HIDROMECANICA

INTRODUCCIONEn la naturaleza podemos encontrar a la materia en tres estados comunes: sólido, líquido y gaseoso. Los líquidos y los gases poseen características semejantes que los diferencian de los sólidos como por ejemplo, no pueden conservar una forma definida, no pueden soportar esfuerzos cortantes muy grandes (sobre todo los gases), toman la forma del recipiente que los contiene, las fuerzas de cohesión entre moléculas es pequeña, además ambos tienen la capacidad de fluir. A estos estados de la materia, líquidos y gases se les denomina fluidos.

La hidromecánica o mecánica de los fluidos es la parte de la Física que se encarga del estudio de los fluidos, sin embargo, es necesario aclarar que aunque los líquidos y los gases poseen características comunes que hacen que se denominen bajo un solo término, ambos poseen características específicas diferentes cuyos efectos algunas veces se estudian separadamente.Para un estudio más simplificado de los fluidos, es necesario suponer un medio continuo, es decir una distribución continua de la materia, sin considerara espacios intermoleculares, lo cual se justifica al tener un número muy grande de moléculas de fluido en un pequeño volumen de materia.

SÓLIDOS

LIQUIDOSGASES

MATERIAFLUIDO

Finalmente, la hidromecánica se estudia bajo dos campos: La HIDROSTATICA y la HIDRODINAMICA. Existe otra rama dentro de la hidromecánica denominada NEUMATICA en la que se aplican las leyes de los dos campos anteriores y se estudian otras características de los gases.

HIDROSTATICA: Fluidos en equilibrio, en reposo o con velocidad constante.HIDRODINAMICA: Fluidos en movimiento.

HIDROMECANICANEUMATICA: Estudio específico de los gases que poseen características diferentes a los líquidos

FLUIDO : Es cualquier sustancia que puede fluir. Se deforma continuamente, toma la forma del recipiente que lo contiene debido a que las fuerzas de cohesión entre moléculas es pequeña.

PROPIEDADES BASICAS DE LOS FLUIDOS

1. DENSIDAD. Propiedad importante que relaciona la masa y el volumen del fluido. La densidad es la masa por unidad de volumen. Sólo un material homogéneo tiene la misma densidad en todas sus partes.

ρ = m/V; donde: ρ: densidad del fluido.m: masa del fluidoV: volumen que ocupa el fluido.

En el caso de los fluidos, la densidad varía con la presión y la temperatura. La atmósfera terrestre es menos densa a mayor altura. Los océanos son más densos a mayores profundidades. En estos casos se considera la densidad media.

o UNIDADES [ρ] : ML-3

SI: Kg/m3

Ingles: slug/pie3

MKS: Kg/m3

CGS: gr/cm3

MATERIAL DENSIDAD Kg/m3 MATERIAL DENSIDAD Kg/m3

Aire (1atm. 20ºC)EtanolBencenoHieloAguaAgua De MarSangreGlicerinaHormigón

1.200,81X103

0,90X103

0,92X103

1,00X103

1,03X103

1,06X103

1,26X103

2,00X103

Hierro, AceroLatónCobrePlataPlomoMercurioOroPlatinoAluminio

7,80X103

8,60X103

8,90X103

10,5X103

11,3X103

13,6X103

19,3X103

21,4X103

2,7X103

2. PESO ESPECÍFICO.

γ = w/V donde: γ: peso específico del fluido.w: peso del fluidoV: volumen que ocupa el fluido

o UNIDADES [γ ] : FL-3

SI: N/m3

Ingles: lib/pie3

MKS: Kg-f/m3

CGS: Din/cm3

3. COHESION Y ADHESION. Propiedad que caracteriza el movimiento de los fluidos.3.1. COHESION. Es la atracción entre moléculas de una misma sustancia. Esta interacción molecular aunque pequeña, permite en los líquidos resistir esfuerzos de tensión pequeños.

3.2. ADHESION. Atracción entre moléculas de diferentes sustancias.

4. TENSION SUPERFICIAL:

Las fuerzas de adhesión son mayores a la s de cohesión

Las fuerzas de adhesión son mayores a las de cohesión

La superficie de separación (interfase) entre un líquido y un gas o entre dos líquidos que no se mezclan se comporta como si estuviera formada por una membrana elástica. Esta propiedad llamada tensión superficial se debe a la fuerza resultante entre las fuerzas de cohesión y fuerzas de adhesión.

R = Fc – Fa ; donde: Fc : Fuerzas de cohesión. Fa : Fuerzas de adhesión.

En la superficie de separación o interfase: Fc > Fa

La Tensión Superficial es un escalar y tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie. Este valor depende de los medios a ambos lados de la interfase y de la temperatura. Son ejemplos de Tensión Superficial, una gota de agua esférica, una aguja o una navaja que flota en agua, etc.Los jabones y detergentes disminuyen la Tensión Superficial del agua. Este efecto es deseable para lavar y limpiar pues la elevada Tensión Superficial del agua le impide penetrar a través de los poros y fibras de los materiales.Las sustancias que disminuyen la Tensión Superficial de un líquido se llaman SURFACTANTES.

Existen dos métodos para medir la Tensión Superficial: Estático y Dinámico. El primero se realiza con líquidos en reposo y en realidad se mide experimentalmente, como la fuerza necesaria para retirar por ejemplo una espira de alambre adherida a la superficie.

La fuerza F es la resultante entre las fuerzas de atracción entre moléculas del líquido y moléculas de la espira.La Tensión Superficial es la fuerza F por unidad de longitud alrededor de la cual se distribuye, es este caso alrededor de la longitud de la circunferencia que es la forma de la espira. Sin embargo, puesto que existen dos películas de moléculas formadas en el interior y exterior de la espira, esta longitud debe duplicarse.

Así, la Tensión Superficial Ts, debe medirse como: Ts = F / 2l.

En el caso de la espira que es circular, l = 2πR, siendo por tanto, Ts = F/ 4πR.

El método dinámico para medir la Tensión Superficial consiste en encerrar una delgada película de líquido en un aparato en forma de U como el de la figura.

Se necesita una fuerza F para jalar el alambre movible y así incrementar el área de la superficie del líquido.Esta capa es una delgada película que tiene una cara anterior y otra posterior, de allí que la longitud sobre la cual actúa la tensión superficial es 2l como se indicó en el método estático. Así:

Ts = F / 2l

UNIDADES: [Ts] : FL-1

SI: N/m Ingles: lib/pie MKS: Kg-f/m CGS: Din/cm

www.sc.ehu.es/.../tension/capilar/capilar.htm

5. CAPILARIDAD.

Propiedad que se debe a la Tensión Superficial, es decir a las fuerzas de adhesión y cohesión, la cual consiste en el ascenso o descenso de los líquidos a través de tubos de diámetro pequeño llamados CAPILARES.Los líquidos ascienden o descienden una altura proporcional a la disminución

del diámetro de los tubos. Mientras más pequeño es el diámetro del tubo, el líquido asciende mayor altura.

Donde:Ts: Tensión superficial

Ts = F/L = F/ 2πR.θ : Angulo entre la Ts y la pared del tubo de contacto.mg: peso del líquido que asciende.

Por equilibrio: F cos θ = mg2πRTs cos θ = ρVg2πRTs cos θ = ρ(πR2)hg

h = 2 Ts cos θ / ρgRSi θ>90º, el líquido no moja al recipiente.Si θ<90º, el líquido moja al recipiente.Si θ=90º, el fenómeno es ideal.

ANGULO DE CONTACTO DE ALGUNAS SUSTANCIASSUATANCIA ANGULO (grados)

Agua – vidrioLíquidos orgánicos – vidrioMercurio - vidrioAgua – parafinaCombustible – vidrio

0 – 25º0º

140º107º26º

El movimiento en el agua en el suelo se considera que tiene lugar por capilaridad ya que la estructura física del mismo se puede considerar como formado por un número muy grande de tubos capilares.

I. HIDROSTATICA

1.1 PRESION. Un fluido en reposo ejerce presión sobre las paredes del recipiente que lo contiene o sobre cualquier cuerpo sumergido en él.La presión se define como la fuerza por unidad de área, donde la fuerza y el área son perpendiculares. Es una cantidad escalar.Para un área diferencial dA dentro de un fluido en reposo sobre la cual actúa una fuerza normal dF, la presión denominada hidrostática se define como:

P = dF/dA ; ∫ dF = ∫PdA; F = ∫PdA , que es la fuerza total que actúa en la superficie.

Si P es constante: F = PA; P = F/A

UNIDADES o S. Internacional: [P] = N/m2 = Pascal.o S. CGS : [P] = Din/cm2

o S. Inglés : [P] = lib/pie2

o S. MKS  : [P] = Kg-f/m2

EQUIVALENCIAS o 1 atmósfera = 1,013x105 N/m2 = 14,7 lib/pulg2

o 1 bar = 106 Din/cm2 (utilizado generalmente en meteorología y mapas)

PROPIEDADES

1. La presión en todos los puntos de un mismo plano horizontal en el seno de un fluido e reposo (plano equipotencial), tiene el mismo valor.

2. La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal. La presión es siempre positiva.

3. La fuerza debida a la presión sobre un contorno sólido se dirige siempre hacia dicho contorno, en dirección perpendicular a éste y hacia cualquier superficie con la que el fluido tiene contacto.

4. La presión en un punto en el seno de un fluido en reposo tiene el mismo valor en todas las direcciones. Si no fuera así, el fluido estaría en movimiento. (P. Pascal)

1.2 PRINCIPIO DE PASCAL.Blas Pascal, matemático y filósofo francés, (1623-1662), enunció el principio que lleva su nombre.

“La presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución alguna a todas partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene”.

Un fluido encerrado en un recipiente provisto de un pistón tiene determinadas presiones PA, PB, PC en los puntos A, B, C. Si se aplica una fuerza F en el pistón, se generará un cambio repentino de

presión ΔP. El principio de Pascal establece que las presiones en A, B, C tomarán inmediatamente los valores: PA + ΔP, PB + ΔP, PC + ΔP.

ΔP = F/ A

Una de las aplicaciones más importantes del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Consta de dos cilindros comunicados por un conducto inferior y cerrados ambos por sendos émbolos.Cuando se aplica una fuerza pequeña sobre el émbolo del cilindro de menor sección, SA, se pueden levantar grandes masas colocadas sobre el cilindro de mayor sección, SB. Por el principio

de Pascal, las presiones en A y B son iguales: pA = pB. O lo que es lo mismo:F A S A = F B S B → F B = F A S B S A La fuerza obtenida en B es igual a la fuerza aplicada en A multiplicada por el cociente de las superficies de los dos recipientes. Cuanto mayor sea la relación entre la superficie de los émbolos, tanto más se multiplica el efecto de la fuerza aplicada en A.

El Principio de Pascal fundamenta también el elevador y los frenos hidráulicos.

El elevador hidráulico se basa en el principio de que el trabajo necesario para mover un objeto es el producto de la fuerza por la distancia que recorre el objeto. El elevador hidráulico utiliza un líquido incompresible para transmitir la fuerza, y permite que una pequeña fuerza aplicada a lo largo de una gran distancia

tenga el mismo efecto que una gran fuerza aplicada a lo largo de una distancia pequeña. Esto hace que pueda emplearse una pequeña bomba de mano para levantar un automóvil.

ΔP1 = ΔP2

F1 = F2 ó F1 = A1

A1 A2 F2 A2

F1 / F2 = A1 / A2: Ganancia mecánica de la prensa hidráulica.

Si el área de salida de un pistón es 20 veces mayor que el del cilindro de entrada, la fuerza se multiplica por 20 veces, es decir, una fuerza de 200 libras podrá levantar un peso de 4000 libras.

La fuerza aplicada en el pedal de frenado produce una fuerza proporcional en cada uno de los pistones de salida los cuales aplican la fuerza sobre las zapatas friccionantes contra el giro de la llanta retardando la rotación.

Otras aplicaciones del Principio de Pascal se presentan en las siguientes imágenes.

1.3 VARIACIONES DE LA PRESION.

Si un fluido se halla en equilibrio estático, todas las partes del mismo están en equilibrio. Consideremos un pequeño elemento de volumen del fluido sumergido dentro de la masa de fluido.

Considerando un volumen de fluido de espesor infinitesimal en equilibrio estático.

Como el fluido está en equilibrio, ΣFh = 0; ΣFv = 0Además, dw = gdm = g ρdV = g ρAdy

dw = ρgAdy

Aplicando la ecuación de equilibrio vertical: ΣFv = 0

PA – (p+dP)A-dw = 0PA – (p+dP)A- ρgAdy = 0

dP = -ρg : Variación de la presión con la altura y dentro del fluidody

Integrando esta expresión:

P2 – P1 = - ∫ ρg dy Si ρ =cte.

P2 – P1 = - ρg (y2 – y1)

Y si P2 = Po: Presión atmosférica y P1: presión en cualquier punto, tendremos:

P = P0 + ρg (y2 – y1)P = P0 + ρg h

P0: Presión atmosférica.Pm: Presión manométrica = ρg hP: Presión absoluta

En caso de los líquidos, de acuerdo a las ecuaciones anteriores se afirma que, la presión en un fluido en reposo, varía directamente con la profundidad, es decir, a mayor profundidad, mayor presión.

Para el caso de los gases, su densidad es relativamente pequeña, y si h también lo es, la presión es prácticamente la misma en todos los puntos a diferentes profundidades. Sin embargo, cuando h es grande, la variación de la presión es considerable, es el caso cuando nos elevamos a grandes alturas en la atmósfera; en estos casos, la densidad varía con la altitud. Así, como la densidad es proporcional a la presión del gas:

ρ / ρ0 = P/P0; donde ρ0 y P0 son valores conocidos de la densidad y presión del aire a nivel del mar. Entonces:

ρ = P ρ0 / P0

dP = -ρg ; dy

dP = - P ρ0 / P0 g ; integrando esta expresióndy

∫ dP = ∫- (ρ0 / P0) g dy = ln P/Po = - (ρ0 / P0) g y ; P = Poe^- (ρ0 / P0) g yP

(La presión varía en forma exponencial con la altura).

1.4 VISCOSIDAD.

Es unas de las propiedades más importantes de los fluidos y se define como la resistencia que pone el fluido a su deformación al ser sometido a esfuerzos cortantes.

Consideremos un fluido en reposo entre dos placas: una placa fija A y una placa movible superior B. La capa de fluido adherida a la placa B se mueve con la velocidad de la placa, mientras que las capas que se encuentran debajo se mueven con velocidades menores una con respecto a la otra, de tal manera que la placa unida a A, no se mueve.

Las velocidades de las capas son diferentes debido a la fricción interna entre capas.

DIAGRAMA DE VELOCIDADESEn los fluidos newtonianos, que son aquellos que siguen la relación lineal entre el esfuerzo cortante τ y la rapidez de la deformación angular dθ/ dt, se cumple que:

τ = μ dv/dy, siendo, τ = F/A, entonces:

F = μ A dv/dy.

Si v = cte., la expresión anterior se expresa como:

F = μ A v/y.En ambos casos:

F: Fuerza tangencial de deformación sobre el fluido.y: espesor de la capa de fluido que se deforma.A: área de la capa de fluido que se deforma, paralela a F.

dv/dy; v/y: gradiente de velocidades.μ: coeficiente de viscosidad absoluta o dinámica

[μ]: FTL-2. CGS: [μ] = (DINA seg.)/cm2 = 1 POISE. S.I.:[μ] = (N seg.)/ m2 = UNIDAD TECNICA DE VISCOSIDAD

DINAMICA = Pa. seg.1Pa.seg = 10 poises.

Existe otra clse de viscosidad denominada VISCOSIDAD RELATIVA O CINEMATICA, la cual se calcula como:

υ = μ/ρEn la cual:

μ : viscosidad dinámica del fluido. ρ : densidad del fluido.

[υ]: L2T-1

CGS: [υ] = cm2 / seg = 1 STOKE S.I.: [υ] = m2/seg = UNIDAD TECNICA DE VISCOSIDAD

CINEMATICA.

FLUIDO TEMPERATURACOEF. VISCOSIDAD

μ(Pa.seg)1. Agua

2. Sangre3. Alcohol etílico.4. Aceite para máquinas.5. Glicerina.6. Aire.7. Hidrógeno.8. Vapor de agua.

0º20º

100º37º20º30º20º20º0º

100º

1.8 x 10-3

1.0 x 10-3

0.3 x 10-3

4.0 x 10-3

1.2 x 10-3

200 x 10-3

1500 x 10-3

0.018 x 10-3

0.009 x 10-3

0.013 x 10-3 1.5 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES.

Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica.En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta.

Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley fundamental de la hidrostática, el llamado Principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo

sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba; sorprendido por su hallazgo saltó fuera de la bañera, y corrió por las calles de Siracusa gritando: “¡Eureka!, ¡Eureka!”, que significa “lo encontré”.Aplicando este principio comprobó que la corona de oro que había mandado fabricar su protector, el rey Hierón, no tenía la misma densidad que el oro puro, por lo que supo que el orfebre le había engañado, no había utilizado solamente el oro que el rey le había proporcionado.

Sea un cuerpo de sección A y altura h sumergido dentro de un fluido en reposo de densidad ρL.

P1, P2: presión en la superficie superior e inferior del cilindro.

F1, F2: fuerzas debidas a la presión en la superficie superior e inferior del cilindro.

Si:P1= ρL g h1 y P2= ρL g h2 y

F1= P1 A y F2= P2 A, entones,F1= ρL g h1 A y F2= ρL g h2 A

Además, en el diagrama de cuerpo libre la resultante de fuerzas debidas a la presión es:

E = F2 – F1, por loque:E = ρL g h2 A – ρL g h1 A = ρL g A ( h2 – h1)

E = ρL g A h = ρL g Vs

Aqui:E: Fuerza de empuje debido a la diferencia de fuerzas que ejercen las

presiones.Vs: Volumen del cuerpo sumergido igual al volumen del líquido

desalojado.

E = ρL g Vs = γLVs,L = peso del líquido desalojado, por tanto,

Fuerza de empuje = peso del fluido desalojado

PESO APARENTE “T”: En el diagrama anterior, si sumamos la fuerza de empuje E y el peso del sólido W, calcularemos el peso aparente T, así: T = W - E

CASOS: Cuando la densidad del cuerpo es igual a la densidad del líquido, E = Ws, el

cuerpo flota entre dos aguas, no se hunde ni emerge completamente. Cuando la densidad del cuerpo es mayor a la densidad del líquido, E < Ws, el

cuerpo se hunde completamente precipitándose al fondo. Cuando la densidad del cuerpo es menor que la densidad del líquido, E > Ws, el

cuerpo flota completamente sin que parte de su volumen se sumerja (caso ideal)

T = W - E

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

II. HIDRODINAMICA

Como parte de la hidromecánica estudia a los fluidos en movimiento con velocidad variable.

2.1 CLASES DE FLUJO: Según la forma de la línea de corriente, el flujo puede ser:

LAMINAR: Cuando su trayectoria es uniforme, es decir las líneas de corriente no se cruzan.

TURBULENTO: Cuando su trayectoria no es uniforme, es decir las líneas de corriente se cruzan en forma de remolinos o corrientes parásitas.

FLUJO LAMINAR FLUJO TURBULENTO

Experimentalmente puede determinarse si el flujo es laminar o turbulento con una gota de tinta la cual mostrará el movimiento de las líneas de flujo. También mediante un cuerpo que flote.

2.2 CARACTERISTICAS: Los flujos pueden presentar las siguientes características:

COMPRESIBLE o INCOMPRESIBLE: Cuando cambia o no (respectivamente) de volumen, según el recipiente que contiene al fluido.

ESTACIONARIO o NO ESTACIONARIO: Cuando al medir la velocidad con la que se desplaza el flujo con respecto a un determinado punto ésta es o no constante respectivamente.

ROTACIONAL O IRROTACIONAL: Si se presentan o no momentos angulares en el flujo respectivamente.

2.3 LINEAS DE FLUJO: Se determinan cuando el flujo es estacionario y vienen a ser las líneas que describen la trayectoria de las partículas de fluido que se desplazan.El conjunto de líneas de flujo forman lo que se llama Tubo de Flujo. Se asume que el volumen de fluido que entra por un extremo, sale íntegramente por el otro.

Consideremos una partícula de fluido en movimiento con régimen estacionario, que pasa por los puntos P, Q, R. Toda partícula que llega a P debe tener la misma velocidad VP en cualquier tiempo. Lo mismo podemos decir en lo puntos Q y R.

3.4 ECUACION DE CONTINUIDADConsidérese el movimiento de un fluido de régimen estable, en un tubo de sección transversal variable.

En P, la sección transversal es S1 y la velocidad del fluido V1. En Q, la sección transversal es S2 y la velocidad del fluido V2.

En un intervalo de tiempo dt, un elemento de fluido recorre la distancia vdt. La masa de fluido que atraviesa la sección S1 en el intervalo de tiempo dt es:

dm1 = ρ1S1v1dt.Luego:

dm1/dt = ρ1S1v1.

Similarmente, en el punto Q:dm2 = ρ2S2v2dt.

Luego:dm2/dt = ρ2S2v2; siendo ρ1 y ρ2 las densidades en P y Q respectivamente.

Como se supone que no se pierde masa de fluido en cualquier intervalo de tiempo:

dm1/dt = dm2/dtρ1S1v1 = ρ2S2v2

ρSv = constante…. Ley de conservación de la masa en la dinámica de fluidos.

Si el fluido es incompresible, ρ1 = ρ2 y la ecuación se transforma en:S1v1 = S2v2 = Sv = constante

El producto Sv representa el flujo de volumen , rapidez de flujo o caudal y suele representarse por:

Q = Sv = dV/dt = V/t donde :

V : Volumen de fluidov : velocidad del fluido.t : tiempo

En el flujo estacionario vemos que la velocidad varía inversamente con la sección transversal, siendo mayor en las partes angostas del tubo. Así mismo, en las secciones angostas del tubo, las líneas de flujo están más unidas o próximas entre sí que en la spartes anchas. Finalmente en este tipo de flujo, la presión es máxima donde la velocidad es mínima, esto es donde la sección es máxima. (Ecuación de Bernoulli).

3.5 ECUACION DE BERNOULLI

Esta ecuación se deriva de las leyes fundamentales de la Mecánica Newtoniana a partir del principio de trabajo y energía.

F1 = P1S1; F2 = P2S2; w = mg

WTotal = F1ΔL1 – F2ΔL2 – w (y2 – y1)WTotal = P1S1ΔL1 – P2S2ΔL2 – mg (y2 – y1)WTotal = P1m/ρ – P2 m/ρ – mg (y2 – y1).

Pero WTotal = ΔEc = ½ m v22 - ½ m v1

2, luego:P1m/ρ – P2 m/ρ – mg (y2 – y1) = ½ m v2

2 - ½ m v12, de donde:

P1 + ½ ρ v12 + ρgy1 = P2 + ½ ρ v2

2 + ρgy2

De donde:P + ½ ρ v2 + ρgy = constante … Ec. de Bernoulli para flujo laminar, no viscoso e incomprensible.

El término P + ρgy es la presión estática absoluta.El término ½ ρ v2 es la presión dinámica.

La ecuación de continuidad establece que en un estrechamiento, la velocidad del fluido aumenta, entonces, para un tubo horizontal, la presión P debe decrecer para que la ecuación se mantenga constante.

3.6 EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

1. Calcular la presión en el fondo de un tanque, aplicando el Teorema de Bernoulli (fig. 1)2. Determinar la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en el fondo del tanque (fig. 2)3. Un tanque de agua descansa sobre el piso y tiene dos agujeros en la pared vertical, uno arriba del otro (fig. 3). Los agujeros están a 3.6 cm. Y 10 cm. Sobre el suelo respectivamente. ¿Qué altura tendrá el nivel de agua en el tanque cuando el agua que sale por los orificios tenga el mismo alcance a partir de la pared vertical?.4. En dos puntos de un tubo horizontal cuya sección transversal varía y por la cual circula agua, los radios son de 1 cm. y 0.4 cm. y la diferencia de presión entre los dos puntos es 4.9 cm de agua. ¿Qué cantidad de agua fluye por el tubo por segundo?