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7/25/2019 Capitulo 3 - Transformada Z (1)
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CAPITULO 3LA TRANSFORMADA ZY SUS APLICACIONES AL ANALISIS DE LOS SISTEMAS LTI
7/25/2019 Capitulo 3 - Transformada Z (1)
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3.1 LA TRANSFORMADA Z
Herramienta sumamente importante en el anlisis de las seales y sistemas LTI. Caracteriza a los sistemas LTI y su respuesta a diversas seales mediante las
posiciones de sus polos y ceros.
La Convolucin de dos seales en el dominio del tiempo es equivalente a lamultiplicacin de sus correspondientes transformadas z.
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3.1 LA TRANSFORMADA Zy(n) Y(z)
Tz
EDL(y(n)) EAL(Y(z))
Ecuaciones en DiferenciasLineales con coeficientes
constantes
Ecuaciones algebraicas Lineales
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3.1 LA TRANSFORMADA Z
TZ
Anlisismatemtic
o
Mundoabstracto
Descritopor polosy ceros
Y(z)=H(z)X(z)
Seal deentradax(n)=zn
Z puede sernumerocomplejo
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3.1.1 LA TRANSFORMADA Z DIRECTA
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EJEMPLO 3.1.1
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EJEMPLO 3.1.2
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CIRCULO UNITARIO -
REGIN DE CONVERGENCIA ROC
Regin de Convergencia ROC apartir del circulo unitario.
En la Regin de ConvergenciaROC la transformada Z y todassus derivadas son continuas.
La ROC no contiene ningn polode la transformada Z.
Im
Re
Z=ej
w
1
Plano Z
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SOBRE EL ROC
ROC: es el conjunto de valores de z para los cuales X(z) es finita.
Si la seal es derecha, la ROC de X(z) es el exterior de un crculo Si la seal es izquierda, la ROC de X(z) es el interior de un crculo
Si la ROC de X(z) incluye el crculo unitario el sistema es estable
La ROC no contiene ningn polo
Si un sistema es estable y causal entonces los polos de su funcin detransferencia deben estar dentro del crculo unitario
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Si x[n] es finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblementez=0 y z=
x[n] causal excluye 0
x[n] anticausal excluye
x[n] bilateral excluye 0 e
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3.1.1 LA TRANSFORMADA Z DIRECTA
Seales de duracin infinita
n
Causal
n
Anticausal
Bilateral
n
lzl > r2
lzl < r1
r2< lzl < r1
SEAL ROC
r2
r1
r2
r1
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SOBRE EL ROC
Regin de convergencia de las transformadas z racionales
La regin de convergencia de la transformada z no puede contener ningn polo y est limitada por los polos
o por 0 o . En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen slo para n0 y el resto slo
para n0. Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z= a, b, c) en la figura se muestran las cuatro
posibles elecciones para la regin de convergencia. La primera corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda
a una secuencia hacia la izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.
a b ca b c a b c a b c
Plano Z
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EJEMPLO 3.1.3
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POLOS Y CEROS
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POLOS Y CEROS
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FUNCION DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA
LTI
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INVERSIN DE LA TRANSFORMADA Z
SE ANALIZARA LA TRANSFORMADA Z INVERSA MEDIANTE EXPANSIONEN FRACCIONES PARCIALES
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LA TRANSFORMADA Z INVERSA MEDIANTEEXPANSION EN FRACCIONES PARCIALES