Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 90 CAPITULO III LEY DE GAUSS Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 91 3.1INTRODUCCIN En el capitulo anterior aprendimos elsignificadodelcampo elctricoy como emplearlaley de Coulomb para determinarelcampoelctricodedistribucionesdecarga.Enestecaptulosedescribirunmtodoalternativo para evaluar los campos elctricos, esto es, el uso de la Ley de Gauss. Esta ley es una expresin fundamental de la ley de Coulomb y constituye una de las leyes fundamentales del electromagnetismo.La aplicacin de la ley de Gauss facilita en muchos casos el clculo de los campos elctricos. En particular simplifica mucho el clculo del campo elctrico cuandola distribucin presenta una alta simetra. Ademsla aplicacin delaley de Gauss permite analizar el comportamiento de los conductores. Para aplicar la ley de Gauss se necesita en primer lugar el conocimiento del flujo elctrico, magnitud fsica anloga a aquel flujo que se estudi en mecnica de fluidos. 3.2FLUJO ELECTRICO ElestudiocualitativodelaslneasdefuerzafuerealizadoampliamenteenelCaptuloII.Sinembargo,es necesarioponerdemanifiestolautilidaddeestaslneas,denominadasahoralneasdeflujoelctrico, apoyndonos en una base cuantitativa, explicndose como deben trazarse. Al hacer esto, debe tenerse en cuenta que las lneas de flujo elctrico son slo representacin ya que no tienen existencia fsica real, su justificacin es su utilidad como ayuda para concebir las situaciones y ejecutar los clculos. Laslneasdebentrazarsedetalmaneraqueindiquenladireccindelafuerzaelctricasobreunacargade pruebapositivaestacionaria.ElnicorequisitoesqueelnmerodelneasNquepasenatravsdelrea unitaria perpendicular A a las lneas sea numricamente igual a la intensidad de campo elctrico E. Es decir # de lneas NEA Ao = (3.1) Una forma grfica de la situacin expresada anteriormentese muestra en la figura 3.2.1, Figura 3.2.1Lneas de fuerza que atraviesan una superficie perpendicular. 3.2.1Flujo de un campo uniforme a travs de una superficie plana Se define el flujoelctrico (E), que atraviesa una superficie perpendicular al campo como el producto del campo elctrico que atraviesa la superficie por unidad de rea. Puesto que la intensidad del campo elctrico esproporcionalalnmerodelneasdefuerzaqueatraviesalasuperficie,elflujoelctricoesportanto proporcional al nmero de lneas que atraviesan el rea. Matemticamente el flujo se puede expresar como EEAu =(3.2) Las unidades del flujo elctrico en el sistema internacional de unidades es el Nm2/C. Por otro lado si el rea A no es perpendicular a las lneas de campo, como lo muestra en la figura 3.2.2, debe observarse que en este caso las lneas de flujo elctrico rozan la superficie y ninguna ingresa o sale de la superficie, entonces0Eu =(3.3) Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 92 Figura 3.2.2. Las lneas de fuerza no atraviesan la superficie por tanto el flujo es nulo Si la superficie en consideracin no es perpendicular a las lneas de fuerza, el flujo elctrico que pasa a travs de ella debe ser menor que el dado por la ecuacin (3.2). Esto puede verse en la figura 3.2.3 en donde la superficie dereaAnoesperpendiculara

sinoqueseencuentraformandounnguloconelcampoelctrico.Del grficoseobservaqueelnmerodelneasdefuerzaqueatraviesanelreaAesigualalnmero delneasde fuerzaqueatraviesanelreaproyectadaA,reaquesesperpendicularalcampoelctrico.Lasreasse encuentran relacionadas por

.

(a) (b) Figura3.2.3(a)Lneasdefuerzaatravesandounasuperficieinclinada.Elvectorunitario,formaun ngulo con el campo elctrico

. (b) vista de perfil Debido a que el flujo a travs del rea es el mismo que el flujo a travs deAse concluye que el flujo a travs de una superficie inclinada no perpendicular al campo elctrico

, es cosEEA EA uu = = (3.4) Teniendo en cuenta la definicin del producto escalar, la ecuacin (3.4) se escribe . .EE A E nA u = = (3.5) Donde , es un vector unitario perpendicular al rea A. 3.2.2Flujoen general. La expresin para el flujo elctrico puede ahora ser generalizado para el caso de campos en general que varan espacialmente y que pasan a travs de superficies que noson planas. Para esto, dividimos a la superficie enungrannmerodeelementosmuypequeos(incrementoderea)queenbuenaaproximacinpueden considerarse planos con un vector rea dado por

, donde

es el incremento de rea del elemento y

es un vector unitario perpendicular a dicho elemento en dicha posicin como se muestra en la figura 3.2.4. Para elementos suficientemente pequeos puede considerarse a stos como si fueran planos y por tanto podemosdespreciarlavariacindelcampoelctricoentodoelelemento.Paracadaunodeloselementos,elflujo elctrico

, a travs de l est dado por la ecuacin. ,cos . .E i i i i i i i iE A E n A E n A u Au = A = = A (3.6) Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 93 Figura3.2.4Flujo elctrico a travs de una superficie de forma arbitraria Elflujonetoatravsdetodalasuperficieeslasumadelosflujosdecadaunodeloselementosextendidaa todos los elementos. Por otro lado, si el rea A de cada uno de stos elementos se hace tender a cero, entonces el nmero de elementos tiende al infinito, esta suma tiende a ser una integral. Por consiguiente, el flujo elctrico se define como ( . ) .(3.7)limiE i i iA oSE n A E ndAAu = A =}} Laintegral delaecuacin (3.7) es unintegral desuperficiey por ello debe evaluarse sobre todala superficie hipottica en estudio. En el caso de una superficie cerrada como la mostrada en la figura 3.2.5, los vectores

, apuntan en diferentes direccionesparalosdiversoselementos

delasuperficie.Encadapunto,estosvectoressonnormalesala superficie y por conveniencia siempre apuntan hacia afuera de la superficie. As en el elemento indicada conel nmero1elcampoelctricoestdirigidohaciaelinteriordelasuperficieycomotalelnguloest comprendidoentre enestecasoelflujoelctricoesnegativo,enelelemento2laslneasde fuerza rozan la superficie por tanto es perpendicularal vector unitario normaly aqu, el flujo en este elementoesnulo.Enelpunto3,laslneasdefuerzaestndirigidassaliendodelasuperficieycomotalel vector unitario normal a la superficie y el vector campo forman un ngulo agudo en estas condiciones el flujo es positivo.

Figura 3.2.5Flujo elctrico a travs de una superficie cerrada Debeobservarseademsquedebidoaqueelflujonetoesproporcionalalnmero totaldelneasquepasana travsdelasuperficie,entonceselflujonetoesigualnmerodelneasquesalendelasuperficiemenosel Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 94 nmero de lneas que entran en la superficie. Por lo tanto, si el nmero de lneas que ingresana la superficie es menor que las que salen, entonces el flujo es positivo (ver figura 3.2.6a),por el contrario si ingresan ms lneas quelasquesalenelflujoesnegativo(figura3.2.6b)yfinalmente,sielnmerodelneasqueingresanenla superficie es igual al nmero de lneas que salen, entonces el flujo es nulo(figura 3.2.6c). El flujo neto a travs de una superficie cerrada pude escribirse como Figura 3.2.6(a) Flujo elctrico positivo, (b) flujo negativo y (c) flujo nulo Porlotanto,elflujoelctricototalatravsdeunasuperficiecerradaseencuentrasumandotodoslosflujos asociados a los pequeos incrementos de rea. Cuando los incrementos son muy pequeos, es decir, cuando los elementos son infinitesimales el flujo elctrico se define como: Ejemplo 3.1.Flujo elctrico atravs de un plano. Una hoja plana de papel con un rea de 0,250 m2, est orientada de tal modo que la normal a la hoja forma un ngulode60conuncampoelctricouniformecuyamagnitudesde14N/C.(a)Determinelamagnituddel flujo elctrico a travs de la hoja, (b) Depende su respuesta al inciso (a) de la forma de la hoja? Porqu?. (c) Con qu ngulo entre la normal a la hoja y el campo elctrico es la magnitud del flujo a travs de la hoja i) mximo, ii) mnimo? Solucin. Parte (a). Asumamos que la hoja tiene la forma rectangular y est ubicada como se muestra e la figura El flujo elctrico ser 22. cos(14 / )(cos 60 )(0, 25 )1, 75 . /EoEEE nA E AN C mN m Cu u = =u =u =rr Parte (b). El flujo NO depende de la forma de la hoja ya que depende nicamente del rea, del campo elctrico y del rea de la hoja de papel. ( . ) . (3.8)limiE i i iA osE n A E ndAAu = A =}} Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 95 Parte (c). En este ejemplo al ser el rea y el campo elctrico constantes, entonces es el ngulo el que da el flujo mximo y mnimo: i)Flujo mximo. Este flujo es mximo cuando = 0, es decir cuando el campo elctrico es perpendicular al rea 0 2,max2,max. cos0 (14 / )(1/ 2)(0, 25 )3, 5 . /EEE nA E A N C mN m Cu = = =u =rr ii)Flujo mnimo. Este flujo es mximo cuando = 90, es decir cuando el campo elctrico es paralelo al rea 0 2,min. (cos90 ) (14 / )(0)(0, 25 ) 0EE nA E A N C m u = = = =rr Ejemplo 3.2.Flujo elctricode un campo variable atravs de un plano. (a)Determinarelflujoelctricoatravsdeunasuperficiecuadradadelado,debidoaunacarga+Q localizada a una distancia perpendiculardesde el centro del plano como se muestra en la figura.

(b)Utilizando el resultado obtenido en la parte (a), si la carga es +Q es ahora localizada en el centro del cubo como se muestra en la figura. Cul es flujo total emergente del cubo? Solucin Parte (a). El campo elctrico para una carga puntual positiva +Q. esta dado por 2 3 2 2 2 3/ 20 0 0 ( )4 4 4 ( )Q Q QE r r xi yj zkr r x y z tc tc tc= = = + ++ +r r r rr SobrelasuperficieS,yelelemntodereaes

.Entonceselflujoatravsdelrea diferencial ser 2 2 2 3/ 202 2 2 3/ 20. ( ) .( )4 ( )4 ( )EEQd E dA xi lj zk dxdzjx l zlQdxdzdx l ztctc (u = = + + (+ + (u =(+ + r r r r r r El flujo a travs de toda el rea ser Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 96 2 2 2 3/ 2 2 2 2 2 2 1/ 20 012 2 2 2 1/ 22 20 01 1004 ( ) 4 ( )( )2 ( )( 2 ) 221 12 3 36ll l lEl l llllEllEElQ dz lQ zdx dxx l z x l x l zlQ ldx Q xtgx l x lx lQtg tgQtc tctc tctcc++ + + ++ u= =+ + + + +| |u= = |+ ++\ . ( | | | |u= (||\ . \ . u=} } }} Parte(b)Delosargumentosdesimetra,elflujoatravsdecadacaraserelmismo.Porlotantoelflujoa travs del cubo completo ser seis veces el flujo a travsuna cara, es decir ,0 066E cuboQ Qc c| |u = = |\ . Ejemplo 3.3.Flujo elctrico a travs de una superficie cilndrica Un campo elctrico vale

para x > 0 y

, para x < 0. Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje est a lo largo del eje x de modo que una de las caras est en x = +10 cm y la otra x = -10 cm. (a) Cul es el flujo saliente que atraviesa cada cara?. (b) Cul es el flujo a travs de la superficie lateral del cilindro?. (c) Cul es el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilndrica?. Solucin En la figura se muestra la superficie cilndrica

Flujo a travs de S1. 1 12 21 1 121. ( 200 ).( ) 200( ) 200 (0, 05)1, 57 . /S SE n dA i i dA rN m Ct t u = = = =u =}} }}r r rr Flujo a travs de S2. 1 12 22 2 222. (200 ).( ) 200( ) 200 (0, 05)1, 57 . /S SE n dA i i dA rN m Ct t u = = = =u =}} }}r r rr Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 97 Flujo a travs de S3. 1 123 3 323. (200 ).( ) 200( )( . )0 . /S SE n dA i j dA r i jN m Ct u = = =u =}} }}r r r rrr El flujo neto a travs de la superficie cilndrica completa ser 2 21 2 321, 57 . / 1, 57 . / 03.14 . /NetoNetoN m C N m CN m Cu = u +u +u = + +u = 3.3LEY DE GAUSS. La ley de Gauss formulada por uno de los ms grandesmatemticos de todos los tiempos Karl Friedrich Gauss (1777-1855), relaciona el flujo elctrico a travs de una superficie cerrada, llamada superficie gaussiana, con la carga total encerrada por lasuperficie existiendo entre ellos una proporcionalidad. Para una superficie cerrada, podemoseliminarelsignoambiguoenelflujoparamostrarlaorientacinasociadaconlanormalhaciael exterior. 3.3.1Carga puntual en el centro de una esfera Nosotros desarrollaremoslaley de Gauss gradualmente, primero consideraremos el caso de una carga puntualq en el centro de una superficie esfricaGaussiana de radioR, tal como semuestra enlafigura 3.3.1.El flujo elctrico a travs del rea dA, est dado por

. .Ed E dA E ndA u = =(a) Paradeterminarelflujonetoa travsdetodalasuperficieesfricadebesumarse(integrarse),laecuacin(a) sobre toda el rea de la superficie esfrica, esto es .ESE ndA u = }}(b) Figura 3.3.1Flujo elctrico a travs de una superficie esfrica imaginaria de radio r debido a una carga puntual. En este caso el campo elctrico es radialy segn la ley de Coulomb esta dado por

. Aqula integral se evala sobre la superficie de radio R.es un vector unitario normal a la superficie esfrica, pero tambin es radialcomoloeselvectorunitario

.DebidoaqueelradiodelasuperficieesfricaGaussianapermanece constante y de acuerdo a la definicin de producto escalar se cumple que

, entonces se tiene Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 98 2 221. . .E r rS S SESkqE ndA e ndA kq e ndAR RkqdARu = = =u =}} }} }}}} La evaluacin delaintegralsobre elrea delasuperficie gaussianay teniendo en cuenta que

, obtenemos 22 2(4 ) 4ESkq kqdA R kqR Rt t| |u = = = |\ .}} 0Eqcu = (3.9) La ecuacin (3.9) indica que el flujo neto a travs de una superficie gaussiana esfrica con una carga puntual en su cetro, es independiente del radio R de la superficie esfrica. Depende nicamente de la carga q encerrada en la superficie. Esteresultadopuedeinterpretarsetambinentrminosdelaslneasdefuerza.Lafigura3.3.2muestrados superficies esfricas concntricas de radios R y 2R, respectivamente centradas en la carga puntualq. Cada lnea deflujoqueatraviesalasuperficiepequeatambinatraviesalasuperficiegrande,porloqueelflujonetoa travs de cada superficie es el mismo. Lo que es verdad acerca de la superficie esfrica gaussiana ensu totalidad lo es tambin para cualquier porcin de la superficie. En la figura 3.3.2 un rea dA aparece dibujada sobre la superficie de radio R y luego proyectada sobre la superficie de radio 2R trazando lneas que parten del centro y que pasan sobre la frontera dedA. El rea proyectada sobre la superficie ms grande es ahora 4dA. No obstante, dado que el campo para una carga puntual decrece con

, la magnitud del campo es cuatro veces menoren la superficie de radio 2R que en la de radio R. Por lo tanto el flujo elctrico en ambas reas es el mismo e independiente de R. Figura 3.3.2ProyeccindeunelementodereadAdeunaesferaderadioRsobreunasuperficie esfrica de radio 2R. 3.3.2Carga puntual encerrada por una superficie irregular Los resultados anteriores pueden extenderse considerando alguna superficie de forma arbitraria cerrada conteniendolacarga.Recalcamosaququeelflujoelctricoesunamedidadelnmerodelneasdecampo elctricopasando a travs de una superficie. Una lnea de campo que pasa a travs de una esfera tambin pasar atravsdealgunasuperficiecerradadeformaarbitrariaperoquecontienealacarga.Notamostambinque cuandounalneadecampoentraaunasuperficiehayunacontribucinnegativaalflujoyexisteuna contribucin negativa cuando abandonan la superficie. Una lnea que a la vez que ingresa a la superficie, sale de sta,nocontribuyealflujo.Deellosededucequecualquiersuperficiecerradaquecontienelacargatieneun flujo

. Sin embargo, en cualquier superficie cerrada que no contiene la carga el flujo es cero. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 99 Ladiscusinanterioresmenosprecisaqueunopodrapensar.Hemosapeladoalanocinintuitivadequeel flujoesunamedidadelnmerodelneaspasandoatravsdeunasuperficie,peroladiscusincarecede precisin. Podemos hacer estos comentariosmsprecisos considerando elnguloslido. Un ngulo slido (en estereorradianes)puedeserdefinidocomounreadeunareginenunaesferaunitaria.Elreatotaldeuna esfera unitaria es 4, de modo que es el mximo ngulo slido. Paradeterminarelflujoatravsdeunasuperficiecerradanoesfricaconsideremosunacargapuntualqenel interior deuna superficie cerrada S, de forma arbitraria tal como se muestra en la figura 3.3.4.

(a) (b) Figura 3.3.3(a) carga puntual encerrada por una superficie de forma arbitraria mostrando que el flujo a travsdelreadAesproporcionalalnguloslidosubtenidoporelelementoderea,(b) ngulo solido subtenido por elemento Para evaluar el flujo elctrico dividamos a la superficie en elementos de rea dA ubicados a una distancia r de la cargapuntual+q,elcampoelctricosercolinealconelvectorunitarioalolargoderyelvectorunitario normalalasuperficie,estformandounnguloconelcampoelctrico.Porlotantoelflujoelctricoa travs de dA ser . .Ed E dA E ndA u = = 2 2cos.E rkq dAd e ndA kqr ruu = =r r(3.10) El flujo neto a travs de la superficie de forma arbitraria se obtiene sumando (integrando) la ecuacin (3.10), es decir 2cosE ESdAd kqruu = u =} }} (3.11) Deladefinicindenguloslidod,subtendidoporelementodesuperficievistodesdelacarga(vasela figura 3.3.3b), se tiene 2 2. cosre ndA dAdr ruO = =r r(3.12) Remplazando la ecuacin (3.12) en (3.11) se tiene ESkq d kq u = O = O}} (3.13) Sabemos que el ngulo slido alrededor de toda la superficie esestereorradianes, con lo cual el flujo ser Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 100 ( )0 044Eq qttc cu = =(3.14) Este resultado es el mismo que el encontrado en la seccin anterior para el caso de una carga puntual encerrada en una superficie esfrica. Por lo tanto, el flujo elctrico a travs de una superficie de forma arbitraria con una cargaensuinterioresindependientedelaposicindelacargadentrodelasuperficieysolodependedela carga. Si ahora consideramos que la caga puntual q est fuera de la superficiecomo se muestra en la figura 3.3.4a, el flujoelctriconetoatravsdelasuperficieesnulo,ellosejustificaobservandoqueelnmerodelneasde campo que ingresan a la superficie es igual al nmero de lneas que salen de la superficie.. 0ESE ndA u = =}}rr(3.14) LosresultadosanterioressepuedenampliaraunsistemadecargaspuntualesNenelinteriordelasuperficie gaussiana y otro sistema N de cargas puntuales en el exterior como se muestra en la figura 3.3.4b.

(a) (b) Figura 3.3.4(a)cargapuntualsituadaenunpuntoexteriorasuperficiegaussiana,(b)superficieque contiene cargas exteriores as como cargas interiores El flujo elctrico neto a travs de la superficie gaussiana ser igual a la suma de losflujos producidos por cada una de las cargas. En este caso la ley de Gauss se escribe 1 2 10 0 0.......NiN i encESqq q q QE ndAc c c=+ + +u = = = =}}rr(3.15) Donde,

eselcamporesultanteencualquierpuntodelasuperficiey

eslacargatotalencerradapor la superficie gaussiana Para el caso en el cual la distribucin de carga escontinua (lineal, superficial o volumtrica), la carga encerrada se obtiene integrando cada dq asumida. Por tanto el flujo elctrico es 01.ESE ndA dqcu = =}} }rr(3.16) Despusdehabercalculadoelflujoelctricoparadiferentesconfiguracionesestamosencondicionesde enunciar la ley deGauss, la misma que establece: Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 101 Dada una distribucin de carga, discreta o contnua, el flujo elctrico total producido por la carga y que vaatravsdecualquiersuperficiegaussianacerradaS,estrelacionadaconlacargatotaldentrodela superficie por la ecuacin Donde

,eselcampoelctricoproducidoportodaslascargas,lasinterioresylasexteriores,y

esla carga total contenida en la superficie gaussiana. 3.4APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS. LaleydeGaussesunadelasleyesfundamentalesdelelectromagnetismo.Tambinpuedeconsiderarsecomo una herramienta poderosa para calcular campos elctricos en aquellos casos en los cuales existe un alto grado de simetra, de tal forma que la intensidad de campo tenga una magnitud constante sobre la superficie gaussiana. En estaseccinseutilizarlaleydeGaussparadeterminarelcampoelctricoproducidopordiferentes distribuciones. 3.4.1Campo elctrico E de una distribucinde carga lineal. Unalambredelgadoinfinito transportaunacargadistribuidauniformementealolargodesulongitud conunacargaporunidaddelongitud.Determineelcampoelctricoenunpuntosituadoaunadistanciar perpendicular al alambre. Solucin Debidoaqueelalambreesinfinito omuylargo sucampoelctricoapuntaalejndosedelascargaspositivas. Para evaluarla direccin conmayor precisinse usa una superficie gaussiana cilndrica de radior ylongitud l que envuelve al alambre, tal como se muestra en la figura 3.4.1a. (a) (b) Figura 3.4.1(a)Superficiegaussianaparaunabarracargadauniformemente,(b)Lneasdecampo alrededor de un carga de la varilla. Lasuperficiegaussianacilndricapuededividirseentressuperficies.Dostapas(S1yS2),esdecirsecciones perpendicularesalcampoelctricocreadoporladistribucinyunasuperficielateralS3.Portanto,elflujo elctrico a travs de la superficie es 1 2 31 1 2 2 3 3. . . .ES S S SE ndA E n dA E n dA E n dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r Debido a que el campo elctrico es paralelo a las superficies (S1 y S2) y como tal perpendicular a los vectores , entonces su producto escalar es cero, es decir no existe flujo a travs de las tapas. Sin embargo, en la superficie lateraldelcilindroelcampoelctricoesperpendicularalasuperficieencadapuntoycomotalparaleloa. 0. (3.17)encSQE ndAc=}}rr Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 102 Ademselmdulodelcampopermanececonstanteentodalasuperficiecilndricaycomotalpuedesacarse fuera de la integral. Entonces el flujo ser 1 2 31 20 0sup,cos90 cos90( ) (2 )o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rl tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443 Donde2 rl t es el rea lateral del cilindro. Aplicando ahora la ley de Gauss se tiene

0 0(2 )enc encEQ QE rl tc cu = = Del grfico puede observarse que la carga neta en el interior de la superficie gaussiana es

, entonces la ecuacin anterior se escribe 0 00(2 )22rlE rl ErE er tc tctc= ==rr 3.4.2Campo elctrico E de una distribucinde carga laminar. Unalminaplanadelgadaeinfinitatransportaunacargadistribuidauniformementealolargosu superficie con una carga por unidad de rea . Determineel campo elctrico creado por la lmina en un punto situado a una distancia z perpendicular a la superficie. Solucin Debido a que la lmina es infinita o muy grande su campo elctrico apunta alejndose del rea alejndose de las cargaspositivasvaselafigura3.4.2a.Paradeterminarelcampoelctricoseusaunasuperficiegaussiana cilndrica de radio r y longitud 2H tal como se muestra en la figura 3.4.2b (a) (b) Figura 3.4.2(a)) Lneas de campo elctrico para un plano infinito cargado positivamente, (b) Superficie gaussiana utilizada para determinar el campo elctrico. Para determinar elflujo elctrico a travs dela superficie cilndrica dividimos a esta en tres superficieslas dos tapas (S1 y S2), es decir secciones perpendiculares al campo elctrico creado por la distribucin y una superficie lateral S3. Por tanto, el flujo elctrico a travs de la superficie es Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 103 1 2 31 1 2 2 3 3. . . .ES S S SE ndA E n dA E n dA E n dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r Debido a que el campo elctrico es perpendicular a las superficies (S1 y S2) y como tal paralelo a los vectores

y

entonces su producto escalar es igual a 1, es decir si existe flujo a travs de las tapas, adems el mdulo del campo permanece constante y como tal puede sacarse fuera de la integral. Sin embargo, en la superficie lateral delcilindroelcampoelctricoesparaleloalasuperficieencadapuntoycomotalperpendiculara

. Entonces el flujo ser 1 2 30 01 2 301 2 1 2cos 0 cos 0 cos900 ( )oES S SEE dA E dA E dAE A E A E E Au = + +u = + + = +}} }} }}14444442 4444443 Debido a que la distancia entre las tapas y la lmina cargada es la misma entonces el mdulo del campo elctrico es el mismo en ambas superficies, por tanto se tiene 2 u =E nE A Aplicando la ley de Gauss para determinar el campo elctrico, nos da 0 0022oc cocu = ==encE zzQ AE AE La expresin vectorial del campo es 00para02para02ococ>= rr rrrr r rr rRR RE e er rE e r Rr Parte(b).Campoelctricoparapuntosinteriores.Pararesolverelproblematracemosunasuperficie gaussiana cilndrica de radio , de longitud L y coaxial con la corteza cilndrica tal como se muestra en la figura 3.4.5, representada por lnea ininterrumpida Figura 3.4.5 Superficiegaussianacilndricautilizadaparadeterminarelcampoelctricoenpuntos interiores a la distribucin El flujoelctrico a travs de la superficie gaussiana es 1 21 1 2 2 3 33. . . .ES S S SE ndA E n dA E n dA E n dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r Debido a que las normales y el campo en las tapas son perpendiculares sus flujos son cero y solo queda el flujo en la superficie lateral (S3), entonces se tiene 1 2 31 20 0sup,cos90 cos90( ) (2 )o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rL tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443 Aplicando la ley de Gauss se tiene 0 0(2 )enc encEQ QE rL tc cu = = Del grfico puede observarse que la carga neta en el interior de la superficie gaussiana es

, entonces la ecuacin anterior se escribe 00(2 )0r rE rLE etc==rr Es decir el campo elctrico es nulo en todos los puntos dentro de una corteza Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 106 3.4.4Campo elctrico E de un cilindro slido cargado. UncilindronoconductorderadioRylongitudmuygrandequeposeeunadensidaddecarga volumtrica uniforme se encuentra ubicada tal como se muestra en la figura.Determine el campo elctrico en puntos exteriores e interiores a la distribucin Solucin Parte(a).Campoelctricoparapuntosexteriores.Pararesolverelproblematracemosunasuperficie gaussianacilndricaderadio,delongitudLycoaxialconelcilindro talcomosemuestraenlafigura 3.4.6. Figura 3.4.6 Superficiegaussianacilndricautilizadaparadeterminarelcampoelctricoenpuntos exteriores a la distribucin Una vez ms, debido a la simetra, el campo elctrico E est dirigido en direccin radial y solo puede variar con ladistanciaalejedelcilindro.Ademsdebeobservarsequeenlastapaslosvectoresnormalesson perpendiculares al campo por tanto el flujo en estas superficies es nulo El flujoelctrico a travs de la superficie gaussiana es 1 21 1 2 2 3 33. . . .ES S S SE ndA E n dA E n dA E n dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r Debido a que las normales y el campo en las tapas son perpendiculares sus flujos son cero y solo queda el flujo en la superficie lateral, entonces se tiene 1 2 31 20 0sup,cos90 cos90( ) (2 )o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rL tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443 Aplicando la ley de Gauss se tiene 0 0(2 )enc encEQ QE rL tc cu = = Delgrficopuedeobservarsequelacarganetaenelinteriordelasuperficiegaussianaes

, entonces la ecuacin anterior se escribe Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 107 2 20 020( )(2 )22rR L RE rL ErRE er t tc cc= ==rr Podemosexpresarnuevamenteladensidadvolumtricaenfuncindeladensidadlineal,esdecirencilindro transporta una carga

, entonces la carga por unidad de longitud ser

, que al ser remplazada en la ecuacin anterior resulta 22 20 002 2 para 2r r rr rRR RE e er rE e r Rr tc ctc| | |\ .= == >rr rrr Esta ecuacin indica que el campo elctrico en puntos exteriores a un cilindro slido no conductor es el mismo que si toda la carga estuviese distribuida a lo largo del eje del cilindro. Parte(b).Campoelctricoparapuntosinteriores.Pararesolverelproblematracemosunasuperficie gaussianacilndricaderadio,delongitudLycoaxialconelcilindrotalcomosemuestraenlafigura 3.4.7, representada por lnea ininterrumpida Figura 3.4.7 Superficiegaussianacilndricautilizadaparadeterminarelcampoelctricoenpuntos interiores a la distribucin El flujoelctrico a travs de la superficie gaussiana es 1 21 1 2 2 3 33. . . .ES S S SE ndA E n dA E n dA E n dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r Debido a que las normales y el campo en las tapas son perpendiculares sus flujos son cero y solo queda el flujo en la superficie lateral (S3), entonces se tiene 1 2 31 20 0sup,cos90 cos90( ) (2 )o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rL tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443 Aplicando la ley de Gauss se tiene Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 108 0 0(2 )enc encEQ QE rL tc cu = = Delgrficopuedeobservarsequelacarganetaenelinteriordelasuperficiegaussianaes

, entonces la ecuacin anterior se escribe 20 00( )(2 )2 para 2r rr LE rL E rE re r R t tc cc= == }}}}rrrr El campo fuera de la esfera es el mismo como si carga estuviese concentrada en el centro de la esfera. 3.5CAMPO ELCTRICO Y CARGA EN CONDUCTORES Es sabido que un aislador tal como el plstico, vidrio o papel es un material en el cual los electrones son atrados poralgunostomosenparticularynopuedenmoverselibremente.Por otrolado,dentrodeunconductor,los electrones son libres de moverse en su alrededor. Las propiedades bsicas de un conductor son 1.El campo elctrico dentro de un conductor es nulo Sicolocamosunconductorslidoenuncampoelctricocontanteyexterno

,lascargaspositivasy negativaspuedenmoversehacialasregionespolarizadasdelconductortalcomosemuestraenlafigura 3.5.1,enconsecuenciainducenuncampoelctrico

.Dentrodelconductorelcampo

apuntaenel sentidoopuestoaladireccindelcampoexterno

.Debidoaquelascargassonmviles,ellaspodrn continuarsumovimientohastaque

cancelecompletamente

dentrodelconductor.Enelequilibrio electrosttico,elcampoelctricoenelinteriordelconductorpuededesaparecer.Fueradelconductor,el campoelctrico

debidoaladistribucindecargainducidacorrespondeauncampodeundipolo,yel campo total es simplemente

. Las lneas campo elctrico son mostradas en la figura. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 112 (a)(b) Figura 3.5.1(a) Conductor en un campo elctrico externo, (b) Superficie gaussiana para evaluar el campo elctrico en el interior de un conductor slido. 2.Cualquier carga neta puede residir en la superficie del conductor. Si hubiese una carga neta dentro del conductor slido, entonces por la ley de Gauss,

no ser cero all. Por lo tanto, todo el exceso de carga puede fluir hacia la superficie del conductor como se muestra en la figura 3.5.1b. 3.La componente tangencial del campo elctrico

es cero en la superficie del conductor. Siemprehemos observado que para un conductor aislado, el campo elctrico escero en suinterior. Algn exceso de carga localizada en el conductor puede ser distribuido sobre la superficie del conductor, como lo muestra la aplicacin de la ley de Gauss. Consideremos la integral de lnea

alrededor de una trayectoria cerrada mostrada en la figura 3.5.2a. Debido a que el campo elctrico

, es conservativo, laintegral delnea alrededor de la trayectoria cerrada abcd desaparece, es decir . ( ) ( ') 0( ) ( ) 0t n nabcdE ds E l E x l E x = A A + A+ A =}rr

(a) (b) Figura 3.5.2(a) componentes tangencial y normal del campo elctrico inmediatamente fuera del conductor,(b)Superficiegaussianaparaevaluarelcampoelctricoenelexterior de un conductor slido. DondeEtyEnsonlascomponentestangencialynormaldelcampoelectrico,respectivamente,yhemos orientadoelsegmentoabtalqueesparaleloaEt.Enellmiteambosy ,ademstenemos

.Sinembargo,debidoaquelalongituddelelemntoesfinito,concluimoquelacomponente tangencial del campo elctrico sobre la superficie de un conductor desaparece: Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 113 0 sobre la superficie del conductortE = Esto implica quela superficie de un conductor en equilibrio electrosttico es una superficie equipotencial.Este tipo de superficies sern estudiadas con ms detalle en el siguiente captulo. 4.El campo elctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie. Silacomponentetangencialdelcampoelctricoesinicialmentediferentedecero,lascargaspodran entoncesmoversealrededorhastadesaparecer.Situacinqueenelcasodeequilibrioelectrostticono sucede. Por lo tanto, solamente existe la componente normal. Paradeterminarelcampoelctricojustofueradelconductor,consideremoslasuperficiegaussiana cilndrica con la mitad del cilindro dentro del conductor y la otra mitad fuera del conductor como se muestra enlafiguratalcomosemuestraenlafigura3.5.2b.UsandolaleydeGaussyteniendoencuentaqueel flujoatravsdelabaseesceroporestardentro delconductor,elflujoenlasuperficielateraltambines nulo porque E es perpendicular al vector normal y solamente queda el flujo a travs de la tapa 02 2 2 2 3 30 ,1 ,2 .2 20 ,1 ,10 0. . .. 0 0 cos 0encEenctapa base S lato enctapa tapaQQE n dA E n dA E n dAQE n dA E dAAEA Eccco oc cu=+ + =+ + = == =}} }} }}}} }}r r rr r rrr 0nE eoc=rr El resultado anterior vale para un conductor de forma arbitraria. El patrn de las lneas de campo elctrico y su direccin son mostradas en la figura 3.5.3a. Como en los casos de un plano no conductor infinitamente grande y de una cscara esfrica, la componente del campo elctrico exhibe una discontinuidad en su frontera: ( ) ( )0 00n n nE E Eo oc c+ A = = =

Figura 3.5.3.(a)Elcampoelctrico

justofueradelconductoressiempreperpendicularala superficie, (b) conductor con una cavidad. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 114 Ejemplo. Conductor con una carga puntual en el interior de una cavidad. Considerealconductorhuecomostradoenlafigura3.5.3b,elcualllevaunacarganeta+Q. adicionalmente,existeunacargapuntual+qdentrodelacavidad.Culeslacargaenlasuperficiedel conductor?. Solucin Consideremos una superficie gaussiana dentro del conductor (lnea ininterrumpida). Debido a que el campo elctricodentrodeunconductoresnulo,entonceslacarganetaencerradaporlasuperficiegaussiana mostradaenlafigura,puedesercero.Estoimplicaqueunacargaqdebeserinducidaenlasuperficie interna dela cavidad.Adems debido a queel conductor mismo tiene una carga +q,la cantidad de carga sobre la superficie externa del conductor es. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 115 Problema 01 Unasuperficieplanaderea0,14m2seencuentrafija en el plano xy. Si existe en la regin un campo elctrico dadopor

,determineel flujo elctrico a travs de esta superficie. Solucin Debidoaquelasuperficieestaenelplanoxy,ella puede representarse por un vector 2( 0,14 ) A nA Ak k m = = = r r rr El flujo elctrico a travs del rea ser 3 22 32. (5,1 2.1 3.5 )10 / .(( 0,14 ) )0,14 (3, 5.10 / )( . )490 . /EEEE A i j k N C k mm N C k kN m Cu = = + + u = u = r r r r r rrr Problema 02. Unacargapuntual ,estaunadistancia de una superficie circular S de radio R = 3 cm comosemuestraenlafigura.Determineelflujodel vector

a travs de S Solucin. Para determinar elflujoa travs del crculose dividea la superficie en anillos de radio a y espesor da, entonces ysedeterminaelflujoatravsdedicho elemento, producido por el campo elctrico delacarga puntual

El flujo diferencial debido al campo de la carga puntual en el elemento ser 202 20 03 2 2 3/ 20 0. .( )4(cos ) (2 )4 4( )( )2 2 ( )E rEEQd E dA e ndArQ Q dd dA adar r rQd Qd adad adar a dtcu ttc tcc c| |u= =|\ .| |u= = |\ .u= =+r rr r Elflujonetoatravsdelasuperficieseobtiene integrando la expresin anterior, esto es 2 2 3/ 22 2 00 002 2012 ( ) 212RREaEQd ada Qda da dQ dR dc cc=u = = ++ (u = (+ } Problema 03 Un hilo muy largo cargado uniformemente y situado en el eje de un crculo de radio R se apoya con uno de sus extremos enelcentro del crculo. La carga delhilo por unidaddelongitudesiguala.Determineelflujodel vector

a travs del rea del crculo. Solucin Elcampoelctricoenunpuntosobreelanillo diferencial es 2 2 2 3/ 2( )( )rkdq k dydE e ai yjr a y= = +r r rr El campo total debido a la varilla semi-infinita es 2 2 3/ 2 2 2 3/ 20 0( ) ( )dy ydyE k a i k ja y a y = + +} }r r r Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 116 k kE i ja a = r r r El flujo que atraviesa el elemento diferencial dA, ser . .( )(2 )EEk kd E ndA i j j dAa akd adaa t| |u = = |\ .u = r r r rr Elflujoelctricototalatravsdelcrculoseobtiene integrando la ecuacin anterior 00012 242REEk da RRt t tcc| |u = = |\ .u = } Problema 04 Laintensidaddecampoelctricoenunaregindel espacioestdadopor

. Determine: (a) el flujo elctrico que emana del cubo, (b) la carga neta contenida en el cubo de 1 m de lado. Solucin Parte (a). El flujo elctrico se evala en cada una de las caras del cuboy despus se suma. Esto es 1 2 3 4 5 6 Eu = u +u +u +u +u +u Flujo a travs de S1 1 11 11. (4 2 ).( )0s sE n dA xi yj k dA u = = + u =} }r r r rr Flujo a travs de S2 2 22 22. (4 2 ).( )0s sE n dA xi yj k dA u = = + +u =} }r r r rr Flujo a travs de S3 3 33 33 32323. (4 2 ).( )2 2(1) 2 2(1)2 . /s sS SE n dA xi yj j dAydA dA AN m Cu = = + +u = = = =u =} }} }r r r rr Flujo a travs de S3 4 44 44 4424. (4 2 ).( )2 2(0)0 . /s sS SE n dA xi yj j dAydA dAN m Cu = = + u = = u =} }} }r r r rr Flujo a travs de S5 5 55 55 5424. (4 2 ).( )4 4(1)4 . /s sS SE n dA xi yj i dAxdA dAN m Cu = = +u = =u =} }} }r r r rr Flujo a travs de S5 6 66 66 6424. (4 2 ).( )4 4(0)0 . /s sS SE n dA xi yj i dAxdA dAN m Cu = = + u = = u =} }} }r r r rr Remplazando estos valores en la ecuacin de flujo neto obtenemos. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 117 1 2 3 4 5 620 0 2 0 4 06, 0 . /EEN m Cu = u +u +u +u +u +u= ++ ++ +u = Parte (b).Para determinarla carganeta se usalaley de Gauss, esto es 12 2008,85.10 (6 . / )53encE enc EencQQ N m CQ pCccu = = u == Problema 05 Utilizandoladefinicindeflujo,determineelflujode campoelctrico

deunadistribucinlinealatravs de una superficie esfrica de radio R con el centro en un punto de la lnea. Solucin En la figura se muestra la distribucin lineal asi como la superficie gaussiana. EnelejemploNsedemostrqueelcampoelctrico para una lnea infinita cargada est dado por02rE ertc=rr Elflujoatravsdelelementoderea

, es 0200. .( )2(cos )(2 )2 ( cos )E rEEd E ndA e ndArd R sen dRRd sen dtcu t u utc uu uc| |u= =|\ .u=u=rr r r Elflujoelctricoatravsdetodalasuperficieesfrica se obtiene integrando la ecuacin anterior, es decir | |000 0cosER Rsen dtt u u uc cu = = } 02ER cu =Problema 06 Unacscaracilndricaderadio7,00cmtienesucarga distribuidauniformementesobresusuperficie.La magnituddelcampoelctricoenunpunto19,00cm radialmentehaciaafueredesueje(medidodesdeel puntomediodelcascarn)es36kN/C.Userelaciones de aproximacin para encontrar: (a) La carga neta sobre el cascarn y (b) El campo elctrico en un punto a 4 cm del eje, medido radialmente hacia afuera desde el punto medio del cascarn. Solucin Debido a que el punto a 19 cm es mayor que el radio de la cscara cilndrica entonces escogemos una superficie gaussianaderadiorylongitudL,fueradela distribucin como se muestra en la figura. Aplicando la ley de Gauss, se tiene 1 201 1 2 2 3 30 3.. . .encSencS S SQE ndAQE n dA E n dA E n dAcc=+ + =}}}} }} }}rrr r rr r r 1 2 31 200 0sup,0 00cos90 cos90( ) (2 )2o oS S Slatr R rLE dA E dA E dAL LE A E rLE erc tc ctc>+ + == ==}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443rr Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 118 Remplazando valores se tiene 312 2 23, 6.10 /2 (8,85.10 / . )(0,19 )38 /N CC N m mnC mt== La carga total que se ha distribuido ser 8' 38.10 / (2, 4 )912Q L C m mQ nC= == Parte (b). Debido a que el punto r = 4 cm, es menor que el radio del cilindro, la carga neta dentro de la superficie gaussianainterioralacscaraes

,entoncesse tiene 00 0.0(2 )0encSencr R rQE ndAQE rLE ectc cRcomose muestra en la figura. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 119 Aplicando la ley de Gauss se tiene 02 22 200 02 32 20042 20 2.1 1(4 ) (4 )( )para 4encSRrRrQE ndAE r dV Ar r drAE r r drARE e r Rrct tc ccc== === >}}} }}rrrr En general se tiene 20420para4para 4rrrAr e r REARe r Rrccrrr Parte (c). La grafica Er en funcin de r es Problema 08 Unacortezaesfricaconductoracuyoradiointernoes R1yexternoR2,tieneunacarganetacero.Unacarga puntual+Qeslocalizadaenelcentrodelacortezatal como se muestra en la figura. (a) Use la ley de Gauss y laspropiedadesdelosconductoresenequilibrio electrostticoparaencontrarelcampoelctricoenlas tres regiones

;

y

, donde r esla distancia desde elcentro. (b) Grafiquelaslneas decampoentodaslasregiones.(c)Encontrarlas densidades de carga en la superficie interna y externa de la corteza. Solucin Enlafigurasemuestralaseccintransversaldela cascara,asmismoseobservaquedebidoaquela cortezaesconductora,enestaseinducencargas,es decir,enlasuperficieinternaseinducencargas negativasQdistribuidasentodasusuperficieyenla superficie exterior se induce cargas positivas +Q Parte (a).i)Campopara

.Paraestoseusauna superficiegaussianatalcomosemuestraenla figura Aplicando la ley de Gauss se tiene 0020.(4 )4encSQE ndAQE rQErctctc===}}rr ii)Campopara

estoseusauna superficie gaussiana dentro del conductor como se ve en la figura Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 120 200 0.( ) 0(4 )0encSQE ndAQ QE rEctc c=+ = ==}}rr iii)Campopara

,estoseusaunasuperficie gaussianafueradelconductorcomoseveenla figura Parte(b).Enlafigurasemuestraladistribucinde cargas en el conductor, asmismo se traza laslneas de fuerzacorrespondientes,notequedentrodelconductor no existen lneas de fuerza porque E = 0. Parte(c).Lasdensidadesdecargasenlassuperficies interna y externa son: int 212244extQRQRotot=+= Problema 09 Sobrelacortezacilndricadielctricaderadiointerno R1yradioexteriorR2muylargasehadistribuidouna densidaddecargaporunidaddevolumenenforma uniforme.Determineelcampoelctricoenlastres regiones

;

y

. Solucin Campo para

. Trazando una superficie gaussiana enelexteriordelcilindroyaplicandolaleydeGauss, tenemos 1 2 301 1 2 2 3 30.. . .encSencS S SQE ndAQE n dA E n dA E n dAcc=+ + =}}}} }} }}rrr r rr r r 1 2 31 200 0cos90 cos90o o encS S SQE dA E dA E dAc+ + =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443 2 22 1sup,0 02 22 10( )( ) (2 )( )2encr R latr R rL R RQE A E rLR RE er ttc cc>> ( = ==rr Campopara

Trazandounasuperficiegaussiana enelinteriordelcilindroyaplicandolaleydeGauss, tenemos 10sup,0 0.0( ) (2 )0encSenclatr R rQE ndAQE A E rLE ectc cacomo se muestra en la figura. Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 122 Aplicando la ley de Gauss se tiene 0,00,2012 2 3.cos180(4 )4 (8, 85.10 )(0,1) (3, 6.10 )4encS GS GE ndA QE dA QE r QQQ nCccc tt== == = }}}}rr Esta carga induce cargas +Q en la superficie interna de lacortezaycargasQenlasuperficieexteriorala cortezaporserconductora,peroparadeterminarla carga neta en esta ltima se aplica la ley de Gauss en un punto exterior como se en la figura. La ley de Gauss da 0,00 0,.cos 0encS GS GE ndA QE dA Q Q Q Qcc== + +}}}}rr 20 012 20000(4 )4 (8, 85.10 )(0, 5) (200)5, 564 5, 569, 56E r Q QQ QQ Q nCQ nC nCQ nCc tt= += = += += Las cargas en la superficie interna y externa son, respectivamente 44 9, 56 5, 56r br cQ nCQ nC nC nC=== += + = Problema 12 Unaesferaslidanoconductoraderadioaconsu centro en el origen tiene una cavidad de radiob con su centro en el puntocomo se muestra enlafigura.Laesferatieneunadensidaddecarga volumtricauniforme.Determinelaintensidadde campo elctrico en cualquier punto interior a la cavidad. Solucin Elcamporesultantedentrodelacavidadesla superposicin de dos campos, uno

, debido a la esfera deradioaconsideradcompactacondensidaddecarga positivauniformeyelotrocampo

,debidoala esferaderadiobconsideradacondensidaddecarga negativa uniforme. Por tanto Campo

. Se usa la superficie gaussiana mostrada y se aplica la ley de Gauss 0,0 200,2 300.cos 0 44(4 )33encS GrS GrE ndA QE dA dV r drE r rE recc tc t tc== =| |= |\ .=}}}} } }rrrr Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 123 La expresin vectorial del campo es 0 003 33rrE re rrE r c cc| |= = |\ .=rrrrr Campo

. Se usa la superficie gaussiana mostrada y se aplica la ley de Gauss 0,0 200,2 300.cos180 44(4 )33encS GrS GrE ndA QE dA dV r drE r rE recc tc t tc== =| | = |\ .= }}}} } }rrrr La expresin vectorial del campo es 10 0103 33rrE re rrE r c cc| |= = |\ .=rrrrr Paraaplicarelprincipiodesuperposicinsetrazalos vectores campo en un punto interior ala cavidadcomo se ve en la figura donde se ve que

El campo resultarte ser 10 03 3E E E r r c c+ = + = r r rr r 00 0( )33 3E r rE b bic c c= = =rr rr r r Estaecuacinmuestraqueelcampodentrodela cavidadesdemagnitudconstanteysudireccinesel eje x. Problema 13. Unaplacaplanamuygrandedeespesordes uniformementecargadaconunadensidaddecarga volumtrica.Encuentrelaintensidaddecampo elctrico para todos los punto. Solucin. Campo para puntos interiores a la placa de dielctrico. Paraestousamosunasuperficiegaussianaenformade cilindro de longitud 2x y radio R, como se muestra en la figura. Adems asumimos que la placa en direcciones, y y z se extiende hacia el infinito yen la direccin x existe unespesord.Porelloconsideramosqueelcampo elctrico est dirigido a lo largo del eje x. Aplicando la ley de Gauss, se tiene 1 2 30 ,1 2 300.. . .0enS GenS S ScilQE ndAQE n dA E n dA E n dAVEA EAccc=+ + =+ + =}}}} }} }}rrr r rr r r 220 0( (2 ))2 ( )R xE R E xi t tc c= =r r Fsica General IIILey de Gauss Optaciano Vsquez Garca 124 El campo en forma vectorial ser 00para0para0E xi xE xi xcc= >= =