Capítulo 7 integral_de_duhamel

Capítulo 7

RESPUESTA A CARGA

DINAMICA GENERAL

7.1 INTEGRAL DE DUHAMEL

Figura 7.1 Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración

sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la

Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa

durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la

ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este

procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para

un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es:

Para t > )()(

)(

tsen

m

dpdu n

nt (7.1)

d

t

p(t)

(t-

Respuesta du(t)

p()

Conceptos generales en el análisis dinámico

72

En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u

durante el intervalo de tiempo dt.

El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su

propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración

d, es decir:

t

nn

t dtsenpm

u

0

)()( )(1

(7.2)

esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de

superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.

En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en

reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo 0)0( u y 0)0( u se añade la respuesta en vibración

libre a la solución, entonces se tiene:

t

nn

nnn

t dtsenpm

tutsenu

u

0

)()0(

)0(

)( )(1

cos

(7.3)

usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones

iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:

)cos1()(cos

)( 0

0

0

0

0)( t

k

pt

m

pdtsen

m

pu n

t

n

n

n

t

nn

t

7.2 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración

formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales,

y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad

trigonométrica nnnnnn senttsentsen coscos)( para reformular la ecuación 7.2:

t t

nn

nnn

nt dsenpm

tdpm

tsenu

0 0

)()()(

1coscos

1

ó

tBtsenAu ntntt cos)()()( (7.4)

donde:

t

nn

t dpm

A

0

)()( cos1

(7.5)

t

nn

t dsenpm

B

0

)()(

1


73

7.3 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga

general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración

libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo

estableciendo u(0)=0 y mdpu /)( )()0( en la ecuación 4.15 da:

)(

)()()(

tsen

m

dpedu D

D

tt

n (7.6)

la respuesta de la carga total arbitraria es:

t

Dt

Dt dtsenep

mu n

0

)()()( )(

1

(7.7)

para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma

similar a la ecuación 7.4:

tBtsenAu DtDtt cos)()()( (7.8)

donde en este caso:

t

DtD

t

t

DtD

t

dsene

ep

mB

de

ep

mA

n

n

n

n

0

)()(

0

)()(

1

cos1

(7.9)

Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p() toma el valor de:

)()( gump (7.10)

7.4 EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA1

La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza

aplicada p(t) o aceleración del suelo )(tgu ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal.

Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de

cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser

desarrollado para sistemas lineales.

La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de

líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el

intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el

intervalo de tiempo 1 ii ttt está dada por:

i

ii

t

ppp

)( (7.11)

1 Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]


74

donde:

iii ppp 1 (7.12)

y la variable de tiempo varía de 0 a ti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin

amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es:

i

ii

t

ppukum

(7.13)

Figura 7.2 Interpolación lineal

La respuesta u() para it0 es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial

ui y velocidad iu para =0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta

para (pi/ti)· con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos

precedentes para estos tres casos la respuesta total es:

in

n

i

in

in

n

ini

t

sen

tk

p

k

psen

uuu

cos1cos)(

y (7.14)

)cos1(1

cos)(

nin

in

in

n

ini

n tk

psen

k

pusenu

u

Evaluando estas ecuaciones para =ti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad 1iu en el tiempo i+1:

)(1

)cos(1)()cos(1 ininin

iin

iin

n

iinii tsent

tk

pt

k

ptsen

utuu

(7.15)

)cos(11

)()cos()(1in

in

iin

iin

n

iini

n

i ttk

ptsen

k

pt

utsenu

u

t

p(t)

Real

Interpolado: p()

ti ti+1

pi

pi+1

ti


75

Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes:

11 iiiii pDpCuBuAu

(7.16)

11 iiiii pDpCuBuAu

estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones

para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados;

cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes ( < 1)”.

2 Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]


76

7.5 EJEMPLOS

Ejemplo 7.13 Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento

Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo

histograma de fuerza se muestra en la misma figura.

Figura 7.3

Solución

Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de

análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo.

Cálculos adicionales

Gravedad [ft/s2]: 3.32:g

Frecuencia natural: w

gkn

:

Periodo natural: n

nT

2:

Primera fase, para 0<t<0.025

El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la

evaluación de la carga en función del tiempo.

025.0:

0:

c

a

6.96:

0:

d

b

la ecuación de la recta resultante es:

xbaxac

bdp x

0.3864)(:)(

Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:

t

nxt dxxpA0

)()( )cos(: t

nxt dxxsenpB0

)()( )(:

3 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

k=2700 k/ft

w=96.6 k p(t)

fs0.025 s 0.025 s

96.6 k

p(t)

t

histograma de carga


77

La respuesta de desplazamiento es:

)cos()(3.32

: )()()( tBtsenAw

u ntntn

t

La respuesta de fuerza elástica es:

)()( : tt ukf

La respuesta de velocidad4 es:

)()( : tdtd

t uv

Segunda fase, para 0.025<t<0.05

El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación

de la carga en función del tiempo.

025.0:

0:

h

e

0:

6.96:

i

g


6.960.3864)(:)(

ge

eh

gip

las condiciones iniciales para esta fase son:

tiempo inicial [s]: 025.0:tr

desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10271.3 tru

velocidad inicial [ft/s]: 385.0)( trv

Evaluación de 5C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:

j

nj dpC0

)()( )cos(: j

nj dsenpD0

)()( )(:


)cos()(3.32

)cos()(: )()()(

)(

)( jDjsenCw

jujsenv

res njnjn

ntrnn

tr

j


)()( : jj reskfuerza

La respuesta de velocidad es:

)()( : jdjd

j resvel

Tercera fase, para vibración libre t>0.05


tiempo inicial [s]: 05.0:to

desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres

velocidad inicial [ft/s]: 563.0)05.0( trvel

4 ù(t)=v(t) 5 C(t)=C(j)


78

La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:

)cos()(: )05.0(

)05.0(

)( sresssenvel

reslib ntrnn

tr

s

La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:

)()( : ss reslibkflib

las graficas de respuesta en las tres fases son:

Respuesta máxima: Fuerza[k]=69.214 en un tiempo [s]=0.0772

Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo [s]=0.0772

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 100

75

50

25

0

25

50

75

100

Respuesta de Fuerza Elástica

tiempo [s]

fuez

a el

ásti

ca [

k]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.04

0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Respuesta de Desplazamiento

tiempo [s]

des

pla

zam

iento

[ft

]


79

Ejemplo 7.26 Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento

Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento

=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura.

Figura 7.4

Solución

Cálculos adicionales

Gravedad [ft/s2]: 3.32:g

Frecuencia natural: w

gkn

:

Periodo natural: n

nT

2:

Razón de amortiguamiento: 05.0:

Frecuencia de amortiguamiento: 21: nD

Primera fase, para 0<t<0.025

El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la

evaluación de la carga en función del tiempo.

025.0:

0:

c

a

6.96:

0:

d

b


xbaxac

bdp x

0.3864)(:)(

Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:

t

Dt

x

xt dxxe

epA

n

n

0)()( )cos(:

t

Dt

x

xt dxxsene

epB

n

n

0)()( )(:

6 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

k=2700 k/ft

w=96.6 k p(t)

fs0.025 s 0.025 s

96.6 k

p(t)

t

histograma de carga


80


)cos()(3.32

: )()()( tBtsenAw

u DtDtD

t


)()( : tt ukf

La respuesta de velocidad7 es:

)()( : tdtd

t uv

Segunda fase, para 0.025<t<0.05

El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación

de la carga en función del tiempo.

025.0:

0:

h

e

0:

6.96:

i

g


6.960.3864)(:)(

ge

eh

gip


tiempo inicial [s]: 025.0:tr

desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10211.3 tru

velocidad inicial [ft/s]: 376.0)( trv

Evaluación de 8C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:

j

Djj de

epC

n

n

0)()( )cos(:

j

Djj dsene

epD

n

n

0)()( )(:


)cos()(3.32

)()cos(: )()(

)()(

)()( jDjsenCw

jsenuv

jueres DjDjD

DD

trntr

Dtrj

jn


)()( : jj reskfuerza

La respuesta de velocidad es:

)()( : jdjd

j resvel

Tercera fase, para vibración libre t>0.05


tiempo inicial [s]: 05.0:to

desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres

velocidad inicial [ft/s]: 52.0)05.0( trvel

7 ù(t)=v(t) 8 C(t)=C(j)


81

La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:

)()cos(:)05.0()05.0(

)05.0()( ssenresvel

sresereslib DD

trntr

Dtrs

sn

La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:

)()( : ss reslibkflib

las graficas de respuesta en las tres fases son:

Respuesta máxima: Fuerza[k]=64.1402 en un tiempo [s]=0.0758

Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.023756 en un tiempo [s]=0.075

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 100

75

50

25

0

25

50

75

100

Respuesta de Fuerza Elástica

tiempo [s]

fuez

a el

ásti

ca [

K]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.03

0.0225

0.015

0.0075

0

0.0075

0.015

0.0225

0.03

Respuesta de Desplazamiento

tiempo [s]

des

pla

zam

ien

to [

ft]

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