Capitulo 5. Espacios Euclideos. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera

8/6/2019 Capitulo 5. Espacios Euclideos. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera

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CAPTULO 5: ESPACIOS EUCLDEOS

176

= +b

a

b

adx)x(h)x(gdx)x(h)x(f = +

Por lo tanto, V = C[a, b] es un espacio eucldeo.

Observacin:

Sean AMmxn() y A1, A2, , An las columnas de A. En ese caso, Ajn,

j = 1, 2, , n. Luego, = =

m

1i

ijihAA = (Ah)tAj = (Aj)tAh.

Definicin 5.2.

Sean V un espacio eucldeo y V. Se define como Longitud o Norma de yse denota por |||| a:

|||| = >< ,

Ejemplo 5.3.

En relacin al ejemplo 5.1.:

Sea

=

n

2

1

X

X

X

Mn. Entonces, |||| = >< , =

=

n

1i

2iX .

Ejemplo 5.4.


Sea = f(x)V. Entonces |||| = >< , = b

a

2 dx)x(f .

Observacin:

Sean AMmxn() y A1

, A2

, , An

las columnas de A. En ese caso, Aj

n

,

j = 1, 2, , n. Luego, ||Aj|| = >< jj A,A = =

m

1i

2ij)A( =

jtj A)A( .

Teorema 5.1.

Sea V un espacio eucldeo. Si , V y cK entonces:

1. |||| 0.2. |||| = 0 si y slo si = .3. ||c|| = |c|.||||4. || ||||.||||. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)5. ||+|| |||| + ||||. (Desigualdad Triangular)

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

177

Demostracin

1. Por hiptesis |||| = >< , . Por la propiedad 1 de productointerno se cumple que 0. Luego, |||| 0.

2. CN(): Si |||| = 0 entonces = .Si |||| = 0 entonces >< , = 0. Esto implica que >< , = 0.

Por la propiedad 1 de producto interno se cumple que = .

CS(): Si = entonces |||| = 0.

Si = entonces por la propiedad 1 de producto interno se cumple

que >< , = 0. Luego, >< , = 0 y por consiguiente

|||| = 0.

3. ||c|| = >< c,c . ||c|| = >< c,c (Por la propiedad 3 de producto interno)

||c|| = >< ,cc (Por la propiedad 2 de producto interno)

||c|| = >< ,c.c (Por la propiedad 3 de producto interno)

||c|| = >< ,c2

||c|| = >< ,c2

||c|| = |c|.||||.

4. Si = entonces el resultado es inmediato, ya que|| = || = |0.| = |0| = 0 = 0. |||| = ||||.||||.

Supongamos que . Sea

>

= <

> (Por la propiedad 4 deproducto interno)

= 2||||

,

>

= <

>

= <

>

= 2||||

,

>

= <

>

= 2

||||

,

>< 0

2

22

||||

),(||||,

><

0 222 ),(|||||||| >< 22 ||||||||

|,| >< ||||.||||

5. ||+|| = ), ++< = ),), +++< ,,

= >< ,,,,


179

= >< ,,,,

= >< ,,2,

Luego,

||+||2 = ( >< ,,2, )2

= >< ,,2,

= ||||2 + 2 + ||||2

Por el apartado anterior || ||||.||||. Luego,

||||.|||| ||||.||||

2 2||||.||||

||||2 + ||||2 +2 ||||2 + ||||2 + 2||||.|||| ||+||2 (|||| + ||||)2 ||+|| ||||+||||

Definicin 5.3.

Sean V un espacio eucldeo y , V. Se define como Distancia Eucldeaentre y y se denota por d(, ) a:

d(, ) = || ||

Observaciones:

1. d(, ) = d( , ).2. La distancia entre 2 vectores en un espacio eucldeo no es nica en el

sentido de que puede ser calculada a travs de diferentes productos

internos que estn definidos sobre dicho espacio eucldeo.

Teorema 5.2.

Sea V un espacio eucldeo. Si , V entonces:

>


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180

d2(, ) = d2(, ) =

d2(, ) = + ( + ) d2(, ) = ( ) d2(, ) = +

d2(, ) = + d2(, ) = ||||2 + ||||2 2

Ejemplo 5.5.


Sean , n definidos por

=

n

2

1

A

A

A

My

=

n

2

1

B

B

B

M. Luego,

=

nn

22

11

BA

BA

BA

M. Por consiguiente:

d(, ) = || || = =

n

1i

2ii )BA(

Como en V = n se cumple que = t entonces otra forma de expresarla distancia entre y es:

d2(, ) = ||||2 + ||||2 2t

Definicin 5.4.

Sean V un espacio eucldeo y V. Se dice que es normalizado o unitario si|||| = 1.

Definicin 5.5.

Sea V un espacio eucldeo. Se dice que un vector V es ortogonal a unvectorV y se escribe si = 0. Un subconjunto S de V se diceque es un conjunto ortogonal si , S con se cumple que . Unsubconjunto S de V se dice que es un conjunto ortonormal si S es ortogonal y

cada vector de S es unitario.

Una base B de V se dice que es una base ortogonal (respectivamente

ortonormal) de V si B es un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal).

Ejemplo 5.6.

Sea V = n.


181

La base cannica B = {e1, e2, , en} es un conjunto ortonormal ya que:

||ei|| = 110...1...00 2222 ==+++++ , i = 1, 2, , n.

= 0.0 + 0.0 + + 1.0 + + 0.1 + + 0.0 = 0. i = 1, 2, , n,

j = 1, 2, , n.

Por consiguiente B es una base ortonormal de n.

Teorema 5.3.

Sea V un espacio eucldeo.

1. V se cumple que = 0.2. , , V se cumple que = + .3. Si , iV, ci, i = 1, 2, , n, entonces :

== > = 0.2. Sean , , V. Luego,

+ = + = =

= ==

>

= (Por la propiedad 2 de producto interno)

= =

> 0. Por consiguiente,cj = 0, j = 1, 2, , p, es decir, S es L.I.

Teorema 5.4.

Sea AMnxn(). A es ortogonal si y slo si sus columnas forman una baseortonormal de n.

Demostracin

CN(): Si A es ortogonal entonces sus columnas forman una base ortonormalde n.

Por hiptesis, A es ortogonal, es decir, A tA = AAt = In. En otras palabras A es

no singular y A-1 = At.

Luego,

(AAt)ij =

=

==

=

=n

1r

rjirt

n

1r

rjirt

jisi0A)A(

jisi1A)A(


183

=

=

==

=

=n

1r

rjri

n

1r

rjri

jisi0AA

jisi1AA

=

=

==

=

=n

1r

rjri

n

1r

riri

jisi0AA

jisi1AA

=

=

==

=

=n

1r

rjri

n

1r

2ri

jisi0AA

jisi1)A(

=

>====

= < =

+

>

= =

+ >< +ii2

i

i1p,

||||

,+

+=

+ >< +ii2

i

i1p,

||||

,+

+=

+

>< +

= = 0.

Luego, el conjunto S1 = {1, 2, , n} es ortogonal y i , 1 i

n. Si definimos los vectores 1, 2, , nV tales que|||| i

ii

=

entonces el conjunto {1, 2, , n} es ortogonal y por el teorema5.4., el conjunto {1, 2, , n} es ortonormal.

2. Por el apartado anterior se cumple que:1 = 1

2 = 2 21

12

||||

,

>< 1 2

2

23

||||

,

>< 2

3 = 3 21

13

||||

,

>=>===< )t(

||)t(||

)t(),t(22

2

23

>=>==

>==

=++


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190

= dt)36

1t12t48t72t36(

1

0

234

++

=

1

0

2345

)36

t

72

t12

108

t48

144

t72

180

t36( ++

180

1

180

530809036

36

1

6

1

9

4

2

1

5

1

36

1

72

12

108

48

144

72

180

36=

++=++=++=

Luego,

11

1

||)t(||

)t()t(

1

11 ==

=

)1t2(32

)1t2(32

2

)1t2(12

12

12

1t2

||)t(||

)t()t(

2

22 =

=

=

=

=

)1t6t6(5)1t6t6(6

180

180

1

6

1t6t6

||)t(||

)t()t( 22

2

3

33 +=+=

+

=

=

Por consiguiente, el conjunto {1(t), 2(t), 3(t)} es una base ortonormal de P2.

5.4. PROYECCIN ORTOGONAL.

Definicin 5.6.

Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional,

S = {1, 2, , p} una base ortonormal de W y V. Se define como

proyeccin ortogonal de sobre W y se denota por WoyPr al vector:

WoyPr =

=

> = =

>


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196

Ejemplo 5.13.

En relacin al ejemplo 5.7., determinemos el complemento ortogonal del

subconjunto S de V = 3:

S =

=

=

=

0

3

3

,

1

1

0

,

0

1

1

321

S si y slo si 1, 2 y 3, es decir, = = = 0.

Supongamos que

=

3

2

1

X

X

X

. Luego,

= 0 1.X1 + 1.X2 = X1 + X2 = 0. = 0 1.X2 + 1.X3 = X2 + X3 = 0. = 0 3.X1 + 3.X2 = 3X1 + 3X2 = 0.

Esto concluye en el siguiente SEL homogneo:

=+

=+

=+

0X3X3

0XX

0XX

21

32

21

Lo resolvemos:

0

0

0

000

110

011

0

0

0

033

110

011

133 r3rr

Luego,

X2 + X3 = 0 X2 = -X3X1 + X2 = 0 X1 = -X2 = -(-X3) = X3

Por consiguiente,

=

=

=

1

1

1

X

X

X

X

X

X

X

3

3

3

3

3

2

1


197

En consecuencia, S = }a;

1

1

1

aX:X{3

=

Ntese que S {3x1} ya que los vectores 1, 2, 3 son L.D., Dim(S) = 2 yDim(S) = 1.

Teorema 5.10. (Teorema de Pitgoras)

Sean V un espacio eucldeo y , V.

1. si y slo si || ||2 = ||||2 + ||||2.2. si y slo si || + ||2 = ||||2 + ||||2.

Demostracin

1. CN(): Si entonces || ||2 = ||||2 + ||||2.Por hiptesis, , es decir, = 0.

Por el teorema 5.2., se cumple que

>


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200

Definicin 5.7.

Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional y V.Se define como distancia de a W y se denota por d(, W) a la mnimadistancia de a W, es decir:

{ }W);,(d|min)W,(d =

Observacin:

Por el teorema anterior se cumple que d(, W) = d(, WoyPr ).

Teorema 5.12.

Sean V un espacio eucldeo, W un subespacio de V finito dimensional,

S = {1, 2, , p} una base ortonormal de W y V. Entonces se cumpleque:

d2(, W) = =

>< WW

W royP,2oyPr,oyPr,

Ahora bien,

1. >< WW oyPr,oyPr = >>>< WW oyPr,oyPr =

= =

>>><

En consecuencia,

>< WW oyPr,oyPr =

=

>< WoyPr, = >>< WoyPr, = ><

Luego,

d2(, W) = >< , + =

><

d2(, W) = >< , 2p

1i

i ),(=

><


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EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Determine cules de las siguientes expresiones son productos internosen 3, siendo X, Y3. Justifique su respuesta.

1.1.

= X1Y1 + X3Y3.1.2. = (X1Y1)2 + (X2Y2)2 + (X3Y3)2.1.3. = 2X1Y1 + X2Y2 + 4X3Y3.1.4. = X1Y1 X2Y2 + X3Y3.1.5. = X1Y1 X2Y1 X1Y2 + 2X2Y2.1.6. = X1Y1 + X2Y1 + X1Y2 X2Y2.1.7. = X1Y1 X2Y1 + X1Y2 + 2X2Y2.

2. Sea = tA, , 2. Determine si la funcin asdefinida es un producto interno para cada una de las siguientes

matrices:

2.1.

=15

51A

2.2.

=

32

22A

2.3.

=

21

30A

3. Sean =

1

c

c

y =

6

5

c

3.1. Determine el valor de c para que y sean ortogonales.3.2. Utilizando los vectores as obtenidos, determine una base

ortonormal de 3.

4. Sea V un espacio eucldeo. Demuestre que si , V entonces:|| || |||| ||||

5. Sea XMnxp() una matriz de datos. Demuestre que:)r1(2

n

))X(,)X((djh

hE

jE

2

=

Siendo rjh el coeficiente de correlacin lineal de Pearson entre las

variables j-sima y h-sima. Interprete el resultado obtenido.


203

6. Utilizando el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt,determine una base ortonormal de 4 a partir de la base formada por los

vectores

=

0

1

2

0

1 ,

=

0

0

1

1

2 ,

=

1

0

2

1

3 y

=

1

0

0

1

4 .

7. Sea 3. Exprese de la forma = + , donde pertenece alsubespacio generado por1 y 2 y es ortogonal a este subespacio enlos siguientes casos:

7.1.

=

53

05

4

1 y

=

0

1

0

2 .

7.2.

=

1

1

1

1 y

=

1

0

2

2 .

8. Sea Dn el conjunto de matrices diagonales DMnxn() con lasoperaciones matriciales usuales y =

=

n

1i

iiiiBA .

8.1. Demuestre que la funcin as definida es un productointerno en Dn.

8.2. Determine una base ortonormal para D4.9. Sea

=

5

50

5

52

0c205

520a3

A

Determine los valores de a y c para que A sea ortogonal.

10. Sea AMnxn() tal que A es ortogonal y , n. Demuestre que:10.1. = .10.2. |||| = ||A||.

11. Sea V = 3 con el producto interno usual.

11.1. Determine un vector normalizado ortogonal a

1

2

0

y

2

1

3

.


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