CAPITULO 4 ESTABILIDAD - Diego Patino's Web Pagediegopat.ueuo.com/presentaciones/semana_12_lin.pdf · · 2013-04-15describe el efecto de perturbaciones en las entradas sobre el

CAPITULO 4 ESTABILIDAD

Ing. Diego Alejandro Patiño G. M. Sc., Ph. D.

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Estabilidad

Cada punto donde la bola se puede detener es un punto de equilibrio.A y F: puntos inestables: un cambio infinitesimal en la posición lleva a lo bola a otra posición final.E y G: puntos estables: un cambio infinitesimal en la posición aleja a la bola pero

retorna a la misma posición original.C: un cambio infinitesimal en la posición lleva a la bola a una nueva posición de equilibrio: es un punto neutralmente estable

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Estabilidad

Cuando las perturbaciones son infinitesimales se define Estabilidad Local. Cuando son grandes se defineEstabilidad GlobalPara el punto E un desplazamiento amplio puede llevar a la bola a otro punto de equilibrio: la estabilidad depende del tamaño del disturbio.Si la superficie S cambia con el tiempo es necesario evaluar la estabilidad para cada t.Si la superficie S no cambia con el tiempo se puede evaluar la estabilidad uniforme para todo t.

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EstabilidadLa estabilidad de un sistema puede pensarse como una continuidaden su comportamiento dinámico. Si se presenta un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales, un sistema estable presentarámodificaciones pequeñas en su respuesta perturbada. Por otro lado, en un sistema inestable cualquier perturbación, por pequeña que sea, llevará a los estados y/o las salidas a crecer sin límite o hasta que el sistema se salga de rango dinámico, se desintegre o se queme.

La estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas dinámicos destinados a realizar operaciones o procesar señales, y es lo primero que debe garantizarse en el diseño de un sistema de control.

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EstabilidadComo la respuesta de los sistemas dinámicos lineales se descompone en la respuesta a estado cero y respuesta a entrada cero, se puede hablar de dos “tipos” de estabilidad:

● Estabilidad Externa, o Entrada/Salida, se refiere a la estabilidad del sistema con condiciones iniciales nulas. La estabilidad externa describe el efecto de perturbaciones en las entradas sobre el comportamiento dinámico de la salida del sistema.

● Estabilidad Interna, se refiere a la estabilidad del sistema autónomo (sin entradas). La estabilidad interna describe el efecto de perturbaciones en las condiciones iniciales sobre comportamientodinámico de los estados del sistema.

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EstabilidadLa estabilidad interna del sistema depende únicamente de las condiciones iniciales x(0) = x0 . No se aplica entrada externa.

La estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias seguidas por los estados del sistema hacia puntos de operación o de equilibrio del sistema.

En general se estudiará la estabilidad interna de sistemas descritos por la ecuación dinámica de estado:

)),(),(()( ttutxftx =&

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Estabilidad

),0,(0)( txftx e==&

Punto de Equilibrio: Un punto de equilibrio xe de un sistema es un vector constante tal que si x(0) = xe y u(t) = 0, entonces x(t) = xe para todo t ≥ 0.El punto de equilibrio es la solución en estado estable de la ecuación dinámica.

Para sistemas lineales la ecuación es estado estable:

excepto cuando la matriz A tenga valores propios nulos, existe un solo punto de equilibrio: el origen. Otros puntos de equilibrio están en el espacio nulo de A

eAx0(t)x ==&

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EstabilidadEjemplo. El sistema

La matriz A tiene un valor propio nulo y otro en 10. Se puede verificar que η(A) está generada por el vector

xe = [-3 1]T

Como la matriz A tiene un valor propio nulo, existen múltiples puntos de equilibrio a lo largo de la línea definida por el vector xe . Este es un conjunto de puntos de equilibrio no aislados

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EstabilidadLa dirección definida por xe es entonces un conjunto de equilibrios, es decir que hay infinitos puntos de equilibrio, en particular no aislados. El retrato de fase indica que cualquier condición inicial que no esté exactamente sobre la recta de equilibrios generada por el vector [-3 1]T

dará origen a una trayectoria que crecerá en forma ilimitada con t. Condiciones iniciales sobre la recta de equilibrios darán origen a trayectorias invariantes.

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Estabilidad

El sistema no lineal:

Haciendo x´(t) = - sen(xe) = 0, se obtiene xe = kπ, donde k = 0, ± 1, . . . Hay infinitos puntos de equilibrio aislados.

La definición de punto de equilibrio también es válida para sistemas no lineales, donde pueden existir varios puntos.

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EstabilidadEste tipo de estabilidad interna recibe el nombre del científico ruso Alexander Mikhailovich Lyapunov, quien realizó estudios pioneros en el tema a fines del siglo 19. Lyapunov introdujo por primera vez métodos que permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explícitamente las soluciones. La estabilidad en el sentido de Lyapunov hace hincapié en las propiedades de los puntos de equilibrio, y se basa en una generalización matemática del concepto de “energía” de sistemas mecánicos. Los métodos de Lyapunov pueden aplicarse a sistemas no lineales y no estacionarios.

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Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.

El (equilibrio del) sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si toda condición inicial finita origina una trayectoria acotada.Un punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el sentido de Lyapunov (ESL) si para cualquier ε > 0 existe un valor δ(t0, ε) >0 tal que:

0

0

tt t de nteindependie)()(>∀

<−⇒<− εδ ee xtxxtx

El punto de equilibrio es uniformemente estable en el sentido de Lyapunov (ESL) si δ(t0, ε) = δ(ε): la constante δ no depende del tiempo inicial t0

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En un sistema ESL un disturbio en la condición inicial menor de δ produce un vector de estado x(t) confinado a una distancia máxima ε de xe: para estabilidad el estado debe permanecer en las vecindades del punto de equilibrio.Cuando

Se dice que el punto de equilibrio es asintóticamente estable.

∞→→− tcuando 0)( extx

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Dependiendo del valor de δ se puede hablar de:Estabilidad local: δ pequeñoEstabilidad global: δ grande.

Si un punto de equilibrio es asintóticamente estable la trayectoria desde cualquier condición inicial tiende asintóticamente hacia ese punto.Para sistemas lineales todos los puntos de equilibrio son globales: o son puntos aislados o son subespacios invariantesPara sistemas no lineales existen múltiples puntos aislados y se pueden definir regiones de atracción alrededor de “atractors”

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Además de la estabilidad asintótica también se define exponencialmenteEstable:

ett

e xtxextx −≤− −− )()( 0)( 0λγ

Sistema LIT que es asintóticamente estable también es exponencialmenteEstable. No es necesariamente cierto para variantes y no lineales.


Teorema: para un sistema descrito por:La respuesta homogénea es ESL si y sólo si existe una constante

la matriz de transición de estados φ(t,t0) satisface la relación:

Si la constante κ no depende de t0 el punto de equilibrio es uniformemente estable.

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)()()( ttt xAx =&

00 t t que tal)( ≥∀∞<tκ

)(),( 00 ttt κ≤Φ

Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.El adjetivo uniforme se refiere a que no debe depender de la elección del tiempo inicial.

Ejemplo. La ecuación x´(t) = [4tsen(t) - 2t]x(t), x(t0) = x0 puede verificarse que tiene la solución

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Sin embargo, la ecuación de estado no es uniformemente estable. Con un estado inicial x0 fijo, la secuencia t0 = 2kπ, con k=0,1,2,. . ., y los valores de las correspondientes soluciones evaluadas π segundos más tarde:

Claramente, no hay cota del factor exponencial independiente de k, o sea que γ va a depender forzosamente de k, y así del tiempo inicial t0.

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Es fácil ver que para un t0 fijo, existe un γ tal que x(t) es acotada por γ||x0|| para todo t ≥ t0, dado que el término -t2 domina en el exponente cuando t crece.


Teorema: el origen del sistema descrito por es uniforme y asintóticamente estable

si y sólo si existen dos constantes κ1 > 0 κ2 > 0 tal que:

Una vez establecidos los teoremas para el caso general, el caso estacionario o invariante es más sencillo.

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)()()( ttt xAx =&

)(10

02),( ttett −−≤Φ κκ


El adjetivo uniforme se refiere a que κ1 > 0 κ2 > 0 son independientes de t0:

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Estabilidad – Invariantes

Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)es estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores propios de A tienen parte real no positiva, y aquellos con parte real cero son raíces simples del polinomio mínimo de A

Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen parte real negativa.

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Estabilidad – Invariantes

( ) 012 =+λλ

Ejemplo. Sea el sistema

Tiene un valor propio doble en 0 y uno simple en - 1. La ecuación característica es :

El polinomio mínimo es:

por lo tanto se concluye que el sistema es estable en el sentido de Lyapunov.

( ) 01 =+λλ

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Estabilidad – InvariantesPor su parte, el sistema

aunque tiene los mismos valores propios, pero esta vez el valor propio nulo está asociado a un bloque de Jordan de orden 2, y por lo tanto el sistema es inestable.

Ejemplo. Sea el sistema no estacionario

El polinomio característico de A(t) es

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por lo que A(t) tiene dos valores propios en λ�= -1 para todo t.

Estabilidad – Variantes

Puede verificarse que la matriz

satisface la condición

y es por lo tanto la matriz de transición de estados del sistema. Como el parámetro a12(t) de A(t) crece en forma ilimitada con t, el sistema no puede ser asintóticamente o Lyapunov estable.

A diferencia del caso estacionario, los valores propios de A(t) no son útiles para verificar la estabilidad.

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Estabilidad Variantes.

Estabilidad – Variantes

No se pueden hacer conclusiones basadas en la ubicación de los valores propios en un tiempo determinado:

1. Valores propios congelados en un t dado tienen todos parte real negativa: el sistema no necesariamente es estable.

2. Si los valores propios de A(t) + AT(t) tienen siempre parte real negativa el sistema es asintóticamente estable. Condición suficiente pero no necesaria.

3. Si todos los valores propios de A(t) + AT(t) tienen siempre parte real positiva el sistema es inestable.

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Estabilidad – Variantes4. Si algunos valores propios de A(t) tienen parte real positiva,

el sistema no necesariamente es inestable.5. Si los valores propios tienen parte real tal que:

y el sistema es suficientemente lento entonces es asintóticamente estable.

6. Si el sistema es suficientemente lento y tiene un valor propio positivo que nunca cruza el eje imaginario es inestable

Suficientemente lento significa que

tys ´ 0)Re( ∀∀<< λγλ

ν(t)A que talν ≤∃ &

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Método directo de Lyapunov

Parte del principio de conservación de energía y disipación.En un sistema aislado la respuesta depende únicamente de la energía inicial almacenada: si esta energía es decreciente el sistema es estable.Como no todos los estados de un sistema están asociados a energía el concepto se debe extender a una cantidad abstracta no negativa.Es una forma alternativa de verificar la estabilidad asintótica de x´(t) = Ax(t). En su forma general permite estudiar la estabilidad de sistemas no estacionarios o no lineales.

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Teorema: el origen de un sistema lineal variante con el tiempo descrito por:

Es estable en el sentido de Lyapunov si existe una función variante con el tiempo V(x,t) tal que se satisfacen:1ra condición:

La función γ1(x) debe ser función del estado x, no de t explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero cuando x = 0

)),(()( ttxftx =&

0 x cuando solamente 0 t)V(x, ty 0 x0)(),( 1

==∀≠∀>≥ xtxV γ

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2da Condición

La función γ2(x) debe ser función del estado x, no de t explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero cuando x = 0

ttxVtxf

xtxVtxV

dondextxV

∂∂

+∂

∂=

∀≠∀<−≤

),(),(),(),(

: ty 0 x0)(),( 2

&

& γ

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Teorema: el origen del sistema es uniformemente estable en el sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2 anteriores existe:

La función γ2(x) debe ser función del estado x, no de t explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual acero cuando x = 0

ty 0 x ),()(3 ∀≠∀≥ txVxγ

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Teorema: el origen del sistema es globalmente estable en el sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2 anteriores si:

Teorema: el origen del sistema es asintóticamente estable si además de la condición 1 , la condición 2 se establece comoCondición 2a:

∞→ x cuando ilimitada es ),( txV

ty 0 x0)(),( 2 ∀≠∀<−< xtxV γ&

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Condición 1 es equivalente a que la función V(x,t) sea Positiva definida.Condición 2 es equivalente a que la función V’(x,t) sea Negativa semidefinida.Condición 3 es equivalente a que la función V’(x,t) sea Negativa definida.Para sistemas lineales estos términos se usan en el mismo sentido de las formas cuadráticas ya definidas.

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Para sistemas invariantes con el tiempo:Toda la estabilidad es uniforme.Las funciones se clasifican como:V(ξ) es positiva definida si V(ξ) > 0 para todo ξ diferente de cero y V(0) = 0.V(ξ) es positiva semi definida si V(ξ) ≥ 0 para todo ξ diferente de cero y V(0) = 0.Una función V(ξ) es negativa definida si -V(ξ) es positiva definidaUna función V(ξ) es negativa semi definida si -V(ξ) es positiva semi definida

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Teorema: El origen de un sistema lineal e invariante con el tiempo es ESL si existe una función V(x) positiva definida tal que su derivada:

Es negativa semi definida. Si V’(x) es negativa definida, el origen es asintóticamente estable.

Para sistemas discretos la derivada se reemplaza por la primera diferencia:

)()()()( xfdx

xdVdtdx

dxxdVxV ==&

)),(()1),1((),( kkxVkkxVkxV −++=Δ

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Cuando V(x) y V’(x) existen se llaman funciones de Lyapunov.Los teoremas no definen las funciones, solamente las condiciones que deben cumplir.Sistemas lineales: generalmente son formas cuadráticasSistemas no lineales: se plantean funciones candidatas y se verifican las condiciones. Es un proceso de prueba y error.

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Teorema de LaSalle: dentro de la región del espacio de estado para el cual la derivada de la función de Lyapunov candidata es tal que V´(x) ≤ 0; sea Z el subconjunto del espacio de estado en el cual V’(x) = 0. Dentro de Z, sea M el mayor subespacio invariante. Entonces todo estado inicial se aproxima a M, aún si V es no positiva definida.

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No requiere que V(x,t) sea positiva definida.Pero al ser positiva definida se asegura la definición del conjunto Z.


Para sistemas lineales las formas cuadráticas satisfacen los requisitos de las funciones de Lyapunov.Para sistemas lineales la estabilidad es global y las formas cuadráticas cumplen con V(x) no limitado cuando Dado el sistema LIT descrito por:

∞→x

definida positiva simetrica Pcon )(

:Lyapunov de candidatafunción lay PxxxV

Axx

T=

=&

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La condición sobre la derivada:

Para satisfacer el teorema se necesita que la matriz:

Sea negativa definida para estabilidad asintótica y negativa semi definida para ESL

PA)xP(AxPAxxPxAxP(Ax)x Px (Ax)

xPxPxx

TT

TTT

TT

TT

+=

+=

+=

+=

)( &&& xV

( )PAPAT +

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Para alguna matriz Q positiva (semi) definida es suficiente demostrar que:

Si la matriz es no negativa nada ha sido demostrado.El teorema establece que si se encuentra la función de Lyapunov el sistema es estable.

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QPAPAT −=+


El teorema no establece que si la función falla el sistema es inestable.Si se escoge P positiva definida y se obtiene una Q indefinida NADA HA SIDO DEMOSTRADO.Pero si Q es negativa definida se puede demostrar inestabilidadEntonces se selecciona una Q positiva (semi) definida y se resuelva la ecuación para P

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Método directo de LyapunovTeorema: el origen de un sistema lineal invariante con el tiempo es asintóticamente estable si y solo si dada una matriz Q positiva definida, la ecuación matricial de Lyapunov tiene una solución P positiva definida:

QPAPAT −=+

Cómo asegurar que el origen es estable en sentido de Lyapunov?Para ello se necesita que al escoger una matriz Q positiva semidefinida, la ecuación matricial de Lyapunov tenga una solución P positiva definida:

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El origen del sistema es estable en el sentido de Lyapunov si y solo si dada una matriz Q positiva semidefinida , tal que

No es idéntica a cero cuando se evalúa sobre una trayectoria no nula de x’ = Ax, la ecuación matricial de Lyapunov tiene una solución P positiva definida.

QxxT

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EstabilidadCorolario. Todos los valores propios de la matriz A tienen partereal negativa si y sólo sí para cualquier matriz N m × n con m < n y la propiedad

la ecuación de Lyapunov

tiene una solución única simétrica y definida positiva P.

QNNPAPA TT −=−=+

Estabilidad

QPAPAT −=+

Teorema. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la ecuación de Lyapunov

tiene una solución única para cada Q que puede ser expresada como

Un resultado importante que se emplea en la demostración del Teorema de Lyapunov es el siguiente:

dtee ttT AA QP ∫∞

=0


Teorema: el origen el sistema lineal variante es INESTABLE si existe una función V(x,t) y una función del estado únicamente, continua y no decreciente, γ(x), tal que:

y se cumplen:1. V(0,t)= 0 para t≥ t0

2. V(x,t0 ) > 0 para cualquier punto arbitrariamente cercano al origen

3. Es positiva definida en una región arbitraria alrededor de origen

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y t x ),()( ∀> txVxγ

),( txV&

EstabilidadInvariancia frente a transformaciones de equivalencia

En el caso estacionario las propiedades de estabilidad, determinadas por los valores propios de A, son invariantes frente a transformaciones de equivalencia. En el caso no estacionario sabemos que esta propiedad no se conserva, ya es posible llevar la matriz A(t)a una matriz constante arbitraria Â mediante una transformación de equivalencia no estacionaria P(t). No obstante, para ciertas P(t), es posible hacer que las propiedades de estabilidad sean también invariantes en el caso no estacionario.

Transformación de Lyapunov. Una matriz n×n P(t) que es continuamente diferenciable e invertible en cada t se llama transformación de Lyapunov si existen constantes ρ y η tales que para todo t

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EstabilidadUna condición equivalente a la anterior es la existencia de una constante ρ tal que para todo t

es uniformemente (exponencialmente) estable si y sólo si la ecuación de estado

Teorema (Equivalencia y Estabilidad en Sistemas No Estacionarios). Supongamos que P(t) es una transformación de Lyapunov. Entonces la ecuación lineal

es uniformemente (exponencialmente) estable.

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Estabilidad discretos

Para el sistema discreto

En este sistema los equilibrios están definidos por los x tales que x[k + 1] = x[k],

es decir, (A - I)xe = 0. Como la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.

Para sistemas discretos el punto de equilibrio es el vector xe tal que:

exkxkx ==+ )()1(

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Estabilidad discretosSistemas Discretos:Las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y asintótica son las mismas para sistemas en tiempo discreto:

Teorema (Estabilidad Lyapunov para Sistemas Discretos). El sistema x[k + 1] = Ax[k] es:

● estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud no mayor que 1, y aquellos con magnitud igual a 1 son raíces simples del polinomio mínimo de A.

● asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de Atienen magnitud menor que 1.

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Para el sistema discreto

La función candidata:Axkx =+ )1(

( ) )()( )()()1()1(

)()1(),()()()(

kxPPAAkxkPxkxkPxkx

kVkVkxVkPxkxkV

TT

TT

T

−=

−++=

−+=Δ=

Estabilidad Discretos

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Para que la forma cuadrática V(k) sea una función válida la matriz:

Debe ser negativa definida.La ecuación discreta de Lyapunov es:

PPAAT −

QPPAAT −=−

Estabilidad Discretos

La función MATLAB lyap calcula la solución de la ecuación de Lyapunov continua, mientras que la función dlyap calcula la discreta.

Estabilidad DiscretosTeorema (Solución de la Ecuación de Lyapunov Discreta). Si todos los valores propios de la matriz A tienen magnitud menor que 1, entonces la ecuación de Lyapunov

tiene solución única para cada Q, y la solución puede expresarse en la forma

Aún cuando A tuviera valores propios con magnitud mayor que 1, la ecuación de Lyapunov tiene solución si se cumple

pero no puede expresarse en la forma anterior.

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QPPAAT −=−

( ) mm

m

T QAAP ∑∞

=

=0

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Estabilidad ExternaSea un sistema lineal, causal , relajado, estacionario , descrito por la ecuación de estado:

Se estudia la estabilidad externa del sistema con respecto a la familia de señales de entrada acotadas. Una señal de entrada dada u(t) se dice acotada si existe una constante positiva Mu tal que

Ejemplos de señales acotadas son u(t) = sen(wt), u(t) = te-t, o u(t) = -2.

)()()()()()()()()()(

tttttttttt

uDxCyuBxAx

+=+=&

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Estabilidad Externa

Un sistema es BIBO estable si para cualquier entrada limitada u(t), y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una

constante finita N(M,x0 t0 ) tal que

La estabilidad BIBO se refiere a una propiedad del sistema que sólo considera los efectos de la entrada sobre la salida, es decir, el comportamiento externo del sistema, independientemente de lo quepase con los estados.

Mtu ≤)(

0 tt )( ≥∀≤ Nty

Un sistema es BIBS estable si para cualquier entrada limitada u(t), y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una

constante finita N(M,x0 t0 ) tal que Mtu ≤)(

0 tt )( ≥∀≤ Ntx

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Estabilidad ExternaTeorema Un sistema es estable BIBO si y sólo si su respuesta impulso h(t) es absolutamente integrable en el intervalo [0,∞), es decir, existe una constante NH ≥ 0 tal que

H

t

NdtH ≤∫∞−

ττ ),(

La matriz de respuestas impulso está dada por:

)()()(),()(),( ττδτττ DBΦCH −+= tttt

La norma de la matriz de respuestas impulso se debe calcular empleando una de las definiciones ya estudiadas.

Estabilidad Externa

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El Teorema de Estabilidad BIBO es útil para una clase general de sistemas lineales. Sin embargo, para utilizarlo se debe tener larespuesta impulso del sistema para poder evaluar si es absolutamente integrable. Esta prueba puede no ser fácil de realizar.

Una función absolutamente integrable no necesariamente es acotada y puede no ir a cero cuando t → ∞. Un ejemplo de una función que es absolutamente integrable y no va a cero cuando t → ∞ es

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Estabilidad ExternaPara un sistema invariante ( o estacionario) la matriz de respuestas impulso se evalúa como:

Aplicando el teorema anterior:

DBCH )(),( )( τδτ τ −+= − tet tA

Si D es finita la integral del termino δ(t-τ)D es limitada y su contribución a la integral completa es simplemente aditiva.

H

ttA

t

NdDtBCedtH ≤−+= ∫∫∞−

−

∞−

ττδττ τ )(),( )(

H

ttA

ttA NBdeCdBCe ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫

∞−

−

∞−

− ττ ττ )()(

Estabilidad Externa

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La norma de la matriz de transición de estados también se emplea para estudiar la estabilidad en el sentido de Lyapunov.

Pero estabilidad BIBO y ESL NO son equivalentes: no se pueden despreciar los efectos de las matrices C y B: Si

)()( CNullBdet

tA ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∞−

−− ττ

Independiente del tamaño de la integral, al premultiplicarse por C el resultado será limitado:Un sistema que NO es ESL puede ser BIBO estable.Lo contrario si es cierto: un sistema asintóticamente estable es BIBO estable.

Estabilidad Externa

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Un sistema es BIBS si para toda entrada limitada, existe una constante Ns finita tal que:

tNdBt s

t

)()( ∀≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Φ∫

∞−

τττ

Para sistemas causales, de dimensión finita y LIT la aproximación en el domino de la frecuencia es más sencilla:

( ) }{ 11 −− −= AsILeAt

La demostración de acotamiento se puede hacer sobre:

( ) BAsICL }{ 11 −− −

Para que esta expresión sea acotada los polos deben estar en el semiplano izquierdo cerrado.

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Estabilidad Externa

Corolario: Estabilidad BIBO para Funciones Racionales y Propias. Un sistema SISO con una función transferencia racional y propia h(s) es BIBO estable si y sólo si todos los polos de h(s) tienen parte real negativa.

Pero como pueden existir entradas acotadas con frecuencias características imaginarias conjugadas, los polos de la expresión anterior deben estar en el semiplano izquierdo abierto.

DBAsICsH +−= −1)()(

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Estabilidad Externa

La estabilidad BIBO es la base del clásico concepto de respuesta en régimen permanente (estado estacionario) de un sistema lineal estacionario. Esta es la respuesta del sistema una vez extinguidos los transitorios originados en el momento que se aplica la señal de entrada.

El criterio de Routh – Hurwitz determina la estabilidad BIBO.

La estabilidad del sistema queda determinada por los polos de la función transferencia, siendo la región de estabilidad el semiplano izquierdo (abierto) del plano complejo. Este tipo de estabilidad sólo tiene en cuenta el comportamiento externo del sistema, ignorando el efecto de condiciones iniciales, que se asumen nulas.

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Estabilidad ExternaTeorema (Estabilidad BIBO y Respuesta en Régimen Permanente). Si un sistema con respuesta impulso h(t) es estable BIBO, entonces cuando t → ∞

● La salida correspondiente a una entrada constante u(t) = a, para t ≥ 0, tiende a la constante

● La salida correspondiente a una entrada senoidales u(t) = sen(w0t), para t ≥ 0, tiende a la senoidal

El teorema anterior especifica la respuesta de un sistema BIBO aseñales constantes y senoidales una vez que los transitorios se extinguen.

ahtyss )0()( =

))(()()( 000 ωω jhtsenjwhtyss ∠+=

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Estabilidad ExternaPara analizar sistemas que no tienen una función transferencia racional y propia, se debe apelar al teorema original.

Ejemplo. Sea un sistema con realimentación positiva que incluye un retardo unitario, T = 1, y una ganancia estática de valor a.

El sistema es de dimensión infinita, puesto que incluye un retardo, y no tiene función transferencia racional.

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Estabilidad Externa

Cuando la entrada es un impulso, u(t) = δ(t), la salida está dada por

Considerando los impulsos como positivos:

El sistema es BIBO estable si y sólo sí ||a|| < 1.

)(th

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Estabilidad ExternaCaso MIMO: Los resultados de estabilidad BIBO para sistemas MIMO son una generalización de los de sistemas SISO, ya que una matriz transferencia será BIBO estable si y sólo sí cada una de sus entradas son BIBO estables. Las pruebas del Teorema de Estabilidad BIBO de Sistemas SISO y el Corolario correspondiente deben realizarse sobre cada elemento de la respuesta al impulso o matriz transferencia del sistema.

Un sistema multivariable con matriz de respuestas impulso es BIBO estable si y sólo sí cada gij (t) es absolutamente integrable en [0,∞ )

[ ])()( sgs ij=GUn sistema multivariable con matriz de funciones de transferencia racionales y propias es BIBO estable si y sólo sí todos los polos de todos los gij (s) tienen parte real negativa

)]([)( tgt ij=G

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Estabilidad ExternaEjemplo: Dado el sistema

El sistema NO es estable en el sentido de Lyapunov: tiene un valor propio con parte real positiva en λ = 1El sistema es estable BIBO, dado que su función transferencia es

y tiene un único polo en -1.

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Estabilidad ExternaCaso Discreto:Para el sistema descrito por

donde g[k] es la secuencia respuesta a un impulso discreto aplicado en el instante k = 0.

Teorema (Estabilidad BIBO Discreta). Un sistema discreto MIMO con matriz respuesta al impulso G[k] = gij[k] es estable BIBO si y sólo si cada gij[k] es absolutamente sumable, es decir, existe una constante M > 0 tal que

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Estabilidad Externa

Corolario (Estabilidad BIBO para Funciones Discretas Racionales y Propias). Un sistema discreto MIMO con matriz transferencia racional y propia G(z) = [gij(z)] es estable BIBO si y sólo si todo polo de gij(z) tienen magnitud menor que 1.

El siguiente corolario establece una prueba para la estabilidad externa para sistemas discretos descritos por matrices de transferencia racionales y propias.

A diferencia del caso de tiempo continuo, en el caso de tiempo discreto, si g[k] es absolutamente sumable entonces debe necesariamente ser acotada y aproximarse a 0 cuando k → ∞.

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Estabilidad ExternaTeorema (Respuesta en Régimen Permanente Discreta). Si un sistema discreto con respuesta al impulso g[k] es estable BIBO, entonces, cuando k → ∞,

● La salida excitada por u[k] = a, para k ≥ 0, tiende a g(1)a.

● La salida excitada por u[k] = sen(wok), para k ≥ 0, tiende a

g(z) es la transformada Z de g[k],

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Estabilidad Externa

Ejemplo. Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso g[k] = 1/k, para k ≥ 1, y g[0] = 0. Analizamos si g[k] es absolutamente sumable,

La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no sumable, por lo tanto el sistema no es estable BIBO.

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EstabilidadRelaciones entre Estabilidad Externa e Interna.

La relación entre estabilidad externa y estabilidad interna se puede resumir en el siguiente diagrama

Pueden existir sistemas estables para entrada cero (ESL) pero inestables con entrada externa aplicada (no estables BIBO)

Pueden existir sistemas no estables para entrada cero (no ESL) pero estables cuando sólo se mira la salida (estables BIBO)

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Estabilidad

Sin embargo, no todo valor propio de A aparecerá como polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones de ceros y polos. Por lo tanto,estabilidad BIBO no implica estabilidad interna; es decir, un sistema puede ser BIBO estable pero no Lyapunov o asintóticamente estable.

Por otro lado, como todo polo de la matriz transferencia del sistema debe ser un valor propio de A, estabilidad interna asintótica implica estabilidad BIBO.

Por definición, estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica y estabilidad asintótica implica estabilidad en el sentido de Lyapunov.

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EstabilidadEjemplo. El sistema descrito por la ecuación diferencial

La función transferencia no tiene ningún polo con parte real no negativa, entonces el sistema es BIBO estable.

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EstabilidadUna representación en variables de estado es:

Los valores propios de la matriz A son λ = 1, λ = -2, entonces el sistema no es internamente estable, ni asintóticamente, estable en el sentido de Lyapunov, ya que tiene un autovalor con parte real positiva.

Este sistema es BIBO estable pero no asintóticamente estable.

EstabilidadResumen:

• Se introdujeron los conceptos de estabilidad de sistemas estacionarios, comenzando por la estabilidad externa BIBO: entrada-acotada/salida- acotada.

• Un sistema es BIBO estable si y sólo si° su respuesta al impulso es absolutamente integrable (sumable, para sistemas discretos), o° si su función transferencia g(s) (en discreto g(z)) es racional y propia, todos los polos de g(s) tienen parte real negativa (los polos de g(z) tienen magnitud menor que 1).

• Los sistemas MIMO son BIBO estables si y sólo si todos los subsistemas SISO que conectan las diferentes entradas y salidas son BIBO estables.

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Estabilidad• La respuesta en régimen permanente de un sistema BIBO a una entrada sinusoidal de frecuencia w0 es sinusoidal de la misma frecuencia, y con magnitud y fase dadas por la magnitud y fase de la función transferencia del sistema evaluada en s = jw0 (z = ejw0 en sistemas discretos).

• Para un sistema con entradas nulas se definen la estabilidad interna, la estabilidad según Lyapunov, y la estabilidad asintótica.

• La condición necesaria y suficiente para estabilidad según Lyapunov es que la matriz A en x´ = Ax no tenga valores propios con parte real positiva, y para aquellos valores propios con parte real nula, que no estén asociados a un bloque de Jordan de dimensión mayor que 1.

• La condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica es que todos los autovalores de A tengan para real negativa-

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Estabilidad• Un método alternativo de verificar si la matriz A tiene todos sus autovalores con parte real negativa es verificar la existencia de solución de una ecuación de Lyapunov.

• El teorema de Lyapunov para sistemas discretos, que vincula laexistencia de solución de la ecuación M - ATMA = N con la propiedad de que A tenga todos sus valores propios dentro del círculo unitario.

• Para la estabilidad de sistemas lineales no estacionarios, se empleóel método de Lyapunov..

• Una nota importante es que los autovalores de A(t) en general no determinan la estabilidad en sistemas lineales no estacionarios.

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REFERENCIAS

1. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems. New York: McGraw Hill International Edition. 1999.

2. CHEN Chi- Tsong. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999.

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CAPITULO 4 ESTABILIDAD - Diego Patino's Web Pagediegopat.ueuo.com/presentaciones/semana_12_lin.pdf · · 2013-04-15describe el efecto de perturbaciones en las entradas sobre el