Cap´ıtulo 3 ESTATICA´ - vc.ehu.es · de las fuerzas activas. Esas caracter´ısticas son las siguientes: Las fuerzas reactivas dependen de las fuerzas activas, y su modulo´ podr´ıa

Capıtulo 3

ESTATICA

3.1. Definicion

La Estatica es la parte de la Mecanica que se ocupa del estado de equilibrio de los siste-mas materiales, o dicho en otros terminos, estudia las condiciones que deben satisfacer lasfuerzas que actuan sobre los sistemas materiales, para que estos permanezcan en reposo.

3.2. Punto material vinculado

Si un punto material no tiene su movimiento impedido por ninguna restriccion, decimosque es un punto libre. Para definir su posicion en un espacio tridimensional, se requiere elconocimiento de tres coordenadas, y ademas diremos que tiene tres grados de libertad, puestiene la posibilidad de desplazarse en las tres direcciones de los ejes X , Y y Z.

Si el punto material tiene alguna limitacion en su movilidad, se dice que es un punto vin-culado, y a la causa de esa limitacion, se la denomina vınculo, enlace, o ligadura.

Un punto obligado a permanecer en una lınea esta vinculado a la misma. Su posicion puedeser definida ahora por un unico parametro, que podrıa ser la coordenada curvilınea que lositua sobre esa lınea. Ahora el punto solo tiene un grado de libertad, esto es, unicamentetiene la posibilidad de desplazarse en la direccion tangencial de la lınea.

Otro ejemplo: Un punto obligado a permanecer en una superficie. Su posicion se puededefinir con dos parametros (dos coordenadas curvilıneas), y tendra dos grados de libertad.

3.3. Principio de las reacciones vinculares

Consideremos un cierto punto material, sometido a un cierto vınculo o enlace, y sobre elque actuan una serie de fuerzas, cuya resultante es ~F .

1

CAPITULO 3. ESTATICA 2

Si dicho punto esta vinculado, y por lo tanto tiene su movilidad impedida en algun mo-do, no asumira por efecto de la fuerza ~F el mismo movimiento que si dicho punto estuvieselibre, por lo que los vınculos que actuan sobre los puntos materiales, pueden ser equiparablesa fuerzas.

De este planteamiento se deriva el principio de las fuerzas vinculares, que podrıamos enun-ciar ası:

En un punto material vinculado, y solicitado por fuerzas, la accion de los vınculos, puedeser sustituida por la de una fuerza que denominamos fuerza reactiva o vincular.

Estas fuerzas reactivas o vinculares, tienen unas caracterısticas propias que las diferenciande las fuerzas activas. Esas caracterısticas son las siguientes:

Las fuerzas reactivas dependen de las fuerzas activas, y su modulo podrıa llegar a serilimitado en los enlaces ideales.

Si las fuerzas activas se anulan, las fuerzas reactivas tambien se anulan.

Las fuerzas reactivas son incapaces por sı mismas de producir movimiento.

Denominando ~F a la resultante de las fuerzas activas aplicadas sobre un punto material, y~R a la fuerza reactiva generada por el vınculo o enlace al que se encuentra sometido, laecuacion fundamental de la Dinamica, podra expresarse como:

~F + ~R = m · ~a

3.4. Equilibrio del punto material

Un punto material esta en equilibrio, si las fuerzas que actuan sobre el mismo lo mantie-nen inmovil, o en movimiento rectilıneo uniforme, es decir, sin variacion en su velocidad.

Por tanto, un punto material vinculado estara en equilibrio si se cumple que:

~F + ~R = ~0

Si se trata de un punto material libre, no existen ligaduras, por tanto ~R = ~0 , y la equacionde equilibrio sera:

~F = ~0

Es decir, en este caso se exige que la suma de las fuerzas activas sea cero.

Si el punto material esta vinculado, ~R 6= ~0 , y en ese caso:

~F = −~R

Es decir, la condicion de equilibrio para un punto vinculado, es que la fuerza resultante activaque actua sobre el mismo, debe ser opuesta a la fuerza reactiva vincular.


3.4.1. Equilibrio del punto libre

Tal y como hemos visto, la condicion de equilibrio en este caso se concreta en que laresultante de las fuerzas activas debe de ser nula.

~F = ~F1 + ~F2 + · · ·+ ~Fi + · · ·+ ~Fn = ~0

Siendo Fxi, Fyi y Fzi las componentes de una cualquiera de las fuerzas activas actuantes. Laanterior ecuacion vectorial, dara lugar a las tres siguientes ecuaciones escalares:

Fx =

i=n∑

i=1

Fxi = 0

Fy =

i=n∑

i=1

Fyi = 0

Fz =

i=n∑

i=1

Fzi = 0

3.4.2. Equilibrio de un punto vinculado a una superficie lisa

El vınculo de un punto a una superficie puede ser de dos tipos:

Vınculo bilateral: El punto esta obligado a permanecer en todo momento en contactocon la superficie.

Vınculo unilateral: El punto puede estar en contacto con la superficie, o en uno de losdos semiespacios (el permitido), en que la superficie divide al espacio.

Estudiemos ambos casos:

1. Vınculo bilateral

Siendo un vınculo liso, la fuerza reactiva ~R sera un vector cuya direccion sera forzosa-mente ortogonal a la superficie, y por tanto colineal con el vector unitario ~η, perpendi-cular a la misma. El sentido de ~R puede ser cualquiera de los dos posibles, al tratarsede una vinculacion bilateral.

~R = R ~η En donde R puede ser positivo o negativo.

En el equilibrio:~F + ~R = ~0 ~F + R ~η = ~0

Lo que implica que para que el equilibrio sea posible, el vector fuerza activa ~F , debeser colineal con el vector ~η , condicion que expresaremos como:

~F ∧ ~η = ~0


~F~R

~F

~η ~η

~R

Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie, con contacto liso, es-tara en equilibrio, si la resultante de las fuerzas activas tiene la direccion de la normala la superficie.

2. Vınculo unilateral

Descomponemos la resultante de las fuerzas activas en dos direcciones: una tangente,y otra normal a la superficie.

La componente en la direccion tangencial tiende a desplazar al punto sobre la su-perficie, por tanto, en el equilibrio tiene que ser nula.

La componente normal a la superficie debe de tender a aplicar el punto hacia el se-miespacio al que el punto tiene el paso prohibido, pues caso contrario, el punto serıasacado de la superficie. Por tanto, la fuerza activa, y el vector unitario ~η normal a lasuperficie, y dirigido hacia el semiespacio para el que el movimiento del punto es libre,deben tener sentidos opuestos. Estas condiciones pueden ser expresadas en la siguienteforma:

~F ∧ ~η = ~0 ~F · ~η < 0

~η~η

~F~Fη

~Fτ

~F

~R

Al problema del punto vinculado a una superficie lisa se le puede dar el siguiente plantea-miento analıtico:

Sea ~F el vector resultante de las fuerzas activas que actuan sobre el punto:

~F = Fx~i + Fy

~j + Fz~k ; en donde:


Fx =i=n∑

i=1

Fxi ; Fy =i=n∑

i=1

Fyi ; Fz =i=n∑

i=1

Fzi

Si la ecuacion de la superficie es f(x, y, z) = 0, el vector unitario ~η ortogonal a la mis-ma en cualquier punto es:

~η = γ1~i + γ2

~j + γ3~k =

1√√√√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+

(

∂f

∂z

)2·(

∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k

)

Siendo γ1, γ2 y γ3 las componentes del vector unitario ~η.

γ1 =

∂f

∂x√√√√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+

(

∂f

∂z

)2=

∂f

∂x∆

γ2 =

∂f

∂y√√√√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+

(

∂f

∂z

)2=

∂f

∂y

∆

γ3 =

∂f

∂z√√√√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+

(

∂f

∂z

)2=

∂f

∂z∆

Como ~R y ~η deben ser colineales, y ~η es un vector unitario:

~R = R · ~η

~R =R

∆

∂f

∂x~i +

R

4∂f

∂y~j +

R

∆

∂f

∂z~k

DenominandoR

∆= λ

~R = λ∂f

∂x~i + λ

∂f

∂y~j + λ

∂f

∂z~k

Aplicando ahora la ecuacion del equilibrio ~F + ~R = ~0

(

Fx + λ∂f

∂x

)

~i +

(

Fy + λ∂f

∂y

)

~j +

(

Fz + λ∂f

∂z

)

~k = ~0


Lo que da lugar a las tres ecuaciones escalares:

Fx + λ∂f

∂x= 0

Fy + λ∂f

∂y= 0

Fz + λ∂f

∂z= 0

Que junto con la ecuacion de la superficie:

f(x, y, z) = 0

Constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas λ, x, y, z. La resolu-cion de este sistema permite determinar la posicion en la que el punto alcanza el equilibriomediante las coordenadas ( x, y, z ), y el valor de la fuerza reactiva mediante λ.

3.4.3. Equilibrio de un punto vinculado a una lınea lisa

En un espacio tridimensional, la vinculacion entre punto y lınea es siempre bilateral, yaque una lınea no divide el espacio en semiespacios.

Para que el equilibrio sea posible, la resultante de las fuerzas activas ~F , debe de ser normalal vector ~τ tangente a la lınea, pues en caso contrario, la componente de ~F en la direccion dela tangente, producirıa el desplazamiento del punto por la lınea.

Esta condicion de equilibrio podra expresarse como:

~F · ~τ = 0

Efectuamos ahora el siguiente planteamiento analıtico:

La ecuacion de la lınea a la que el punto se encuentra vinculado, viene dada por:

f1 ( x, y, z ) = 0f2 ( x, y, z ) = 0

}

Siendo f1 y f2 las ecuaciones de dos superficies cuya interseccion es la lınea.

Descomponemos la fuerza reactiva ~R segun las direcciones ~η 1 y ~η 2, normales a las superfi-cies que definen la lınea:


f2(x, y, z) = 0

~τ

~η2~R2

~R

~R1

~η1

~F

f1(x, y, z) = 0

~R = ~R1 + ~R2 = R1 ~η 1 + R2 ~η 2

La ecuacion del equilibrio es entonces:

~F + ~R = ~0 ; ~F + R1 ~η 1 + R2 ~η 2 = ~0

Se trata entonces de un planteamiento que se corresponde con la vinculacion simultanea ados superficies, lo que se plasmara en:

Fx + λ1∂f1

∂x+ λ2

∂f2

∂x= 0

Fy + λ1∂f1

∂y+ λ2

∂f2

∂y= 0

Fz + λ1∂f1

∂z+ λ2

∂f2

∂z= 0

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

En donde:

λ1 =R1

∆1; λ2 =

R2

∆2

La resolucion de este sistema de cinco ecuaciones con cinco incognitas, λ1, λ2, x, y, z, nospermite determinar la posicion de equilibrio del punto ( x, y, z ), y el valor de las compo-nentes R1 y R2 de la fuerza reactiva ~R mediante λ1 y λ2.


3.4.4. Estabilidad en el equilibrio sin rozamiento

Se dice que un punto se encuentra en situacion de equilibrio estable, si sometido a uncierto desplazamiento ∆s desde la posicion de equilibrio, tiende a recuperar dicha posicion.

Por el contrario, si el punto una vez apartado de su posicion de equilibrio, tiende a ale-jarse de la misma, decimos que dicho punto se encuentra en equilibrio inestable.

Finalmente, si apartado el punto de su posicion de equilibrio, vuelve a encontrarse en equili-brio en la nueva posicion, decimos que el punto esta en equilibrio indiferente o labil.

Ilustramos lo dicho con el siguiente ejemplo, en el que la unica fuerza activa es el pesopropio, y denominamos Fτ a su componente en la direccion tangencial, en la que es posibleel movimiento. En la posicion de equilibrio, Fτ es nula.

Inestable

∆s

~F ~F

∆s ∆s

~F ~F~F~F

Estable Indiferente

∆Fτ ∆Fτ

Partiendo de una posicion de equilibrio, planteamos un desplazamiento, incrementando lacoordenada curvilınea un valor ∆s, y la componente tangencial de la fuerza activa adop-tara un valor ∆Fτ .

Si el equilibrio es estable,∆Fτ

∆s< 0 ; y en el lımite

dFτ

ds< 0.

Si el equilibrio es inestable,∆Fτ

∆s> 0 ; y en el lımite

dFτ

ds> 0.

Si el equilibrio es indiferente,∆Fτ

∆s= 0 ; y en el lımite

dFτ

ds= 0.


3.5. Enlaces con rozamiento

Todo lo expuesto con anterioridad se refiere a vınculos o enlaces lisos; en los cuales lareaccion vincular entre un punto y una superficie se caracteriza por ser ortogonal a dichasuperficie, o bien entre un punto y una lınea, en cuyo caso la reaccion vincular resulta en-contrarse en un plano normal a la lınea.

Los vınculos rugosos, o enlaces con rozamiento, se caracterizan porque su reaccion no esnormal al contacto, sino que presenta una cierta componente tangencial ~R τ .

Veamos un caso practico ilustrativo:

~Fτ

Supongamos un cuerpo de peso ~P , que lo asimilaremos a un punto material, que se encuen-tra apoyado en un plano horizontal, siendo el contacto entre cuerpo y plano con rozamiento.Aplicamos al cuerpo una fuerza horizontal ~F τ . La experiencia nos muestra que dicho cuerpono se movera, es decir, permanecera en equilibrio en tanto y en cuanto la fuerza ~F τ no sobre-pase un cierto valor lımite, mınimo necesario para que el cuerpo inicie el movimiento. Elloquiere decir que el enlace entre cuerpo y plano esta generando una fuerza reactiva tangencial~R τ que se opone al movimiento, y cuyo valor modular esta comprendido entre 0 y R τ lim.

En resumen: en la situacion de equilibrio las fuerzas actuantes sobre el cuerpo asimilablea un punto material son:

α

~Fτ~Rτ

~Rη

~P ~F

~R

Fuerzas activas: El peso propio ~P y la fuerza externa aplicada en la direccion tangen-cial ~F τ . La resultante de ambas fuerzas activas es ~F .

Fuerzas reactivas: La fuerza reactiva normal ~R η = R η · ~η , cuya direccion es ortogo-nal al plano de contacto, y la fuerza reactiva tangencial ~R τ = R τ · ~τ , que es la fuerzade rozamiento, su direccion es tangencial a las superficies en contacto, y su sentido esel de oposicion al posible movimiento. La resultante de estas fuerzas reactivas es ~R,que forma con la direccion normal al contacto, un angulo α.


En la situacion de equilibrio se cumplira que:

~R τ = − ~F τ

~R η = − ~P

}

⇒ ~R = −~F

El fenomeno fısico del rozamiento fue ampliamente estudiado por Carlos Agustın Coulomb,y fue el quien establecio las siguientes leyes para la fuerza de rozamiento R τ .

1. Depende de la naturaleza de las superficies en contacto, es decir, materiales, acabadoo terminacion superficial, grado de lubrificacion, etc.

2. Es independiente del area de las superficies en contacto, y de la velocidad relativa quepuedan tener estas si se encuentran en movimiento; sin embargo, su valor difiere de lasituacion de equilibrio a la situacion de movimiento.

3. En la situacion en la que se esta a punto de pasar del equilibrio al movimiento, si-tuacion denominada de movimiento inminente, el valor de la fuerza de rozamiento es~R τ lim, cuyo modulo sera proporcional al modulo de la fuerza reactiva del enalace enla direccion normal ~R η.

R τ lim = µe Rη

En donde µe es el denominado coeficiente de rozamiento estatico, estando su valorcomprendido siempre entre 0 y 1.

0 < µe < 1

µe =R τ lim

Rη= tg ϕ

~Rτ

~Rη

~F

~R

ϕ

~Rτ lim

α

Como vemos en la representacion grafica, µe representa la tangente del angulo desemiapertura ϕ de un cono ideal denominado cono de rozamiento, cuyo eje de simetrıa


es la direccion normal al contacto.El punto material se mantendra en equilibrio siempre que ~F , resultante de las fuerzasactivas que actuan sobre el punto, y por tanto tambien ~R = ~R η + ~R τ , resultante de lasfuerzas de enlace, se encuentren en el interior del cono de rozamiento.

4. En la situacion no estatica, es decir, cuando el punto se encuentra en movimiento, elmodulo de la fuerza de rozamiento ~R τ es:

R τ = µc R η, En donde 0 < µc < 1

El coeficiente de rozamiento cinetico, µc, es un parametro fenomenologico, que en-cierra en sı mismo toda la problematica de la interaccion superficial, y que al igualque el coeficiente de rozamiento estatico µe, tiene un valor para cada par de materialesconcretos. En general µe > µc.

Materiales Estatico µe Cinetico µc

Acero sobre acero 0,74 0,57Aluminio sobre acero 0,61 0,47Cobre sobre acero 0,53 0,36Laton sobre acero 0,51 0,44Vidrio sobre vidrio 0,94 0,4Cobre sobre vidrio 0,68 0,53Teflon sobre teflon 0,04 0,04Teflon sobre acero 0,04 0,04

Estudios posteriores sobre el rozamiento debidos principalmente a Airn y Petroff, modifi-caron las leyes del rozamiento de Coulomb, en particular para la situacion de movimiento,estableciendo que:

1. La fuerza de rozamiento es funcion de la velocidad y del area de las superficies encontacto.

2. La fuerza de rozamiento es inversamente proporcional al espesor medio de la capa delubricante.

3. La fuerza de rozamiento es proporcional a la raız cuadrada de la presion existente entrelas superficies en contacto.

Representamos a continuacion en un diagrama, la relacion entre la fuerza de rozamiento R τ ,y la componente en la direccion tangencial de la fuerza activa aplicada F τ .


Movimiento Inminente (Ruptura del enlace)

µc Rη

F τ

R τ

(Fuerza tangencial aplicada)

(Fuerza de Rozamiento)

Rτ lim = µe Rη

IdealReal

Sin movimiento Con movimiento

3.5.1. Equilibrio de un punto vinculado a una superficie rugosa

Sea ~F la resultante de las fuerzas activas que actuan sobre el punto, y ~R la resultante delas fuerzas vinculares o de enlace.

Podemos considerar dos posibles tipos de vinculacion entre punto y superficie:

1. Bilateral:

α

~R

ϕ

Rη

Rτ lim Rτ

Fτ

Fη

~F

α

Las componentes de la fuerza activa ~F en las direcciones normal y tangencial a la su-perficie son:

Fη = F · cos α ; Fτ = F · sen α = Fη · tg α

Para que el equilibrio sea posible la fuerza de rozamiento no debe superar su valorlımite:


R τ ≤ R τ lim = µe ·R η = tg ϕ ·R η

Como en el equilibrio se cumple que:

R τ = F τ y Rη = F η

Podremos decir:

F τ ≤ tg ϕ · F η ⇒ F η · tg α ≤ F η · tg ϕ ⇒ tg α ≤ tg ϕ ⇒ α ≤ ϕ

Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie rugosa se encuentra enequilibrio, cuando la resultante de las fuerzas activas aplicadas, forma con la direccionnormal un angulo α inferior al angulo ϕ de rozamiento; o expresado de otra forma:Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie rugosa, se encuentra enequilibrio cuando la resultante de las fuerzas activas se encuentra en el interior delcono de rozamiento.

2. Unilateral:Para el vınculo unilateral, el planteamiento anterior es perfectamente valido, peroademas se tiene que anadir otra condicion: la resultante de las fuerzas activas debede tener un sentido tal que tienda a aplicar a la partıcula desde el semiespacio permiti-do, hacia el semiespacio prohibido. Lo que se puede expresar como:

~F · ~η < 0

En donde ~η es el vector unitario, normal a la superficie, y cuyo sentido es surgenteen el semiespacio permitido.

~ηα

α

~F

ϕ

~R


3.5.2. Equilibrio de un punto vinculado a una lınea rugosa

El vınculo entre punto y lınea en un espacio tridimensional no puede ser unilateral, yaque una lınea no puede subdividir ese espacio en dos semiespacios; por tanto ese vınculodebera ser siempre bilatareal.

La direccion de la tangente a la lınea en el punto vendra definida por el vector unitario~τ , y consideremos el plano normal que pasa por el punto y es perpendicular a ~τ , y por tantoa la lınea.

La resultante de las fuerzas activas ~F podra ser descompuesta en la suma de dos vecto-res: ~F τ , con direccion tangencial, y ~F η, contenido en el plano normal.

Igualmente, la fuerza reactiva ~R, puede ser descompuesta en ~R τ y ~R η.

La condicion de equilibrio sera la misma que la del planteamiento ya visto para el vıncu-lo entre punto y superficie rugosa, esto es, la resultante de las fuerzas activas debe estar en elinterior del cono de rozamiento.

Pero en el vınculo entre punto y lınea, el cono de rozamiento no es unico, ya que el ejede simetrıa del mismo, contenido siempre en el plano normal, tiene la direccion de la com-ponente vectorial ~F η, que dependera de la fuerza activa ~F .

Consideraremos entonces un cono unico, envolvente de todos los posibles conos de ro-zamiento, cuyo eje de simetrıa es la direccion tangencial, y cuyo angulo de semiaperturasera 90o − ϕ. El criterio de equilibrio sera ahora que la resultante de las fuerzas activas ~F seencuentre en el exterior de este cono envolvente de todos los posibles conos de rozamiento.

α

~F

~τ

~R

α

ϕ

90o − ϕ

~Fη


3.5.3. Estabilidad en el equilibrio con rozamiento

Vamos a definir un parametro objetivo, que nos pueda indicar lo cercanos o lejanos queen un enlace con rozamiento, nos encontramos de la situacion de perdida inminente del equi-librio.

Como sabemos, en un enlace con rozamiento, estamos en equilibrio si:

R τ ≤ R τ lim = µe R η ⇒ µe R η ≥ R τ ⇒ µe R η − R τ ≥ 0

Sabemos que en el equilibrio:

R τ = F τ ; R η = F η

Con lo que podremos expresar:

µe F η − F τ ≥ 0

Dividimos por F η, y definimos el parametro adimensional q :

q =µe Fη − Fτ

Fη

≥ 0

Que debera ser positivo para que nos encontremos en situacion de equilibrio, y cuyos valoresextremos son:

q = µ Si F τ = 0 Maxima estabilidad

q = 0 Si F τ = µe F η Movimiento inminente

q = 0 (Movimiento Inminente)

F τ

R τ

µe Fη

µe Rη

Fτ

Rτ

q = µ (Estabilidad)


3.6. Estatica de los sistemas

3.6.1. Sistemas materiales. Clasificacion

Definimos sistema material como un conjunto de puntos materiales, que se encuentranvinculados entre sı.

Si los puntos del sistema estan relacionados en tal forma que sea cual sea el valor de lasfuerzas actuantes sobre ellos, sus distancias relativas no varıan, diremos que es un sistemarıgido.Caso contrario, el sistema es deformable.

Un sistema serıa continuo si entre dos puntos del mismo se pueden tantos otros como sequiera, tambien pertenecientes al sistema, de modo que las distancias entre esos puntos pue-den llegar a ser indefinidamente pequenas.Caso contrario, se tratarıa de un sistema discontinuo.

Un sistema continuo serıa homogeneo, si en todos los puntos del mismo, la densidad esconstante.

Un sistema continuo serıa isotropo, si presentase propiedades iguales en cualquier direc-cion.Caso contrario, serıa anisotropo.

3.6.2. Clasificacion de los vınculos o enlaces

Los vınculos o enlaces a los que puede estar sometido un sistema material pueden clasi-ficarse en las siguientes categorıas:

1. Internos:

Los vınculos internos son aquellos que limitan la libre movilidad relativa entre lospuntos constitutivos del sistema material.

2. Externos:

Los vınculos externos son los que restringen la libre movilidad del sistema con respec-to a la referencia exterior.

3. Cinematicos

Vınculos cinematicos son aquellos que se definen con independencia de las fuerzaspuestas en juego, es decir, por medio de condiciones de naturaleza geometrica o analıti-ca. Ejemplo: una guıa lisa serıa un enlace cinematico.Los vınculos cinematicos pueden a su vez subdividirse en:


a) De primera especie: Son vınculos cinematicos de primera especie los que sepueden expresar analıticamente mediante una funcion del tiempo y de un nume-ro finito de parametros q, en la forma:

fk (q1, q2, . . . , qn, t) = 0

Si son bilaterales; o bien, en cualquiera de estas dos formas:

fk (q1, q2, . . . , qn, t) ≤ 0

fk (q1, q2, . . . , qn, t) ≥ 0

Si son unilaterales.

Las funciones fk deben ser finitas, uniformes, continuas y derivables.

Los parametros q1, q2, . . . , qn son las denominadas coordenadas generalizadas olagrangeanas, cuyos valores para un instante dado, determinan la configuraciondel sistema.Un ejemplo de vınculo bilateral de primera especie serıa el que tiene un puntoobligado a moverse sobre una esfera de radio r.

La ecuacion x2 + y2 + z2 − r2 = 0 es la que expresa ese vınculo, donde x, y, zhacen el papel de los parametros lagrangeanos q.

La posicion del punto, que originalmente era determinada con tres coordenadas,con la inclusion de esta ecuacion del vınculo, pasa ahora a ser determinada condos coordenadas.

Un ejemplo de vınculo unilateral de primera especie serıa el de un punto obliga-do a moverse sobre una superficie esferica o exteriormente a ella. Este vınculovendrıa expresado por la siguiente inecuacion:

x2 + y2 + z2 ≥ r2

Cuando el punto esta sobre la esfera:

x2 + y2 + z2 = r2

Sus coordenadas de posicion han quedado reducidas a dos. Pero mientras el pun-to se encuentra en el exterior de la esfera, se siguen necesitando tres coordenadas


para definir su posicion.

Cuando un enlace es de primera especie y bilateral, se le denomina holonomo.

b) De segunda especie: Son aquellos vınculos cinematicos que vienen expresadospor ecuaciones diferenciales del tipo:

j=n∑

j=1

αkj dqj + βk dt = 0

En donde αkj y βk son funciones del tiempo y de los parametros lagrangeanos q.Estas ecuaciones diferenciales deben ser no integrables, pues caso contrario, setransformarıan en ecuaciones de las del tipo que definen los enlaces de primeraespecie.

Veamos estos dos ejemplos:

1) Un disco rueda sobre un plano inclinado sin deslizamiento, manteniendosesiempre en el plano del dibujo.

α

s

aθ

Su posicion quedara perfectamente determinada conociendo la distancia srecorrida a lo largo del plano, y el angulo θ girado por el disco. En este casos y θ son los parametros lagrangeanos.Si la rodadura es sin deslizamiento, podemos establecer:

ds − a · dθ = 0

Esta ecuacion es formalmente de las del tipo que corresponde a los vınculosde segunda especie. Sin embargo, es integrable:

s − a · θ + C = 0

Con lo que el vınculo es en realidad de primera espacie. El numero de coor-denadas de posicion que hay en principio (dos parametros lagrangeanos),quedan ahora reducidos a uno, por la presencia de esta ecuacion de enlace.


2) Un disco rueda sin deslizar (pudiendo girar alrededor de su eje vertical),sobre un plano horizontal. El disco esta obligado a mantenerse siempre or-togonal al plano horizontal.

yx

a

ϕθ

La posicion del disco vendra definida en todo momento por estos cuatroparametros: x e y, coordenadas del centro geometrico del disco; el anguloϕ que determina la orientacion del plano del disco respecto al eje X , y elangulo θ que forma un radio del disco con la vertical.

El sistema tiene de momento cuatro coordenadas de posicion.

Veamos cuales son las condiciones que impone el enlace:

La componente de la velocidad del centro geometrico del disco en la direc-cion ortogonal a su plano, debe de ser nula:

x sen ϕ + y cos ϕ = 0

La componente de la velocidad del centro geometrico del disco, horizontaly en su propio plano, sera:

x cos ϕ − y sen ϕ = a θ

No es posible integrar ahora estas relaciones, es decir, obtener una relacionentre las variables x, y, ϕ y θ. Se trata por tanto de un enlace de segundaespecie.

En efecto, un punto cualquiera de la periferia del disco, (angulo θ), pue-de ser llevado a un punto cualquiera del plano (x y), y con una orientacioncualquiera (ϕ). Se podrıa hacer eligiendo la trayectoria de dimensiones ade-cuadas, y alcanzado el punto, girar a la orientacion del plano del disco ϕrequerida.

La posicion del sistema tiene que seguir siendo definida por cuatro parame-tros.


En resumen, dirıamos que los enlaces de segunda especie imponen condi-ciones de movimiento, pero no modifican el numero de parametros o coor-denadas que definen la posicion.

A los enlaces que imponen que imponen condiciones de movimiento perono modifican el numero de parametros de posicion, como los de primera es-pecie unilaterales, o los de segunda especie, se les denomina no holonomos,anholonomos o heteronomos.

4. Dinamicos:

Son aquellos en los que en su definicion intervienen fuerzas. Ejemplos: Una conexionmediante un resorte serıa un enlace dinamico. Tambien lo serıa una guıa con rozamien-to.

5. Reonomos

Los enlaces en los que en su definicion aparece explıcitamente la variable escalar tiem-po, son los enlaces dependientes del tiempo, tambien denominados reonomos.

6. Escleronomos

Los enlaces en los que en su definicion no aparece explıcitamente la variable escalartiempo, son los enlaces independientes del tiempo, tambien denominados esclerono-mos.

7. Bilaterales

8. Unilaterales

9. Sin rozamiento o lisos

10. Con rozamiento o rugosos

Cuando se trata de un contacto con rodadura entre dos solidos, se pueden dar estos doscasos:

a) Perfectamente rugosoEl movimiento de un solido, en contacto con otro, es de rodadura sin desliza-miento.

b) Simplemente rugosoEl movimiento de un solido, en contacto con otro, es de rodadura con desliza-miento.

El que un vınculo sea simple o perfectamente rugoso, depende de la magnitud de lasfuerzas puestas en juego. Los enlaces con rozamiento son por lo tanto de caracter


dinamico.

Finalmente, segun los grados de libertad que los enlaces eliminan, y pensando en unespacio bidimensional, podemos hablar de:

11. Vınculos simples

12. Vınculos dobles

13. Vınculos triples

Describiremos estos enlaces posteriormente, tras introducir el concepto de grado de libertad.

3.6.3. Coordenadas generalizadas y grados de libertad

Denominamos grados de libertad de un sistema material, al numero de posibles movi-mientos del mismo.

Para un punto material libre en el espacio tridimensional, los posibles movimientos serıantres, correspondientes a las tres direcciones ortogonales. La presencia de enlaces, hara dis-minuir los grados de libertad:

Ası, un punto obligado a moverse en el plano, poseera unicamente dos grados de liber-tad, correspondientes a dos direcciones ortogonales; y un punto vinculado a una lınea, po-seera unicamente un grado de libertad.

En cuanto a un sistema de N puntos materiales, su grado de libertad sera evidentemente3 N − ν − h ; siendo ν el numero de enlaces holonomos, y h el numero de enlaces noholonomos a los que encuentra sometido, tanto interiores como exteriores.

Un solido rıgido indeformable, libre en el espacio tridimensional, posee seis grados de li-bertad que corresponden a tres traslaciones y tres giros. La presencia de enlaces sobre estesolido hara disminuir sus grados de libertad.

El numero de coordenadas generalizadas o lagrangeanas, es el numero mınimo de parame-tros necesarios para fijar biunıvocamente una determinada configuracion.

La posicion de un punto material libre se define con tres parametros (tres coordenadas carte-sianas, o cilındricas, o esfericas, o cualesquiera otras). El numero de coordenadas generali-zadas es tres.

La presencia de enlaces sobre ese punto hace disminuir el numero de coordenadas gene-ralizadas:

Ası, para un punto obligado a moverse en un plano, su posicion queda definida por dos


parametros (coordenadas cartesianas, polares..); y para un punto obligado a moverse sobreuna lınea, su posicion quedara definida por un unico parametro (una coordenada curvilınea).

Por lo que respecta a un sistema de N puntos materiales, el numero de coordenadas necesa-rias para definir su configuracion, sera 3 N − ν , siendo ν el numero de enlaces holonomosa los que se encuentra el sistema sometido, tanto interiores como exteriores.

Un solido rıgido indeformable, libre en el espacio tridimensional, necesita seis coordena-das generalizadas para definir su posicion.

En resumen:

Grados de libertad de un sistema de N puntos:

l = 3 N − ν − h

Numero de coordenadas generalizadas de un sistema de N puntos:

µ = 3 N − ν

Si se trata de un punto material, o de un sistema cualquiera, pero sometido exclusivamente aenlaces holonomos, entonces h = 0 , y por tanto µ = l ; es decir, coinciden el numero degrados de libertad, y el numero de coordenadas generalizadas.


3.6.4. Vınculos simples, dobles y triples

Vınculos simples

Son aquellos que reducen en un unidad el grado de libertad de un sistema.

Para el caso de geometrıas planas, los vınculos simples mas frecuentes son: la columnapendular o biela, y la articulacion movil.

~R

O

A

~R

A

La columna pendular o biela, es una barra rıgida que articula por un extremo en un punto fijoO, y por el otro extremo, en un punto A perteneciente al sistema.Para el sistema queda eliminada la traslacion en la direccion de la biela, estando permitidosla traslacion en la direccion ortogonal a la biela, y el giro alrededor del punto A.La fuerza reactiva ~R del enlace tiene la direccion de la biela, con lo que la unica incognitaque se introduce es su valor modular R.

La articulacion movil tambien reduce el numero de grados de libertad de tres a dos. Que-da eliminada la traslacion en la direccion ortogonal a la guıa (el vınculo se entiende comobilateral), y esta permitida la traslacion en la direccion de la guıa, y el giro alrededor de A.La fuerza reactiva ~R tiene su direccion ortogonal a la guıa, por lo que solo se introduce comoincognita su valor modular.

Vınculos dobles

Son aquellos que reducen en dos unidades el grado de libertad de un sistema.

El vınculo doble mas comun es la denominada articulacion fija.

La articulacion fija liga un punto de un sistema material con otro punto exterior a ese sistema,y que se encuentra fijo.Para el sistema quedan eliminadas sus dos posibles traslaciones, pero se permite el giro alre-dedor del punto O.La articulacion fija introduce una fuerza reactiva ~R de la que en principio se desconoce su


modulo R y direccion α, o lo que es equivalente, sus dos componentes escalares Rx y Ry,segun las relaciones:

Rx = R cos αRy = R sen α

} tg α =Ry

Rx

R =√

R 2x + R 2

y

~Rα

A

Vınculos triples

Son aquellos que reducen en tres unidades los grados de libertad de un sistema. Para unsolido rıgido, en una geometrıa plana, como su grado de libertad es tres, la presencia de unvınculo triple lo dejara inmovilizado.El vınculo triple mas caracterıstico recibe el nombre de empotramiento, e impide al solidodesplazamiento y rotacion.

Refiriendonos a sistemas planos, el impedimento de la rotacion, genera un momento reactivo~M ortogonal al plano director, y el impedimento del desplazamiento da lugar a una fuerza

reactiva ~R con dos componentes incognitas. Es decir, el empotramiento en el plano da lugara tres incognitas.

~M

~R

Se pueden efectuar combinaciones con los enlaces en tal forma que por ejemplo, un vınculosimple y uno doble, generan uno triple; o tres simples generan un triple, siempre y cuandono se produzca una situacion de ligadura impropia, la cual se produce cuando las fuerzasreactivas introducidas por los enlaces son concurrentes o paralelas.


3.6.5. Clasificacion de los sistemas en funcion de su movilidad

1. Si un sistema material es susceptible de movilidad, se le denomina sistema dinamico.

Los sistemas dinamicos sometidos a vınculos cinematicos, se clasifican en funcionde sus grados de libertad.Ası podemos hablar de sistemas dinamicos de cuatro grados de libertad, de tres gradosde libertad, etc.

Los sistemas de un solo grado de libertad, sometidos exclusivamente a enlaces holono-mos e independientes del tiempo, es decir, aquellos cuya configuracion queda definidamediante un unico parametro lagrangeano, se denominan desmodronicos, y son losque constituyen el grupo mas importante bajo el punto de vista tecnico.

2. Si un sistema material tiene cero grados de libertad, y ademas el numero de coorde-nadas generalizadas necesarias para definir su posicion coincide con el de condicionesimpuestas por los vınculos a los que esta sometido, no siendo estos impropios, diremosque el sistema es isostatico o estaticamente determinado.

3. Si el numero de condiciones impuestas por los vınculos es superior al numero de coor-denadas generalizadas o lagrangeanas necesarias para definir su posicion, se dice queel sistema es de vınculos superabundantes o hiperestatico.


3.7. Teorema de las fuerzas interiores

En un sistema material cualquiera, y sea cual sea su situacion, de reposo o de movimiento,sabemos por el principio de accion y reaccion, que las fuerzas o interacciones mecanicasmutuas ~F12 y ~F21, entre dos puntos A1 y A2 de ese sistema, son vectores opuestos, es decir:

~F12 = − ~F21 ⇒ ~F12 + ~F21 = ~0

A2

O

A1

~F21~F12

~r2~r1

Ademas, si tomamos momentos de esas fuerzas con respecto a un punto O:

~MO = ~r1 ∧ ~F12 + ~r2 ∧ ~F21 = ~r1 ∧ ~F12 − ~r2 ∧ ~F12 =

= (~r1 − ~r2) ∧ ~F12 =−−−→A2A1 ∧ ~F12 = ~0

Planteando estas ecuaciones para todos los pares posibles de puntos del sistema, y sumando,obtendremos:

1. La resultante de todas las fuerzas interiores de un sistema es nula:

i=n∑

i=i

~F inti = ~0

2. El momento resultante de todas las fueras interiores de un sistema con respecto a unpunto O es nulo:

~M int0 =

i=n∑

i=i

~ri ∧ ~F inti = ~0

Para cualquier sistema material, rıgido o deformable, se encuentre en reposo o movimiento,la resultante de las fuerzas interiores, y el momento resultante de las fuerzas interiores conrespecto a un punto, son nulos.Este teorema es tambien aplicable a cualquier porcion del sistema que aislemos idealmente,teniendo en cuenta que fuerzas que para el sistema total eran consideradas interiores, ahorapara la porcion aislada, deberan ser consideradas como exteriores.


3.8. Ecuaciones universales de la Estatica

Supongamos un cierto sistema material sometido a un conjunto de fuerzas exteriores queactuan sobre los puntos de este sistema. Estas fuerzas en general podran ser de dos tipos:Fuerzas activas aplicadas, y fuerzas reactivas o vinculares , que provienen de los enlaces delsistema con el exterior.

A las fuerzas exteriores las denominaremos ~F exti , en donde el subındice i indica el punto

del sistema sobre el que la fuerza actua.

Por otra parte, en los puntos del sistema tambien actuan las fuerzas interiores ~F inti , que

provienen de las interacciones mecanicas con otros puntos que pertenecen al sistema.

Si pensamos ahora que el sistema se encuentra en equilibrio, eso sera porque se encuen-tran en equlibrio todos y cada uno de los puntos del mismo, por ejemplo el punto designadocon el subındice i, y podremos decir:

~F exti + ~F int

i = ~0 o bien ~F exti = − ~F int

i

Lo que nos indica que las fuerzas exteriores aplicadas en un punto, constituyen un siste-ma igual pero de sentido opuesto al de las fuerzas interiores en dicho punto.

Habiendo expresado ahora el equilibrio de todos los puntos del sistema, y teniendo en cuen-ta que segun sabemos por el teorema de las fuerzas interiores, la resultante de las fuerzasinternas es nula:

i=n∑

i=1

~F exti +

i=n∑

i=1

~F inti = ~0 ⇒ ~F ext

i =

i=n∑

i=1

~F exti = ~0 (3.1)

Por otra parte, tomando momentos con respecto a un punto cualquiera O, la condicion deequilibrio vendra dada por el hecho de que ese momento sea nulo:

i=n∑

i=1

~ri ∧ ~F exti +

i=n∑

i=1

~ri ∧ ~F inti = ~0

Y teniendo en cuenta que el momento resultante de las fuerzas interiores de un sistemacualquiera con respecto a un cierto punto es siempre nulo:

~M extO =

i=n∑

i=1

~ri ∧ ~F exti = 0 (3.2)

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones vectoriales universales de la estatica, quese deben cumplir siempre que un sistema material cualquiera se encuentre en equilibrio, yexpresan que:


La resultante de las fuerzas exteriores debe de ser nula.

El momento resultante de las fuerzas exteriores debe de ser nulo.

Es interesante hacer notar que en estas ecuaciones solo intervienen las fuerzas exteriores.

Estas ecuaciones son condiciones de equilibrio para los sistemas necesarias pero no sufi-cientes, es decir, si un sistema se encuentra en equilibrio se cumplen; pero el hecho de quese cumplan no implica que el sistema se encuentre en equilibrio.No obstante, como veremos posteriormente, para el sistema solido rıgido indeformable, estasecuaciones expresan las condiciones de equilibrio necesarias y suficientes.

Las dos ecuaciones vectoriales, proyectadas sobre los ejes referencia X , Y y Z dan lu-gar a las siguientes ecuaciones escalares:

F extx =

i=n∑

i=1

F extix = 0 ; F ext

y =i=n∑

i=1

F extiy = 0 ; F ext

z =i=n∑

i=1

F extiz = 0

M extOx

=

i=n∑

i=1

M extiOx

= 0 ; M extOy

=

i=n∑

i=1

M extiOy

= 0 ; M extOz

=

i=n∑

i=1

M extiOz

= 0

Estas seis ecuaciones escalares universales de la estatica, se ven reducidas a tres para el casode geometrıas planas en un espacio bidimensional.

F extx =

i=n∑

i=1

F extix = 0 ; F ext

y =

i=n∑

i=1

F extiy = 0 ; M ext

Oz=

i=n∑

i=1

M extiOz

= 0

Como entre las fuerzas exteriores se encuentran las reactivas introducidas por los vınculosdel sistema con el exterior, y esas fuerzas reactivas presentan elementos que son incognitasdesconocidas, se pueden dar estos casos:

1. Que el numero de ecuaciones de equilibrio sea igual al de elementos incognitas de lasfuerzas reactivas. El problema es estaticamente determinado o isostatico.

2. Que el numero de ecuaciones de equilibrio sea inferior al de elementos incognitas delas fuerzas reactivas. El problema es estaticamente indeterminado o hiperestatico.El problema hiperestatico no es resoluble dentro del campo de la mecanica del solidorıgido. La hiperestaticidad sera objeto de estudio en la mecanica del solido deformable(Resistencia de materiales).


3.9. Estatica del solido rıgido

En cinematica, solido rıgido es aquel sistema material en el que la distancia relativa entrelos puntos que lo componen permanece invariante, sea cual sea el movimiento que este ex-perimentando.

En estatica, solido rıgido es aquel que si estando en equilibrio, y sobre dos puntos cualesquie-ra del mismo, A y B, aplicamos dos fuerzas exteriores con la direccion de AB, iguales y desentido opuesto; se sigue manteniendo en equilibrio, y la distancia AB permanece constante.

A

B

~F

~F

Este concepto de solido rıgido en su aplicacion a los solidos reales debe entenderse en unaforma idealizada; ya que los solidos reales bajo la accion de las fuerzas se deforman en ma-yor o menor cuantıa, no siendo por tanto absolutamente rıgidos.

Admitida la rigidez absoluta de los solidos rıgidos, para este tipo de sistemas materialesdebe cumplirse que:

1. El equilibrio de un solido rıgido no se altera cuando a dos puntos cualesquiera delmismo se le aplican fuerzas iguales, opuestas y en la lınea de accion que une ambospuntos.

2. El sistema de equilibrio estatico equivalente al caso mas elemental es el formado pordos fuerzas iguales y directamente opuestas, y podra ser agregado o suprimido encualquier solido rıgido sin que se altere su estado de equilibrio.

3. Consideremos un solido rıgido en el que en uno de sus puntos A1 actua una fuerza~F . En dos puntos A2 y A3 alineados con A1 en la direccion de ~F , introducimos dosfuerzas opuestas y de identico valor modular a ~F , con lo que no habremos alterado elestado de equilibrio del solido. Ahora las fuerzas que actuan sobre A1 y A3 podran sersuprimidas por conformar un sistema en equilibrio equivalente a cero. La unica fuerzaque actua ahora es la aplicada en A2, siendo este sistema de fuerzas equivalente alprimitivo. En conclusion, las fuerzas aplicadas sobre los solidos rıgidos son vectoresdeslizantes, y a ellas se les puedes aplicar toda la teorıa de los sistemas de vectoresdeslizantes vista con anterioridad.

A1 A2

~F~F ~F

A3


4. Si sobre un solido rıgido actua el sistema de fuerzas ~F1, ~F2, . . . , ~Fn, aplicadas en lospuntos A1, A2, . . . , An; por ser las fuerzas vectores deslizantes, siempre podran sersubstituidas por otro sistema de equivalente, es decir, que tenga la misma resultante, yel mismo momento resultante con respecto a un punto, que el sistema original.

5. Teniendo en cuenta que las fuerzas que actuan sobre los solidos rıgidos son vectoresdeslizantes, y teniendo en cuenta que las condiciones que tienen que tener estos siste-mas para ser nulos, es tener resultante nula y momento resultante nulo, deducimos quelas condiciones de equilibrio vistas para los sistemas en general (Resultante y Momen-to resultante nulos), para los solidos rıgidos, son condiciones de equilibrio necesariasy suficientes.

3.9.1. El problema estatico del solido rıgido vinculado

Los vınculos o enlaces dan lugar a la aparicion de las fuerzas reactivas, que normalmantepresentaran valores que son para nosotros desconocidos o incognitas.

Las fuerzas activas, junto con las reactivas, constituyen el sistema de fuerzas exteriores apli-cadas.

El problema estatico del solido rıgido quedara concretado entonces en estos dos puntos:

1. Comprobar si las fuerzas activas aplicadas hacen posible el equilibrio del solido.

2. Determinar los elementos incognitas que nos permitiran hallar las fuerzas reactivas.

Ambas cuestiones se resuelven aplicando en cada caso les ecuaciones universales de la estati-ca.

Teniendo en cuenta que las fuerzas exteriores ~F ext estan formadas por las fuerzas activas~F y por las fuerzas reactivas ~R , podremos expresar:

{~F + ~R = ~0~M~FO

+ ~M~RO= ~0

⇒{

~R = − ~F~M~RO

= − ~M~FO

Las dos ultimas ecuaciones nos expresan que en el equilibrio, las fuerzas reactivas for-man un sistema opuesto al sistema de las fuerzas activas.

Pasamos a continuacion a analizar algunos casos particulares de interes especial.


3.9.2. Solido rıgido con un punto fijo

Sea un solido con un punto fijo O, en el que situamos el origen de nuestro sistema refe-rencial. El vınculo impide los tres desplazamientos en las direcciones ~i, ~j y ~k, pero permitelos tres giros alrededor de los ejes de referencia. El grado de libertad del solido sera por lotanto, tres.

Por causa de las fuerzas activas, aparecera en el vınculo una fuerza reactiva ~R, aplicadaen el punto O, y de la que desconocemos sus tres componentes Rx, Ry y Rz.

X

Y

~R

~k

~i~j

Z

O

~F1

~Fn

~F2

~Fi

~R = Rx~i + Ry

~j + Rz~k

Evidentemente, el momento resultante de la fuerza reactiva ~R en O sera nulo.

~M~R0= ~0

La resultante de las fuerzas activas ~F1, ~F2, . . . ~Fi, . . . ~Fn sera:

i=n∑

i=1

~Fi = Fx~i + Fy

~j + Fz~k

Y el momento resultante de las fuerzas externas activas en O:

~M~F0=

i=n∑

i=1

~ri ∧ ~Fi = Mx~i + My

~j + Mz~k

Aplicamos ahora las ecuaciones universales de la estatica:{

~F + ~R = ~0~M~F0

+ ~M~R0= ~0


Que se traducen en las siguientes seis ecuaciones escalares:

Rx + Fx = 0 ; Ry + Fy = 0 ; Rz + Fz = 0

Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0

Las tres primeras ecuaciones nos proporcionan el valor de la fuerza reactiva ~R a traves desus componentes Rx, Ry y Rz ; las otras tres ecuaciones nos muestran las condiciones quedeben cumplir las fuerzas externas aplicadas para que el equilibrio sea posible, esto es, queel momento resultante de esas fuerzas con respecto a O sea nulo.

3.9.3. Solido rıgido con un eje fijo

Se trata de un solido que presenta dos puntos fijos, lo que implica que tambien estaranfijos todos los puntos de la lınea que los une.

El solido tendra impedidos los desplazamientos en las tres direcciones de referencia, unade las cuales, la del eje Z, la hemos hecho coincidir con el eje. Dos de los giros, estaranimpedidos, en tanto que el tercero, el correspondiente al eje, estara permitido. El solido tienepor tanto un unico grado de libertad.

Planteamos el problema en la siguiente forma:

X

Y

~R

~k

~i~jO

~F1

~Fn

~F2

~Fi

Z

O′

h

~R′

En los puntos O y O′ aparecen las reacciones ~R y ~R′ generadas por el sistema de las fuerzasexteriores activas ~F1, ~F2, . . . ~Fi, . . . ~Fn.

Aplicamos las ecuaciones de la estatica a este caso:{

~R + ~R′ + ~F = ~0~M~R0

+ ~M ~R′0

+ ~M~F0= ~0


El momento en O de la fuerza reactiva ~R es evidentemente nulo.

~M~R0= ~0

El momento en O de la fuerza reactiva ~R′ sera:

~M ~R′0

=−→00′ ∧ ~R′ =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k0 0 h~R′

x~R′

y~R′

z

∣∣∣∣∣∣

= − h R′

y~i + h R′

x~j

Las ecuaciones vectoriales de la estatica se traducen entonces en estas seis ecuaciones esca-lares:

Rx + R′

x + Fx = 0 ; Ry + R′

y + Fy = 0 ; Rz + R′

z + Fz = 0

− h R′

y + Mx = 0 ; h R′

x + My = 0 ; Mz = 0

La ultima ecuacion expresa la condicion de equilibrio; es decir, un solido con un eje fijoesta en equilibrio si el momento de las fuerzas activas con respecto de dicho eje es nulo.

Las otras cinco ecuaciones servirıan para determinar las reacciones; pero como tenemosseis incognitas, nos encontramos en presencia de un problema hiperestatico.

En la practica el problema quedarıa resuelto aplicando alguna de estas consideraciones:

1. Si la resultante de las fuerzas activas es perpendicular al eje, entonces Fz = 0, yhaciendo R′

z = Rz = 0, el problema pasa a ser resoluble.

2. Si las fuerzas activas presentan una resultante que da componente en la direccion deleje Z, entonces Fz 6= 0, pero podemos hacer uno de estos supuestos:Rz = 0 y R′

z 6= 0, o bien Rz 6= 0 y R′

z = 0. Con cualquiera de estos dos planteamien-tos, el problema pasa ser isostatico y resoluble.


3.9.4. Solido rıgido que se apoya en un plano

Suponemos que en los tres casos que vamos a analizar se trata de contacto liso, es decirsin rozamiento, con lo que la fuerza reactiva introducida en el enlace tiene necesariamentesu direccion ortogonal al plano.Sabemos ademas que caso de tratarse de enlace unilateral (que sera lo mas frecuente enun contacto solido-plano), a las condiciones de equilibrio obtenidas, debera anadirse que elsentido de la resultante de la fuerza activa trate de aplicar al solido desde el semiespaciopermitido hacia el semiespacio prohibido.

1. Solido que se apoya en un plano en un punto

X

Y

~k

~i~j

Z

O

~F1

~Fn

~F2

~Fi

~R

En el punto de contacto, que suponemos en el origen de la referencia, aparecera lafuerza reactiva ~R, ortogonal al plano, y por tanto en la direccion del eje Z.

~R = Rz~k

Evidentemente, el momento resultante de la fuerza reactiva ~R en O sera nulo.

~M~R0= ~0

La resultante de las fuerzas activas ~F1, ~F2, . . . ~Fi, . . . ~Fn sera:

i=n∑

i=1

~Fi = Fx~i + Fy

~j + Fz~k

Y el momento resultante de las fuerzas externas activas en O:

~M~F0=

i=n∑

i=1

~ri ∧ ~Fi = Mx~i + My

~j + Mz~k


Aplicamos ahora las ecuaciones universales de la estatica:{

~F + ~R = ~0~M~F0

+ ~M~R0= ~0

⇒{

~F + ~R = ~0~M~F0

= ~0

Que se traducen en las siguientes seis ecuaciones escalares:

Fx = 0 ; Fy = 0 ; Rz + Fz = 0

Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0

Las dos primeras ecuaciones, y las tres ultimas, esto es, aquellas en las que no aparecenexplıcitamente incognitas, nos indican las condiciones que deben cumplir las fuerzasexternas activas para que el equilibrio sea posible: La resultante de las fuerzas activasdebe ser ortogonal al plano (Fx y Fy deben ser nulas), y el momento resultante delas fuerzas externas activas en el punto de contacto debe de ser nulo. Cumplidas lascondiciones de equilibrio, la tercera ecuacion me permite determinar la fuerza reactivaen el contacto.

2. Solido que se apoya en un plano en varios puntos alineados

Y~i~j

Z

O

X

~k~R2

~R1~F1

~F2

~Fi~Fn

Supongamos que la alineacion de los puntos del solido que contactan con el plano ho-rizontal, tiene lugar sobre el eje X .

Supongamos tambien que el numero de puntos que contactan con el plano es dos.

La resultante de las fuerzas reactivas sera ortogonal al plano y paralela al eje Z, yaque es la suma de las reacciones ~R1 y ~R2 que tienen esa direccion.


~R = ~R1 + ~R2 = Rz~k

El momento resultante de las fuerzas reactivas en O, sera un vector alineado con eleje Y .

~M~R0= MRy

~j

De la aplicacion de las ecuaciones vectoriales universales de la estatica:

{~R + ~F = ~0~M~R0

+ ~M~F0= ~0

Se obtienen estas seis ecuaciones escalares:

Fx = 0 ; Fy = 0 ; Rz + Fz = 0

Mx = 0 ; MRy+ My = 0 ; Mz = 0

Las ecuaciones Fx = 0 , Fy = 0 , Mx = 0 y Mz = 0 nos expresan las condiciones quedeben cumplir las fuerzas exteriores para que el equilibrio sea posible: la resultantedebe ser ortogonal al plano, y el momento resultante no debe tener componentes enlos ejes X y Z.

Las otras dos ecuaciones nos permiten determinar las fuerzas reactivas, siempre que elnumero de apoyos no sea superior a dos. Caso de existir mas apoyos, el problema serıahiperestatico.

3. Solido que se apoya en un plano en varios puntos no alineados

~R2

O

~R3

Z

X

Y~F1

~F2

~Fi

~Fn

~R1

Supongamos que el numero de puntos que contactan con el plano es tres.

La resultante de las fuerzas reactivas sera ortogonal al plano y paralela al eje Z, ya


que es la suma de las reacciones ~R1 , ~R2 y ~R3 que tienen esa direccion.

~R = ~R1 + ~R2 + ~R3 = Rz~k

El momento resultante de las fuerzas reactivas en O, sera un vector con componen-te nula en la direccion del eje Z.

~M~R0= MRx

~i + MRy~j

De la aplicacion de las ecuaciones vectoriales universales de la estatica:{

~R + ~F = ~0~M~RO

+ ~M~FO= ~0

Obtenemos:

Fx = 0 ; Fy = 0 ; Rz + Fz = 0

MRx+ Mx = 0 ; MRy

+ My = 0 ; Mz = 0

Las dos primeras ecuaciones y la ultima, expresan las condiciones que las fuerzas ex-ternas activas deben cumplir para que el equilibrio sea posible: la resultante debe serortogonal al plano, y el momento resultante no debe dar componente en la direccionortogonal al plano, esto es, en la direccion del eje Z.

Las otras tres ecuaciones sirven para determinar las fuerzas reactivas en los apoyos.Si el numero de apoyos es superior a tres, el problema es hiperestatico, y por tanto, noresoluble dentro del campo de la mecanica.


3.10. Grafostatica

Muchos problemas en los que intervienen fuerzas que actuan sobre solidos rıgidos (vec-tores deslizantes) tienen una resolucion grafica, en particular si los sistemas son planos. Estosmetodos son mas rapidos que los analıticos, si bien pueden adolecer de una cierta falta deexactitud instrumental. No obstante, la aproximacion puede ser suficiente para problemaspracticos.

La base de estos metodos es la regla del paralelogramo para la suma de vectores.

3.10.1. Polıgono funicular y polıgono de fuerzas o de Varignon

Se trata de determinar el eje central de un sistema de vectores deslizantes coplanarios(sistema que como sabemos, presenta momento mınimo nulo), con lo que podra resumirseen el vector resultante ~R, deslizante sobre el eje central.

Sean los vectores deslizantes ~F1, ~F2, ~F3, y ~F4, que podemos suponer que son fuerzas ac-tuantes sobre un solido rıgido.

Descripcion del metodo

1. Eleccion de la escala para las fuerzas. Los modulos de los vectores fuerza seran repre-sentados de acuerdo con la misma.

2. En figura aparte se representan las fuerzas vectorialmente, una a continuacion de otra,formando el llamado polıgono de fuerzas o de Varignon. El vector resultante es el queune el origen del primer vector con el extremo del ultimo.

3. Junto al polıgono de fuerzas se elige un punto arbitrario o polo O. Se trazan las rectasa, b, c, d y e, que unen los vertices del polıgono con el polo.

4. En la figura se traza el polıgono funicular, cuyos lados son rectas paralelas a las antescitadas a, b, c, d y e, en tal forma que lo que en el polıgono de fuerzas es una conver-gencia triangular; por ejemplo: a, b, ~F1, aquı se traduce en una convergencia puntualde las lıneas a, b, y recta de accion de ~F1.

5. En el polıgono funicular se prolongan los lados extremos (a y e en nuestro ejemplo),y determinamos su punto de interseccion. El eje central pasa por ese punto, y tiene ladireccion de la resultante.Podemos decir que el sistema de fuerzas ~F1, ~F2, ~F3, y ~F4 queda resumido al vectorresultante ~R, considerado como un vector deslizante cuya lınea de accion es el eje cen-tral que hemos determinado.Si se nos pide determinar el momento resultante del sistema en cualquier punto, bas-tarıa aplicar el teorema de Varignon, es decir, ese momento resultante serıa el momentode la resultante con respecto a ese punto, considerada la resultante un vector deslizantecuya lınea de accion es el eje central.


~F2O

b

d

e

ea

b

cd c

a

~F1

~F4

~F2

~F3

Eje cental

~R

~R

~F3

~F4~F1

Polıgono funicular Polıgono de Varignon

Es posible que se nos hubieran presentado alguno de estos casos particulares:

1. Que el polıgono de fuerzas fuese cerrado ( ~R = ~0 ), y que el polıgono funicular fueseabierto; es decir, que las lıneas extremas quedasen paralelas (no se puede ubicar el ejecentral). Esto implica que el sistema es equivalente a un par de fuerzas.

2. Que el polıgono de fuerzas fuese cerrado ( ~R = ~0 ), y que el polıgono funicular fuesetambien cerrado. Esto implica que el sistema aplicado es el sistema nulo. Este conjuntode fuerzas aplicadas sobre un solido lo mantiene en equilibrio.

3.10.2. Determinacion grafica de las reacciones en los apoyos

Veamos estos dos casos:

1) Las direcciones de las fuerzas reactivas son conocidas

Supongamos esta viga horizontal, con vinculacion isostatica (articulacion fija - articulacionmovil), y sometida a las cargas de direccion vertical ~F1, ~F2, y ~F3.

~F1

A B~F2

~F3

El apoyo en B es una articulacion movil, su fuerza reactiva ~RB es perpendicular a la pista derodadura, y por tanto en este caso, con direccion vertical.


El apoyo en A es una articulacion fija, y su fuerza reactiva ~RA tiene su direccion en principiodesconocida, lo que se traduce en que son incognitas sus componentes RAx

y RAy.

Aplicando al sistema:

∑F ext

x = 0 ; RAx= 0

Con lo que deducimos que la fuerza reactiva en A, ~RA, tendra tambien direccion vertical.

Para determinar ahora en forma grafica ~RA y ~RB, procederemos de la siguiente forma:

1. Se traza el polıgono de fuerzas o de Varignon en la forma conocida. Se elige un poloO, y se trazan las lıneas a, b, c, y d.

2. Construimos el polıgono funicular trazando paralelas a a, b, c, y d, y senalamos lospuntos de corte con las lıneas de accion que van a tener las fuerzas reactivas buscadas.

3. Se unen en el polıgono funicular esos dos puntos de corte con la lınea e.

4. Por el polo del polıgono de fuerzas se traza una paralela a e, quedando determinadaslas fuerzas reactivas ~RA y ~RB .

~RB

A B~F2

~F3~F1

~F2

~F3

~F1

c

c

a

b

de

ab

e

d

~RA

~RB

~RA

Con esta construccion el conjunto de las fuerzas exteriores (incluidas las fuerzas reactivasası determinadas), se encuentra en equilibrio; ya que hemos conseguido que el polıgono defuerzas y el polıgono funicular esten cerrados.


2) La direccion de una fuerza reactiva es conocida, y la de la otra, desconocida

Supongamos esta viga horizontal, con vinculacion isostatica (articulacion fija - articulacionmovil), y sometida a las cargas ~F1, ~F2, y ~F3.

~F2

A B

~F3~F1

El apoyo en B es una articulacion movil, su fuerza reactiva ~RB es perpendicular a la pista derodadura, y por tanto en este caso, con direccion vertical.El apoyo en A es una articulacion fija, y su fuerza reactiva ~RA tiene direccion desconocida.

La forma de proceder sera la siguiente:

1. Se traza el polıgono de fuerzas o de Varignon. Se elige un polo O, y se trazan las lıneasa, b, c, y d.

2. Construimos el polıgono funicular trazando paralelas a a, b, c, y d. Es importantehacer notar que la paralela a a se trazara en forma que pase por A, es decir, por elpunto en el que la fuerza reactiva es de direccion desconocida.

3. Se senalan los puntos en que el polıgono funicular corta a las lıneas de accion de lasfuerzas de enlace buscadas. Evidentemente, uno de ellos es la articulacion por dondehemos hecho pasar al polıgono funicular. Unimos ambos puntos mediante e.

4. Por el polo del polıgono de fuerzas se traza una paralela a e, y buscamos su cortecon la direccion de ~RB . Desde aquı cerramos el polıgono de fuerzas, y queda definidatambien ~RA.

~RB

~RA

a

d

~F1

c

~F3

~F2

~RA

d

~F3~F1~F2

A

b

a

O

b

e

c ~RB

e

B


3.10.3. Eje polar o recta de Culmann

Si para un mismo sistema plano de vectores deslizantes se construyen dos polıgonos funi-culares distintos (mediante la utilizacion de dos polos distintos O y O ′ en el polıgono defuerzas), cada pareja de lados homologos se cortan en puntos de una recta denominada ejepolar o recta de Culmann. Esta recta es ademas paralela a aquella que une los dos polos enel polıgono de fuerzas, O y O′.

Eje Polar

O

~F1

~F2

~F3

a

b

b′

c′

~F2

~F3

O′

~F1

AB

C

D

c′

a′

b′d′

a

a′

d′

c

b

d

c

d


3.11. Estatica de los solidos funiculares

3.11.1. Definicion

Definimos a los solidos funiculares como a aquellos solidos deformables cuya seccion pre-senta unas dimensiones despreciables frente a su longitud, y que no ofrecen ninguna rigideza la flexion. Planteado un diagrama del solido libre, para un elemento del mismo, en sus ex-tremos no apareceran momentos flectores, y solo lo haran tensiones que siguen una direcciontangencial.

Ademas, para nuestro estudio supondremos estas dos hipotesis adicionales:

1. Son inextensibles, es decir, presentan la misma longitud antes y despues de haber sidosometidos a carga.

2. Una vez alcanzada la posicion de equilibrio supondremos que se rigidizan; es decir,para la posicion de equilibrio las fuerzas exteriores que los solicitan deben cumplirlas condiciones generales del equilibrio para los solidos rıgidos ya enunciadas conanterioridad.

En la realidad practica, consideraremos como solidos funiculares a los cables de gran longi-tud (lıneas electricas, tendidos de electrificacion ferroviaria, atirantamiento de puentes, etc.)

3.11.2. Ecuacion vectorial del equilibrio del solido funicular

Consideremos en un solido funicular, un elemento diferencial PP ′ de longitud ds.

Desde un punto fijo O podemos localizar los puntos P y P ′ mediante los vectores de po-sicion ~r y ~r + d~r.

Este solido funicular esta sometido a una fuerza por unidad de longitud ~F , por lo que lafuerza que actua sobre el elemento PP ′ sera ~F · ds.

Plantearemos las ecuaciones de la estatica para este elemento, incluyendo evidentementelas fuerzas de enlace con el resto del cable, fuerzas de enlace que en este caso reciben elnombre de Tensiones.

En la definicion de solido funicular se ha indicado que estas tensiones son tangentes a laconfiguracion geometrica que adopta el cable. Para una confirmacion de este hecho supon-dremos que en principio esto no es ası.


~F ds− ~T

~r ~Td~r

d~T

~r + d~r

O

P ′

P

~T + d~T

Ecuaciones del equilibrio:

1. Resultante de las fuerzas igual cero:

~F · ds + ~T + d~T − ~T = ~0

2. Momento resultante en O igual cero:

~r ∧ ( ~F · ds − ~T ) + (~r + d~r ) ∧ ( ~T + d~T ) = ~0

Hemos supuesto que ~F · ds se encuentra en su totalidad aplicada en P , para elimi-nar diferenciales de orden superior.

Desarrollando ambas ecuaciones obtenemos:

1. ~F · ds + d~T = ~0

Esta expresion es la denominada ecuacion diferencial vectorial del equilibrio del solidofunicular.

2. Desarrollando la expresion del momento resultante en O:

~r ∧ ~F · ds − ~r ∧ ~T + ~r ∧ ~T + ~r ∧ d~T + d~r ∧ ~T + d~r ∧ d~T = ~0

~r ∧ ( ~F · ds + d~T ) + d~r ∧ ~T + d~r ∧ d~T = ~0

Teniendo en cuenta que ~F · ds + d~T = ~0 , y que d~r ∧ d~T lo consideramos un di-ferencial de orden superior, nos queda que:

d~r ∧ ~T = ~0

Ecuacion que expresa que el vector tension ~T y d~r son colineales, es decir, que latension es tangente en todo momento a la geometrıa del cable, tal y como habıamossupuesto en las hipotesis previas.


En el caso de que la fuerza por unidad de longitud ~F sea constantemente paralela a una ciertadireccion, definida por un cierto vector unitario ~u:

Multiplicamos vectorialmente por ~u a la ecuacion diferencial vectorial del equilibrio delsolido funicular:

~F · ds ∧ ~u + d~T ∧ ~u = ~0

Como ~F · ds y ~u son vectores paralelos, ~F · ds ∧ ~u = ~0 ; por lo que nos quedara que:

d~T ∧ ~u = ~0

Por otra parte, al ser ~u un vector constante, podremos decir que: ~T ∧ d~u = ~0 , con loque:

d~T ∧ ~u + ~T ∧ d~u = ~0 ⇒ d( ~T ∧ ~u ) = ~0 ⇒ ~T ∧ ~u =−−→Kte

Lo que indica que el vector tension ~T tiene que estar contenido siempre en un mismo plano,y dado que sabemos que este vector siempre es tangente a la curva que adopta el solidofunicular, llegamos a la conclusion de que la curva geometrica del solido funicular sera eneste caso (fuerza por unidad de longitud con direccion constante), una curva plana.

3.11.3. Ecuaciones diferenciales intrınseca y cartesiana del solido funi-cular en el equilibrio

Sea ~τ el vector unitario tangente a la curva que adopta en el equilibrio el solido funicularen cada punto de la misma. Como sabemos que la tension tiene la direccion de la tangente,podremos decir que:

~T = T · ~τ

Y la ecuacion vectorial diferencial del equilibrio ~F · ds + d~T = ~0 podra ser expresadacomo:

~F · ds + d( T · ~τ ) = ~0 ; ~F · ds + dT · ~τ + T · d~τ = ~0

Dividiendo por ds :

~F + ~τdT

ds+ T

d~τ

ds= ~0

Expresamos a la fuerza por unidad de longitud ~F en la referencia intrınseca (~τ , ~η,~b )

~F = Fτ · ~τ + Fη · ~η + Fb ·~b


Y teniendo en cuenta la primera formula de Frenet:

d~τ

ds=

~η

ρ

Proyectamos sobre las direcciones del triedro intrınseco ~τ , ~η y ~b , y obtenemos:

d Tds

+ Fτ = 0

Tρ + Fη = 0

Fb = 0

Que son las denominadas ecuaciones intrınsecasdel equilibrio en un solido funicular.

Las ecuaciones diferenciales cartesianas del equilibrio se obtienen directamente de la expre-sion:

~F · ds + d( T · ~τ ) = ~0

Teniendo en cuenta que las componentes cartesianas del vector ~τ son:

~τ =dx

ds~i +

dy

ds~j +

dz

ds~k

Y que:

~F = Fx~i + Fy

~j + Fz~k

Proyectando la expresion vectorial sobre los ejes de coordenadas cartesianos:

d

(

Tdx

ds

)

+ Fx ds = 0

d

(

Tdy

ds

)

+ Fy ds = 0

d

(

Tdz

ds

)

+ Fz ds = 0

Estas tres ecuaciones, junto a la expresion del modulo unidad para el vector unitario ~τ :(

dx

ds

)2

+

(

dy

ds

)2

+

(

dz

ds

)2

= 1

Constituyen un sistema que integrado, y tras aplicar las correspondientes condiciones decontorno, daran lugar a la ecuacion de la curva que adopta el solido funicular en el equilibrio.


3.11.4. Solido funicular sometido a una carga vertical continua

La fuerza distribuida sobre el solido funicular no tendra en este caso componentes en lasdirecciones de los ejes X e Y , por lo tanto: Fx = 0 y Fy = 0.

Planteamos e integramos las dos primeras ecuaciones diferenciales cartesianas del equili-brio:

d

(

Tdx

ds

)

= 0

d

(

Tdy

ds

)

= 0

⇒T

dx

ds= A

Tdy

ds= B

⇒ dx

dy=

A

B

B dx − A dy = 0 ⇒ B x − A y = C

B x − A y = C

Y

Z

X

Llegamos por tanto a la conclusion que la curva que adopta el solido funicular es una curvaplana y contenida en un plano proyectante sobre el horizontal.

El problema puede pasar ahora a ser considerado como un problema bidimensional, en elque nuestro eje de las abscisas X , sera el eje horizontal, y el eje de ordenadas Y , sera elvertical. Planteamos nuevamente las ecuaciones vectoriales diferenciales del equilibrio, pero


en esta nueva referencia bidimensional:

d

(

Tdx

ds

)

= 0

d

(

Tdy

ds

)

+ Fy ds = 0

De la primera de estas ecuaciones:

d

(

Tdx

ds

)

= 0 ⇒ Tdx

ds= T0

Donde la constante T0 representa la tension en el cable en un punto cuya tangente es paralelaal eje de las X , es decir, en el punto en el que dx = ds.

La segunda ecuacion diferencial:

d

(

Tdy

ds

)

+ Fy ds = 0 ; d

(

Tdy

dx· dx

ds

)

+ Fy ds = 0 ; d

(

T0dy

dx

)

+ Fy ds = 0

Suponemos ahora que la carga continua no viene dada por unidad de longitud de cable, sinopor unidad de longitud de abscisa. Ademas es habitual considerar a la carga vertical positivacuando tiene sentido descendente, es decir, en el sentido negativo del eje de coordenadas Y .

− p dx

Fy ds

Fy · ds = − p · dx (p es la carga por unidad de longitud de abscisa)

d(

T0dy

dx

)

− p · dx = 0 ⇒ d

dx

(

T0dy

dx

)

= p ⇒ T0d 2y

dx2 = p

Expresion de la ecuacion diferencial para el solido funicular en equilibrio sometido a unacarga vertical y continua p, distribuida por unidad de longitud de abscisa:

d 2y

dx2 =p

T0


3.11.5. Solido funicular sometido a una carga vertical continua y cons-tante por unidad de longitud de abscisa

Con los apoyos situados a la misma altura

��

X

L

h

p

Y

Integraremos la ecuacion diferencial:

d 2y

dx2 =p

T0Teniendo en cuenta que en este caso p = Kte

d2y

dx2 =p

T0⇒ d

dx

(dy

dx

)

=p

T0⇒ d

(dy

dx

)

=p

T0dx

dy

dx=

p

T0

x + C1 ⇒ dy =p

T0

x dx + C1 dx ⇒ y =p

T0

x2

2+ C1 x + C2

Determinamos las constantes C1 y C2 aplicando las siguientes condiciones de contorno,segun los ejes de referencia elegidos:

Para x = 0 ⇒

y = 0

dy

dx= 0

0 =p

T0

02

2+ C1 0 + C2 ⇒ C2 = 0

0 =p

T00 + C1 ⇒ C1 = 0

Por lo tanto:

y =p

T0

x2

2

Que resulta ser la ecuacion analıtica de una parabola. Para determinar el valos de T0 (Ten-sion para un punto del cable en el que la tangente al mismo es paralela al eje X); tendremos


en cuenta que uno de los apoyos extremos, por ejemplo el de la derecha, pertenece a la curva,y por tanto, sus coordenadas deben satisfacer a su ecuacion.

Sustituimos entonces las coordenadas( L

2, h)

en la ecuacion de la curva:

h =p

T0

L2

8⇒ T0 =

p L2

8 h

Podemos ahora introducir este valor de T0 en la ecuacion de la parabola:

y =p

p L2 8 hx2

2⇒ y =

4 h

L2 x2

Lo que nos ha permitido obtener la ecuacion analıtica que adopta el cable en el equilibrio,en funcion de las magnitudes geometricas.

Para determinar la tension T en un punto cualquiera del cable, planteamos el equilibrio de lasiguiente porcion del mismo:

��

p x

T

xT0

θ

p

T0 = T cos θp x = T sen θ

T 20 + p2 x2 = T 2 (cos2 θ + sen2 θ) = T 2

De donde: T =√

T 20 + p2 x2

Observamos que la tension T es creciente con la abscisa x; el maximo valor de T apare-cera en los extremos, es decir, cuando x = ± L/2

Tmax =

√

T 20 +

p2 L2

4

Eliminando T entre las dos ecuaciones del equilibrio, podremos determinar una ecuacionque nos determina el angulo θ en funcion de la abscisa x.

sen θ

cos θ=

p x

T0⇒ tg θ =

p x

T0


Se habrıa llegado al mismo resultado derivando la ecuacion analıtica de la curva del ca-ble:

y =p

T0

x2

2⇒ tg θ =

dy

dx=

p x

T0

Para determinar la longitud de cable haremos:

ds =

√

1 +(dy

dx

)2

· dx

Que en nuestro caso:

ds =

√

1 +p2 x2

T 20

· dx

La longitud de la mitad del cable sera:

S1/2 =

∫ L2

0

√

1 +p2 x2

T 20

· dx

Para efectuar esta integral, procederemos mediante el siguiente desarrollo en serie:√√√√ 1 +

(

p x

T0

)2

= 1 +1

2

(

p x

T0

)2

− 1

8

(

p x

T0

)4

+ · · ·

S1/2 =

∫ L2

0

(

1 +1

2

p2 x2

T 20

− 1

8

p4 x4

T 40

+ · · ·)

· dx = L

(

1

2+

p2 L2

48 T 20

− p4 L4

1280 T 40

+ · · ·)

La longitud total del cable sera ST = 2 S1/2

ST = L

(

1 +p2 L2

24 T 20

− p4 L4

640 T 40

+ · · ·)

Como sabemos quep

T0=

8 h

L2 ⇒ ST = L

[

1 +8

3

(h

L

)2

− 32

5

(h

L

)4

+ · · ·]

Una buena aproximacion, para cuando h < L/4, se consigue con los dos primeros termi-nos del desarrollo en serie:

ST ≈ L

[

1 +8

3

(h

L

)2]


3.11.6. Solido funicular sometido a una carga vertical continua y cons-tante por unidad de longitud de cable

Recordamos la ecuacion diferncial obtenida para el caso de carga vertical continua:

d 2y

dx2 =p

T0

En la cual p es la carga por unidad de longitud de abscisa. En nuestro caso supondremos unacarga q constante por unidad de longitud del propio solido funicular, tal cual podrıa ser elcaso de considerar como carga el peso propio de un cable uniforme.

dx p dx

q ds

ds

q · ds = p · dx ⇒ p = q · dsdx

Sustituyendo en la ecuacion diferencial:

d 2y

dx2 =q

T0

· ds

dx

Y conocida la relacion entre los diferenciales de curva y de abscisa:

ds

dx=

√

1 +(dy

dx

)2

La ecuacion diferencial pasara a ser:

d 2y

dx2 =q

T0·√

1 +(dy

dx

)2

En la que como hemos dicho, q es un valor constante. Para efectuar la integracion, em-pezaremos denominando:

dy

dx= u ; Con lo que:

du

dx=

q

T0·√

1 + u2 ⇒ du√1 + u2

=q

T0dx

En una primera integracion:


ln(

u +√

1 + u2)

=q

T0

x + C1

Vamos a elegir inicialmente como sistema referencial unos ejes tales que el OX sea tan-gente a la curva por su punto de altura mınima, y ele eje OY sea ortogonal al anterior endicho punto.

Y

XO

Con esta referencia damos como primera condicion de contorno:

Para x = 0 ⇒ u =dy

dx= 0

ln(

0 +√

1 + 02)

=q

T00 + C1 ⇒ C1 = ln 1 = 0

Por tanto:

ln(

u +√

1 + u2)

=q

T0· x

Efectuamos las siguientes transformaciones matematicas:

u +√

1 + u2 = e(q/T0)·x ⇒√

1 + u2 = e(q/T0)·x − u

Elevando al cuadrado:

(√1 + u2

)2

=(

e(q/T0)·x − u)2

1 + u2 = e(2 q/T0)·x + u2 − 2 u e(q/T0)·x ⇒ 2 u e(q/T0)·x = e(2 q/T0)·x − 1

⇒ u =e(2 q/T0)·x − 1

2 e(q/T0)·x=

( e(2 qT0)·x − 1 ) · e−(q/T0)·x

2=

e(q/T0)·x − e−(q/T0)·x

2

⇒ u =dy

dx= senh

q

T0· x ⇒ dy = senh

q

T0· x dx

Efectuamos una segunda integracion:

y =T0

q· cosh

q

T0· x + C2

En el sistema referencial que tenemos planteado, la condicion de contorno que podemosutilizar es:


Para x = 0 ⇒ y = 0

0 =T0

q· cosh

q

T0· 0

︸︷︷︸

cosh 0 = 1

+ C2 ⇒ C2 = − T0

q

Con lo que obtenemos como ecuacion analıtica para la forma que adopta este cable en elequilibrio:

y =T0

q· cosh

q

T0

· x − T0

q

Si queremos simplificar formalmente esta expresion, podemos trasladar el origen de la re-ferencia al punto O1, situado a una distancia T0/q por debajo del punto O. En esta nuevareferencia con el origen trasladado, la ecuacion pasara a ser:

X

α = T0

q

O

O1

Y

y =T0

q· cosh

q

T0· x Denominando α =

T0

qNos queda:

y = α coshx

α

Que es la ecuacion de la curva que adopta el solido funicular en el caso de carga uniforme-mente repartida por unidad de longitud de cable. Esta forma es la de un coseno hiperbolico,y se la denomina catenaria.

Longitud de un arco de catenaria

Vamos a determinar la longitud de un arco de catenaria comprendido entre el punto masbajo de la misma O, y un punto cuya posicion esta definida por su abscisa x.

S

O

O1

Y

Xx


Recordemos que:

ds =

√

1 +(

dydx

)2

· dx

En nuestro caso:

y = α cosh xα ; y′ =

dy

dx= α

1

αsenh

x

α= senh

x

α

Integramos los ds entre 0 y el punto de abscisa x .

S =

∫ x

0

√

1 +(dy

dx

)2

dx =

∫ x

0

√

1 + senh2 x

αdx =

∫ x

0

coshx

αdx = α senh

x

α

3.11.7. Catenaria entre dos puntos situados a la misma altura

Vamos a plantear la resolucion de dos problemas clasicos para las catenarias suspendidasentre dos puntos que estan situados a la misma altura.

1) Son conocidas la luz y la flecha

X

L

Y

A

f

α

O1

O

B

Nuestros datos son la luz L , y la flecha f .

Las coordenadas del punto extremo B ( L/2 , α + f ) deberan satisfacer a la ecuacion dela catenaria.

y = α coshx

α; α + f = α cosh

L

2 α⇒ α + f

α= cosh

L

2 α

Denominando β =L

2 α⇒ α =

L

2 β

L/2β + f

L/2β= cosh β ⇒ L + 2 β f

L= cosh β ⇒ 1 +

2 β f

L= cosh β


2 f

Lβ = cosh β − 1

En la ecuacion que hemos obtenido, nuestra unica incognita es β. Es una ecuacion trascen-dente, y para su resolucion deberan utilizarse procedimientos numericos de aproximacionessucesivas. Una vez determinado el parametro β, podra determinarse el valor de α, y con el,la ecuacion de la catenaria.

2) Son conocidas la luz y la longitud total de cable

B

L

Y

O1

O

X

ST

A

Hemos determinado la expresion de la longitud del arco de cable existente entre O y un pun-to de abscisa x:

S = α senh xα

La longitud total de cable suspendido, sera la que hay entre O y B multiplicada por dos:

ST = 2 α senhL

2 α

ST

2 α= senh

L

2 α;

ST

L· L

2 α= senh

L

2 α

Y teniendo en cuenta la transformacion que habıamos hecho en el supuesto anterior:

β =L

2 α⇒ α =

L

2 β

ST

Lβ = senh β

Resolviendo esta ecuacion mediante procedimientos numericos determinaremos β. Una vezconocida la variable β, hallamos α, y con ella queda definida la catenaria.


Tensiones

Para determinar la tension en un punto de la catenaria, procedemos a plantear el equilibriode esta porcion de la misma:

X

T

T0

θ

q S

S

Y

T0 = T cos θq S = T sen θ

T 20 + q2 S2 = T 2 (cos2 θ + sen2 θ) = T 2

De donde: T =√

T 20 + q2 S2

Teniendo en cuenta que:

S = α senhx

α=

T0

qsenh

x

α⇒ q S = T0 senh

x

α⇒ q2 S2 = T 2

0 senh2 x

α

Sustituimos en la expresion de T :

T =√

T 20 + T 2

0 senh2 xα = T0

√

1 + senh2 x

α︸︷︷︸

cosh2 x− senh2 x= 1

= T0

√

cosh2 xα = T0 cosh x

α

T =T0

qq cosh

x

α= q α cosh

x

α= q · y

Por lo tanto:

T = q · yPodemos entonces afirmar que la tension en un punto de la catenaria, es igual al peso de unalongitud de cable igual a la ordenada del punto, en la referencia que hemos descrito.


3.11.8. Catenaria entre dos puntos situados a distinta altura

Son datos ahora la luz L entre los dos puntos de anclaje A y B, el desnivel entre esos dospuntos h, y la longitud del cable suspendido ST .

a

X

A

B

L

M

b

O1

Oα

h

Y

En este caso se debera resolver en β, por aproximaciones sucesivas, la ecuacion:

√

S2T − h2

Lβ = senh β

Una vez hallado β, determinaremos:

α =L

2 β; y la ecuacion de la catenaria:

y = α coshx

α

El sistema referencial en el que la catenaria obedece a esta ecuacion, es aquel en el que elpunto medio M del segmento AB tiene por coordenadas:

a = α arg(

tghh

ST

)

; b =ST

2cotgh β

Las tensiones en los puntos extremos seran:

TA = q · yA = q ·(

b − h2

)

y TB = q · yB = q ·(

b + h2

)


3.12. Principio de los trabajos virtuales

Sea un sistema material compuesto por n partıculas materiales que se encuentra en equilibrio.

La fuerza resultante que actua sobre cada una de las partıculas debe de ser nula, ya quesi el sistema esta en equilibrio, deberan de estar en equilibrio todas y cada una de las partıcu-las que lo componen.

~F1 = ~0~F2 = ~0...~Fi = ~0...~Fn = ~0

El subındice i varıa entre 1 y n,siendo n el numero total de partıculas.

Las fuerzas que actuan sobre cada partıcula i, pueden provenir del exterior del sistema, ~F exti ,

y del interior del sistema, ~Ri. Podemos plantear entonces:

~F ext1 + ~R1 = ~0

~F ext2 + ~R2 = ~0

...~F ext

i + ~Ri = ~0...~F ext

n + ~Rn = ~0

( i = 1,2,. . .,n )

Consideramos ahora para cada partıcula un desplazamiento virtual δ~ri; siendo este siste-ma de desplazamientos arbitrario, pero tal que debe ser compatible con todos los enlacesdel sistema. Multiplicamos escalarmente cada desplazamiento δ~ri por las correspondientesfuerzas que actuan sobre cada partıcula, y obtendremos el denominado trabajo virtual paracada una de ellas:

δWi = ( ~F exti + ~Ri ) · δ~ri

Dicho trabajo virtual en general podra tener cualquier valor, pero en el caso en el que losdesplazamientos se han iniciado desde la situacion de equilibrio, sera cero, por ser la sumade las fuerzas que actuan sobre la partıcula, cero.

δWi = ~F exti · δ~ri + ~Ri · δ~ri = 0

Si el sistema se encuentra sometido exclusivamente a enlaces ideales (sin rozamiento), lasfuerzas de enlace son ortogonales al propio enlace material, y como los desplazamientos δ~ri

deben ser compatibles con los enlaces, seran vectores ortogonales a las fuerzas ~Ri, por loque: ~Ri · δ~ri = 0


Por tanto, sumando los trabajos virtuales de todas las partıculas del sistema:

δWi =i=n∑

i=1

~F exti · δ~ri = 0

Esta ecuacion que marca la condicion de equilibrio del sistema, recibe el nombre de princi-pio de los trabajos virtuales.

Fijemonos que en su desarrollo apareceran tantos sumandos como fuerzas exteriores aplica-das, y que los desplazamientos δ~ri seran los que estan permitidos por los enlaces existentes.

Vamos ahora a tratar de expresar esta ecuacion en coordenadas generalizadas.

La expresion vectorial de una fuerza exterior ~F exti vendra dada por:

~F exti = Fxi

~i + Fyi~j + Fzi

~k

Y uno de los desplazamientos virtuales δ~ri:

δ~ri = δxi~i + δyi

~j + δzi~k

Luego nuestra ecuacion de los trabajos virtuales quedara:

δW =i=n∑

i=1

[

Fxiδxi + Fyi

δyi + Fziδzi

]

= 0

En el supuesto de que el sistema se encuentra sometido exclusivamente a enlaces holonomos,el numero de grados de libertad, y el numero de coordenadas generalizadas o parametros la-grangeanos que definen biunıvocamente su posicion, coincidira.Sea µ este numero de parametros lagrangeanos y designemos por k a uno cualquiera generi-co de ellos; entonces k variara entre 1 y µ.

Las 3n coordenadas cartesianas de todos los puntos del sistema, y los µ parametros lagran-geanos se relacionaran mediante estas ecuaciones:

xi = xi (q1, q2, . . . , qk, . . . , qµ, t)yi = yi (q1, q2, . . . , qk, . . . , qµ, t)zi = zi (q1, q2, . . . , qk, . . . , qµ, t)

El ındice i varıa entre 1 y nEl ındice k varıa entre 1 y µ

Consideramos ahora el sistema en un instante dado, en el que las coordenadas poseen unosdeterminados valores.

Manteniendo el tiempo fijo, podemos considerar desplazamientos virtuales δqk para las coor-


denadas generalizadas, los cuales deberan ser compatibles con los enlaces.

Diferenciando a tiempo constante las ecuaciones de transformacion anteriores, obtendre-mos la relacion entre desplazamientos virtuales expresados en cartesianas y en parametroslagrangeanos:

δxi =∂xi

∂q1

δq1 +∂xi

∂q2

δq2 + · · ·+ ∂xi

∂qµ

δqµ =

k=µ∑

k=1

Lik δqk ; En donde Lik =∂xi

∂qk

δyi =

k=µ∑

k=1

Mik δqk ; En donde Mik =∂yi

∂qk

δzi =

k=µ∑

k=1

Nik δqk ; En donde Nik =∂zi

∂qk

Sustituyendo en la ecuacion de los trabajos virtuales en cartesianas:

δW =i=n∑

i=1

[

Fxi

k=µ∑

k=1

Lik δqk + Fyi

k=µ∑

k=1

Mik δqk + Fzi

k=µ∑

k=1

Nik δqk

]

= 0

Llamando Qk a la fuerza generalizada asociada a una de las coordenadas generalizadas qk, ydefiniendola como:

Qk =

i=n∑

i=1

~Fi∂~ri

∂qk=

i=n∑

i=1

(

Fxi

∂xi

∂qk+Fyi

∂yi

∂qk+ Fzi

∂zi

∂qk

)

=

i=n∑

i=1

(FxiLik +Fyi

Mik + FziNik)

Con lo que la ecuacion de los trabajos virtuales nos quedara:

δW =

k=µ∑

k=1

Qk δqk = 0

Esta es la expresion del principio de los trabajos virtuales en coordenadas generalizadas olagrangeanas.

Si como ya sabemos, los µ parametros lagrangeanos son los estrictamente necesarios pa-ra definir la configuracion del sistema, y el mismo solo presenta enlaces holonomos, losdesplazamientos δqk tienen valores arbitrarios e independientes entre sı, y aunque sean valo-res pequenos, no seran nulos, por lo que necesariamente:

Q1 = 0Q2 = 0...Qk = 0...Qµ = 0

El ındice k varıa entre 1 y µ


Tenemos entonces planteado un sistema de µ ecuaciones con µ incognitas (las coordena-das generalizadas o lagrangeanas qk ). Una vez resuelto este sistema y determinados losparametros qk, habremos definido la configuracion del sistema en el equilibrio.

Notese que han desaparecido las fuerzas de enlace internas ~Ri, por lo cual, las mismas nopodran ser determinadas por este procedimiento.

Documents

Cap´ıtulo 3 ESTATICA´ - vc.ehu.es · de las fuerzas activas. Esas caracter´ısticas son las siguientes: Las fuerzas reactivas dependen de las fuerzas activas, y su modulo´ podr´ıa