32

CAPÍTULO 2

ORIENTACIÓN DE MONOCRISTALES

2.1. INTRODUCCIÓN

Mucho de nuestro conocimiento de las propiedades de los materiales policristalinos ha sidoobtenido a partir del estudio de monocristales aislados, debido a que tales estudios permiten lamedida de las propiedades de los bloques individuales en la masa del compuesto. Debido a quelos monocristales son usualmente anisotrópicos, el investigar esta clase siempre requiere delconocimiento exacto de la orientación del monocristal para que esas medidas puedan serhechas a lo largo de direcciones o planos cristalográficos conocidos. Variando la orientacióndel cristal, podemos obtener datos sobre la propiedad física medida como una función de laorientación del cristal.

Los tres principales métodos de rayos x para la determinación de la orientación de un cristalson: El método de Laue de retroreflexión El método de Laue de transmisión El método difractométrico

2.2. MÉTODO DE LAUE DE RETROREFLEXIÓN

En este método todos los planos de una zonareflejan haces que se ubican sobre la superficie deun cono cuyo eje es el eje de zona y cuyo ángulode semi-vértice es igual al ángulo que forma eleje de zona con el haz transmitido, como semuestra en la Figura 2.1. Para º90º45 , elcono intercepta la película en una hipérbola. Lasmanchas de difracción sobre una película deretroreflexión se ubican sobre hipérbolas o líneasrectas y la distancia de cualquier hipérbola delcentro de la película es una medida de lainclinación del eje de zona.

En la Figura 2.2 la película es vista desde el cristal.El haz reflejado por el plano mostrado golpea a la película en el punto S(x,y). La normal a esteplano reflectante es CN y se asume que el plano pertenece a una zona cuyo eje se ubica en elplano yz.

La orientación de la normal al plano en el espacio puede ser descrito por sus coordenadasangulares y a partir de las coordenadas x e y medidas sobre la película, las mismas que serelacionan según: sen2tanDx (2.1)

cos2tanDy (2.2)

donde: D es la distancia de la muestra a la película,

sen

tantan y

cossen

tantan .

Figura 2.1.- Cono de haces difractados en elmétodo de Laue de retroreflexión

33

Los valores de y son medidos directamente usando la carta de Greninger que se muestra enla Figura 2.3.

2.3. MÉTODO DE LAUE DE TRANSMISIÓN

En este método las manchas dedifracción sobre la película, debido a losplanos de una zona en el cristal, siemprese ubican sobre una elipse completa paravalores suficientemente pequeños de ,el ángulo entre el eje de zona y el haztransmitido, como se muestra en laFigura 2.4. Para valores más grandes de, la elipse es incompleta debido altamaño finito de la película. Cuando

º45 , la curva pasa a ser unaparábola, cuando º45 es unahipérbola y cuando º90 , es una línearecta. En todos los casos la curva pasa através de la mancha central formada por el haz transmitido.

Las relaciones angulares involucradas en el método de Laue de transmisión se muestran en laFigura 2.5, aquí una esfera de referencia es descrita alrededor del cristal en C, el haz incidenteentra en la esfera en I y el haz transmitido la abandona en O. La película es ubicada tangente ala esfera en O, y su esquina superior derecha, vista desde el cristal, es cortada para laidentificación de su posición durante la exposición a los rayos X. El haz reflejado por el planomostrado de la red golpea a la película en R y la normal a este plano intercepta a la esfera en P.

Figura 2.2.- Localización de una mancha deLaue de retroreflexión

Figura 2.3.- Carta de Greninger

Figura 2.4.- Cono de haces difractados en el método deLaue de transmisión.

34

Considerando la difracción desde una zona de planos cuyo eje se ubica en el plano yz a unángulo al haz transmitido. Si un solo plano de esta zona es rotado tal que su polo,inicialmente en A, viaja a lo largo del círculo grande APEBWA, entonces pasará a través detodas las orientaciones en el cual los planos de esta zona podrían ocurrir en un cristal actual.Durante esta rotación, la mancha de difracción sobre la película, inicialmente en D, viajará a lolargo de la trayectoria elíptica DROD mostrado en líneas a trazos.

Cualquier orientación particular del plano, tal como el mostrado en el dibujo, es caracterizadopor valores particulares de y , las coordenadas angulares de su polo. Estas coordenadas a lavez, para una distancia cristal-película dada D, determinan las coordenadas x,y de la mancha dedifracción R sobre la película. De la posición de la mancha podemos por lo tanto determinar laorientación del plano usando la carta de Leonhardt que se muestra en la Figura 8.6. Esta cartaconsiste de una grilla compuesta por dos conjuntos de líneas: las líneas a trazos de constanteque corresponden a los meridianos de una red de Wulff y las líneas sólidas de constante quecorresponden a líneas de latitud. Mediante esta carta, los polos de un plano que causancualquier mancha particular de difracción pueden ser representados estereograficamente.

2.4. MÉTODO DIFRACTOMÉTRICO

Con radiación monocromática usada en el difractómetro, un monocristal producirá unareflexión solamente cuando su orientación es tal que cierto conjunto de planos reflectantes estáinclinado al haz incidente a un ángulo que satisface la ley de Bragg para ese conjunto deplanos y la radiación característica empleada. Pero cuando el contador, fijado en la posición alcorrespondiente ángulo 2, indica que una reflexión es producida, entonces la inclinación delos planos reflectantes a cualquier línea o plano elegido sobre la superficie del cristal esconocida a partir de la posición del cristal. Dos clases de operación son requeridas:

Rotación del cristal alrededor de varios ejes hasta que se encuentra una posición para lacual se produce la reflexión,

Ubicación del polo del plano reflectante sobre una proyección estereográfica a partir de losángulos conocidos de rotación.

Figura 2.6.- Carta de LeonhardtFigura 2.5.- Posición de una mancha dedifracción en el método de Laue detransmisión

35

Existen muchas variaciones del método difractométrico, dependiendo de la clase particular degoniómetro usado para sostener y rotar la muestra. Elmétodo difractométrico que se usa más frecuentementeincluye el goniómetro usado en el método de reflexiónpara la determinación de orientaciones preferidas conmuy pocas modificaciones para su uso conmonocristales; lo esencial es incrementar el ancho de lasrendijas del haz primario en una dirección paralela al ejedel difractómetro para aumentar la intensidad difractada.Este tipo de portamuestras proporciona los tres ejes derotación posibles mostrados en la Figura 2.7: un ejecoincide con el eje del difractómetro, el segundo eje AA’se ubica en el plano que forman el haz de incidente I y elhaz difractado D según la tangente a la superficie delespécimen, mostrado aquí como una placa plana,mientras que el tercer eje BB’ es normal a la superficiedel espécimen.

2.5. MONTAJE DE UN CRISTAL EN UNA ORIENTACIÓN REQUERIDA

Algunas investigaciones en rayos X requieren que un patrón dedifracción sea obtenido de un monocristal que tiene una orientaciónespecífica en relación al haz incidente. Para obtener esta orientación,el cristal se monta en un goniómetro de tres círculos, como elmostrado en la Figura 2.8, cuyos arcos se han puesto en cero y suorientación se determina por el método de Laue de retroreflexión.Luego se hace una proyección del cristal y de esta proyección sedetermina la orientación requerida mediante las rotacionesgoniométricas.

Existe otro método de montar un cristal en una orientación estándar,el cual no requiere ni de registro fotográfico del patrón de difracciónni de manipulación estereográfica de los datos. Depende del hechoque los haces difractados formados en el método de transmisión deLaue son tan intensos, para un cristal de espesor apropiado, que las manchas que ellas formansobre una pantalla fluorescente son visibles en un cuarto oscuro. El observador rotacuidadosamente el cristal alrededor de diferentes arcos del goniómetro hasta que el patróncorrespondiente a la orientación requerida aparece sobre la pantalla.

Figura 2.7.- Ejes de rotación del cristal

contador

Figura 2.8.- Goniómetro detres círculos

36

LABORATORIO N° 4

ORIENTACIÓN DEL CRISTAL LiF POR EL MÉTODO DE LAUE

OBJETIVO.-

Obtener el patrón de difracción de un monocristal de LiF para determinar su orientaciónmediante el método de Laue de transmisión.

TEORÍA.-

Las fotografías de Laue se obtienen irradiando monocristales con rayos X policromáticos. Estemétodo se utiliza principalmente para determinar simetrías cristalinas y orientacionescristalográficas. Se puede hacer una evaluación a los patrones de reflexión de Laue deestructuras simples.

La figura. 1 muestra el patrón de reflexión Laue deun monocristal de LiF que tiene una estructura dered cúbica cara centrada (FCC). Si el patrón da unarotación de 90 ° alrededor de la dirección del hazprimario, es de nuevo coherente consigo mismo.Por tanto, tenemos aquí una cuádruple simetría, conla coincidencia entre la dirección del haz y ladirección cristalográfica (100). La intensidad de lasreflexiones depende tanto de las característicascristalográficas como de la distribución espectralde la intensidad de los rayos X.

La condición de interferencia constructiva estádeterminada por relación de Bragg:

nsend2 (1)donde:d = la distancia entre los planos reticulares = el ángulo de Bragg = longitud de onda n = el orden de la difracción

La muestra de LiF consiste en un cristal cúbico con constante de red a.La siguiente ecuación es válida para las distancias d( hk ) entre la red y los planos del sistema

cúbico:222 kh

a)hk(d

(2)

Si L es la distancia entre una reflexión y el centro del patrón de difracción, y D la distanciaentre la muestra y la película, entonces el ángulo experimental determinado es:

D

Ltan

2

1 1exp ; 22 yxL (3)

Donde x e y son las coordenadas de la reflexión medidos desde el centro del patrón dedifracción.

Si el haz de rayos X que coincide con la dirección cristalográfica ]**k*h[ (que aquí es

[100]) incide en un plano ( hk ) del cristal, ver Figura 2, entonces el ángulo de incidencia está determinado por el producto escalar del vector normal del plano y el vector incidente.

Figura 1.- Foto de Laue de un cristal de LiF

37

)**k*h).(kh(

**kk*hhcos

222222

(4)

De la Figura 2, 90cal y considerando que

)100()**k*h( , de (4) se obtiene que:

222calkh

hsen

(5)

La asignación de las reflexiones individualescorrespondientes a los planos reticulares seencuentra cuando: calexp (6)

Además de (6), la relación y/x/k tambiéndebe ser válida, cuando x e y son las coordenadasde la reflexión medidas desde el centro del patrón.

Las relaciones angulares involucradas en el método de Laue de transmisión se muestran en laFigura 3, aquí una esfera de referencia se ubica alrededor del cristal en C, el haz incidente entraen la esfera en I y el haz transmitido sale por O. La película se ubica tangente a la esfera en O,y su esquina superior derecha, vista desde el cristal, se corta para identificar su posicióndurante la exposición a los rayos X. El haz reflejado por el plano mostrado de la red golpea a lapelícula en R y la normal a este plano intercepta a la esfera en P.

Considerando la difracción desde una zona de planos cuyo eje se ubica en el plano yz a unángulo al haz transmitido. Si un solo plano de esta zona rota tal que su polo, inicialmente enA, viaja a lo largo del gran círculo APEBWA, entonces pasará a través de todas lasorientaciones en las cuales los planos de esta zona podrían estar en un cristal. Durante estarotación, la mancha de difracción sobre la película, inicialmente en D, viajará a lo largo de latrayectoria elíptica DROD mostrada en líneas a trazos.

Cualquier orientación particular del plano, tal como la mostrada en la figura, se caracteriza porvalores particulares de y , las coordenadas angulares de su polo. Estas coordenadas a la vez,

Figura 2.- Reflexión de un plano de la redcon orientación al azar.

Figura 4.- Carta de LeonhardtFigura 3.- Posición de una mancha dedifracción en el método de Laue detransmisión

38

para una distancia cristal-película D, determinan las coordenadas x,y de la mancha dedifracción R sobre la película. De la posición de la mancha podemos por lo tanto determinar laorientación del plano usando la carta de Leonhardt que se muestra en la Figura 4. Esta cartaconsiste de una grilla compuesta por dos conjuntos de líneas: las líneas a trazos de constanteque corresponden a los meridianos de una red de Wulff y las líneas sólidas de constante quecorresponden a líneas de latitud. Mediante esta carta, los polos de un plano que causancualquier mancha particular de difracción pueden ser representados estereograficamente.

EQUIPOS Y MATERIALES.-

Unidad básica de Rayos X Portamuestras para la difracción de Laue

Cristal de LiF(100) m10014.2d 10 Calibrador Vernier de plásticoPortapelículas Adaptador de película PolaroidPelícula Polaroid, (ISO 3000), (9 12) cm Net de WulffTubo de Rayos X con ánodo de Cu Carta de Leonhardt

PROCEDIMIENTO.-

1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y montar el experimento como se muestra enla Figura 5.

2. Fijar el diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la salida del tubo de rayos X y montar elmonocristal de LiF con sus dos alfileres en el portamuestra de la difracción de Laue, demanera que el lado ovalado del cristal esté siempre hacia la fuente de rayos-X.

3. Colocar la película de rayos X con su envoltura resistente a la luz en el soporte de películacon la ayuda de las dos láminas imantadas y a una distancia de 3 cm del cristal, a fin deobtener un patrón de Laue sin distorsiones

4. Asegúrese de que las superficies del cristal y la película plana sean paralelas entre sí, y queambas son perpendiculares al haz principal.

Figura 5.- Montaje experimental para el método de Laue

39

5. Exponer la película en los valores máximos de tensión de ánodo, esto es 35KV y 1mA, conun tiempo de exposición de 2 horas.

6. Medir exactamente la distancia D entre el cristal y la película para la determinaciónposterior de las direcciones.

7. Luego de haber expuesto la película a la radiación durante el tiempo mencionadoanteriormente, proceda a revelarla, como se indica en el Apéndice.

8. Trazar un sistema de ejes coordenados XY cuyo centro coincida con el centro de lafotografía, enumerar las manchas más intensas, medir sus coordenadas (x,y) y completar lasiguiente Tabla.

ManchaN°

x(mm)

y(mm)

L(mm)

exp

(°)hk cal

(°)/k x/y

d(pm)

(pm)

12345678

9. Representar los puntos de coordenadas (x,y) en una hoja de papel y superponer sobre ellosuna carta Leonhardt para determinar los valores de y .

10. Plotear los polos de los planos que causan las manchas de difracción de Laue en unaproyección estereográfica.

CUESTIONARIO.-

1. Determinar los valores experimentales de para cada mancha de Laue de la fotografía,usando la ecuación (3).

2. Asignar los índices de Miller a cada una de las manchas de Laue de la fotografía.3. Calcular los valores de para cada mancha de Laue de la fotografía y comparar sus

resultados con los hallados en la pregunta 1.4. Usando la ecuación (2), determinar las distancias interplanares de los planos que han

producido las reflexiones en la fotografía. Considerar que la constante de red del LiF es402.8 pm.

5. Hallar las longitudes de onda de los haces de rayos X que han producido las manchas deLaue de la fotografía, usando la ecuación (1).

6. En una net de Wulff, obtener la proyección estereográfica de los polos que causan lasmanchas de difracción de Laue usando los valores de y obtenidos en la carta deLeonhardt.

7. En la proyección estereográfica, identificar los índices de cada uno de los polos de losplanos que causan las manchas de difracción de Laue.

8. Interpretar la proyección estereográfica para determinar la orientación del cristal de LiF.