capítulo Conjuntos

5/14/2018 capítulo Conjuntos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/capitulo-conjuntos 1/27

Libro: “De la Lógica a las funciones”Autores: Claudia Cardazo, Rocío Elejalde y Guillermo López

Capítulo 2

CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DECONJUNTOS

2.1 DEFINICIONES:

2.1.1 Conjunto: Término básico no definido.Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos.Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas.Se puede definir :

Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {-2,1,3,4}

Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad quedeben tener sus elementos.

Ejemplo: B = {x/x es número racional}C = {x/x = 2n-1 + 1, n∈ N}

2.1.2 Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un

conjunto se utiliza los signos∈

y∉

respectivamente.

2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta deun cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si noacaban el conjunto es no numerable.

2.1.4 Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo Φ ó { } y se

representa por Φ A { } A x A x x ∉∧∈=

2.1.5 Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

2.1.6 Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos quese están tratando, (también se le conoce como Referencial).Símbolo: U y se representa por U = {x/x∈ A ∨x ∉A; siendo A cualquier conjunto}

2.1.7 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen losmismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenecetambién a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B.

2.1.8 Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto deB, (A ⊂ B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.

65



Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos

⊂ : símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión.

Simbólicamente: ( ) ( ) B x A x x B A ∈⇒∈∀⇔⊂

B A ⊂ se lee A es un subconjunto de B o A B ⊃ B es un superconjunto de A B A ⊄ se lee A no es un subconjunto de B o

B no es un superconjunto de A

Propiedades de la inclusión:i) El conjunto vacío, Φ, se considera subconjunto de

todo conjunto.ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, B A ⊄ ;

entonces hay por lo menos un elemento de A que noes elemento de B.

iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, esdecir, si A es cualquier conjunto entonces A A ⊂

∗ Demostrar las propiedades anteriores. ∗ Teorema: si B A ⊂ y C B ⊂ implica que C A ⊂

(Demostrarlo).

Notas: 1) Con la definición de subconjunto se puede dar de otra forma la definición de la igualdad deconjuntos; así:Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si ysólo si B A ⊂ y A B ⊂ .Simbólicamente: A B B A B A ⊂∧⊂⇔=

2) La igualdad de conjuntos es una relación de

equivalencia. (¿Por qué?) 2.1.9 Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo,se dice que B es un subconjunto propio de A, si:i) B es un subconjunto de A, yii) B no es igual a AEs decir, B es subconjunto propio de A si:

A B ⊂ y A B ≠En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por A B ⊆ , y “B es subconjunto

propio de A”, se denota por A B ⊂

2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si B A ⊂ o A B ⊂ , esdecir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Simbólicamente:

A y B son comparables A B B A ⊂∨⊂⇔ Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si A B B A ⊄∧⊄

2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos.Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas:A, B, C, D, E, ....Ya que las mayúsculas denotan sus elementos.

66



Libro: “De la Lógica a las funciones”Autores: Claudia Cardazo, Rocío Elejalde y Guillermo López

2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un

conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P(A).Con:

n(A): número de elementos de A.n[P (A)]: números de elementos de P (A).

2.1.13 Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo sino tienen elementos comunes.

2.1.14 Diagramas:

•Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un área plana, generalmentecírculos.

Ejemplo:A

B B ⊆ A

• Lineales:

Se establece la representación mediante líneas donde se identifican órdenes jerárquicos.

Ejemplo:1) A ⊂ B Se representa:

67




2) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces se representa:

3) Sean los conjuntos:

A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; D = {1, 2, 4}Su representación lineal sería:

2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS

2.2.1 Unión:Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x ∈ A v x ∈ B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la uniónde A y B, es decir:A U B = {x/x ∈ A v x ∈ B}

68



Representación:A) Simbólica: x ∈ (A U B) ⇔x ∈ A v x ∈ B

B) Gráfica:

A B

A U B

Propiedades:1. Idempotencia: A U A = A2. Identidad: A U Φ = A ; A U U = U3. Conmutativa: A U B = B U A4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C5. Adición: A ⊆ (A U B) ; B ⊆ (A U B)

2.2.2 Intersección:Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función

proposicional “x ∈ A ∧x ∈ B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección deA con B, es decir:

A ∩ B = {x/x ∈ A ∧x ∈ B}

Representación:A) Simbólica: x ∈ (A ∩ B) ⇔x ∈ A ∧x ∈ B

B) Gráfica:A B

A ∩ B

Propiedades:1. Idempotencia: A ∩ A = A2. Identidad: A ∩ Φ = Φ ; A ∩ U = A3. Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A4. Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C5. Distributiva: a) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

b) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)6. (A ∩ B) ⊆ A ; (A ∩ B) ⊆ B7. Si A y B son disjuntos entonces A ∩ B = Φ

68



Operaciones fundamentales con conjuntos

2.2.3 Complemento:El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A.El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā

A’ = {x/x ∉ A}

Representación:A) Simbólica: x ∈ A’ ⇔x ∉ A ⇔ ∼ (x ∈ A)

B) Gráfica:

A A’

Propiedades:1. (A’)’ = A (Complemento del complemento)2. A U A’ = U (Tercer excluido)3. A ∩ A’ = Φ (Contradicción)4. (A U B)’ = A’ ∩ B’(Leyes de De Morgan)

(A ∩ B)’ = A’ U B’5. U’ = Φ ; Φ’ = U

2.2.4 Diferencia:Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función

proposicional “x ∈ A ∧x ∉ B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre Ay B.

Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B.A – B = {x/x ∈ A ∧x ∉ B}Representación:A) Simbólica: x ∈ (A – B) ⇔x ∈ A ∧x ∉ B

B) Gráfica:A B

A - B

69



Propiedades:1. A – B = A ∩ B’2. A – A = Φ3. A - Φ = A4. Φ - A = Φ , U – A = A’

5. A – B = B - A ⇒ A = B6. (A - B) - C ⊂ A - (B - C)7. (A - B) ⊆ A

NOTA: A-B ≠ B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B).

2.2.5 Diferencia simétrica:Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función

proposicional “x ∈ (A∪B) ∧ x ∉ (A∩B)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado ladiferencia simétrica entre A y B.

Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A ∆ B.A ∆ B={x/x ∈ (A∪B) ∧x ∉ (A∩B)}

Representación:

A. Simbólica:x∈(A ∆ B) ⇔x∈(A∪B) ∧x∉ (A∩B)

B. Gráfica:A B

A ∆ B

Propiedades:1. A∆B = B∆A2. (A∆B)∆C = A ∆ (B∆C)3. A∆Φ = A

4. A∆A = Φ5. (A∆B)∩C = (A∩C) ∆ (B∩C)6. A∆B = (A-B)U (B-A)7. A∆B = (A U B)-(A∩B)

2.2.6 Operaciones con conjuntos comparables:Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedadessencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.

70



Operaciones fundamentales con conjuntos

Teoremas:1. A ⊆ B implica A ∩ B = A2. A ⊆ B implica A U B = B3. A ⊆ B implica B’⊆ A’A ⊆ B implica A U (B - A) = B

Nota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante gráficas).2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).

2.2.8 Principio de dualidad en ⟨B, U, ∩⟩ :

Toda proposición o identidad algebraica deducible de los postulados de un álgebra

booleana de conjuntos ⟨B, U, ∩⟩ sigue válida sí todas las operaciones (U) e (∩) y loselementos identidad Φ y U son intercambiados.

Si una proposición o una expresión se obtiene de otra por una sola aplicación del principio de dualidad, la segunda se llama la “DUAL” de la primera y viceversa.

Ejemplos:1. (a) A U A = A (b) A ∩ A = A (Dual de (a)).2. (a) A U U = U (b) A ∩ φ = φ (Dual de (a)).

3. (a) A U (A ∩ B) = A (b) A ∩ (A U B) = A (Dual de (a)).

Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.

2.3 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

71



Ejercicios resueltos

Entonces podemos analizar dos casos:A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A ∩ B = Φ, entonces el número deelementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y elnúmero de elementos de B.

Luego: Si A ∩ B = Φ entonces n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces:n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A ∩ B = ΦA U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.

B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A ∩ B ≠ Φ, es decir, no son disjuntos. Se

puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma:n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (*)

Ejemplo.Sean A = {x/ -3 < x < 4, x ∈ Z} y B = {x/ 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ Z}Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A ∩ B = {2, 3}

n(A ∩ B ) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como ≠∩ B A Φ

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 .Si A ∩ B = Φ entonces n(A ∩ B) = 0, puede entonces generalizarse:

∀A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos.Para tres conjuntos:n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

OBSERVACIÓN: Las anteriores fórmulas tienen demostración formal.

Ejemplo:

Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acercade los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

Estudian trigonometría: 40 Estudian álgebra: 55 Estudian geometría: 55 Estudian trigonometría y álgebra: 15 Estudian trigonometría y geometría: 20 Estudian álgebra y geometría: 30

75




Estudian las tres materias: 10 No van a la biblioteca: 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?Desarrollo:

Sean T = {x/x estudia trigonometría}A = {x/x estudia álgebra}G = {x/x estudia geometría}

Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes queestudia cualquier combinación de materias.

Gráficamente:

T A15 520

1010 20

15 G5 U

Analíticamente:n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(T∩A) – n(T∩G) – n(G∩A) + n(T∩A∩G)n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 9595 Estudiantes que asisten a la biblioteca.100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

2.4 EJERCICIOS RESUELTOS

1) Representar gráficamente:[(A’∆B)U(C-B)] ∩B’

76




U UA B A B

C C

A’ (A’∆B)

U U

A B A B

C C

(C-B) (A’∆B)U(C-B)

U UA B A B

C C

B’ [(A’∆B)U(C-B)] ∩B’

77




2) Expresarlo simbólicamentea) U b) U

A B P D

C F

(AUBUC)’U[(B∩C)-A] (D-F)U[F-(PUD)]

3) Sean los conjuntos: N = [d, i) E = (e, z) Z = [d, e]Siendo e, d, z, i ∈ Re.Con d < i < e < zHallar:

a) (N∆Z)-E = ?d i e z

N∆Z = [i, e]

(N∆Z)-E = [i, e]

d i e z

b) [(E∩Z)∆Z]U N = ?

E∩Z = Φ

d i e z

(E∩Z)∆Z = Z = [d, e]

[(E∩Z)∆Z]U N = [d, e]d i e z

78




c) [(Z-N) ∩Z]∆(NUE) = ?

Z-N = [i, e]d i e z

(Z-N) ∩Z = [i, e]

d i e z

NUE = [d, i) U (e, z)

d i e z

[(Z-N) ∩Z]∆(NUE) = [d, z)

d i e z


A = {x/ x >-10, x∈ Z+} D = {x/ 20 < x ≤ 30, x∈ F}

B = {x/ -5 ≤ x < 15, x∈ Z} E = {x/ 7< x ≤ 50, x∈ Q}

C = {x/ x ≤ 100, x∈ Re}Donde F es el conjunto formado por las expresiones de la forma m/n no reducibles con my n ∈ Z+

Hallar:a) A∩B = {x/ 0 < x < 15, x∈ Z+}

(A∩B)-D = {x/ 0 < x < 15, x∈ Z+}

Z+

( [ )-10 -5 Z 15

b) (DUC)∆B = x ∈(-α, 100] ∧x ∉{-5, -4, -3, -2 … 12, 13, 14}

{x/(x ≤ 100, x∈ Re) ∧∼ (-5 ≤ x ≤ 14, x∈Z)}

79




DUC = {x/ x ≤ 100, x∈ Re}

Re

( ] ]

20 F 30 100

c) (A-C)U(C∩D) = {x/ (x > 100, x∈ Z+) ∨(20 < x ≤ 30, x∈ F)}A-C = {x/ x > 100, x∈ Z+} C∩D = {x/ 20 < x ≤ 30, x∈ F}

Z+

( ]

-10 Re 100

d) (B∆A) ∩ (E-D) = {x/ 15 ≤ x ≤ 50, x∈ Z}B∆A = {x/ -5 ≤ x < 0 ∨x ≥ 15, x∈ Z}

Z+

( [ )-10 -5 Z 15

E-D = {x/ (7< x ≤ 20, x∈ Q) ∨(20 < x ≤ 30, x∈ Z) ∨(30 < x ≤ 50, x∈ Q)}

Q

( ( ] ]7 20 F 30 50

e) (E∩B)∆(CUE) = {x/ (x < 7, x∈ R) ∨(7 < x < 15, x∈ F) ∨(7 < x < 15, x∈ Q’) ∨

(15 ≤ x ≤ 100, x∈ R)}

E∩B = {x/ 7 < x < 15, x∈ Z} CUE = {x/ x ≤ 100, x∈ Re}

ZQ

[ ( ) ]-5 7 15 50

5) En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:

80




1) 68 se comportan bien.2) 138 son inteligentes.3) 160 son habladores.4) 120 son habladores e inteligentes.5) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.

6) 13 se comportan bien y no son habladores.7) 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.

¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores yno son inteligentes?.

Solución: El problema da como datosn(B) = 68 n(I) = 138 n(H) = 160n(H∩I) = 120 n(B∩I’) = 20n(B∩H’) = 13 n(B∩H∩I’) = 15

Se pide hallar: n(B’∩H’∩I’) = ?

B H

5 15 25

408 80

9 17

I

Primero se ubica en el diagrama de Venn n(B∩H∩I’) = 15 luego n(B∩I’) = 20, despuésn(B∩H’) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando) n(B∩H∩I) = 40. Se

puede ubicar después n(H∩I) = 120, y por último se saca el número de personas que sonúnicamente inteligentes y únicamente habladores teniendo n(I) = 138 y n(H) = 160(restando).Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las demás del diagrama

de Venn).n(B’∩H’∩I’) = 17Otra forma:n(B’∩H’∩I’) = n(BUHUI)’n(BUHUI) = n(B) + n(H) + n(I) – n(B∩H) – n(B∩I) – n(H∩I) + n(B∩H∩I)n(BUHUI) = 68 + 160 + 138 – 55 – 48 – 120 + 40 = 183n(BUHUI)’ = 200 – 183 = 17

6) Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdió la gente:Contabilidad, Administración y Química.

Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:

81




n(C∩A∩Q) = 2 n(A∩Q) = 8 n(C∩Q) = 10n(C∩A) = 7 n(C) = 25 n(A) = 15 n(Q) = 35

Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de:

a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas?c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda?d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas?e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia?f) ¿Cuántos aprobaron la 2da ó la 3era pero no la 1era?

Solución:

UC A

10 25

28 6

198 Q

a) n[(C∆A)∆Q] = 31 b) n(CUAUQ)’ = 8

n(CUAUQ) = n(C) + n(A) + n(Q) – n(C∩A) – n(C∩Q) – n(A∩Q) + n(C∩A∩Q)n(CUAUQ) = 25 + 15 + 35 – 7 – 10 – 8 + 2n(CUAUQ) = 52n(CUAUQ)’ = 60 – 52 = 8

c) n[(C∩Q) ∩A’] = 8n(C∩Q) = 10 | | | | |

A’ ≡

82




UC A

Q

La respuesta es la parte que tiene el doble rayado.

d) n{[(C∩A) – (C∩A∩Q)]U[(C∩Q) – (C∩A∩Q)]U(A∩Q)} = 21e) n[U – (C∩A∩Q)] = 58f) n[(A’UQ’) ∩C] = 23

U

C A

10 5 22

8 6

19 8

Q

(A’≡ U Q’| | | ) ∩C = 23

7) Simplificar:[(A∩B’)U(B-A)]U{[(A∩B’)UB]’ ∩ (D∩D’)}

[(A-B)U(B-A)]U{[(A∩B’)UB]’ ∩ Φ} Propiedad de diferencia, y de contradicción(A∆B)UΦ Propiedad de diferencia simétrica, y de

identidadA∆B Propiedad de identidad

83




8) Demostrar:AU(A’∩B) = AUB

(∀x)x∈ [AU(A’∩B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∨x∈ (A’∩B)] Definición unión⇔ (∀x) [x∈ A ∨(x∈ A’ ∧x∈ B)] Definición intercepción

⇔ (∀x) [x∈ A ∨(x∉ A ∧x∈ B)] Definición complemento⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∉ A) ∧(x∈ A ∨x∈ B)] Postulado de

distributividad (P.D)⇔ (∀x) [V ∧(x∈ A ∨x∈ B)] Postulado del tercero

excluido⇔ (∀x) (x∈ A ∨x∈ B) Postulado de la identidad

(P.I)⇔ (∀x) x∈(AUB) Definición de unión

9) Demostrar:

A-(A∩B) = A-B

(∀x) x∈ [A-(A∩B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∧x∉ (A∩B)] Definición de diferencia⇔ (∀x) [x∈ A ∧∼ (x∈A ∧x∈ B)] Definición intersección⇔ (∀x) [x∈ A ∧(x∉ A ∨x∉ B)] Teorema de De Morgan

(T.DD.M)⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ A) ∨(x∈ A ∧x∉ B)] Postulado de

distributividad (P.D)⇔ (∀x) [F ∨(x∈ A ∧x∉ B)] Postulado de la contradicción⇔ (∀x) (x∈ A ∧x∉ B) Postulado de la identidad (P.I)

⇔ (∀x) x∈ (A -B) Definición de diferencia.

10) Demostrar:(A-B)-(A-C) = A∩ (C-B)

(∀x) x∈ [(A-B)-(A-C)] ⇔ (∀x) [ x∈ (A-B) ∧x∉ (A-C)] Definición dediferencia

⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∧∼ (x∈ A ∧x∉ C)] Definición dediferencia

⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∈ C)] Teorema de DeMorgan (T.DD.M) yteorema de la doblenegación.

⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ B)∧x∉ A ]∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]}Postulado de la distributividad (P.D)

⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ A)∧x∉ B ]∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]}Postulado de la conmutatividad (P.C),Teorema de la asociatividad (T.AS)

⇔ (∀x) {(F ∧x∉ B ] ∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]}Postulado de la contradicción

⇔ (∀x) {F ∨[x∈ A ∧(x∈ C ∧x∉ B)]}

Postulado de la identidad (P.I),

84




Postulado de la conmutatividad (P.C),Teorema de la asociatividad (T.AS)

⇔ (∀x) [x∈ A ∧(x∈ C ∧x∉ B)]Postulado de la identidad (P.I)

⇔ (∀x) [x∈ A ∧x∈ (C-B)] Definición de diferencia

⇔ (∀x) x∈[A ∩ (C-B)] Definición de intersección

11) Demostrar:A∆B = (A-B)U(B-A)

(∀x) x∈ [(A-B)U(B-A)] ⇔ (∀x) [x∈ (A-B) ∨x∈ (B-A)] Definición de unión ⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∨(x∈ B ∧x∉ A)]

Definición de diferencia ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ B) ∨x∈ B] ∧[(x∈ A ∧x∉ B) ∨x∉ A)]

Postulado de distributividad (P.D)

⇔ (∀x) {[(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉B ∨x∈ B)] ∧[(x∈ A ∨x∉ A)∧(x∉B ∨x∉ A)]} Postulado de distributividad (P.D)

⇔ (∀x) {[(x∈ A ∨x∈ B) ∧V] ∧[V ∧(x∉ B ∨x∉ A)]}Postulado del tercero excluido

⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)]Postulado de la identidad (P.I)

⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)]Postulado de la conmutatividad (P.C)

⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧∼ (x∈ A ∧x∈ B)]Teorema de De Morgan (T.DDM)

⇔ (∀x) [x∈ (AUB) ∧x∉ (A B)]Definiciones: unión, intersección ⇔ (∀x) [x∈ (A∆B)] Definición de diferencia simétrica

12) Demostrar:B ⊆ (AUB)

[B ⊆ (AUB)] ⇔ (∀x) [x∈ B ⇒x∈ (AUB)] Definición de subconjunto ⇔ (∀x) [x∈ B →x∈ (AUB)] Definición de relación de implicación

⇔ (∀x) [x∈ B →(x∈ A ∨x∈ B)] Definición de unión

⇔ (∀x) [x∉ B ∨(x∈ A ∨x∈ B)] Definición de condicional (D.C) ⇔ (∀x) [(x∉ B ∨x∈ B) ∨x∈ A)] Postulado de la conmutatividad (P.C)Teorema de la asociatividad

⇔ (∀x) (V ∨x∈ A) Postulado del tercero excluido ⇔ (∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

13) Demostrar:A ⊂ B ⇒B’⊂ A’

(A ⊂ B ⇒B’⊂ A’) ⇔ (∀x) [x∈ (A ⊂ B →B’⊂ A’)] Definición de relación deimplicación

⇔ (∀x) [(x∈ A ⇒x∈ B) →(x∈ B’⇒x∈ A’)]

85




Definición de subconjunto ⇔ (∀x) [(x∈ A →x∈ B) →(x∈ B’→x∈ A’)]

Definición de relación deimplicación

⇔ (∀x) [(x∈ A →x∈ B) →(x∉ B →x∉ A)]

Definición de complemento ⇔ (∀x) [∼ (x∈ A →x∈ B) ∨(x∉ B →x∉ A)]

Definición de condicional ⇔ (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(x∈ B ∨x∉ A)]

Definición de condicional ⇔ (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(x∉ A ∨x∈ B)]

Postulado de la conmutatividad (P.C) ⇔ (∀x) V Postulado del tercero excluido

14) Demostrar:

(E-F)-G ⊂ E-(F-G)

(∀x) x∈ [(E-F)-G] ⇒x∈ [E-(F-G)]Definición de subconjunto≡ (∀x) x∈ [(E-F)-G] →x∈ [E-(F-G)] Definición de relación de implicación≡ (∀x) {[(x∈ E ∧x∉ F) ∧x∉ G] →[x∈ E ∧∼ (x∈ F ∧x∉ G)]}

Definición de diferencia≡ (∀x) {∼ [(x∈ E ∧x∉ F) ∧x∉ G] ∨[x∈ E ∧∼ (x∈ F ∧x∉ G)]}

Definición de condicional≡ (∀x) {[∼ (x∈ E ∧x∉ F) ∨x∈ G] ∨[x∈ E ∧(x∉ F ∨x∈ G)]}

Teorema de De Morgan (T.DDM), yTeorema de la doble negación

≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨x∈ G] ∨[x∈ E ∧(x∉ F ∨x∈ G)]}Teorema de De Morgan (T.DDM)

≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨x∈ G] ∨[(x∈ E ∧x∉ F) ∨(x∈ E ∧x∈ G)]}Postulado de la distributividad (P.D)

≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨(x∈ E ∧x∉ F)] ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]}Postulado de la conmutatividad (P.C),Teorema de la asociatividad (T.AS)

≡ (∀x) {[∼ (x∈ E ∧x∉ F) ∨(x∈ E ∧x∉ F)] ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]}Teorema de De Morgan (T.DDM)

≡ (∀x) {V ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]} Postulado del tercero excluido

≡ (∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

15) Demostrar:A ⊂ B ⇒AUB = B

a) A ⊂ B ⇒(AUB) ⊂ B b) A ⊂ B ⇒B ⊂ (AUB) Definición de igualdad

86




a)(∀x) {(x∈ A ⇒x∈ B) ⇒[x∈ (AUB) ⇒x∈ B]} Definición de subconjunto(∀x) {(x∈ A →x∈ B) →[x∈ (AUB) →x∈ B]} Definición de relación de

implicación(∀x) {(x∈ A →x∈ B) →[(x∈ A ∨x∈ B) →x∈ B]} Definición de unión

(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[∼ (x∈ A ∨x∈ B) ∨x∈ B]} Definición de condicional(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∧x∉ B) ∨x∈ B]} Teorema de De Morgan (T.DDM)(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨x∈ B) ∧(x∉B ∨x∈ B]} Postulado de

distributividad (P.D)(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨x∈ B) ∧V]} Postulado del tercero excluido(∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨x∈ B)] Postulado de identidad(∀x) V Postulado del tercero excluido

∧ b)

(∀x) {(x∈ A ⇒x∈ B) ⇒[x∈ B ⇒x∈ (AUB)]} Definición de subconjunto(∀x) {(x∈ A →x∈ B) →[x∈ B →x∈ (AUB)]} Definición de relación de

implicación(∀x) {(x∈ A →x∈ B) →[x∈ B →(x∈ A ∨x∈ B)]} Definición de unión(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[x∉ B ∨(x∈ A ∨x∈ B)]} Definición de condicional(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ B ∨x∈ B) ∨x∈ A]} Postulado de la conmutatividad

(P.C), Teorema de la asociatividad(T.AS)

(∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(V ∨x∈ A)}] Postulado del tercero excluido(∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨V] Teorema de la tautología (T.T)

(∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

Entonces a) V ∧ b) VV Por teorema de idempotencia

18) Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A B = Φ

a)

(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] ⇒x∈ [(A B) ⊂ Φ]}

Definición de conjuntos disjuntos(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] ⇒[x∈ (A B) ⇒x∈ Φ]}

Definición de subconjunto

(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] →[x∈ (A B) →x∈ Φ]}Definición de relación de implicación

(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] →[(x∈ A ∧x∈ B) →x∈ Φ]}Definición de intersección

(∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)] ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]}Definición de condicional

87




(∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)] ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]}Postulado de la conmutatividad (P.C)

(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∉ B) ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]}Teorema de idempotencia (T. Idemp)

(∀x) {(x∈ A ∧x∈ B) ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]}Teorema de De Morgan (T.DDM)

(∀x) {[(x∈ A ∧x∈ B) ∨∼ (x∈ A ∧x∈ B)] ∨x∈ Φ}Teorema de la asociatividad (T.AS)

(∀x) [V ∨x∈ Φ] Postulado del tercero excluido(∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

∧ b)(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] ⇒x∈ [Φ ⊂ (A∩B)]}

Definición de conjuntos disjuntos(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] ⇒[x∈ Φ ⇒x∈ (A∩B)]}

Definición de subconjunto(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] →[x∈ Φ →x∈ (A∩B)]}

Definición de relación de implicación

(∀x) {[(x∈ A →x∉ B) ∧(x∈ B →x∉ A)] →[x∈ Φ →(x∈ A ∧x∈ B)]}Definición de intersección

(∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)] ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]}Definición de condicional

(∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)] ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]}Postulado de la conmutatividad (P.C)

(∀x) {∼ (x∉ A ∨x∉ B) ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]}Teorema de idempotencia (T. Idemp)

(∀x) {(x∈ A ∧x∈ B) ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]}Teorema de De Morgan (T.DDM)

(∀x) {[(x∈ A ∧x∈ B) ∨(x∈ A ∧x∈ B)] ∨x∉ Φ)}Teorema de la asociatividad (T.AS)

(∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨x∉ Φ)] Teorema de la idempotencia (T.Idemp)(∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨∼ (x∈ A ∧x∉ A)] Definición del vacío

(∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨x∉ F] Postulado de la contradicción(∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨V] Definición de tautología(∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

Entonces a) V ∧ b) VV Por teorema de idempotencia

88




2.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representar gráficamente:

a) [(A∩C’)’∆(P’-A)]U(A∆C) b) [(Q’-Z’)’-(T∆Q)’] ∩T’c) {F’∩ [(D’UE)∆E’]}-D

2) Expresar simbólicamente:

a) U b) U

A B N E

C G

89



Ejercicios propuestos

c) U

Q D

Z

3) Del siguiente diagrama lineal:

P

A B C

R S T F K G

N Z L

QResponder:

a) Q ⊂ A = ? N ⊂ A = ? L ⊂ C = ?S ⊂ P = ? R ⊂ Z = ? F ⊂ G = ?

b) Representar dicho diagrama en forma de diagrama de Venn-Euler.

4) Representar, sombreando el área apropiada, cada uno de los conjuntos productos quesiguen en un diagrama cartesiano de R x R.

a) (-4, -1] x [-2, -5] b) {x/ -1 < x < 3}x {x/ -3 ≤ x < 6}c) {x/ x > 7} x {x/ 2 < x ≤ 5}d) {x/ x < -4} x {x/ x ≥ 10}

91




5) Sean los conjuntos :D = (x, z) M = (y, t] P = [x, t] A = [y, z)

Siendo x, y, z, t ∈ ReSi t > z > y > x

Hallar:a) (M∆A)-(PUD) = ?

b) [(P∩A)∆M]UA = ?c) [(D∩M)-(P-A)] ∩D = ?d) [(M-A)∆(AUP)]-D =?

6) Sean los conjuntos:M = [d, c] N = [c, a) P = (d, b]

Siendo a, b, c, d ∈ ReHallar: (M∆P)-(N∩P) = ?

Si a) a > b > c > d b) b < a < d < cc) c = b < d < a


A = {x/ 10 ≤ x < 20, x∈ Q} B = {x/ 2 < x < 15, x∈ F}

C = {x/ x ≥ 8, x∈ Z} D = {x/x∈ I}E = {x/x∈ 12 < x ≤ 90, x∈ Re}

Hallar:a) (C-A) ∩E = ?

b) (B∩D)U(E∆A) = ?c) (AUB) ∩ (E∆C) = ?d) [(A-B)∆(C∩E)]∆D = ?


A = {x/ x ≤ 30, x∈ Q} C = {x/ 10 ≤ x < 100, x∈ Re}

B = {x/2

1< x ≤

2

3, x∈ F} D = {x/ x > 7, x∈ Z}

Hallar:a) (B-C)∆(DUA) = ?

b) (A∩C)-(D∆B) = ?

c) (B∆C) ∩ (D-A) = ?

92



Ejercicios propuestos

9) Se da la siguiente información referente al número de elementos de los conjuntos A, By C de cierto conjunto de 150 elementos:

n(A) = 85, n(B) = 70, n(C) = 55, n(A∩B) = 35,

n(A∩C) = 30, n(B∩C) = 25, y n(A∩B∩C) = 20

Hallar:a) n(AUB)

b) n(AUBUC)c) n(A∩B∩C’)d) n(A∩B’∩C’)e) n(A’∩B’∩C’)

10) Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes

acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientesdatos: Estudian Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15, física y geometría20, álgebra y geometría 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5.Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

11) En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de laUniversidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C,20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leenninguna de las revistas.

Hallar el porcentaje y expresarlo simbólicamente:

a) ¿Qué porcentaje leen las tres revistas? b) ¿Qué porcentaje leen exactamente dos revistas?c) ¿Qué porcentaje leen al menos dos revistas?d) ¿Qué porcentaje leen la revista A o la C, pero no la B?e) ¿Qué porcentaje leen exactamente una revista?f) ¿Qué porcentaje no leen la revista B y la C, pero si la A?

12) En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó losiguiente:Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9; ingles,francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el número de

los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés; ninguno de losque hablan italiano hablan ni francés ni inglés.

Hallar el número de personas y expresarlo simbólicamente:a) ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas?

b) ¿Cuántos hablan únicamente alemán?c) ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas?d) ¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés?e) ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés?

93




13) Demostrar: a) AUA =A b) A∩Φ = Φc) AUU = U d) AUΦ = Ae) AUB = BUA f) AU(BUC) = (AUB)UC

g) A ⊆ (AUB) h) A∩U = Ai) A∩ (BUC) = (A∩B)U(A∩C) j) (A∩B) ⊆ Ak) (A’)’ = A l) AUA’ = Um) A∩A’ = Φ ñ) (AUB)’ = A’∩B’o) (A∩B)’ = A’UB’ p) U’ = Φ

q) Φ’ = U r) A – B = A∩B’s) A – A = Φ t) U – A = A’u) A∆B = B∆A v) A∆B = (AUB) – (A∩B)w) A – (B – C) = (A - B)U(A∩C)x) AU(B – C) = (AUB) – (C – A)

y) A∩ (B – C) = (A∩B) – (A∩C)z) (A ⊂ B) ⊂ Φ = (A’⊂ Φ)∩ (B ⊂ Φ)

14) Demostrar:

a) Si A ⊂ B implica A∩B = A b) Si A ⊂ B implica AU(B – A) = Bc) Si A∩B = Φ entonces B∩A’ = Bd) A – B es subconjunto de AUB

e) A – B = B – A = B implica A = B

94

Documents

capítulo Conjuntos