CAPÍTULO IV

COMBINACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOSEN LA PRODUCCIÓN GANADERA

1. La función de producción.

En el tema precedente se considera una función simple del tipo Y = f(X); no obstan-te en ganadería frecuentemente responden a la expresión Y = f(X1, X2,......, Xn),donde la producción es función del uso de varios factores.

En la actualidad la resolución de una función de "n" factores no entraña gran dificul-tad, mediante el uso de técnicas de programación lineal, e incluso aplicando las ho-jas de cálculo existentes en el mercado (Excel, Quattro Pro, etc), mediante lafunción SOLVER, sin necesidad de acudir a programas de estadística más comple-jos (SAS, BMDP, etc.). En el presente capítulo se estudia por razones didácticas una función con dos fac-tores, del tipo: Y = f(X1, X2). en un proceso de producción homogéneo y con unatecnología fija.

Se puede interpretar que disponemos de una función de producción con varios fac-tores y dos de ellos son variables (caso de los ingredientes de una ración) y esta-mos en un supuesto a corto plazo. Asimismo en el supuesto de que la función sólotenga dos factores y los dos sean variables, el análisis es a largo plazo.

79

Cuando existen dos factores, la función de producción expresa una superficie derespuesta que abarca tres dimensiones. Con el fin de poder mostrar en un gráficobidimensional las funciones de producción, se utilizan las isocuantas. La represen-tación gráfica de la superficie de repuesta y las isocuantas a partir de una funciónY= f(X1, X2), es la que se muestra en la Figura 39.

Figura 39. Representación de la función Y = f(X1, X2).

Curva de producción. Superficie de respuesta.

En la parte derecha de la Figura 39 se obtiene una superficie de respuesta al consi-derar la variable producción Y en el eje de ordenadas y los factores de producción X1, X2 en los dos ejes restantes.

Proyección de Y en X1 y X2. Trasposición de ejes.

80

Los niveles de producción Y1, Y2 e Y3 se proyectan en los ejes X1 y X2, se rota y setraspone la función obteniendo las isocuantas que se muestran a continuación.

Figura 40. Isocuantas de producción.

Se obtiene un conjunto de curvas de nivel, que se denominan isocuantas y repre-sentan todas las posibles combinaciones de diferentes insumos capaces de originarun mismo volumen de producción. Las isocuantas se generan haciendo pasar unaserie de planos paralelos al plano X1X2, a diferentes alturas, por la superficie deproducción. Estas curvas se pueden transferir a la superficie de insumos X1X2.

1.1. Relaciones de sustitución.Se procede, en primer término, a determinar el grado y tipo de relación entre X1 y X2

para generar distintos niveles de Y. Las formas de las isocuantas revelan rápida-mente la intercambiabilidad de los factores utilizados y la posibilidad de sustituciónde los mismos. Las relaciones de sustitución más frecuentes son las siguientes:

a) Sustituciones perfectas.

Las líneas rectas (Figura 41a) expresan sustitucionesperfectas, en las que la elevación en el uso de un factoren perjuicio del otro no incrementa ni disminuye la canti-dad producida. La empresa puede utilizar indistintamen-te un factor u otro., responden a la expresión:

Y = f(X1, X2)= X1 + X2

En el caso del cebo de corderos pueden sustituirse dosmarcas de pienso de engorde de primera edad para conseguir un lechón de 20 kg;

81

Factor X1

Fac

tor

X2

Figura 41. Isocuantas (a).

3Y

2Y

1Y

Tasa constantede sustitución = -1

según Y = X1+ X2 . Es indiferente que tipo de pienso aporto, sólo importan los kgconsumidos y el peso final obtenido.

La característica más relevante de los factores sustitutivos es que las curvas depreferencia (isocuantas) presentan una pendiente constante.

b) Proporciones fijas.

La imposibilidad de sustitución genera curvas en ángulos rectos (Figura 41b) yaque se requiere un cierto nivel mínimo de cada factorpara generar el producto. Se dispone de este tipo detecnología cuando los factores de producción se combi-nan en la misma proporción. Las proporciones son fijasy no necesariamente 1:1 como en caso de los factorescon sustituciones perfectas.

Y = f(X1, X2)= min {X1, X2}

Supongamos que disponemos de un rebaño de ovejas yestablecemos un sistema de sincronización de celos ymonta dirigida, sabemos tras múltiples experiencias que

a cada lote de 20 ovejas hay que ponerle un morueco para obtener un porcentajede fertilidad del 85%. De nada sirve aumentar el número de machos porque se ori-ginan problemas de territorialidad y dominancia ni modificar el número de hembrascon los consiguientes problemas de manejo. Por lo tanto el porcentaje de fertilidadva a depender del mínimo número de machos y hembras disponible y se expresadel siguiente modo: % fertilidad = min ( ovejas, machos) Lo mismo ocurre con elaporte de oligoelementos, niveles de dosis medicamentosas, o con los sustitutivoslácteos.

c) Sustituciones Coob-Douglas.La más frecuente de las isocuantas en ganadería sonlas curvas Coob-Douglas (Figura 41c) en las que losfactores se sustituyen entre si pero el reemplazo noes perfecto. Estos intercambios normalmente se ajus-tan a la ley de rendimientos decrecientes y a medidaque se incrementa el consumo de un factor, es menorel crecimiento del producto.

Responden a la expresión:Y = f(X1, X2)= aX1

b, X2c

Donde:

82

3Y

2Y

1Y

Fac

tor

X2

Factor X1

Figura 41. Isocuantas (b).

Factor X1

Fac

tor

X2

Figura 41. Isocuantas (c).

3Y

2Y

1Y

"a" es la escala de producción y mide la cantidad que se puede generar si se utilizauna unidad de X1 y una unidad de X2. "b" y "c" son parámetros que miden la sensibilidad de la producción ante variacio-nes de los factores, cuantifican la respuesta productiva.

Las isocuantas generalmente son convexas hacia el origen y la forma clásica de re-presentación significa infinitas posibilidades de sustituciones entre factores paraobtener un determinado nivel de producción; caso de los ingredientes de una raciónpara obtener un cerdo o un pollo de un determinado peso. Esta decisión de combi-nación de factores es de gran repercusión económica en la empresa ganadera y seaborda mediante la teoría económica.

2. La función de producción de dos factores (X1, X2).

La cuestión a resolver es la determinación de la combinación óptima de ambos fac-tores X1 y X2 para un nivel dado de producción. El problema es de carácter econó-mico, puesto que el nivel económico de una producción depende de la forma en laque se han combinado los factores variables y la combinación óptima de factoresdepende del nivel de producción deseado. La determinación del objetivo exige dosetapas:

- Determinar la combinación de factores a mínimo coste para cada nivel deproducción. - Determinar el nivel de producción que genera el de máximo beneficio en la em-presa ganadera.

Existen en la empresa ganadera infinidad de situaciones de combinación de facto-res para conseguir una nivel de producción a coste mínimo, que pueden ilustrar so-bre la primera etapa señalada anteriormente:

- Alimentación del ganado en intensivo. - Combinación de una ración rica en proteínas y calorías por otra con diferentesproporciones calórico proteicas. - Sustitución de un animal por otro o la combinación de dos animales distintos.

2.1. Rendimientos de escala.A partir de una función de producción de sustitución Coob-Douglas dependiente dedos factores; tanto si es de tipo continuo como discontinuo, se pueden desarrollarunas reflexiones de gran repercusión económica en la empresa pecuaria.

Y = a X1b * X2

c

se estructuran del siguiente modo:a. Rendimientos constantes de escala: Un incremento proporcional de ambosfactores produce un incremento del producto en la misma proporción.

83

La homogeneidad de grado es igual a uno: [b+c=1] Cuando se modifican pro-porcionalmente todos los factores, la producción cambia en la misma proporción.

b. Rendimientos decrecientes de escala respeto al factor modificado. Si unfactor se mantiene constante y el otro aumenta, el incremento del producto esdecreciente.La homogeneidad de grado es inferior a uno: [b+c <1] Cuando se modifican pro-porcionalmente todos los factores, la producción cambia en menor proporción.

c. Rendimientos de escala crecientes respecto al factor que se incrementa. Sepuede mantener la producción con el aumento de uno de los recursos y la dismi-nución del otro. La homogeneidad de grado es superior a uno: [b+c >1] Cuando se modificanproporcionalmente todos los factores, la producción cambia en mayor proporción.

Estos enunciados se observan prácticamente en los datos tomados respecto al en-gorde de pollos, que corresponden a una función discontinua. Donde se muestrandistintos consumos de proteínas y calorías que permitan producir pollos de ocho se-manas de edad y con distintos pesos finales (Tabla X).

Tabla X. Consumo de proteínas (gr.) y calorías.

a. En el supuesto de rendimientos constantes de escala se observa en la TablaXI que para un valor de proteínas ( X1) de 630 gr. y un nivel de energía (X2) de6000 calorías se obtiene un pollo de ocho semanas con un peso (Y) de 1325 gra-mos. Al aumentar ambas variables en un 9% aproximadamente (Tabla XI), seobtiene:

Cal\prot. 550 570 600 630 670 690 750

4.600 1.280

5.000 1.450

5.500 1.280 1.325

6.000 1.325 1.450 1.386

6.300

6.500 1.325 1.450

6.700 1.386

6.900 1.325

7.200 1.450

84

De X1= 630 se pasa a X1= 690; lo que supone un incremento del 9,52%.(690-630)/630= 9,52%

De X2= 6000 se pasa a X2= 6500; lo que supone un incremento del 8,33%.(6500-6000)/6000= 8,33%

De Y= 1325 se pasa a Y= 1450; lo que supone un incremento del 9,43%.

Tabla XI. Consumo de proteínas (gr.) y calorías.

b. En el caso de rendimientos decrecientes de escala (Tabla XII) para un valorde X1= 630 y X2=6000, se obtiene un pollo de Y= 1325 gramos. Si se mantiene fijoel consumo de proteínas y se aumentan las calorías al valor de 7200, el nuevo valorde Y es de 1450 (Tabla V).

De X1= 630 se pasa a X1= 630;

De X2= 6000 se pasa a X2= 7200; lo que supone un incremento del 20%.

De Y= 1325 se pasa a Y= 1450; lo que supone un incremento del 9,43%.

Dado que la elasticidad (porcentaje de cambio de Y, cuando el factor se modifica enun 1%).

e = 9,43/20 = 0,47.

85

Cal\prot. 550 570 600 630 670 690 750

4.600 1.280

5.000 1.450

5.500 1.280 1.325

6.000 1.325 1.450 1.386

6.300

6.500 1.325 1.450

6.700 1.386

6.900 1.325

7.200 1.450

Al ser la elasticidad inferior a uno, indica que la producción se sitúa en zona de ren-dimientos decrecientes.

Tabla XII. Consumo de proteínas (gr.) y calorías.

Asimismo se puede obtener un peso vivo de Y=1450g con distintas combinacionesde proteína y energía (Tabla XIII); es decir, aumentando el consumo proteico y dis-minuyendo el aporte calórico, del siguiente modo:

Tabla XIII. Consumo de proteínas (gr.) y calorías.

86

Cal\prot. 550 570 600 630 670 690 750

4.600 1.280

5.000 1.450

5.500 1.280 1.325

6.000 1.325 1.450 1.386

6.300

6.500 1.325 1.450

6.700 1.386

6.900 1.325

7.200 1.450

Cal\prot. 550 570 600 630 670 690 750

4.600 1.280

5.000 1.450

5.500 1.280 1.325

6.000 1.325 1.450 1.386

6.300

6.500 1.325 1.450

6.700 1.386

6.900 1.325

7.200 1.450

c. En el caso de rendimientos crecientes de escala (Tabla XIV) el peso del pollocrece a más velocidad (se pasa de 1325 a 1450 gr) que los factores.

De X1= 670 se pasa a X1= 690; lo que supone un incremento del 2,98%. De X2= 5500 se pasa a X2= 6000; lo que supone un incremento del 9,1%.De Y= 1325 se pasa a Y= 1450; lo que supone un incremento del 9,43%.La elasticidad respecto a X1 es: e= 9,43/2,98= 3,10

Tabla XIII. Consumo de proteínas (gr.) y calorías.

En este caso de rendimientos crecientes el producto se genera a más velocidad(9,423) que el incremento del consumo de proteínas (2,98). Lo que significa quehay rendimientos crecientes respecto a este factor. Asimismo la elasticidad es su-perior a 1; es decir la producción se sitúa en la Zona I de rendimientos crecientesrespecto a la proteína y en consecuencia es una zona de irracionalidad económicapara la toma de decisiones.

2.2. Tasa y elasticidad de sustitución.Las isocuantas representan gráficamente las diferentes combinaciones de los facto-res para obtener un nivel de producción. De acuerdo al ejemplo de los pollos de en-gorde, se pueden producir 1.325g. con distintas combinaciones de energía yproteínas (Figura 42).

A la razón en que se sustituyen ambos factores, en un intervalo, para generar lamisma producción se le denomina Tasa de Sustitución; es decir, la cantidad quedisminuye X2 por cada unidad que se reduce X1, o viceversa, aunque en la mismaisocuanta.

∆∆X1/∆∆X2 ó ∆∆X2/∆∆X1

87

Cal\prot. 550 570 600 630 670 690 750

4.600 1.280

5.000 1.450

5.500 1.280 1.325

6.000 1.325 1.450 1.386

6.300

6.500 1.325 1.450

6.700 1.386

6.900 1.325

7.200 1.450

Figura 42. Isocuanta de producción.

Asimismo se define la Elasticidad de Sustitución, como el porcentaje de cambiode un factor cuando el otro se modifica en 1%, esto es:

[∆∆X1/X1 ] / [∆∆X2/X2]

La tasa de sustitución, en el caso ejemplo de los pollos de carne, para la isocuanta(curva de nivel) de 1325 g. de peso vivo es la siguiente:

Tabla XV. Tasa de sustitución para Y=1325 g.

La quinta columna expresa un aumento de la variable X1 por cada unidad de lavariable X2 que se disminuya.

En la sexta columna se indica la disminución de la variable X2 por cada unidadque se incremente X1

La elasticidad de sustitución en el primer intervalo es:

[(570-550)/550]:[(6500-6900)/6900] = -0,6272

5400

5600

5800

6000

6200

6400

6600

6800

7000

Cal

oría

s

540 560 580 600 620 640 660 680 Proteinas

Y = 1325 g.

X1 X2 ∆∆X1 ∆∆X2 ∆∆X1/∆∆X2 ∆∆X2/∆∆X1

550 6.900 --- --- --- ---

570 6.500 20 (400) (0,05) (20)

630 6.000 60 (500) (0,12) (8,33)

670 5.500 40 (500) (0,08) (12,5)

88

siendo su significado que una disminución del 1% en la variable X2 significa un au-mento del 0,6272% de la variable X1

2.3. Tasa marginal de sustitución (TMS).El índice o relación marginal de sustitución técnica de los factores indica el cambioen un insumo X2 respecto al cambio en el insumo X1. Esto proporciona una medidade la cantidad de un factor que se debe agregar, para reemplazar una unidad delotro, manteniendo el nivel de producción.

La tasa marginal de sustitución (TMS) se expresa desde el punto de vista geométri-co en la Figura 43, donde se observan pollos de distinto peso (Y1, Y2, Y3) a partir demúltiples combinaciones de proteína y energía.

Figura 43. Tasa marginal de sustitución (TMS).

Así se obtiene un pollo de peso Y2 con una cantidad de proteínas y energía 0Pa yOEa respectivamente tal y como se representa en A. Anteriormente se estudió quepodía obtenerse un pollo del mismo peso con una combinación distinta de energía yproteína; esto queda representado en el punto B, con una reducción de la energía yun aumento de la proteína. La tasa de sustitución de energía y proteína es lasiguiente:

TMS = (0Ea - 0Eb) / (0Pb-0Pa) = AC /CB

Se observa que la pendiente es negativa y que a medida que nos deplazamos de Bhacia el punto A y para variaciones muy pequeñas (infinitesimales) dicha pendientese aproxima a al tangente en ese punto, siendo este el concepto de relación margi-nal de sustitución y se expresa:

TMS = - ∆∆E /∆∆P

∆∆ indica la variación en el intervalo.

Ene

rrgí

a

3Y

2Y

1Y

Proteinas0

A

B

Pa Pb

Ea

EbC

89

Igualmente la TMS se puede expresar como el cociente entre los productos físicosmarginales, así en la figura anterior se precisan de dos etapas para desplazarsedesde el punto A hasta B.

En la primera etapa (desde A hasta C) se reduce la energía (EaEb) y la producción(Y2-Y1), manteniéndose constante el aporte de proteína. Este proceso coincide conel producto físico marginal de la energía tal y como se expresa:

PMaEnergía = (Y2-Y1) / (0Ea-0Eb) En la segunda etapa (desde C hasta B) se aumenta el aporte de proteína (PaPb)yse incrementa en peso del animal obtenido (Y2-Y1); en tanto que permanece cons-tante en esta fase el consumo de energía.

PMaProteina = (Y2-Y1) / (0Pb-0Pa)

Al calcular la razón de los productos físicos marginales de la energía y la proteínase anula la variación de la producción obteniendo la siguiente expresión:

PMaEnergía / PMaProteina = (0Pb-0Pa) / (0Ea-0Eb) = ∆P/ ∆E

que se puede expresar:

PMaProteina / PMaEnergía = (0Ea-0Eb) / (0Pb-0Pa) = ∆E/ ∆P = TMS

Ante lo descrito anteriormente y para dos factores (X1 y X2) la tasa marginal de sus-titución se expresa algebraicamente del modo siguiente:

Donde:TMS. Tasa marginal de sustitución.∆X1. Variación del insumo X1.∆X2. Variación del insumo X2.(δX1 /δX2 ). Derivada de X1 respecto X2.

2.4. TMS decreciente. En ganadería son frecuentes las funciones Coob-Douglas con una tasa marginal desustitución decreciente. Este hecho descansa en la ley de los rendimientos decre-cientes y viene dado por el hecho de una determinada genética, un sitema de pro-ducción y una fisiología dada.

TMS =∆X2∆X1

=δX2δX1

90

En la Figura 43 se observa una relación marginal de sustitución de carácter decre-ciente; esto significa que a medida que nos desplazamos hacia la derecha en laisocuanta por cada unidad de energía que disminuimos en el proceso necesitamosmás proteína y cada vez resulta más difícil sustituir la energía por proteína. Dismi-nuye la relación - ∆E/∆P, que a su vez es la relación entre los productos físicosmarginales.

Normalmente las líneas de isoproducto son curvas, en las que la tasa marginal desustitución es decreciente en cada uno de sus puntos e igual a la pendiente de larecta tangente a cada punto de la curva isocuanta. Como consecuencia la tasa desustitución oscilará entre un valor inicial de infinito a un valor inicial de cero.

2.5. Zona de decisión y fases de producción.Las isocuantas representan distintas combinaciones de factores para obtener undeterminado nivel de producción; y cualquier punto de la isocuanta es eficiente des-de el punto de vista técnico, aunque no tiene porque serlo desde el ámbitoeconómico.

Figura 44. Límites racionales de producción.

Cualquier combinación de factores en las curvas de producción Y1, Y2, Y3 e Y4 seconsidera eficiente técnicamente, aunque cada isocuanta presenta un brazo ascen-dente en los extremos.

La curva 0A, representa la unión de las combinaciones (C, D, E y F) en las que lasrectas tangentes son perpendiculares al eje de abscisas y su tangente es ∞. Asimis-mo la curva 0B representa la unión de combinaciones (G, H, I y J) donde la pen-diente de la curva de producción es horizontal; es decir las rectas tangentes enesos puntos son paralelas al eje de abscisas y por tanto su tangente es nula. Las

X1

1

2Y

3Y

Linea bordeX1 para X2

Linea bordeX2 para X1

3

4Y

X2

Y

A

B

(1280 gr)

(1325 gr)

(1386 gr)

(1450 gr)

C

DE

G

H

I

J

F

0

91

curvas de producción son descendentes en la región comprendida entre 0A y 0B;en tanto que son ascendentes a la izquierda de 0A y a la derecha de 0B

Así se puede obtener un pollo de 1386 gr (E) con un nivel de proteínas y energíaPa y Pb respectivamente (Figura 45). Si se mantiene constante la proteína (Pa) y seaumenta la energía de Ea hasta Eb (Eb > Ea) se obtiene un pollo (K) de 1325 gr. Lagranja nunca utilizará la combinación de factores (Pa, Eb) ya que es posible produ-cir un pollo de más peso con la misma cantidad de proteína y menor nivel de ener-gía (Pa, Ea). Así pues todas las combinaciones a la izquierda y derecha de 0A y 0Brespectivamente no son eficientes económicamente y se corresponden estas regio-nes con la Zona I y III de la producción. El área comprendida entre 0A y 0B respon-de a la Zona II de la producción; que es la zona eficiente económicamente y detoma de decisiones.

Figura 45. Límites racionales de producción.

Tal como se expresa en la Figura 45 en el caso típico, el índice marginal de sustitu-ción no es constante, sino que disminuye al aumentar la cantidad de un factor. Enlos extremos de las isocuantas existen áreas con gradientes positivos, indicandorendimientos negativos a la sustitución. De esta forma se establecen límites a lasposibilidades racionales de sustitución, ya que será irracional mantener un nivel deproducción utilizando una cierta cantidad de un factor, cuando ese mismo nivel pue-de alcanzarse con una cantidad inferior de factor. La determinación del área de ra-cionalidad técnica se muestra en la Figura 45 y 46, donde pueden observarse loslímites para cada factor, trazados a partir del momento en que la producción margi-nal para ese factor se hace negativa.

X1 (Proteina)

2Y

3Y3

X2

(Ene

rgía

)

A

B

(1325 gr)

(1386 gr)

E

0

K

Ea

aP

Eb

92

En a Figura 46 se observa que desde el punto A al punto C los factores X1 y X2 sonsustitutivos y fuera de este intervalo son complementarios y su uso es irracional (D),dado que existen otras combinaciones que permiten obtener la misma cantidad deproducto consumiendo menor cantidad de factor.

Figura 46. Tasa marginal de sustitución.

Se observa para la isocuanta:* Los puntos A, B, C, y D de la isocuanta, así como las rectas tangentes a la cur-va de nivel en cada punto. * El valor de la tasa marginal exacta de sustitución es el de la pendiente de cadarecta, o lo que es igual la tangente trigonométrica del ángulo que cada recta for-ma con el eje de abcisas.* La disminución de la tasa de sustitución desde el punto A (α de 90º y la tangen-te es ∞) al punto C (α de 0º y la tangente es 0), por lo que la tasa marginal desustitución oscila desde infinito a cero.

De modo sintético puede expresarse:

Cuando los ángulos de las rectas tangentes a determinadas combinaciones deproducción sean mayores de 90º, la producción está situada en zona racional,con rendimientos decrecientes, y los factores son sustitutivos.

Cuando la recta tangente en cada punto presente un ángulo inferior a 90º, la pro-ducción se sitúa en zona de irracionalidad técnica, con rendimientos crecientes onegativos y los factores frecuentemente son complementarios.

A

B

CD

X1

X2

α

Si α > 90º => Tagα < 0 Factores sustitutivos Zona racional

Si α < 90º => Tagα > 0 Factores complementarios Zona irracional

93

2.6. Consideraciones finales.Habitualmente en la empresa ganadera se presentan situaciones en las que existesustitución de factores, de modo que el incremento de uno aconseja un menor usorelativo del otro. Sin embargo; una vez alcanzado un determinado nivel de produc-ción, pueden hacerse las siguientes consideraciones:

a) Los factores se combinan en proporciones fijas y no son sustitutivos.En caso de ir progresivamente eliminando mano de obra como consecuencia dela mecanización, hay un momento en el que un tractor se ha de combinar con unhombre y el incremento del número de tractores exige al mismo tiempo un incre-mento el número de hombres.

Cuando se alcanza el máximo de mecanización ambos factores se combinan enproporciones fijas y no son sustitutivos entre si.

b) Complementariedad técnica.En ocasiones el descenso o incremento de un factor no implica ni conlleva el in-cremento del consumo del otro factor, es lo que se denomina una situación decomplementariedad técnica.

Caso de animales con sobrealimentación, se sitúan en zonas de irracionalidadtécnica (I y III), ya que se puede obtener la misma producción con menor consu-mo de factores.

c) Sustitución con factores indivisiblesExisten casos en que los factores son indivisibles y el ganadero no puede dividirla potencia de un tractor o el potencial de una vaca a fin de sustituir mano deobra.

94

3. Determinación del nivel óptimo de producción.

En el apartado anterior se explicitaba que cualquier punto a lo largo de la isocuantaes eficiente técnicamente aunque no implica que lo sea desde el punto de vistaeconómico. Asimismo al inicio del capítulo se plantea que la cuestión a resolver esla determinación de la combinación óptima de factores para un nivel dado de pro-ducción, así como el nivel de producción de máximo beneficio.

Sher y Pinola (1986) definen la combinación óptima de factores en un proceso pro-ductivo aquella que proporciona un nivel máximo de producción a un coste dado, olo que es lo mismo, aquella que tiene un coste mínimo dado un nivel de producción.

La determinación nivel óptimo de producción precisa de dos etapas consecutivas:- Determinar la combinación de factores a mínimo coste para cada nivel deproducción. - Determinar el nivel de producción que genera el máximo beneficio.

No obstante en la empresa ganadera la determinación del nivel óptimo de produc-ción viene supeditada a la tecnología existente (genética, sistema de producción,etc), a los precios de los factores y a las restricciones presupuestarias.

3.1. Restricción presupuestaria: recta de isocoste.En los apartados anteriores se ha analizado la función de producción de dos facto-res (X1 , X2), así como las zonas de decisión: racional (Zona II) e irracionales (ZonaI y III). No obstante para determinar la combinación óptima de recursos y en nivelóptimo de producción hay que considerar los costes.

La ecuación de costes (no función de costes) representa la relación entre los facto-res utilizados (X1 , X2), el precio de los mismos (Px1 ,P x2) y el coste generado o elpresupuesto disponible para imputar al proceso. Esta ecuación se representa delmodo siguiente:

K < Px1 * X1 + Px2 * X2

Dónde Px1 * X1 es la cantidad de dinero que el ganadero destina al primer facto (enel caso de los pollos de engorde el coste de la proteína); en tanto que Px2 * X2 es eldinero destinado al segundo factor (coste de la energía). La restricción presupues-taria implica que la cantidad de dinero consumida en los factores no puede ser su-perior a K que es el dinero disponible para adquirir los factores.

95

Las distintas combinaciones de factores que cuestan K es lo que se denomina rectapresupuestaria o de isocostes, tal y como se muestra en la Figura 47. Los valoressituados por encima de la recta supones costes superiores a K; en tanto que lascombinaciones situadas por debajo de la recta representan valores inferiores a K.

Figura 47. Recta de isocoste.

La recta de isocoste se puede expresar como la ecuación de una recta (Y= a+bX),despejando X2, de la forma siguiente:

La recta tiene una ordenada en el origen K/Px2 y una abcisa en el origen K/Px1; esdecir si todo el dinero disponible K se destina al factor X2 se utilizan K/Px2 unidadesde dicho factor e igualmente si no se utiliza el factor X2 y K se destina a X1 se dispo-ne de K/Px1 unidades de dicho factor.

Si X1 =0 y se sustituye en la ecuación anterior X2 = K/Px2

Si X2 =0 despejando y sustituyendo X1 = K/Px1

La pendiente de la recta tiene un valor -Px1 /Px1 y representa la relación de sustitu-ción de un factor con el otro. Esta reflexión se sustenta del siguiente modo: ¿si seincrementa el consumo de X1 en ∆X1 como se modifica X2 para seguir cumpliendola restricción presupuestaria K?.

Se debe satisfacer

K = Px1 * X1 + Px2 * X2

y K = Px1 ( X1 + ∆X1 ) + Px2 ( X2 + ∆X2 )

K/Px1

K/Px2

X2

X1

-Px1/Px2

X2 = KPx2

−Px1Px2

X1

96

Al igualar y simplificar las dos expresiones anteriores obtenemos:

Px1 * X1 + Px2 * X2 = Px1 * X1 + Px1 * ∆X1 + Px2 * X2 + Px2∗ ∆X2

0 = Px1 * ∆X1 + Px2 * ∆X2

Despejando ∆X2 / ∆X1 que es la relación de sustitución de ambos bienes, seobtiene:

∆∆X2 / ∆∆X1 = - Px1 /Px2

Que significa que la pendiente de la recta de isocoste es igual a la relación de sus-titución entre factores.

- Caso práctico:El heno y el cereal se utilizan frecuentemente en la alimentación del vacuno leche-ro. Supuesto que disponemos de 50.000 ptas por vaca se obtiene la siguiente ecua-ción de costes:

50.000 ptas = 18 ptas/kg heno * X1 + 25 ptas/kg cereal * X2

Despejando X2:

Si X1 = 0; X2 = K/Px2 = 50.000 /25 = 2.000 kg de cerealSi X2 = 0; X1 = K/Px2 = 50.000 /18 = 2.778 kg de heno

La pendiente de la recta es -Px1 /Px1 = - 18/25 = - 0,72; que representado gráfica-mente permite obtener la figura siguiente:

Figura 48. Recta de isocoste de heno y cereal.

X2 = 50.00025

− 1825

X1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

-Px1/Px2 = -18/25= -0,72

97

- Variaciones de la recta de isocoste.Es este apartado se analiza la variación de la recta de isocoste cuando se modifi-can los precios de los factores o el presupuesto disponible.

a. Modificación presupuestaria.Se incrementa el presupuesto disponible, desde K1 hasta K3 y se mantienen fijoslos precios y en consecuencia constante la relación de precios

Figura 49. Recta de isocoste con aumento de presupuesto.

En la Figura 49 se observa que los incrementos presupuestarios originan un des-plazamiento paralelo hacia la derecha de la recta de isocoste; por el contrario la re-ducción presupuestaria origina un desplazamiento paralelo hacia la izquierda.

b. Modificación del precio de los factores.Cuando se modifica Px1 la ordenada en el origen permanece constante (Figura 50),pero la recta aumenta su inclinación ya que se incrementa la pendiente:

-Px1'/Px2 = - 22/25 = - 0,88

Tabla XVI . Variaciones de presupuesto y precios de los factores.

Asimismo el presupuesto K no se modifica ypor tanto se cumple la condición

K = Px1 * X1 + Px2 * X2

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

K1

K3

K2

K1= 50.000 ptasK2 = 75.000 ptasK3 = 100.000 ptas

98

Px \ K 50.000 75.000 100.000

Px2= 25 2.000 3.000 4.000

Px1 =18 2.778 4.167 5.556

Px1' = 22 2.273 3.409 4.545

Px2' = 35 1.429 2.143 2.857

Cuando se modifica Px2 ocurre el fenómeno inverso, tal y como se muestra en laFigura 50, cambiando la ordenada en el origen y disminuyendo la pendiente

-Px1/Px2' = -18/35 = -0,51

Figura 50. Recta de isocoste con incremento de Px1.

Figura 51. Recta de isocoste con incremento de Px2.

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

Pendiente = - Px1/Px2 = -0,72

Pendiente = -Px1'/Px2 = -0,88

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

Pendiente = - Px1/Px2 = -0,72

Pendiente = -Px1/Px2' = -0,51

99

3.2. Combinación de factores a mínimo coste.La empresa ganadera dispone de información de carácter técnico (isocuanta), asícomo de información relativa a los precios de los factores (recta de isocoste). A par-tir de la información disponible en la explotación se busca la maximización del be-neficio, que significa que para cada nivel de producción o isocuanta existe unacombinación de factores a mínimo coste, o para un nivel de coste dado existe unacombinación óptima de factores.

- Combinación óptima de factores dado el coste.En la empresa ganadera es frecuente planificar el ejercicio con una disponibilidadde capital y a partir de esta restricción programar y definir la producción. Esto eshabitual en los sistemas de producción extensivo. Con fines didácticos planteamosel caso anterior de vacuno de leche.

Figura 52. Combinaciones a mínimo coste.

Supuesto un presupuesto de 80.000 ptas de alimentación por vaca y un precio delkg de heno y cereal de 18 y 25 ptas/kg respectivamente, se obtiene la recta de iso-coste que se indica en la Figura 24 y que responde a la ecuación de la recta:

80.000 = 18 X1 + 25 X2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

B

A

C

Y1 = 3500 kg leche Y2 = 3200 kg leche

Y1

Y2

X2 = 80.00025

− 1825

X1

100

Cuando se anula X1 y se sustituye en la ecuación anterior X2 = 3.200 y al anular X2 y se despeja la ecuación X1 = 4.444, a partir de estos valores se representa larecta de isocoste, de pendiente -0,72.Si el criterio no fuese la maximización del beneficio se podría tomar cualquier nivelde producción contemplado dentro de la restricción presupuestaria (Figura 52); esdecir, B y C están dentro de las 80.000 ptas y permiten producir 3200 kg de lechepor vaca. No obstante se podría aumentar la producción sin incrementar el coste, aldesplazarnos por la recta de isocoste desde B hasta A; así en el punto A se eleva laproducción (se pasa de 3200 a 3500 kg de leche) sin generar ningún coste adicio-nal. Si continuamos desde A hasta C, decrece la producción.

El punto A, se denomina punto de equilibrio de la producción y supone la combina-ción de factores a mínimo coste. En este punto las pendiente de la recta de isocos-tes es igual a la de la isocuanta; ambas curvas son tangentes.

La pendiente de la isocuanta es la razón de la variación de factores ∆∆X2 / ∆∆X1 quetambién se puede expresar como la razón de los productos físicos marginales. Asi-mismo la pendiente de la recta de isocostes es - Px1 /Px2 . En el punto A ambaspendientes son iguales por lo que:

Al situarnos en el punto B (1500 kg de heno y 2840 de cereal), que presenta unaTMS de -1,73; por cada unidad que se disminuye el aporte de heno hay incrementarel cereal en 1,73 kg. Hay otra situación productiva más conveniente económica-mente donde por cada unidad que se disminuye el heno se aumenta el cereal en0,72 y además se incrementa la producción (punto B). Asimismo podemos situarnosen C (3500, 974) con una TMS = -0,30; también se puede incrementar la produc-ción (de 3200 a 3500 kg de leche por vaca) incrementando el consumo de cereal ydisminuyendo la de heno; es decir:

Si PMaHeno / PMaCereal > Px1 /Px2 hay que disminuir el aporte de cereal y aumentarel de heno e incluso se puede incrementar la producción.

Si PMaHeno / PMaCereal < Px1 /Px2 hay que disminuir el aporte de heno y aumentar elde cereal, igualmente puede incrementarse la producción.

La ecuación anterior se puede expresar:

PMaHeno /Px1 = PMaCereal /Px2

TMS =∆X2∆X1

=PMa X1PMa X2

= -Px1Px2

101

lo que significa que el punto de equilibrio se alcanza cuando se iguala la productivi-dad monetaria marginal.

- Combinación óptima de factores dada la isocuanta.También es frecuente en la empresa ganadera disponer de una tecnología dadaque no podemos modificar en el corto plazo y un nivel de producción fijo. Caso deuna explotación de vacuno lechero con una cuota láctea y una genética determina-da que le impide modificar las isocuantas. Así en el caso que se muestra (Figura53) la isocuanta toma un valor de 3500 kg de leche por vaca y lactación.

Figura 53. Combinaciones a mínimo coste.

La explotación puede generar los 3500 kg de leche con distintas combinaciones deheno y cereal (A, B y C). Si elige la combinación B o C es obvio que cumple el obje-tivo de los 3500 kg aunque podría conseguirlo a un menor coste, pasando de la iso-cuanta I2 a I1 . Las combinación de factores a coste mínimo se sitúa en A ya que larecta de isocoste (I2) es el plano tangente más bajo respecto a la isocuanta Y1

La condición de coste mínimo dada la isocuanta o dada una restricción presupues-taria como en el caso anterior es la misma, se alcanza cuando la curva de isocostees tangente a la isocuanta.

- Determinación de la combinación óptima de factores. Aunque se ha esbozado su cálculo en el apartado de combinación de factores dadala recta de isocoste en el caso de vacuno de leche, en este apartado se desarrollade modo general para cualquier situación.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

A

B

Y1C

I1

I2

102

La combinación a mínimo coste se obtiene en aquel punto en el que la pendientede la isocuanta es igual a la relación de precios de los factores (Figura 54). La rela-ción de los precios es la pendiente de la línea de isocostes; es decir, la línea querepresenta las diferentes combinaciones de los factores X1 y X2 a un coste dado.

Figura 54. Combinaciones a mínimo coste.

La isocuanta se caracteriza por un nivel constante de producción debido a que losaumentos o disminuciones marginales del producto originadas por un factor, secompensan con las respectivas disminuciones o aumentos del otro. De modo quepara X2 resulta que:

∆Y = PMaX2 * ∆X2

Donde:∆Y.- Variación de la producciónPMaX2 .- Producción marginal de X2

∆X2.- Variación del factor X2

De igual manera sucede para el factor X1:

∆Y = PMaX1 ∗ ∆X1

Como Y debe permanecer constante, a fin de continuar en la misma isocuanta, am-bas expresiones deben ser iguales, de manera que:

- PMaX2 ∆X2 = PMaX1 ∆X1

De donde se obtiene que:

Como ya se expresó, la combinación óptima para un nivel de producción se obtienecuando el gradiente de la isocuanta es igual al gradiente de la línea de isocostes, osea:

1Y2Y3Y

X 1

X2

∆X2∆X1

= −PMaX1PMaX2

= Gradiente o pendiente de la isocuanta

−Px1Px2

= −PMaX1PMaX2

103

Lo que también puede expresarse como la combinación en la que la razón entre laproducción marginal de un factor y su precio es igual para cada uno de los factores,expresado matemáticamente como:

Esto hace que la combinación óptima de factores para un nivel de producción seencuentre, siempre que la adición de un cierta cantidad de dinero en un factor ge-nere un aumento en la producción igual al de la misma cantidad invertida en otrofactor.

- Modificación del precio de los factores.En la empresa ganadera es frecuente las variaciones de precios de los factores es-to provoca la relación de precios y en consecuencia se modifica el punto de equili-brio. Así en el caso del vacuno de leche (Figura 55) el punto de equilibrio selocaliza en la isocuanta Y1 en A y en Y2 en B que son los puntos de tangencia conlas rectas de isocostes I1 e I2 respectivamente.

Figura 55. Punto de equilibrio con variación de precios.

Cuando varían los precios y se modifica la relación de precios y en consecuencia elpunto de equilibrio desplazándose hacia la combinación hacia el factor más barato;este caso el nuevo equilibrio se obtiene en C, con un incremento del consumo deheno y una disminución del aporte de cereal.

PMaX1Px1

=PMaX2

Px2

0

2000

4000

6000

8000

10000

kg d

e ce

real

(X

2)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Kg de heno (X1)

A

B

Y1

C

Y2

I1

I3

I2

104

- Apéndice matemático.La minimización de costes planteada en este apartado se puede resolver matemáti-camente con dos técnicas de optimización:

a. Optimización introduciendo la restricción en la función objetivo:

min Px1 * X1 + Px2 * X2 X1 , X2 Sujeta a Y = f (X1 , X2)

b. Multiplicador de Lagrange:

L = Px1 * X1 + Px2 * X2 - λ (f (X1 , X2) - Y)

Una vez formulado el Lagrangiano se deriva respecto de X1, X2 y λ, de esta formase cumple la condición necesaria (primer orden).

f (X1 , X2) - Y = 0

Simplificando y dividiendo obtenemos:

Obsérvese que el resultado está de acuerdo a lo estudiado en el presente capítuloel mínimo coste se obtiene cuando la relación técnica de sustitución se iguala a larelación de precios.

Px1 - λδf ( X1, X2)

δX1= 0

Px1Px2

=δ f (X1,X2) / δ X1δ f (X1, X2) / δ X2

105

Px2 - λδf ( X1, X2)

δX2= 0

3.3. Determinación del nivel óptimo de producción.Anteriormente se ha explicado que el punto de equilibrio se alcanza cuando la rectade isocoste es tangente a la isocuanta. Asimismo cada vez que modificamos la di-mensión cambiamos de isocuanta y hay un nuevo punto de mínimo coste. Siguien-do los diferentes puntos de mínimo coste de cada isocuanta se obtiene una isoclinade expansión.

Figura 56. Senda de expansión.

Sher y Pinela definen la senda de expansión (Figura 56) como el lugar geométricode los puntos de tangencia entre curvas de isocostes paralelas y las isocuantas co-rrespondientes. Indica asimismo las combinaciones óptimas de factores para losdistintos niveles productivos.

La senda de expansión indica como cambian las proporciones de los factores cuan-do se altera la producción aunque los precios de los factores permanecen constan-tes. Por esta recta se va aumentando la producción hasta alcanzar un punto en elque los ingresos marginales de los diferentes factores son iguales a cero.

Se busca el mismo tipo de relación que en el caso de un solo factor, por tanto el in-greso marginal debe ser igual al coste marginal. En este caso el beneficio vieneexpresado como:

B = Y Py - (X1 PX1 + X2 PX2)

Donde:B = Beneficio

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

Kg de heno (X1)

Kg

de

cere

al (

X2)

106

Y = Cantidad de productoPy = Precio del productoPX1 = Precio del factor X1

PX2 = Precio del factor X2

El máximo beneficio se alcanza cuando las derivadas del beneficio respecto a cadauno de los factores se igualen a cero, expresado matemáticamente como:

δBδX1

= δBδX2

= 0

De donde se deduce que el máximo beneficio se halla cuando:

y δBδX1

= δYδX1

Py - Px1 = 0δB

δX2= δY

δX2Py - Px2 = 0

Lo que equivale a decir que las productividades marginales monetarias del dineroinvertido en cada uno de los factores es igual a cero o bien cuando el coste margi-nal sea igual al ingreso marginal.

También se puede expresar como:

Lo que equivale a decir que se alcanza el máximo beneficio cuando cada unidadmonetaria invertida en cada factor genera el mismo producto monetario marginal.

Cuando estas condiciones se cumplen hemos alcanzado un nivel de producción demáximo beneficio en la empresa ganadera. Ya sea cuando las productividades mar-ginales monetarias del dinero invertido son iguales en cada factor por unidad mone-taria o cuando una unidad monetaria invertida en cada factor produce exactamentela misma cantidad de dinero.

δYδX1

Py - Px1 = δYδX2

Py - Px2 = 0

δYδX1

Py

Px1=

δYδX2

Py

Px2= 1

107

δBδX1

= 0; ⇒ δYδX1

=Px1Py

δBδX2

= 0; ⇒ δYδX2

=Px2Py

108

109