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CAPTULO I

I N T R O D U C C I N

En este curso se presenta la teora general de mquinas electromagnticas rotatorias,

aplicable a todo tipo normal de mquinas y en cualquier condicin de operacin.

Un estudio analtico de mquinas elctricas consiste de dos partes:

1. Determinacin de las caractersticas bsicas expresadas por medio de los parmetros de la mquina. Al efectuar los clculos los valores frecuentemente se

consideran constantes y los parmetros son referidos como constantes.

2. Clculo del comportamiento de la mquina utilizando las constantes bajo condiciones externas dadas.

La teora de mquinas elctricas en este curso se refiere fundamentalmente a la

segunda parte. As la teora inicia con la mquina idealizada, cuyas propiedades se

expresan por medio de constantes conocidas, dando el medio para calcular su

comportamiento. Para el propsito de la teora, las constantes, esencialmente

resistencias e inductancias, deben ser referidas cuidadosamente.

Los detalles de los mtodos para calcular esas constantes conciernen a la primera

parte, la cual es muy importante para el diseo, pero debe ser tratada en otro curso.

En cursos convencionales de mquinas elctricas cada tipo de mquina se trata por

separado y se desarrollan mtodos de anlisis simples. En estos cursos el principal

nfasis se refiere al estado permanente y conduce a mtodos analticos grficos

para sus clculos. Y para mquinas de C.A. los diagramas fasoriales son de gran

utilidad.

La teora clsica tiene la desventaja de no considerar condiciones transitorias.

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I.1 DESCRIPCIN HISTORICA DEL DESARROLLO DE LA TEORA

DE MQUINAS ELCTRICAS

Las primeras teoras de mquinas de C.A. se basaron en diagramas fasoriales y de

ah se busco despus los circuitos equivalentes. El siguiente desarrollo importante

fue la introduccin de nmeros complejos conocido como Mtodo Simblico. En esta poca el mtodo algebraico se utilizo como auxiliar para trabajar los

diagramas fasoriales o circuitos equivalentes.

En la teora moderna las ecuaciones algebraicas son aceptadas como medios

fundamentales de expresin; los circuitos equivalentes y diagramas fasoriales son

considerados como alternativas de solucin.

El uso de ecuaciones esta en lnea con los mtodos aceptados en la teora de

circuitos y conduce a la Teora General de Mquinas, la cual cubre todos los tipos

y todas las condiciones de operacin.

El conjunto fundamental de ecuaciones se deriva de una mquina idealizada de dos

polos, la cual es aproximadamente equivalente a la mquina real, de acuerdo con

ciertas suposiciones. En general, son ecuaciones diferenciales en las cuales un

voltaje aplicado se iguala a la suma de varios componentes de voltajes que

dependen de las corrientes un par aplicado se iguala a la suma de componentes.

En mquinas de C.D. las ecuaciones que relacionan a las corrientes con los voltajes

y par estn en una forma conveniente para dar una solucin practica y directa, pero

en la mayora de los problemas de mquinas de C. A. las ecuaciones tienden a

complicar la solucin. No obstante, una solucin es posible con una computadora

digital.

Sin embargo, para la gran mayora de las mquinas de C. A. se obtiene una

simplificacin expresando las ecuaciones en un nuevo marco de referencia por

medio de alguna transformacin, introduciendo ciertas corrientes y voltajes

ficticios, los cuales estn relacionados con los reales.

Las corrientes ficticias pueden tener un significado fsico en el que se puede

considerar que fluyen en devanados ficticios, por ejemplo actuando en dos ejes en

ngulo recto, llamados ejes directo y cuadratura.

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Debido a la importancia practica, una gran parte del curso se enfocar a las

aplicaciones de la teora de dos ejes, particularmente a problemas de mquinas

sncronas y de induccin.

El primer paso en su desarrollo fue la Teora de Dos Reacciones de Blondel, despus fue examinada por Doherty. Una contribucin muy valiosa fue hecha por

Park. La transformacin de Park da el concepto fundamental ms importante

desarrollado por Kron en su teora generalizada.

En este curso fundamentalmente se vern los conceptos de conversin de energa

electromecnica, teora general de mquinas, modelado de mquina sncrona y de

induccin partiendo fundamentalmente de esta Teora Moderna.

I.2 BASES DE LA TEORA GENERAL

I.2.1 MQUINA IDEALIZADA

Todos los tipos de mquinas rotatorias electromagnticas tienen muchas cosas en

comn como se muestra en la siguiente figura:

Ncleo del estator

Flecha

Devanado del rotor

Devanado del estator

Ncleo del

rotor

Chumaceras

y baleros

Fig. 1.1 Esquema de una mquina elctrica en general.

En este arreglo se tiene un elemento externo estacionario y uno interno montado en

chumaceras. Los dos elementos llevan ncleos cilndricos separados por un

entrehierro en donde pasa el flujo magntico principal de un ncleo a otro en un

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circuito magntico cerrado. El punto ms importante de las mquinas rotatorias es

que las dos superficies cilndricas de hierro, separadas a una pequea distancia, se

mueven relativamente una con respecto de la otra.

Las superficies cilndricas en cada elemento pueden ser continuas, separadas por

ranuras o divididas en polos salientes.

La operacin de la mquina depende primeramente de la distribucin de las

corrientes alrededor de las superficies del ncleo y el anlisis de los devanados

concierne nicamente con esta distribucin. El arreglo detallado de las conexiones

es de importancia secundaria. As el arreglo general es el mismo para todas las

mquinas. Los diversos tipos difieren fundamentalmente slo en la distribucin de

los conductores que forman a los devanados y en que los elementos tengan la

superficies continuas o polos salientes. La operacin de cualquier mquina depende

tambin de la naturaleza de los voltajes aplicados a su devanados.

El entrehierro es la regin crtica de la mquina y la teora principalmente esta

relacionada con las condiciones acerca de este espacio anular.

La teora se desarrolla sustituyendo los conductores reales por equivalentes

localizados en la superficie del ncleo.

El arreglo esencial de la mquina puede ser representado por medio de una seccin

corte perpendicular al eje de los ncleos en forma desarrollada como se muestra

en la figura, que da un ejemplo de una mquina de 6 polos salientes en el miembro

externo y un ncleo continuo en el interno.

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N S N S N SS

4 0

Fig. 1.3 Diagrama desarrollado de la mquina.

NOTA: La figura 1.3 es una ejemplificacin de un motor lineal.

En el diagrama desarrollado, la distribucin de densidad de flujo y corrientes se

repite cada dos polos independientemente del nmero de polos que sean. De aqu

que cualquier mquina puede ser sustituida por una mquina equivalente de dos

polos.

La teora general se desarrolla en trminos de mquinas de dos polos. El nmero de

polos debe ser introducido cuando se efectan clculos de las constantes de la

mquina, particularmente cantidades mecnicas como par y velocidad.

I.2.2 FUERZA MAGNETOMOTRIZ Y DIAGRAMAS DE DENSIDAD DE FLUJO

Se considera una mquina con un entrehierro uniforme que tiene un solo vuelta,

como el mostrado en la figura 1.4 a), la F.M.M actuando alrededor de la trayectoria

cerrada que encierra a la corriente ci est dada por:

dlHiF c . 1.1

Donde H es la fuerza magnetizante en un punto.

Asumimos que:

a. La permeabilidad de los miembros ferromagnticos es muy grande y la fuerza magnetizante se emplea en su totalidad para conducir el flujo en el

entrehierro.

b. El flujo en el entrehierro es radial y se ignora la distorsin del campo en la vecindad del conductor.

c. El dimetro del conductor es despreciablemente pequea. d. La longitud del entrehierro es pequeo con respecto al dimetro del rotor y

la densidad de flujo es constante a lo largo de un radio.

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Fig. 1.4 Una vuelta en un entrehierro uniforme.

El flujo de la bobina atraviesa el entrehierro dos veces. El flujo que deja la

superficie del rotor ve una reluctancia del entrehierro igual a la que atraviesa al

entrehierro y entra en la bobina. Entonces de la ecuacin 1.1, la fuerza

magnetomotriz gF requerida por cada entrehierro es la mitad de la fuerza

magnetomotriz total.

gHiF

F gc

g 22

y g

iH cg

2

donde, g es la longitud del entrehierro.

Por lo que la expresin para la densidad de flujo en el entrehierro es,

g

iHB cgg

200 1.2

y esta es constante para un entrehierro uniforme.

La fuerza magnetomotriz y los diagramas de la densidad de flujo se muestran en la

figura 1.4 b). La convencin adoptada es positiva la fuerza magnetomotriz si el flujo deja la

superficie del rotor.

a. Saliencia, considere la proyeccin de las caras polares sobre el miembro externo, ver figura 1.5; la reluctancia del entrehierro en la trayectoria del

flujo saliendo o entrando al rotor son iguales si las caras polares son iguales

en ambos lados. As la fuerza magnetomotriz en el entrehierro son iguales,

ver la figura 1.5 b).

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Fig. 1.5 Una vuelta en un entrehierro y saliencia en uno de los miembros de la mquina.

La no uniformidad idealizada de la densidad de flujo en un punto es obtenida de

acuerdo a la expresin 1.2 , incluyendo la dimensin apropiada del entrehierro g.

Es posible extender la fuerza magnetomotriz y los diagramas de la densidad de flujo

para completar el devanado con cualquier nmero de polos. Las mquinas actuales

tienen devanados simtricos y caras polares, y se hacen consideraciones sin errores

apreciables, ignorando los efectos en las ranuras.

A continuacin se presentan dos ejemplos tpicos de maquinas,

b. Mquina de C.D. con carga, la figura 1.6 muestra los diagramas desarrollados para una mquina con polos salientes en el devanado del

estator y un devanado distribuido en el rotor. Esto corresponde a una

mquina de C.D. con carga. En la prctica el patrn de flujo es

distorsionado, no radial y resulta en la curva suave de la densidad de flujo

mostrada en 1.6 c).

c. Devanados polifsicos distribuidos, la figura 1.7 muestra un devanado distribuido trifsico de doble capa, con 9 ranuras por paso polar. El

devanado es energizado por corrientes balanceadas y los diagramas

desarrollados se muestran en la figura 1.7 a) para un instante cuando la

corriente A es mxima.

Con un incremento en el nmero de conductores por fase, los pasos de la fuerza

magnetomotriz son menos pronunciados y resulta una onda ms suave como la que

se muestra en la figura 1.7 b), tales devanados se llaman uniformemente

distribuidos.

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Por ejemplo se muestran dos casos,

a. Mxima corriente en la fase A. b. Corriente cero en la fase B.

Fig. 1.6 Densidad de flujo y diagramas de F.M.M. para una mquina de C.D con carga.

I.2.3 TIPOS DE DEVANADOS

El tipo de mquina depende de la combinacin de los siguientes tipos de devanados:

a) Devanado de bobina. Este devanado consiste en bobinas similarmente puestas en todos los polos y conectadas en serie o paralelo.

b) Devanado polifsico. Son conductores individuales distribuidos en ranuras y se conectan en varios circuitos separados, uno por fase. Los grupos de conductores que

forman las fases se distribuyen en secuencia regular sobre pasos polares sucesivos.

c) Devanado de conmutador. Los conductores son localizados en ranuras y se conectan a los segmentos del conmutador en secuencia continua. La corriente fluye

del circuito externo a travs de escobillas.

La mquina de C.D. tiene devanado de bobina y devanado de conmutador.

La mquina Sncrona tiene devanado de bobina y devanado polifsico.

Los motores de induccin tienen dos devanados polifsicos.

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Resumen de las propiedades de los devanados

Los dos arreglos fsicos de devanados son,

a. Concentrado alrededor de las caras polares (polos salientes). b. Distribuido en ranuras.

El funcionamiento en el sentido magntico puede ser dividido en tres grupos:

a. Un patrn de flujo el cual es estacionario con respecto a los devanados por ejemplo; un devanado de polos salientes

b. Patrn de flujo el cual es estacionario respecto a las escobillas pero no con el devanado mismo, esto es, un devanado conmutador

c. Con un patrn de flujo el cual se mueve con respecto al devanado, por ejemplo, un devanado polifsico.

Figura 1.7 Diagramas de fuerza magnetomotriz para un devanado con paso de bobina.

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Tabla 1.1 Resumen de las Propiedades de los Devanados

Patrn de flujo

Devanado

ESTACIONARIO

con respecto al

DEVANADO

BOBINAS CONCENTRADAS

Polos salientes, energizados con DC

Distribuidos, energizados con DC

ESTACIONARIO

con respecto a las

ESCOBILLAS

CONMUTADOR

GIRATORIO

con respecto a los

DEVANADOS

POLIFSICO DISTRIBUIDO, JAULA

Jaula de ardilla

Devanado amortiguador

PULSANTE

con respecto a los

DEVANADOS

DISTRIBUIDO,

energizado con un devanado

monofsico de AC

La jaula mencionada en la tabla 1.1 consiste en conductores cortocircuitados en los

extremos con anillos. Un campo magntico variable relativo a este devanado induce un

voltaje en los conductores y una corriente alterna circula. Las corrientes en los conductores

estn defasadas entre ellas y el devanado completo establece un patrn de flujo el cual gira

con una velocidad angular dependiente de la frecuencia de los voltajes inducidos.

I.2.4 MQUINA DE DOS POLOS IDEALIZADA

Para cualquier tipo de mquina, la teora se desarrolla para la mquina idealizada de

dos polos, la cual es aproximadamente equivalente a la mquina real. Cada

devanado de la mquina real se representa por una sola bobina en la mquina

idealizada. Para propsitos de anlisis es independiente cual de los dos elementos de

la mquina gira, ya que su operacin depende nicamente del movimiento relativo

entre ellos.

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En la figura 1.8 se muestra el arreglo de una mquina ideal sncrona de polos

salientes. NOTA: La teora es aplicable a cualquier arreglo.

Se ha desarrollado la teora general para cubrir un amplio rango de mquinas en una

forma unificada. Una parte muy importante de esta generalizacin se aplica a la

Teora de Dos Ejes en la cual por medio de una transformacin cualquier mquina

puede ser representada por bobinas en los ejes.

Kron llam a la mquina idealizada de dos ejes como la Mquina Primitiva.

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Estas bobinas poseen las siguientes propiedades:

1. La corriente en cada bobina produce un campo estacionario en el espacio.

2. Es posible inducir un voltaje en la bobina por la rotacin del elemento en movimiento (por esto se les llama bobinas seudoestacionarias).

Algunas mquinas requieren menos de cuatro bobinas para su representacin,

mientras que otras requieren ms.

Si las bobinas de la mquina real estn localizadas en los ejes, ellas corresponden

exactamente a las de la Mquina Primitiva, pero si no, es necesario hacer una

conversin de las variables de la mquina real a las variables equivalentes en los

ejes correspondientes a la Mquina Primitiva, o viceversa. Cualquier sistema

particular que describa a una mquina se le llama marco de referencia y una

conversin de un marco de referencia a otro se le da el nombre de transformacin.

La aplicacin de la teora de los Dos Ejes se resume en:

1. Se forma el diagrama de la mquina de Dos Polos idealizada usando el menor nmero de bobinas requeridas para obtener la aproximacin.

2. Despus la Mquina Idealizada se relaciona con la mquina primitiva directamente o por la transformacin.

3. La teora es desarrollada obtenindose un conjunto de ecuaciones de voltajes, relacionando voltajes y corrientes de la Mquina Primitiva y se adiciona una

ecuacin de par relacionando el par con las corrientes. La velocidad aparecer

como una variable en las ecuaciones.