Capitulo 8 calculo de campo magnetico

Las leyes de Biot-Savart y de Ampere

x

Rrq

q

P

Idx x

z

R

R

r

r

dB

dB

zq

q

23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 1


Cules son las ecuaciones anlogas para el Campo Magntico?

Dos formas de calcular

Para cualquier

distribucin de

carga2

dq

dE k rr

Ley de Coulomb

Alta simetra"qSdE rr

0e

Ley de Gauss


Dos formas de calcular0

2

4

I dl rdB

r

I

Ley de Biot-Savart (Cualquier distribucin

de corriente)

Ley de Ampere (Alta simetra)

Estas son las ecuaciones anlogas

Superficie Amperiana(Trayectoria Amperiana.)

0B dl I

2 2

4

oKqv r qvxrBr r

24

o qvsenBr

El Campo Magntico en un punto p,

generado por una carga q en movimiento,

siempre apunta Perpendicular al plano

formado entre la Posicin del punto p (r) y

la velocidad de la partcula (v).

Cmo representamos la condicin de que B es perpendicular a v y r ?

23/11/2009 13:164FLORENCIO PINELA - ESPOL

2

Gmg

r

2

kqE

r

2

KqvB

r

Analogas en las definiciones de g, E y B

Una carga puntual positiva se mueve directamente hacia un

punto P. El campo magntico que la carga puntual produce

en el punto P

Pregunta de concepto

1. Apunta desde la carga hacia el punto P

2. Apunta desde el punto P hacia la carga

3. Es perpendicular a la lnea que va desde el punto P

hasta la carga

4. Es cero

5. La respuesta depende de de la rapidez de la carga

puntual

2

4

o qvxrBr


Dos cargas puntuales positivas se mueven

paralelamente y en la misma direccin con la

misma velocidad.

La fuerza magntica que la carga superior ejerce

sobre la carga inferior

1. Est dirigida hacia la carga superior (esto es, la

fuerza es de atraccin)

2. Se dirige alejndose de la carga superior (esto

es, la fuerza es de repulsin)

3. Est en la direccin de la velocidad

4. Est en direccin opuesta a la velocidad

5. Ninguna es correcta


2

4

o qvxrBr

F qv B



La paradoja que dio origen a la teora especial de la relatividad

2

2

B

E

F v

F c

Cuando v es pequea comparada

con c, la fuerza magntica es mucho

menor que la fuerza elctrica

2 2 2

2 2

2

1

4 4

1

oE B

o

Bo o

E o o

q q vF F

r r

Fv c

F

e

e e

2

4

o qvxrBr


Contribucin diferencial del campo magntico ( dB ), en

un punto P, generado por un tramo diferencial ( dl ) de

conductor con corriente ( I )

2

4

o qvxrBr

Tenemos que adaptar la expresin

para el campo B de una carga, al de un flujo de cargas

dq = n(Adl)e

24

o ddqv sendBr

24

o qvsenBr

2

( )

4

o dnAdle v sendBr

24

o IdlsendBr

2

4

oI dlxrdBr

Campo generado por una

carga q movindose con

velocidad v

2

( )

4

o dnAv e dlsendBr


2

4

oI dlxrdBr

24

oi dlsendBr

r - es la magnitud del vector posicin r, ste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se

mide la contribucin del campo.

dl - es la magnitud del vector dl, ste vector es tangente al

conductor y apunta en la direccin de la corriente convencional.

Expresin vectorial

Expresin escalar


- Representa el ngulo formadoentre los vectores dl y r.

o - Es una constante conocida como

permeabilidad magntica del espacio

libre (vaco), en SI su valor es:

4x10-7 Wb/A.m (T.m/A)

24

oi dlsendBr

7

0 2

N4 10

A


I

dl

r

dB

Mientras ms nos aproximamos al

alambre, el campo se vuelve ms intenso

Observe que el

campo B es siempre

tangente a una lnea

de campo.

El campo magntico circula alrededor del alambre


Un alambre recto largo se encuentra a

lo largo del eje de y, y lleva la corriente

en la direccin positiva. Una carga

positiva se mueve a lo largo del eje x

en la direccin positiva. La fuerza

magntica que el alambre ejerce sobre

la carga

1. is in the positive x direction

2. is in the negative x direction

3. is in the positive y direction

4. is in the negative y direction

5. none of the above


F q v x B


Dos hilos largos que llevan corrientes iguales se cruzan sin tocarse en ngulo recto segn se indica.

Existen puntos de intensidad de campo magntico cero en las regiones

a.- IV y IIb.- I y IIc.- II y IIId.- IV y III

III

III IV



2

4

oI dlxrdBr


24 r

dlsenidB o

q

24 rdlseni

dBB oq

24

oi dlsenBr

saquemos las constantes

fuera de la integral

q

Podemos sumar (integrar) esta contribucin

(dB) para encontrar el campo total en el punto

P, generada por un tramo de una longitud L?

Si!, ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccin

Recuerde que es una

integral de lnea, aqu

vemos 3 variables.

El punto P y el alambre se encuentran en el

plano de la pizarra


Rsen

rq

rR

r

dliB o

24

34 rdliR

B o

3/ 2

2 24

oiR dlBR l

222 lRr

Pongamos r y q en funcin de l24

oi dlsenBr

q


b

a

o

lR

dliRB

23

)(4 22

3

2 2 24

( )

oiR dlB

R l

0


3 122 2 2 22 2

1(1)

( )( )

dx x

a x ax a

3 122 2 22 2

1(2)

( )( )

xdx

x ax a

Integrales tiles de recordar.

3 122 2 2 22 2

1(1)

( )( )

dx x

a x ax a

3 122 2 22 2

1(2)

( )( )

xdx

x ax a

Utilicemos el resultado de la integral (1)

322 24 ( )

bo

a

iR dlB

R l

122 2 21

4 ( )

b

o

a

iR lB

R l R

1 12 22 2 2 24 ( ) ( )

oi b aBR b R a R

Este resultado lo podemos simplificar


(cos cos )4

oiBR

Alambre muy largo (infinito), o R es pequea

comparada con la longitud del alambre, los

ngulos y tienden a cero grados(cos0 cos0 )

4

o ooiBR

2

oiBR

1 12 22 2 2 24 ( ) ( )

oi b aBR b R a R

a b

P

R

Vlida para puntos ubicados fuera del alambre


Dos alambres rectos y largos se

orientan perpendicular al plano xy.

Los alambres transportan corriente

de magnitud I en las direcciones

mostradas.

En el punto P, el campo magntico

debido a estas corrientes

1. Est en la direccin positiva x

2. Est en la direccin negativa x

3. Est en la direccin positiva y

4. Est en la direccin negativa y

5. Ninguna de las anteriores

Preguntas de concepto

q R


Campo magntico generado por dos alambres

paralelos perpendiculares a la pizarra, en puntos

sobre el eje x

(1)( )

2 (2 ) 2 (4 )

o ototal

I IB j

d d


Una lmina conductora muy larga de ancho w y

espesor muy delgado d, transporta corriente I como

se indica en la figura. Determine el campo magntico

en el punto p ubicado a una distancia b sobre el

plano del conductor.


RiB o

2

'

2 ( )

oIdBw b x

'I I

wd dxd

' dxI Iw

2 ( )

oIdxdBw w b x

02

w

oI dxBw w b x

Dividimos la lmina en un conjunto muy grande de alambres muy

largos de dimetro dx

Adaptamos sta expresin para el

alambre


Campo magntico en un punto p ubicado sobre el eje

de una espira circular con corriente.


2

4

oI dlxrdBr

24

oI dlsendBr

0B dB

B dB dBcosq

0

24

I dl senB cos

r

q

cos

1

a

r

sen

q

Por simetria las componentes

perpendiculares a x se

cancelan

Suma de todas las

contribuciones

paralelas a x: ngulo entre dl y r


34

oI adlBr

34

oIaB dlr

322 2

(2 )4 ( )

oIaB ax a

2

2 2 3/ 2

2( )

oIaB ix a

Espira con corriente Regla de la

mano derechaCampo similar al generado

por un magneto


34

oI adlBr


Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si

el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras por unidad

de longitud. Determine la magnitud y direccin del campo magntico

en un punto ubicado a una distancia z medida desde uno de los

extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una

espira circular y aplquelo a la contribucin de un diferencial de espiras

y luego integre)

2

2 2 3/22( )

oIaBx a


2 2

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

( )

2( ) 2( )

o oIa ndlI aB dBx a x a

2

2 2 3/ 22 ( )

z L

o

z

na I dxB

x a

(dl, l y x son la misma variable)

Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras

por unidad de longitud. Determine la magnitud y direccin del campo magntico en un punto ubicado a una distancia z medida

desde uno de los extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una espira circular y aplquelo a la contribucin

de un diferencial de espiras y luego integre)

2

2 2 3/22( )

oIaBx a

22 2 3/ 22( )

oIaBx a

2

oIBa

Para un arco de

circunferencia2 2

oIBa

q

Campo en un punto en el centro

de una espira circular (x=0)

Para cualquier punto

sobre el eje de la espira



Determine el valor del campo magntico en el punto P. Indique

adems, si al liberar las espiras, estas se atraen o se repelen.

2

2 2 3/ 22( )

oIaBx a

A wire consists of two straight sections with a semicircular

section between them. If current flows in the wire as shown,

what is the direction of the magnetic field at P due to the

current?

1. to the right

2. to the left

3. out of the plane of the figure

4. into the plane of the figure

5. none of the above

Preguntas de concepto


4oIBr

1 2B B B

1 2

1 1

4

oIBR R

Entrando al plano del papel

en el punto C.

Campo generado por un arco

de circunferencia

Las contribuciones de los dos

tramos circulares estan en la

misma direccion

Los tramos

horizontales no

contribuyen al

campo en C.

2 2

oIBa

q



Fuerza magntica entre conductores

paralelos

La corriente en cada uno de los alambres est inmersa en el

campo generado por la corriente vecina.

1 1 2 90odF I dlB sen

21 1

2

oIdF I dld

1 21

02

LoI IF dl

d

1 21

2

oI IF

L d

Corrientes en la misma

direccin se atraen.

Corrientes en direcciones

contrarias se repelen.

dF IdlxB


LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY

LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO

HORIZONTAL. DETERMINE LA MAGNITUD Y

DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL

ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA.

1 21

2

oI IF

L d


1 2F F F

1 21

12

oI I LFd

2

1 2

1 1 2

oI LF jd d

Las fuerzas F3 y F4 se

cancelan

1 22

22

oI I LFd

d1=0,03m, d2=0,08m,

L=0,1m


RESUMEN: LEY DE BIOT-SAVART

24

oi dlsendBr

(cos cos )

4

oiBR

2

oIBR

2

2 2 3/ 22( )

oIaBx a

2 2

oIBa

q

ALAMBRES RECTOS

ALAMBRES RECTOS

MUY LARGOS

ESPIRAS CIRCULARES

SEGMENTO CIRCULAR



LA LEY DE

AMPERE

La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que

presentan extrema simetra, muy similar a la ley de Gauss

para el campo elctrico, esta ley es de fcil aplicacin en

los casos que presentan distribuciones simtricas de

campos magnticos, producidos por determinadas

configuraciones de conductores con corriente.

dl

Superficie S atravesada

por la corriente I

Corriente

neta I

Trayectoria

cerrada l

B

La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos a lo largo de una trayectoria cerrada l

(circulacin del campo magntico), es directamente

proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l.

B dl I

oB dl I

La suma de todos los

productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada, es proporcional a la corriente

neta I que encierra la trayectoria.


B dl

oB dl I

I

Integral alrededor de unatrayectoria cerrada con suerte que sea simple

Corriente encerrada

por la trayectoria

Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una lnea de induccin



Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampre son

similares a los de la ley de Gauss.

1. Dada la distribucin de corrientes deducir la direccin del

campo magntico

2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por

corrientes y calcular la circulacin del campo magntico.

Generalmente el camino cerrado coincide con una lnea de

campo magntico

a) Corriente positiva por convencin

b) Corriente negativa por convencin


3.Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta)

que atraviesa el camino cerrado

4. Aplicar la ley de Ampre y despejar el mdulo del campo

magntico.


La figura muestra, en seccin transversal,

tres conductores que transportan corriente

perpendicular al plano de la figura.

Si las corrientes I1, I2, e I3 todas tienen las

misma magnitud, para cul trayectoria(s)

es cero la integral de lnea del campo

magntico?

1. Slo la trayectoria a

2. Las trayectorias a y c

3. Las trayectorias b y d

4. Las trayectorias a, b, c, y d

5. La respuesta depende de si la integral va en sentido

horario o anti-horario en la trayectoria cerrada



CAMPO MAGNTICO GENERADO POR UN

CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE

Campo magntico producido por una corriente rectilnea

Elegimos como camino cerrado una

circunferencia de radio R, centrada en la

corriente rectilnea, y que coincida con una

lnea de induccin.

El campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.

El campo magntico B tiene el mismo mdulo en todos los puntos de dicha

circunferencia.


La circulacin (el primer miembro de la ley de Ampre) vale

Llegamos a la misma expresin obtenida aplicando la ley de Biot y Savart.

cos 2B dl Bdl B dl B rq

2 oB r i

2

oiBr

La corriente rectilnea i atraviesa la circunferencia de radio r.

Despejamos el mdulo del

campo magntico B.

El campo magntico para puntos fuera del cable se comporta

igual que si la corriente circulara a lo largo de su eje


Para r < R

0(2 ) 'B r I

, 2

2

I r

I R

22

oIB rR

20

2

IB

r

22

oIB rR

0 (2 )oB dl BdlCos B dl B r

oB dl I


I, fraccin de corriente

que atraviesa la superficie

de radio r.

DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO

MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE

COAXIAL.


Para R2 < r < R3

2 2,

2

2 2

3 2

( )

( )o

r RI

I R R

0 (2 )o o netaB dl BdlCos B dl B r I

2 2

2

2 2

3 2

( )

( )o

r RI I

R R

2 2

2

2 2

3 2

( )1

( )neta o

r RI I

R R

2 2

3

2 2

3 2

(2 ) o oR r

B r IR R

2 2

3

2 2

3 2

1

2

o oI R rBR R r


neta oI I I

Nota: estos problemas

se resuelven

fcilmente cuando en

lugar de la corriente

se dan la densidad de

corriente, J:

I= JA

lo nico que nos queda por encontrar!


TIPOS DE SOLENOIDES


CAMPO MAGNTICO DE UN

SOLENOIDE IDEAL

L

a

a

Las lneas de campo magntico

salen de uno de los extremos del

solenoide y retornan por el otro.

Las lneas de campo magntico se

vuelven paralelas en la parte central

del solenoide.


o netaB dl Bdl BL I

Ineta = la corriente que atraviesa el

rectngulo = nLI

BL = onLI B = o n I

n: nmero de espiras por

unidad de longitud

EL SOLENOIDE IDEAL

0B dl

Para las trayectorias,

excepto a-b

Tomemos como trayectoria de

integracin el rectngulo.

o neta

trayectcerrada

B dl I


Solenoide con n espiras por unidad de longitud


Solenoides

El campo magntico de un solenoide es esencialmenteidntico al de una barra imantada.

La grn diferencia es que nosotros podemos encender ony apagar off ! Y l atrae/repele otro imn permanente; siempre atrae materiales ferromagnticos.


El Toroide

El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i.

B=0 fuera del toroide! (Considere integrar Bsobre un crculo fuera del toroide)

Para encontrar B dentro, considere un crculo de radio r, centrado en el centro del toroide.

(2 ) o netaB dl B r I

netaI Ni

Aplique Ley de Ampere:

0 netaB dl I

02 Ni

Br

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