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CAPITULO I
MARCO TEORICO
1.1. LEY MINIMA DE EXPLOTACION TECNOLOGICO :
1.1.1.GENERALIDADES:
Dentro de una vista panorámica, el geólogo cumple un rol muy
importante en el ámbito de la estimación de reservas el cual nos lleva a
tomar proyecciones a futuro. Sin salir de la realidad reconozcamos con
humildad que la estimación de las reservas del mineral no podrá ser de
toda verdad, porque se cometerán errores en el procedimiento ya sean
sistemáticos o errores accidentales que la curva de Gauss interpreta que
los errores accidentales sean positivos y/o negativos se anularan
mientras que los errores sistemáticos quedara en dicho resultado que se
obtendrá del mencionado trabajo.
De lo mencionado anteriormente podemos concluir que la
formación geológica que presentan los yacimientos no presenta una
forma geométrica definida ni uniforme en su contenido metálico para
10
dicha estimación de reservas.
1.1.2.DEFINICIONES:
La ley Mínima Explotable Tecnológico cuya definición abarca todas las
actividades que se realizan para la estimación de las reservas in-situ que
garantiza la vida útil de la mina, teniendo en cuenta los resultados que
se obtendrán de lo mencionado anteriormente; para tal efecto se cuenta
con el trabajo profesional del Ingeniero Geólogo.
Llegando a la conclusión que el objetivo principal de todo este
proceso de actividades es maximizar la vida útil de la mina optimizando
la producción.
Como Edmundo TULCANAZA NAVARRO, menciona:
“(…) Una ley critica que permite la definición geográfica y cuantitativa de los límites máximos de las reservas geológicas esta relacionada con la planificación a largo plazo.” (1)
Siguiendo la secuencia del autor ya mencionado anteriormente, se tiene
la siguiente cita textual:“En operaciones de gran flexibilidad en las cuales los costos de preparación y desarrollo permiten la preparación de varios lugares de extracción basados en un gran inventario de mineral extraíble, la relación de un margen de ganancia nulo por tonelada que expresa el balance entre el costo de operación por tonelada y el ingreso por tonelada” (2)
Deduciendo esta cita textual, llegamos a la conclusión la siguiente
relación para el cálculo de la Ley crítica:
1 () TULCANAZA NAVARRO, Edmundo…TECNICAS GEOESTADISTICAS Y CRITERIOS TECNICO ECONOMICOS, VALPARAISO, 1992, cap. I, p.217.
2 () TULCANAZA NAVARRO, Edmundo…op. cit, p.218.
11
Ley critica = p (t )b¿¿
Donde:
P(t) = Costo de operación (US$/ton) en función del nivel de
producción.
b = valor de 1 ton. de mineral de una ley media unitaria de metal
(US$/ton)
Se puede observar en la formula anterior de manera clara y precisa la
manera como se calcula la ley critica de una relación simple. Solo de
esta relación que el autor plantea se tomara en cuenta que para emplear
en las actividades mineras posteriores.
La ley critica esta en función del costo de operaciones y sobre
el valor del mineral por cada tonelada de una ley media unitaria de
metal.
1.1.3.PARAMETROS TECNICOS:
a) Ley Mínima Explotable de Planeamiento (largo plazo).- Se
realiza esta acción teniendo en cuenta el comportamiento del precio
de los metales en el mercado internacional, tomando la demanda que
tienen de estos; para dicho efecto se realiza un planeamiento
estratégico proyectado a un tiempo determinado para obtener
ganancias y/o utilidades que sea satisfactorio a lo previsto en el
planeamiento.
12
Como Oscar LLANQUE MAQUERA, menciona:
“Es el valor del mineral recuperable, cuyos ingresos para la vida de la mina resultan con un valor presente e igual a cero. Es decir, el mineral con este valor debe generar ingresos reales iguales a todos los costos de capital, operacionales y financieros; incluyendo impuestos y regalías durante la vida de la mina.” (3)
b) Ley Mínima Explotable Contable.- Como todo recurso (humano –
físico) necesita obtener recompensas y mantenimientos por las
actividades que realizan, los recursos físicos al transcurrir el tiempo
se deprecian del costo original que tuvieron a toda esta necesidad,
algunos gastos adicionales de operación, el que se encarga de cubrir
es la Ley Mínima Explotable Contable; de lo mencionado
anteriormente se llega a la conclusión que se debe tener mayor
cuidado en este aspecto.
Como Oscar LLANQUE MAQUERA, menciona:
“Es el valor del mineral recuperable que genera ingresos iguales a todos los costos operacionales, administrativos de la mina generales más la depreciación y una utilidad mínima requerida. El propósito es satisfacer los requerimientos contables de lograr utilidades en el período, después de la depreciación e impuestos.” (4)
c) Ley Mínima Explotable de Equilibrio.- Como todas las actividades
generan gastos en toda industria minera, se necesita un agente
económico el cual ayude a cubrir el proceso de la extracción,
3 () LLANQUE MANQUERA, Oscar… EXPLOTACION SUBTERRANEA… Puno – Perú, Perú offset Editores, 1999. – Cap. II, p. 35.
4 () LLANQUE MANQUERA, Oscar… Op.Cit, p. 35.
13
procesamiento y comercialización en los cuales se generan gastos
para realizar dichas actividades el cual tiene que ser recompensado
llegando a un punto de equilibrio o igualdad de los gastos e ingresos.
De lo contrario se tendrían dos casos: pérdidas y ganancias. Lo que
no se espera llegar es a la perdida el cual tiene que cubrir los gastos
ya mencionados con la Ley Mínima Explotable de Equilibrio.
Como Oscar LLANQUE MAQUERA, menciona:
“Es el valor del mineral recuperable que genera un ingreso igual a todos los gastos reales de operación (fijos y variables) de administración y gastos de capital por reinversión en la mina. Si la mina opera a este nivel de valor el flujo de caja será igual a cero.” (5)
d) Ley Mínima Explotable Marginal.- Como toda industria minera
tiene su política en obtener ganancias, para dicho efecto y
cumplimento del objetivo se realizaran acciones preventivas de
planeamiento de acuerdo al precio de los metales; con el fin de
establecer la extracción de los minerales y el contenido metálico que
deben de tener estos, según lo previsto en el planeamiento. De todo
lo mencionado anteriormente se llega a la única conclusión, que es la
de obtener utilidades superiores a todos los gastos generados que
demanda el proceso de minado, sin considerar los gastos
administrativos y los gastos no previstos.
Como Oscar LLANQUE MAQUERA, menciona:
“Es el valor del mineral recuperable que genera un ingreso igual a los gastos reales de operación (fijos y variables), sin incluir gastos de
5 () Ibid…, Cap. II, p.35-36
14
administración de la mina ni generales. Se aplica para determinar la ley mínima de un mineral que podría ser enviado a la Concentradora.” (6)
e) Ley Mínima Explotable por Método de Minado.- En toda decisión
que se tome para el método de minado seleccionado se tendrá como
un factor muy importante el contenido metálico y la dimensión
geométrica que debe tener el yacimiento, es un indicador para entrar
en el proceso de extracción de los minerales ya sea por cualquier
método que se halla previsto de acuerdo a los estudios Geológicos
realizados anteriormente para el entendimiento del lector se toma el
siguiente autor.
Como Oscar LLANQUE MAQUERA, menciona:
“Se emplea o debe calcularse cuando existan marcadas diferencias en los costos de minado y tratamiento entre los diferentes métodos de minado o secciones de producción de una mina. En la determinación de los diferentes niveles de Ley Mínima Explotable por Método de Minado, los costos variables están siempre involucrados en tanto la asignación de los dife-rentes conceptos de costos fijos define tales niveles.” (7)
Como citado anteriormente el autor es muy importante resaltar por
los años de experiencia que ha tenido en los trabajos de minería que
da mayor énfasis en los temas anteriormente mencionados, es por
ello que recurrimos a este autor.
6 () Ibid…, Cap. II, p.377 () Loc. Cit.
15
1.2. LEY MINIMA DE EXPLOTACION ECONOMICO :
1.2.1.GENERALIDADES:
El Cut Off grade es también un indicador económico que permite
distinguir a un yacimiento de mena de la ganga, en términos
económicos lo mencionado anteriormente dispone a la acción y efecto
de una explotación optima. Una vez definido los diferentes tipos de
costos con que debe trabajar una mina se realiza una evaluación
practica de un yacimiento de mineral determinando con cierto grado de
precisión cuales zonas deben ser trabajables y cuales no en función a los
precios de los metales.
En mención al término indicador se podrán tomar acciones preventivas
de acuerdo al resultado cuantitativo, cualitativo de la selección de las
zonas de explotación de esta manera tener como efectos de maximizar
las utilidades y minimizar las perdidas en dicha actividad.
Dicho de esta manera según el autor Kandri DARGDELEN menciona:
“El uso del cálculo de la rentabilidad por medio del Cut Off durante la producción, en la mayoría de los casos, conduce a la explotación optima del recurso; por ello siempre la ley Cut off mayor o igual a la ley mínima de la explotación.” (8)
1.2.2.DEFINICION:
El Cut Off es un valor patrón calculado mediante procedimientos
determinalisticos por la misma necesidad minera, de conocer con la más
exactitud posible los minerales económicos y no económicos para un
8 () KANDRI DARGDELEN… OPTIMIZACION DE LEY DE CORTE, Curso internacional... FIGMMM – UNI. Lima. 200 sp
16
periodo de tiempo determinado. El cual dependerá de los resultados que
se obtendrán de los análisis respectivos que se efectuaran para lo
mencionado anteriormente.
Como define Kandri DARGDELEN menciona:
“El grado de economizar es definido como el grado que se usa normalmente para excluir entre mineral y desperdicio dentro de un depósito dado.” (9)
El Cut off es un valor estándar determinado con el propósito de
clasificar los minerales en económicos y no económicos por un periodo
de tiempo determinado el cual dependerá de las demandas que tienen
los metales en las diferentes bolsas de valores internacionales por que
todo producto comercializable tiene un costo según la calidad que
presenta dichos metales.
1.2.3.OBJETIVO ECONOMICO:
Como en toda industria se requiere básicamente del empleo de los
recursos de los humanos y físicos el cual exige resultados financieros
óptimos en lo concerniente. Es primordial la utilización de la ley de
corte, los costos que requieren el mineral, la explotación, el
procesamiento, la comercialización son actividades que ordenan a
cumplir ciertos criterios geológicos que deben tener los minerales al
momento de ser extraídos en tanto en el contenido metálico como en
dimensiones de la reserva.
“El precio de minado, precio de molienda, precio final de la producción del concentrado, determinan los costos de producción y
9 () KANDRI DARGDELEN… Op. cit. Lima. 200 sp
17
también en que media el Cut off tiene que ser ajustado hacia arriba (al alza) para maximizar el VAN (Valor Actual Neto)” (10)
El Ingeniero de Minas tiene que cumplir una función muy importante en
el aspecto económico por que solo de esto dependerán los resultados
óptimos es así como se procede en todo trabajo de Ingeniería.Como el autor Simón ANDRADE ESPINOZA menciona:
“(…) Conocido como el valor presente neto (VPN) se define como la diferencia de las sumatorias de los beneficios y la sumatorias de los costos que son actualizados a una tasa de interés fija, menos la inversión en el momento cero. Es la suma algebraico de los valores actualizados del flujo neto de fondos del proyecto en el horizonte de planeamiento, menos la inversión en el año base.” (11)
El autor ANDRADE ESPINOZA Simón en su afán de explicar nos muestra
algunos modelos matemáticos que nos permita comprender de una
manera más sencilla y precisa teóricamente, para lo cual se calcula
cuatro etapas:
1. Determinación del flujo de la caja del proyecto.
2. Determinación del tipo de interés aplicable.
3. Calculo del valor presente de los flujos de caja según el tipo de
interés y el periodo.
4. Suma algebraica de los valores calculados anteriormente.
10 () TRADUCCION: Cut off es la ley limite que se utiliza para ajustar los flujos de caja provenientes de las operaciones mineras en un año determinado.
11 () ANDRADE ESPINOZA Simón, FORMULACIÓN DE PROYECTOS, Lima – Perú. Editorial Lucero, 1993, cap. III; pág. 77
18
Matemáticamente el valor actual, VAN (Valor Actual Neto). Se tiene la
siguiente deducción matemática:
VAN=Co+ C 1(1+i)
+ C 2
(1+i)2+ C 3
𭞞(1+i)3+…+ Cn
(1+i)n
Donde:
Co = Capital inicial aportado para iniciar el proyecto
Cn = Diferencia entre cobros y pagos en el periodo n
i = Tipo de interés; normalmente es aquel que ofrece una inversión
alternativa.
n = Número de años en los que se calcula la inversión. (12)
La ley de corte no solamente es afectado por funciones económicas
dentro de la empresa, sino también de factores tecnológicos y de
mercado, los cuales no pueden ser cambiados a voluntad.
Al respecto, KANDRI DARGDELEN nos dice:
"The cut off grade is not only function of economic parameters but also capacities of the mining system with respect to mining, milling and the market *(refining)" (13)
Para su mayor entendimiento se muestra la siguiente cita textual:
“Como el Cut off aumenta en una determinada operación, los flujos de caja también aumentan. El último ajuste del bloque se ve influida por la
12 () http://personal.telefonica.terra.es/web/mms/01eea394860981207/01eea39487/394a10a1413a13 () KANDRI DARGDELEN… Op. Cit. Sp
TRADUCCION: El grado de corte no es sólo función de parámetros económicos, sino también de las capacidades del sistema de minado con relación a extraer de la cantera, molienda y el mercado (de refinación)
19
capacidad disponible en el sistema de minado.” (14)
1.2.4.METODOLOGIA PROPUESTA:
Como en cualquier campo de las ciencias de la matemática hay modelos
matemáticos que permiten interpretar y explicar algunos fenómenos que
pueden ocurrir en todas las actividades que se realizan sin excepción
alguna para lo comentado anteriormente se muestra la siguiente grafica:
Fuente: www.Gestiopolis.com
En la interpretación y el análisis de la grafica que se muestra se deducen
algunas propiedades que es útil para la materia financiera con que se
cuentan en todos los procesos de la actividad minera.
Del gráfico tenemos:
U = I – Co
14 () Loc. Cit
20
I = Co + U
I = Pv x CvDonde:
U = utilidad.
I = Ingreso.
Pv = precio de Venta.
Co = Costo de Operación.
Cv = Cantidad de venta.
Aplicando el análisis del Punto de equilibrio a una realidad puramente
minera decimos que:
Ventas = P x L x R x FL x C
Donde:
P = producción
L = Ley
R = Recuperación metalúrgica
FL = Factor de Liquidación.
C = cotización del mineral o metal en el mercado
En la formula de ventas, se tiene que:
Ley mínima de corte (Cut off) = Ingresos
P x L x R x FL xC
Debido a las aplicaciones con respecto a los diferentes niveles de
costos, del análisis y combinación de tales niveles se determinará por
último la utilidad de la empresa. Por consiguiente, se proponen 3
niveles de Cut Off.
Geológico.
Operacional.
21
Empresarial.
a) Cut Off Geológico.- Como se viene analizando, es uno de las
características muy importantes, por que nos permite conocer las
cualidades que presenta nuestro yacimiento y solo de esta manera se
podrá tomar acciones que nos permita emplear una explotación
planificada y una recuperación metalúrgica lo mas optimo.
Solo de esta manera cualquier empresa minera podrá
empezar con sus actividades correspondientes, es el primer paso a
realizar tan importante que podrá cubrir también algunos costos que
tendrán que emplearse a dicha actividad.
A continuación se tomara como referencia al autor Oscar
LLANQUE MAQUERO para una explicación más sencilla y un
entendimiento mas completo. Se ha escogido este autor haciendo
comparaciones con los demás textos por el cual hemos optado.Al respecto LLANQUE MAQUERA, Oscar nos dice:
“Es el mineral recuperable cuyo valor es equivalente a la suma de los costos de minado (Cm), de concentración (Cc), gastos indirectos de operación (GIO) y la compensación por tiempo de servicios del personal del campamento (Ts)” (15)
Según la cita textual anteriormente mencionado el autor, plantea la
siguiente formula:
Cut Off Geológico = Cm + Cc + GIO + Ts
De donde:
Cm = Costo de minado
Cc = Costo de concentración15 () LLANQUE MANQUERA, Oscar… EXPLOTACION SUBTERRANEA… Puno – Perú, Perú offset
Editores, 1999. – Cap. I, p. 43.
22
GIO = Costo de gastos indirectos
Ts = Costo de compensación por tiempo de servicio del personal del
campamento
b) Cut Off Operacional.- Es muy lógico mencionar que después de
dar el primer paso viene secuencialmente el segundo para dicho
objetivo a realizar después de haber conocido nuestro Cut Off
geológico entramos con toda seguridad al Cut Off operacional.
Tratándose del Cut Off operacional es un agente muy importante por
que el cual dependerá la garantía y el funcionamiento de la industria
minera es por todo ello que se debe de tener bastante cuidado a
generar gastos tal vez no podrán ser recuperables por ello la mina
entraría en una crisis financiera que solo terminaría en el cierre de
mina.
Lo expuesto anteriormente guarda una estrecha relación con
los valores que tienen los metales en el mercado internacional. Para
aclarar lo antes mencionado que el valor del metal es directamente
proporcional a la demanda que pueda tener de acuerdo a la necesidad
industrial de cada país.Al respecto LLANQUE MAQUERA, Oscar define:
“Es el cutoff geológico más los castos no asignados y financieros de la empresa. En el caso de que la empresa posea más de una unidad minera, se considerará la proporción de gastos no asignados y financieros aplicables a cada mina”. (16)
Según la cita textual anteriormente mencionado el autor, plantea la
siguiente formula:16 () Loc. Cit
23
Cut Off Operacional = Cm + Cc + GIO + Ts + Gastos no
Asignados + Gastos Financieros
De donde:
GNA = Imprevistos, sismos, inundamiento, se carga a 10%
CF = Amortizaciones, intereses, Pago a los bancos o entidades
prestamistas.
De acuerdo a la relación matemática, el Cut off operacional puede
definirse como el valor económico mínimo que garantiza la
operación de la mina.
c) Cut off Empresarial.- Como toda producción tiene como objetivo
la comercialización de los productos, en este caso la venta de
concentrados y/o metales pero la razón de todo este trabajo es
obtener un beneficio económico para este fenómeno social en caso
de la minería es necesario que los costos de toda la actividad minera
desde la etapa del cateo hasta la etapa final de la venta de los metales
se necesitan emplear recursos económicos el cual será solventado
por el ingreso generado de la venta del producto y también no se
puede dejar de mencionar los recursos físicos que son agentes muy
importantes para dicha actividad al pasar el tiempo y lasa actividades
que desarrollan los recursos físicos ocurre el fenómeno de la
depreciación también el cual tiene que ser solventado por el Cut Off
empresarial
Al respecto LLANQUE MAQUERA, Oscar nos dice:
“Es el “Cut Off” operacional más la depreciación aplicada al equipo de la mina y la tonelada (compensación por
24
tiempo de servicios) del personal administrativo de la empresa en general.” (17)
Al respecto LUNA BERNAL, Rolando nos dice:
“Es el mineral recuperable cuyo valor es equivalente a la suma de los costos de minado, concentración, gastos indirectos de operación, compensación por tiempo de servicios, gastos no asignados y financieros, más la depreciación aplicada al equipo de la mina y la compensación por tiempo de servicios del personal administrativo de la Empresa en general.” (18)
Según la cita textual anteriormente mencionado el autor, plantea la
siguiente formula:
Cut off Empresarial = Cm + Cc + GIO + Ts + Gastos no Asignados + Gastos Financieros + Depreciación +
Compensación Tiempo Servicios Personal Administración.
De donde:Cm = Costo de minado
Cc = Costo de concentración
GIO = Costo de gastos indirectos
Ts = Costo de compensación por tiempo de servicio del personal del
campamento
1.2.5.LEY MINIMA DE EXPLOTABILIDAD:
La ley mínima de explotación es la ley que cubre los costos de minado,
como es sabido, estos costos varían de acuerdo al método de
explotación utilizado. Los métodos de explotación son utilizados de
acuerdo al carácter estructural del yacimiento, cada uno de estos
17 () LLANQUE MAQUERA, Oscar… Opcit. - CapI p4318 () LUNA BERNAL Rolando… “Cut off y Valorizacion de una Veta” Estudio presentado en
la XIX Convención de Ingenieros de Minas del Peru. Tacna. 1988 - Cap. I. p.15
25
métodos posee ventajas y desventajas que se evidencian en su grado de
recuperación del mineral en la mina, las pérdidas y la dilución. Es por
ello que se deberá de tener mayor cuidado en el aspecto de la dilución.
Al respecto el Ing. DE LA TORRE SILVESTRE Valerio nos dice:
"Es la ley promedio de los minerales motivo de estudio proveniente exclusivamente de los tájeos. En otros términos, es la ley del mineral procedente de los bloques o paneles cubicados. Para la estimación de estas leyes también debe afectarse por el factor de dilución.” (19)
Al respecto el Ing. TEJADA ZAFRA, Miguel Ángel nos dice:
“El uso de la Ley Mínima de Explotación (LME) es válido sólo hasta el instante en que el mineral es roto. Para el traslado y tratamiento de dicho mineral se deberá hacer un nuevo estudio de leyes en el mineral roto; esta nueva ley es denominada como Ley Marginal que será la ley que cubre los costos hasta la planta incluyendo el tratamiento total, ya sea sólo concentrado o llegar a la refinación del metal, que se realice en la empresa.” (20)
Según lo anterior, el Ing. TEJADA ZAFRA, Miguel Ángel nos dice:
"Es la ley mínima o límite con la que se puede arrancar el mineral considerando todos los valores "recuperables. (Cubre los gastos de minador).” (21)
19 () Ing. Valerio DE LA TORRE SILVESTRE… Curso de Geoestadistica, UNASAM. Huaraz, semestre 2008-II. sp
20 () Ing. TEJADA ZAFRA, Miguel…. MINERÍA A CIELO ABIERTO, Curso académico UNASAM.- Huaraz. Semestre 2007- I. Sp.
21 () Loc. Cit.
26
1.2.6.EQUILIBRIO ENTRE COSTOS E INGRESOS
Una de las herramientas administrativas de mayor importancia, fácil de
aplicar y que nos proporciona de información importante es: “Equilibrio
entre Costos e Ingresos” o denominado también “Punto de Equilibrio”.
Esta herramienta se emplea en la mayor parte de las empresas y es
sumamente útil para cuantificar el volumen mínimo a lograr (ventas y
producción), para alcanzar un nivel de rentabilidad (Utilidad) deseado.
En la actualidad, en muchas ocasiones hemos escuchado que alguna
empresa están trabajando en su punto de equilibrio o que es necesario
vender determinada cantidad de unidades y que el valor de ventas
deberá ser superior al punto de equilibrio; sin embargo creemos que
este termino no es lo suficientemente claro o encierra información la
cual únicamente los expertos financieros son capaces de descifrar. En
otras palabras, es uno de los aspectos que deberá figurar dentro del Plan
de una Empresa, ya que permite determinar el volumen de ventas a
partir del cual dicha empresa obtendrá beneficios.
a) Definición del Equilibrio entre Costos e Ingresos:
Como en la naturaleza y en los aspectos sociales ocurre el fenómeno
financiero de llegar algunas veces a un punto de equilibrio donde los
gastos generados para realizar las actividades correspondientes son
iguales a los ingresos obtenidos de las dichas actividades, es por ello
que el equilibrio se manifiesta no generando una utilidad adicional a
las empresas.
27
Para entender mejor esta definición se extrae la siguiente
frase de la física elemental: “A toda acción se genera una reacción de
la misma magnitud”
Al respecto Robert THIERAUF lo define como:
“El Punto de Equilibrio es entonces, el volumen a nivel de operación en el que las ventas totales y los costos totales son exactamente iguales (…)” (22)
Además, según Lee J. KRAJEWSKI y Larry P. RITZMAN definen lo
siguiente:“El Punto de Equilibrio es el volumen en el cual el ingreso total es equivalente al costo total. El uso de esta técnica se conoce como el análisis del punto de equilibrio (…)” (23)
Desde el punto de vista comercial y/o empresarial el punto de
equilibrio se define como el nivel de ventas con el cual se cubren
todos los costos de operación fijos y variables, es decir, el nivel en el
cual las utilidades antes de impuestos son iguales a cero.
b) Análisis Del Punto Equilibrio.- El análisis del punto de equilibrio
tiene el propósito determinar el valor de una variable o parámetro de
un proyecto o alternativa que iguala a dos elementos. Un estudio del
punto de equilibrio se llevaba acabo para dos alternativas con la
finalidad de determinar cuando una alternativa es igualmente
22 () THIERAUF, Robert, J…INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.-México, Edit Limusa S.A., 1982.- Cáp. I pp. 52
23 (23) KRAJEWSKI J, Lee / RITZMAN P, Larry…ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES.- Mexico, Edit. Prentice Hall, 2002. -Cap.V, p.67.
28
aceptable; digamos, el valor de reemplazo del defensor de un estudio
de reemplazo igual al retador como una buena opción.
El análisis de equilibrio casi siempre se aplica en decisiones
de hacer o comprar cuando las corporaciones y los negocios deben
decidir respecto de la fuente de los elementos fabricados, servicios
de toda clase, etc. Siguiendo con el arduo trabajo de la revisión de
los textos sobre el tema ya expuesto se cita el siguiente autor.Al respecto TARQUIN Anthony y BLANK definen:
“El análisis del punto de equilibrio es entonces una herramienta en la toma de decisiones para la gerencia, ideada para relacionar los factores de las ventas a cierto nivel de volumen. Como las utilidades de una compañía (o pérdidas) se calculan por la relación de los ingresos totales y los costos totales a cierto nivel de volumen, las decisiones críticas de la gerencia son aquellas que afectan estos factores.” (24)
De esta manera podemos ver que el análisis del punto de equilibrio
puede ser un instrumento gerencial eficaz, cuando se deriva de un
intenso estudio del comportamiento del precio y de los costos, con la
debida atención a todo los factores que influye sobre los precios y
los costos.
c) Elaboración de la estructura de Costos.- Como primer paso es
necesario reclasificar los costos fijos en dos amplias categorías:
Costos de compromiso Previo: Los determina la capacidad
instalada. Algunos ejemplos son la depreciación en línea recta, los
impuestos, la renta, etc. Estos costos son el efecto de acciones que
24 () TARQUIN, Anthony / BLANK, Leland…INGENIERÍA ECONÓMICA.-México, Edit. McGraw Hill, 2002.- Cáp. XIII, p.455.
29
se llevaron a cabo en el pasado y en el presente no están sujetas a
control de la gerencia a largo plazo. Como su magnitud se
mantiene constante en amplio margen de operaciones representan
una barrera que la gerencia convendrá superar con volumen.
Los Costos Planeados: Son aquellos que la gerencia juzga
necesarios para alcanzar un objetivo deseado. Si se les considera
en conjunto esto están directamente relacionados con el volumen
de actividad planeado. Por su naturaleza rara vez pueden ajustarse
con toda precisión al volumen previsto; deben presupuestarse por
pasos.
De esta manera podemos obtener las relaciones de la
ecuación de costos lo cual es la expresión matemática que permite
determinar el costo total para cualquier nivel de producción (x) al
cual opera el proyecto en un periodo. Su expresión básica es:
CT (x) = CFT + CVT (x)
Donde:
CT (x) = Costo total al nivel de operación “x”
CVT (x) = Costo variable total al nivel de producción “x”
CFT = Costo fijo total, es el mismo para cualquier nivel de
producción.
Continuando con el análisis matemático simple se observa la
siguiente formula matemática para su mejor entendimiento y
comprensión. Suponiendo que el valor de los costos variables
30
totales tienen un comportamiento lineal con respecto al nivel de
producción es posible determinar el costo variable total para
cualquier nivel de producción (x unidades) aplicando tenemos:
CVT (x) = V × x
Donde:
V = Costo variable unitario.
Y por consiguiente, la formula quedaría de la siguiente manera:
CT (x) = CFT + V × x
Donde:
x = Número de unidades producidas.
Esta función de costos es aplicables a una unidad de producción
de tamaño y características técnicas ya definidas, por lo cual se le
conoce como función de costos de corto plazo, para diferenciar la
de la función de costos de largo plazo, la que corresponde a la
relación entre los costos unitarios a plena capacidad de un proceso
tecnológico y los tamaños o capacidades de las unidades
productivas.
d) Elaboración de la Estructura de Ventas.- Puede decirse de la
misma manera que se necesita un método para elaborar de costos
precisa, que se necesita uno para la estructura de ventas.
Fundamentalmente la línea de ventas sigue el patrón establecido por
los competidores o el mercado de precios de la empresa. Si se
31
calcula el precio de venta por la competencia la línea de ventas no
presenta problemas.
Cuando la empresa esta en condiciones de controlar el precio la línea
de ventas puede trazarse como una recta que pasa por todos los
niveles de actividad planeada para periodos fuertes, en este caso el
precio seria basándose en la retribución que se pretende sobre la
inversión. El plan de una empresa es obtener las máximas utilidades
de un producto donde el precio inicial que se fija será alto y se
venderá ese precio tantas unidades que sea posible por ello se
reducirá el precio, a medida que la demanda disminuya.
Entonces cuando una compañía opera en el mercado de alta
competencia solo puede lograr operaciones mediante un equilibrio
adecuado entre los costos y los precios de venta entre los diferentes
niveles del volumen.
Los ingresos: Primeramente es necesario hablar de precio fijo y
precio variable. En un marco de precio fijo, la empresa no tiene
influencia directa sobre el precio del producto; es decir, el precio
es fijado por el mercado ya que existe una cantidad de empresas
que producen el mismo producto, por lo que el producto de una
empresa puede ser fácilmente sustituible por otra.
Por el contrario en un contexto de precio variable, la
empresa es la que maneja el precio del producto en función a si
produce más cantidad o menos (exclusivamente no se refiere al
monopolio).Refiriéndose a este asunto, FOLKE KAFKA, refiere:
32
“(…)precio fijo en este contexto significa que la empresa no ejerce influencia significativa sobre el precio que se establece en el mercado.(…) En cambio, cuando el precio es variable, la empresa ejerce influencia sobre el precio, en el sentido de que el precio no será el mismo si la empresa decide producir poco o mucho.(…)” (25)
En el caso de que el precio sea fijo, el ingreso total está
representado por una línea recta. El ingreso medio (definido como
el ingreso total dividido entre la cantidad producida) es igual al
precio del producto,P0 y, ya que el ingreso total es una línea recta
que parte del origen (al ser la tangente a la recta la recta misma),
el ingreso marginal (definido como el cambio en el ingreso total
ante un cambio en la cantidad producida) resulta idéntico al
ingreso medio.
En el caso del precio variable es un poco más
complicado que el caso del precio fijo. El ingreso total ya no es
una recta, puesto que la empresa ejerce influencia sobre el precio.
Al producir más, el precio cae y el ingreso total, en este caso,
puede tener forma de parábola. La parábola en cuestión tiene la
ecuación IT=ax−bx2. El ingreso medio es el ingreso total
dividido por la cantidad, por lo que es igual a IMe=a−bx , que
es la ecuación de una recta. El ingreso medio es, por lo tanto, una
recta decreciente.
25 () Loc.Cit
33
El ingreso marginal es la tangente en un punto dado de la curva
de ingreso total. El punto máximo del ingreso total debe
corresponder, por lo tanto, al punto en el que el ingreso marginal
sea nulo.
A continuación se presentara unos gráficos que representan lo ya
mencionado anteriormente:
Fuente: KAFKA, Folke…Teoría Económica.-Lima, Universidad del Pacifico, 3º Edición, 1996.-Cap. VII, pp 247
e) Métodos para la determinación de Punto de Equilibrio.- Existen
dos procedimientos diferentes para determinar el mismo punto de
equilibrio de una organización: análisis algebraico y análisis grafico:
Determinación por el Análisis Algebraico.- El punto de
equilibrio Xe, de un periodo determinado, se evalúa
IT IT
X X
IMeIMg
0 0
0P0P
xPIT 0
2bxaxIT
IMeIMg
bxaIMg 2bxaDIMe
00
g g
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matemáticamente igualando la función de costos con la función
de ingresos definida anteriormente para el nivel de producción Q
= Xe , esto será:
Y= p Xe = CT (Xe) = CFT + V × Xe
Despejando Xe se obtiene:
Donde:
P = precio al cual se vende a los clientes cada unidad de producto.
V = Costo variable unitario.
Este resultado se puede expresar en valores absolutos o en valores
relativos (%) diferidos en la capacidad total de producción. Un
valor de Xe relativamente bajo indicará que un proyecto tiene la
posibilidad de operar a bajos niveles de utilización de su
capacidad instalada manteniendo en condiciones económicas
favorables.
Por el contrario un valor alto indicará que el proyecto es
muy sensible a disminuciones en el nivel de su utilización de
capacidad instalada; ya que en ligeras disminuciones en su nivel
de producción el proyecto no tendrá capacidad para cubrir sus
costos de funcionamiento.
Otra posibilidad de análisis bastante extremo; sería retirando los
costos de depreciación, obteniéndose un punto de equilibrio
X e=CFTP−V
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menor que se sería el nivel de producción requerido para cubrir
solamente en los costos variables y en los costos fijos reales. Este
análisis seria valido en una situación de fuerte disminución de las
ventas y solo tendría sentido de manera muy temporal y
transitoria.
De esta manera la empresa cubriría normalmente todo
sus costos, incluidos sus fijos. Analizando la expresión
matemática del puno de equilibrio se aprecia que para la unidad
de producción tendrá un mínimo de viabilidad económica, el
precio de venta debe estar por encima del costo unitario variable,
ya que de no ser así no existiría punto de equilibrio; y las
formulaciones presentadas anteriormente no serían sustentables.
Determinación por el Análisis Grafico.- El análisis grafico del
punto de equilibrio involucra la construcción de un grafico que
muestra los elementos críticos del análisis. En la figura 1
presentamos una grafica que muestra que la línea de ingreso total
comienza desde cero.
Relaciones entre ingreso, costos y capacidad.- Una gráfica de
equilibrio tradicional muestra, los ingresos y los costos como una
función lineal de la producción. El costo total es la suma del costo
fijo y el costo variable total para cada nivel de producción
anotado sobre el eje horizontal.
El ingreso es el producto del precio de venta por el número de
unidades fabricadas o vendidas. Para apreciar el potencial de
36
diagnostico de la gráfica (que se muestra líneas abajo), tenemos
que considerar el significado de los supuestos implícitos y las
relaciones matemáticas de las variables representadas.
Fuente: Copias habilitadas por el Ing. Valerio De La Torre Silvestre
Los costos fijos (CF) se representan mediante una línea
horizontal. Esto sólo ocurre en un corto plazo, ya que en un largo
plazo este se comporta de manera variable. El corto y largo plazo
se refiere a la variación en la escala de planta. Tomaremos como
referencia copias del Ingeniero VALERIO por los años de
experiencia que tiene como docente universitario.
Al respecto el Ing. DE LA TORRE SILVESTRE Valerio nos dice:
“(…) los costos fijos son gastos que son gastos que continúan cualesquiera que sean los niveles de producción. Los costos típicos
Línea de ingreso
Línea de costo total
Producción en unidades oporcentaje de capacidad
Ingreso en gastos endolares
UtilidadPerdida
P u n to d e e q u ilib rio
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incluidos en esta categoría son: rentas, intereses, impuestos a la propiedad, seguros, investigaciones y mano de obra indirecta. La segunda razón es que la gráfica representa las condiciones que se esperan durante un tiempo relativamente corto (…).” (26)
Los costos variables por unidad (V) son también constantes para
el periodo y la capacidad indicados en la gráfica. Esos castos se
refieren a los gastos directos de elaboración de un producto, como
desperdicios, empaque, materias primas y mano de obra directa.
El costo total variable (CTV) es el costo por unidad multiplicado
por el número de unidades producidas (N), es decir CTV=NV.
Una línea de ingreso lineal (R) resulta del supuesto de que cada
producto se vende al mismo precio (P).
Cuando este supuesto es valido. R=NP. El punto de
equilibrio (B) indica el número de unidades que se deben producir
o vender para que los ingresos sean iguales a los costos.
R=CTV+CF. Resolviendo matemáticamente para B hallamos
sólo el valor de N que resulta igual a los costos y el ingreso. B=N
cuando NP=NV+CF, es decir:
Donde:
N = número de unidades
CF = costo fijo
26 () Copias proporcionadas por el Ing. Valerio De La Torre Silvestre; Docente de la Facultad de Ingenieria de Minas – UNASAM.
VP
CF
ónContribuci
CostoFijoequilibriodeVolumen
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V = costo variable por unidad
CVT = Costo total variable
CT = costo total (=CTV+CF)
P = precio
R = Ingreso (=NP)
Z = utilidad (R-CT)
B = volumen de equilibrio (CFI(P-V))
P-V = Contribución por unidad
Al respecto Samuel C. Certo nos dice:
“Los datos de costo – volumen – utilidad pueden representarse gráficamente en la forma de una gráfica de equilibrio, que revela la utilidad estimada que se obtendrá con distintos volúmenes de ventas. También indica las ventas mínimas para no sufrir pérdidas (…).” (27)
También los gráficos de acuerdo a los costos pueden ser lineales y
no lineales que incluyen dos elementos; los costos fijos y
variables. A continuación se muestra el grafico de un punto de
equilibrio para un análisis lineal.
27 () CERTO C, Samuel… EVALUACIÓN DE PUNTO DE EQUILIBRIO…Cap. XII, pp. 660-664.
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Fuente: Anthony Tarquín – “Ingeniería Económica”
Limitaciones en el Análisis Grafico:En el análisis del punto de equilibrio presenta limitaciones que
son base de estudio en este sentido según el Ing. Walter Andía
Valencia menciona respecto a las limitaciones lo siguiente:
“El análisis del punto de equilibrio supone la linealidad del precio de venta y del costo variable por unidad, sabemos que en un aumento en las ventas más allá de cierto punto sólo se logra al reducir el precio por unidad. También a niveles de producción muy bajas la empresa deja de aprovechar los descuentos por cantidad al comprar materiales, por estos motivos el grafico de las variables se debe representar mediante funciones no lineales” (28) [SIC]
De acuerdo a lo mencionado la naturaleza del P.E (punto de
equilibrio) acorto plazo limita el uso, dado que no se tiene en
cuenta la periodicidad de los ingresos y los costos.
Determinación del Punto de Equilibrio entre dos Alternativas.-
Cuando el costo de dos alternativas esta afectado por una variable
común puede existir un valor de la variable para el cual las dos
alternativas incurrirán en un costo que es igual. Los costos de
28 () ANDIA VALENCIA, Walter…FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN ESTRATÉGICA DE PROYECTOS.- Perú, Edit. El Saber, 2001.- Cáp. V, pp. 154.
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cada alternativa pueden expresarse como funciones de la variable
independiente común y serán de la forma:
Y
Donde:CT1 = Un costo total especificado por periodo del tiempo, por
proyecto o por maquina, aplicable a la alternativa 1
CT2 = Un costo total para la alternativa 2
La solución para el valor x que se resulta en un costo igual para la
alternativa 1 y para la Alternativa 2 se logra haciendo que las
funciones de costo sean iguales, es decir, CT1 = CT2 en
consecuencia:
De donde puede despejarse x. el valor resultante para x produce
un costo igual para las alternativas consideradas y es por eso
designado como el punto de equilibrio.
En el siguiente grafico podemos ver la aplicación de dos
alternativas:
)(11 xfCT )(22 xfCT
)()( 21 xfxf
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Fuente: Anthony Tarquín – “Ingeniería Económica”
Análisis del Punto de Equilibrio Múltiples Alternativas.- El
análisis de punto de equilibrio se ha estudiado hasta el momento
solamente, en casos en los cuales quien toma las decisiones
dispone únicamente de dos alternativas, pero también se puede
utilizar el método del análisis del punto de equilibrio en casos en
los cuales se tienen bajo análisis múltiples alternativas. Como
ejemplo podemos citar:
Una firma de ingenieros que posee una serie de opciones
para construir un casa de una planta y posee costos de diferentes
alternativas como son: concreto y ladrillos, acero y ladrillos,
madera y ladrillos. Y de esta manera tenemos múltiples
alternativas y podemos utilizar cual será la alternativa mas
económica.
Este tema será ampliado mucho mejor con un ejemplo en el
capitulo II de la presente monografía. Podemos ver un grafico a
continuación:
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Fuente: Anthony Tarquín – “Ingeniería Económica”
El Punto De Equilibrio Marginal.- Si analizamos los costos
unitarios de una empresa, a sus distintos niveles de producción,
tabulando apropiadamente los componentes fijos y variables,
veremos la ocurrencia de un fenómeno bastante llamativo, y es el
de que los costos fijos unitarios disminuyen, en la medida que
aumenta el volumen de producción, es decir, que se hacen
variables.
Esto se debe a que han de distribuirse entre un mayor
número de unidades elaboradas.
En cambio los costos variables unitarios tienden a hacerse FIJOS;
por esto; conviene analizar el comportamiento de los costos
unitarios a distintos niveles de dicha producción y venta. Como
hemos visto en líneas anteriores el costo total de producción viene
dado por la ecuación:
Y = (a + bX)/X
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Gráficamente esta ecuación quedaría representada por una curva
como la siguiente:
Fuente: Méndez, J. Silvestre. “Fundamentos de Economía”.
En el punto de equilibrio, los costos de producir y vender igualan
exactamente a los ingresos por ventas. Es decir, que en términos
unitarios la anterior ecuación sería igual al precio de venta de
cada unidad de producto.
Si ese precio de venta unitario lo representamos por “V”,
tendríamos esta otra igualdad en el punto de equilibrio:
X = a / V - b
Esto quiere decir que el volumen de producción del punto de
equilibrio de la empresa, se puede obtener también dividiendo los
costos fijos, entre la diferencia que existe entre el precio de venta
unitario y el costo variable por unidad de producto. Si
consideramos el precio de venta unitario “V” como constante, en
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el gráfico vendría representado por una recta paralela al eje de las
equis.
El punto de equilibrio, en términos unitarios, vendría
dado por el volumen de producción y ventas, X. Igual a la
abscisa del punto de intersección de esta recta con la curva de los
costos unitarios como sigue:
Fuente: Méndez, J. Silvestre. “Fundamentos de Economía”
Análisis De Sensibilidad.- Con la fórmula del punto de equilibrio
también se pueden cuantificar los límites de sus componentes para
las decisiones necesarias para salvar a una empresa de una
situación de desequilibrio.
Al respecto ZAMORA GARCIA, Enrique nos dice:
“El análisis de sensibilidad es una técnica que examina como cambiará un resultado si no se alcanzan los datos previstos o si cambia algún supuesto subyacente. Una herramienta del análisis de sensibilidad es el margen de seguridad, que es el exceso de
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ingresos presupuestados sobre los ingresos del punto de equilibrio. Lo que nos da la posibilidad de que una cantidad sea diferente de una cantidad esperada” (29)
La fórmula que determina el nivel de actividad de equilibrio
vincula cuatro variables:
Precio unitario.
Costos fijos.
Costos variables.
Volumen de producción.
Para el supuesto de que el ente esté arrojando pérdidas, se calcula
la magnitud de los cambios que deberían operarse en alguna de
las variables para que la empresa recupere el equilibrio.
Luego, estratégicamente, se estudian las posibilidades de los
mismos.
PE = CFT / (Pu – V)
Donde:
PE = Producción
CFT = Costos fijos totales
Pu = Precio unitario de venta
Cv = costos variables unitarios
A partir de esta fórmula, se despejan las otras variables:
29 () MÉNDEZ, J. Silvestre…FUNDAMENTOS DE LA ECONOMÍA.-España, Prentice Hall, 2000.- Cáp. III, p.101.
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Pu = (CFT / PE) + V
V= Pu – (CFT / PE)
CFT = PE (Pu – V)
El análisis de sensibilidad se basa en los siguientes pasos:
Determinar, sobre la base del análisis de sensibilidad, la
magnitud de los cambios de cada variable.
Analizar la posibilidad de concreción de alguna de ellas, o la
mezcla de varias.
Para evaluar la factibilidad de dichas modificaciones, el
administrador debe tener presente el grado de control sobre las
variables a analizar. Así, mientras los precios y las cantidades no
son controlables, porque dependen del mercado y la competencia,
los costos fijos y variables presentan un mayor grado de control
habilidad, ya que una buena parte depende de la organización y
eficiencia fabril.
El Margen De Seguridad.- Mide la diferencia entre el volumen
normal de actividad (Pn) y el de equilibrio (PE), y representa la
banda o tramos en que la empresa opera con ganancias, y se
expresa como:
Ms = Vn – Ve
Siendo:
Ms = margen de seguridad
Vn = venta normal
Ve = venta de equilibrio.
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Indica la magnitud en que pueden contraerse las ventas sin incidir
en pérdidas. La forma adecuada de expresarlo es en términos
relativos, es decir, como tasa:
Vn – VeMs = -----------
Vn
Representa la proporción en que pueden disminuir las ventas sin
peligro de entrar en zona de pérdidas. Por encima del volumen
normal de actividad (Vn) en el gráfico del punto de equilibrio,
también está el potencial de utilidades, que son a las que tiene
acceso la empresa por encima del volumen normal.
Punto De Equilibrio En La Toma De Decisiones.- Los gerentes
de operaciones suelen tomar muchas decisiones en el curso de su
trabajo con diversas áreas de decisión. Aun cuando los detalles de
cada situación varían las tomas de decisiones incluyen por lo
general los mismos pasos básicos:
Reconocer y definir claramente el problema
Reunir la información necesaria para analizar posibles
alternativas
Elegir e implementar la alternativa mas fácil
A veces es suficiente con meditar en una habitación tranquila,
pero en otras ocasiones es necesario recurrir a procedimientos
más formales. En este caso el análisis del punto de equilibrio es
uno de esos procedimientos. El análisis del punto de equilibrio
ayuda a un gerente a compara diversas alternativas de localización
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sobre la base de factores cuantitativo que puedan ser expresados
en términos de costo total.
Ese análisis es particularmente útil ya que el gerente desea
definir los rangos dentro de los cuales cada alternativa resulta ser
la mejor. A continuación presentamos algunas situaciones
difíciles en las cuales podría utilizarse ventajosamente, como
argumento irrebatible en decisiones complejas:
El Punto de Equilibrio en la Escogencia de Equipos: Sus
decisiones, en todo caso, habrán de orientarse hacia la
reducción de costos, haciendo abstracción de las
consideraciones técnicas desde luego. Para ello, bastará con
recopilar todos los datos necesarios para determinar los costos
fijos y variables de operación de cada uno de los equipos por
escoger, y confrontarlos en un gráfico del punto de equilibrio,
en el cual se verá claramente cuál ofrecerá mayor economía,
según el volumen de trabajo requerido al equipo.
Compra o Fabricación de Productos Semielaborados: Si
suponemos que la gerencia de una empresa industrial se
encuentra ante el dilema de decidir cuál alternativa resultará
más económica, entre la de fabricar en la misma empresa los
envases para sus productos, y la de contratar su elaboración en
alguna empresa especializada. Lo primero que procedería sería
un análisis de los costos de cada alternativa, y luego
confrontarlos, mediante una gráfica del punto de equilibrio.
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Las remuneraciones y el punto de equilibrio: Otro problema.
que con bastante frecuencia tiene que afrontar el ejecutivo, es
el de la adopción del sistema de remuneración más
conveniente a los vendedores. Entre las alternativas más
corrientes están las siguientes:* Remuneración a base de sueldo fijo
* Remuneración a base de comisión solamente, y
* Pago de un sueldo básico, más comisión. (30)
Solamente vamos a considerar estos tres casos, para
simplificar, aún cuando sabemos que existen las variantes de
comisiones escalonadas y otros incentivos, a partir de ciertos
niveles de ventas.
El punto de Equilibrio y las Cotizaciones: Un uso muy
general, y donde el método de análisis del punto de equilibrio
rinde una gran utilidad, es el de su aplicación para el estudio y
presentación de cotizaciones por servicios de todas clases. Su
aplicación no podrá ser más sencilla: Bastará con que se
conozcan bien los costos fijos y los variables, para obtenerse
los costos totales, a los cuales se añadirá el % de los mismos
que desee ganar.
Es decir, lograr los términos necesarios para resolver la
ecuación:
Y = a + b.X + %
Donde:
30() Internet, www.monografias.com
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Y = Ingresos
a = Costos Fijos
b = Costos variables Unitarios
X = Volumen de la prestación de servicios, en: horas hombre,
toneladas por Km, KWH, etc.
% = Tanto por ciento sobre los costos totales
Procedimiento En La Toma De Decisiones.- El gerente puede
seguir el siguiente procedimiento para el análisis:
Escribir la lista de alternativas factibles: Una alternativa que
siempre debería considerarse como base de referencia es la de
no hacer nada. Según una suposición básica, el número de
alternativas es finito.
Escribir la lista de los eventos probables: Los que tiene alguna
repercusión en el resultado de la selección, poro que no están
bajo el control del gerente.
Calcular el rédito para cada alternativa, en cada evento:
Típicamente, el rédito es la ganancia total o costo total. Estos
réditos suelen asentarse en una tabla de réditos, que muestra el
monto que correspondería a cada alternativa si en realidad
ocurriera en cada uno de los eventos.
Estime la posibilidad de cada evento a partir de datos
almacenados, opiniones de los ejecutivos u otros métodos de
pronósticos: Exprésela como una probabilidad, asegurándose
que la suma de todas las probabilidades sea 1.0. es conveniente
desarrollar estimaciones de probabilidades a partir de datos
almacenados si se considera que el pasado es un buen
indicador del futuro.
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