Mediante el método de la GO se puede determinar el campo recibido como suma de las contribuciones debidas a las ondas incidentes, reflejadas, refractadas y difractadas (ver figura 2.8.).

πλ4

2D

S

pA r

ef ==

efr ASp =

πλ

π 4120

22 DEpr =

(2.1.45)

(2.1.46)

(2.1.47)

)1(4120

222

ρηπ

λπ

−= rr

r

DEp (2.1.44)


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2.2.1. Rayo directo Es el rayo que hay en la situación de visión directa entre el transmisor y el receptor, también denominado Line of Sight (LoS). Considerando que la onda se propaga por un medio homogéneo, es decir, el índice de refracción n de dicho medio permanece constante; el frente de onda que representa el rayo no se verá afectado por ningún mecanismo de propagación adicional. Por tanto, la trayectoria será una línea recta y solo sufrirá la atenuación propia de las ondas esféricas. La expresión del campo eléctrico definido por el rayo directo será: Donde E0 vendrá dado por el transmisor, rLoS es la distancia recorrida desde el transmisor hasta el receptor, k es el número de onda definido anteriormente como k = 2π/λ. Esta expresión indica que el campo se atenúa según crece la distancia, tal y como pasa con las ondas esféricas, y que la fase de la onda dependerá de la distancia recorrida.

2.2.2. Rayo reflejado La reflexión se produce cuando una onda incide sobre la superficie que separa dos medios con distintos índices de refracción n1 y n2. Una parte de la onda incidente se refleja al primer medio y otra parte se refracta al segundo medio. La GO permite el cálculo de rayos que se reflejan de forma especular en una superficie lisa de geometría cualquiera, basándose en la ley de Snell para la reflexión.

Figura 2.8. Distintos tipos de rayos.

LoSjkr

LoSLoSLoS e

r

ErE −= 0)( (2.2.1)


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Según la ley de Snell, el rayo incidente y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano, y el ángulo de incidencia (ψi) y el de reflexión (ψr) son iguales (ψi = ψr = ψ). Adicionalmente, aparece una segunda onda que se transmite con un ángulo de transmisión (ψt) debido al fenómeno de la refracción. De acuerdo a la ley de Snell, el ángulo de incidencia se relaciona con el de refracción del siguiente modo:

En esta expresión n es el índice de refracción del medio de donde procede la

onda incidente y n del medio donde se propaga la onda refractada. Para calcular la onda que se refleja a partir de la onda incidente, se utiliza el

coeficiente de reflexión, que depende de la permitividad y conductividad de la superficie, de la polarización de la onda incidente, de la frecuencia de la misma y del ángulo de incidencia.

Vamos a introducir para este cálculo, la fórmula de Fresnel para el coeficiente de reflexión. Esta expresión hace uso de la permitividad compleja relativa (εr) y del ángulo de incidencia (ψ). El caso más simple será cuando la superficie intersecada sea un conductor perfecto (σ=∞), en cuyo caso, el coeficiente de reflexión valdrá -1 para el caso de polarización horizontal y +1 para el caso de polarización vertical.

• Polarización horizontal

Se produce cuando el vector de campo eléctrico de la onda incidente es perpendicular al plano de incidencia (plano formado por la onda incidente y reflejada) y el campo magnético esta contenido en éste. En este caso, el coeficiente de reflexión tiene la siguiente expresión:

)()( 21 ti sennsenn ψψ = (2.2.2)

ψεψ

ψεψψ

2

2

cos

cos)(

−+

−−=⊥

r

r

sen

senR (2.2.3)

Figura 2.9. Reflexión con polarización horizontal.


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• Polarización vertical

Se produce cuando el vector de campo eléctrico está contenido en el plano de incidencia, y el campo magnético es perpendicular a éste. En este caso, el coeficiente de reflexión tiene la siguiente expresión:

• Polarización mixta

En este caso, el campo incidente se descompone en una componente horizontal y otra vertical, cada una con sus coeficientes de reflexión respectivos. Finalmente, el campo reflejado resultante se calcula como la suma vectorial de ambas componentes. Una vez calculado el coeficiente de reflexión, no habrá mas que multiplicarlo

por la onda incidente para obtener la expresión de la onda reflejada, tal y como muestra (2.2.5).

Si la onda sufriese múltiples reflexiones, el coeficiente de reflexión total R se calcularía como el productorio de los coeficientes de reflexión Ri asociados a la reflexión i:

Figura 2.10. Reflexión con polarización vertical.

ψεψε

ψεψεψ

2

2

||cos

cos)(

−+

−−=

rr

rr

sen

senR (2.2.4)

rjkr

rrr e

r

ERrE −= 0)( (2.2.5)

∏=i

iRR (2.2.6)


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Ahora bien, no se ha tenido en cuenta el espesor de los materiales. Si queremos calcular el coeficiente de reflexión teniendo en cuenta este espesor, usaremos la siguiente fórmula: donde r0 y rd son los coeficientes de Fresnel para una polarización determinada cuando z=0 y z=d respectivamente. Ahora k es el número de onda relativo al material intersecado:

En el simulador implementado en este proyecto, se han considerado superficies intersecadas de un solo material, por lo tanto, el primer y el último medio son iguales. De este modo las impedancias vistas por la onda en el primer medio material y en el último son iguales η1 = η3, de modo que los coeficientes de reflexión cumplen r0 = -rd, quedando la fórmula (2.2.7) reducida a:

Hay un efecto adicional al evaluar el espesor del material, la aparición de rayos secundarios reflejados y transmitidos, así como una desviación en el rayo transmitido.

jkdd

jkdd

err

err2

0

20

1 −

−

++

=ρ

c

senfk r ψεπ −

=2

(2.2.7)

(2.2.8)

jkd

jkd

er

er

220

2

0 1

1−

−

−−=ρ (2.2.9)

Figura 2.11. Rayos secundarios.


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Se ha omitido el estudio de los rayos secundarios debido a la complejidad

computacional adicional que se añadiría al método de las imágenes. Por otra parte, la desviación que sufre el rayo refractado debido al cambio de medio, es exactamente:

Dados los materiales definidos por defecto en el simulador, el espesor máximo

considerado es de 20 cm para paredes de hormigón. Si se calcula la desviación sufrida podemos comprobar que es despreciable, motivo por el cual, a efectos prácticos, no se ha tenido en cuenta.

2.2.3. Rayo transmitido La refracción se produce en las circunstancias comentadas en el apartado anterior, por lo que se consideran los mismos parámetros. Ahora, a diferencia del rayo reflejado, el rayo transmitido atraviesa el medio material, que será de una permitividad mayor que la del aire, por lo que la velocidad de la onda electromagnética disminuirá provocando retardos. No obstante, debido al tipo de materiales y espesor de los mismos, pueden considerarse estos retardos prácticamente nulos. Como ya hemos comentado antes, se consideran superficies intersecadas de un solo material, es decir, el primer y último medio son iguales. Ésto nos permite hacer una aproximación para el cálculo del rayo transmitido y es que el ángulo de incidencia (ψi) y el de transmisión (ψt) son iguales (ψi = ψt = ψ). Del mismo modo que para el coeficiente de reflexión, tenemos distintas expresiones para el coeficiente de transmisión en función de la polarización considerada:

• Polarización horizontal:

• Polarización vertical:

)cos(

)(

t

tisendd

θθθ −

=∆ (2.2.10)

ψεψψψ

2cos

2)(

−+=⊥

rsen

senT

ψεψεψε

ψ2cos

2)(

−+=⊥

rr

r

sen

senT

(2.2.11)

(2.2.12)


25

• Polarización mixta:

Se procede igual que con el coeficiente de reflexión, descomponemos el campo incidente en una componente horizontal y otra vertical, calculamos los coeficientes para cada caso y sumamos vectorialmente.

Si, además, tenemos en cuenta el espesor del material considerado, la expresión del coeficiente de transmisión es la siguiente: donde t0 y td son los coeficientes de Fresnel para una polarización determinada cuando z=0 y z=d respectivamente. Teniendo en cuenta que consideramos el primer medio igual al último, la expresión resultante es:

Por último, una vez calculado el coeficiente de transmisión, no habrá mas que multiplicarlo por la onda incidente para obtener la expresión de la onda reflejada, tal y como muestra (2.2.15).

Si la onda sufriese múltiples refracciones, el coeficiente de transmisión total T se calcularía como el productorio de los coeficientes de transmisión TRi asociados a la refracción i:

2.3. Teoría Uniforme de la Difracción (UTD) Hay situaciones en las que no existe visión directa (LoS) entre el transmisor y el receptor. En estos casos se dice que el receptor se encuentra una zona de sombra y es necesario algún mecanismo de propagación adicional, como las reflexiones, para dar cobertura a esa zona. Otro modo de alcanzar al receptor en estas situaciones o cuando el campo reflejado sea de baja magnitud, debido a múltiples reflexiones, es mediante la difracción. Sin embargo, la Óptica Geométrica no sirve para el cálculo de los campos

jkdd

jkdd

err

ett2

0

20

1 −

−

+=ρ (2.2.13)

jkd

jkd

er

er22

0

220

1

)1(−

−

−−

=ρ (2.2.14)

rjkr

rrr e

r

ETrE −= 0)( (2.2.15)

∏=i

iTT (2.2.16)


26

difractados. Existe una extensión de la misma, conocida como la Teoría Geométrica de la Difracción (GTD) para predecir el campo en una zona de sombra causada por cuñas, pero no es aplicable a las zonas cercanas a las regiones de transición (donde pasa de no tener visión directa a tenerla). Para solucionar estas singularidades, surge la Teoría Uniforme de la Difracción (UTD). Este modelo, válido para altas frecuencias, permite calcular el campo producido por reflexiones, basándose en la geometría de los obstáculos, la amplitud de la onda incidente, su fase, polarización y frecuencia. Este método aplica el principio de Huygens, por el que cada cuña que se encuentra una onda electromagnética en su camino se comporta como un nuevo foco emisor.

2.3.1. Fronteras de transición A continuación introduciremos las fronteras de transición de la UTD. Éstas dependen de la posición de la cuña, de la posición de la fuente (ρ’,ϕ’) y del punto de observación (ρ,ϕ) , como se describe la siguiente figura:

La frontera entre las regiones I y II se denomina Reflected Shadow Boundary (RSB) y la frontera entre las regiones II y III se conoce como Incident Shadow Boundary (ISB). Las contribuciones a considerar para calcular el campo total en cada una de las regiones son:

Región I Región II Región III 0 < ϕ < π - ϕ’

π- ϕ’ < ϕ < π + ϕ’ Π + ϕ’ < ϕ < nπ Rayo directo

Rayo reflejado Rayo difractado

Rayo directo Rayo difractado

Rayo difractado

Figura 2.12. Regiones de transición y sistema de coordenadas para la cuña.

Tabla 1. Fronteras de transición y contribuciones asociadas a cada una de ellas.


27

La cara 0 de la cuña se define como aquella que esté más cerca de la fuente, y la

cara n, la restante. El factor n de la cuña puede obtenerse a partir del ángulo interior (α) de la siguiente forma:

2.3.2. Rayo difractado La difracción se produce cuando los rayos inciden en algún borde o esquina. Es posible hallar la relación geométrica existente entre el rayo incidente y el difractado, mediante la Teoría Uniforme de la Difracción. Primero, es necesario definir los sistemas de coordenadas empleados, ya que tendremos uno para el rayo que llega al punto de difracción, y otro para el que sale de dicho punto. El primer sistema de coordenadas va desde el punto fuente hasta el punto de difracción (QD) y viene dado por (s’, β0’, ϕ’ ). s’ es la distancia entre el punto fuente y el punto QD, β0’ define el ángulo entre el rayo incidente y la arista (sombreado en la figura 2.13.) y ϕ’ define el ángulo de azimut entre la cara 0 de la cuña y el rayo proveniente de la fuente. El segundo sistema de coordenadas va desde el punto QD hasta el punto de observación y viene dado por (s, β0, ϕ). s es la distancia entre el punto QD y el punto de observación, β0 representa el ángulo del cono de Keller, ahora para el punto de observación y ϕ define el ángulo de azimut entre la cara 0 de la cuña y el rayo que tiene como destino el punto de observación.

πα−= 2n (2.3.1)

Figura 2.13. Incidencia oblicua sobre una cuña de paredes conductoras.


28

Según la Teoría Uniforme de la Difracción, el campo difractado puede expresarse del siguiente modo:

A es un término que tiene en cuenta la variación de la intensidad del campo a lo largo del rayo difractado, denominado spreading factor. Su expresión depende del tipo de onda considerada:

E(QD) es el campo eléctrico incidente en el punto QD y D (L;ϕ,ϕ’;n; β0’) es el

coeficiente diádico de difracción, que tiene expresión matricial para considerar cualquier polarización. Cada rayo incidente en la arista produce múltiples rayos difractados contenidos en el cono de Keller, como puede verse en la figura 2.13., cada uno de los cuales lleva asociado un campo expresado en (2.3.2).

A continuación, vamos a estudiar la forma del coeficiente D . De acuerdo con la

figura 2.13., '0β y 'φ son vectores unitarios paralelo y perpendicular al plano de

incidencia (definido por la fuente y la arista de la cuña) respectivamente, mientras que

0β y φ son los vectores homónimos en el plano de de difracción (definido por el punto

de observación y la arista de la cuña). Junto con los vectores 's y s cumplen la siguiente relación:

El coeficiente diádico de difracción tiene la siguiente expresión:

donde ⊥D y ||D son los coeficientes de difracción para el caso de polarización

horizontal y vertical respectivamente. Descomponiendo los campos en su componente paralela y perpendicular a los planos de incidencia y difracción tenemos:

sjk

Ddif enLDssAQEE 0);;,;(),()( '0

'' −= βφφ (2.3.2)

+

=

)(

1

1

),(

'

'

0'

sss

s

ssen

s

ssA β (2.3.3)

Onda plana Onda cilíndrica Onda esférica

×=

×=

0

'0

''

ˆˆˆ

ˆˆˆ

βφ

βφ

s

s

||'

0'0

ˆˆˆˆ DDD φφββ −−= ⊥

(2.3.4)

(2.3.5)


29

que permite expresar en forma matricial: Los coeficientes de difracción se definen de la siguiente forma: donde Di y Dr se obtienen imponiendo las condiciones de continuidad para el campo total en la ISB y la RSB respectivamente. Las expresiones de estos coeficientes son las siguientes: L es un parámetro de distancia que puede encontrarse satisfaciendo la condición de continuidad del campo total a lo largo de la ISB y de la RSB. Para el caso de onda plana, cilíndrica o esférica incidente en una cuña de paredes planas y arista recta se tiene:

+=

+=

φβ

φβ

φβ

φβ

ˆˆ

ˆˆ

0

''0

0

''0

ddd

iii

EEE

EEEr

r

(2.3.6)

jks

Di

Di

d

d

essAQE

QE

D

D

sE

sE −⊥

−=

),(

)(

)(

0

0

)(

)( '

|| '

'00

φ

β

φ

β

+=

−=⊥ri

ri

DDD

DDD

||

(2.3.7)

(2.3.8)

[ ]

[ ]

−

−−

+

−

−+−=

−

+−

)(2

)(cot

)(2

)(cot

22 ''

''

0

4

φφφφπ

φφφφπ

βπ

π

kLaFn

kLaFn

senkn

eD

j

i (2.3.9)

[ ]

[ ]

+

+−

+

+

++−=

−

+−

)(2

)(cot

)(2

)(cot

22 ''

''

0

4

φφφφπ

φφφφπ

βπ

π

kLaFn

kLaFn

senkn

eD

j

r (2.3.10)

+

+=

'0

2'

'0

'

02

ss

ssens

ss

ssens

ssen

L

β

β

β Onda plana Onda cilíndrica Onda esférica

(2.3.11)


30

La función F(x) recibe el nombre de Función de Transición de Fresnel y se define en términos de la integral de Fresnel: La función F(x) puede calcularse a partir de las integrales del seno y el coseno como sigue:

En la expresión (2.3.14), la función )(χ±a mide la separación angular entre el punto de observación y las fronteras ISB y RSB: siendo N+ y N- los números enteros que más cerca satisfagan las siguiente ecuaciones: Llegados a este punto, podemos realizar el cálculo de los coeficientes de difracción definidos por GTD, teniendo presente que los campos se evalúan en puntos lo bastante alejados de las fronteras de transición ISB o RSB, donde se cumple: lo que implica que F(x) ≈ 1. Con esta condición y después de unas transformaciones trigonométricas en (2.3.9) y (2.3.10) queda:

ττ ∂= ∫∞

−

x

jjx eexjxF2

2)( (2.3.12)

∂

=

∂

=

∫

∫

ττπ

ττπ

x

x

xC

senxS

0

2

0

2

2cos)(

2)(

(2.3.13)

−−

−= xSjxCexjxF jx

πππ 2

2

12

2

12)( (2.3.14)

',2

2cos2)( φφχχπχ ±=

−=±

± Nna

−=−

=−−

+

πχππχπ

Nn

Nn

2

2

(2.3.15)

(2.3.16)

10)( ' >±± φφkLa

nn

nsen

senkn

eD

j

i'

0

4

coscos2 φφπ

π

βπ

π

−−=

−

nn

nsen

senk

eD

j

r'

0

4

coscos22 φφπ

π

βπ

π

+−=

−

(2.3.17)

(2.3.18)

(2.3.19)


31

Para tener en cuenta la polarización considerada, se usan las expresiones de (2.3.8). Para finalizar este apartado, consideraremos el caso más general de difracción, las cuñas de paredes de conductividad finita. En este caso, el coeficiente diádico de difracción adopta una nueva forma. Si lo descomponemos en sus componentes horizontal y vertical, empleando (2.3.8), (2.3.9) y (2.3.10), y añadimos los términos ⊥

0R

y ⊥nR si la polarización es horizontal, ó ||0R y ||

nR si es vertical, obtenemos el nuevo

coeficiente de difracción que ya considera la conductividad finita de las paredes, y que mostramos a continuación: para el caso de polarización horizontal; y para el caso de polarización vertical. En caso de polarización mixta, hay que descomponer el campo incidente en sus componentes horizontal y vertical por separado, para luego utilizar ⊥D o ||D según convenga, del mismo modo que ocurría con el

coeficiente de reflexión. Los parámetros R0

,|| y Rn,|| que aparecen en (2.3.20) y (2.3.21) representan los

coeficientes de reflexión de Fresnel para polarización horizontal o vertical en la cara ‘0’ de la cuña (figura 2.12), con ángulo de incidencia ϕ’ , y en la cara ‘n’ de la cuña, con ángulo de reflexión (nπ- ϕ). Los valores de estos coeficientes se calculan utilizando las expresiones (2.2.3) y (2.2.4) con los valores de los ángulos adecuados.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

+

++

++

+−

+−

−−

+−

−+−=

+⊥

−⊥

−

+

−

⊥

)(2

)(cot

)(2

)(cot

)(2

)(cot

)(2

)(cot

22

''

''

0

''

''

0

4

φφφφπ

φφφφπ

φφφφπ

φφφφπβπ

π

kLaFn

R

kLaFn

R

kLaFn

kLaFnsenkn

eD

n

j

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

+

++

++

+−

+−

−−

+−

−+−=

+

−

−

+

−

)(2

)(cot

)(2

)(cot

)(2

)(cot

)(2

)(cot

22

''

||

''

||0

''

''

0

4

||

φφφφπ

φφφφπ

φφφφπ

φφφφπβπ

π

kLaFn

R

kLaFn

R

kLaFn

kLaFnsenkn

eD

n

j

(2.3.20)

(2.3.21)


32

Si se diese el caso de incidencia rasante, es decir, ϕ’ = 0 o ϕ’ = nπ, tanto para paredes conductoras perfectas como con conductividad finita, los coeficientes de difracción UTD generales que hemos visto en (2.3.20) y (2.3.21) no son los adecuados. Este campo se corrige por un factor de 0.5.

2.4. Efectos de la geometría de los rayos Además de las consideraciones electromagnéticas destacadas anteriormente, la representación del entorno del trazado de rayos es una parte importante del modelo. El entorno en el que opera un transmisor, consiste en una serie de superficies de tamaño finito. Ésto implica que, una onda transmitida puede o no ser reflejada por un objeto, antes de ser recibida por una antena en alguna otra posición. De forma similar, una onda transmitida puede o no ser reflejada por dos objetos, antes de llegar a la antena. Cada uno de estos mecanismos de propagación, desde un transmisor fijo hasta un receptor, será considerado como una trayectoria de propagación. La ausencia de una trayectoria de reflexión simple, no excluye necesariamente la presencia de una trayectoria de reflexión doble que incorpore el mismo objeto es su propagación. Por tanto, cada posible trayectoria de propagación con múltiples ondas reflejadas, debe ser tenida en cuenta.

Una posible representación del entorno, que reduce la complejidad de tratar con múltiples señales reflejadas, es tener en cuenta la onda reflejada como si fuera transmitida de una fuente imagen fija, con distinto nivel de señal y, posiblemente, la polaridad, que existe al otro lado de la superficie reflectante. Utilizando esta fuente imagen fija, es posible eliminar trayectorias de propagación que no existan, debido al tamaño finito de la superficie de reflexión. Como puede verse en la figura 2.14., existe una trayectoria desde el transmisor al receptor 1, mediante el objeto reflectante del entorno. Ésto puede determinarse calculando el punto de intersección de la señal transmitida en el plano de reflexión, sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión; o, directamente, por el punto de intersección del plano y la línea que conecta la fuente imagen con el receptor 1. Una vez que se ha calculado el punto de intersección, comprobamos que existe en la superficie del objeto.

Ahora vamos a ilustrar el caso de que no exista dicho punto, con la presencia del

receptor 2. Podemos ver que, efectivamente, la línea que conecta la fuente imagen con el receptor 2 atraviesa el plano de reflexión. No obstante, ahora el punto de intersección de esta línea con el plano no se da en la superficie reflectante, por lo cual, no existe trayectoria de reflexión entre el transmisor y el receptor 2. El receptor 3 muestra que, debido a su posición en el lado opuesto del plano reflectante, no recibe componente multitrayecto directamente de esta reflexión. Sin embargo, tanto para el receptor 2 como para el 3, el que no exista una trayectoria de reflexión directa, no impide que reciban una señal debido a una reflexión múltiple con algún otro objeto externo y el considerado.


33

Del mismo modo que se produce propagación electromagnética en el espacio libre, pueden existir trayectorias de propagación a través de componentes transmisivos en el entorno. Estos caminos atenuarán la señal en una cantidad dependiente del material, el ángulo de incidencia, y el grosor del panel, como se ve arriba. En consecuencia, el modelo de trazado del rayo debe considerar cada posible trayectoria de propagación desde el transmisor al receptor. Para este cometido, se refleja la fuente en todos los objetos del entorno. Ésto se repite para cada imagen resultante en el resto de objetos, y así sucesivamente. Es obvio que debe existir algún mecanismo para limitar el número de trayectorias de propagación examinadas, ya que el algoritmo descrito no terminaría nunca. Existen varias posibilidades, entre ellas las que limitan el número de reflexiones consideradas; y las que comparan el nivel de la señal reflejada con un cierto umbral, por debajo del cual, la señal no es tenida en cuenta. Hasta ahora, hemos descrito mecanismos para considerar las reflexiones en objetos del entorno, pero podemos tratar las difracciones en las esquinas de forma análoga. Ahora la diferencia reside en que, en lugar de que la imagen generada sea una fuente puntual, es un conjunto de posibles fuentes que describen un arco, con centro en el borde donde se produce la difracción. La posición de la imagen para un receptor en concreto, queda determinada por el ángulo entre la posición del receptor y la superficie de referencia de la esquina. Dada la complicada representación de éste, y la posterior expansión de la onda incidente, podríamos ignorar las señales que representen difracciones múltiples para la mayoría de las aplicaciones prácticas. Si fuera necesario, podría incluirse un caso especial de propagación a través de una ranura, donde la difracción es un mecanismo de propagación a tener en cuenta.

Figura 2.14. Rayos propagados.


34

2.5. Métodos del trazado de rayos Como ya hemos comentado en apartados anteriores, para frecuencias altas, la primera zona de Fresnel (que es la que concentra la mayor parte de la energía), tiende a estrecharse y puede simularse como un rayo, simplificando en gran medida el análisis, frente al estudio de las ecuaciones de Maxwell. La técnica del trazado de rayos se basa en la Óptica Geométrica (GO) y la Teoría Uniforme de la Difracción (UTD), para evaluar la propagación de las ondas electromagnéticas en interiores y los efectos del multitrayecto. Existen dos métodos para el trazado de rayos: el método de lanzado de rayos o de la “fuerza bruta” y el de la imagen.

2.5.1. Método del lanzado de rayos Este método considera un haz de rayos transmitidos que pueden alcanzar o no al receptor. El número de rayos considerados y la distancia entre el transmisor y el receptor determina la resolución espacial disponible, y por consiguiente, la precisión del modelo. Este método requiere mucha más capacidad computacional que el método de las imágenes. Se escoge un conjunto finito de direcciones de propagación desde el transmisor y se lanza un rayo en cada dirección. Si un rayo alcanza a un obstáculo, entonces se generan un rayo reflejado y otro refractado. Si el rayo alcanzara una esquina o borde, se generan una familia de rayos difractados. Para evaluar la recepción se puede considerar una esfera o un círculo (según estudiemos el caso 3D o 2D). Escogiendo convenientemente el radio, estos círculos describen zonas donde llega un único rayo. Si el radio considerado es muy grande, podrían recibirse dos rayos y el mismo rayo especular podría ser contado dos veces. Por el contrario; si el rayo es muy pequeño, es posible que ningún rayo alcance la esfera, y el rayo especular será excluido.

La figura 2.15. muestra el tamaño adecuado de la esfera de recepción que pueda recibir un rayo. Para cada posición del receptor, se calcula la distancia perpendicular d, entre el receptor y el rayo, junto con la longitud del camino recorrido por el rayo desde la fuente hasta el punto de proyección perpendicular receptor, L.

Si d es mayor o igual a ϕL/2 para el caso bidimensional, o 3/Lφ para el caso tridimensional, se considera que el rayo no alcanza la posición del receptor. Sino, se considera que el rayo contribuye a la señal recibida. Aquí, ϕ es el ángulo de separación entre dos rayos adyacentes. No hay esfera de recepción asociada al método de la imagen.


35

La clave del método de trazado de rayos es la generación y descripción de los

mismos. Hay dos tipos de métodos para obtener los rayos en el punto fuente. Uno es la aproximación bidimensional (2D) y el otro el método tridimensional (3D).

• Modelo bidimensional

En dos dimensiones, todos los rayos o tubos de rayos son sectores del rayo, tal y como se muestra en la figura 2.16. En la fuente, se lanzan rayos en distintas direcciones con la misma separación angular ϕ. La elección del ángulo ϕ depende de la precisión requerida y el tiempo de cálculo. Si el ángulo es pequeño, la precisión será alta y consumirá mucho tiempo de cálculo. Si, por ejemplo, tomamos un ángulo ϕ = 1º, trazaremos 360 rayos. Cada rayo es lanzado desde la fuente, y puede ser trazado a través de un árbol binario. Una intersección con la superficie de un objeto es representada por un nodo en el árbol. El rayo incidente es descompuesto en rayo reflejado en objeto y un rayo que atraviesa dicho objeto. Se asume que el rayo incidente se propaga a lo largo de la dirección especular (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de orientación), y el rayo que atraviesa el objeto mantiene la dirección original del rayo incidente. Ambos rayos se propagan entonces a la siguiente intersección. Una intersección con un borde o esquina, también se representa como un nodo, y el punto de difracción se procesa como otra fuente, desde la cual, se lanzan una gran cantidad de rayos. El proceso de descomposición se repite como un proceso recursivo. Este procedimiento continúa hasta que los rayos caen por debajo de un umbral determinado, se salen del área predefinida de propagación, o hasta que lleguen al receptor.

Figura 2.15. Esfera de recepción.


36

La intensidad del campo en el receptor se calcula entonces como:

Se introdujo un modelo de difracción en dos dimensiones en el que, los autores, consideraban los distintos edificios como filos verticales, no teniendo en cuenta los efectos de la difracción en los tejados y el terreno. Como los edificios eran mucho más altos que las estaciones base (BS) y las antenas de las estaciones móviles (MS) en entornos microcelulares urbanos, podía ignorarse la pequeña contribución de las señales provenientes de los rayos de los tejados. No existían rayos debidos a reflexiones en el terreno desde transmisor al receptor, en las zonas de sombra. Para rangos inferiores a un kilómetro desde el transmisor (fuente primaria), la potencia recibida podía tener una dependencia con R dada por la ley de potencia 1/R2. Sin embargo, para regiones de visión directa, las reflexiones terrenales parecían tener menos importancia. Según algunos estudios, el modelo de trazado de rayos bidimensional, es bastante preciso cuando las alturas de las antenas transmisora y receptora sean significativamente inferiores a los tejados de los edificios colindantes. Este modelo de propagación entre un transmisor y un receptor localizados cerca del terreno se denomina modelo de cañón.

Cuando se usa un modelo bidimensional, los parámetros de entrada son: a) la geometría de dos dimensiones descrita por medio de los vectores especificando las paredes de los edificios; b) las características eléctricas estimadas de las paredes de los edificios (permitividad, conductividad, o el coeficiente de reflexión); c) la posición de la estación base; d) los patrones de la antena; e) la frecuencia de trabajo.

∑=i

irecibido EE (2.3.22)

Figura 2.16. Sectores de los rayos.


37

• Modelo tridimensional

El transmisor y el receptor se modelan como puntos fuente cuando se usa esta técnica de trazado de rayos. Para determinar todos los posibles rayos que salen del transmisor y llegan al receptor en tres dimensiones, es necesario considerar todos los ángulos de salida y llegada en el transmisor y el receptor. Los rayos son lanzados desde el transmisor, con un ángulo de elevación θ y con un ángulo de azimut ϕ, tal y como se define usualmente en el sistema de coordenadas. El modelo de antena se incorpora para incluir los efectos del ancho de haz de la misma, tanto en el azimut como en la elevación. Para mantener todas las rutinas generales de manipulación del rayo, es deseable que cada tubo de rayos ocupe el mismo ángulo sólido, dΩ, y que cada frente de ondas tenga una forma y tamaño idénticos, a una distancia r del transmisor. Adicionalmente, estos frentes de onda deben ser de tal forma que puedan ser subdivididos, de forma que pueda manejarse con facilidad un incremento en la resolución del rayo. Por ejemplo, haciendo r = 1, y dejando que el frente de ondas completo sea la superficie de la esfera unitaria. El problema pasa a ser entonces la subdivisión de la superficie de la esfera en áreas de igual “camino”, de manera que todas sean del mismo tamaño y forma, pudiendo cubrir la superficie de interés sin dejar huecos. También se han usado frentes de ondas hexagonales y triangulares. El procedimiento del trazado de rayos en tres dimensiones es similar al de dos dimensiones, pero se necesita más tiempo de cálculo. Algunos sectores de las paredes de un pasillo pueden ser de diferentes materiales; por ejemplo, madera, metal, hormigón, o incluso vidrio, que puede tener diferentes reflectividades para la onda incidente. No tener en cuenta las diferentes reflectividades de los distintos materiales puede degradar la precisión de la predicción del modelo de propagación. Por ello, se presentó el concepto de “material de construcción efectivo”, con el fin de representar estos materiales. Sin embargo, la permitividad de este material efectivo no es fácil de determinar, ya que depende tanto de datos experimentales, como del modelo de propagación. Para simplificar este problema, se introducen ajustes de diferentes constantes dieléctricas y tamaños físicos. Hay que tener en cuenta que, el tamaño y la constante dieléctrica de cada ajuste, son escogidos de acuerdo a las dimensiones físicas y al material del que están hechos.

La clave de un modelo de propagación basado en trazado de rayos, es encontrar una forma rápida de averiguar las trayectorias de rayo dominantes, para obtener predicciones exactas de las pérdidas por trayectoria. Es bien sabido que, para predicciones de propagación en exteriores, la difracción en los bordes debe ser tenida en cuenta, además de las reflexiones especulares, especialmente en zonas donde no haya visibilidad directa. Desafortunadamente, la difracción consume gran parte del tiempo de cálculo del modelo, puesto que un único rayo incidente en un borde generará una nueva familia de rayos. La generación de un número grande de rayos limita el número de difracciones que pueden considerarse. Para


38

una trayectoria cualquiera, seleccionamos como mucho dos, a menos que podamos aproximar para encontrar los rayos que más contribuyan. Para encontrar los rayos que contribuyen en un entorno urbano, donde las paredes de los edificios pueden considerarse como polígonos planos verticales, se ha desarrollado el método de lanzado de plano vertical (VPL vertical-plane-launch). Este método aproxima las reflexiones especulares desde superficies verticales y la difracción en bordes verticales, y aproxima la difracción a lo largo de bordes horizontales restringiendo los rayos difractados contenidos en el plano de incidencia o el de reflexión. El enfoque VPL puede tratar múltiples difracciones hacia adelante en los bordes horizontales. Puede ser empleado también para antenas en tejados, y para áreas con edificios de distintas alturas.

2.5.2. Método de la imagen

El método de las imágenes para el trazado de rayos está basado en la teoría de

las imágenes. Este método proporciona una forma eficiente para el cálculo de las reflexiones de los rayos, en entornos modelados por facetas. Dada una fuente puntual (S) y una faceta, los rayos reflejados en la faceta pueden considerarse como rayos radiados directamente por una fuente virtual fija, la denominada fuente imagen (I). La fuente imagen esta situada simétricamente a la fuente S con respecto al plano que contiene la faceta, como se ve en la figura 2.17. Cabe destacar, que la posición de I, depende únicamente de la posición de S, y de la posición y orientación de la faceta. Por tanto, I es independiente del punto de observación. El campo radiado por la fuente imagen se obtiene a partir de las características de radiación de la fuente real S, y de las propiedades eléctricas de la faceta.

Para un punto de observación dado (O), el punto de reflexión (R) se calcula como la intersección entre el segmento I-O y la faceta.

Figura 2.17. Fuente real y fuente imagen.


39

En un escenario modelado con N facetas, el número de imágenes será N. Consecuentemente, el número máximo de rayos que alcanzan el punto de observación es N. Obviamente, en la práctica, el número de rayos que llegan al receptor es menor. Ésto se debe a dos razones:

1) Debido al tamaño finito de las facetas, sólo los pueden recibir rayos reflejados los observadores situados en el espacio de reflexión (RS, reflection space). Se considera que un observador pertenece a la RS cuando R esta contenido en la faceta, como se puede ver en la figura 2.18.

2) El rayo reflejado o el incidente (desde S hacia R), pueden quedar ocultos a causa de alguna otra faceta del entorno. Se comprueba con un test de sombreado.

Podemos analizar los rayos doblemente de una forma similar. Ahora, la fuentes que se consideran para crear las imágenes de segundo orden (reflexión doble) son la imágenes de primer orden (reflexión simple). Es fácil de comprobar que, el número de imágenes de segundo orden será N(N-1). Para que se produzca una reflexión doble, deben cumplirse tres condiciones:

1) El punto de observación debe encontrarse dentro de la RS de la segunda faceta.

En otras palabras, el segundo punto de reflexión debe estar en la segunda faceta. 2) El punto donde se produzca la segunda reflexión debe estar dentro de la RS de la

primera faceta, o lo que es lo mismo, el primer punto de reflexión debe estar en la primera faceta.

3) Ninguno de los tres caminos mostrados en la figura 2.19. (S-R1, R1-R2, R2-O) pueden quedar ocultos por otras facetas del entorno (test de sombreado).

Figura 2.18. Espacio de reflexión de una faceta.


40

Las reflexiones múltiples pueden analizarse del mismo modo. El número de

imágenes de orden k es: Las imágenes pueden organizarse en un grafo conocido como el árbol de las imágenes. Inicialmente, la primera derivación es de N ramas; y las que siguen son de (N-1) ramas. El método de la imagen asegura que todos los rayos que sufran un determinado número de reflexiones (o menos) sean evaluados, ya que todos los rayos reflejados potenciales son almacenados en el árbol de las imágenes. Es importante darse cuenta de que, usando el método de las imágenes, solo se maneja un número limitado de rayos, excluyendo el tratamiento de rayos irrelevantes que abandonen la fuente pero no alcancen el punto de observación con menos de un número de reflexiones dado. Dada una fuente (S) (puede ser la fuente real o una imagen), cuando una faceta (F) este totalmente oculta a causa de otra (F1), su imagen (I) y todas las imágenes creadas a partir de ella, pueden ser eliminadas del árbol de las imágenes. Ésto simplifica el árbol de las imágenes y, consecuentemente, supone un ahorro en el tiempo de CPU y memoria consumida. Un caso de trayectoria oculta por otra faceta se presenta en la siguiente figura:

1)1( −− kNN

Figura 2.19. Reflexiones múltiples.

Figura 2.20. Trayectoria oculta por faceta.

(2.3.23)


41

También se puede simplificar el árbol teniendo en cuenta las posiciones de las facetas con respecto a las RS’s. Por ejemplo, si la faceta F1 está completamente fuera de la RS de la faceta F, no se producirán reflexiones dobles en S-F-F1 (ver figura 2.21). Por tanto, la imagen de F1 creada a partir de la de F, se puede eliminar del árbol. Evidentemente, todas aquellas imágenes dependientes de la de F1 podrán ser borradas del mismo modo. La consulta del árbol de las imágenes debe hacerse en sentido hacia atrás. Cuando queramos estudiar los rayos reflejados de orden k que llegan al receptor, empezamos el análisis de los nodos correspondientes al nivel k del árbol. Vamos a explicar el procedimiento que se sigue para cada uno de ellos.

Se calcula el último punto de reflexión (Rk) y se comprueba que esté en la faceta correspondiente, es decir, comprobamos que el receptor pertenezca a la RS de la faceta. En caso de que no pertenezca, no se produce reflexión y el algoritmo continúa en otro nodo del árbol. Si éste no fuera el caso, se comprueba que la trayectoria formada por Rk-O no quede oculta por otra faceta. Si no lo está, calculamos el punto de reflexión previo y comprobamos si pertenece a su faceta correspondiente. Ésto equivale a comprobar que Rk pertenezca a la RS de la imagen previa (Ik-1). Si es así, comprobamos que no existan facetas que oculten la trayectoria Rk-1-Rk, en cuyo caso pasamos a calcular el punto de reflexión previo, y así sucesivamente. El algoritmo finaliza cuando lleguemos a la fuente real. Cuando el número de reflexiones considerado y la cantidad de facetas aumenten, la cantidad de tests de sombreado se incrementará significativamente. Se puede combinar el método de las imágenes con técnicas de acelerado de trazado de rayos, con el fin de disminuir el número de tests de sombreado.

Figura 2.21. Faceta fuera del espacio de reflexión.


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La teoría de las imágenes nos permite obtener la trayectoria exacta seguida por los rayos reflejados, pudiendo obtener la fase de los campos asociados a estos rayos reflejados. Debido a ésto, las contribuciones del multitrayecto en el punto de observación pueden sumarse coherentemente para obtener el campo recibido.


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