3.1 INTRODUCCI6N 3.5 TEOREMA DE BAYES. PRUEBA DE CLASIFICACI6N.

3.2 DOS PERSPECTIVAS DE LA SENSIBIUDAD. PROBABILIDAD: OBJETIVA Y ESPECIFICIDAD Y V ALORES SUBJETIVA QUE PREDICEN POSITIVIDAD

Y NEGATIVIDAD 3.3 PROPIEDADES ELEMENTALES

DE LA PROBABIUDAD 3.6 RESUMEN

3.4 CALCULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO

3.1 INTRODUCCION

La teorfa de la probabilidad es el fundamento para la inferencia estadistica. Sin embargo, esta teoria, que es una rama de las matematicas, no es el tema principal de este libro, por 10 que solo se estudiara.n los conceptos mas importantes. Los estudiantes que quieran abundar en este tema, pueden consultar los libros de probabilidad disponibles en bibliotecas de muchos colegios y universidades. Se recomienda consul tar las obras de Gut (1), Isaac (2) y Larson (3). Los objetivos de este capitulo son que el estudiante aumente su capacidad matematica en el area de la probabilidad y brindarle ayuda en la comprension de los conceptos mas importantes. EI avance a 10 largo de este capitulo contribuira de manera importante a lograr el dominio de los procedimientos de la inferencia estadistica que se presentan en el resto dellibro.

El concepto de probabilidad no es ajeno a los trabajadores de la salud, puesto que 10 encuentran frecuentemente en la comunicacion diaria. Por ejemplo, se puede escuchar que un medico dice que un paciente tiene una oportunidad de sobrevivir a una operacion de 50-50. 0 bien, otro medico puede decir que esta 95 por ciento seguro de que un paciente tiene una enfermedad en particular. Una enfermera de salud publica puede decir que 9 de cada 10

57

58 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BlisICOS DE PROBABILiSTICA

pacientes suspendenin su cita. Tal como 10 muestran estos ejemplos, mucha gente expresa la probabilidad en terminos de porcentajes. Al abordar con la probabilidad matematicamente, es mas conveniente expresarla como fraccion (los porcentajes resultan de la multiplicacion de las fracciones por 100). De esta forma se mide la probabilidad de ocurrencia de alglin hecho mediante un numero entre cero y uno. Para el hecho mas probable, el numero es mas cercano a uno, y para el hecho menos probable, el numero es mas cercano a cero. Un hecho que no puede ocurrir tiene una probabilidad de cero, y un evento cuya ocurrencia es segura tiene probabilidad de uno.

Los investigadores en ciencias de la salud continuamente se preguntan si los resultados de sus esfuerzos se dieron solo por casualidad 0 si alguna fuerza actuo para producir los efectos observados. Por ejemplo, suponga que seis de cada 10 pacientes vfctimas de una enfermedad se curan despues de recibir cierto tratamiento. ~Es probable que hubiera ocurrido este porcentaje de cura sin que los pacientes hubieran recibido el tratamiento 0 es esto evidenci

3.2 DOS PERSPECTIVAS DE LA PROBABILIDAD: OBJETIV A Y SUBJETlVA 59

DEFINICION Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de estos eventos poseen una caracteristica E, la probabHidad de ocurrencia de E es igual a miN.

Se lee P(E) como "la probabilidad de E". Esta definici6n se expresa como:

P(E)=!!!:... (3.2.1)N

Probabilidaddefrecuencia relativa El enfoque de frecuencia relativa de la probabilidad depende de la repetibilidad de algunos procesos y la capacidad de contar el numero de repeticiones, as! como el numero de veces que algun evento de interes ocurre. En este contexto, se puede definir la probabilidad de observar alguna caracteristica, E, de un evento como sigue:

DEFINICION Si algun proceso es repetido un gran numero de veces, n, y si algun evento resultante, con la caracteristica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia de E, min, es aproximadamente igual a la probabilidad de E.

Para expresar esta definicion en forma compacta se escribe:

P( E)= m (3.2.2) n

Sin embargo, se debe tener en mente que, estrictamente hablando, min es s610 una estimacion de P(E).

Probabilidad subjetiva En los primeros alios de la decada de 1950, L. J. Savage (4) dio un gran impulso a 10 que se conoce como probabilidad "personalistica" o subjetiva. Este enfoque sostiene que la probabilidad mide la confianza que un individuo tiene en la certeza de una proposici6n determinada. Este concepto no depende de la repetibilidad de ninglin proceso. De hecho, al aplicar este concepto de probabilidad, se puede calcular la probabilidad de un evento que s610 puede ocurrir una vez, por ejemplo, la probabilidad de descubrir una cura para el cancer en los proximos diez aiios.

Aunque el punto de vista subjetivo de la probabilidad ha gozado de gran popularidad, los estadisticos que tienen orientacion tradicional aun no la aceptan del todo.

60 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS UASICOS DE PROBABILISTICA

3.3 PROPIEDADES ELEMENTALES DE IA PROBABHIDAD

En 1933 el matematico ruso A. N. Kolmogorov (5) formaliz6 el enfoque axiomatico de la probabilidad. Las bases de este enfoque estan inmersas en tres propiedades, de las que se deriva todo un sistema de teorfa de la probabilidad a traves del uso de la l6gica matematica. Estas tres propiedades son las siguientes:

1. Dado alglin proceso (0 experimento) con n resultados mutuamente excluyentes (llamados eventos), E]> E2, , En, la probabilidad de cualquier evento Ei' es un numero no negativo. Es decir:

P(E):?: 0 (3.3.1)

En otras palabras, todos los eventos deben tener una probabilidad mayor 0 igual acero, requerimiento l6gico en vista de la dificultad de concebir una probabilidad negativa. Un concepto clave en el enundado de esta propiedad es el termino resultados mutua,mente excluyentes. Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultanea.

2. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1.

P(E]) + ... + P(E,) = 1 (3.3.2)

Esta es la propiedad de exhaustividad, y se refiere a que el observador de un proceso probabilfstico debe contemplar todos los eventos posibles, y cuando se toman todos, su probabilidad total es igual a 1. El requerimiento de que los eventos sean mutuamente exduyentes, especifica que los eventos E1, E2, , En no se traslapen. Es decir, no pueden ocurrir dos de estos eventos al mismo tiempo.

3. Considere dos eventos mutuamente excluyentes, Ei y E.. La probabilidad de la ocurrencia de 0 Ej es igual a la suma de sus probabflidades individuales.

(3.3.3)

Suponga que dos eventos no son mutuamente excluyentes, es decir, que pueden ocurrir al mismo tiempo. En un intento por calcular la probabilidad de ocurrencia de Ei 0 Ej' el problema de traslape ocurre y entonces el procedimiento podrfa volverse muy complicado.

3.4 CALCULO DE LA PROBABIIJDAD DE UN EVENTO 61

3.4 cALCllLO DE IA PROBABllIDAD DE llN EVENTO

A continuacion se utilizan los conceptos y las tecnicas de las secciones anteriores para calcular la probabilidad de eventos espedficos. Se presentanln ideas adicionales seglin sea necesario.

FJEMPLO 3.4.1

En un articulo de la revista American Journal ofDrugs and Alcohol Abuse, Erickson y Murray (A-I) afirman que las mujeres estan consideradas como un grupo con riesgo especial de adiccion a la cocaina, y que se ha sugerido que sus problemas con la cocaina son mayores que en los hombres. Con base en la revision de textos especializados y en el anaUsis de los resultados de un estudio original, estos investigadores argumentan que no hay evidencia de que el uso de cocaina en las mujeres exceda al de los hombres, 0 que el indice de uso crezca mas rapido en comparacion con el de los hombres, 0 que experimenten mas problemas. Los sujetos de estudio de Erickson y Murray comprenden una muestra de 75 hombres y 36 mujeres. Los autores afirman que los individuos son una muestra bastante representativa de adictos tipicos adultos sin tratamiento ni encarcelados. La tabla 3.4.1 muestra la frecuencia de uso de la cocaina en el tiempo de vida y el sexo de los individuos. Suponga que se escoge a uno de enos aleatoriamente de entre la muestra. ~Que probabilidad existe de que sea hombre?

Soludon: Para propositos de ejemplificacion del calculo de las probabilidades, se considera a este grupo de III individuos como el grupo total de interes. Es decir, para este ejemplo, se considera a los individuos como una poblacion. Se supone que hombres y mujeres son categorias mutuamente excluyentes, y que la probabilidad de seleccionar a cualquier persona es igual ala probabilidad de seleccionar a cualquier otra persona. Se defi-

TABlA 3.4.1 Frecuencia de consumo de cocaina por genero entre adultos adictos

Frecuencia de uso de cocafna Del sexo Del sexo en el periodo de vida masculino (M) femenino (F) Total

1-19 veces (A) 32 7 39 20-99 veces (B) 18 20 38 100 + veces (C) 25 9 34

111Total 75 36

FUENTE: Cortesfa de Marcel Dekker, Inc. Reimpresi6n de Patricia G. Erickson y Glenn F. Murray, "Sex Differences in Cocaine Use and Experiences: A Double Standard?", American Journal of Drug and Alcohol Abuse, 15,135-152.

62 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PBOBABILISTICA

ne la probabilidad deseada como el numero de individuos con la caracterfstica de interes (hombre) dividida entre el total de individuos. Se puede escribir en notaci6n probabilistica como sigue:

P(M) total de hombres Ito tal de individuos 75/111 .6757

Probabilidad condicional En ocasiones, el con junto de todos los "resultados posibles" puede constituir un subconjunto del con junto universal. En otras paIabras, la poblaci6n de interes se puede reducir mediante algun conjunto de condiciones, no aplicables a la poblaci6n total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del con junto universal como denominador, el resultado es una probabilidad condicional.

Ala probabilidad calculada en el ejemplo 3.4.1, por ejemplo, se Ie puede considerar como una probabilidad condicional, debido a que el tamano del con junto universal sirvi6 como denominador. No hubo condiciones impuestas para restringir el tamaiio del denominador. Es posible pensar que esta probabilidad es una probabilidad marginal, porque uno de los totales marginales se utiliz6 como numerador.

En la tabla 3.4.1 se puede ver el concepto de probabilidad condicional.

EJEMPLO 3.4.2 Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los III y se encuentra que es un individuo del sexo masculino (M). ~Cual es la probabilidad de que este individuo haya consumido cocaina 100 veces 0 mas durante su vida (C)? Soluci6n: Ya no es importante saber el numero total de individuos, porque, al se

leccionar a un individuo del sexo masculino, los individuos del sexo femenino son eliminados. Entonces, se puede definir la probabilidad deseada como: ~Que probabilidad existe de que un individuo haya consumido cocaina 100 veces 0 mas (C) durante su tiempo de vida, dado que el individuo seleccionado es del sexo masculino (M)? Esta es una probabilidad condicional y se escribe como P(C 1M), donde la linea vertical se lee como "dado". Los 75 individuos del sexo masculino se vuelyen el denominador de esta probabilidad condicional, y 25, el numero de individuos del sexo masculino que consumieron cocaina 100 veces 0 mas durante su tiempo de vida, se vuelve el numerador. Por 10 tanto, la probabilidad deseada es:

P(CIM) 25/75 = .33 Probabilidad conjunta Algunas veces se quiere encontrar la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente a partir de un grupo de individuos posea dos caracterfsticas al mismo tiempo. A esta probabilidad se Ie conoce como probabilidad conjunta. El cilculo de la probabilidad conjunta se ejemplifica a continuaci6n:

EJEMPLO 3.4.3 En referencia a la tabla 3.4.1, ~cual es la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente de entre los III individuos sea del sexo masculino (M) y que sea una persona que consumi6 cocaina 100 veces 0 mas durante su tiempo de vida (C)?

63 3.4 CALCULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO

Soludon: La probabilidad buscada se puede escribir en notacion simbolica como P(M n C), donde el sfmbolo n se lee como "interseccion" 0 "y". La expresion M n C indica que la condiciones My C son una ocurrencia conjunta. El mlmero de individuos que satisfacen ambas condiciones deseadas es 25, y se encuentran en la tabla 3.4.1 en la interseccion etiquetada como columna M y renglon C. Puesto que la seleccion se realiza con el total de individuos del con junto, el denominador es Ill. De tal manera que la probabilidad se escribe como:

P(M n C) 25/111 = .2252

Regia de la multiplicaci6n La probabilidad se puede calcular a partir de otras probabilidades. Por ejemplo, la probabilidad conjunta se puede calcular como el producto de una probabilidad marginal y una probabilidad condicional adecuadas. A esta relacion se Ie conoce como regia de la multiplicaci6n de probabilidad. Se ilustra con el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3.4.4

Se pretende calcular la probabilidad con junta de seleccionar un individuo del sexo masculino (M) con una frecuencia de consumo de cocafna de 100 veces 0 mas (C) durante toda su vida, a partir del conocimiento de dos probabilidades convenientes, una marginal y otra condicional.

Soludon: La probabilidad buscada es P(M n C). La probabilidad marginal ya esta calculada como P(M) 75/111 .6757, Yuna probabilidad condicional es P(CiM) = 25/75 .3333. Entonces sucede que estas son las probabilidades marginal y condicional adecuadas para calcular la probabilidad conjunta deseada que se puede calcular como: P(M n C)= P(M)P(CiM) = (.6757)(.3333) .2252. Observe que esto es 10 que se esperaba: el mismo resultado obtenido anteriormente para P(M n C).

Se puede afirmar que la regIa de la multiplicacion en terminos generales es como sigue: Para cualesquiera dos eventos A y B,

peA n B) = P(B)P0IB), si P(B):;: 0 (3.4.1 )

Para los mismos dos eventos A y B, la regIa de multiplicacion tambien se escribe como peA n B) = P(A)P(B IA), si P0) :;: o.

Es posible ver a traves de operaciones algebraicas que la regIa de la multiplicacion, establecida en la ecuacion 3.4.1, se puede utilizar para encontrar una de las tres probabilidades expresadas si se conocen las otras dos. Por ejemplo, se puede encontrar la probabilidad condicional P01 B) dividiendo peA n B) entre PCB). Esta relacion permite defmir formalmente la probabilidad condicional como sigue:

64 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA

DEFINICION La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A (j B dividida entre la probabilidad de B, siempre que la probabilidad de B sea diferente de cero.

Esto es:

P(A IB)= P(A (IB) , P(B):f; 0 (3.4.2) P(B)

Se ilustra el uso de la regIa de multiplicad6n para calcular la probabilidad condidonal con el siguiente ejemplo:

EJEMPl"O 3.4.5 Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.2 y los datos de la tabla 3.4.1 para enconttar la probabilidad condidonal P(C1M). Soludon: De acuerdo con la ecuad6n 3.4.2,

P(C 1M) = P(C (I M)/P(M) Previamente, se obtuvo P(C (I M) P(M (I C) = 25/111 .2252. Tambien, se

determin6 que P(M) 75/111 = .6757. Con estos resultados se puede calcular P(C 1M) .2252/.6757 .3333, el cual, tal como se esperaba, es el mismo resultado que se obtuvo al utilizar las frecuencias directamente de la tabla 3.4.1.

Regia de fa adicion La tercera propiedad de la probabilidad dada con anterioridad afirma que la probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades individuales. Suponga, por ejemplo, que se escoge aleatoriamente a una persona de entre las III representadas en la tabla 3.4.1. ~Cual es la probabilidad de que esta persona sea del sexo masculino (M) 0 del sexo femenino (F)? Se expresa esta probabilidad con los simbolos P(M U F), donde el simbolo u se lee como "uni6n" u "0". Puesto que los dos generos son mutuamente excluyentes, P(M u P(M) + P(F) = (75/111) + (36/111) = .6757 + 3243 = 1.

~y si los dos eventos no fueran mutua mente excluyentes? En este caso se utiliza la regIa de la adici6n, la cual se enuncia como sigue:

DEFINICION Dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra el evento A, el evento B 0 ambos es igual a la probabilidad del evento A mas la probabilidad del evento B, menos la probabilidad de que ocurran simultaneamente.

3.4 CAI;.CULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La regIa de la adici6n se puede escribir como sigue:

P(A u B) =P(A) + P(B) - P(A (l B) (3.4.3)

Para ilustrar el uso de la regIa dela adici6n se presenta el siguiente ejemplo.

FJEMPLO 3.4.6

Si se escoge aleatoriamente a una persona de los III individuos representados en la tabla 3.4.1, ~cUiil es la probabilidad de que esa persona sea del sexo masculino (M) 0 de que haya consumido cocafna 100 veces 0 mas durante su tiempo de vida (G) 0 ambas? . Soluci6n: La probabilidad que se busca es P(M u C). Con la regIa de adici6n

segUn se expresa en la ecuaci6n 3.4.3 esta probabilidad se puede escribir como P(M u C) = P(M) + P(C) - P(M (l C). Ya se sabe que P(M) = 75/111 =.6757 YP(M (l C) = 25/111 = .2252. De la informaci6n de la tabla 3.4.1 se calcula P(C) 34/111 .3063. AI sustituir estos resultados en la ecuaci6n para P(M u C) se tiene P(M u C) = .6757 + .3063 .2252 = .7568.

Observe que 25 individuos que cumplen ambas condiciones: ser del sexo masculino y haber consumido cocafna 100 veces 0 mas, esUin induidos entre los 75 individuos que son del sexo masculino, asf como en los 34 individuos que consumieron cocafna 100 veces 0 mas. Dado que, en el calculo de la probabilidad, estos 25 se agregaron en el numerador dos veces, tienen que restarse una vez para superar los efectos de duplicaci6n 0 traslape.

Eventos independientes Suponga que en la ecuaci6n 3.4.1 se dice que el evento B ya ocurri6, sin que este hecho afecte la probabilidad deA. Es decir, suponga que la probabilidad del evento A es el mismo a pesar de que ocurra 0 no el evento B. En esta situaci6n, P(A IB) = prAY. En tal caso se dice que los eventosA y B son eventO$ independientes. Por 10 tanto, la regiade la multiplicaci6n para dos eventos independientes se Pllede escribir como sigue:

peA u B) = P(B) P(A); P(A) ;r0, P(B);r 0 (3.4.4) Asf, se observa que si dos eventos son independientes, la probabilidad de que

ocurran conjuntamente es igual al producto de las probabilidades de sus ocurrencias individuales.

Advierta que d:tando dos eventoscon probabilidades diferentes de cero son independientes. cada una de las siguientes sentenciases verdadera:

P(A IB) =P(A), P(B IA) ::: P(B), P(A (l B) =P(A)P(B) Dos eventos no son independientes a menos que todas. estas afirmaciones sean ciertas. Es importante estar tonscientes de que los terminos independiente y mutuamente exclriyente no significan la misma cosa. . '

66 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA

Con e1 siguiente ejemplo se ilustra el concepto de independencia.

EJEMPLO 3.4~7 En un grupo de preparatoria, que consta de 60 mqjeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Si un estudiante es e1egido aleatoriamente, la probabilidad de que el estudiante use lentes, peE), es 401100, 0 .4.

a) ~Cwil es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use letHes dado que es un estudiante varon?

Solucion: Con la formula para calcular la probabilidadcondicional se obtiene como resultado:

P(EIB): P(EnB) = 16/100 =.4 PCB) 40/100

De esta forma, la informacion adicional de que el estudiante es un varon no altera la probabilidad de que el estudiante use lentes, ypeE) = peE I B). Se puede decir que los eventos "ser varon" y "usar lentes" en ese grupo, son independientes. Se puede mostrar que los eventos "usar lentes", E, y "no servaron", B, tambien sonindependientes:

peE IB) P(EnB) = 24/100 ",,24 =.4 PCB) 60/100 60

b) ~Cmil es la p~babilidad de que ambos eventos, queel estudiante use lentes y sea un varon, ocurran simultaneamente? .

. Soiucion: Con el uso'de Ia regIa dada enla ecuadon3.4.1 setiene:

PCE n B) P(B)P(EIB) pero, tal como ya se mostro, los eventos E yB son iildependientes, entonces, se sustituye peE IB) porpeE) para obtener mediante la ecuacion 3.4.4:

peE n B) = P(B)P(E)

(1:~)(1:~) =.16

. Eventos complementarios Ya se calculo, mediante el usO de la tabla 3.4.1, que la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente de entre los III individuos sea del sexo masculino es P(M) = 75/111 .6757; que la probabilidad de que sea del sexo femenino es P(F) = 36/111 .3243, Yqlle la suma de estas

.. dos probabilidades es igual a 1. Esto eS cierto porque los eventos ser del sexo masculino y ser del sexo femenino son eventos complementarios. En general, se puede

67 3.4 CAI,CULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO

hacer la siguiente afirmaci6n de los eventos complementarios: la probabilidad del evento A es igual a 1 menos la probabilidad de su complemento, que se escribe como A, y

P (A) (3.4.5)

Esto resulta a partir de la tercera propiedad de probabilidad porque el evento, A, y su complemento son mutuamente excluyentes.

EJEMPLO 3~4~8 Suponga que de 1200 admisiones al hospital general durante cierto periodo, 750 son admisiones privadas. Si se designaa este como conjuntoA, entonces A es igual a 1200 -750 450. Se puede calcular que:

P(A) == 750/1200 .625

y

P(A) 450/1200==.375 y que

P(A) = 1 -P(A) .375 1 .625 .375 = .375

Probabilidadmarginal Ya se utiliz6 el termino probabilidad marginal parareferirse a la probabilidad donde el numerador de la probabilidad es un total marginal de una tabla igual que la tabla 3.4.1.Por ejemplo, cuando se calcula la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente entre las 111 personas representadasen la tabla 3.4.1 sea un individuo del sexo masculino, el numerador de la probabilidad es lacantidad total de individuos del sexo masculino, 75. Por 10 tanto, P(M) = 75/ 111 = .6757. Se puede definir la probabilidad marginal de manera mas general como sigue:

DEFINICION Dada alguna variable que puede desglosarse en m categorias designadas por Ai' A 2, , Ai' . , Am Y otra variable de ocurrencia conjunta que pueda desglosarse en n categorias designadas por B 1, B 2 , , Bi' .. , Bn,.la probabilidad marginal de Ai' P(A) es igual a la sum.a de las probabilidades conjuntas de Ai con todas las categorias de B. Es decir,

P(A) = LP(Ai n Bj ), para.todoslos valores dej (3.4.6)

Los siguientes ~jemplos muestran el uso d~ la ecuaci6n 3.4.6 paracalcular la probabilidad marginal.

68 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILiSTICA

FJEMPLO 3.4.9

Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.6 y los datos de la tabla 3.4.1 para calcular la probabilidad marginal P(M). Solucion: La variable genero se divide en dos categorias, individuos del sexo mascu

lino (M) y del sexo femenino (E). La variable consumo de cocafna se divide en tres categorfas: de 1 a 19 veces (A), de 20 a 99 veces (B) y de 1000 mas veces (C). La categorfa ser del sexo masculino ocurre conjuntamente con las tres categorias de la variable frecuencia de consumo de cocaina, Las tres probabilidades conjuntas que pueden calcularse son P(M nA) = 32/111 .2883, P(M n B) = 18/ III = .1662, Y P(M n C) = 25 / III .2252. Ahora, se calcula la probabilidad marginal P(M) sumando las tres probabilidades conjuntascomo sigue:

P(M) =P(MnA) + P(M nB) + P(M nC) = .2883 + .1622 + .2252

.6757 Tal como se esperaba, el resultado es igual al que se obtuvo al utilizar el total marginal para individuos del sexo masculino empleado como numerador y el total de individuos, como denominador.

FJERCICIOS

3.4.1 En un estudio de c6mo influye la violencia social y polftica en los riesgos de complicaci6n del embarazo, Zapata et al. (A-2) recopilaron una gran cantidad de informaci6n de una muestra de 161 mujeres embarazadas coli edades entre 19 y 40 aiios inscritas en cuidados prenatales en seis centros de salud en Santiago de Chile. En la siguiente tabla se aprecia la muestra de individuos clasificados en referencia cruzada segiin el nivel de estudios y el numero de complicaciones prenatales:

Numero de complicaciones prenatales

Escolaridad. (anos) ~2 0-1 Total 1-3 22 53 75 48 9 23 32 9-10 10 27 37 ;:::11 5 12 17

Total 46 115 161 FUENTE: B. Cecilia Zapata, Annabella'Reboliedo, Eduardo Atalah, Beth Newman y Mary-Clair King, "The Influence of Social and Political Violence on the RiskofPregnancy Complications", Americanjournal ofPublic Health, 82, 685-690. Copyright!> American Public Health Association.

EJERCICIOS 69

a) Suponga que Ste escoge aleatoriamente a una mujer de este grupo. ~Que probabilidad

existe de que sea una mujer con dos 0 mas coll.lplicaciones prenatales?

b) ~C6mo se Ie llama a la probabilidad calcuIada en el inciso a?

c) Muestre como se calcula la probabilidad del inciso a con dos metodos adicionales.

d) Si se escoge aleatoriamente a una mujer,

-------

70 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA

f) Galcule con la regia de la multiplicaci6n la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente sea discapacitada, dado que tiene empleo en el area de la manufactura. g) ~C6mo se Ie llama ala probabilidad calculada en el inciso f?

. h) Utilice el concepto deeventos complementarios para calcularla probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente sea un empleado administrativo.

3.4.3 Consulte los datos del ejercicio 3.4.2, y enuncie las siguientes probabilidades con palabras: a) P(Oficinista (l fisicamente sano) b) P(Oficinista u ffsicamente sano) c) P(Oficinista I fisicamentesano) d) P(Oficinista)

.' 3.4.4 Sriinsky et al. (A-4) realizaron un estudio para evaluar la eficacia y seguridad de una prepara, cion de mesalami'na oral recubierta de poHmero sensible al pH en pacientes con actividad de leve a moderada de colitis ulcerosa. En la siguiente tabla se muestran los resultados del tratamientoal final de seis semanas, por tratamiento recibido:

GJ:upo en tratamiento Resultado Placebo Mesalamina, 1.6 gldia '. Mesalamina, 2.4 gldia En 2 6 6 Mejorado 8 13 15 Estable 12 11 14 Empeorado 22 14 8 FUENTE: Reproducido con autorizaci6n de Charles A.Sninsky, David H. Cort, Fergus Shanahan, BernardJ. Powers, John T. Sessions, Ronald E. Pruitt, Walter H, Jacobs, Simon K. Lo, Stephan R. Targan,James J. Cerda, Daniel E. Gremillion, \,yjlliam J, Snape, John Sabel,. Horacio J inich, James M, Swinehart y Michael P. DeMicco, "Oral Mesalamine (Asacol) for Mildly. to Moderately Active Ulcerative Colitis", Annals ofInternal Medicine, 115,350-355, .

a) ~Cual es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre en remisi6n al final de seis semanas?

b) ~Cual es la probabilidad de que unpaciente que recibeplacebo logre la remisi6n al final de las seis semanas? c) ~Cual es la probabilidad de que un pacienteseleccionado aleatoriamente haya entrado en remision y sea uno de los que recibio placebo? d) ~Cual es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente sea uno de los que recibieron dosis de 2.4 g/dia 0 este en la lista de pacientesmejorados, 0 posea ambas condiciones?

3.4.5 Si la probabilidad de ser zurdo en un grupo es de .05, ~cual es la probabilidad de ser diestro (suponiendo que no hay ambidestreza)?

3.4.6 La probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actuales de un hospital sea del sexo masculino es de .6. La probabilidad de que el paciente sea del sexo masculino y haya sido internado para cinigia es de .2, Un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actuales es del sexo masculino, ~cuaI es la probabilidad de que el pacienteeste internado para cirugia? ' .

3.5 TEORKMA DE-BAYES,PRUEBA DE .CI,ASIFICACION, SENSIBILIDAD 71

3.4.7 En cierta poblaci6n de pacientes hospitalizados la probabilidad de que un paciente, seleccionado aleatoriamente, est: enfermo del coraz6n es de .35. La probabilidad de que un paciente enfermo del coraz6n sea fumador es de .86..tCual es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente, de esta poblaci6n, sea fumador y est: enfermo del coraz6n?

3.5 TEOREMA DE BAYES, PRUEBA DE CIASIFICACION, SENSmHIDAD, ESPECIFICIDAD YVALORES QUE PREDICEN POSITIVIDAD YNEGATIVIDAD

En el campO de ciencias de la salud se utiliza ampliamente la aplicacion de leyes de probabilidad y conceptos relacionados en la eva,luacion de pruebas de deteccion y criterios de diagnostico. A los medicos les interesa tener mayor capacidad para predecir correctamente la presencia 0 ausencia de una enfermedad en particular a partirdel conocimiento de los resultados (positivos.o negativos) de pruebas y el estado de los sfntomas (presentes 0 aus~ntes) que se m~mifiestan. Tambien, es de interes la informacion respecto a la probabiFdad de resultados positivos 0 negativos de l~s pruebas y la, probabilidad d.epresencia 0 ausencia de un sfntoma espedfico en pacientes con 0 sin una enfermedad en particular.

.En pruebas de deteccion se debe considerar con (:uidado que no siempre son pruebas irifalibles. Es decir, el procedimiento puede dar lm falso positivo 0 un falso negativo,

DEFINICIONES 1. Un falso positivo resulta cuando unaprueba indica que

el estado es positivo, cuando en realidades negativo. 2. Un falso riegativo resultacuando una pmeba indica que un estado es negativo, cuando en realidades positivo.

En resumen, se debe responder a las siguientes preguntas para evaluar la utilidad de los resultados de la prueba y elestado de los sintomas para determinar si el individuo tiene 0 no alguna enfermedad:

1. Dado que un individuo tiene la enfermedad,. ~que prqbabilidad existe de que la prueba resulte J?ositiya (01a presencia de un sintoma)?

, 2. Dado que un individuo no tiene la enfermedad, ~cual es la probabilidad de que laprueba: resulte negativa (0 ia~msencia de un sintoma)?

3. Dada una prueba positiva de deteccion. (0 la presencia de un sintoma), ~que prob,abilidad existe de que,el individuo tenga la enfermedad?

4. Da:do el resultado negativo de unaprueba de deteccion (0 la ausencia de . un sintoma), ~cmil eslaprobabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad?

72 CAPiTULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILiSTICA

TABlA 3.5.1 Muestra de n individuos (conn lOuy grande) c1asificados en referencia cruzada segnn el estado de enferlOedad y el resultado de la prueba de detecci6n'

Enfermedad

Resultado de la prueba Presente (D) Ausente (D) Total

Positivo cn a b a+b

N egativo cn c d c+ d

Total a. + c b+d n

Suponga que para una IDuestra den individuos (donden es un numero grande) se tiene la informaci6n que se muestra en la tabla 3.5.1. la tabla muestra para estos n individuos sus estados con respecto a la enfermedad, y es el resultado de una prueba de detecci6n disefiada para identificar a los individuos enfermos. Las entradas de las casillas n:!presentan el nfunero de individuos que caen en las categonas definidas por los encabezados de rengl6n'y columna. Pot ejemplo, a es el numero de individuos que tienen la enfeimedad y un resultado positivo en la prueba de detecci6n.

Tal como se explic6; 'se puede cakular una gran variedad de probabilidades a partir de la informaci6n desplegada en una tabla de doble via como la tabla 3.5.1. Por ejemplo, se puede calcular la estimaci6n de la probabilidad condicional peT 1D) = a / (a + c). Esta proporci6n es una estimaci6n de lasensibilidadde la prueba de detecci6n.

DEFINICION: La sensibilidadde una prueha (0 sintoma) es la prohahilidad de un resuhBdo positivo de la prueha (presencia Q ausencia del sintoma) dada la presencia de la enfermedad.

Tambien se puede cakular la estimaci6n de la- probabilidad condicional P(T 115) = d / (b +d). Esta proporci6n es unaestimaci6n dela especificidad de la prueba de detecci6n.

DEFINICION La especificidad de una prueha (0 sintoma) es la prohahilidad de un resultadonegativode 1a prueha (0 ausenciadel- sintoma) dada la ausencia de la enfermedad.

A partir de los datos de la tabla 3.5.1 puede responderse ala pregunta 3 con el ca.lculo de la estimaci6n de la probabilidad condicional P(D I, T). Esta proporci6n es una estimaci6n de la probabilidad Hamada valor que predice la positividad de una prueba de detecci6n (0 de un sintoma).

3.5 TEOREMA DE BAYES, PRUEBA DE CLASIFICACION, SENSIBILIDAD 73

DEFINICI6N El valor que predice lapositividad de una prueba de detecci6n (0 un sintoma) es la probabilidad de que un individuo tenga la enfermedad, dado que el individuo presenta un resultado positivo en la prueba de detecci6n (0 presenta el sintoma).

Amilogamente, la expresi6n p(DIT) es una estimaci6n de la probabilidad condicional de que un individuo no presente la enfermedad dado que el resultado de la prueba de detecci6n es negativo (0 no presenta el sfntoma). La estimaci6n de la probabilidad mediante esta proporci6n se llama valor que predice la negatividad de la prueba de detecci6n 0 del sfntoma.

DEFINICI6N El valor que predice lanegatividad de la prueba de detecci6n (0 sintoma) es la probabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad, dado que el resuItado de la prueba de detecci6n es negativo (es decir no presenta el sintoma).

La estimaci6n del valor que predice la positividad 0 negatividad de una prueba (0 sintoma) puede obtenerse a partir;del conocimiento de la sensibilidad y especificidad de la prueba (0 del sintoma) y de laprobabilidad de la enfermedad relevante en la poblaci6n general. Para obtener la estimaci6n de estos valores de predicci6n se utiliza el teorema de Bayes, teorema de probabilidad atribuido a Thomas Bayes (1702-1761), cU~rigo Ingles iriteresado en las matematicas. Acontinuaci6n se enuncia el teorema de Bayes, con la notaci6n indicadaen la tabla 3.5.1, para obtener el valor que predice la positividad de una prueba de detecci6n (0 sfntoma):

P(D IT) = . peT ID)P(D) . (3.5.1)peT ID)P(D)+P(T ID)P(D)

EI amHisis de la composici6n de la ecuaci6n 3.5.1 resulta instructiva: Recuerde que seglin la ecuaci6n 3.4.21a probabilidad condicional P(D IT) es igual a P(D 11 T)/P(T). Paracomprender la 16gica del teorema de Bayes, se debe identificar que e1 numerador de la ecuaci6n 3.5.1 representa P(D 11 T) Yque el denominador representa P(T). Se sabepor la regIa de.la multiplicaci6nde la probabilidad dada en la ecuaci6n 304.1 queel numerador de la ecuaci6n 3.5.1, P(TID) P(D), es igual a P(D 11 T). ... .

Ahora, observe que el denominador de la ecuaci6n 3.5.1 es igual a P(T). Se sabe que el evento T es el resultado de que un individuo esta clasificadocomo positivo con respecto a la prueba de detecci6n (clasificado con presencia de un sfntoma). Un individuo clasificado como positivo puede tener 0 no la enfermedad. Por 10 tanto, la ocurrencia de T es el resultado de un individuo con la enfermedad y prueba positiva [P(D 11 T)] 0 que sin la enfermedad y con prueba positiva [P(D 11 T)]. Estos dos

74 CAPITULO 3 ALGUNOSCONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA

eventos son mutuamente excluyentes (su intersection es cera) y, consecuentemente,par la regIa de adici6ndada par laecuacion 3.4.3, se puede escribir:

P(T) =P(D n T) +P(D (1 T)

Puesto que, por Ia regIa de la multiplication, P(Dn T) '=P(T ID)P(D) YP(D n T) p(fID) P(D), se puede reescribir la etuaci6n 3.5.2 como sigue:

P(T) := peT ID)P(D) +P(T 115)P(D) (3.5.3) y este es el denominador de la ecuad6n 3.5.1.'

Tambien, advierta que el numerador de la ecuaci6n 3.5.1 es igual a la sensibilidad por la tasa (de prevalenda) de la erifermedad; el denominador es igual ala sensibilidad por la tasa de la enfermedad mas el term~no 1 menos la sensibilidad por el termino 1 menos Ia tasa de la enfermedad.

La evaluacion de laecuaci6n 3.5.1 responde ala pregunta 3. Para responder i. ala pregunta 4 se sigue, ahora; la linea de razonamiento ya conocida para llegar al

siguiente enuRciado del teorema de Bayes:

- - P(TID)P(D)P(DIT}= __ (3.5.4)peT ID) P(D) +P(T ID) P(D)

" La ecuad6n 3.5.4 permi~e calcular una estimaci6n de la prababilidad de que el individuo con prueba negativa (0 que no presentael sfntoma), no tenga la enfermedad, la cual. es el valor que predice la negatividad de la prueba de detecci6n 0 del sfntoma. , .

Con el siguiente.ejemplose muestra el uso del teorema de Bayes para calcular el valor que predice la positividad:

FJEMPLO 3.5.1

Un equipo de investigaci6n medica pretende evaluar una prueba de detecd6n propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra aleatoria de 450 ehfermos y en otra muestra aleatoria independiente de 500 pacientes que no

. presentansfntomas de la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una poblacion de individuos con edades de 65 alios 0 mas. Los resultados son los siguientes:

eDiagnostico de Alzheimer? Resultado de la prueba Sf (D) No (jj) Total

Positivo (T) 436 5 441

Negativo (f) 14 4~5 509

Total 450 500 950

75

EJERCICIOS

EJERCICIOS

Con estos datos se estima quela pruebade sensibilidad es P(TID) 436/450 = .97. La especificidad de la prueba es pCt Il5) ::::: 495/500 .99. Ahora, con estos resultados se calcula el valor que predice la positividad de la prueba. Esto es, se pretende estimar la: probabilidad de que un individuo con pnieba positiva este enfermo de Alzheimer. A partir de los datos tabuladosse calcula P(TID) = 436/ 450 = .9689,-y que P(TID) 5/500 = .01. La sustitucion de estos resultados en la ecuacion 3.5.1 da:

P(D IT) (.9689) P(D) (.9689) P(D) + (.01) P(D) (3.5.5)

Note que el valor que predice la positividad de la pruebadepende de la tasa de la enfermedad en la poblacion relevante en general. En este caso 1a poblacion mas representativa esta formada por individuos de 65 aflos 0 mas. Se hace enfasis de que la tasa de enfermedad en la poblad6n general mas represeniativa, P(D), no se puede calcular a partir de los datos de la muestra, porque -las dos muestras independientes se obtuvieron de dos pobladones distintas. Por 10 tanto, se debe buscar en otro lugar una estimaci6n de P(D). Evans et at. (A-5) estimaron que 11.3 por ciento de la poblacion de 65 aflos 0 mas en Estados Unidos tiene la enfermedad de Alzheimer. Al sustituir la estimacion de P(D) en la ecuacion 3.5.5 se obtiene:

(.9689) (.113) P(D IT)

(.9689) (.113)+(,01) (1-.113) . Tal como se puede apreciar, en este caso, el valor predictivo de la prueba es muy alto.

3.5.1 Un equipo de investigacion medica pretende evaluar la utilidad de cierto sintoma (Hamado S) para el diagn6stico de determinada enfermedad. En una muestra aleatoria independiente de 775 pacientescon esa enfermedad, 744 presentaron el sintoma. En una muestra aleatoria independientede 1380 individuos sin la enfermedad, 21 presentaron elsintoma. a) Para el contextode este ejercicio, ~que es un falso positivo? b) ~Que es un falso negativo? c) Calcule la sensibilidad de los sintomas d) Calcule la especificidad del sfntoma e) Suponga que se sabe que la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .OOL 2Cuai es el valor que predice la positividad del sintoma? 1) ~Cual es el valor que predice la negatividad del sfntoma? g) Calcular los valores que predicen la -positividad y la negiltividad' del sfntoma para las siguientes tasas hipoteticas: .0001, .01 Y .10. .

h) Con base en los resultados que se obtuvieron en el inciso g, ~que sepuede conduir acerca

de los valore~ que predicen el sfntoma?

3.5.2 En un articulo titulado "Probability and Characteristics of Human Immunodeficiency Virus Infection in Male Greek Military Personnel with Tuberculosis", publicada en la revista Respiration [62, 280-285], Bouros 'fJt at. utihzaron el teorema de Bayes para calcular la proba

76 CAPiTULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILtSTICA

bilidad de que pacientes con tuberculosis esteninfectados con el VIE. Si puede conseguir este articulo, lea y escriba una crttica del mismo que incluya la respuesta a las siguientes preguntas: a) ~Los autores emplearoncorrectamente el teorema de Bayes? Expliqlle su respuesta. b) ~Se utilizaron las estimaciones de probabilidad correctas en los calculos? Explique su respuesta. c) ~Existe suficiente informacion disponible para repetir los calculos? Si es as!, (se puede llegar a los mismos resultados?

3.5.3 Si esta disponible el articulo 'de Katz et al. ["Use of Bayes's Theorem to Estimate the Impact of the Proposed CD4-Based Expansion of the AIDS Case Definition",joumal ofAcquired Immune Deficiency Syndromes, 6, 295-297], lea y escriba una crttica que incluya las respuestas a las siguientes preguntas: a) ~Esunq aplicaci6n apropiada del teorema de Bayes? Explique su respuesta.

b) (Existen diferencias entre esta aplicaci6n del teorema de Bayes y la aplicacion presentada

en el ejercicio 3.5.1? Explique su respuesta.

3.6 RESUMEN

En este capitulo se presentan algunas de las ideas basicas y conceptos de probabilidad. EI objetivo es proveer suficiente "intuici6n" sobre la materia, de manera que los aspectos probabilfsticos de la inferencia estadistica puedan ser Hicilmente comprendidos y apreciados en capftulos posteriores.

Se define como probabilidad a un m1mero entre 0 y 1 que mide la posibilidad de que ocurra alg(m evento. Se hace la distinci6n entre probabilidad subjetiva y objetiva. La probabilidad objetiva se puede subdividir como probabilidad clasica 0 de frecuencia relativa. Despues de establecer las tres propiedades de probabilidad, se define y muestra el carculo de los siguientes tipos de probabilidad: marginal, conjunta y condicional. Se aprende c6mo aplicar las reglas de adici6n y multiplicaci6n para calcular ci,ertas probabilidades. Se estudia el significado de eventos independientes, mutuamente excluyentes y complementarios. Tambien, se estudia el significado de especificidad, sensibilidad y val ores que predicen la positividad y negatividad aplicados a pruebas de detecci6n 0 sintomas de enfermedad. Finalmente, se aprende c6mo utilizar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que un individuo este enfermo, dado que el individuo tiene un resultado positivo en la prueba de detecci6n (0 bien, presenta el sintoma correspondiente).

PREGUNTAS YEJERCICIOS DE REPASO

1. Defina los siguientes conceptos: a) Probabilidad b) Probabilidad objetiva c) Probabilidad subjetiva d) Probabilidad clasica e) Concepto de probabilidad f) Eventos mutuamente excluyentes

de frecuencia relativa g) Eventos independientes h) Probabilidad marginal.

77 PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO

i) Probabilidad conjunta 'j) Probabilidadcondicional

k) Regia de la adici6n I) RegIa de la multiplicaci6n

m) Eventos complementarios n) Falso positivo

0) Falso negativo p) Sensibilidad

q) Especificidad r) Valor que predice la positividad

s) Valor que predice la negatividad t) Teorema de Bayes

2. Nombre y explique las tres propiedades de la probabilidad.

3. DesJarlais et ai. (A-6) examinaron el fracaso para mantener reducidos los riesgos de SIDA en un estudio de consumo de drogas intravenosas en la ciudad de Nueva York. La siguiente tabla muestra a los sujetos del estudio, en referencia cruzada; por estado de reducci6n de riesgos y numero de compaiieros sexuales en un mes promedio:

Estado de reducci6n de rlesgos Nu.mero de compafteros sexuales/mes Ninguno Sin mantener Mantiene Total

Ninguno 20 17 43 80 1 37 45 95 177 >1 20 54 67 141

Total 77 116 205 398 FUENTE: Cortesia de Marcel Dekker, Inc. Reimpreso por Don C. Des Jarlais, Abu

Abdul-Quader y Susan Tross, "The Next Problem: Maintenance of AIDS Risk

Reduction Among Intravenous Drog Users", The InternationalJournal o/the Addictions,

26, 1279-1292.

a) Si se selecciona a un individuo al azar, (cmiles la probabilidad de que este individuo no haya iniciado ninguna reducci6n de riesgo? b) Si se selecciona a un individuo al azar, y este ha tenido mas de un compaiiero sexual, ~cu;il es la probabilidad de que haya mantenido la reducci6n de riesgo? c) Si se selecciona aleatoriamente a un individuo, ~cuaI es Ia probabilidad de que no haya tenido compaiieros sexuales y que no haya mantenido 1;:,t,reducci6n de riesgo? d) Si se selecciona al azar a un individuo, ~cual es la probabilidad de que haya tenido un compaiiero sexual 0 no haya iniciado la reducci6n de riesgo?

4. El prop6sito del estudio de Gehan et ai. (A-7) es definir Ia dosis 6ptima de lidocaina necesaria para reducir el dolor en la inyecci6n de propofol. De acuerdo conestos investigadores, el propofol se utiliza como agente de acci6n rapida para inducci6n de anestesia. Sin embargo, a pesar de esto, muchas desventajas limitan su utilizaci6n debido al dolor generadci. Otros estudios muestran que la lidocama intravencisa suministrada antes 0 con el propofol reduce la frecuenda de dolor; En el estudio de Gehan et ai. (A-7) se utilizaron 310 padentes que recibieron anestesia. Se clasific6 a los padentes en cuatro categonas de acuerdo con la dosis de lidocaina. El grupoAno recibi6lidocama, en tanto que los grupos B, C YD recibieron .1, .2 Y.4 mglkg, respectivamente, mezclado con propofol. EI grado de dolor experimentado por los padentes se calific6 de 0 a 3; los padentes que no experimentaron dolor recibieron una calificaci6n de O. La siguiente tabla muestra a los padentes, dasificados en referencia cruzada por grupo segCtp niveles de dosis y calificaci6n por dolor:

78 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA

Grupo Calificaci6n por dolor A B C D Total

0 49 73 58 62 242 1 16 7 7 8 38 2 8 5 6 6 25 3 4 1 0 0 5

Total 77 86 71 76 310

FUENTE: G. Gehan, P. Karoubi, F. Quinet, A. Leroy, C. Rathat

yJ. L. Pourriat, " Optimal Dose ofLignocaine for Preventing

Pain on Injection of Propofol", BritiSh journal ofAnaesthesia

66, 324-326. .

a) Encuentre las siguientes probabilidades y expliquesu significado: 1. P(O II D) 2. PCB u 2) 3. P(3IA) 4. P(C)

b) Explique porque cada una de las' siguientes ecuaciones es 0 no una afirmaci6n verdadera: 1. P(O liD) = hD II 0) 2. P(2 u C) = P(C u 2) 3. peA) = peA (10) + peA II 1) + peA II 2) + P(;t (13) 4. PCB u 2) = PCB) + P(2)

5.P(DI0) = P(D)

6. P(C n 1)= P(C) pel) 7. P(;t IIB) = 0 8. P(2 IID) = P(D) P(21 D) . 9. PCB (10) = PCB) PCB I0)

5. A un centenar de mujeres casadas se les pregunt6 que metodo de control natal preferfan. La siguiente tabla muestra las 100 respuestas clasificadas en referencia cruzada por nive! educativo y metodo de control.

. Nivel escolar . Metodo de control, Preparatoria Universidad Posgrado natal (A) (B) (C) Total S 15 8 7 30 T 3 7 20 30 V, 5 5 15 25 W 10 3 2 15 Total 33 23 44 100

79 PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO

Encuentre las siguientes probabilidades:

a) P(S) b)P(Vu C) c) P(A) d) peW) e) P(A Ivv) t) p(jj) "g) P(T riB) h) P[(T rI C)]

6. EI departamento de salud de cierto pais recibe 25 solicitudes para una vacante que hay para una enfermera en salud publica. De estas solicitudes, 10 son de mayores de 30 aiios y.15 de menores de 30 aiios de edad. Diecisiet~ tienen estudios universitarios y ocho tienen grado de maestrfa. De las que tienen menos de 30 aiios, seis tienen grade de mae stria. Si al azar se hace una selecci6n de entre las 25 solicitantes, ~cual es la probabilidad de se1eccionar a una persona que tenga mas de 30 aiios de ~dad 0 que tenga grade de maestrla?

7. La siguiente tabla muestra 1000 aspirantes a la escuela de enfermeria, clasificadas de acuerdo con las calificaciones logradas en el examen de ingreso, a la universidad y a la calidad de la escue1a preparatoria de la que son egresadas, segUn un gmpo de profesores:

Caiidad de las escuelas preparatorias

Deficiente Promedio Superior

Calificaci6n (P) (A) (S) Total Baja (L) 105 60 55 220 Media (M) 70 175 145 390 Alta (H) 25 65 300 390

Total 200 300 500 1000

a) Calcule \a prob

80 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA

Resultado

Area de A favor En contra Abstinencia .la ciudad (F) (Q) (R) Total A 100 20 5 125 B 115 5 5 125 D 50 60 15 125 E 35 50 40 125

Total 300 135 65 500

, a) Si aleatoriamente se selecciona un'cuestionario de entre los 500, ~cual es la probabilidad de que:

1. el encuestado este a favor de la legalizaci6n del aborto? 2. el encuestado este en coritrade la legalizaci6n del aborto?

. .

3. el encuestado se abstenga? 4. el encuestado viva en el area A, B,"D, E? 5. el encuestado este a favor de la legalizaci6n del aborto, dado que reside en el area B? 6. el encuestado se abstenga 0 resida en el area D?

b) Calcule las siguientes probabilidades:

1. P(A nR) 2. P(QuD) 3. P(D) 4. P(Q ID) 5. P(B IR) 6. P(F)

10. En una poblaci6n, la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente, se exponga a determinado alergeno y tenga'una ieacci6n frerite al mismo es de .60. La probabilidad de que un individuo expuesto al alergeno expedmente una reacci6n alergica es de .8. Si un individuo es elegido aleatoriainente deesta poblaci6n, ~cuales la probabilidad de que se exponga al alergeno?

11. Suponga que 3 por ciento de una poblaci6n de adultosha intenlado suicidarse. Tambien se sabe que 20 por ciento de esa poblaci6n vive en condiciones extremasde pobreza. Si estos dos eventos son independientes,~cuaI eslaprobabilidad de que unindividuo elegido aleatoriamente haya intentado suicidarse y ademas.viva en condiciones extremas de pobreza?

12. En una poblaci6n de mujeres, 4 por ciento tienen cancer de pecho, 20 por ciento son fuma doras y 3 por ciento son fumadoras y tienen cancer de pecho. Si una mujer es elegida al azar de entre esa poblaei6n, ~cual es la probabilidad de que tenga,cancer de pecho, 0 sea fumadora 0 tenga ambas caracteristicas? "

" ' .' .~

13. La probabilidad de que una persona elegida al azar de entre una poblaci6n presente el sintoma caracteristico de una enfermedad es de .2, y la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente presente esa enfermedad es de .23. La probabilidad de elegir a una persona que tenga el sintoma y tambien la enfermedad es de .18. Si una persona elegida al azar de entre esa poblaci6n no presenta el sintoma, ~cuaI es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

14. Para cierta poblaci6n se definen los siguientes eventos para las edades de las madres en el momenta de dar a luz: A = menos de 20 aDOS, B = 20-24 aDOS, C = 25-29 aDOS, D = 30-44 aDOS. Los eventos A, B, Cy D' en pares ~son mutuamente excluyentes?

15. En referencia al ejercicio 14, establezca con palabras el'evento E = (A u B).

81 BffiLIOGRAFIA

16. En referencia al ejercicio 14, establezca con palabras el evento F= (B u C). 17. En referencia al ejercicio 14, -=omente respecto al even to G = (A n B). 18. Para cietta pobhici6n se definen los siguientes eventos con respecto a los niveles de lipoprotefna

del plasma (mg/dl):A = (l0-15); B = (~30); C= ($ 20). ~Son los eventosA y B mutuamente exduyentes? My C?, i.E Y C? Explique su respuesta para cada pregunta.

19. En referencia al ejercicio 18, establezca con palabras el significado de los siguientes eventos: a)AuB b)AnB c)AnC d)AuC

20. En referencia al ejercicio 18, establezca con palabras el significado de los siguientes eventos. a) if b) B c) C

21. La siguiente tabla muestra los resultados de la evaluaci6n de la prueba de detecci6n en la que participaron una muestra aleatoriade 650 individuos con la. enfermedad y una segunda muestt:a aleatoria independiente de 1200 individuos sin la enfermedad.

Enfermedad

Resultado del examen Presente .Ausente

Positivo 490 70

Negativo 160 1130

a) Calcule la sensibilidad de la prueba. b) Calcule la especificidad de la prueba. c) Si la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .002, ~cuaI es el valor que predice la positividad de la prueba? d) ms una estimaci6n satisfactoria 650/1850 de la tasa de la enfermedad en la poblaci6n general? Explique su respuesta.

22. La sensibilidad de una prueba de detecci6n es de .95 y su especificidad es .85. La tasa de la enfermedad para la que utiliz6la prueba es de .002. ~Cmll es el valor que predice la positividad de la prueba?

BmUOGRAFiA

Bibliografia de metodologia 1. Allan Gut, An Intermediate Course in Probability, Springer-Verlag, New York. 2. Richard Isaac, The Pleasures ofProbability, Springer-Verlag, New York. 3. Harold J. Larson, Introduction to Probability, Addison-Wesley, Reading, MA. 4. L. J. Savage, Foundations ofStatistics, Segunda edici6n revisada, Dover, New York. 5. A. N. Kolmogorov, Foundations ofthe Theory ofProbability, Chelsea, New York. (Edici6n original

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82 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA

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