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80
CAPITULO II ESTADO TENSIONAL DE LAS ROCAS
2.1 CONCEPTOS SOBRE TENSIONES NORMALES Y TANGENCIALES
Por tensin en un punto de un cuerpo, cortado por un plano que
pasa por dicho, en la teora de la elasticidad, se comprende la
intensidad de las fuerzas internas, que actan sobre la superficie
elemental que incluye dicho punto, pero bajo la condicin, que la
magnitud de la superficie tienda a cero.
Este concepto de tensin se fundamenta en la hiptesis sobre la
homogeneidad y continuidad de la materia que forman el cuerpo.
Para la mayora de los materiales que se emplean en la tcnica, la
construccin Ingenieril y la fabricacin de mquinas, la hiptesis
indicada, en la prctica, es completamente aceptable; puesto, que la
estructura de estos materiales es lo suficientemente homognea. La
posibilidad de extender ste concepto a las rocas se examina a
continuacin.
Supongamos que en el cuerpo actan fuerzas P1, P2, P3 y P4; que
se encuentran en equilibrio (Fig. 2.1a).
Tomemos dentro del cuerpo un punto cualquiera A y a travs de l
tracemos un plano S, el cual divide al cuerpo en dos partes I y
II.
-
81
Examinemos la parte I de cuerpo, en el cual, adems de las
fuerzas exteriores P1 y P2 en el plano S, actan las fuerzas
interiores (en el grfico no se muestran), que corresponde a la
accin que efecta la parte separada II, sobre la parte I que se
investiga. Es evidente que las fuerzas internas equilibran a las
fuerzas externas P1 y P2.
Dividiendo el plano de corte S en superficies elementales,
examinemos la superficie en la cual se encuentra el punto A, con
respecto a la cual la normal exterior tiene una direccin n
(Fig.2.1b). Fig. 2.1. Esquema del estado tensional de un cuerpo: a-
disposicin de las fuerzas exteriores; b- cambio de las fuerzas
exteriores por tensiones.
Designemos la superficie, en la cual se encuentra el
punto, por F y la magnitud de la fuerza interior que acta sobre
ella por P. Disminuyendo la superficie cerca del punto A y tomando
el lmite de la relacin P/F, obtenemos el esfuerzo total en el punto
A.
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82
Pn = lim P ; F0 F
Descompongamos la fuerza interior P en sus componentes, una de
las cuales N est dirigida en el sentido normal n; y, la otra T, se
encuentra en el plano de la superficie F; o, lo que es lo mismo, en
el plano de corte S (Fig. 2.2a). Fig.2.2. La tensin y sus
componentes: a- esquema de descomposicin de la fuerza; b) esquema
de descomposicin de la tensin.
Pasando al lmite de la relacin: N/F y T/F, obtenemos (Fig.
2.2b):
La tensin normal:
N n = lim -----; F0
F Y la tensin tangencial: N n = lim -----; F0 F
-
83
Puesto que: (P) = (N) + (T)
Entonces dividiendo todos los miembros por (F) y pasando el
lmite, obtenemos:
Pn2 = n2 + n2
En los diferentes puntos del corte S las fuerzas internas P que
actan en las superficies elementales, segregadas cerca de estos
puntos, tienen diferentes magnitudes y direcciones y dependen de la
posicin de estos puntos.
Establezcamos designaciones y la regla de signos para las
fuerzas en las superficies perpendiculares a los ejes de las
coordenadas.
Supongamos que la normal exterior n de la superficie S es
paralela al eje X y est dirigida hacia el lado positivo (Fig.2.3).
La tensin total Px, descompongamos en la tensin normal x y la
tensin tangencialx. El ndice x muestra que la superficie S es
perpendicular al eje x.
Ms adelante descomponemos el esfuerzo tangencial x, en las
componentes yx y zx, paralelas a los ejes de coordenadas. El primer
ndice de muestra el eje al cual es paralelo y el segundo ndice la
direccin normal de la superficie.
-
84
En este caso la direccin n coincide con la direccin del eje
x.
Fig. 2.3. Designaciones de las tensiones
Para los signos empleamos las siguientes reglas: si la normal
exterior con respecto a la superficie est dirigida hacia el lado
positivo del eje, entonces, la direccin positiva de la tensin
coincide con el sentido positivo de los ejes de coordenadas; si,
por el contrario, la normal exterior est dirigida hacia el lado
negativo del eje, entonces, la direccin positiva de la tensin
coincide con el sentido negativo de los ejes de coordenadas. En la
Fig.2.3 y 26 se muestra la direccin positiva de las tensiones.
De acuerdo con la ley de reciprocidad (los pares) de las
tensiones tangenciales, si dos superficies son perpendiculares
entre s, entonces las componentes de la tensin tangencial,
perpendiculares a la lnea de corte de stas superficies, son igual
entre s y estn dirigidas hacia la lnea de corte de las superficies
o desde ella (Fig. 2.4).
-
85
Fig.2.4. Regla de los signos para las
tensiones.
Fig. 2.5. Ley sobre los pares de tensiones tangenciales.
2.2 CONCEPTOS GENERALES SOBRE EL ESTADO TENSIONAL DE UN
CUERPO DURO
En general el estado tensional de un punto en un cuerpo, se
caracteriza por tres tensiones normales y seis tensiones
tangenciales (Fig. 2.6). Tomando en cuenta, que:
xy = yx xz = zx yz = zy
-
86
El estado tensional en un punto, se puede caracterizar con tres
tensiones normales:
x,y,z Y tres tensiones tangenciales:
xy,xz,yz
Fig. 2.6. Esquema general de las tensiones.
Las tensiones normales ocasionan la variacin del volumen de
cuerpo. Las tensiones tangenciales ocasionan la variacin de la
forma del cuerpo. Un ejemplo de cizallamiento XOY bajo la accin de
la tensin xy, se muestra en la Fig.
2.7. Fig. 2.7. Esquema de tensiones de cizallamiento.
-
87
La magnitud de estas tensiones depende de la posicin
del plano con respecto al sistema dado de fuerzas. En la teora
de la elasticidad, se demuestra, que para cualquier punto de un
cuerpo se tiene tres planos perpendiculares entre s, en que las
tensiones tangenciales no existen.
Las tensiones normales, que actan en stos planos se denominan
tensiones normales principales y se designan con 1,2,3, y
1>2>3Las tensiones tangenciales en los planos que pasan
por
uno de los tres ejes principales (paralelas a las tensiones
normales principales) y que dividen por la mitad del ngulo
comprendido entre los otros dos ejes principales (Fig. 2.8), se
denominan tensiones tangenciales principales: 12,23,31.Las
magnitudes de las tensiones tangenciales principales son
iguales:
12 = 1/2 (1-2) 23 = 1/2 (2-3) 31 = 1/2 (3-1)
En estos planos actan, tambin las tensiones normales,
las mismas que por su magnitud son correspondientemente iguales
a:
1/2 (1+2) 1/2 (2+3) 1/2 (3+1)
-
88
Fig.2.8.Disposicin de los planos de las tensiones tangenciales
principales.
El plano que tiene igual inclinacin con respecto a los tres
planos principales (Fig. 2.9), se denomina octadrico.
Fig. 2.9. Superficie octadrica.
Fuera del campo de la proporcionalidad, sta relacin adquiere la
siguiente forma: X x = ------ ( x - ) 2G
-
89
X y = ------ ( y - ) 2G
X z = ------ ( z - ) 2G
xy = X/G xyzx = X/G zxyz = X/G yz
Donde: - Mdulo de plasticidad, ste mdulo se determina de la
expresin:
E* = X/G S La magnitud E*, se denomina deformacin general y se
determina por la frmula: E* = 2/3[((x-y) + (y-z) + (z-x)) +
+(3/2(xy+ yz + zx))]
La magnitud S se denomina tensin general y se determina por la
frmula: S=(2/2)[(x-y)+(y-z)+(z-x)+ 6(xy+yz+zx)]
-
90
La esencia fsica de la deformacin general y la tensin
general se da ms adelante.
Fig.2.10. Esquema del estado tensional plano.
La tensin normal en el plano octadrico es igual a la
tensin normal media en el punto dado.
oct = 1/3 (1+2+3) = med = La tensin tangencial del campo en la
plano octadrico
se determina por la frmula:
oct = 1/3 [(1-2)+(2-3)+(3-1)] oct = 2/3 [12+23+31]
Dentro de los lmites del campo de la proporcionalidad de la
componente de las tensiones y las deformaciones tiene las
siguientes relaciones:
x=1/E[x-(y+z)] y=1/E[y-(z+x)] z=1/E[z-(x+y)]
-
91
xy = 1/G xyyz = 1/G yzzx = 1/G zx
Donde:
- Deformacin lineal relativa. - Deformacin angular relativa. G-
Mdulo de cizallamiento. E- Mdulo de elasticidad. - Coeficiente de
Poisson.
Las dependencias indicadas se las puede, tambin
expresar en la forma siguiente: x - = 1/2G (x-) y = 1/2G (y-) z
= 1/2G (z-)
xy = 1/G xyzx = 1/G zxyz = 1/G yz
Donde:
= 1/3 (x+y+z)- Deformacin relativa media.
= 1/3 (x+y+z)- Tensin normal media. En la Fig. 2.10, se muestra
el caso particular del
estado tensional plano. La ecuacin de la teora de la elasticidad
significativamente se simplifica, si todas las
-
92
tensiones son paralelas a un plano; por ejemplo, en el caso de
una placa fina sometida a la accin de fuerzas, aplicadas a los
contornos, paralela al plano de la placa y uniformemente repartida
a lo ancho de su grosor.
En este caso los componentes z, xz, yz, son igual a cero, o sea,
que la disposicin de las tensiones es plana.
La interdependencia entre las deformaciones y las tensiones
toman la forma siguiente:
x = 1/E(x-y)
y = 1/E(y-x)
2 (1+) xy = 1/G xy = --------------- xy E
Si bajo cualquier estado tensional del cuerpo el desplazamiento
de los puntos puede producirse nicamente en un solo plano, entonces
sta tensin se denomina plana. Por ejemplo, el desplazamiento de las
rocas cerca de una galera horizontal es posible solamente en el
plano de la seccin transversal y es imposible en el sentido del eje
de la galera.
La interdependencia entre las deformaciones y las tensiones para
el caso de la deformacin plana tiene la siguiente forma:
= 1/E [(1-)x-(1+)y]
-
93
y = 1/E[(1-)y-(1+)x]
2(1+) xy = -------------- xy E
2.3 CONCEPTOS SOBRE TENSIONES Y DEFORMACION GENERALES DE UN
CUERPO
Las propiedades mecnicas de cualquier material natural o
artificial sometido a tensiones uniaxiales se describen con el
diagrama tensindeformacin esquemticamente indicando en la figura
33. Puntos caractersticos en este diagrama son:
A- Lmite de elasticidad e.
B- Lmite de proporcionalidad p.
C- Lmite de fluencia s.
D- Lmite de resistencia Srt.
Estos lmites corresponden a los alargamientos relativos.
e, p, s, rtEl coeficiente de proporcionalidad de las tensiones
y
las deformaciones, se determina por la relacin:
p = p.E
-
94
Donde:
E - Mdulo de elasticidad.
Fig.2.11 Diagrama de tensindeformacin para material
elstico-plstico.
Como demuestran los experimentos la forma del diagrama de la
figura 2.11, depende del carcter del estado tensional; la variacin
de sta ltima ocasiona la variacin de las magnitudes de los lmites
de la proporcionalidad y la resistencia.
Por esta razn el diagrama tensin deformacin, que se indica en la
figura 2.11 no puede ser empleado directamente para una total
descripcin de las propiedades mecnicas de las rocas en el macizo,
que bajo la influencia de los trabajos mineros se encuentra en
estado tensional complejo.
Sin embargo, de la teora de la elasticidad y plasticidad, es
conocido que, en los casos de estado tensional complejo en lugar
del flujo del diagrama de la figura 2.11, debe ser empleado el
diagrama.
S = S (E*)
Donde:
S - Tensin general.
-
95
E* - Deformacin general.
Y
S = 2/2 [(x-y)+(y-z)+(z-x)+6(xy+yz+zx)]
E =2/3 [(x-y)+(y-z)+(z-x)+ 2/3(xy+yz+zx)]
Donde:
x,y,z = Tensiones normales.
xy,yz,zx = Tensiones tangenciales
x,y,z = Deformaciones lineales relativas.
xy,yz,zx = Deformaciones lineales por cizallamiento. Las
magnitudes S y E, que son invariantes con relacin a
la eleccin de los ejes de coordenadas X, Y, Z, y los lmites de
proporcionalidad y de resistencia calculados por el diagrama
S=S(E*), mantienen su magnitud independientemente de la forma de
estado tensional. Como muestran los experimentos la forma de
diagrama de la figura 2.11 y las condiciones de sus puntos se
convierten en invariantes con relacin al estado tensional, si a l
se lo construye no con los valores de las medidas comunes de las
tensiones y deformaciones relativas, sino en las coordenadas S,E*.
El rol de mdulo de elasticidad, en este diagrama, juega un mdulo de
cizallamiento.
-
96
E G = -------------- 2 (1+)
Donde:
E - Mdulo de elasticidad.
- Coeficiente de Poisson.
El diagrama, construido en la coordenadas S,E*, de esta manera,
caracteriza las propiedades de cualquier material, tanto en estado
tensional simple, como, en estado tensional complejo, dentro de los
lmites de elasticidad y fuera de ellos.
Este diagrama, puede as mismo, como la curva de los clculos
principales de tensiones, ser empleado para describir las
caractersticas de resistencia de las rocas.
Fig.2.12. Condiciones de Fluencia.
-
97
Si el diagrama de traccin compresin del material tiene una clara
expresin y una gran extensin del campo de fluencia (Fig.2.12),
entonces, la ley general de deformacin, que corresponde al fenmeno
de fluencia, tiene la siguiente forma:
2 /2((1-2)+(2-3)+(3-1)) = tDonde:
1,2,3 - Tensiones normales principales.
t - Lmite de fluencia. Para el caso cuando 2=1 u 2=3,
obtenemos:
2 /2((12)+(2-3)(3-1)) = 1-3 = TPara el caso de deformacin plana,
cuando:
2 = 1/2(1+3)
Obtenemos:
2/2(1/21-1/23)+(1/21-1/23)+(1/23-1/21)) =3/2 (1-3) = T
Por consiguiente, para este caso, las condiciones de
plasticidad, se expresa en la siguiente forma:
1-3 =(2/3) T
-
98
2.4 PARTICULARIDADES DE LAS ROCAS COMO MEDIO Un cuerpo fsico
(medio) se caracteriza por su continuidad y homogeneidad. Cuando se
pasa de un punto a otro el estado tensional y de formulacin del
cuerpo vara. Si esta variacin se produce en forma paulatina, o sea,
que a un cambio infinitesimal de las coordenadas corresponde un
cambio infinitesimal de las magnitudes de los componentes de tensin
y deformacin, entonces el cuerpo se denomina continuo. Homogeneidad
del cuerpo se denomina a la presencia en l de propiedades mecnicas
idnticas en los diferentes puntos. Por el carcter de las
propiedades en un punto dado, los cuerpos se dividen en isotrpicos
y aisotrpicos. Los cuerpos se denominan isotrpicos, si sus
propiedades fsico-mecnicas son idnticas en todas las direcciones;
los cuerpos, cuyas propiedades fsico-mecnicas son diferentes en las
diferentes direcciones se denominan aisotrpicos. La mecnica de
rocas en la resolucin de sus problemas emplea los mtodos de la
mecnica del medio continuo (Teora de la Elasticidad, Plasticidad,
Estado Lmite). Lo comn para estos mtodos es el hecho de que el
estado del cuerpo y su comportamiento lo consideran en volmenes
infinitesimales con el subsiguiente paso, mediante la ayuda de los
mtodos matemticos (integracin), a la consideracin del volumen mite
del cuerpo. l De esta manera en la mecnica del medio continuo,
cuando se considera un cuerpo, se emplea la posibilidad de su
divisin en volmenes infinitesimales, los cuales poseen todas las
propiedades del material que conforman dicho cuerpo. Sin embargo,
las rocas estn constituidas de partculas minerales (trocillos,
granos, cristales), unidas entre s por cemento mineral (rocas
consolidadas), o constituyen una acumulacin mecnica de partculas
slidas o de pedazos con un gran volumen de poros (rocas
pulverulentas). Por lo tanto, hablando con exactitud, podemos decir
que, a las rocas no se las pude considerar como medio continuo y
homogneo. El empleo en estos casos de los mtodos de la
-
99
mecnica del medio continuo es posible solamente de manera
aproximada. En el caso de las rocas se debe separar un volumen
mnimo tal que, contenga dentro de s la suficiente cantidad de
partculas elementales de la roca dada para considerarla
representativa. Por lo tanto, este volumen debe, al mismo tiempo,
ser lo suficientemente grande a fin de que mantenga todas las
propiedades caractersticas de las rocas y lo suficientemente pequeo
en comparacin con el volumen total de las rocas. El volumen de
roca, que responde a las condiciones indicadas, se denomina volumen
elemental. De esta manera, la exactitud del empleo de ls leyes de
la mecnica de rocas, depende del grado de pequeez del volumen
elemental en comparacin con el volumen total de la roca. Esta
exactitud se la puede evaluar. F.S. Jasinski estableci que, cuando
se emplea las frmulas de la teora de la elasticidad, la variacin de
las magnitudes de las tensiones, con respecto a sus valores medios
para las superficies de diferente forma que se encuentran en un
mismo plano de corte, es l/m del valor medio de las tensiones.
Lm =
Donde: L - Longitud de un mismo orden con las dimensiones
lineales del cuerpo. - Longitud de un mismo orden con las
dimensiones lineales de la superficie elemental. Las dimensiones
del volumen elemental para las rocas se determinan por la
constitucin de las mismas. La continuidad de las rocas en el
concepto matemtico se destruye por la granulacin o constitucin
cristalina, estratificacin y fisuramiento. El volumen elemental de
la roca se determina, partiendo de su granulacin o constitucin
cristalina. La observacin de lminas delgadas, muestra que la micro
estructura de las rocas puede ser muy compleja, pero cada tipo
concreto de roca ella es lo suficientemente constante. En las rocas
consolidadas de estructura granulada los intersticios entre los
granos, generalmente se encuentran rellenos de cemento.
-
100
El volumen elemental debe tener tal magnitud, que en l, los
elementos estructurales y texturales y sus relaciones,
caractersticos para la roca dada, correspondan a las existentes en
el volumen total de roca. Para la determinacin de las dimensiones
absolutas del volumen elemental de roca, podemos emplear los
resultados de los experimentos realizados con los metales de
estructura polimetlica. De acuerdo al libro de Z. Jeffris y R.S.
Archer, los experimentos realizados por ellos sobre traccin en
alambres de acero especial, demuestran que, cuando en la seccin
transversal del alambre existen ms de 30 granos se obtiene
homogeneidad en las propiedades mecnicas del mismo a todo su largo.
En otros experimentos con metales se estableci que, cuando se mide
las deformaciones con tensmetros de base pequea, si dentro de los
lmites de la base del tensmetro se disponen ms de diez granos, la
estructura granular, prcticamente deja de influir en los resultados
de la medicin de las deformaciones. Fundamentndose en los
experimentos indicados, R.V. Ruppeneit y Y.J. Liberman, proponen
determinar el dimetro de la superficie elemental, partiendo de las
condiciones de disponer dentro de ella no menos de 30 granos con la
correspondiente cantidad de cemento. La superficie ocupada por el
cemento, convencionalmente se toma igual al 50% de la superficie
total de los granos, o sea, igual al 1/3 de la rea total de la
superficie elemental. Si designamos: - Dimetro de la superficie
elemental; d - Medida media de los granos; S1 - Area de la
superficie elemental S2 - Superficie media del grano. Entonces: 1 =
30 S2 2/3 S S1/S2 = 45 = d S = d 45 S2
-
101
= 6.7 d. Los dimetros de las superficies elementales calculados
con esta frmula, para ciertas rocas, se indica en la tabla .1.
2
TABLA 2.1
NOMBRE DE LAS ROCAS DIMETRO MEDIO DEL GRANO cm. , cm.
Conglomerado Grabelita Arenisca de grano grueso Areniscas de
grano medio Areniscas de grano fino Alebrolita gruesa Alebrolita
fina Argilita
1,0 0,10 - 1,0 0,05 - 0,10 0,025 - 0,050 0,10 - 0,025 0,005 -
0,010 0,001 - 0,005 0,001
6,7 0,67 - 6,7 0,33 - 0,67 0,17 - 0,33 0,07 - 0,17 0,03 - 0,07
0,01 - 0,03 0,01
Empleando la frmula de F.S. Jasinski, se puede evaluar la
magnitud del posible error relativo en la determinacin de la
decisin en comparacin con la magnitud de la tensin media sobre la
superficie de dimensiones dadas, por ejemplo, 7x7 cm. Los
resultados de los clculos se indican en la tabla 2.2.
TABLA 2.2
NOMBRE DE LAS ROCAS ERROR % Conglomerado Gravelita Areniscas de
grano grueso Areniscas de grano medio Areniscas de grano fino
Alebrolita gruesa Alebrolita fina Arguilita
ms de 100. de 33 a 100. de 7 a 33. de 5 a 7. de 3 a 5. de 2 a 3.
hasta 2. . menos de 1.
Los datos de la tabla 12 muestran que, el error relativo en la
determinacin de la tensin en las probetas de roca, est condicionado
por la estructura granular y se encuentra dentro de los lmites de
los errores comunes para los clculos de ingeniera. La influencia de
la estratificacin y fisuramiento se estudia en el libro de K.V.
Introduccin a la Mecnica de las Rocas, Gosgortexizdat, 1.960. Los
autores diferencian
-
102
dos tipos de estratificacin: micro estratificacin dentro de los
lmites de cada estrato (estratificacin interior) y construccin
mantfera del macizo (estratificacin exterior). La estratificacin
interior no destruye la continuidad de la roca. Para tomarla en
cuenta a ella, es indispensable aumentar las dimensiones del
volumen elemental hasta el punto que, la influencia de la misma
dentro de un estrato, tomado por separado, sea despreciable. La
estratificacin exterior, cuando se resuelve problemas concretos,
obliga a tomar en cuenta la diferencia de propiedades mecnicas en
los distintos estratos, pero, en general, esto no es obstculo para
emplear los mtodos de la mecnica del medio continuo. Los autores
distinguen, tambin, dos tipos de fisuramiento: el ordenado, con
direccin determinada y el desordenado, que crea un caos de partes
separadas. El fisuramiento ordenado, igualmente que la anisotropa,
complica la resolucin de los problemas concretos, pero no los
vuelve irresolubles. El fisuramiento desordenado, que divide al
macizo en volmenes pequeos, no destruye la continuidad del mismo.
La influencia de ste es semejante a la influencia de la granulacin.
Por ejemplo, los macizos de relleno y de las escombreras se los
puede considerar como medios continuos, si se toma ellos en grandes
volmenes. La valoracin de la estabilidad de las propiedades
mecnicas de las rocas se efecta mediante la determinacin de la
magnitud del coeficiente de variacin, que se lo establece cuando se
elabora los resultados obtenidos en los ensayos del grupo de
probetas, que representan a determinado tipo de roca. El
coeficiente de variacin se determina por la frmula:
,%100 =X
V Donde: V - Coeficiente de variacin - Deflexin media cuadrtica;
variacin standard X - Media aritmtica La deflexin media cuadrtica
se calcula por la frmula:
-
103
nNi
=
2 Donde:
i - Deflexin de los resultados de los ensayos unitarios con
respecto a los resultados medios de los grupos, variacin standard.
N - Nmero total de probetas sometidas a ensayo n - Nmero de
grupos
Los clculos muestran que, las rocas desde el punto de vista de
la estabilidad de las propiedades mecnicas, no quedan a la zaga de
otros materiales que se emplean en la construccin. De esta manera,
el empleo de los mtodos de la mecnica del medio continuo, en la
resolucin de diferentes problemas sobre presin de las rocas se
puede considerar totalmente aceptable. Algunas palabras sobre las
medidas mnimas de las probetas de roca. Cuando se determina la
resistencia de a roca en probetas, es indispensable tomar en cuenta
que, cualquier probeta sometida a ensayo mecnico constituye un
cuerpo tensional complejo. Por lo mismo los resultados obtenidos en
la determinacin de los lmites de resistencia (por ejemplo, a la
compresin), cuando se experimenta cualquier prisma, no deben ser
difundidos a todo el macizo. Las dimensiones absolutas de las
probetas deben ser suficientemente grandes para que, en los
resultados de los ensayos no influyan la estructura y textura del
material. M.M. Protodiakonov expresa la dependencia entre la
resistencia de la probeta de roca y la resistencia de la misma en
el macizo en la forma siguiente.
11/
1 ++=bd
mM
s
Donde:
s- Resistencia de la probeta de roca;
-
104
M- Resistencia de la roca correspondiente, en el macizo, d -
Dimetro de la probeta, b - Distancia entre los planos de defectos
geolgicos en el macizo rocoso. m - Parmetro, que depende de las
propiedades del material de la roca y del carcter de la tensin, a
la cual se somete a la probeta.
En base a los trabajos experimentales se recomienda los
siguientes valores para m:
Carbn y rocas suaves en ensayos a la compresin 5
-
105
La correlacin entre las medidas geomtricas de las probetas:
longitud, ancho y altura, tienen que ser elegidas en tal forma, que
el estado tensional de la probeta corresponda, de la manera ms
prxima, a la calculada. 2.5 ESTADO TENSIONAL CUBICO DE LAS
ROCAS
2.5.1 Modulo de elasticidad bajo el estado tensional cbico
Cuando las rocas yacen con una configuracin suave (valles, lugares
sin defectos geolgicos), el estado tensional es causado por la
fuerza de gravedad, que est dirigida en forma normal con respecto a
la superficie de la tierra. Por lo tanto, la direccin de las
tensiones principales es natural tomarlas, una en direccin vertical
y dos en direccin horizontal.
Tomemos, en las condiciones del macizo, un cubito de roca y
designemos la tensin vertical por y las tensiones horizontales por
(Fig.2.14).
Es evidente, que
,.
32
1
== H
Donde: - Peso volumtrico medio de la roca; H - Distancia hasta
la superficie.
Fig. 2.14. Estado tensional cbico de las rocas
-
106
La dilatacin transversal (en el plano horizontal) del cubito de
roca, ocasionada por la tensin vertical 1, est impedida por el
macizo rocoso que rodea a dicho cubito. Por lo mismo la deformacin
transversal relativa. 2 = 3 = 0 Pero la deformacin resultante, en
cualquier direccin, de y se puede expresar en la forma siguiente: 2
- 1 - 3 = 0 E E E 3 - 1 - 2 = 0,
E E E
Donde: E - Mdulo de elasticidad de la roca bajo estado de tensin
simple. - Coeficiente de Poisson.
De donde, si 2 = 3 obtenemos, que.
132 .1
== entonces, la deformacin cbica relativa en el sentido vertical
es: o = 1 - 2 - 3 E E E Poniendo en la expresin anterior los
valores de 2 y 3, obtenemos:
0 ( ) )1()21)(1(..
.121 1
1
2
+== EEE Por consiguiente, bajo compresin de la roca, en una sola
direccin y en ausencia de dilatacin lateral, el mdulo de
elasticidad es igual a: Eo = ( 1 - u) E (1 + u) ( 1 - 2 u) Por
ejemplo, cuando = 0,25 obtenemos.
-
107
Eo = 1,2 E. Examinemos algunos ejemplos simples de tensin de las
rocas cerca de las galeras. 2.5.2 Estado tensional de las rocas
cerca de un pique vertical circular (Fig.2.15).
Fig. 2.15. Estado tensional de las rocas cerca de un pique
principal circular.
Designemos la tensin de las rocas en el plano horizontal, antes
del franqueo de las galeras, por Q,cuando las rocas yacen
suavemente. Q = H 1 - Donde: - Peso volumtrico medio de las rocas
tomadas hasta la superficie. H - Profundidad a la que se encuentra
el plano horizontal con respecto a la superficie. - Coeficiente de
Poisson para rocas que se encuentran en el plano horizontal que se
estudia. Si las rocas se encuentran en estado elstico, entonces las
tensiones normales en las rocas despus del franqueo de las galeras,
de acuerdo a la teora de la elasticidad son: r = Q (1 - a2 ); r2 n
= Q (1 + a2 ) r2
-
108
Las tensiones tangenciales en el punto indicado son: r = (n -r)
= Qa2 r2 En la pared de la galera (r=a) obtenemos
correspondientemente lo siguiente: ra = 0 na = 2Q ra = Q El
diagrama de las tensiones normales y tangenciales se muestran en la
Fig. 2.16. Si la magnitud de la tensin tangencial es superior a la
resistencia temporal K de la roca al cizallamiento. r> K,
entonces, en los lmites de cierto campo de radio C, se producir la
deformacin plstica de las rocas. La magnitud del radio de campo de
deformaciones plsticas de las rocas se determina de la expresin. r=
Q a2 = K C2 De donde c = a Q/K Fig. 2.16. Tensiones normales y
tangenciales para las rocas
en estado elstico.
-
109
Fuera de los lmites del radio C, as rocas se encuentran en
estado tensional elstico. E. Isaacson da las siguientes frmulas
para la determinacin de las tensiones normales dentro de la zona de
estado plstico de las rocas, o sea, para cuando a rc
+
=
=
ar
acca
caQn
ar
caca
Qr
ln.ln
12
;ln.ln
)(1
2
2
2
Si en esta frmula colocamos el valor C =a Q/K, obtenemos: r = Q
- K .ln ( r ) 1nQ/K a n = 2K + Q - K .ln ( r ) 1nQ/K a Las
tensiones tangenciales en el campo a
-
110
r = Q (1 - a/c); n = Q (1+ a/c). El diagrama de las tensiones
normales en la zona de deformacin plstica de las rocas se indica en
la Fig. 39. Fuera de los lmites del radio C las magnitudes de las
tensiones r,n,r, se determinan por las frmulas ms arriba indicadas,
del estado elstico de las rocas. 2.5.3 Valoracin de la estabilidad
de las galeras no fortificadas por el mtodo de las
probabilidades
Las propiedades de resistencia de las rocas las tomamos como
magnitudes casuales, que caracterizan a ellas por sus valores
medios, bajo determinada variacin. Como datos iniciales
tomemos:
K-Valor medio de la resistencia de la roca al cizallamiento,
Kg/cm2. Vk-Valor de coeficiente de variacin de la resistencia
de la roca al cizallamiento. -Peso volumtrico medio de la roca
tomada hasta la superficie, T/m3. H-Profundidad de la galera.m.
n-Reserva de resistencia en el contorno de la galera. En la
resolucin de los problemas se emplea las siguientes premisas: -La
forma de la seccin transversal de la galera en franqueo es redonda;
bajo otra seccin, la misma grficamente, se describe por una
circunferencia. -Las tensiones tangenciales en el contorno de la
galera se toman como constantes e iguales a: en la seccin
horizontal (Fig. 38) 1 = Q = ------ H 1- en la seccin vertical
-
111
H 0 H 2= -------- = ----- 2 2
-La distribucin de los valores casuales, de la resistencia de
las rocas al cizallamiento, se toma de acuerdo a la ley normal. La
probabilidad de destruccin del contorno de la galera, expresada en
dcimos del permetro, se determina con ayuda de la integral de
probabilidades. 2
)(5,0215,0
0
2
2 == dtlVt
Aqu - es caracterstica de seguridad, que se determina de la
siguiente manera. La estabilidad del contorno de la galera se puede
considerar como cierta funcin positiva. R = K - > 0, Donde:
K - Resistencia de la roca al cizallamiento. - Tensin tangencial
en el contorno. El valor medio de esta funcin es: _ _ _ R = K - La
dispersin de la funcin de estabilidad es igual a la suma de las
dispersiones de la resistencia de la roca y la tensin en el
contacto. DR = DK + D El coeficiente de variacin de la funcin de
estabilidad es: = R
DRVr
La caracterstica de seguridad, en su aspecto general, es una
magnitud inversa al coeficiente de variacin de la funcin de
estabilidad, o sea:
-
112
_ _ 1 K - =---- = ---------- Vr DK + D
En base a la conocida dependencia estre la dispersin y el
coeficiente de variacin tenemos: _ _ K - = --------------------- _
_ K2 V2r + 2 V2 Puesto que ms arriba se decidi, que la tensin en el
contorno de la galera es una magnitud constante (V=0) ntonces
tenemos. e
KVk
k
=
Tomando el valor del coeficiente de reserva de resistencia en
forma de
=kn
La caracterstica de seguridad se puede expresar por la
frmula:
KVnn*
1=
El valor de la integral de probabilidad se encuentra en la abla
de cualquier manual de matemticas. t Ejemplo: Determinar el lmite
de profundidad del pique, hasta el cual se puede franquear ste sin
que se produzca desmoronamientos peligrosos de roca, de su contorno
(V< 0.015). Condiciones: 1. Resistencia de la roca al
cizallamiento K=150 Kg/cm2. VK = 0.20.
-
113
2. Peso volumtrico medio de la roca = 2,6 T/m3, coeficiente de
Poisson = 0,3. Resolucin:
1. Determinar la magnitud mxima de las tensiones
tangenciales.
La tensin tangencial en la seccin horizontal es: 0,3 1=----H =
----- 2,6H = 1,1H 1- 1-0,3 La tensin tangencial en la seccin
vertical es: H 2,6H 2= ---- = ------ = 1,3H 2 2 Ya que 2 >1, el
clculo lo realizamos para 2 2. De la frmula.
KVk
k
=
encontramos _ _ = K (1-.Vk) empleando =1,3H obtenemos _ K
(1-.Vk) H = ----------- 1,3 3. De la frmula () V = 0,5 - ------- 2
encontramos la integral de probabilidad
-
114
()=1-2V=12.0,015=0,97 En las tablas del manual de matemticas
encontramos: = 2,20 4. Determinamos el lmite de profundidad del
pique, hasta el cual no se produce desmoronamientos peligrosos de
roca desde las paredes. H = K (1 - .Vk) = 150 (1 - 2,20 x 0,2 ) =
64,5 m. 1,3 1,3 2.5.4. Estado tensional de las rocas cerca de una
galera
horizontal circular Si designamos la tensin vertical de las
rocas antes del franqueo de la galera por P y la horizontal por Q,
entonces.
r = 0
n = P. (1 + 2 cos 2 ) + Q (1 - 2 cos 2 )
Fig. 2.17 Las tensiones normales bajo estado p lstico de las
rocas.
Las tensiones en el punto a (Fig.2.18), despus del franqueo de
la galera de radio a, correspondientemente son: a) radiales
normales r = (1a2/r2) (P+Q - P-Q (1-3 a2/r2)cos 2)
2 2
-
115
Fig.2.18 Tensiones normales de las rocas cerca de una galera
horizontal. b) Normales perifricas. n = (1+a2/r2) (P+Q + P-Q (1+3
a4/r4)cos 2 2 2 c) tangenciales. r = 1/2(n-r)= 1/2.a2/r2
(P+Q+2(P-Q)cos 2 En la pared de la galera (r=a) obtenemos
correspondientemente: ra = 0 na = P + Q + 2 (P-Q)cos 2 ra = 1/2
(P+Q+2(P-Q)cos 2 Determinemos el ngulo , bajo el cual las tensiones
normales na, en la pared de la galera, adquieren sus valores
mximos.
Igualamos a cero el valor de la primera derivada. dna/d =
-4(P-Q)sen 2 = 0 de donde sin2= 0 = 0o 180
-
116
La magnitud de la tensin normal mxima nmx = P+Q+2(P-Q) y
P+Q+2P-2Q = 3P-Q o nmx = 3P-Q bajo presin hidrosttica (P = Q)
obtenemos. nmx = 2P Las tensiones normales mnimas nmn, de acuerdo a
la ley de la disposicin de los planos de las tensiones normales
tienen que ser bajo
= 90 270 nmn = P+Q-2(P-Q)
nmn = 3Q-P
Cuando = 0,25 0,25 Q = ----- P = ------P = 1/3 P 1- 1-0,25 y en
consecuencia,
nmn = 3*1/3 P-P = 0
O sea, que en el punto superior del techo y punto inferior del
piso las tensiones normales no existen; bajo < 0,25, en el techo
y en el piso de las galeras aparecen tensiones de traccin. Bajo
> 0,25, las tensiones por todo el contorno de la galera son de
comprensin. La posicin de los planos de las tensiones tangenciales
cerca de una galera horizontal de seccin circular, se muestra en la
Fig. 2.19. En esa misma figura, se indica el posible contorno de
desmoronamiento de las rocas.
-
117
Fig. 2.19. Posicin de las tensiones tangenciales principales,
cerca de una galera horizontal.
La magnitud de las tensiones tangenciales mximas en la pared de
la galera es:
mx = 1/2(nmx - r)= 3 P - Q 2 bajo presin hidrosttica (P = Q) mx
= P
Si la magnitud de las tensiones tangenciales es superior al
lmite de fluencia K de la roca. > K entonces, cerca de la galera
aparece un campo de deformaciones plsticas. El radio C del campo de
deformacin plstica de las rocas, cerca de la galera horizontal, se
determina con la expresin siguiente: 1/2*a2/r2 (P+Q+2(P - Q)cos 2 =
K de donde C = a/2K (P+Q+2(P - Q)cos 2)
-
118
El carcter de la disposicin de los campos de deformacin plstica
de las rocas de la galera horizontal se muestra en la Fig. 2.20.
Fig. 2.20. Campos de estado plstico de las rocas cerca de
una galera horizontal.
2.5.5. ENERGIA DE DEFORMACION ELSTICA
Bajo estado de tensin simple (compresin o traccin
uniaxial) la energa de deformacin elstica por unidad de volumen
de la roca puede ser determinada de la expresin para el trabajo
elemental de deformacin elstica (Fig.2.21)
d W = . dE
de la frmula de Hook = E.
obtenemos. d = E . d De donde.
d= d E por consiguiente,
dW = d E El trabajo total es: W = o d = 2_ E 2E
-
119
Bajo estado de tensin compleja (Fig.2.22) la energa especfica de
deformacin elstica se determina tomando en cuenta todos las
tensiones que actan. Podemos considerarla a ella como la suma de
los trabajos de las tensiones 1, 2,3, bajo en aplicacin en serie.
Bajo la aplicacin de 1as tensiones 1 obtenemos el trabajo. W1 = 21_
2E Bajo la aplicacin subsiguiente de las tensiones 2, obtenemos el
trabajo. W2 = 22_ - . 2 2E E Y por fin bajo la aplicacin de las
tensiones 3, obtenemos el trabajo. W3 = 23 - 2.3 - 1. 3 2E E E La
suma total de trabajo de las tensiones 1, 2, 3, es: W = W1 + W2 +
W3 o
W = 1 (21 + 22 + 23) - (1.2 + 2.3 + 3.1) 2E E
-
120
Fig. 2.21, Energa de deformacin elstica bajo estado de tensin
simple.
Si la direccin de los ejes de coordenadas no coinciden con la
direccin de las tensiones normales principales, entonces la
magnitud de la energa especfica de la deformacin elstica puede ser
determinada por la frmula: w = __1__ (2x + 2y + 2z) - (x.y +y.z
+z.x) 2E E + 1 + (2xy + 2yz + 2zx) E Donde: x , y, z - Tensiones
normales. xy, yz, zx - Tensiones tangenciales.
-
121
Fig. 2.22. Esquema para el clculo de la energa de deformacin
elstica bajo estado de tensin compleja. 2.5.6 Influencia de la
rigidez de la mquina en el carcter de la destruccin de la muestra
de roca
La rigidez K de un elemento elstico se define cono la fuerza que
ocasiona la deformacin por unidad de longitud.
K=_P_ X
Donde: P - Fuerza actuante.
X - Deformacin en la direccin que acta la fuerza.
La cantidad de energa que se acumula en el elemento elstico,
cuando a 1 se lo carga con la fuerza P y se lo revierte cuando se
lo descarga es:
-
122
w= P 2
2K
La muestra de roca con seccin A, longitud L y valor del mdulo de
elasticidad E, tiene rigidez.
Kr = A.E
L
La muestra de roca, cuando se la descarga revierte parte de la
energa acumulada durante la carga, incluso en el campo de
destruccin frgil.
La cantidad de energa acumulada por la deformacin elstica bajo
carga P en el sistema Mquina para ensayo muestra, es:
Ws = P2 (l/kR+ 1/KM).l/2 Donde: KR - rigidez de la muestra de
roca;
KM - rigidez de la mquina para ensayo.
Tomando como valor medio de la rigidez de la muestra de roca Kr
= 7,13* 105 Kg/cm y de la mquina para ensayo KM = 1,78xl05 Kg/cm,
encontramos que la cantidad de energa acumulada por la deformacin
elstica en la mquina para ensayo es cuatro veces mayor que en la
muestra de roca. En el proceso de destruccin de la muestra de roca
la energa de la deformacin elstica que se desprende de la mquina de
ensayo, tiene una gran influencia en el carcter de destruccin de la
muestra (Fg.2.23).
-
123
Fig.2.23. Diagrama Esfuerzo - deformacin para el sistema mquina
de ensayo - roca:a- vista general del diagrama; b- sector cercano
al punto C.
La rigidez de la mquina suave de ensayo se designa en la figura
45 a con la lnea K1 y de la mquina rgida con la lnea de pendiente
abrupta K2.E1 sector de curva cercano al punto C se muestra en la
figura 45 b a gran escala.
Estudiemos la influencia de la compresin complementaria
sobre la magnitud x en el campo del punto e (Fig.2.23b). Cuando
se incrementa la deformacin en la magnitud x,
la resistencia de la roca disminuye en: PR = dP. x. dx y la
carga sobre la mquina de ensayo decrece en: PM =K. x. Donde: K -
Rigidez de la mquina de ensayo.
-
124
Si dP/dx > K lo cual sucede cuando K = K1,entonces la
capacidad de carga de la muestra es inferior a la carga creada por
la mquina de ensayo. Como resultado de esto se producir la
destruccin instantnea de la muestra de roca. Las mquinas de ensayo
generalmente son suaves. Si dP/dx < K lo cual tiene lugar,
cuando K = K2, la energa de la deformacin elstica acumulada por la
mquina de ensayo (rea por debajo de la curva K2),siempre ser menor
que la energa acumulada en la muestra de roca (rea por debajo de la
curva de ensayo de la muestra).Por esto la mquina no puede brindar
exceso de energa y el comportamiento de la muestra de roca en el
campo de destruccin por fragilidad, se puede observar hasta el
momento de su destruccin.
ESTADO TENSIONAL DE LAS ROCAS
