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NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
2
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES
Este capítulo comienza con una breve introducción de algunos aspectos ligados al razonamiento lógico, el cual ofrece obvios beneficios tales como: la importancia de desarrollar mayor capacidad para expresar ideas con claridad y concisión; aumento en la habilidad para definir los propios términos; enriquecimiento de la capacidad para formular razonamientos con rigor y examinarlos críticamente. Pero su mayor provecho, a mi juicio reside en el conocimiento de que la razón puede ser aplicada a todo aspecto de los asuntos humanos. También se expone un repaso de los números reales y sus propiedades, tema indispensable para los estudios posteriores del álgebra y el cálculo.
2.1. Razonamientos matemáticos.
En el capítulo I mencionamos los procesos de análisis, comparación e inferencia como herramientas intelectuales necesarias para transformar una información y que establecen indicadores evidentes para poder determinar que una persona razona adecuadamente.
El individuo está frente a un proceso de inferencia cuando dispone de una cadena de proposiciones tales que una de ellas es consecuencia de las que le anteceden.
Así por ejemplo la proposición:
• P: Los únicos colores de la bandera venezolana son azul, amarillo y rojo
Producen la consecuencia
• C: La bandera venezolana es tricolor
Una proposición es un enunciado al cual se le puede asignar un valor de verdad o falsedad, y un conjunto de proposiciones que satisfacen las condiciones de que una de ellas se deriva de las anteriores se le llama razonamiento.
Un razonamiento es deductivo si cada proposición es consecuencia obligada de las anteriores.
Así por ejemplo:
• P: El cuadrado de cualquier número real es no negativo
Permite deducir que:
CAPÍTULO II
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• C: 2)2(224 −== es no negativo.
Un razonamiento es inductivo si no hay forma de afirmar que una proposición sigue obligadamente de las anteriores.
Un ejemplo de razonamiento inductivo es:
• Pedro, Juan y José tomaron aspirina y se le quitó el dolor de cabeza, luego si Manuel toma aspirina se le quita el dolor de cabeza.
Observe que no hay manera de asegurar que la conclusión “si Manuel toma aspirina se le quita el dolor de cabeza” sea consecuencia obligada de la proposición que antecede “Pedro, Juan y José tomaron aspirina y se le quitó el dolor de cabeza”.
Cuando un razonamiento contiene errores se le designa con el término falacia.
Un ejemplo de razonamiento Falaz:
• Por ser Luis, un político es mentiroso.
La falacia en este caso consiste en pretender que el cargo que ocupa una persona lo hace mentiroso.
La analogía constituye otro tipo de razonamiento donde se comparan dos entidades, afirmando que por ser similares en algunos aspectos también son semejantes en los aspectos derivados
Objetos semejantes concuerdan en algunos de sus elementos (análisis de elementos), en tanto que objetos análogos concuerdan en ciertas relaciones entre sus respectivos elementos (análisis de relaciones).
Así por ejemplo:
• Un rectángulo y un paralelepípedo rectangular son análogos. ¿Por qué? • Un triángulo y un tetraedro son análogos. • Usando alguna analogía se puede completar la siguiente oración “Profesor es a
estudiante como médico es a…..”
La analogía ocupa casi todo nuestro modo de pensar y es, quizás, la herramienta más poderosa que usamos los seres humanos en las actividades más variadas (Ciencias, Artes, técnicas) para formular, reformular y resolver problemas (Itriago y Cruz, 2000).
Axiomas y teoremas.
Una proposición que sin demostrar se acepta como cierta se llama axioma y junto con los conceptos primitivos (términos no definidos) constituirán el punto de arranque y base de una
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teoría matemática.
Se dice que esta teoría se puede desarrollar por el método axiomático cuando las definiciones que van siendo dadas y los teoremas que se demuestran se apoyan en conceptos primitivos y en los axiomas o bien en definiciones y proposiciones que se pueden derivar de aquellos.
Un teorema es una proposición compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la otra que se llama conclusión o tesis.
La cadena de razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis constituye lo que se llama demostración del teorema.
Llamemos H a la hipótesis y T a la tesis, supongamos que la siguiente proposición
H ⇒ T es cierta
La proposición reciproca de H ⇒ T es T ⇒ H, la cual puede ser cierta o falsa
Ejemplo 1: Si x es un número entero, entonces x es un número racional
H: x es un número entero
T: x es un número racional
La proposición H ⇒ T es cierta, mientras que, la proposición recíproca T ⇒ H es falsa, ya que siendo x un número racional no necesariamente es un entero.
Cuando son ciertas las proposiciones H ⇒ T y T ⇒ H, se usa la doble implicación: H ⇔ T, la cual se lee H si y sólo si T.
Ejemplo 2: Todo polígono convexo tiene cuatro ángulos si y sólo si tiene cuatro lados.
Las proposiciones siguientes:
• Si un polígono convexo tiene cuatro ángulos, entonces tiene cuatro lados. • Si un polígono convexo tiene cuatro lados, entonces tiene cuatro ángulos.
Son ciertas, luego la proposición planteada en el ejemplo 2 también es cierta.
La proposición contraria de H ⇒ T es no H ⇒ no T ó -H ⇒ - T, la cual puede ser cierta o falsa.
La proposición contraria del ejemplo 1, sería: si x no es un número entero, entonces x no es
un número racional, la cual es falsa. racionalunessipero,Z31∉ .
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La proposición contra-reciproca de H ⇒ T es -T ⇒ - H, la cual siempre es cierta. Esto quiere decir: (H ⇒ T) ⇔ (-T ⇒ - H).
La proposición contra-reciproca del ejemplo 1, sería: Si x no es un número racional, entonces x no es un número entero.
Un esquema para recordar las relaciones consideradas es el siguiente:
Directo Recíproco
Contra- recíprocos
Contrario Contra-Recíproco
Veamos otro ejemplo.
• Teorema. Las diagonales de un rombo son perpendiculares
Hipótesis: El cuadrilátero ABCD es un rombo
Tesis: Las diagonales BDyAC son perpendiculares
El teorema recíproco es: “Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, es un rombo”.
Hipótesis: Las diagonales del cuadrilátero ABCD son perpendiculares
Tesis: El cuadrilátero ABCD es un rombo
H ⇒ T T ⇒ H
no H ⇒ no T no T ⇒ no H
Recíprocos
Recíprocos
Contrarios Contrarios
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La implicación es falsa. La simple observación de la figura ya lo sugiere, pues se puede construir un cuadrilátero que satisface la hipótesis pero no la tesis.
El teorema contrario es también falso. Si fuera cierto, su contra-reciproco, o sea el reciproco del directo, también lo sería y acabamos de decir que no es así. O sea, es falsa la siguiente Proposición: “Si un cuadrilátero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares”
Hipótesis: El cuadrilátero ABCD no es un rombo
Tesis: Las diagonales BDyAC no son perpendiculares.
El teorema contra-recíproco: “si las diagonales de un cuadrilátero no son perpendiculares, no es un rombo” es cierto
Hipótesis: Las diagonales del cuadrilátero ABCD no son perpendiculares.
Tesis: El cuadrilátero ABCD no es un rombo
Métodos de demostración:
Supóngase que se pide demostrar la propiedad: “Si ba < y cb < , entonces ca < ”. Comúnmente los alumnos recurren a ejemplos numéricos, como:
Si 3 < 5 y 5 < 8, entonces 3 < 8 , esto no haría más que comprobar que la proposición es cierta, cuando 8cy5b,3a === , pero no se podría asegurar más para otros valores numéricos de las letras: c,b,a
Se puede comprobar para muchos casos pero no para todos los posibles, siempre quedaría la duda de que uno de los casos no considerados negara la propiedad. Haciendo uso de definiciones y otras proposiciones aceptadas como ciertas se puede elaborar una demostración.
ba < y cb < , → a-b ∈ − y b-c ∈ − → (a-b) + (b-c) ∈ − → (a-c) ∈ − → a < c Como se quería demostrar
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A continuación mostramos diferentes métodos para demostrar un teorema.
1. Método directo
Para la demostración de un teorema por el método directo se parte de la certeza supuesta de la hipótesis y se debe llegar a probar la verdad de la tesis a través de razonamientos lógicos.
Ejemplo:
Demostrar que si los enteros a y b son divisibles por el entero m, la suma a + b también es divisible por m.
Hipótesis:
Los enteros a y b son divisibles por el entero m
Su expresión equivalente sería: a/m ∧ b/m
Donde b/m significa que m divide a b, o m es un divisor de b.
Tesis:
(a + b)/m
Demostración:
• Por hipótesis y definición de divisor (se supone conocida) se tiene:
ZbbmbZaama
∈=∈=
';'.';'.
• Como el resultado de la suma de dos enteros es único se tiene:
'mb'a.mba +=+
• Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma se tiene:
Z)'b'a(;)'b'a(mba ∈++=+
• Por la definición de divisor, como Zba ∈+ '' se tiene:
(a + b)/m lo que quería demostrar
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2. Método indirecto:
En lugar de demostrar el teorema en cuestión, se intenta demostrar el contra-recíproco. Si este es cierto, también lo es el directo. A este método se le llama “Reducción al absurdo”.
Veamos por qué:
El teorema que se quiere demostrar tiene la forma de H → T, luego su contra-recíproco es -T → - H.
O sea que el procedimiento comienza negando la tesis mediante la frase “supongamos que no se cumple T”
A partir de esta suposición se estudian sus implicaciones lógicas y si éstas conducen a la negación de la hipótesis, el teorema contra-recíproco queda demostrado. Esta conclusión permite que se diga:
“El haber supuesto que no se cumple T conduce a la conclusión de que no se cumpla H, lo cual es un absurdo, porque se supone que H es cierta”
Ejemplo 1: Demostrar el siguiente teorema: “Dado n Z∈ , si n 2 es impar, entonces n es impar”.
Demostración
Supongamos que n es par, entonces existe x x2nquetalZ =∈
Así pares2nluego,Zkconk2)2x2(22x42)x2(2n ∈==== .
Lo cual es un absurdo, porque n 2 es impar. Esto demuestra la proposición dada.
Ejemplo 2: No es posible la división entre cero.
Note que en este teorema la hipótesis no se da de manera directa (explicita), ella esta conformada por todas las propiedades, teorías y teoremas estudiados en los números reales. El enunciado completo conforma la tesis.
Para demostrar esta afirmación, supongamos que si es posible la división entre cero. Por ejemplo, supongamos que 2 x0 =÷ , siendo x un número real. Entonces por definición de división, 0.x = 2. Pero 0.x = 0, y esto nos conduce a la proposición falsa de que 2 = 0. Este argumento se puede repetir cuando se sustituye 2 por cualquier número distinto de cero.
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Refutación de una proposición
En algunas ocasiones se pregunta, si una proposición es verdadera o falsa.
Un ejemplo que demuestra que una proposición es falsa se llama un contra-ejemplo de esa proposición.
Ejemplo 1: Todos los animales son mamíferos
Dicha proposición es falsa, ya que señalamos el contra-ejemplo; el Loro no es mamífero.
Ejemplo 2: El producto de dos números irracionales es un irracional.
Dicha proposición es falsa, ya que Q22.2 ∈=
En los dos casos hemos encontrado un contra-ejemplo, luego podemos refutar las proposiciones y afirmar que son falsas.
2.2. El cuerpo de los números reales
El conjunto de los números reales comprenden los conjuntos de los números racionales (Q) e irracionales (I). Dentro de los racionales se encuentran los números enteros (Z), los cuales a su vez se clasifican en enteros negativos ( −Z ) y positivos ( +Z ), y el cero. Podemos verlo en la figura 1.
Un número real es racional, si se puede representar como un cociente ba , donde a y b son
enteros y b 0≠ . Note que si b = 1, entonces aba= Z∈ , luego todo número entero es un
racional. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal, existen dos maneras:
• Decimales limitados o finitos, como 25,041=
• Decimales ilimitados periódicos, como 3,0...3333,031 )
==
Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales.
Ejemplos: ....141,3
.......71,2e......4142135,12
=π==
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2.2.1. Recta Numérica
Para representar el conjunto de los números reales usamos un sistema de coordenadas que se llama recta real o numérica. Cada punto de la recta numérica corresponde a un número real y cada número real corresponde a uno y sólo uno de los puntos de la recta numérica. El número real que corresponde a un punto particular de la recta numérica se llama la coordenada de ese punto. Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero. Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la
Se clasifican
Enteros negativos (Z − )
Racionales (Q)
Pueden ser
Irracionales (I)
Racionales no enteros Racionales enteros (Z)
Enteros no negativos N
Enteros positivos (Z+ )
Reales ( )
φ=∩ IQ
Enteros no positivos Z { }0∪−
Se clasifican en
Forman Forman
CERO{ }0
Fig.1
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izquierda del origen están los números reales negativos −y a la derecha los positivos + .
En general el conjunto de los números reales , se clasifican en el conjunto de los números reales positivos + , el de los reales negativos − y el cero. Así:
= − { }∪∪ 0 +
2.2.2. Axiomas de cuerpo
En se definen las operaciones adición y multiplicación denotada por + y . respectivamente, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:
A1: Son leyes de composición interna.
∀ a, b ∈ : a + b ∈ ∧ a b⋅ ∈
A2: Conmutatividad.
∀ a, b ∈ : a + b = b + a ∧ ba ⋅ = b a⋅
A3: Asociatividad.
∀ a, b ∈ : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ∧ (a . b) . c = a . (b . c)
A4: Existencia del elemento neutro para la adición y del elemento neutro para la multiplicación.
Existen únicos elementos 0 y 1 tales que:
∀ a ∈ : a + 0 = 0 + a =a ∧ 1a ⋅ = a1 ⋅ = a
A5: Existencia del opuesto aditivo. Para todo a ∈ : existe un único número real que denotaremos por - a tal que:
. . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3
− +
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a + (-a) = (-a) + a = 0 A6: Existencia del inverso multiplicativo.
Para todo a ∈ - { }0 , existe un único número real denotado por a-1
tal que:
a a⋅ −1= aa 1 ⋅− = 1.
A7: Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. ∀ a, b y c ∈ : a . (b + c) = a . b + a . c
Los axiomas anteriores se han descrito, principalmente en términos de suma y multiplicación. Ahora procederemos a definir las operaciones básicas de resta y división en términos de la de suma y multiplicación, respectivamente.
Resta
La diferencia, a-b, de dos números reales, a y b, se define como: )b(aba −+=− , donde –b es el opuesto aditivo de b.
Por ejemplo, 2)6(464 −=−+=−
En forma alternativa decimos que: abc,sisóloy,sicba =+=−
Así, .462porque,264 =+−−=−
División
El cociente ba ÷ de dos números reales a y b se define como:
0,1.. 1 ≠===÷ − bba
bababa , donde 1−b es el inverso multiplicativo de b.
Por ejemplo, 224
21.42.424 1 ====÷ −
También podemos decir que: ..,, abcsisóloysicba ==÷
Usando los axiomas y definiciones anteriores surgen otras propiedades de los números reales.
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Teoremas
Para todo cba ,, ∈ se cumple que:
i) a = b ⇔ a + c = b + c ii) a = b → a . c = b . c iii) a.b = a.c cb0a =→≠∧
iv) 00a = v) a)1(a −=− vi) )b.a(b).a()b(a −=−=− vii) a)a( =−− viii) ab)b)(a( =−−
Supongamos que se pide demostrar el teorema (v) a)1(a −=− .
Sea a ∈ , de acuerdo con el axioma A5 existe un único número real denotado por )a(− que es el opuesto aditivo de a , tal que
a + (-a) = 0 (I).
Por otra parte
a)1(a.1a)1(a −+=−+ por A4
a)).1(1( −+= por A7
a.0= por A5
0a)1(a =−+ (II) por teorema vi)
Luego de (I) y (II) a + (-a) = a + (-1)a
Y por la propiedad de cancelación para la suma (teorema i)
a)1(aóaa)1( −=−−=−
Observaciones
1. Si a y b son números reales, existe un único número x, tal que x + b = a, este número x
es a-b.
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2. Si a y b son números reales, con b ≠ 0, existe un único número x tal que bx = a, este
número x es ba .
Cuando b = 0, al tratar de resolver la ecuación 0x = a, nos tropezamos con algunos problemas.
Por ejemplo al tratar de resolver la ecuación 0.x = 5; dado que 0.x = 0; nos encontramos con la proposición falsa 0 = 5. Esto es válido para b = 0 y cualquier a 0≠
Cuando a y b son ceros, la ecuación a.x = b encuentra una dificultad diferente, ya que se puede afirmar que la ecuación 0x = 0, tiene infinitas soluciones, por ejemplo: 0.5 = 0, 0.3 = 0, y 0. 2 = 0. Es decir, todo número real es una solución.
El símbolo 00 no tiene sentido, porque no describe un solo número. En resumen la división
por cero no tiene sentido.
2.3. Ecuaciones lineales con una incógnita y aplicaciones.
Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una ecuación se conoce como solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la raíz es correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la raíz.
Ejemplos
1. La única raíz de la ecuación x + 8 = 3 es x = -5, ya que (-5) + 8 = 3.
2. La única raíz de la ecuación 2x – 6 =3 – x es x = 3, ya que, como 2(3) - 6 =0 y (3)–3 = 0, entonces 2(3) – 6 = 3 - 3
Una ecuación que está en la forma 0bax =+ , donde a y b son constantes y 0a ≠ , es una
ecuación lineal de la variable x. La solución de una ecuación como esta es ab− . Demuestre
que esta es la única solución.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo
Las ecuaciones x - 2 = 10 y x - 6 = 6 son equivalentes, en efecto, x = 12 es la única solución de cada una de ellas.
Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución
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podemos hallar con facilidad. Dos reglas básicas para obtener ecuaciones equivalentes son las siguientes:
- Podemos sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación. - Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un número real distinto de cero.
Estas dos reglas, junto con la axiomática de cuerpo y las propiedades básicas de los números reales permiten:
- Eliminar todos los signos de agrupación que aparezcan. - Eliminar todas las expresiones fraccionarias, multiplicando por el m.c.m. (de los
denominadores de cada fracción) ambos lados de la ecuación. - Agrupar las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las
expresiones numéricas en el otro lado. - Despejar la variable, obteniendo así la solución. - Comprobar si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir si aparece una
identidad verdadera.
Ejemplos. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
a. 6x - 7 = 2x + 5 b. 2(x - 3) = 6x + 2 c. xx 523
3523 −=
−−
Solución a. 6x - 7 = 2x + 5 6x – 7+7 = 2x + 5 + 7 6x = 2x + 12 6x -2x = 2x -2x + 12 4x = 12
4
124x4=
x = 3 Comprobación: 6(3) - 7 = 11 y 2(3) + 5 = 11 ; luego 6(3) - 7 = 2(3) + 5
b. 2(x - 3) = 6x + 2 2x – 6 = 6x +2 2x – 6 -2 = 6x +2 -2 2x -8 = 6x 2x -2x -8 = 6x -2x -8 = 4x
4x4
48=
−
-2 = x x = -2 Comprobación: 2(-2 - 3) = -10 y 6(-2) + 2 = -10; luego 2(-2 - 3) = 6(-2) + 2
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( )
2619x
19x26 x3028x309x3028x428
x309x428 x30910x418
x303.35x2218
x5236
35x236
x523
35x23 c.
−=
−=+−−=+−−
−=−−=+−−=−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
−=−
−
Compruebe la solución de esta última ecuación.
Aplicaciones de Ecuaciones Lineales
Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes guías:
• Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando.
• Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables x y n.
• Utilizar los datos dados para establecer una ecuación que represente al enunciado del problema.
• Resolver la ecuación y cotejar la respuesta.
Ejemplo 1. Dos veces un número menos tres es igual a seis. ¿Cuál es el número?
Solución
a) Sea x el número b) Representación simbólica: 2x – 3 = 6 c) Resolver: 2x -3 +3 = 6 +3 2x = 9
x = 29
d) Comprobar:
2(29 ) – 3 = 9 -3 = 6
e) Respuesta: El número es 29
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Ejemplo 2. Un poste en el medio de una laguna de aguas turbias tiene la quinta parte de su longitud enterrada en la arena, la mitad sumergida en el agua y 6m por encima del agua. ¿Cuánto mide la parte no visible del poste?
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Operaciones básicas en R
EVENTOS
x = Longitud del poste
CONCEPTOS:
Poste
Longitud
Laguna
Arena
Mitad
Quinta parte de
META: ¿Cuánto mide la parte no visible del poste?
TRANSFORMACIONES:
Dado que:
62x
5xx ++=
Resolver:
20x;3
603x3;60x3
60x7x7x7x1060x7x10
60x5x2x10
62x
5xx
===
+−=−+=
++=
++=
La longitud del poste es 20 m
Solución:
La parte no visible del poste esta dada por:
2x
5x+ (I)
Sustituyendo el valor de x en I
14104220
520
=+=+
Conclusión:
La parte no visible mide 14 m
Comprobación:
2020;610420;6220
52020 =++=++= 6
2x
5xx ++=
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2.4. Potencia con exponentes enteros
Si n es un entero positivo y b es cualquier número real, entonces la potencia n-ésima de b se define como
43421factoresn
n bbbbb .......= El número b se llama base y n se llama exponente
A continuación se presenten algunos ejemplos:
-5 25)5.5(2 −=−=
(-5) 25)5).(5(2 =−−=
(-5) 125)5).(5).(5(3 −=−−−=
3 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
2.4.1. Propiedades de la potenciación:
PROPIEDAD EJEMPLOS:
1. Multiplicación de potencias
de igual base a m . a n = a nm +
7243242.32 =+=
a 2 . a 3 = a 32+ = a 5 2. Potencia de una potencia
(a m ) n = a n.m 12a
43a =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
4x22x =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
3. Potencia de un producto
( b.a ) n = a n .b n
( b.a ) 2b.2a2=
4. Potencia de un cociente
nb
nan
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3b
3a3
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
5. División de potencias de
igual base
nmn
ma
aa −=
2242
4aa
aa
== −
2424
266
66 −− ==
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Ejemplos. Evaluar y simplificar donde sea posible:
1) 5)3b2a( 2) ( )62
316.22
− 3)
( )4x6
2x323x2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Solución:
1) 15b10a5.3b5.2a5)3b2a( ==
2) ( )
( ) 256222
22.2
22.2
216.2 8
6
14
6
122
6
342
6
32=====
−
3) ( ) ( ) 444
282
4
2262
4
2236.3.2
.3.232
.3.2.3..2
632 xx
xx
xxx
xxx
====
Observaciones
1. Si b es un número real distinto de cero, entonces:
En efecto, aplicando las propiedades de la potenciación, se tiene que
1bbbb 110 === −
2. Observe que:
00
0000 1
1110 === − ,
Como 00 no tiene sentido, luego 00 tampoco tiene sentido y quedará como una expresión
indefinida.
3. Si n es un entero y b 0≠ , entonces:
b 10=
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20
Según las reglas vistas:
nn
0
n
nn
n
nn
n
nnnn
b1
bb
bb
bbb
bbb1.bb ======
+−−−−−
4. De acuerdo con la observación anterior podemos decir que:
ab1
ba
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ , porque
ab
ba11
ba
==−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Así podemos generalizar que:
na
nbn
ba
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ejemplos. Evaluar y simplificar donde sea posible
a) 422
37
71
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ b)
5
23
32
..
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
baba
Solución
a) 3969
181.49
13.7
137
377
37
71
424
2
4
42
412=====⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−
b) ( )25
25
252525555
5
23
32..
..
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛====⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
−
ab
abbaba
baba
2.5. Radicales y potencias con exponentes racionales
Raíz enésima de a. ( )n a
Sea a un número real y n un entero positivo, 2n ≥
bnb
1n =−
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
21
1. Si a> 0, entonces n a es el número positivo x tal que ax n = 2. 00n = 3. Si a < 0 y n es impar, entonces n a es el número negativo x tal que ax n = 4. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real.
El símbolo n a también se llama radical; n es el índice o grado, y a es el radicando.
Ejemplos
( )
realnúmerounesno4 4
2733porque33 27
030porque03 0
6434porque43 64
−
=−−=−
==
==
Cuando n = 2, 2 b se escribe b y se lee “raíz cuadrada de b”
Ejemplo
42efectoen,24 2 ==
Propiedades de los radicales
Si todos los radicales indicados son números reales, entonces:
PROPIEDAD EJEMPLO:
1. Raíz de un producto
n b.n an ab =
3 a23 a.3 83 a8 ==
2. Raíz de un cociente
n
nn
ba
ba= , b 0≠
3
33
32
32=
3. Raíz de una raíz m.n an m a =
241616 ==
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
22
Ejemplo
Simplificar. Suponga que todas las variables representan números positivos.
1) 3 2x27.3 x8 −− 2) 5 8x128
5 3x4−
Solución
1) x.63 3x.3 2163 3x2163 2x27.3 x8 ===−−
2) x21
5 5x32
5 15 5x32
158x128
3x45 8x128
5 3x4 −=
−=
−=
−=
−
Potencias con exponentes racionales
1. Para un número real b y un entero positivo n, n 2≥ ,
b n/1 = n b ( I ).
Siempre que exista n b
Considerando la definición de radicación, si tenemos 3 b , podemos decir que:
3/1b3 b = , ya que ( ) b1b3).3/1(b33/1b ===⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ , ampliando el concepto de exponencial
y sus propiedades a exponentes fraccionarios. Así 3/1b es la raíz tercia de b.
2. Partiendo de ( I ), podemos definir n/mb , siendo nm cualquier número racional.
Observe que:
27 3/2 = ( ) 92323 27
23/127 ===⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
También:
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
23
27 3/2 = 93 7293 2273/1227
3/1227 ===⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Podemos decir entonces que:
( ) ( )23 273 2273/227 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
En general, si nm un número racional, con n 2≥ y b es un número real tal que n b está
definida, entonces
b ( ) n mmnn/m bb ==
Las propiedades de la potenciación con exponentes enteros también se cumplen para el caso de la potenciación con exponentes racionales
Ejemplos. Simplificar en cada caso.
1) ( )23 8− 2) 3/2
6a
3b8⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
Solución
1) ( ) ( ) 46488 33 223 ==−=−
2) 3/26a
3/23b.83/2
6a
3b8
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−− Potencia de un cociente
( )( ) )3/2.(6a
)3/2(3b.3/28−
−= Potencia de un producto y potencia de una potencia
( ) 4a
2b.3 28
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= Raíz de una potencia
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
24
= 4.b 4a2 Potencia negativa; ( ) 43 643 28 ==−
3. Note que
( ) ( )
( ) ( ) 3333
222)2(2/222
3/3333 3
===
−=−=−=−
En cada caso n b esta definida. Pero
( ) 5255 2 ==−
Mientras que ( )25− no representa ningún número real, pues, 5− no es un número real.
Luego
( )252)5( −≠−
Esto nos conduce al siguiente resultado:
Ejemplos
1) x.32x.92x9 ==
Para todos los reales b
1) . Si n es par. Es decir:
, si
Para todos los reales b
1) bbn n = . Si n es par. Es decir:
bbn n = , si 0b ≥
,bbn n −= si 0b <
2) bbn n = . Si n es impar
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
25
2) ( ) 5525 =−=− ó ( ) ( )525 −−=− por ser -5<0
Simplificación de radicales
La simplificación de facilita algunos cálculos tales como la suma o resta de radicales.
Ejemplo. Supongamos que nos solicitan que efectuemos 328 + .
Estos dos radicales no se pueden sumar ya que no son semejantes (igual índice e igual radicando), por lo tanto procedemos a simplificar los dos radicales.
2.22.42.48 === , decimos que 2 2 es la forma simplificada de 8
242.2.22.4.42.4.432 ==== , decimos que 24 es la forma simplificada de 32 .
Así:
328 + = 2 2 + 24 = (2 + 4) 2 = 6 2
Nota: Sólo se suman y se restan radicales semejantes
Ejemplos
1) =+ 3233 353)23( =+
2) 21022.52452.45858287 =====− 3) 5 =− 182 =− 2.925 =− 2325 222)35( =−
Racionalización de denominadores.
Hay fracciones que cambian mediante un proceso que se llama racionalización de denominadores. El cual consiste en eliminar un radical del denominador de una fracción.
Por ejemplo, racionalicemos el denominador de 2
2
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
26
22
2.242.2
2.22.2
22
====
Nota: Si queremos racionalizar el denominador de la expresión n ba , el proceso consiste en
multiplicar el numerador y el denominador por n 1nb −
Ejemplo
2
3 433 32
3 433 22.3 2
3 22.33 2
3===
PROBLEMAS
1. Efectué y simplifique: 37523
6−+
Solución
Para realizar las operaciones indicadas, primero debo observar que los radicales no son semejantes, por lo cual intentaré simplificar cada término:
Primer término; 336
336
36
== = 2 3
Segundo termino; 31035.23.2523.252752 ====
Tercer término; 33 =
Así:
37523
6−+ = 311331032 =−+
2. Dada la siguiente figura: 2m 2m
3m 2m
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
27
a) ¿Qué figuras geométricas elementales están presentes en la figura dada? b) Calcule el área total de la figura. c) Calcule el perímetro de la figura completa.
2.6. Operaciones fundamentales con polinomios.
La expresión 6x3 +3x 2 + 2x –5 se llama polinomio en la variable x. Su grado es 3, porque 3 es la mayor potencia de la variable x. Los términos de este polinomio son 6x3 , 3x 2 , 2x y
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Operaciones básicas en
R
Teorema de Pitágoras
CONCEPTOS:
Perímetro de una
figura plana.
Área de un triangulo
Área de un círculo
Área de un rectángulo
Perímetro de una
circunferencia
Triángulo isósceles,
círculo y rectángulo
META: ¿Qué figuras geométricas elementales están presentes en la figura dada? ¿Cuál es el área total de la figura dada? ¿Cuál es el perímetro de la figura dada?.
TRANSFORMACIONES:
Las figuras geométricas presentes son:
Triángulo equilátero, rectángulo y semi-circunferencia.
El área total de la figura esta dada por:
Área del triángulo (AT) + área del rectángulo (AR) + el área
del semi-círculo (ASc):
AT =2
alturaxbase
La Base es igual a 2 m y la Altura la calculamos por el
teorema de Pitágoras 222 altura12 +=
De aquí Altura = 314 =− m
Luego AT = 2m32
m3m2=
AR = Base x Altura = 2 m . 3 m = 6 2m
ASc = 222
2m
89
2
m49.
2
)m23(
2)radio.( π
=π
=π
=π
Observe que el radio es la mitad del diámetro que vale 3m
Área total de la figura es = 2m)8
963( π++
El perímetro de la figura esta dado geométricamente por la
curva que rodea a la figura, y se calcula analíticamente así:
2m + 2m + 3m + 2m + 2
)23(2π
m = (9 + 2
3π) m
EVENTOS
2 m 2 m
2 m 3 m
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
28
–5. Los coeficientes son 6, 3, 2 y -5.
Observaciones
• Algunos polinomios tienen términos “ausentes”. Por ejemplo 6x3 + 2x –5 no tiene el término x 2 , pero sigue siendo un polinomio de grado 3, donde el coeficiente de x 2 es cero.
• Una constante diferente de cero, como 6, es un polinomio de grado cero, porque se puede escribir 6 = 6x 0 . También al número cero se le llama polinomio constante, pero no se le asigna grado.
• Un polinomio se puede escribir en forma descendente (6x3+3x 2 + 2x –5) o ascendente (–5 + 2x +3x 2 + 6x3 ).
Algunos polinomios se clasifican según su número de términos:
• Monomio: un solo término ( nax )
Por ejemplo: 3 x 2 • Binomio: suma o resta de dos monomios ( mbxnax ± )
Por ejemplo: 3 x 2 + 2x
• Trinomio: suma o resta de tres monomios ( rcxmbxnax ±± )
Por ejemplo: 3 x 2 + 2 x – 5 • Polinomio: suma o resta de cualquier número de monomios
( 0x0a......)2n(x)2n(a)1n(x)1n(anxna ±±−−±−
−± )
Por ejemplo: 3 x3 - 3 x 2 + 2 x – 5 En un polinomio como 3 x 2 + 2 x – 5, la variable x representa un número real. Por consiguiente cuando se sustituye un valor real específico en lugar de x el resultado es un número real. Por ejemplo con x = 2, en ese polinomio se obtiene:
3 (2) 2 + 2(2) – 5 = 12 + 4 – 5 = 11
Por lo tanto, los cálculos con polinomios se basan en las propiedades fundamentales de los números reales.
Suma de polinomios:
La suma o resta de polinomios implica la reducción de términos semejantes (que son los que tienen el mismo exponente en la variable). La reducción se logra reordenando y reagrupando
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
29
primero los términos (propiedad asociativa y conmutativa) para después reducir empleando la propiedad distributiva.
Ejemplo: Sume ( )7x26x22x +−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
Primera forma:
( ) ( ) ( ) 12x102x76x2x22x7x26x22x +=++=+−+−+=+−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
Segunda forma:
1x02x
7x26x22x
++
+−−+
Multiplicación de polinomios.
Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva.
Ejemplo: Efectuar ( )7x2.6x22x +−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
Primera forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
42x262x33x2
42x12x142x42x73x2
7.6)x2(67.x2.)x2.(x27.2x)x2.(2x7x2.6x22x
−++−=
−++−+−=
−+−−++−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −=+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
30
Segunda forma:
42x262x33x2
x122x43x2
42x142x7
7x26x22x
−++−
−−−−−−−−−−−−−−−
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−
−+
+−−+
Ejemplo: Simplifique haciendo las operaciones indicadas.
( )5x213x2x3x52x −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
Solución Primero se aplica la propiedad distributiva, se reducen los términos semejantes.
( )
5x23x104x
5x23x54x23x154x3
5x23x54x23x154x35x213x2x3x52x
−+−=
−++−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −=−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
División de polinomios
En los siguientes ejemplos ilustramos la división de polinomios
Ejemplo 1. Efectuar las divisiones
a) x2
x42x6 + b) 2x
3x2x3x2+
+−+
Solución (a):
En el ejemplo (a) podemos notar que la división se está realizando entre un monomio, lo cual bastaría con factorizar el numerador y luego aplicar la regla 2.
( ) 2x3x2
2x3x2x2
x42x6+=
+=
+
Otro método alternativo, sería descomponer en dos sumandos y luego simplificamos:
6x22xpor7 −+
6x22xporx2 −+−
Sumar
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
31
2x3x2x4
x2
2x6x2
x42x6+=+=
+ , x 0≠
Otro proceso sería el de división larga, sobre todo para la división entre polinomios como es el caso (b).
Solución (b):
13stoRe
10x53x5
x6x33xx3
x4x2
Cociente5x3x2Divisor2x
3xxx2
2
2
23
223
−→
+−
−−
−−−
+
→+−→+
−−+
Veamos los pasos del proceso:
Se divide 2x3 entre x para obtener 2x2 . Se multiplica 2x2 por el divisor, para obtener a 2x43x2 + y se resta. A continuación se divide 2x3− de nuevo entre x, y así sucesivamente.
Se termina cuando el residuo es de grado menor que el divisor.
El resultado se puede verificar comprobando que la siguiente identidad es cierta. Demuéstrelo el lector.
( ) {siduoRe13
Cociente
5x32x2Divisor
2xDividendo
3x2x3x2 −+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⋅+=−−+
44 344 2132144 344 21
Productos especiales.
Conocidos como productos notables, dado que pueden ser obtenidos directamente mediante un patrón o regla que simplifica el proceso:
Dividendo
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
32
i) ( ) 222 axa2xax ++=+
ii) ( )2ax − = 22 axa2x +−
iii) 22xa)-(xa)+(x a−=⋅ .
iv) ( )3ax + = 3223 axa3ax3x +++
v) ( )3ax − = 3223 axa3ax3x −+−
vi) ( ) ( )bxax +⋅+ = ( ) baxba2x ⋅+++
vii) ( ) ( )22 aaxxax ++⋅− .= 3a3x −
viii) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⋅+ 2aax2xax = 3a3x +
Cada uno de estos productos se prueba, fácilmente, aplicando las operaciones elementales con polinomios. Por ejemplo:
i) ( )2ax + = ( ) ( )axax +⋅+
= ( ) ( )axaaxx +⋅++⋅
= ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + 2aaxxa2x
= 22 axa2x ++
iii) a)-(xa)+(x ⋅ = ( ) ( )axaaxx −+−
22
22
axaaxaxx
−=
−+−=
iv) ( )3ax + = ( ) ( )ax2ax +⋅+
= ( ) ( )axaxa2x 22 +⋅++
= 322223 axaxa2ax2axx +++++
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
33
= 3223 axa3ax3x +++
Ejemplos:
Aplicando las propiedades anteriores se tiene que
a) ( )22x3 + = ( ) ( ) 222x322x3 +⋅⋅+ = 4x124x9 ++
b) 2
3x412 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + = ( )
23x
413x
412222 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅+ = 6x
1613x
222 ++
c) 2
x2x3 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − = 2x3x64x9 +−
d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2422222 x36x9x6x3x6x3x6x3 −=−=+⋅−
e) ( ) ( ) ( ) ( ) 22422222 y4yx9y2yx3y2yx3y2yx3 −=−=−⋅+
f) ( ) ( )[ ] 222 bb)ax(2)ax(baxbax ++++=++=++
xb2ab2xa2bax bab2xb2axa2x
222
222
+++++=
+++++=
g) ( )21x + - ( )23x − = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ 9x62x1x22x
= 9x62x1x22x −+−++ = 8x8 −
h) ( ) ( ) ( )2bababa −−−⋅+ = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ − 2bab22a2b2a
= 2bab22a2b2a −+−−
= 2b2ab2 −
En el ejemplo que sigue racionalizaremos denominadores aplicando las propiedades (iii), (vii) y (viii)
Ejemplo. Racionalice el denominador en:
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
34
1) 23
20−
2) 2x
4x+− 3)
3 x1x1
−−
Solución
1) Multiplicamos el numerador y el denominador por el binomio conjugado de ( )23− , es decir por ( )23+ .
( )( )( )
( )( )
( ) ( )7
232029
23202223
23202323
232023
20 +=
−+
=−
+=
+−+
=−
2) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( ) 2x4x
2x4x
2x
2x4x2x2x
2x4x2x
4x22 −=
−−−
=−
−−=
−+−−
=+−
3) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )233
233
2333
233
3xx1
x1
xx1x1
xx1x1
xx1x1
x1x1
++=−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
=−−
2.7. Factorización de polinomios.
Al multiplicar ( )1xx2 − , obtenemos x22x2 − , pero si nos dan x22x2 − sería más complicado llevarlo a la forma ( )1xx2 − , la cual representa su factorización. En este caso
bastaría considerar el monomio 2x como factor común, pero existen polinomios que necesitan de reglas especiales par ser factorizados, en algunos casos basta recordar la identidad contraria de los productos notables.
Por ejemplo, ( )( )2x2x42x +−=−
Por otro lado si sacamos el factor común x de 2x3x24x −− , nos resulta
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=−− x2x23xx2x3x24x , la factorización es correcta, pero no se considera que sea
la forma totalmente factorizada (en factores simples). La forma correcta sería:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=−− 1x22x2x2x3x24x
Las técnicas de factorización se extienden a los polinomios con más de una variable, como en el siguiente caso:
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
35
Ejemplos. Factorizar
a) ( ) ( )1y2x21yx −+− b) 2y2x3xy4 −
Solución
Factoricemos sacando factor común
a) ( ) ( ) ( )( )x211yx1y2x21yx +−=−+−
b) ( )xy42xy2y2x3xy4 −=−
Se ha descrito el método de sacar factor común para factorizar polinomios, ahora describiremos otros procedimientos básicos.
i) Polinomios que sean una diferencia de dos cuadrados,
( ) ( )baba2b2a +⋅−=−
Ejemplos
1) 24 x425x9 − = ( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22222
25x3x
425x9x = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
25x3
25x3x 2
2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )4x2x2x4x2x4x4x4x16x 2222222224 ++−=+−=+−=−=−
Nota: Los polinomios de la forma nn ax + , con n par, en general no tienen descomposición en factores racionales.
ii) Polinomios que sean diferencias o sumas de cubos, 33 ax − = ( ) ( )22 aaxxax ++⋅− , 33 ax + = ( ) ( )22 aaxxax +−⋅+
Ejemplos
a. ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−
41xx4
21x2
21
21x2x2
21x2
21x2
81x8 2
22
333
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
36
b. ( )( )9x3x3x27x 23 +−+=+
c. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]2233 yx2yx2yx2yx2yx2yx2yx2yx2 −+−+++−−+=−−+
( ) ( ) ( )[ ]2222 yx2yx4yx2y2 −+−++=
( )( )22
222222
yx8y2 yxy4x4yx4yxy4x4y2
+=
+−+−+++=
iii) Polinomios que son Trinomios cuadrados perfectos.
2bab22a ++ = ( )2ba + 2bab22a +− = ( )2ba −
Para lograr la factorización, se ubican dos términos del trinomio que sean un cuadrado perfecto ( )by a 22 y se verifica si el tercer término restante es el doble del producto de la
base de cada cuadrado perfecto (2ab).
Ejemplos
1. 9x6x 2 +− = 233.x.22x +− = ( )23x −
2. 9x6x 24 ++ = ( ) 2222 33x2x ++ = ( )22 3x +
iv) Hay otra técnica para trinomios que no necesariamente sean cuadrados perfectos, como 6xx 2 −+ , de acuerdo con nuestra experiencia podemos anticipar que la factorización de este
polinomio, si es que tiene raíces reales, tendrá la forma siguiente:
( )( ) ( ) b.axbaxb.aaxbxxbxax 22 +++=+++=++
Necesitamos dos números a y b tal que a.b = -6 y a + b = 1, esto implica resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Así, (-2)3 = -6 y -2+3 = 1, luego a = -2 y b = 3 Por lo tanto: ( )( ) )2x)(3x()2(x3x6xx 2 −+=−++=−+
El resultado se verifica efectuando nuevamente el producto y comparando la identidad.
Veamos otro ejemplo
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
37
Factoricemos 24x102x +−
Solución: Necesitamos dos números a y b cuyo a.b = 24 y como el signo intermedio tiene signo menos la factorización debería tener la forma siguiente:
( )( ) ( ) b.axba2xb.aaxbx2xbxax ++−=+−−=−−
Esto implica que la suma de a + b = 10. Por lo tanto, la solución seria a = 6 y b = 4.
Luego, ( )( )4x6x24x102x +−=+−
v) Las propiedades conmutativas y asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de términos.
Ejemplos a) axmyaymx −−+ = ( ) ( )aymyaxmx +−+− = ( ) ( )amyamx −⋅−−⋅ = ( ) ( )yxam −⋅−
b) yxyxy 222 ⋅−+− = ( ) ( )yxxyy 222 −−++
= ( ) ( )y1x1yy 2 +⋅−+⋅
= ( ) ( )2xyy1 −⋅+
Otra forma:
yxyxy 222 ⋅−+− = )yx()y.xy( 222 +−+−
)yx()xy(y 22 +−+−=
)1y)(xy( 2 +−=
2.8. Ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo
0cbxax2 =++ , (I)
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
38
donde 0≠a , y, a, b y c son constantes.
Si el polinomio cbxax 2 ++ puede ser factorizado aplicando los métodos dados en la sección anterior, esto permite hallar las soluciones o raíces de la ecuación (I).
Ejemplo
Resolver la ecuación 2x + 2x - 8 0=
Solución
Aplicando los métodos dados en la sección anterior se tiene que
2x + 2x - 8 ( 4)( 2) 0x x= + − =
Por tanto, usando la propiedad básica de los número reales
ab 0 a 0 b 0= ↔ = ∨ =
Se tiene que: x + 4 = 0 v x – 2 = 0
x = -4 v x = 2
Así, la ecuación original (I) tiene dos soluciones: x = -4 y x = 2.
Existen otros trinomios tales como 2x92x12 +− , para los cuales este método se queda corto, por lo tanto se sugiere aplicar el método de completar cuadrados para buscar las raíces o ceros del polinomio (resolución de una ecuación cuadrática) y luego con las raíces construir la factorización del polinomio.
Consideremos la ecuación cuadrática 2x92x12 +− = 0.
El primer paso para su solución es factorizar el coeficiente de x 2 cuando este número sea distinto de 1, sacándolo sólo de los dos términos variables.
2x432x12 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − = 0
Luego restamos -2 en ambos miembros de la identidad
2x432x12 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
39
Posteriormente dividimos entre 12 en ambos miembros, para despejar el binomio que se le quiere completar el cuadrado
61x
432x −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ahora agregamos el tercer término al binomio encontrado para convertirlo en trinomio
cuadrado perfecto, este tercer término siempre tiene la forma 2
83⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ . Es decir, el coeficiente de
la variable de grado 1 se divide entre 2 y se eleva al cuadrado y se agrega en ambos miembros de la identidad:
( ) ( )222
83
61
83x
43x +
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
Factorizamos el trinomio encontrado y efectuamos la suma.
19259
649
61
83x
2
=+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros
19259
83x ±=− ; Así:
19259
83x ±=
Esto implica que la ecuación 2x92x12 +− = 0, tiene dos soluciones distintas
x = 19259
83+ y x =
19259
83−
Por consiguiente el polinomio 2x92x12 +− = 12⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
19259
83.
19259
83 xx
Conclusión:
Para completar el cuadrado en expresiones cuadráticas, como bx2x + , se suma el cuadrado de la mitad de b, que es el coeficiente de x, el cual esta
dado por: 4
2b2
2b
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Por consiguiente: 2
2bx
2
2bbx2x ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
40
Es importante señalar que existe una forma general para resolver cualquier ecuación cuadrática; Esto se puede hacer aplicando la formula de la resolverte,
a2ac42bbx −±−
= (II)
la cual permite obtener la solución (o raíces) de cualquier ecuación cuadrática, de una forma más algorítmica y rápida. Esta formula se deduce aplicando la completación de cuadrado:
Siendo 0a,0cbx2ax ≠=++
0cxab2xa =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; cx
ab2xa −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ;
acx
ab2x −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ;
2
ab
ac2
a2bx
ab2x ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++ ;
2
a2b
ac2
a2bx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − ;
2
a2b
ac2
a2bx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − ;
2a4
2bac42
a2bx +−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2a4
ac42ba2
bx −±=− ;
2a4
ac42ba2bx −±
−= ;
)a(2ac42b
a2bx
±−
±−
= ; a2
ac42bbx −±−=
Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula (II).
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula (II) es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución.
Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
• Dos raíces reales distintas • Una raíz real (o dos raíces iguales)
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
41
• Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:
D = b2 - 4.a.c
Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada del discriminante es un número real y se generan dos soluciones reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz del discriminante es cero, y ambas soluciones resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es imaginaria, produciéndose dos soluciones imaginarias o complejas imaginarias o complejas.
A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.
Ejemplo. Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5; b = 13 y c = 6.
Se aplica la fórmula:
( )
( )
213 13 4. 5 .6 13 169 120 13 289x10 102. 5
− ± − − − ± + − ±= = =− −−
Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora,
por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es
precisamente, 289. Se tiene entonces que:
13 17x10
− ±=−
Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense x1 y x2 a las dos
soluciones, que serán:
1 2
2x y x 25−= = −
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
42
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una
identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuación se le denomina verificación.
Probando con x = 2. Resulta: -5.(2)2 + 13.(2) - 6 = -20 + 26 - 6 = 0, tal como se esperaba en el
segundo miembro.
Probando x = -2/5, se tiene
( ) ( )22 25 13 65 5− −− + + =0
Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0
Este hecho permite factorizar el polinomio - 5x2 + 13x + 6 de la forma -5 ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
52x2x
Ejemplo.
Resolver: 6x - x2 = 9
Solución
No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay
un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios
para que la ecuación tenga la forma deseada.
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:
( )( )
( )
26 6 4. 1 9 6 36 36 6x 32 22. 1
− ± − − − − ± − −= = = =− −−
Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3,
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
43
es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6.3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
Ejemplo.
Resolver: -6x + 13 = - x2
Solución
Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0. Luego identificamos las letras: a = 1; b = -6 y c = 13.
Aplicando la resolvente se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( )
26 6 4. 1 13 6 36 52 6 16x2 22. 1
− − ± − − ± − ±= = =
El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos. Sin entrar en detalles que escapan del alcance del presente documento, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imagiarios, es decir: 1i −= . Las raíces quedan entonces:
6 4ix 3 i2±= = − ±−
Separando las dos respuestas, las soluciones serán: x1 = -3 + 2.i y x2 = -3 - 2.i. La comprobación requeriría operaciones con números complejos en forma binómica. Se deja al lector interesado, investigar y comprobar.
Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
Los siguientes problemas son planteamientos que generan una ecuación de segundo grado. Primero debe plantearse la lógica del problema, llamando x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y finalmente, se resuelve la ecuación.
No existe un procedimiento general para manejar la parte lógica de este tipo de problemas, sólo la experiencia va dando la experticia necesaria para plantearlos.
Problema 1: La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.
NÚMEROS REALES
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44
x es uno de los números
x = primer número
10 - x = segundo número
x2
+ ( )210 x 58− =
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Operaciones básicas
en R
EVENTOS
CONCEPTOS:
Número
Suma de dos
cuadrados
Ecuación cuadrática
Ecuación de la
resolvente
META: ¿Cuál es el valor de x que satisface las condiciones del problema?
TRANSFORMACIONES:
x2
+ ( )210 x 58− = (I) Para resolver la ecuación (I), hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la resolvente. x2 + 102 - 2.10.x + x 2 = 58 ; x2 + 100 - 20.x + x 2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 - 20.x+ 42 = 0; (II) Dividiendo entre 2 toda la ecuación (II) x2 - 10x+ 21 = 0 Aplicando la resolvente resulta x1 = 3 y x2 = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3; Segundo número, 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7), resulta: Primer número: x = 7, Segundo número, 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.
NÚMEROS REALES
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45
Problema 2: Halle el área y perímetro del triángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros
CONCEPTOS:
Ecuación cuadrática
Solución de ecuación
cuadrática
Triángulo rectángulo
Catetos, hipotenusa
Área y perímetro de un
triángulo rectángulo
TRANSFORMACIONES:
Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación: (x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 , x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25 Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0 Finalmente: -2 x2 + 18x = 0 Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
META: ¿Cuánto mide el área y el perímetro del triángulo dado?
EVENTOS:
X esta dada en metros
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
NÚMEROS REALES
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46
Problema 3: La longitud de una pieza rectangular de cartón tiene 2 cm más que la anchura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 cm de lado y doblando los lados hacia arriba. Si el volumen de la caja es 672 cm 3 , encuentre las dimensiones de la pieza rectangular de cartón.
CONCEPTOS:
Ecuación cuadrática
Rectángulo
Volumen de un
paralelepípedo
TRANSFORMACIONES:
Al doblar los lados
hacia arriba
formamos
la caja
Como el volumen de la caja es 672 cm3
, entonces se
debe cumplir que 4 (x-8) (x-10) = 672
Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene:
x = 22 y x = -4
Como x representa la medida de la longitud de uno de
los lados del rectángulo, entonces x es un número real
no negativo, por lo que el valor x = -4 lo descartamos
Así las dimensiones de la pieza rectangular son:
Longitud x = 22
Ancho x-2 = 22 -2 = 20
También podemos afirmar que las dimensiones de la
base de la caja son 14 cm de largo y 12 cm de ancho, lo
cual nos ayuda a verificar.
El volumen es 4(14)(12) = 672 y la longitud (14 cm )
META: ¿Cuáles son las dimensiones de la pieza rectangular de cartón, que se construye respetando las condiciones del problema?
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Operaciones básicas
en R
x
x-2 4
x-8
x-8
(x-2)-8
4
EVENTOS
NÚMEROS REALES
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47
Problema 4. La figura muestra una caja con sus medidas en centímetros, si el volumen es 60 cm3. ¿Cuál es el valor de x en centímetros?
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Operaciones básicas en
R
EVENTOS
3, 2x-6 y x-6 son las
dimensiones de la caja
x-62x-6
3
CONCEPTOS:
Ecuación cuadrática
Volumen de un
paralelepípedo
Solución de una
ecuación cuadrática
META: ¿Cuál es el valor de x en centímetros, para que la caja dada tenga 60 cm3
de volumen?
TRANSFORMACIONES:
El volumen de la caja dada esta dado por:
3 (2x-6) (x-6) = 60 (I)
Luego procedemos a desarrollar y simplificar (I)
x2
- 9x + 8 = 0
Observe que la ecuación (I) representa una ecuación
cuadrática, cuya solución es:
x = 8 y x = 1
Verificación:
Sustituimos x = 8 y x = 1 en (I)
3 [2(8)-6] [(8)-6]) = 30.2 = 60
3 [2(1)-6] [(1)-6]) = -12(-5) = 60
Observe que aunque x = 1 satisface la ecuación (I),
no pertenece a la solución del problema, ya que al
sustituir el valor de x en cada una de las dimensiones
de la caja estas deben ser positivas, y el valor de x
Hace al largo (2x-6) y al ancho (x-6) negativos.
Conclusión:
El valor de x es 8cm. Así las dimensiones de la caja
son: 3 cm, 10 cm y 2 cm y su volumen es 60 cm 3
x-6 2x-6
3
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
48
2.9. Expresiones Racionales
Una expresión racional es un cociente que involucra suma, producto, división y radicación de polinomios. Las expresiones racionales (o fracciones algebraicas) son las “extensiones algebraicas” de los números racionales y, por tanto, las reglas fundamentales del manejo de estos números abarcan las expresiones racionales.
Ejemplo:
REGLA EJEMPLO Opuesto aditivo de una fracción.
Regla 1 b
aba
ba
−=
−=−
3
232
32
−=
−=−
Reducción de fracciones.
Regla 2 ba
bcc.a=
52
3532=
⋅⋅
Multiplicación de fracciones.
Regla 3 bd
c.adc
ba
=⋅
214
32
72
=⋅
División de fracciones.
Regla 4 dbda
cd
ba
dc
ba
⋅⋅
=⋅=÷
65
1210
45
32
54
32
==⋅=÷
Suma y resta de fracciones; denominadores
iguales.
Regla 5 b
cabc
ba +
=+
Regla 6 b
cabc
ba −
=−
32
342
34
32
236
342
34
32
−=
−=−
==+
=+
6. Suma y resta de fracciones; denominadores
distintos.
Regla 7 bd
bcaddc
ba +
=+
Regla 8 bd
bcaddc
ba −
=−
151
15109
352533
32
53
1217
1298
433342
43
32
−=
−=
⋅⋅−⋅
=−
=+
=⋅
⋅+⋅=+
A continuación presentaremos varios ejemplos que ilustran estas reglas, con expresiones fraccionarias.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
49
Ejemplo1. Determinar las operaciones indicadas y simplificar.
a) 42x
2x2
x24
−
+⋅
− b) 2x
32x
7+
+−
c) ( ) 2x3
5x1xx3
4 −−
+ d) ( )
3x3x3
9x62x
21x−+
÷+−
+
Solución
a) ( )( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+−=
−
+⋅
−
42x2
2xx24
42x
2x2
x24 Regla 3
82x2
x42x28x4
−
−−+= Producto de binomios y propiedad distributiva
= 182x2
)82x2(1
82x2
2x28−=
−
−−=
−
− Reducción de términos y Regla 2
Nota: Todo número distinto de cero dividido entre su opuesto es igual a -1
b) ( ) ( )( )( )2x2x
2x32x72x
32x
7+−−++
=+
+−
Regla 7
( )( )2x2x6x314x7
+−−++
= Propiedad distributiva
( )( )2x2x8x10+−
+= Reducción de términos
( )( )( )2x2x
4x52+−
+= Factorización
c) ( )( )( )
( ) 2x31xx3
5x1xx32x122x3
5x1xx3
4
+
−+−=
−−
+ Regla 8
( ) ( )1x3x9
x152x32x153x32x12
1x3x9
5xx52xx32x12
+
+−+−=
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−−
= Multiplicación de polinomios
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
50
( )1x3x9
x152x243x3
+
++−= Reducción de términos
( ) ( )1x2x3
5x82x
1x3x9
5x82xx3
+
++−=
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
= Factorización y Regla 2
Nota: Los pasos aquí señalados no son los únicos posibles, dependen de las habilidades y maestría del que realiza las operaciones.
En este ejemplo se pudo aplicar m.c.m (producto de los factores simples con su mayor exponente y los no comunes también) en vez de la regla 8. Es decir
( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )1xx35x8x
1xx35xx5xx4
1xx35xx5xx4
1xx35x1xx4
x35x
1xx34
2
2
2
2
2
2
22
+++−
=
++−+−
+−+−−
=+
−+−=
−−
+
d) ( ) ( )3x33x
9x62x
21x3x3x3
9x62x
21x+−
⋅+−
+=
−+
÷+−
+ Regla 4
( )( )
( ) ( )( ) ( )1x323x
3x21x3x33x
23x
21x
+−
−+=
+−
⋅−
+= Ractorización y Regla 3
( )( ) 33x
1x⋅−
+= Regla 2
2.9.1. Resolución de ecuaciones racionales
Ejemplo. Resolver las siguientes ecuaciones.
a) 1x2
x641x2
3−
=+−
b) 9x62x
x333x
5
+−
−=
−
Solución
(a) En este ejemplo se observa el uso de operaciones combinadas, trabajaremos considerando las reglas vistas en este apartado.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
51
Se simplificará la expresión dada efectuando las operaciones indicadas y luego despejaremos x.
1x2x64
1x23
−=+
− ;
( )1x2
x61x21x24
1x23
−=
−−
+−
; Regla 7
( )1x2
x61x2
11x243−
=−−+ ; Regla 5
( ) ( ) ( )1x21x2
x61x21x2
1x243−
−=−
−−+ ;
( ) x61x243 =−+ ; Regla 2
x64x83 =−+ ; x61x8 =− ; 1x2 = ; 21x = Propiedad distributiva y Reducción de términos
semejantes
Comprobación:
21x = , hace cero el denominador por lo tanto la ecuación dada no tiene solución real
b) 9x62x
x333x
5
+−
−=
−
( )23x
x333x
5
−
−=
− Factorización
( )0
23x
x333x
5=
−
−−
− Axioma de cuerpo; si A = C, entonces A-B = C-B
( ) ( )( )
023x
x333x5=
−
−−− m.c.m
( ) ( )0
23x
48x6;023x
x3315x5=
−
−=
−
+−− Propiedad distributiva y Reducción de términos
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
52
( )( ) ( ) ;023x23x
23x
48x6⋅−=−
−
− con x 3≠ Axioma de cuerpo; si A = C, entonces A.B = C.B
8x;648x;048x6 ===− Regla 2 y despeje
Comprobación:
( ) ( )11;
2525
55;
98628
83338
5==
+−
−=
−
2.10. Axiomas de Orden y desigualdades.
Axiomas de orden en . En existe el subconjunto + con las siguientes propiedades: i) Si x ∈ , una y sólo una de estas afirmaciones es cierta:
x ∈ + , x = 0 , ( )∈− x − .
ii) El conjunto + es cerrado para la adición es decir: ∀x y, ∈ +: ∈+ yx +.
iii) El conjunto + es cerrado para la multiplicación: ∀x y, ∈ +: x y⋅ ∈ +.
Podemos ver entonces que una propiedad importante de los números reales es que pueden ordenarse. Es decir, para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
Desigualdades
Sean a y b dos números reales
i) a es menor que b si y solo si ( )ab − ∈ + .
En símbolos: a < b ⇔ ab − ∈ +.
ii) a es menor o igual que b, si y sólo si a < b ó a = b, lo cual denotamos por a ≤ b
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
53
iii) a es mayor que b, si y sólo si ba − ∈ + .
En símbolos: a > b ⇔ a - b ∈ +.
iv) a es mayor o igual que b, si y sólo si a > b ó a = b, lo cual denotamos por a ≥ b
Las siguientes propiedades se usan a menudo al manejar desigualdades
Propiedades de las desigualdades:
1. Dados dos números reales a y b, exactamente una de las siguientes afirmaciones es cierta: a < b, a = b ó b < a.
2. Si a < b y b < c entonces a < c. 3. Si a < b y c es un real cualquiera, entonces a + c < b + c. 4. Si a < b y c < d entonces a + c < b + d. 5. Si a < b y c > 0, entonces a c b c⋅ < ⋅ . 6. Si a < b y c < 0 entonces a c b c⋅ > ⋅ 7. Si x ≠ 0 entonces x2 0> . 8. Si a, b, c y d son positivos, y a < b y c < d, entonces a.c < c.d. 9. Si a y b son números positivos y a < b, entonces a b2 2< . 10. Si a y b son números positivos y a < b, entonces b a− −<1 1. 11. Si a b⋅ > 0 entonces a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0. 12. Si 0ba <⋅ entonces a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.
13. Si ba > 0 entonces a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0.
14. Si ba < 0 entonces a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.
Nota: Las propiedades anteriores son válidas si se sustituye el símbolo < por ≤ , con excepción de la 13 y 14 donde b 0≠ . Es decir:
Si ba≥ 0 entonces a ≥ 0 y b > 0, o bien a ≤ 0 y b < 0.
Si ba≤ 0 entonces a ≥ 0 y b < 0, o bien a ≤ 0 y b > 0.
Demostremos algunas de estas propiedades
Propiedad 2. Si a < b y b < c entonces a < c.
ba < y cb < , → b - a ∈ + y c - b ∈ + Por definición
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
54
→ (b – a) + (c – b) ∈ + Axioma de orden ii
→ - a + c = c - a ∈ + Reducción de términos → a < c Por definición
Propiedad 6: ba < y 0c < → a c b c⋅ > ⋅
ba < y 0c < → ab > y )c(− >0 → ( )ab − ∈ + y )c(− ∈ +. Axioma de orden i
→ ( ) ( )cab −⋅− ∈ + Axioma de orden iii
→ ( ) ( )( )cacb −⋅−−⋅ ∈ +. Por propiedad distributiva → cacb ⋅+⋅− ∈ +
→ cbca ⋅−⋅ ∈ +
→ , cacb ⋅<⋅ o bien cbca ⋅>⋅ . Por definición
Propiedad 9. a y b son números positivos y a < b, entonces a b2 2< .
a, b ∈ + y ba < → ba + ∈ + y ab − ∈ +.
→ ( ) ( )abab +⋅− ∈ +
→ 2a2b − ∈ + → 22 ba <
Sugerencia: realice la demostración del resto de las propiedades.
Observaciones
• Un número x se encuentra entre a y b si a < x y x < b. Esto puede escribirse como una
desigualdad continua de la siguiente manera: a < x < b.
• Si a < b y c < d no podemos concluir que a-c < b-d. Por ejemplo, 5 < 8 y 1 < 7, pero
no es cierto que 5-1 < 8-7. Este ejemplo es llamado contraejemplo, pues, con él se
demuestra que la proposición “Si a < b y c < d, entonces a-c < b-d” es falsa.
• Con frecuencia nos restringiremos a subconjuntos de los números reales o de la recta
real, en cuyo caso conviene usar notaciones del tipo
{ }condiciónciertaverificax:Rx∈ , por ejemplo el conjunto de los números reales
positivos se describe como { }0x:Rx >∈ . Los subconjuntos de que se usan con
NÚMEROS REALES
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55
más frecuencia en el cálculo son los llamados intervalos. Por ejemplo, el intervalo
abierto ( ) { }bxa:Rxb,a <<∈= y el cerrado [ ] { }bxa:Rxb,a ≤≤∈=
Los tipos básicos de intervalos quedan reflejados en la siguiente tabla Notación de
intervalos
Notación de conjuntos
Intervalos
acotados ( )
[ ]
[ )
( ]b,a
b,a
b,a
b,a
{ }
{ }
{ }
{ }bxa:Rx
bxa:Rx
bxa:Rx
bxa:Rx
≤<∈
<≤∈
≤≤∈
<<∈
Intervalos
no acotados ( )
( ]
( )
[ )
( )+∞∞−
+∞
+∞
∞−
−∞
,
,b
,b
a,
a,
{ }
{ }
{ }
{ }
R
bx:Rx
bx:Rx
ax:Rx
ax:Rx
≥∈
>∈
≤∈
<∈
Nota: Observe que los círculos rellenos se utilizan para expresar geométricamente la inclusión del valor numérico del extremo del intervalo dado y los círculos no rellenos se utilizan para expresar geométricamente la no inclusión del valor numérico del extremo del intervalo dado. En forma análoga se hace uso directamente de los corchetes (incluye) y los paréntesis (no incluye)
2.10.2. Operaciones con intervalos
Como los intervalos son conjuntos de números reales, las operaciones de unión e intersección
NÚMEROS REALES
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56
son a menudo útiles cuando se trabaja con intervalos. La unión de los conjuntos A y B, que se denota por BA ∪ , es el conjunto formado por la combinación de todos los elementos de A y de todos los elementos de B. La intersección de los conjuntos A y B se denota por BA ∩ , que es el conjunto de elementos de A que está también en B. Simbólicamente:
Operación Definición Ejemplo Unión { }BxAx/xBA ∈∨∈=∪ { } { } { }5,3,2,1,05,3,03,2,1 =∪
Intersección { }BxAx/xBA ∈∧∈=∩ { } { } { }35,3,03,2,1 =∩
Ejemplo: Si [ ]2,3A −= , ( )4,1B = y ( )3,∞− , grafique los conjuntos indicados y escríbalos como un solo intervalo, si es posible
1) BAyBA ∩∪ 2) CAyCA ∩∪
Solución 1:
Solución 2:
A
B
A∪B = [ )4,3−
( ]2,1BA =∩
A
C
( ]2,CA ∞−=∪
φ=∩CA
NÚMEROS REALES
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57
2.11. Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales Hemos de resolver con frecuencia desigualdades o inecuaciones con expresiones variables, como 32x2 <− . Diremos que ax = es solución de tal desigualdad si es cierta al sustituir x por a . El conjunto de valores de x que satisfacen la desigualdad se llama conjunto solución de la desigualdad
Inecuaciones lineales.
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son:
> (mayor que), < (menor que), ≥ (mayor o igual que), ≤ (menor o igual que)
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x – 8 ; 3 + 8 > x - 8 + 8 ; 11 > x
A menos que digamos lo contrario, siempre supondremos que estamos empleando el conjunto de los números reales. Por consiguiente, en este caso, el conjunto de soluciones consta de todos los números reales menores que 11. En lugar de emplear una descripción verbal, podemos emplear llaves y escribir este conjunto de soluciones en la notación de conjunto por construcción del siguiente modo:
{ }11x/Rx <∈
Esto se lee “el conjunto de las x que pertenecen al conjunto de los números reales tales que, x sea menor que 11”
Nota: Recuerde que al multiplicar por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia (propiedad 6 de las desigualdades).
Ejemplo
5x3
153x3
312x8x53x812x5
>−−
>−−
−−<−−<+
NÚMEROS REALES
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58
Ejemplos.
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
a) 2x57x2 +≥−− b) 3
x254x23 −−>− c) 2
5x732 <
−≤−
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución. Dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. El proceso para resolver una desigualdad es parecido al que se hace en las ecuaciones, se realizan las operaciones sobre las desigualdades que produzcan desigualdades equivalentes más simples, y se continúa el proceso hasta llegar a una o más desigualdad cuya solución sea obvia. Las propiedades de las desigualdades dadas en el punto 2.10.1 se pueden usar para producir desigualdades equivalentes.
Solución a.
CONCEPTOS:
Números Reales
Inecuación lineal
Desigualdades
Conjunto solución de una
inecuación
Intervalos
Problema (a) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?
EVENTOS:
2x57x2 +≥−−
PROPIEDADES:
Axiomas de cuerpo:
operaciones básicas con
números Reales.
Propiedades de las
desigualdades 3 ,5 y 6.
TRANSFORMACIONES:
2x57x2 +≥−− ⇒ ( ) x572x5x577x2 −++≥−+−− ⇒
900x7 +≥+− ⇒ 9x7 ≥− ⇒ 9)x7( −≤−− ⇒ 9x7 −≤
)9.(7x77 11 −≤⋅ −− ⇒79x1 −≤⋅ ⇒
79x −≤
Luego el conjunto solución es:
{ x ∈ / 79
−≤x }= (79, −∞− ]
Solución gráfica
Verificando la respuesta con un ejemplo y un contra ejemplo: Si sustituimos x = -2 en la inecuación dada
cumple83;2)2(57)2(2 −≥−+−≥−−− Si sustituimos x = -1 en la inecuación dada
cumpleno35;2)1(57)1(2 −≥−+−≥−−−
NÚMEROS REALES
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59
Nótese que para la comprobación de la solución de la inecuación dada se sustituyó un valor que satisface a la solución obtenida, y se verificó que hacia cierta a la desigualdad original, esto no asegura de inmediato que la solución es correcta, por lo cual se recomienda sustituir además un contra ejemplo, un valor que no pertenece a la solución para chequear que debería hacerla falsa, tal como ocurrió en este caso con x = -1. Este no es un proceso seguro, por lo cual se recomienda sustituir otros valores para estar más confiado de la solución encontrada. Solución b.
41
0
TRANSFORMACIONES CONCEPTOS:
Números Reales
Inecuación lineal
Desigualdades
Conjunto solución de una
inecuación
Intervalos
Problema (b) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?
3x254x23 −
−>− ;
( )3
)x25(343x233
−⋅−⋅>− ;
( )x2512x69 −−>− ; x2512x69 +−>− ;x27x69 +>−
x29x27x29x69 −−+>−−−
41x;
82
8x8;2x8 <
−−
<−−
−>−
Luego el conjunto solución es:
{ x ∈ / 41x < }= (
41,∞− )
Solución gráfica:
Verificando la respuesta con un ejemplo y un
contra ejemplo:
Si sustituimos x = 0 en la inecuación dada
3)0(254)0(23 −
−>− ; cumple;373 >
Si sustituimos x = 1 en la inecuación dada
;3
)1(254)1(23 −−>− cumpleno;31>
EVENTOS:
3
x254x23 −−>−
PROPIEDADES:
Axiomas de cuerpo:
operaciones básicas con
números Reales.
Propiedades de las
desigualdades.
NÚMEROS REALES
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60
Solución c.
TRANSFORMACIONES CONCEPTOS:
Números Reales
Inecuación lineal
Desigualdades
Conjunto solución de una
inecuación
Intervalos
Problema (c) META: ¿Cuáles son los valores que puede tomar x en la inecuación dada?
EVENTOS:
25
7x32 <−
≤−
25
x732 <−
≤− ; )2(5)5
x73(5)2(5 <−
≤− ;
10x7310 <−≤− ; 3103x73310 −<−−≤−− ;
7x713 <−≤− ; 7x7x713 <−∧−≤− ; 7)1()x7)(1()x7)(1()13)(1( −>−−∧−−≥−−
7x7x713 −>∧≥ ; 1x7
13x −>∧≤
Luego el conjunto solución es:
{ x ∈ / 7
13x1x ≤∧−> }= ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−
713,1
Solución gráfica
Verificando la respuesta con ejemplo y contra ejemplo: Si sustituimos x = 0 en la inecuación dada
25
)0(732 <
−≤− ; cumplese2
532 <≤−
Si sustituimos x = -8 en la inecuación dada
25
)8(732 <−
≤− ; cumpleno25532 <−
≤− Si sustituimos x = 2 en la inecuación dada
25
)2(732 <−
≤− ; cumpleno25112 <
−≤−
PROPIEDADES:
Axiomas de cuerpo:
operaciones básicas con
números Reales.
Propiedades de las
desigualdades.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
61
Problema 1. En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre 30º C y 35º C; es decir, 30 35C ≤≤ . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados
Fahrenheit si la formula de conversión Celsius/ Fahrenheit es C = ( )32F95
− ?
Inecuaciones cuadráticas.
La forma general de una inecuación cuadrática es:
0cbx2ax >++ , a, b, c ∈ , a ≠ 0.
Si se sustituye el símbolo > por ≥ , <, ≥ la desigualdad también es una inecuación cuadrática.
CONCEPTOS: Ecuación lineal Inecuación Desigualdad Temperatura ºC y ºF
TRANSFORMACIONES
Como 30 35C ≤≤ (I)
Sustituyendo C=? en (I) tenemos:
30 ( ) 3532F95
≤−≤ (II)
Resolviendo (II)
( ) 355932F
95
5930
59
⋅≤−⋅≤⋅
6332F54 ≤−≤ ; 95F86 ≤≤ .
Conclusión:
El rango de la temperatura es de 86º C a 95º
C
META: ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la formula de
conversión Celsius/ Fahrenheit es C = ( )32F95
− ?
EVENTOS:
Solución de ácido clorhidrico.
Se mantiene entre 30º C y 35º
C, es decir:
30 35C ≤≤
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Propiedades de:
Desigualdades
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
62
Método analítico para resolver una inecuación cuadrática.
a) Determinar las raíces del polinomio cbx2ax ++ .
b) Si estas raíces son reales y distintas: 1x , 2x , se factoriza el polinomio así:
cbx2ax ++ = a ( ) ( )21 xxxx −⋅−
Para resolver la inecuación se aplican las propiedades (11) y (12) de las desigualdades.
Ejemplo
Resolver la inecuación 02xx2 >−−
Solución
Como )1x)(2x(2x2x +−=−− ; entonces 0)1x)(2x( >+−
Aplicando la propiedad (11) de las desigualdades, tenemos:
)01x02x()01x02x( <+∧<−∨>+∧>−
Es decir
)1x2x(v)1x2x( −<∧<−>∧>
Busquemos las dos soluciones de las intersecciones geométricamente
Solución 1: 1x2x −>∧>
Sol.1. ( )+∞,2
Solución 2: 1x2x −<∧<
Sol.2. ( )1,−∞−
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
63
Luego el conjunto solución es { }1x2x/Rx −<∨>∈ = ( ) ( )+∞∪−∞− ,21,
c) Si las raíces son reales e iguales: x1, se factoriza el polinomio así:
ax bx c2 + + = a ( )21xx −
En este caso:
Si a>0, entonces 0cbxax2 ≥++ para todo x ∈
Si a<0, entonces 0cbxax2 ≤++ para todo x ∈
Considerando este señalamiento se procede a resolver los problemas de este tipo.
Ejemplo
Resolver la inecuación 09x6x2 >++ .
Solución
22 )3x(9x6x +=++ , luego 0)3x( 2 >+
En este caso nótese que 0)3x( 2 >+ para todo x ∈ { }3−− , por lo tanto
El conjunto solución es { } ( ) ( )+∞∪−∞−=−≠∈ ,33,3x/Rx
Otros ejemplos:
• Para 02)3x( ≥+ , la solución seria todo x ∈
• Para 02)3x( <+ , no existe un x ∈ que haga cierta la desigualdad
• Para 02)3x( ≤+ , la solución sería única x = - 3
d) Si el polinomio cbx2ax ++ no tiene raíces reales se cumple que 0ac42b <− , y se
procede a completar cuadrados. Luego la inecuación cbx2ax ++ > 0 se transforma en:
a4
ac42b2
a2bxa −
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
64
Ya que 2
a2bac
2
a2bx
ab2xacbx2ax ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=++
Luego a4
2bac42
a2bxacbx2ax −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++
Así 0a4
2bac42
a2bxa >
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ; luego
a4ac42b2
a2bxa −
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
• Si a > 0 se tiene 2a4
ac42b2
a2bx −
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + , lo cual se cumple para todo x ∈ , pues
como 0ac42b <− , entonces 02a4
ac42b<
− .
• Si a < 0 resulta 2a4
ac42b2
a2bx −
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + : esto no se cumple para ningún x en .
En conclusión: La solución de la inecuación 0cbxax2 >++ con 0ac4b2 <− es:
i) si 0a > y ii) φ si 0a < .
Análogamente, la solución de la inecuación 0cbxax2 <++ con b ac2 4 0− < es:
i) φ si 0a > . y ii) si a < 0..
Ejemplos
1) El polinomio 9x62x2 ++ no tiene raíces reales; así la solución de la inecuación
09x62x2 ≤++ es φ , ya que siendo a = 2 > 0, siempre 9x6x2 2 ++ >0 para todo x ∈ .
2) ( ) x5322x −>− ⇒ x x2 1 0+ + > : el polinomio 1x2x ++ no tiene raíces reales y como a
= 1>0 entonces 01xx 2 >++ para todo x en . Luego el conjunto solución de
( ) x5322x −>− es .
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
65
Problema 2. Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación
( ) 07mx1m2x8 =−+−− para que sus soluciones sean reales
Inecuaciones racionales.
Son inecuaciones que se pueden expresar de la forma ( )( ) 0xpxq
> , donde ( )xp y ( )xq son
polinomios no nulos. En el lugar de > puede aparecer ≥ , < ó ≤ .
Estas inecuaciones se resolverán aplicando las propiedades de las desigualdades.
A continuación se ilustra el proceso.
CONCEPTOS: Ecuación cuadrática Discriminante Inecuación Desigualdad Solución de una inecuación cuadrática
TRANSFORMACIONES Dada la ecuación cuadrática: ( ) 07mx1m2x8 =−+−− (I) Identificamos a = 8, b = -(m -1) y c = m -7
Luego, como 0ca42b ≥⋅⋅− para que la ecuación (I) tenga soluciones reales, entonces sustituimos los valores de a, b y c en
0ca42b ≥⋅⋅− Así: ( )( ) ( ) 07m8421m ≥−⋅⋅−−− , lo cual es equivalente a:
;0225m342m ≥+− (II) Factorizando en (II) obtenemos: ( )( ) 025m9m ≥−− (III) Nos queda entonces resolver la inecuación cuadrática (III). Cuya solución es: 25m9m ≥∨≤ . Este resultado representa las condiciones que deben cumplir los coeficientes de la ecuación (I) para que tenga soluciones reales. Dejamos al lector su verificación
META: ¿Cuáles son las condiciones que tiene que verificar los coeficientes de la ecuación dada para que sus soluciones sean reales?
EVENTOS:
( ) 07mx1m2x8 =−+−−
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Propiedades de:
Desigualdades
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
66
Ejemplo: Resolver la inecuación 23x
x≤
+.
Solución:
Es posible que pensemos en eliminar el denominador multiplicando por ( )3x + para tener la desigualdad ( )3x2x +⋅≤ , pero tal desigualdad no es equivalente a la anterior. Ya que si culminamos este proceso tendríamos que 6x −≥ . Esta solución no satisface completamente a la inecuación original y existen otros valores que son solución y no están incluidos.
Comprobemos:
Si x = -3, entonces el denominador x + 3 sería cero, lo cual no es admitido en el conjunto de los números reales.
Por otro lado observe que x = -8, es solución de la inecuación original, veamos:
258;2
388
≤−≤+−
− lo que hace la desigualdad cierta. Dicho valor no está considerado en
la solución 6x −≥ .
El error que se comete es el considerar un factor (x + 3) para el cual se le desconoce su signo, como un valor positivo, ya que la desigualdad no se altera tal como lo justifica la propiedad 5.
Si consideramos dos casos x + 3 > 0 y x + 3 < 0, podemos resolver dicha inecuación aplicando la propiedad 5 y 6 de la axiomática de orden.
Solución:
Caso 1. x + 3 > 0
Si x + 3 > 0, entonces ( ) ( ) ;23x3x
x3x ⋅+≤+
+ Propiedad 5 de las desigualdades
( )3x2x +⋅≤ ; 6x;6x2x −≥+≤
Luego la primera solución estaría dada por:
x + 3 > 0 6x −≥∧ ; x > -3 6x −≥∧
Sol. 1 ( )∞− ,3
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
67
Caso 2. x + 3 < 0
Si x + 3 < 0, entonces ( ) ( ) ;23x3x
x3x ⋅+≥+
+ Propiedad 6 de las desigualdades
6x;6x2x −≤+≥
Así la segunda solución estaría dada por:
x + 3 < 0 6x −≤∧ ; x < -3 6x −≤∧
Sol. 2 ( ]6−∞−
Conclusión: El conjunto solución de la inecuación esta dado por ( ]∪−∞− 6 ( )∞− ,3
Existen otros métodos para resolver dichas inecuaciones racionales, se sugiere previamente
escribir la inecuación original en la forma ( )( ) 0xpxq
≤ , veamos:
03x6x0
3x)3x(2x02
3xx2
3xx
≤+−−
⇒≤++−
⇒≤−+
⇒≤+
,
Esta desigualdad se cumplirá si:
i) ∨>+∧≤−− 03x06x ii) 03x06x <+∧≥−−
Resolviendo mediante un proceso semejante al usado para inecuaciones cuadráticas se obtiene la solución:
( ] ( )+∞−∪−∞−= ,36,S
Ejemplo
Resuelva la inecuación 05x
12≥
+
Solución
Este caso es más particular, observe que ya esta en la forma ( )( ) 0xpxq
≥ , por lo cual no requiere
de una transformación inicial y tampoco requiere del planteamiento de dos casos, ya que q(x)=
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
68
12>0, por lo cual sólo bastaría plantear p(x)>0 para que ( )( ) 0≥xpxq .
Es decir la solución de 05x
12≥
+, estará dada por x + 5>0; esto es x >-5.
En conclusión: el conjunto solución de la inecuación dada es { } ( )∞−=−>∈ ,55x/Rx
2.12 Ecuaciones e inecuaciones que involucran valores absolutos y radicales.
Valor absoluto de un número real
La distancia de un número x en la recta numérica desde cero se llama valor absoluto y se representa con el símbolo x . El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:
• Si el número es negativo, lo convertimos a positivo. • Si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplo: 7 = 7 y 7− = 7
En otras palabras, -7 está a la misma distancia a la izquierda de 0 que 7 a la derecha de 0.
Para cada número real x, la interpretación de x es la distancia (sin importar la dirección) a la
que se encuentra x del origen. Nótese que para un número positivo x = x; 55 = . Para un
número negativo, x = -x; esto es, ( )55 −−=− . También como 0 es el origen, es natural
decir 00 = .
Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición.
Si x es un número real, su valor absoluto es: ⎩⎨⎧
<−≥
=0xsi,x0xsi ,x
x
Nota: -x es positivo si x es negativo. Esto es, si x = -2, entonces -x = -(-2); -x = 2
Propiedades del valor absoluto
Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición anterior: En general se supone que x e y son números reales cualesquiera.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
69
1) 0x ≥ 2) xx −= 3) 0x = ⇔ 0x =
4) xyyx −=− 5) x y= ⇔ ( )yxyx −=∨=
6) 222 xxx ==
7) 2xx = 8) xxx ≤≤−
9) yxyx ⋅=⋅
10) yx
yx= y 0≠
11) ( ) ( )axax0aax −=∨=⇔>∧= 12) axaax ≤≤−⇔≤
ó axaax <<−⇔<
13) ( )axaxax −≤∨≥⇔≥
ó ( )axaxax −<∨>⇔>
14) x y x y+ ≤ + 15) x y x y− ≤ −
A continuación demostraremos algunas de estas propiedades
Propiedad 14. ,Ry,x ∈∀ x y x y+ ≤ +
Demostración:
Se tiene xxx ≤≤− e yyy ≤≤− Por propiedad 8 de valor absoluto
Por lo tanto, por las propiedades de las desigualdades se cumple que:
yxyxyx +≤+≤−−
( ) yxyxyx +≤+≤+−
Luego como 0yx >+ , entonces x y x y+ ≤ + Propiedad 12 de valor absoluto
Propiedad 7. 2xx =
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
70
Demostración:
Se consideran dos casos:
Caso 1: x 0≥
xx = y xx 2 =
Caso 2: x<0
xx −= y ( ) xxx 22 −=−=
De los casos 1 y 2 se concluye que 2xx =
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
Se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones. a) 45x3 =+ b) 09x2 =−
c) 21x −=− d) 2x1x2 −=+−
Solución: a) Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto, se tiene:
45x345x3 −=+∨=+
Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene: x = -1/3 ó x = 339
−=−
Verifiquemos aplicando la sustitución en la ecuación dada 445)31(3 ==+
− ó
445)3(3 =−=+− .
Luego el conjunto solución de la ecuación (a) es { -1/3, -3 }.
b) En la ecuación 09x2 =− , aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto, luego 09x2 =− ,
cuya solución es { -3, 3 }. Y, es esta la solución de la ecuación dada.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
71
c) La solución de la ecuación 11x −=− es el conjunto φ . Porque 01x ≥− para cualquier
y nunca tomará un valor negativo. d) Para la solución de 2x1x2 −=+− previamente consideramos que 02x ≥− lo cual
equivale a 2x ≥ . Luego se aplica la propiedad 11 de valor absoluto, obteniéndose:
(i) 2x1x2 −=+− ó (ii) ( )2x1x2 −−=+− .
La solución de la ecuación (i) es: x = 1 y la de (ii) es x = -1. Los números -1 y 1 no satisfacen la condición 2x ≥ entonces, el conjunto { -1, 1} no es la solución de la ecuación (d). Esto es, la ecuación no tiene solución. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones.
a) 2x37 ≤− b) x215x4 +≤− c) x − >2 4
Solución(a). a) Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, resulta: 2x372x37 −≥−∧≤−
De allí que: 3x35x ≤∧≥ . Luego la solución de la inecuación (a) es:
S = ]( )∞+⎢⎣⎡∩∞− ,353, = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 3,35
Comprobemos la solución, sustituyendo x = 2 ∈ S, en la inecuación dada originalmente.
21;21;2)2(37 <≤≤− , es cierta la desigualdad
Sustituyamos x = 1 y x = 4, valores que no pertenecen a S, en la inecuación dada originalmente
24;24;2)1(37 <≤≤− Falso
25;25;2)4(37 <≤−≤− Falso
Podemos comprobar que estos valores no satisfacen las desigualdades. Esto nos hace confiar que la solución es correcta.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
72
b) Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto, se tiene:
x215x4 +≤− ⇔ ( ) x215x4x21 +≤−≤+− .
Lo cual equivale a:
i) )x21(5x4 +−≥− ∧ ii) x215x4 +≤−
Al resolver estas dos inecuaciones se obtiene:
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ +∞= ,32Si ∧ ( ]3,Sii ∞−= .
Luego la solución de la inecuación (b) es: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∩= 3,32SSS iii
Se deja como ejercicio la comprobación de esta solución
Podemos aplicar otro método alternativo de solución como la definición de valor absoluto, lo cual nos deberá dar el mismo resultado:
Veamos:
Dado que: x215x4 +≤−
Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que: 05x4x21)5x4()ii05x4x215x4)i <−∧+≤−−∨≥−∧+≤−
Al resolver estas cuatro inecuaciones resulta:
45x
32x)ii
45x3x)i <∧≥∨≥∧≤
Luego Si = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 3,45 ∨ Sii = ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡
45,
32
Así la solución de la inecuación dada es S = Si ∪ Sii = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 3,32
c) Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto, tenemos que:
NÚMEROS REALES
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73
42x42x42x −<−∨>−⇔>−
Lo cual equivale a: i) x > 6 ∨ ii) x < -2
Así la solución de la inecuación dada en (c) es:
S = Si ∪ Sii = ( ) ( )+∞∪−∞− ,62,
Para la comprobación, podemos sustituir x = -1 y x = 6, lo cual deberían hacer falsa la desigualdad. Veamos:
.Falso43;43;42)1( >>−>−−
.Falso44;44;42)6( >>>−
Luego si sustituimos x = -3 y x = 7, debería hacer verdadera la desigualdad. Veamos:
.verdadero45;45;42)3( >>−>−−
.verdadero45;45;42)7( >>>−
Ecuaciones que incluyen radicales
Se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.
Ejemplo: Resolver cada ecuación:
A) 21x −=− B) x2x =+ C) 44xx =++
Solución (A): La ecuación 21x −=− no tiene solución real, ya que no existe ningún valor para x, cuya raíz cuadrada de x -1 sea un valor negativo.
NÚMEROS REALES
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74
Solución (B):
CONCEPTOS:
Ecuación
Radical
Solución de una
ecuación
TRANSFORMACIONES
x2xDada =+ (I)
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación (I) 2x2x =+ , donde se cumple que:
0x02x ≥∧≥+ por definición de radicación
Así,
0x2x02xx 2 ≥∧−≥∧=−−
Buscamos las raíces por la vía de la factorización
0)1x)(2x(2xx 2 =+−=−− de aquí x = 2 y x = -1
Observe que x = 2 y x = -1 están en x ≥ -2, pero
x = -1 no está en x ≥ 0, luego x =2 es la única
solución de x2x =+
Verificación:
Sustituimos x = 2 en la ecuación dada originalmente:
24);2(2)2( ==+ . Verdadero
Observe que para x = -1 no se cumple:
=−=+− 1);1(2)1( -1. Falso
META: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación dada?
EVENTOS:
x2x =+
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Propiedades de:
Valor absoluto
Radicales
NÚMEROS REALES
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75
Solución (C):
g) Inecuaciones que incluyen radicales.
Ejemplo: Resolver las siguientes inecuaciones
CONCEPTOS:
Ecuación cuadrática
Radical
Solución de una
ecuación
Ecuación de la
resolvente
TRANSFORMACIONES
Dada 44xx =++
Primero despejamos el radical:
x44x −=+
Luego, elevamos al cuadrado ambos miembros 2)x4(4x −=+ donde se cumple que:
0x404x ≥−∧≥+ , por definición de
radicación.
Desarrollamos la primera ecuación y resolvemos las
inecuaciones:
4x4xxx8164x 2 ≤∧−≥∧+−=+
Resolvemos la ecuación aplicando la resolvente
Dado que 012x9x 2 =+− , entonces
2339
)1(2)12)(1(4)9()9(
x2 ±
=−−±−−
=
Luego
62,12
339xy33,72
339x ≅−
=≅+
=
Pero la única solución es
62,12
339x ≅−
= cuyo valor satisface a las
desigualdades 0x404x ≥−∧≥+ , es decir
2339x −
= [ ]4,4−∈
Verifica tú mismo esta solución
META: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación dada?
EVENTOS:
44xx =++
PROPIEDADES
Axiomas de cuerpos
Propiedades de:
Desigualdades
Valor absoluto
Radicales
Potenciación
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
76
A) 2x2 <− B) 2x −≥ C) 312x −≤+ D) x2x ≥+
Solución (A):
Para la solución de este de inecuaciones se sugiere que la raíz este despejada totalmente para luego proceder a aplicar la propiedad 9 de las desigualdades, que es la permite elevar al cuadrado los miembros siempre y cuando estos sean positivos.
En este caso, elevamos al cuadrado y resulta:
2- x < 4; de donde 2 – x ≥ 0 por def. Radicación
Así, 2- x < 4; esto es x > -2
Luego la solución de la inecuación 2x2 <− estaría dada por:
{ } [ ]2,22x2x/x −=≤∧−>
Solución (B).
Dado que 2x −≥ , donde uno de sus miembros es negativo, no se puede aplicar la propiedad 9 de las desigualdades, por lo tanto la solución dependería de x ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de un número siempre da un valor positivo y en este caso siempre será mayor que -2.
Por lo tanto, la solución de 2x −≥ , es { } [ )+∞=≥ ,00x/x
Solución ©.
En este caso, tampoco podemos elevar al cuadrado, pero observe que la raíz cuadrada produce un número positivo 0 cero, por lo tanto no existe ningún x que al sustituir en el radicando de
un valor menor que -3, así se concluye que la inecuación 312x −≤+ no tiene solución.
Solución (D).
Para la inecuación x2x ≥+ se plantearían dos soluciones:
Caso 1. Cuando x≥ 0
Por lo que se puede elevar al cuadrado ambos miembros (propiedad 9 de las desigualdades)
02x2x2x ≥+∧≥+ Por def. Radicación
Luego la solución 1 estaría dada por { }0x02x2x2x/x ≥∧≥+∧≥+
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
77
2x2x ≥+ ; 02x2x ≤−− ; ( )( ) 01x2x ≤+− ; de aquí x [ ]1,2−∈ verifícalo
2x;02x −≥≥+ ; x [ )+∞−∈ ,2
[ )+∞∈≥ ,0x;0x
Representemos las tres soluciones gráficamente
Podemos observar geométricamente que las tres soluciones se interceptan en el intervalo [ ]1,0
Así concluimos que: { }0x02x2x2x/x ≥∧≥+∧≥+ = [ ]1,0 = Sol.1
Caso 2. Cuando x < 0
En este caso, sabemos que no podemos elevar al cuadrado, pero como la raíz cuadrada nos da un resultado positivo, este será siempre mayor que un número negativo, por lo tanto la solución del caso 2, solo depende de dos condiciones:
x < 0 ∧ 02x ≥+ .
Es decir, Sol.2 = { }0x02x/x <∧≥+ = { }0x2x/x <∧−≥ = [ )0,2−
Luego la solución de la inecuación x2x ≥+ , está dada por
Sol.1 ∪ Sol.2 = [ ]1,0 ∪ [ )0,2− = [ ]1,2−
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
78
EJERCICIOS 1.1
1. Resolver y simplificar a su mínima expresión:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=−
=+
=−
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−−
=−−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−−
−
55202)g
164
8)f
4232)e
154
513
37
65
34
215)d
83
41
34
21)c
421950422)b
8165320)a
33
0
533
32
35
21
2. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:
4z31y2xSi
y3xz
zyx6)c
z5yx2xy)b
yzx4z2xy)a
3
2
22
2
==−=
++
−
+−−
−
+
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( ) 17t22t45 ++=−+ b)3
2x4
1x25 +=
−− c)
33x2
32x3 −+
+=
d) 5x
2525x
x5+
−=+
e) 0t5
t32t
11
9t62t
22t5=−
−−
+−
− f) 32x
6x2
x3=
−+
−
g) 2x23x2 =+ h) 03x102x =−− i) x222x5 =+ j) ( ) 523y2 =−
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
79
4. Racionaliza los denominadores
a) 310
5−
; b) 3 2
5 ; c) yx
yx++ ; d)
bac+
5. Efectúa aplicando los productos notables donde sea posible:
a) 2
22x2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − ; b)
2
3y2x
3
2xy2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− ; c) ( ) ( )22x22x −−+
d) ( ) ( )3yx23yx2 −−+ ; e) ( ) ( ) ( )33x5x2x −++⋅+ 6. Factoriza las siguientes expresiones:
1xx)d1yxy2x)cxx69)b1a4
a)a 222
++−+−+−+−
e) ( ) ( )5xx5xx2 +⋅++⋅ f) 222 z64yx − g) 81x8 3 −
h) 27x3 + i) 322 ab21ab6ba3 +− j) y24y2y 23 −− 7. Efectúa y simplifica a su mínima expresión:
a)
2aaa
1a2
2a2
1a3
2 −−−
+
−−
+ b) 1
n1
m11
n1
m11
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
c)
22
2
2
mnm1
mnnn
−+
−−
d) 22 yxxy2
yxy3
yxx15
−
−+
−−
+
8. Expresar en forma de intervalo los siguientes subconjuntos de números reales y expresarlos en la recta real.
}{{ }{ }{ }7x21x6/Rx)d
0x2x/Rx)c4xe5x3/Rx)b
6x4/Rx)a
<≤∨−≤<−∈≥∨<∈
≤≤∧<≤∈
<≤∈
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
80
9. Efectuar y representar en la recta real las siguientes operaciones con intervalos:
[ ) [ )( ) ( ]( ] [ )( ] [ ]{ } [ ]( ) [ ]{ } [ ]3,52,03,6)e
2,74,12,)d,5,)c
3,0,5)b5,2,1)a
−∩∩−−−∩−∪−∞−
+∞π∩∞−
∪+∞−−∩+∞−
10. Determinar el conjunto solución de cada desigualdad e ilustrarlo en la recta real
5
3x23
1x)a −≥+
− 61
3x4x
21x23)b +
−>−
−−
( ) x532x)c 2 −>− 09x6x)d 2 >++
09x6x2)e 2 ≤++ ( )( ) ( )561xx
3x41xx1x)f 22 +−≥−+−+
06x22x33x)g >−−+ 0x23x)h >
−−
32
1x1x)i ≤
−+ ( )
( ) 3xx1
3x4x32)j 2 +
−≤+
+
11. Resuelve las ecuaciones siguientes.
73x4)a =+ x232x)b −=−
c) 52x2x=
−+ 1x2x4)d 2 =−
23x)e =− 19x316x)f −+=+ 164x7x25)g =+++
12. Determinar el conjunto solución de cada desigualdad e ilustrarlo en la recta real
74x)a <+ x4x23)b −≤+
21
x3x56)c <
+− 1x2x4)d 2 <−
32x)f ≥+ 13x)g −<− x1x2)h <− x33x5)i −≥+
10x2x9x)j 2 +≤−− 12x2x22)k +≥
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
81
EJERCICIOS 1.2 1. Determina si las siguientes proposiciones son ciertas o falsas. Justifica tu respuesta: a) El producto de dos números irracionales es un irracional b) Todo número entero se puede escribir como un decimal periódico. c) Todo número natural en un número entero d) La suma de un número Irracional con un racional es un irracional e) Dado que a < b, entonces a + 2 < b + 2 f) Dado que a < b, entonces 5b < 5a g) Dado que a < b, entonces 5-a > 5-b
h) Dado que a < b, entonces b1
a1<
i) Dado que a < b, entonces (a – b) (b – a) >0 j) Dado que a < b, entonces 22 ba <
k) Si x < 0, entonces ( ) xx 2 −=−
l) Si x > 0, entonces 2xx < m) Si tanto x como y son negativos, entonces yxyx +=+
n) Si x < 5, entonces 5x < 2. Resolver los siguientes problemas: a) Encuentre un número tal que 10 menos que dos tercios del número sea un cuarto del número. b) Encuentre un número tal que 6 más que la mitad del número sea dos tercios del número. c) Encuentre 4 enteros pares consecutivos de manera que la suma de los 3 primeros sea 2 veces mayor que el doble del cuarto. d) Encuentre 3 enteros pares consecutivos tales que el primero más el doble del segundo sea el doble del tercero. e) Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 54 metros, si su longitud es 3 metros menor que el doble de su ancho. f) Un rectángulo de 24 metros de longitud tiene la misma área que un cuadrado que tiene 12 metros de lado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? g) Encuentre el perímetro de un triángulo si uno de sus lados mide 16 pies, otro dos séptimos del perímetro y el tercero un tercio del perímetro. h)) El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? i) Un padre es 22 años mayor que su hijo. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre supera en más de 6 años a doble de la edad de su hijo. j) Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación
( ) ( ) 010mx2m22mx =−−+− para que sus soluciones sean reales.
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
82
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
EJERCICIOS 1.1.
(1.a) 9
151 (1.b) 31 (1.c) 41 (1.d)
528 (1.e)
4325 − (1.f) 3 26 (1.g) 53
(2.a) 11514 (2.b) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
32492 (2.c)
661−
(3.a) t =9 (3.b) x = 755 (3.c) x =
310 (3.d) La ecuación no admite solución en R
(3.e) t = -4 (3.f) La ecuación no admite solución en R (3.g) x = 2
102 ± (3.h) x
= 725 ± (3.i) La ecuación no admite solución en R (3.j) y = 2
53±
(4.a) ( )7
3105 + (4.b) 2
3 45 (4.c) ( )( )
yxyxyx
−−+
(4.d) ( )2ba
bac
−
−
(5.a) 4x22x2 24 +− (5.b) 9yx
9yx4
9yx4 243342
+− (5.c) 8x (5.d)
32 y2yx24 + (5.e) 17x34x8x 23 −+− .
(6.a) 2
12a
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − (6.b) ( )23x − (6.c) ( )[ ]( )[ ]1yx1yx +−−− (6.d)
( )1xx2 ++ , por ser un factor cuadrático irreducible
(6.e) ( )( )5x1xx ++ (6.f) ( )( )z8xyz8xy +− (6.g) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
41xx4
21x2 2
(6.h) ( )( )9x3x3x 2 +−+ (6.i) 3ab ( )2b7b2a +− (6.j) ( )( )4y6yy +−
(7.a) 4a8a
−− (7.b)
mnmnmnmn
+−++ (7.c) ( )
nmnm +− (7.d) 22
22
yxxy20y3x15
−
−−
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
83
Respuesta Intervalo Gráfica (8.a) [ )6,4
(8.b) [ ]4,e
(8.c) R
(8.d) ( ] [ )7,21,6 ∪−−
(9.a)
[ )5,1−
(9.b) ( )+∞− ,5
(9.c)
φ
(9.d) [ ] [ ]2,12,7 −∪−−
(9.e) φ
(10.a) [ )+∞− ,17 (10.b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−
56, (10.c) R (10.d) ( ) ( )+∞−∪−∞− ,33, (10.e) φ
(10.f) ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −
∞−53, (10.g) ( ) ( )+∞∪−− ,22,3 (10.h) ( )3,2 (10.i) [ )5,1−
(10.j) ( ) ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−∪−∞−
31,33,
(11.a)⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
25,1 (11.b)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
35,1 (11.c)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
34,3 (11.d)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
±±261,
221 (11.e){ }7 (11.f){ }9 (11.g){ }3
(12.a) ( )3,11− (12.b) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
31,7 (12.c) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
35,
119
NÚMEROS REALES
CAPÍTULO II Esther Morales
84
(12.d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∪⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
261,
221
221,
261
(12.f) [ )+∞,7 (12.g) φ (12.h) R-{ }1 (12.i) ⎟⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡ +−2
9711,2
9711
(12.j) [ )+∞∪⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −− ,90,6
120149 (12.k) [ )+∞,2
EJERCICIOS 1.2. (1.a) F (1.b) V (1.c) V (1.d) V (1.e) V (1.f) F (1.g) F (1.h) F (1.i) F (1.j) F (1.k) V (1.l) F (1.m) V (1.n) F
(2.a) 11
120 (2.b) 36 (2.c) -18, -16, -14 y -12 (2.d) 4, 6 y 8 (2.e) 10 y 17 (2.f) 6
(2.g) 42 (2.h) 7 y 8 (2.i) 2m1m ≥∨≤