5-1

CAPITULO V

1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

Figura 1.1. Sistema de control Muestreado

Figura 1.2 Diagrama de funcionamiento de un Multiplexer

En la figura 1.2, se presenta el diagrama de funcionamiento del multiplexer, los

cuales pueden se clasificados de la siguiente forma :

5-2

Conformación Analógica : secuenciales

Conformación de circuitos integrados o digitales : acceso aleatorio

• Secuenciales - Discos rotativos

• Circuitos Integrados (CIs) - 5 x 103 muestras/seg

• Digitales

2 OPCIONES DE CONTROL

Las opciones de control se clasifican en Funcionales y Estructurales.

Las opciones de control Funcionales pueden clasificarse en :

• Adquisición de datos

• Control supervisorio

• Control digital

Las opciones de control Estructurales se clasifican como :

a) Centralizado : I/O

• Local

• Remota

b) Distribuido :

• Estrella

• Anillo

• Multicaida

c) Jerárquico

5-3

2.1 OPCIONES FUNCIONALES

2.1.1 SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS:

Los sistemas de adquisición de datos, se fundamentan en el uso de tarjetas de

conversión de datos de forma analógica a forma digital (D/A)

En la figura 1.3 se presenta el esquema de un sistema donde a través de una tarjeta

A/D se adquieren datos para ser procesados por una computadora.

Figura 1.3 Sistema de adquisición de datos

2.1.2 SISTEMA DE CONTROL SUPERVISORIO:

Figura 1.4 Esquema de un sistema de control supervisorio

En el esquema de la figura 1.4, se observa la adición de la tarjeta Digital analógico,

que permite retornar información al sistema para realizar acciones de control.

5-4

2.1.3 SISTEMA DE CONTROL DIGITAL DIRECTO

Figura 1.5. Esquema de un sistema de control digital directo

En el esquema de la figura 1.5, se observa como el computador actua directamente

sobre el proceso, adquiriendo y retornando información al proceso, a través de las tarjetas

A/D y D/A.

2.2 OPCIONES ESTRUCTURALES

2.2.1 CENTRALIZADO

CARACTERISTICAS:

• Equipo computacional de un solo ambiente

• Una unidad central de procesamiento

• Toda la señal de procesamiento llega al cuarto-control

Interfaz : local o remota.

VENTAJAS:

• Concentración de la información de toda la planta

5-5

• Uso eficiente equipo periférico

• Mejora ambiente de trabajo

• Fácil detección de falla del equipo

DESVENTAJAS:

• Habilitación espacio físico

• Limitación de expansión :

−física

−equipos

• Confiabilidad del sistema

• Abundancia de información ⇒ Errores de operación

Equipos característicos: (hasta 1974 ):

Honeywell (serie GE 4000)

IBM 1800, CDC 1700, FOXBORO

Serie SIGMA SDS y XEROX

Serie ARGUS de la FERRANTI

Sistema ELLIOT

Desde 1975 ⇒ Minicomputadoras

Westinghouse P50

DEC-PDP 8 (12 bits)

PDP 1 y submodulos (más usada)

2.2.2 CONFIGURACIONES DEL SISTEMA DE CONTROL DISTRIBUIDO

CONFIGURACION ESTRELLA

• Computador. "Coordinador"⇒Control superior

• Computador "Remoto"⇒Control Digital

5-6

Figura 1.6. Configuración Estrella

CONFIGURACION ANILLO

• Cada computador es un eslabón del anillo

Figura 1.7. Configuración Anillo

CONFIGURACION MULTICAIDA

• Cable controlado por un micro que actúa como supervisor

5-7

Figura 1.8. Configuración Multicaida

2.2.3 CONFIGURACION DE CONTROL JERÁRQUICO

LOCAL :

1. Control digital directo realizado por un micro. ( 1 lazo)

2. Control digital directo de varios lazos

3. Control supervisorio ( optimización y relevo)

AREA

4. Coordicación entre áreas productivas ( IBM 4341 ó Vax 780)

GERENCIA

5. Tope de nivel coordinativo, Gerencia media

• Inventario

• Producción

• Control de Calidad

Reportes

Desición

6. Información para fines estrategicos.

5-8

Figura 1.9. Esquema del sistema de control Jerarquico

2.3 ELEMENTOS DE UN LAZO DE CONTROL DIGITAL

Figura 1.10 Lazo de control digital

5-9

3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS

3.1 TRANSFORMADA Z

Figura 3.1 Sistema muestreado

El componente básico, en el análisis de sistemas discretos, es el interruptor. Su

salida E*(s) tiene la forma de un tren de pulsos estrechos los cuales se suceden en los

instantes 0,±T,±2T donde T es el intervalo de muestreo y Wo=2π/T, Wo es la frecuencia de

muestreo.

Por conveniencia matemática, se pueden tratar estos pulsos como impulsos cuyas

áreas son iguales a la de la función para el instante de muestreo.

Por lo tanto la relación entrada-salida del interruptor es :

Figura 3.2 Muestreador ideal

r*(t)=r(t)δT(t) 3.1

r*(t)=Salida del interruptor

r(t)=Entrada del interruptor

δT(t)=Tren de impulsos unitarios

σT(t)= ( )σ t ntn

−=−∞

∞

∑ 3.2

5-10

La ecuación 3.1 puede escribirse como:

r*(t)= ( ) (r nT t nTTn

n

)σ −=−∞

=∞

∑ 3.3

¿Qué ocurre con n negativos?

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 3.3

R*(s)= 3.4 r nT nTsen

( ) −=

∞

∑0

Una expresión alterna de R*(s) se puede alcanzar expresando a δT(t) en forma de una serie

compleja de Fourier

δT(t)= 1 0

Te jn t

n

ω=−∞

∞

∑ 3.5

Si sustituimos 3.5 en 3.1

r*(t)=r(t)1 0

Te jn t

n

ω= −∞

∞

∑ 3.6

Aplicando transformada de Laplace término por término de la serie tenemos:

(RT

R s + jn*0( )s

n

==−∞

∞

∑1 ω ) 3.7

Las ecuaciones 3.4 y 3.7 son iguales:

( ) ( T

R s + jnn=-

0∴ ∑ ∑∞

∞

=−∞

∞− =r nT e nTsn

1 ω ) 3.8

La ecuación 3.8 es conocida como la regla de la suma de Poisson.

Si analizamos la ecuaciones 3.4 y 3.7 y sustituimos a s=s+jmωo con m=entero

encontramos que las expresiones se mantienen idénticas. Esto lo que nos quiere decir que

R*(s) es periódica con periodo jωo.

Tomando a la ecuación 3.4 :

5-11

( )R s jm R kT ekT s jm

k

e kTs e j kTm

pero ejkTm T

*( ) ( )

.

+ =− +

=

∞

∞ − −

− = =

∑

∑

ωω

ω

ω ω π

00

0

0

0

1 2

= R(kT)k=0

con 0

3.9

∴ R*(s)=R*(s+jmω0)

Esto implica, que el plano s está dividido en un número periódico de bandas con

ω ω ω= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 02 2,

Figura 3.3 Periodicidad de las bandas en el plano s. Polos de R*(s)

Volviendo a la ecuación 3.4, ésta se puede escribir más abreviada si r(t) es una

combinación lineal del producto de varios polinomios y de funciones exponenciales.

Por ejemplo cuando r(t)=e-at y recordando que la suma de una progresión geométrica

( ) Ts-a- ee-1

1=sR

razón=r

término1=a 1

*

er

τ

∑ −= raar

Método Directo 3.10

5-12

La ecuación 3.10, sugiere un cambio de variables z=eTs donde s=1/T ln z de donde

R 1T

ln z*⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− − −

11 1e at z

3.11

Llegamos a la conclusión : [ ] ( )[ ] ( ) ( )Z r t Z r t R z r nT z nn

( ) *= = ==

∞−∑

0

3.1.1 EJEMPLO 1

Encuentre la Z[1(t)] (escalón unitario)

( )[ ] ( )Z t nT z nz zn

1 1 1 1 12

0

= − = + + +=

∞

∑ ...

Para este caso a=1, r=1/Z

Por lo tanto ( )[ ]Z 1 t 11 1

z

zz 1

=−

=−

3.1.2 EJEMPLO 2

Obtener Z[sen ωt] para t≥0

Sabemos que sen t =j

j t - j tω

ω ωe e−2

3.12

También sabemos que ( )Z -at zz -aTe e=

− 3.13

sustituyendo 3.13 en 3.12

[ ]Z t 12j

z

z j tz

z j te esen ω ω ω=

−−

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

12j

z j T -j T

z2 z j T -j Tz sen T

zcos T + 1

e ee e z

ω ω

ω ωω

ω

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

=−+ 1

2 2

3.1.3 EJEMPLO 3 (Método de expansión en fracciones parciales)

Obtener Z[1/s(s+1)]

5-13

Puede ser obtenida por expansión en fracciones parciales ( )F s 1s

1s 1

= −+

,

por tablas Z 1s

zz 1

;=−

de modo que

Z 1s + 1

zz T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=− −e Por lo tanto ( )

( )( )

F sZ 1 T

(Z 1) Z T=− −

− − −

ee

3.1.4 EJEMPLO 4

Calcule Z(cos ωt)

Aplicando T. Laplace : cos ωt] =s

s

2

2 2+ ω=X(s)

por expansión en fracciones parciales X(s)s j s j

12

12=

++

−ω ω

revisando las tablas ( )[ ]Z X s 12

z

z j Tz

z j Tz2 z cos T

z2 z cos T + 1=

−+

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

−− −e eω ωω

ω2

3.2 METODO DEL RESIDUO

( ) ( )[ ] ( )F z Z f* t residuos de F s zz - sT= = ∑ e 3.14

Evaluando en los polos de F(s) :

1) "Factores lineales (s-r) en el denominador"

( ) ( )R = lím s r F s zzs sT→∞

−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥e 3.15

2) "Polos repetidos de orden q"

( ) ( ) ( )R = 1q -1 !

líms

s r F s zzs r

q

q→

−

− −−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

dd

q

e1

1 sT 3.16

5-14

3.2.1 EJEMPLO 5

Si F(s)=1/s(s+1) , aplicando el método del residuo :

R líms 1

s(s 1)z

zz

z

lím (s + 1) 1s(s 1)

zz

-zz

1 s sT

s sT T

=+ −

=−

=+ −

=−

→

→−

0

2 1

1e

e eR

se suman R1+R2 y se debe encontrar lo mismo que en el ejemplo 3

3.3 TEOREMAS BASICOS DE LA TRANSFORMADA Z

a) Tiempo de atraso :

( )[ ] ( ) ( )Z f t - nT 1Z

F z Z F znn= − 3.17

b) Multiplicación por e-aT :

( )[ ] ( )Z f t F zat * ate− = e 3.18

c) Derivación parcial :

( )[ ] ( )[Za

f t,aa

F z,a∂∂

∂∂

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ] 3.19

d) Teorema del valor inicial :

El área del primer impulso de la función muestreada f*(t)

( ) ( )f 0 lím F zz

=→∞

3.20

e) Teorema del valor final :

El área del impulso f(nT) a medida que n→∞

( ) ( )f( ) lím z 1z

F z lím(z 1)F zz 1 z 1

∞ =−

= −→ →

3.21

5-15

3.4 INVERSA DE LA TRANSFORMADA Z

a) Método de las fracciones parciales

Partamos de un ejemplo :

Si ( ) ( )( )F z

1

(z 1) zk

z 1+ k

zz

T

T1 2

T=−

− −=

− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

− −

ee e 3.22

las constantes K1 y K2 son :

( )( )( )k lím z 1

1

z 1 z1 z 1

T

T= −−

− −=

→

−

−

ee 1 y ( ) ( )

( )( )k z e t e

z z e

t

t2

1

11=

→ −− − −

− −=

−

−z e t lim ,

entonces :

F(z) = z de las tablasz

zz e t−

−− −1

:

La solución es : ( ) ( y f t e f nt en

u t ntt n( ) ( )*= − = − )t

=

∞−− −∑1 1

0 3.23

b) Método de la división:

Se divide el numerador por el denominador formando una serie :

3.24 F z C C z C z( ) . . .....= + + +− −0 1

12

2

cuya inversa es de la forma :

3.25 (f nt C u t ntn

n*( ) .=

=

∞∑

0)−

Para el ejemplo anterior : ( ) ( )F(z) = 0 + 1 11 2 2− + − +− − − −e z e zt t .... 3.26

lo que es equivalente a : ( ) (f *( )nt en

u t ntnt= − )=

∞−−∑ 1

0 3.27

3.4.1 EJEMPLO

Determine la respuesta en tiempo de la función:

5-16

( )( )F z z zz z

( ). .

=− +

− −

− −

− −

1 3 31 0 5 1 0 8

1 2

1 1

Desarrollando el denominador de F(z) :

F z z zz z z

z zz z

( ). . . . .

=− +

− − +=

− +− +

− −

− − −

− −

− −1 3 3

1 0 8 0 5 0 41 3 3

1 1 3 0 4

1 2

1 1 2

1 2

1 2

Realizando una división larga :

1 3 3 1 13 0 41 17 0 39

1 13 0 417 2 6

2 21 0 68

0 39 0 680 39 0 5 015

1 21 2

1 2

1 2

1 2

2 3

2 3

2 3

− +− +

− + +

− + −

− +

− +

+

− + −

− −− −

− −

− −

− −

− −

− −

− −

z z z zz z

z zz z

z z

z zz z

. .. . ...

. .. .

. .

. .. . .

1.72z

-1

4−z

A partir del cociente expresado en F(z) :

f(0)=1 ; f(T)=-1.7 ; f(2T)=0.39 .........

Como se puede observar éste último método proporciona los valores numéricos de

la respuesta en tiempo y no una expresión general de dicha respuesta.

5-17

3.5 LIMITACIONES DE LA TRANSFORMADA Z

Consideraciones que deben ser tomadas en cuenta:

• La formulación de la definición de la transformada z, se basa en la aproximación

de la señal muestreada a un tren de impulsos cuyas áreas son iguales a la magnitud

de la señal de entrada al interruptor para el instante de muestreo kT.

Esta suposición es válida sólo si la duración del tiempo de muestreo T cuando se

compara con la menor constante de tiempo del sistema en estudio.

• Dado que C(z) especifica sólo los valores de la función para el tiempo de

muestreo, la transformada inversa de C(z), C(kT) describe a C(t) sólo a los instantes

t=kT.

• Cuando se analiza un sistema lineal a través de la transformada Z, la función de

transferencia del sistema G(s), debe tener un polo más que ceros, ó lo que es

equivalente a decir, que la respuesta al impulso de G(s), no puede tener saltos de

discontinuidades para t>0.

3.6 BLOQUEADORES O RETENTORES

Se plantea la necesidad de reconstruir la señal f*(kT) a partir de una secuencia de

números f(0), f(T), f(2T).... o un tren de impulsos que se suceden para t=kT con t≥0.

Una forma de hacerlo es a través del método de expansión de series de potencia de

f(t) para los intervalos kT→(k+1)T. Esto es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f f kT f kT t kTf kT

2!t kT . . . k t

1(2)

2= + − + − + 3.28

donde:

5-18

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )f t f t para kT t < k +1 T

y f kT f t

t y f kT

f t t

k

(1)

t=kT

(2)2

t=kT

= ≤

= =∂

∂∂

∂ 2

3.29

Para evaluar los coeficientes de las series de 3.28 y 3.29, las derivadas de 3,29

aplican. Dado que la información que se tiene son los valores muestreados f(0), f(T), ..., se

plantea la siguiente manera para la obtención de dichas derivadas.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]f kTf kT f k 1 T

T1 =

− − 3.30

y ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]f k T

f k T f k 1 TT

21 1

=− −

=( ) ( )[ ] ( )[ ]f kT 2f k 1 T f k 2 T

T 2

− − + −

3.31

En general, se puede decir que para poder calcular f(n)(kT) es necesario disponer de

(n+1) pulsos atrasados conocidos.

Desde el punto 'estabilidad', estos atrasos generan problemas.

Desde el punto circuitería, ésta debe ser muy compleja resultando un alto costo en

su construcción.

Por éstas dos razones básicas, en la practica solamente se emplea como

aproximación al primer término de la ecuación 3.28. Un elemento que genere f(kT) para el

intervalo kT≤t<(k+1)T es conocido como un EXTRAPOLADOR DE ORDEN CERO O

ZERO-ORDER HOLD.

Figura 3.4 Modelo funcional de un Retentor

5-19

figura 3.5 Respuesta temporal de un retentor

La respuesta impulsiva de un Z.O.H. se escribe como:

( ) ( )g u t u tH.O. T= − − 3.32

y su función de transferencia viene dada por:

G 1sH.O.

Ts=

− −e 3.33

3.6.1 EJEMPLO (lazo abierto)

La discretización de una función de transferencia a lazo abierto viene representada

en la figura 3.6. Encuentre la respuesta en tiempo ante una entrada escalón unitario, cuando

T=1 seg.

figura 3.6 Sistema discreto a lazo abierto

La función de transferencia del sistema esta dada por la ecuación 3.34 :

( ) ( )G s 1

s1

s s 1

sT

=−

+

−e 3.34

La transformada z del sistema es :

5-20

( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Z 1s s 1

1 z Z As

As

Bs 1

12

1 12

2 1= −+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − + +

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − ; donde A1=1; A2=-1;

B1=1

Por lo tanto :

( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Tz

z 1z

z 1z

z1

2 T= −−

−−

+−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−−e ( )( )

=+

− −0.366z 0.264z 1 z 0.368

si ( ) ( ) ( ) ( )X z G z U z donde U z zz 1

= =−

, entonces

( ) ( )( ) ( )

X z0 .3 6 8 z 0 .2 6 4 zz 1 z 0 .3 6 82=

+

− −

Evaluando X(z) para t→∞ :

sabemos que : ( ) ( ) ( )X lím z 1 X zz 1

∞ = − = ∞→

evaluando la expresión X(kT)=0.386z-1 + 1.135z-2 + 2.45z-3 + 3.972z-4 ...

(división larga)

observamos la respuesta temporal en la gráfica 3.7.

Figura 3.7 Respuesta temporal de X(kT)

5-21

3.6.2 EJEMPLO (lazo cerrado)

La discretización de una función de transferencia a lazo abierto viene representada

en la figura 3.8. Encuentre la respuesta en tiempo ante una entrada escalón unitario, cuando

T=1 seg.

Figura 3.8 Diagrama de bloques a lazo abierto

La función de transferencia a lazo abierto del sistema es:

( ) ( )G s 1

s1

s s 1

sT

=−

+

−e 3.35

La transformada z a lazo abierto es :

( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Z 1s s 1

1 z Z As

As

Bs 1

12

1 12

2 1= −+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − + +

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − ; donde A1=1; A2=-1; B1=1

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Tz

z 1z

z 1z

z1

2 T= −−

−−

+−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−−e

de donde, la transformada z a lazo abierto es :

G(z)( )( )

=+

− −0.366z 0.264z 1 z 0.368

F.T.L.A.(z)

Si

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

X z G' z U z donde U z zz 1

G' zG z

1 G z= =

−=

+;

La transformada z a lazo cerrado es :

( ) ( )( )( )X z

0.368z 0.264 zz 1 z 0.3622=

+− − +z

Evaluando X(z) para t→∞ :

5-22

sabemos que : ( ) ( ) ( )X lím z 1 X zz 1

∞ = − =+

− +=

→

0 368 0 2641 1 0 632

1. ..

evaluando la expresión X(kT)=0.386z-1+1z-2 + 1.399z-3+ 1.399z-4 + 1.147z-5 ...(división

larga) observamos la respuesta temporal en la gráfica 3.9.

Figura 3.9 Respuesta temporal de X(kT)

5-23

4. ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS

4.1 RELACIÓN ENTRE PLANO S Y PLANO Z

Antes de empezar a diseñar compensadores digitales debe examinarse el efecto de

polos y ceros sobre la estabilidad y respuesta del sistema ante una entrada escalón.

Como ya estamos familiarizados con el efecto de la ubicación de los polos y ceros en el

plano “s” nos centraremos en la forma de llevar puntos del plano “s” al plano “z”. Este

traslado se determina definiendo la relación entre s y z:

s.Tez =Primero observemos que el eje imaginario (jw) en el plano s, donde s=jw, se transforma en:

jw.Tez =Esta función tiene una magnitud igual a 1 para todo w y un ángulo de w*T. A

medida que z varía de 0 a 2π / Τ, se barre una circunferencia de radio 1 en el plano z. El

eje jw enteramente infinito en el plano s se representa en el círculo unitario en el plano z.

Sabemos que la región de estabilidad en el plano “s” es el semiplano izquierdo. Por

el hecho de que la parte real Re(s) en esta región es negativa la representación en el plano z

es:

-jw.T.T-jw.T)(- e.eez αα == +

Donde Re(s)=-α. Por el hecho de que e- α.T es la magnitud de z y que su valor es

menor que 1, la parte izquierda del plano s queda representada en el interior del círculo

unitario del plano z. Podemos establecer que: “ Un sistema en particular es estable si y

solo si todos los polos de G(z) están ubicados dentro del círculo unitario”. Claramente

polos fuera del círculo unitario producen una respuesta inestable. Polos no repetidos sobre

el círculo unitario a pesar de no hacer al sistema estable, lo convierten en un sistema

marginalmente estable.

Tal como en sistemas contínuos, los polos reales en el plano z producen respuestas

subamortiguadas. Es interesante notar que el eje real negativo en el plano s se representa en

el eje real de 0 a 1 en el plano z.

5-24

Para fines diseño, las representaciones más importantes involucran contornos para

Ts, ξ y wn constantes. Un ejemplo de un plano s y una región en el plano z que satisfaga

un tiempo de establecimiento menor o igual a un valor dado se muestra en la figura a

continuación:

Fig. 4.1: Las áreas sombreadas representan una región que satisface el requerimiento de tiempo de establecimiento

En el plano s, puntos sobre el contorno del tiempo de establecimiento constante tienen un

valor real negativo; ejemplo:

s= - σ + jw donde Ts ≅5/ σ y corresponde a:

z= e-σ.T. ejw.T = R.ejw.T

Este contorno es un círculo de radio R. A medida que R disminuye, el tiempo de

establecimiento disminuye.

La figura 4.2 muestra el plano s y una región en el plano z que satisface una relación de

amortiguamiento mayor a un valor dado:

Fig. 4.2: Regiones que satisfacen la relación de amortiguamiento.

5-25

A pesar de que no hay una manera simple de formular ecuaciones para estos

contornos, podemos notar lo siguiente. Dado el hecho de que una raíz en el plano s de una

ecuación característica de segundo orden esta dada por:

wnjwns )1(. 2ξξ −+−=

la raíz correspondiente en el plano z es:

Twnj ..)21(wn.T- e.ez ξξ −= entonces:

T.wnez ξ−= y Twnz ..)1( 2ξθ −=

Si fijamos ξ y dejamos que wn varíe de 0 a π / Τ, la magnitud de z decrece en

forma exponencial mientras la fase aumenta en forma lineal. Esto crea el espiral

logarítmico para un valor de ξ constante que se observa en la figura 4.2.

El contorno para un wn constante es más complicado. Se puede observar que la

magnitud de z aún decrece exponencialmente con el aumento de ξ (a wn constante), pero la

fase no es linealmente dependiente de ξ. Los únicos puntos fácilmente hallables en el

plano z para este contorno ocurren a ξ=0 y ξ=1. El contorno constante para wn

comienza sobre el círculo unitario a un ángulo de wn.T y termina en el eje real con una

magnitud de e-wn.T.

La región que satisface una restricción para un wn menor a un valor dado, wn1 se

muestra en la figura 4.3.

Fig. 4.3: Región que satisface una restricción en la frecuencia natural

5-26

Una región que satisface el requerimiento de tiempo de establecimiento Ts y las restricciones de wn al mismo tiempo se muestra en la figura a continuación.

Fig. 4.4: Región que satisface los requerimientos de tiempo de establecimiento y frecuencia natural.

5-27

4.2 TIPO DE SISTEMA Y ERROR ESTACIONARIO

Una propiedad de la transformada “z” que es de mucha utilidad es el teorema del valor

final:

)().1(lim)(lim 1zz zFzkTf −= →∞→

Podemos emplear este teorema para hallar las constantes de error en estado estacionario

para un sistema de control digital con retroalimentación unitaria:

)(.G(z)11

E(z) zR+

=

donde G(z) es la función de transferencia de lazo directo y R(z) es la entrada al sistema.

A continuación tenemos una entrada escalón unitario:

1zz

R(z)+

=

Luego:

1.

G(z)11E(z)

++=

zz

El error en estado estacionario es:

G(1)11)( e

+=∞

Si G(1) es finito, el sistema puede seguir la entrada con error constante. Dicho

sistema es de tipo 0 y definimos la constante de error Kp tal que:

Kp11 )( e

+=∞ G(1)Kp; =

Para una entrada rampa r(t)=k.T. La representación de dicha entrada en el plano z es

R(z)=z.T/(z-1)2, y el error en estado estacionario se calcula como sigue:

2)1(..

G(z)11E(z)

−+=

zTz

5-28

Si G(z) no tiene polos en z=1, entonces el error en estado estacionario será infinito. Si G(z)

tiene un polo en z=1 dicho error será finito e igual a:

11).G(z)-(zT

)e(=

=∞z

Este es un sistema tipo 1, y definimos la constante de error Kv tal que:

Kv1)e( =∞ 1

)(.T

1-zKv;=

=z

zG

Para un sistema digital con retroalimentación unitaria, el tipo del sistema es igual al

número de polos en z=1.

Podemos extender la idea recién expuesta para hallar las constantes de error para

todos los tipos de sistema:

1

n

)(.1)-(z

Kn=

=zn

zGT

siendo n el tipo del sistema, y la entrada es de la forma:

!(k.T)r(k)

n

n=

Una nota importante que puede simplificar los cálculos es la siguiente.

Si G(s) es digitalizada empleando un “zero order hold (ZOH) equivalence”,

entonces G(s) y G(z) tienen la misma constante de error. La técnica ZOH que es la

usualmente empleada para digitalizar el modelo de una planta, nos permite encontrar

directamente la constante de error de la planta en el plano z a partir del modelo en el plano

s.

5-29

5 SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

Los sistemas de control digital usualmente contienen elementos tanto digitales como

continuos. En el dominio de la frecuencia los elementos digitales son modelados con la

transformada “z” y los elementos continuos se modelan con la transformada de Laplace.

Cuando modelamos sistemas digitales, convertimos funciones de transferencia

continuas representadas por G(s) en una función de transferencia discreta, G(z),

“equivalente”. Recordemos que la respuesta en frecuencia de un modelo digital nunca es

exactamente igual a la respuesta en frecuencia de un modelo continuo.

Existen varias técnicas para discretizar sistemas continuos. Entre ellas se

encuentran la “time response matching” (impulso y escalón), y los diversos métodos de

integración numérica. Cada una tiene sus ventajas y desventajas.

En tal sentido, existen técnicas que mantienen el tiempo de respuesta mientras otras

conservan los requisitos de respuesta en frecuencia, pero desde el punto de vista de control,

la preservación de la estabilidad es lo más importante; existen técnicas que no conservan la

estabilidad del sistema por lo que deben ser empleadas cautelosamente o se obtendrán

resultados erróneos en la simulación.

5.1 MODELOS DE SISTEMAS DISCRETOS EN ESPACIO DE

ESTADO Como con los sistemas continuos, podemos representar sistemas discretos con un

modelo de estado:

Xk+1=A.Xk + B.Uk

Yk=C.Xk + D.Uk

El modelo z-transformado se puede derivar del modelo de estado tomando la

transformada z de las ecuaciones de espacio de estado (asumiendo condiciones iniciales

iguales a cero):

z.X(z)=A.X(z)+B.U(z)

Y(z)=C.X(z) + D.U(z)

Resolviendo para X(z) de la primera de estas ecuaciones:

5-30

(z.I-A).X(z)=B.U(z) → X(z)=(z.I-A)-1.B.U(z)

y sustituyendo X(z) en la ecuación de salida:

Y(z)=C. (z.I-A)-1.B.U(z) + D.U(z)

La función de transferencia está dada por:

G(z)=C.φ(z).B +D donde φ(z)= (z.I-A)-1

5.2 TRANSFORMACIÓN DE UN IMPULSO INVARIANTE

La transformación de un impulso invariante convierte un sistema continuo en uno

discreto comparando sus respuestas ante una entrada tipo pulso (impulso). Consideremos la

siguiente función de transferencia continua y su respuesta ante un impulso:

5s10

H(s)+

= ; )t(u.10.eh(t) -5t=

Sustituyendo t por nT y aplicando la transformada z a H(s) se obtiene:

)nT(u.10.eh(nT) -5nT= 5T-e-z10.z

H(z) =

El procedimiento que empleamos para mantener la respuesta ante el impulso cuando

representamos una planta continua con un modelo digital es el siguiente:

(1)Encontrar la respuesta ante el impulso de H(s);

(2) Dejar que t=nT para convertir la respuesta continua en discreta;

(3)Transformar la respuesta discreta ante el impulso en H(z).

La conversión también se puede llevar a cabo en el espacio de estado. La respuesta

ante el impulso de un sistema continuo y la respuesta pulso de un sistema discreto están

dadas por:

(t)DBC.eh(t) At δ+=

)().CdAd-(DddCd.Adh(nT) 1--1-n nTBdB δ+=

5-31

Ahora se hace t=nT para convertir la respuesta continua en discreta. Comparando

ambas respuestas,

se concluye que:

CBDDd C,Cd B,eBd ,eAd ATAT +====

En la prác

señal pasa primer

continua que refle

convierten la salid

nivel hasta que e

reconstrucción de

continuación.

Fig.

tica una señal discreta nunca se dirige directamente hacia la planta. Esta

o por un convertidor digital análogo (DAC). El DAC produce una salida

ja la entrada discreta. Los DAC’s , más comunes son dispositivos que

a binaria del computador en un nivel de voltaje, y luego mantienen este

l computador envíe la nueva señal de salida T segundos más tarde. La

el ZOH de una entrada sinusoidal se muestra en la figura 5.5 mostrada a

5.5: Reconstrucción del ZOH de una entrada tipo sinusoidal

5-32

El retentor de orden cero genera una salida pulso para cada impulso que recibe como

entrada. Debido a que un escalón se deriva de la integración de un impulso, obtenemos la

función de transferencia ZOH (transformada de Laplace de un pulso unitario de duración

T):

s

-sTe-1 :ZOH

El retardo reajusta al integrador antes de que le entre el próximo impulso. La

función de transferencia total entre el interruptor de salida y la salida de la planta

es entonces:

)(.e-1 -sT

sGs

Siempre que exista un ZOH antes de una planta, tomamos la transformada “z” de lo

anterior como sigue. Primero nótese que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −s

sGsGs

)(.eZ-s

G(s)Z)(.e1Z-sT-sT

El segundo término en la expresión anterior es la versión retardada del primer

término. Debido a que la transformada “z” de un retardo unitario es z-1, obtenemos:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= −

ssG

Zz)(

)1(G(z) 1ZOH

Para hallar la transformada z de una función de transferencia G(s), llevamos a cabo las

siguientes operaciones:

• hallar g(t) a partir de G(s), sustituyendo t por nT,

• aplicar la transformada “z” para obtener G(z).

Aplicaremos el procedimiento recién explicado sobre G(s)/s para hallar la función de

transferencia equivalente ZOH.

Consideremos el siguiente ejemplo:

5-33

1s1

G(s)+

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−= −

)1(1

)1(G(z) 1ZOH ss

Zz

⇒=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+ u(t)).e-(1

)1(1L t-1-

ss

{ })e-z)(1z(

)e1(u(nT))e-(1Z

T-

-TnT-

−−

=⇒z

T-

-T

T-

-T1

e-ze1

)e-z).(1z()e1(

).1()(−

=−

−−= − z

zzG ZOH

El retentor de orden cero equivalente también se conoce como transformación

invariante del escalón (step invariant transformation) pues relaciona la respuesta ante una

entrada escalón de un sistema discreto con uno continuo. Esta es la técnica más empleada

por los ingenieros de control. La tabla siguiente muestra algunas simples equivalencias

ZOH.

La discretización también puede obtenerse en espacio de estado. Las matrices en espacio

de estado del ZOH están dadas por:

ATAT σ

DDd C,Cd , .dσ BeBd ,eAd 0 ==== ∫

5-34

Si usamos la expansión en series de la matriz exponencial, integramos y aplicamos

un poco de álgebra matricial, podemos mostrar que la matriz discreta B puede ser

computada a partir de:

[ ]T

B⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

== 00A

1- eBI-AdABd