CAPITULO IV

Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales

CAPITULO IV

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.1- INTRODUCCIÓN

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En este capitulo veremos algunos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales. El problema a resolver es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas de la forma

donde: nxxxx ,...,,, 321

bAx =

nnnnn

n

n

aaaa

aaaaaaaa

A

.......

...

...

321

2232221

1131211

=

nx

xx

x.2

1

=

nb

bb

b.2

1

=

Hay dos grupos de métodos de resolución: los métodos directos los métodos iterativos o aproximados. 4.2 – MÉTODOS DIRECTOS Son aquellos que dan los valores exactos, (sin errores de redondeo) caso exista. De estos métodos tenemos: la Regla de Cramer, el método de Eliminación de Gauss y el método de Descomposición LU 4.2.1- Regla de Kramer: que aplicada a la solución de un sistema ; implica en calcular

determinantes de orden . nn×

1+n n 4.2.2- Método de Eliminación de Gauss El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar el sistema lineal en un sistema lineal equivalente donde la matriz de los coeficientes es triangular superior. El método de basa en tres operaciones permitidas que no cambian la solución del sistema:

a) – Una ecuación puede multiplicarse por una constante diferente de cero. b) – Una ecuación puede ser sustituida por una combinación lineal de ella con otra. c) – Se puede intercambiar ecuaciones.

El resultado de la transformación, por lo tanto será una matriz triangular superior, del tipo:

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxaxabxaxaxaxa

=

=+++=+++

.............

22323222

11313212111

donde la resolución será de atrás hacia delante, calculamos nn

nn a

bx =

)1(),1(

),1(11

−−

−−−

−=

nn

nnnnn a

xabx , así sucesivamente:

Ing Hugo Franco Paats 51

Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales

hasta; 11

131321211

...a

xaxaxabx nn−−−−=

4.2.2.1 – Algoritmo Dado un sistema triangular superior nn× con elementos con elementos de la diagonal de la matriz A no nulos, las variables son obtenidas por: nxxxx ,...,,, 321

nn

nn a

bx =

de a 1; haga: 1−= nk

kk

n

kjjjkk

k a

xabx

,

1,∑

+=

−=

fin Descripción del Método Consideremos que la matriz de los coeficientes A tiene su determinante diferente a cero, también llamaremos de etapa k del proceso de eliminar la variable de la ecuación kx nkk ,...,2,1 ++

coeficiente de la línea i , columna )(,kjia j al final de la etapa k

coeficiente de la línea i en la etapa )(kib k

Se toma la matriz de los coeficientes A ampliada

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaabaaaa

|...:::::

|...|...

321

22232221

11131211

⇒

)0()0()0(3

)0(2

)0(1

)0(2

)0(2

)0(23

)0(22

)0(21

)0(1

)0(1

)0(13

)0(12

)0(11

|...:::::

|...|...

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaabaaaa

= )0(A

Etapa (1) ( ) 1=k• el elemento es llamado de pívot de la etapa (1) (asumimos que ) )0(

11a 0)0(11 ≠a

• los elementos )0(11

)0(1

1 aa

m ii = son los multiplicadores de la etapa (1) ni ,...,3,2=∀

• eliminamos las variables de las ecuaciones 2, 3, ..., , sustituyendo la ésima línea por ella misma,

menos la primera ecuación (línea) multiplicada por . 1x n −i

1imAl final de la etapa (1) tendremos:

)1()1()1(3

)1(2

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

)1(1

)1(1

)1(13

)1(12

)1(11

|...0:::::

|...0|...

nnnnn

n

n

baaa

baaabaaaa

)1(A=

donde ; njaa jj ,...,2,1)0(

1)1(

1 =∀=52 Ing Hugo Franco Paats


nibmbb

njni

amaa

bb

iii

jiijij

,...,3,2;

,...,2,1,...,3,2

;

;

)0(11

)0()1(

)0(11

)0()1(

)0(1

)1(1

=∀×−=⎩⎨⎧

==

∀×−=

=

Etapa (2) (k = 2) • pívot )1(

22a

• multiplicadores )1(22

)1(2

2 aa

m ii = ni ,...,4,3=∀

• eliminamos la variable de la línea 3 y queda: 2x

)2()2()2(3

)2(2

)2(2

)2(23

)2(22

)2(1

)2(1

)2(13

)2(12

)2(11

|...00:::::

|...0|...

nnnn

n

n

baa

baaabaaaa

donde:

nibmbb

njni

amaa

ibb

nji

aa

iiii

jiijij

ii

ijij

,...,4,3

,...,3,2,...,4,3

;2,1

,....,2,12,1

)1(2

)1()2(

)1(22

)1()2(

)1()2(

)1()2(

=⇒×−=⎩⎨⎧

==

∀×−=

=⇒=⎩⎨⎧

==

∀=

y así sucesivamente, por último tenemos la matriz triangular superior, equivalente a la matriz original A


)1()1(

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

)1(1

)1(1

)1(13

)1(12

)1(11

|...000:::::

|...0|...

−−

−−−−

−−−−−

nn

nnn

nnn

nn

nnn

nnn

ba

baaabaaaa

( ) ( )11 −− =⇒ nn bxA

4.2.2.2- Algoritmo del Método de eliminación de Gauss Dado un sistema lineal bAx = , siendo y . Suponiendo que 1, ×× nnn xA nnb × 1,...,2,1,0)1( −=∀≠− nka k

kk

Para 1=k hasta 1−n Para 1+= ki hasta n (líneas) →

Calcular: kk

ik

aa

m = ;

;0=ika Para hasta (columnas) 1+= kj n → ;kjijij amaa ×−=

;kii bmbb ×−=


;nn

nn a

bx =

Para hasta 1 1−= nk

kk

n

kjjijk

k a

xabx

∑+=

×−= 1

Fin

Ejemplo 4.1: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método de eliminación de Gauss

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++=++

3234221423

321

321

321

xxxxxxxxx

donde la matriz A de los coeficientes ampliada será

.3234

.2211.1423

)0()0()0()0(

)0()0()0()0(

)0()0()0()0(

−

Etapa k = 1 eliminar 1x• pívot 311 =a

• multiplicadores 31

)0(11

)0(21

21 ==aam

34

)0(11

)0(31

31 ==aa

m la operación en las líneas será: 13133

12122

LmLLLmLL

×−=×−=

y al final de la etapa (1) la matriz de los coeficientes queda

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

35

322

310

35

32

310

.1423

−

Etapa k = 2, eliminar 2x

• pívot 31)1(

22 =a

• multiplicadores 1)1(22

)1(31

31 ==aa

m

haciendo 23233 LmLL ×−= al final de la etapa 2 tenemos que la matriz de los coeficientes es:

)2()2(

)2()2()2(

)2()2()2()2(

080035

32

310

.1423

−

donde la solución es

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−−

=

=−

=

=

⇒

33

0521

53/1

03/50

1

2

3

xx

x

x

y la solución del sistema es -3, 5 y 0 54 Ing Hugo Franco Paats


4.2.3 - Descomposición LU Dado un sistema lineal , el método de solución por descomposición LU consiste en transformar la matriz de los coeficientes A en el producto de dos o más matrices. Si hacemos ; tendremos:

, si llamamos tendremos el sistema original escrito como , resolviendo este sistema y luego podemos resolver .

bAx =ULA .=

bUxL =. yxU =. byL =.yDx =

La ventaja de este método de resolución es que si el vector de los términos independientes b es alterado, la solución se obtiene casi inmediatamente sin necesidad de volver a calcular todo de nuevo. La matriz L es triangular inferior con diagonal unitaria y la matriz U es una matriz triangular superior. 4.2.3.1- Cálculo de los factores LU Como obtener las matrices L y U veremos a través de un sistema 3x3. Para el efecto aplicamos el método de eliminación de Gauss.

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

=++=++=++

trabajando solamente con la matriz de los coeficientes

Aaaaaaaaaa

A ==)0(

33)0(

32)0(

31

)0(23

)0(22

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

)0( . pivot , multiplicadores: )0(11a

)0(11

)0(21

31

)0(11

)0(21

21

aam

aa

m

=

=

Para eliminar de al linea hacemos: 1x 3,2=i)0(

1)0()1(

jijijij amaa −= donde y quedando para 3,2=i 3,2,1=j )0(1

)1(1 jj aa = 3,2,1=j

Estas operaciones equivalen a multiplicar la matriz por la matriz )0(A )0(M , donde

1001001

31

21)0(

mmM

−−=

⇒ )0(

33)0(

32)0(

31

)0(23

)0(22

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

31

21)0()0( .

1001001

aaaaaaaaa

mmAM

−−= = =

−−−−−−

)0(3331

)0(33

)0(1231

)0(32

)0(1131

)0(31

)0(2321

)0(23

)0(1221

)0(22

)0(1121

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

amaamaamaamaamaama

aaa

)1(

)1(33

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

00. A

aaaaaaa

==

Por lo tanto )1()0()0( AAM = es la matriz obtenida de la primera etapa del proceso de eliminación de Gauss. Para la segunda etapa las operaciones de eliminar la variable es equivalente a multiplicar la matriz 2x



10010001

32

)1(

mM

−= por

)1(33

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

)1(

00.

aaaaaaa

A = y que es igual a

)2(

)1(2332

)1(33

)1(2232

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

00. A

amaamaaaaaa

=−−

=

Por lo tanto )2()1()1( AAM = que es la misma matriz obtenida en la segunda etapa del proceso de eliminación de Gauss. Tenemos entonces que:

AA =)0( y que )1()0()0()0( AAMAM == ; AMMAMA )0()1()1()1()2( ==

donde es triangular superior. Entonces: )2(A [ ] [ ] [ ] )2(1)0(1)1()2(1)0()1( AMMAMMA −−−==

como [ ]1001001

31

211)0(

mmM =

− y [ ]

10010001

23

1)1(

mM =

− entonces [ ] [ ]

101001

3231

211)0(1)1(

mmmMM =

−−

y LUaaaaaa

mmmA ==

)2(33

)2(23

)2(22

)2(13

)2(12

)2(11

3231

21

000

101001

donde

101001

3231

21

mmmL = y

)2(33

)2(23

)2(22

)2(13

)2(12

)2(11

000.

aaaaaa

U =

Ejemplo 4.2: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método LU

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++=++

3234221423

321

321

321

xxxxxxxxx

donde la matriz A de los coeficientes es: )0()0()0(

)0()0()0(

)0()0()0(

234211423

−

Etapa k = 1 eliminar 1x• pívot 311 =a

• multiplicadores 31

)0(11

)0(21

21 ==aam

34

)0(11

)0(31

31 ==aa

m

3/103/103/23/10

423

− donde la matriz LU se pueden almacenar en una misma matriz

56 Ing Hugo Franco Paats


3/103/13/43/23/13/1

423)1(

−=A

pívot 31)1(

22 =a

multiplicadores 1)1(22

)1(31

31 ==aa

m

413/43/23/13/1

423)2(

−=A Por tanto:

113/4013/1001

=L y la matriz

4003/23/10

423

−=U . Resolviendo bLy =

321

113/4013/1001

3

2

1

=yyy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−==−=

=⇒

03/53/433/53/12

1

3

2

1

yyy

para obtener x resolvemos yUx =

03/5

1

4003/23/10

423

3

2

1

=− x

xx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=×−

=

==

=

⇒

33

521

53/13/5

0

1

2

3

x

x

x

la solución del sistema es

05

3−=x

Ejercicio: Dado el siguiente sistema lineal, resolver utilizando el método LU, y muestre los valores de las matrices L y U

234322

943

31

321

321

−=−=++=+−

xxxxx

xxx

4.2.4 – Pivoteamiento parcial Los métodos directos presentan un inconveniente cuando el pívot, en el proceso de eliminación, es igual a cero. Para evitar la división por cero, se utiliza la técnica del pivoteamiento que consiste en comparar todos los elementos de la columna donde se encuentra el pívot. Se elije el mayor elemento en módulo y lo llevamos como pívot por medio del intercambio de filas, entre aquella que tiene el pívot y la que posee el mayor elemento. Este proceso se repite en cada etapa del proceso de eliminación y además minimiza los errores de redondeo que se propagan el a través de las operaciones.



4.3 – MÉTODOS ITERATIVOS Si bien los métodos directos dan la solución teórica, no siempre se pueden aplicar. Para ver la razón consideremos las fuentes de error. El error inherente, de momento lo podemos despreciar. El error de truncamiento es 0. El error de redondeo esencialmente depende del número de cálculos. Mientras mayor sea el número de ecuaciones, se requieren más operaciones y por lo tanto existiría más error de redondeo. En pocas palabras, si el numero de ecuaciones es grande el error de redondeo puede crecer tanto, que puede invalidar la solución. En la practica no es raro usar cientos ó a un miles de ecuaciones. Por esta razón, se crearon los métodos iterativos. Estos son esencialmente inmunes al redondeo. Los sistemas lineales de grande porte en general poseen un gran porcentaje de ceros en la matriz de los coeficientes. Para estos sistemas el método de eliminación de Gauss no es aconsejable, dado que durante el proceso de eliminación muchos elementos nulos pasaran a ser no-nulos. Los métodos iterativos consisten en algoritmos simples para convertir cualquier vector en otro

que depende de ,

)(kx)1( +kx )(kx A y , y preserva la característica de b A , dado que los coeficientes de A no son

alterados. La idea central de los métodos iterativos es generalizar el método iterativo lineal, utilizado en la búsqueda de raíces de una ecuación, visto en el capítulo II. Dado el sistema lineal , es convertido en un sistema similar del tipo bAx = )(xgCxx ϕ=+= Donde C es una matriz nn× ; es un vector g 1×n

Entonces gCxx +=)(ϕ es la función de iteración en forma matricial. El método parte de , llamado de valor inicial (vector), y va calculando otros vectores llamados de vectores de aproximación a la raiz:

)0(x

);( )0()0()1( xgCxx ϕ=+= primera aproximación;

);( )1()1()2( xgCxx ϕ=+= Segunda aproximación….

De forma genérica )( )()()1( kkk xgCxx ϕ=+=+

4.3.1- Criterio de parada El criterio de parada comúnmente usado por los métodos iterativos, consiste en medir cuan próximo esta de . Calculamos )1( +kx )(kx nixxM k

ik

ik ,...,1;max )()1()1( =∀−= ++

Dada una precisión ε , e vector será elegido como solución aproximada si )(kx ε<+ )1(kM . Es más conveniente utilizar como criterio de parada el tes del error relativo

)1(

)1()1(

+

++ =

ki

kk

R xmáxMM ;∀ ni ≤≤1

Otro criterio de parada es el máximo número de iteraciones k

4.3.2 – Método Iterativo de Gauss-Jacobi La forma como el método de Gauss-Jacobi transforma el sistema lineal en bAx = gCxx += es el siguiente:

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

=+++

=+++=+++

......:::

......

332211

22323222121

11313212111


Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales Suponiendo que 0≠kka nk ,...,2,1=∀ y despejando x , tenenmos:

[ ]

[ ]

[ ]nnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

1,2211

2323121222

2

1313212111

1

...1:

...1

...1

−−−−−=

−−−−=

−−−−=

Entonces; de tenemos que: gCxx +=

0:....:0::

...0

...0

.

21

22

2

22

23

22

11

11

1

33

13

11

12

nn

n

nn

n

n

n

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

C

−−

−−−

−−−

= ;

nn

n

ab

abab

g

:

22

2

11

1

:.=

El método de Gauss-Jacobi consiste en que dado un vector de aproximación inicial , obtenemos

a través de la relación recursiva . Entonces

)0(x)()2()1( ,...,, kxxx gCxx kk +=+ )()1( gCxx +=)(ϕ es una función

en forma matricial. La forma general para la función recursiva está dada por:

[ ]

[ ]

[ ])(11,

)(22

)(11

)1(

)(2

)(323

)(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

...1:

...1

...1

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

−−+

+

+

−−−−=

−−−−=

−−−−=

Ejemplo 4.3 Resuelve el siguiente sistema lineal, utilizando el método de Gauss-Jacobi

siendo vector inicial⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=++=++

6103285

7210

321

321

321

xxxxxxxxx

6,06,1

7,0)0( −=x y una tolerancia del error 05,0≤ε

El proceso recursivo de Gauss-Jacobi será:



( )

( )

( ))(2

)(1

)1(3

)(3

)(1

)1(2

)(3

)(2

)1(1

326101

851

27101

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

−−=

−−−=

−−=

+

+

+

Para 0=k

( )

( )

( ) 94,0)6,1(37,026101

86.16,07,0851

96,06,0)6,1(27101

)1(3

)1(2

)1(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−

=+−=−

=−=−

324,06,094,0

16,06,186,1

96,07,096,0

)0(3

)1(3

)0(3

)1(2

)0(1

)1(1

xx

xx

xx

34,0)1( =M y ε>===⇒ 1828,086,134,0

)1(

)1()1(

iR xmáx

MM

Para 1=k

( )

( )

( ) 966,0)86,1(396,026101

98,194,096,0851

978,094,0)86,1(27101

)2(3

)2(2

)2(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−

=+−=−

=−=−

324,094,0966,0

12,086,198,1

018,096,0978,0

)1(3

)2(3

)1(3

)2(2

)1(1

)2(1

xx

xx

xx

12,0)2( =M y ε>= 0606,098,112,0)2(

RM

Para 2=k

( )

( )

( ) 9984,0)98,1(3978,026101

9888,1966,0978,0851

9994,0966,0)98,1(27101

)3(3

)3(2

)3(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−

=+−=−

=−=−

0324,0966,09984,0

00888,098,19888,1

0214,0978,09994,0

)2(3

)3(3

)2(3

)3(2

)2(1

)3(1

xx

xx

xx

0324,3)3( =M y ε<== 0163,09888,10324,0)3(

RM y el proceso de cálculo para

por lo tanto el vector solución es

9984,09888,1

9994,0−=x


Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales 4.3.3 – Criterio de Convergencia para los Métodos Iterativos El siguiente teorema establece una condición suficiente para la convergencia del método de Gauss-Jacobi. Teorema: (Criterio de las Líneas) Dado un sistema lineal bAx = , y considerando

kk

n

kjj

kj

k a

a∑≠=

=1

α Si 1. <= kmáxαα nk ≤≤∀1 , entonces el método de Gauss-Jacobi

genera una secuencia { })(kkx convergente a la solución del sistema, independientemente de la elección de la

aproximación inicial . )0(x

Ejemplo 4.4 – Dado el siguiente sistema lineal, haz un estudio para la convergencia para la aplicación del método de Gauss-Jacobi.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=++=++

6103285

7210

321

321

321

xxxxxxxxx

5,010

32

4,05

11

3,010

12

3

2

1

=+

=

=+

=

=+

=

α

α

α

15,0. 3 <=== ααα kmáx

Por el criterio de las líneas tenemos asegurada la convergencia para el método de Gauss-Jacobi, para cualquier valor inicial.

4.3.4 – Método Iterativo de Gauss-Seidel Análogamente al método de Gauss-Jacobi, en el método de Gauss-Seidel, el sistema lineal bAx = es escrito en la forma equivalente . El proceso consiste en que, partiendo de una aproximación inicial

a la solución , calcula por medio del proceso recursivo:

gCxx +=)0(x )()2()1( ,...,, kxxx

[ ]

[ ]

[ ])1(11,

)1(22

)1(11

)1(

)(2

)(323

)1(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

...1:

...1

...1

+−−

+++

++

+

−−−−=

−−−−=

−−−−=

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x



Entonces el proceso de Gauss-Seidel, en el momento de calcular usamos todos los valores de

que ya fueron calculados.

)1( +kjx

)1(1

)1(2

)1(1 ,...,, +

−++ k

jkk xxx

Ejemplo 4.5 – Resuelve el siguiente sistema lineal por Gauss-Seidel, y una tolerancia del error

0)0( =x2105 −×<ε

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

063364355

321

321

321

xxxxxxxxx

Proceso iterativo:

( )

( )

( ))1(2

)1(1

)1(3

)(3

)1(1

)1(2

)(3

)(2

)1(1

33061

3641

551

+++

++

+

−−=

−−=

−−=

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

Para 0=k

( )

( )

( ) 875,0)75,0(3)1(3061

75,00)1(3641

10)0(2551

)1(3

)1(2

)1(1

−=−−=

=−−=

=−−=

x

x

x

tes de parada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=−

=−=−

=−=−

875,0875,00

75,075,00

110

)0(3

)1(3

)0(3

)1(2

)0(1

)1(1

xx

xx

xx

1)1( =M y ε>===⇒ 111

)1(

)10)1(

iR xmáx

MM

Para 1=k

( )

( )

( ) 9875,0)95,0(3)025,1(3061

95,0)875,0()025,1(3641

025,1)875,0()75,0(2551

)2(3

)2(2

)2(1

−=−−=

=−−−=

=−−−=

x

x

x

parada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−

=−=−

=−=−

1125,0875,009875

2,075,095,0

025,01025,1

)1(3

)2(3

)1(3

)2(2

)1(1

)2(1

xx

xx

xx

2,0)2( =M y ε>== 19,0025,1

2,0)2(RM

Para 2=k



( )

( )

( ) 9993,0)9912,0(3)0075,1(3061

9912,0)9875,0()0075,1(3641

0075,1)9875,0()95,0(2551

)3(3

)3(2

)3(1

−=−−=

=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

=−

0118,0

0412,0

0175,0

)2(3

)3(3

)2(3

)3(2

)2(1

)3(1

xx

xx

xx

0412,0)3( =M y ε<== 0408,00075,10412,0)3(

RM

por lo tanto el vector solución es

9993,09912,00075,1

−=x

4.3.5 – Criterio de Convergencia para Gauss-Seidel El criterio de las líneas visto en el método de Gauss-Jacobi puede ser aplicado para el método de Gauss-Seidel. Si no cumple con este criterio, aún se puede aplicar el criterio de Sassenfeld, válido solamente para este método.

Criterio de Sassenfeld: definimos como:

jj

jnjjjjjjjj

n

n

a

aaaaa

aaaa

aaaa

++++++=

+++=

+++=

+−− ......

:

...

...

1,11,2211

.

22

2231212

11

112121

ββββ

ββ

β

Sea jnj

máx ββ≤≤

=1

si 1<β entonces, el método de Gauss-Seidel genera una secuencia convergente

para cualquier valor inicial . Además cuando menor sea el valor de )0(x β más rápida será la convergencia al vector solución.

En caso de que no cumplan con los criterios de convergencia, no indica que el método sea divergente, sino que ello dependerá de la elección del valor inicial

Ejemplo 4.6: Verifica la convergencia a la solución del siguiente sistema de ecuaciones, a través del criterio de Sassenfeld, si aplicaramos el método de Gauss-Seidel, ,:

5,22,03,01,012,02,01,0

6,21,02,02,02,014,01,05,0

4321

4321

4321

4321

−=+++=++−−−=−−+=−−+

xxxxxxxxxxxxxxxx

Calculamos los valores de β



2736,01

)358,0(2,0)44,0(3,0)7,0(1,0

358,01

2,0)44,0(2,0)7,0(1,0

44,01

1,02,0)7,0(1,0

7,01

1,01,05,0

4

3

2

1

=++

=

=++

=

=++

=

=++

=

β

β

β

β

17,041

<==≤≤ jj

máxββ

Por lo tanto el método de Gauss-Seidel será convergente independientemente de la elección del valor inicial.

4.4 – SISTEMAS MAL CONDICIONADOS Dado un sistema ,se dice que una matriz A está mal condicionada cuando pequeños cambios en A o b provocan grandes cambios en la solución del sistema. Una circunstancia que suele llevar aparejada la mala condición es que la matriz sea “casi singular” y su determinante sea casi cero. Sin embargo, para detectar el mal condicionamiento, primero es necesario escalar todas las ecuaciones de forma tal que la matriz sea diagonalmente dominante. Otra posible causa es que un sistema de dos ecuaciones corresponde a dos líneas rectas casi paralelas, o en un sistema de tres ecuaciones corresponda a tres planos casi paralelos

bAx =

Ejemplo 4.7:

4,1021.1102

21

21

=+=+

xxxx

Que tiene como solución del sistema 4=x e 3=y , si se modifica ligeramente el coeficiente de de la segunda ecuación por 1,05, el resultado cambia drásticamente a y 1x 81 =x 12 =x . Si

sustituimos estos valores en la ecuación original

8,10)1(2)8(1,110)1(28

=+=+

Por lo tanto, aunque y 81 =x 12 =x no son las soluciones reales al problema original, la prueba del error es casi igual, lo que puede provocar el error al hacer creer que las soluciones son correctas

4.5 – COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS

a) Convergencia: los métodos directos son procesos finitos, es decir, teóricamente se obtiene la solución exacta de cualquier sistema no singular. Los métodos iterativos tienen convergencia asegurada solo bajo ciertas condiciones.

b) Esparcidad de la matriz A. Muchos sistemas lineales poseen la matriz de los coeficientes, esparza, es decir, muchos de sus elementos son nulos. Para estos sistemas no es recomendable adoptar los métodos directos, dado que durante el proceso de triangulación muchos elementos nulos pasan a ser no-nulos. Para estos sistemas se recomienda los métodos iterativos.

c) Número de operaciones. Los métodos directos requieren un número mayor de operaciones aritméticas.


Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales d) Errores de Redondeo.

Lo métodos directos presentan serios problemas de redondeo y que para atenuar este inconveniente se adopta la técnica de pivoteamiento descrita anteriormente. Los métodos iterativos no presentan problemas con el redondeo.

4.6 – EJERCICIOS 4.1- Para el conjunto de ecuaciones

841064135249837

−=+−=−−−=−

zyxzyx

zyx

a) calcula su determinante b) resuelve utilizando la regla de Cramer c) sustituye los resultados en la ecuación original y compruebe los resultados. 4.2- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

9210254680712

321

321

321

=+−−=+−−=−+−

xxxxxx

xxx

a) resuelve por eliminación de Gauss, mostrando todos los pasos b) comprueba los resultados 4.3- Usa el método de eliminación de Gauss, con pivoteamiento parcial para resolver el sistema de ecuaciones

4844462

50133

31

321

32

=+=+−−=−

xxxxxxx

4.4- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

a) por eliminación de Gauss

02326251

10113

=++=++=+−

zyxzyx

zyx

b) por el método L-U 4.5- Analiza los siguientes sistemas con relación al número de soluciones, usando el método de eliminación de Gauss

a) b)

1115646231969

98467523

4321

4321

4321

4321

=+−−=++−−=+−+−=++−

xxxxxxxxxxxxxxxx

925.021.0147.0824.016.011.0712.036.0252.0

321

321

321

=++=++=++

xxxxxxxxx

4.6- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones



323288212516123

321

321

321

=++=++=+−

xxxxxxxxx

a) utilizando a) el método de eliminación de Gauss b) el método iterativo de Gauss-Seidel con ε < 5% c) el método iterativo de Gauss-Jacobi con ε < 5% 4.7- Verifica la convergencia para la solución para los sistemas dados a continuación, utilizando la iteración de Gauss – Seidel. Efectúa tres pasos partiendo de una aproximación inicial de [1, 1, 1].

a) b)

610610610

=++=++=++

zyxzyxzyx

2081051424

=++=−+=++

zyxzyxzyx

4.8- Aplicar Gauss – Seidel (tres iteraciones) a los sistemas del problema anterior partiendo de a)[0, 0, 0] b)[10, 10, 10] compare y haga un comentario (analiza el error en cada iteración). 4.9- Utilizando la ley de Kirchhoff para resolver el circuito siguiente, encuentra las intensidades de la corriente e para los siguientes casos: 21, II 3I

a) 29,23,4,2,1,2,1,1 21654321 ======== VVRRRRRR

b) 38,413,5,1,3,4,2,1 21654321 ======== VVRRRRRR

c) con las mismos valores de R del item 1) pero cambiando 20,10 21 == VV 4.10- Haga un programa que dada una matriz A verifique el criterio de las líneas para la convergencia de los métodos iterativos.

nxn

4.11- Haga un programa que resuelva un sistema de n x n por el método de Gauss – Jacobi 4.12- Repita el problema anterior para el método de Gauss – Seidel 4.13 – Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando uno de los métodos numéricos

235651465222

432

4321

4321

321

=++=+++−=+++=−+

xxxxxxxxxxxxxx


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CAPITULO IV