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capitulo 4 a optica fisica - Ciencias Exactas CSJIC · OPTICA FISICA El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los fenómenos

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    CAPITULO 4

    OPTICA FISICA El principio de propagacin rectilnea de la luz ha sido fundamental para la descripcin de los fenmenos analizados en el captulo anterior dedicado a la ptica geometrica; gracias a ese

    principio hemos podido reemplazar las ondas luminosas con los rayos que representan las

    direcciones de propagacin de los frentes de onda y hemos podido obtener relaciones sencillas

    que dan cuenta, con buena aproximacin, del comportamiento de algunos sistemas pticos.

    Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi haba observado que la luz tena la capacidad

    de bordear obstculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la

    superficie de un estanque; este hecho contradeca el principio de propagacin rectilnea y reforzaba la teora acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.

    Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en el cual la luz procedente

    de una fuente puntual se hace incidir sobre una pantalla en la cual se haya abierto una ranura. Mientras la ranura sea bastante amplia, sobre otra pantalla paralela a la primera se formar una

    franja iluminada que puede correctamente interpretarse como la proyeccin geomtrica de la

    ranura (Figura 4.1); tambin podr observarse que dicha franja iluminada vara su anchura

    segn la ranura se haga ms amplia o ms estrecha.

    Ocurre sin embargo que si la ranura se hace muy estrecha entonces la zona de iluminacin en

    la pantalla se ampla evidenciando as que, en este caso, la luz no se propaga en forma

    rectilnea; este fenmeno llamado difraccin se presenta cuando una onda (cualquiera que sea su naturaleza) se encuentra con obstculos cuyas dimensiones son comparables con la longitud

    de onda.

    Fenmenos como el descrito y otros que analizaremos en este captulo solamente pueden describirse utilizando un tratamiento ondulatorio; con relacin a los fenmenos conexos con la

    luz stos conforman esa parte de la fsica que normalmente se llama ptica fsica u

    ondulatoria.

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    Queda entonces claro que el fenmeno de la difraccin establece el lmite de aplicabilidad de

    las leyes de la ptica geomtrica porque sta se basa en el principio de propagacin rectilnea

    que es el que precisamente falla cuando los obstculos y/o rendijas que se interponen al paso de la luz tienen dimensiones comparables con su longitud de onda.

    4.1 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS

    Thomas Young, en el ao 1800, realiz el primer experimento tpicamente ondulatorio al

    producir interferencia entre las ondas generadas en dos rendijas.

    El aparato experimental, representado en la Figura 4.2, consista de una fuente de luz al frente de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas S S1 2, ; la superposicin de las

    dos ondas luminosas generadas en las dos rendijas producan una serie de franjas brillantes y

    oscuras (patrn de interferencia) sobre una pantalla paralela a las dos rendijas.

    El resultado del experimento de Young puede analizarse mediante un tratamiento ondulatorio

    y teniendo en cuenta el principio de Huygens, el cual establece que: "Cualquier punto sobre el

    cual llega una perturbacin ondulatoria se vuelve fuente secundaria de ondas".

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    Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vuelve fuente secundaria de una onda luminosa y cuando esta onda llega a las rendijas S S1 2, , stas a su vez generan

    las ondas que se superponen dando lugar al patrn de interferencia sobre la pantalla.

    Si las distancias SS 1 y SS 2 son iguales, las dos ondas cuando se generan en S S1 2, ,

    estn en fase entre s de manera que, cuando se superpongan, darn lugar a una franja oscura

    o brillante dependiendo de la diferencia de fase que ellas presenten en cada punto de la pantalla; esta diferencia de fase depender, entonces, nicamente de la diferencia entre los

    recorridos de las dos ondas.

    Con relacin a la Figura 4.3, supongamos que la pantalla sobre la cual se forma el patrn de interferencia est lo suficientemente alejada de las dos rendijas para que pueda pensarse que

    las dos ondas que se superponen en el genrico punto P tengan lneas de propagacin paralelas entre s, nuestro problema consiste en determinar las condiciones de iluminacin de

    un punto P cualquiera situado a la distancia x del centro 0 de la pantalla, donde 0 es el punto de interseccin del eje del segmento S S1 2 (eje ptico del sistema) con la pantalla.

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    Si los recorridos de las dos ondas generadas en las rendijas para llegar sobre el punto P son respectivamente r r1 2, , entonces, en el punto P , las dos ondas podrn escribirse as:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    y p a k r t

    y p a k r t

    1 1

    2 2

    = +

    = +

    sen

    sen

    (4.1)

    donde hemos supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial y la misma amplitud a ; esto ltimo es cierto si las dos rendijas S S1 2, tienen el mismo ancho.

    La perturbacin resultante en el punto P ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y p y p y p a k r t a k r t= + = + + +1 2 1 2sen sen

    De acuerdo con lo que hemos dicho, en el segundo captulo, acerca de la superposicin de dos

    ondas armnicas de la misma frecuencia, la perturbacin resultante es una onda armnica de la misma frecuencia de las dos ondas componentes cuya amplitud est dada por:

    A a2 2 24 2= cos (4.2)

    siendo la diferencia de fase entre las dos ondas que se superponen en el punto P , o sea: ( ) ( ) ( ) = + + = k r t k r t k r r2 1 2 1 (4.3)

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    132

    Teniendo en cuenta que la intensidad de iluminacin es proporcional al cuadrado de la

    amplitud, obtenemos:

    ( )I P i= 4 22.cos (4.4)

    relacin que nos dice que la iluminacin en cualquier punto P de la pantalla es cuatro veces la iluminacin producida por una sola de las rendijas multiplicada por cos2 2 ; este ltimo

    trmino implica que la iluminacin de la pantalla no es uniforme sino que vara de punto a punto de acuerdo con el valor del desfase entre las dos ondas componentes. Por supuesto que en promedio la iluminacin es 2 i . La Figura 4.4 ilustra la variacin de la iluminacin

    con los valores de .

    Evidentemente habr mxima iluminacin, es decir interferencia constructiva, en los puntos en los que resulte cos2 2 1 = o sea = 2n , mientras habr mnima iluminacin (en este caso ( )I P = 0 ), o sea interferencia destructiva, en los puntos para los cuales cos2 2 0 = o sea ( ) = +2 1n , en ambos casos con n = 0 1 2, , .....

    Teniendo en cuenta la ecuacin (4.3) vemos que:

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    a) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido

    r r n2 1 = (4.5)

    n = 0 1 2, , ....

    habr interferencia constructiva.

    b) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido

    ( )r r n2 1 2 1 2 = +

    (4.6)

    n = 0 1 2, , ....

    habr interferencia destructiva.

    Las relaciones (4.5), (4.6) nos permiten entonces hacer previsiones acerca de las condiciones

    de iluminacin de cualquier punto de la pantalla cuando para cada uno de esos puntos determinemos la diferencia de recorrido entre las dos ondas componentes.

    Podemos hacer ese clculo con algunas aproximaciones; con relacin a la Figura 4.3, habiendo

    supuesto la pantalla muy alejada de las dos rendijas y por lo tanto la trayectoria de las dos ondas paralelas entre s, la diferencia de recorrido entre las dos ondas que llegan al punto P , identificado a travs de su distancia con respecto al centro 0 de la pantalla o a travs del ngulo entre el eje ptico del sistema y la direccin FP paralela a las trayectorias de las dos ondas, est dada por: r r S M d2 1 2 = = sen

    donde d es la distancia entre las rendijas S S1 2, . Dado que la distancia D entre las

    rendijas y la pantalla es muy grande, el ngulo es pequeo y por lo tanto:

    sen =tan xD

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    de manera que:

    r r d xD2 1

    = . (4.7)

    Teniendo en cuenta las relaciones (4.5), (4.6) podemos concluir, de acuerdo con nuestras

    aproximaciones, que las franjas brillantes estarn localizadas, en la pantalla, a las distancias

    del centro:

    x n Dd

    nnB = = ; , , ....0 1 2 (4.8)

    mientras las franjas oscuras estarn localizadas (con respecto a 0 ) a las distancias:

    ( )x n Dd

    nn0 2 1 20 1 2= + = ; , , .... (4.9)

    De lo anterior se deduce que en el centro 0 de la pantalla estar localizada la franja brillante central mientras las dems franjas brillantes estarn separadas entre s por la distancia

    x DdB

    = ; entre dos franjas brillantes consecutivas estarn localizadas las franjas oscuras,

    tambin separadas por la distancia x Dd0

    = .

    La Figura 4.5 ilustra estos resultados y resuelve el problema propuesto que consista en la determinacin de las condiciones de iluminacin en cualquier punto de una pantalla dispuesta paralelamente a las dos rendijas S S1 2, .

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    4.1.1 Superficies nodales y ventrales.

    Las ecuaciones (4.5), (4.6) que expresan las condiciones de interferencia constructiva o

    destructiva y que hemos utilizado para encontrar, con aproximaciones, la iluminacin en los

    diferentes puntos de una pantalla lejana, pueden ahora utilizarse para determinar las condiciones de iluminacin en cualquier punto del espacio en el cual las dos ondas generadas

    en las dos rendijas (que vamos ahora a suponer puntuales) se superponen.

    De hecho la ecuacin (4.5) nos dice (por ejemplo!) que, para saber si un punto P cualquiera del espacio estar iluminado, basta calcular las distancias r r1 2, de este punto a las dos fuentes puntuales S S1 2, y verificar que la diferencia entre estas dos distancias r r2 1

    sea un mltiplo entero de la longitud de onda de la luz empleada.

    Lo anterior sugiere que hay un conjunto de puntos, en el espacio, en los cuales las dos ondas interfieren constructivamente; este conjunto est determinado por la condicin:

    r r n n2 1 0 1 2 = = ; , , , .... (4.10)

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    Estos puntos de mxima iluminacin son aquellos que estn distribuidos sobre las superficies

    de los hiperbolides pertenecientes a la familia descrita por la ecuacin (4.10); evidentemente

    hay un hiperboloide para cada valor de n siendo el primero un hiperbolide degenerado, en el sentido que para n = 0 se obtiene r r2 1 0 = que corresponde a un plano perpendicular al segmento S S1 2 y que pase por el punto medio F .

    Los dems hiperbolides corresponden a los diferentes valores de n y corresponden a las superficies cuyos puntos estn a las distancias r r1 2, de las dos fuentes puntuales S S1 2,

    cuya diferencia est dada por:

    r r2 1 = para n = 1

    r r2 1 2 = para n = 2

    r r2 1 3 = para n = 3

    y as sucesivamente.

    El valor de n que identifica cada uno de los hiperbolides se llama orden de interferencia y los hiperbolides sobre cuyas superficies estn distribuidos los puntos en los cuales se produce

    la interferencia constructiva (es decir se presenta la mxima iluminacin) constituyen las llamadas superficies ventrales.

    La Figura 4.6. muestra algunas de esas superficies ventrales y el corte de ellas con un plano que contenga las fuentes S S1 2, ; sobre ese plano pueden identificarse unas hiprbolas que

    unen los puntos en los cuales se produce interferencia constructiva y constituyen por lo tanto

    las lneas ventrales.

    De igual manera la (4.6) corresponde al lugar geomtrico de los puntos del espacio en los cuales las dos ondas interfieren destructivamente; se trata de otra familia de hiperbolides

    cada uno de los cuales se identifica por medio del valor de n , el primero de los cuales tiene ecuacin:

    r r2 1 2 =

    para n = 0

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    luego estn los otros: r r2 1 3 2 =

    para n = 1

    r r2 1 3 2 = para n = 2

    y as sucesivamente.

    Estos hiperbolides intercalados a los que contienen los puntos de interferencia constructiva

    constituyen las llamadas superficies nodales, el corte de estas superficies con un plano que contenga las fuentes puntuales S S1 2, genera unas hiprbolas que unen los puntos de

    interferencia destructiva o sea las lneas nodales.

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    4.1.2 Coherencia espacial y temporal.

    Las ecuaciones (4.5), (4.6) que definen las condiciones de interferencia en cada punto del

    espacio en el cual se superponen las dos ondas luminosas generadas en las fuentes puntuales S1 y S2 nos dicen que la interferencia es constructiva o destructiva segn la diferencia de

    recorrido de las dos ondas sea un mltiplo de la longitud de onda , o un mltiplo impar de la semilongitud de onda. Sin embargo, cul es la longitud de onda que debe considerarse?.

    Como se ha visto en el Captulo 3, aunque la luz visible constituya una pequea porcin del espectro electromagntico, a esta porcin apartienen en todas las ondas e.m. que tengan longitudes de onda (en el vaco) comprendidas en el intervalo 4 000. 7 000. , asociando a cada longitud de onda un diferente color.

    Un haz de luz que contenga todas las longitudes de onda de la regin del visible se define

    como un haz de luz blanca y puede separarse en sus colores componentes, p.e. a travs de un

    prisma. Si bien la interferencia en luz blanca puede observarse, el patrn que se obtiene

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    resulta algo difuso y presenta coloraciones en todas las franjas excepto en la franja brillante

    central, la cual aparece perfectamente blanca.

    Para la mejor observacin de un patrn de interferencia es preferible, por lo tanto, utilizar una fuente monocromtica o sea una fuente que emita una sola longitud de onda y por lo tanto

    luz de un solo color.( 1 ) De esta manera se evita que en cierto punto de espacio en el cual una

    determinada longitud de onda interfiera destructivamente haya otra longitud de onda que

    interfiera constructivamente y otras que produzcan condiciones intermedias de iluminacin, situacin sta que obviamente dificulta el anlisis del patrn de interferencia.

    Una fuente de luz estrictamente monocromtica se dice entonces que presenta las

    caractersticas de coherencia espacial.

    Una fuente apta para realizar experimentos de interferencia debe adems satisfacer otra

    condicin fundamental que es la de coherencia temporal.

    En el anlisis del experimento de doble rendija de Young hemos supuesto que las ondas secundarias que se generan en S S1 2, tenan la misma fase inicial (situacin que se logra cuando las distancias SS1 y SS 2 son iguales y el medio de propagacin es istropo) y

    que, por lo tanto, la diferencia de fase entre las dos ondas, en un punto P cualquiera, dependiera nicamente de la diferencia de recorridos .

    La condicin de igualdad de las fases iniciales no es necesaria pero, para que la interferencia

    sea observable, s es necesario que la diferencia de fase entre las dos ondas componentes sea

    estable en el tiempo.

    Si la diferencia de fase entre las dos ondas, que se superponen en un punto P , es variable en el tiempo, ocurre que las condiciones de iluminacin en ese punto varan tambin en el tiempo

    lo que implica un desplazamiento de todo el sistema de franjas oscuras y brillantes que

    conforman el patrn de interferencia y si esta variacin de las condiciones de iluminacin es

    ( 1 ) Existen varios metodos para obtener luz monocromtica, el ms sencillo de los cuales

    consiste en colocar al frente de una fuente de luz blanca un filtro que transmite nicamente luz de un solo color (una sola longitud de onda).

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    rpida (ms de 10 veces por segundo) nuestros ojos no alcanzan a percibir las condiciones de

    interferencia instantneas sino que percibiremos la iluminacin promedio.

    Esto es precisamente lo que ocurre cuando en una habitacin encendemos dos bombillos; las ondas luminosas emitidas por los dos bombillos se superponen produciendo franjas de

    interferencia, sin embargo, debido a la rpida variacin de las fases de las dos ondas, las

    condiciones de iluminacin varan muy rpidamente en cada punto de la habitacin haciendo

    imposible la deteccin de las franjas de interferencia. Se dice que en este caso la interferencia no es observable; por esta razn, si se utilizan fuentes convencionales, la

    interferencia es observable si, y slo si, se desdobla una sola fuente.

    Dos fuentes que emitan ondas que presenten entre s una diferencia de fase constante y que por lo tanto pueden producir interferencia observable, se dice que presentan, entre s,

    coherencia temporal.

    4.2 INTERFERENCIA EN PELICULAS DELGADAS

    Otro mtodo para obtener dos fuentes coherentes desdoblando una sola fuente y producir

    interferencia observable consiste en hacer reflejar un haz de luz sobre las dos caras de una pelcula delgada.

    Supongamos tres medios de ndices de refraccin n n n1 2 3, , separados por superficies planas y supongamos que el medio de ndice de refraccin n2 tenga un espesor e pequeo.

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    Los haces 1 y 2 reflejados por la pelcula de ndice de refraccin n2 son paralelos entre s

    (Figura 4.8), por lo tanto , si a partir del punto C trazamos la perpendicular a su comn direccin, podemos suponer que en adelante ellos tienen el mismo recorrido, de manera que la

    diferencia de fase que presentarn depender nicamente del hecho que mientras el haz 2 recorre la trayectoria AB BC+ en el medio de ndice de refraccin n2 el haz 1 recorre la trayectoria AH en el medio de ndice de refraccin n1 .

    Dado que estas trayectorias se recorren en medios diferentes, debemos reducirlas (para compararlas) a las correspondientes trayectorias en el vaco, es decir a caminos pticos. La

    diferencia de camino ptico entre los dos haces ser entonces:

    ( ) = + n AB BC n AH2 1 (4.11)

    Si prolongamos el rayo BC hacia el medio de ndice de refraccin n3 hasta que cruce en

    D la normal a las superficies en la pelcula pasante por A encontramos fcilmente que AB BD BC= = y tambin AG GD e= = de manera que:

    AB BC DB BC DC+ = + = (4.12)

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    142

    Si a partir de A trazamos la perpendicular a la direccin DC y llamamos F al pie de esa perpendicular, obtenemos:

    DC DF FC AB BC= + = + (4.13)

    y reemplazando en la (4.11):

    = + n DF n FC n AH2 2 1. . . (4.14)

    Ahora bien, en los tringulos rectngulos ACH y ACF podemos establecer las siguientes relaciones:

    AH AC.sen 1 = FC AC.sen 2 = lo que implica que: AH FC.sen .sen 1 2= (4.15)

    Escribimos la Ley de Snell para la refraccin que se produce en el punto A : n n1 1 2 2sen sen = y comparamos con la ecuacin (4.15):

    FCAH

    nn

    = 21

    o sea n FC n AH1 2= (4.16)

    reemplazamos esta ltima relacin en la (4.14) y obtenemos:

    = n DF2 . (4.17)

    Analizando el tringulo rectngulo ADF : DF AD= .cos 2 , es decir: DF e= 2 2.cos , y por lo tanto:

    = 2 2 2n e. .cos (4.18)

    Esta es entonces la diferencia de camino ptico entre las dos ondas reflejadas por las dos caras

    de la pelcula delgada.

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    143

    Las condiciones de interferencia entre estas dos ondas pueden determinarse teniendo en cuenta

    que debe sumarse a la diferencia de fase producida por la diferencia de camino ptico aquella

    que puede presentarse en las reflexiones en los puntos A y B , de acuerdo con lo dicho en la seccin 1.10.

    As por ejemplo, la onda 1 presenta desfase con respecto a la onda incidente si n n2 1> y la onda 2 presenta desfase con respecto a la onda incidente si n n3 2> ; esto implica que el

    desfase entre las ondas 1 y 2 reflejadas est dado por: 0 si ninguna de las ondas 1 y 2 (o ambas) presenta desfase por reflexin. = +k. Si una de las dos ondas 1 y 2 presenta desfase por reflexin. Si suponemos que la onda incidente sea aproximadamente normal a la superficie o sea 1 0 , tendremos tambin 2 0 lo que implica cos 2 1 y las condiciones de

    interferencia pueden escribirse as:

    2N interferencia constructiva 2 2 2

    . .n e + eventual desfase por reflexin =

    ( )2 1N + interferencia destructiva con N = 0 1 2 3, , , ......

    Esta relacin nos permite calcular para cuales espesores de la pelcula delgada se presenta interferencia constructiva o destructiva.

    Por ejemplo, si no debe sumarse el desfase por reflexin porque ninguna de las dos ondas reflejadas (o ambas) presenta desfase tendremos:

    Espesores eNB de interferencia constructiva: eN

    nNNB = =

    2

    0 1 22

    ; , , , .... (4.19)

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    144

    Espesores eN0 de interferencia destructiva: ( )e N

    nNN0

    2 14

    0 1 22

    =+

    =

    ; , , ... (4.20)

    Si solamente una de las dos ondas reflejadas presenta desfase tendremos:

    Espesores eNB de interferencia constructiva: ( )e N n NNB = + =2 1 4 0 1 22 ; , , , .... (4.21)

    Espesores eN0 de interferencia destructiva: eN

    nNN0 2

    0 1 22

    = = ; , , ... (4.22)

    Dado que en estas relaciones aparece la longitud de onda , para cada longitud de onda se tendr una gama de espesores de la pelcula para los cuales se presenta mxima iluminacin u oscuridad. Si utilizamos, por ejemplo, una luz de longitud de onda , la pelcula mirada en luz reflejada aparecer del color asociado a esa longitud de onda en las zonas en las que su

    espesor sea uno de los que satisfacen la relacin (4.19) o (4.21), segn el caso.

    4.3 ANILLOS DE NEWTON

    El fenmeno de la interferencia en pelculas delgadas es de frecuente observacin en la vida cotidiana; los brillantes colores de las burbujas de jabn o los colores que presentan las

    manchas de aceite que flotan sobre un charco de agua son los ejemplos ms comunes de este

    tipo de interferencia.

    Sin embargo efectuar experimentos cuantitativos, en estos casos, presenta alguna dificultad

    que puede resolverse utilizando un aparato de anillos de Newton( 1 ) en el cual el espesor de la

    pelcula puede determinarse en cada punto a travs de una simple relacin matemtica.

    ( 1 ) Este aparato diseado por Newton permiti determinar los espesores para los cuales se

    presentaban los diferentes colores analizando luz reflejada y luz transmitida; estos resultados le obligaron a asignar propiedades peridicas (longitudes de accesos de fcil reflexin o transmisin) a los corpsculos luminosos que, segn su teora, constituan el haz de luz.

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    145

    El aparato de anillos de Newton est constituido por una lente plano-convexa puesta sobre una

    lmina plana; la pelcula en la cual ocurre la interferencia est constituida (en este caso) por el

    aire u otra sustancia que queda atrapada entre la superficie esfrica de la lente y la superficie

    plana de la lmina.

    . Debido a la forma geomtrica del aparato, el espesor de la pelcula atrapada entre la lente y la

    lmina plana aumenta con la distancia r con respecto al punto de contacto central 0 y puede calcularse fcilmente en cada punto de la pelcula cuando se conozca el radio de curvatura R de la superficie esfrica de la lente plano-convexa.

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    146

    Con relacin a la Figura 4.10:

    CK KP CP2 2 2+ =

    ( )R e r R + =2 2 2 de donde, desechando el trmino e2 , que es un infinitesimo del segundo orden:

    e rR

    =2

    2 (4.23)

    Evidentemente en todos los puntos situados a la misma distancia r con respecto al punto de contacto 0 , la pelcula tendr el mismo espesor; de manera que los lugares geomtricos de los puntos en los cuales la pelcula tiene el mismo espesor sern crculos con centro en 0 .

    Dado que, como hemos visto, las condiciones de interferencia dependen del espesor de la

    pelcula, las franjas de interferencia constructiva y destructiva sern circulares con centro en

    0 .

    Consideremos entonces una pelcula de una sustancia de ndice de refraccin n atrapada entre la lente y la lmina que supondremos de vidrio de ndice de refraccin nv .

  • 147

    147

    La luz incidente genera dos ondas reflejadas en los puntos A y B situados en las interfases entre la lente y la pelcula y entre la pelcula y la lmina plana; supongamos sea e el espesor de la pelcula, podemos determinar las condiciones de interferencia teniendo en cuenta que, cualquiera que sea el valor de n , entre las dos ondas reflejadas se presenta un desfase por reflexin. ( 1 )

    Esto quiere decir que, en ese punto de la pelcula, habr interferencia constructiva si el espesor

    satisface la condicin (4.21):

    ( )e Nn

    N= + =2 14

    0 1 2 3 ; , , , .... (4.24)

    ( 1 ) Las dos ondas reflejadas presentan entre s siempre un desfase dado que si n n<

    la onda 2 se desfasa con respecto a la onda incidente cuando se refleja en B , mientras la onda 1 no sufre desfase por reflexin; viceversa si n n> la onda 1 se desfasa con respecto a la onda incidente cuando se refleja en A mientras la onda 2 no sufre desfase por reflexin.

  • 148

    148

    mientras se presentar interferencia destructiva si:

    e Nn

    N= =2

    0 1 2 3; , , , .... (4.25)

    Lo anterior implica que, para cada longitud de onda hay aun conjunto de espesores que satisfacen las relaciones (4.24), (4.25) y por lo tan to un conjunto de crculos brillantes

    separados por crculos oscuros.

    Los radios de estos crculos brillantes u oscuros pueden calcularse fcilmente combinando la

    relacin (4.23) con las (4.24), (4.25); as los crculos brillantes tendrn radios dados por:

    ( )r R N

    nNNB =

    +=

    .; , , , ...

    2 12

    0 1 2

    (4.26)

    mientras los radios de los crculos oscuros sern:

    r R Nn

    NN0 0 1 2 3= =. . ; , , , .... (4.27)

    4.4 DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA

    Hemos dicho, en la introduccin de este captulo, que el principio de propagacin rectilnea de la luz se cumple mientras los obstculos o las aberturas que se oponen a su propagacin

    sean grandes en comparacin con la longitud de onda, cuando esto no ocurre se produce el

    fenmeno de la difraccin o sea la desviacin de la luz de su propagacin rectilnea.

    Un sencillo, pero muy diciente, experimento que puede realizarse para ilustrar este fenmeno,

    consiste en interponer una rendija estrecha al paso de la luz proveniente de una fuente puntual

    y analizar luego la luz que esta abertura proyecta sobre una pantalla.

  • 149

    149

    Con un aparato como el ilustrado en la Figura 4.11 podr observarse sobre la pantalla un

    conjunto de franjas brillantes y oscuras, que conforman el llamado patrn de difraccin

    producido por una rendija.

    El patrn de difraccin presenta una franja central relativamente ancha y brillante y, a ambos

    lados, otras franjas brillantes de intensidad decreciente (ver Figura 4.13):

  • 150

    150

    Con relacin a la Figura 4.13 es preciso aclarar que existen dos clases de difraccin

    producidas por una rendija:

    a) Difraccin de Fresnel que se presenta cuando las distancias D1 y/o D2 son finitas.

    b) Difraccin de Fraunhofer que se presenta cuando las distancias D1 y D2 son infinitas.

    Analizaremos aqu nicamente la difraccin de Fraunhofer, teniendo en cuenta que ste puede

    obtenerse con aparatos de dimensiones finitas utilizando oportunamente las propiedades

    focales de las lentes que se han expuesto en el captulo anterior; para tal fin, como se ilustra

    en la Figura 4.14, basta colocar una lente convergente entre la fuente puntual y la rendija de manera que la fuente est en el foco de la lente y otra lente convergente entre la rendija y la

    pantalla de manera que sta coincida con el plano focal de la lente.

  • 151

    151

    El anlisis de la difraccin de Fraunhofer se realiza suponiendo que cada punto, al interior de

    la rendija, sobre el cual llega la perturbacin se convierte en fuente secundaria de la

    perturbacin, de manera que las condiciones de iluminacin en cada punto de la pantalla

    queden determinadas por la superposicin de las ondas elementales generadas por los diferentes puntos de la rendija.

    Supongamos entonces que la rendija de ancho b se divida en infinitas rendijas de ancho infinitsimo dx en cada una de las cuales se genera una onda secundaria que se propaga hacia el punto P genrico de la pantalla.

    Dado que la distancia a la pantalla es infinita, en el punto P llegan infinitas ondas cuyas direcciones de propagacin son paralelas entre s y cuyas amplitud son todas iguales porque

    todas las rendijas tienen el mismo ancho infinitsimo dx .

    Si indicamos con da la amplitud infinitsima de cada una de las ondas generadas en las rendijas de ancho infinitsimo dx y con r r r rn1 2 3, , ... , .... los recorridos de estas ondas

    para llegar al punto P de la pantalla, podemos escribir esas perturbaciones (en el punto P ) de la siguiente manera:

  • 152

    152

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    y P da k r ty P da k r ty P da k r t

    y P da k r tn n

    1 12 23 3

    = = =

    =

    .sen

    .sen

    .sen

    .sen

    M M M

    ( )

    r r dxr r dxr r dx

    r r n dxn

    2 13 14 1

    1

    23

    1

    = += += +

    = +

    .sen.sen.sen

    . .sen

    M M M

    M M M

    Poniendo k dx. .sen = podemos escribir las ecuaciones de las ondas que se superponen

    en el punto P as:

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )[ ]

    y P da k r ty P da k r ty P da k r ty P da k r t

    y P da k r t nn

    1 12 13 14 1

    1

    23

    1

    = = += += +

    = +

    .sen

    .sen

    .sen

    .sen

    .sen .

    M M

    M M M

    de manera que la perturbacin resultante, en el punto P , ser:

    ( ) ( ) ( ) ( )y P y P y P y Pn= + + + =1 2 ..... .....

    ( )[ ]= +

    n da k r t n1

    1 1.sen (4.28)

    Esta relacin muestra que la perturbacin resultante es la suma de infinitas ondas de amplitudes infinitsimas, cada una de las cuales presenta un desfase con respecto a la anterior.

  • 153

    153

    Si utilizamos el mtodo de fasores para determinar la resultante, debemos entonces representar infinitos vectores de mdulo infinitsimo cada uno formando un ngulo con el anterior (Figura 4.16).

    El conjunto de estos vectores infinitsimos conforma evidentemente un arco de circunferencia DE y la amplitud de la onda resultante Ap ser igual a la longitud de la cuerda DE .

    Si C es el centro de la circunferencia a la que pertenece el arco DE y su radio, podemos

    calcular la longitud de la cuerda DE teniendo en cuenta que el ngulo al centro que se abre sobre el arco DE es igual al ngulo entre el primero y el ltimo de los vectores que conforman el arco, es decir, es igual a la diferencia de fase entre las ondas emitidas en el

    extremo superior A y en el extremo inferior B de la rendija. Es obvio, por lo tanto, que = k b. .sen . Con relacin a la Figura 4.16, obtenemos:

    A DE DFp = = =2 2 2. .sen

    (4.29)

    Por otra parte: DE : : = 2 2 , de manera que:

  • 154

    154

    =DE

    (4.30)

    En el centro 0 de la pantalla todas las ondas elementales que se generan en las infinitas rendijas infinitsimas de ancho dx llegan recorriendo exactamente la misma trayectoria, de manera que, en el punto 0 , todas esas ondas llegan en fase y la amplitud de la onda resultante tendr su mximo valor A0 que es evidentemente igual a la suma de las amplitudes de las ondas componentes o sea A0 tiene mdulo igual a la longitud del arco DE .

    Reemplazando en la (4.30) y luego en la (4.29):

    A A Ap = =2 22

    20

    0

    .sen . sen (4.31)

    Esta ecuacin nos dice que la amplitud de la perturbacin resultante en cualquier punto P de

    la pantalla es igual a la amplitud en el centro 0 multiplicada por sen 2

    2 , donde

    = 2 . senb .

    Si ponemos u b= =

    2

    sen , la ecuacin (4.31) puede escribirse:

    A A uup

    = 0 .sen

    (4.32)

    o elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud, podemos obtener la iluminacin en cualquier punto P de la pantalla en funcin de la iluminacin en el punto central:

    I I uup

    =

    0

    2. sen (4.33)

    los mximos de iluminacin corresponden, evidentemente, a los mximos y mnimos para la

    amplitud y estos pueden determinarse bajo la condicin:

  • 155

    155

    d A

    duA u u u

    up =

    =0 2 0

    cos sen

    que se satisface cuando u u ucos sen = 0 o sea cuando:

    u tan u= (4.34)

    Esta ltima es una ecuacin trascendente cuyas soluciones podemos determinar, con buena aproximacin, por va grfica mediante las intersecciones de la recta y u= con la grfica de la funcin y tan u= .

  • 156

    156

    La Figura 4.17 reporta las grficas de la amplitud Ap de la perturbacin resultante y de la intensidad de iluminacin I p para cualquier punto P de la pantalla; el anlisis comparativo

    de las Figuras 4.17, 4.13 demuestra como la relacin 4.33 describe satisfactoriamente los

    resultados experimentales.

  • 157

    157

    Cabe anotar que en el punto central de la pantalla se presenta la mxima iluminacin( 1 ) . y

    que las intensidades de las franjas brillantes laterales va disminuyendo a medida que nos

    alejamos del centro de la pantalla.

    Las franjas oscuras que separan las franjas brillantes estn localizadas, evidentemente, en las posiciones en las cuales Ap = 0 ; de acuerdo con la 4.32 los mnimos de difraccin estn

    dados por la condicin: sen u = 0 , es decir:

    u n n= = ; , , , ...1 2 3 (4.35)

    y teniendo en cuenta la expresin explcita de u :

    sen ; , , , .... n n bn= = 1 2 3 (4.36)

    ecuacin que permite calcular los ngulos n bajo los cuales se veran las franjas oscuras

    situndose en el punto central M de la rendija de difraccin.

    ( 1 ) Esto ocurre porque para el punto central de la pantalla = 0 de manera que

    u b= =

    sen 0 y por lo tanto sen uu

    = 1 , lo que implica I Ip = 0 . Desde el

    punto de vista fenomenolgico este resultado es obvio, dado que, en el punto central de la pantalla, todas las ondas secundarias, emitidas por las infinitas rendijas de ancho infinitsimo dx mediante las cuales se ha dividido la rendija de ancho b , llegan habiendo recorrido trayectorias de igual longitud y por lo tanto estn todas en fase entre s, dando as lugar a la mxima amplitud para la perturbacin resultante.