CAPITULO VI

Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica

72 Ing Hugo Franco Paats


CAPITULO VI

INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA

6.1- INTEGRACIÓN NUMERICA La idea de integración numérica es la de sustituir la función por un polinomio que se

aproxima a en , por lo tanto necesitamos una fórmula para aproximar de la forma

siguiente:

)(xf

dxxfb

a∫ )()(xf ],[ ba

; )(...)()()( 1100 nn

b

axfAxfAxfAdxxf +++=∫ ],[ baxi ∈ (6.1)

Conocida como fórmula de Newton-Cotes, siendo el polinomio que se aproxima a en puntos

igualmente espaciados, tal que

)(xf

mabhxx ii

−==−+1 ,0=∀i 1, 2, . . ., ;1−n siendo y ax =0 bxn = ,

por lo tanto:

(6.2) ∫ ∫ ∑=

=+++≈=b

a

x

x

n

oiiixn

n xfAxfAxfAxfAdxxfxf0

)()(...)()()()( 1100

siendo que se determina de acuerdo al grado del polinomio aproximador. iA 6.2- REGLA DEL TRAPECIO ( ); [ ] =[ ] 1=m 10 ; xxba; Usando la fórmula de Lagrange para expresar el polinomio de primer grado que interpola a

en los puntos y sea ;

)(1 xp

21, xx bx =1 abh −=ax =0)(xf ;1=m y para el polinomio de Lagrange es:

).()()( 101

00

10

11 xf

xxxx

xfxxxxxp

−−

+−−

= Luego

∫ ∫ ∫ −−′′+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

=b

a

x

x

x

xdxxxxxxfdxxf

xxxx

xfxxxxdxxf 1

0

1

0

))())(((21)()()( 101

01

00

10

1 ξ

El segundo término representa el error cometido.

[ ]∫ ′′−−−

=′′−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

−−

=b

a

x

x

fh

xfxfxx

fhxfxx

xxxf

xxxxdxxf )(

12)()(

2)(

12)(

)(2)(

)()(2

)()( 310

013

101

20

010

21

1

0

ξξ

[ ]∫ ′′−−=b

afhxfxfhdxxf )(

12)()(

2)(

3

10 ξsiendo que tenemos que: 01 xxh −= (6.3)

esta fórmula es conocida por la Regla del Trapecio por que representa el área de un trapecio, como se muestra en la figura:

Ing Hugo Franco Paats 73

Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica )(1 xp )(bf )(af bx =1ax =0

Como el término de error de la Regla del Trapecio contiene la segunda derivada, esta regla da el resultado exacto cuando se aplica a una función cuya segunda derivada sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado 1 o menor. 6.2.1- REGLA DEL TRAPECIO REPETIDA La ecuación (6.3) puede extenderse a múltiples intervalos. Si la función integrada se representa mediante puntos de datos con puntos de abscisa igualmente espaciados, la ecuación (6.3) puede aplicarse repetidamente a cada intervalo. La ecuación así obtenida es la regla del Trapecio Repetida.

1+n

[ ]∫ ′′−+++++= −

b

a nn fmhxfxfxfxfxfhdxxf )(12

)()](....(([2)(2

)(3

1210 ξ (6.4)

[ ]∫ +++++≅= −

b

a nnTR xfxfxfxfxfhdxxfI )()](....(([2)(2

)( 1210 (6.5)

Gráficamente . . . . 1x 2x 4x0x 3x 5x nx 6.2.2- Cálculo del Error de la Regla del Trapecio Repetida

De la ecuación (6.4) el error está dado por:

)(12

3

ξfmhETR ′′=m

abh −= siendo que nxx << ξ0 y que , donde es el número de subintervalos,

nos queda que:

m

)(12

)( 2

ξfhabETR ′′−= podemos deducir una cota del error, o valor máximo del error considerando que



],[)(

)( 2 baxxfmáx

Mf∈

′′=≤′′ ξ por lo que queda:

2

2

12)( MhabETR

−≤

(6.6)

Ejemplo 6.1 – Dada la función definida en el intervalo [0; 1] xexf =)(a) Calcula el valor de la integral utilizando 10 subintervalos y la regla del trapecio b) Evalúa el error cometido c) ¿Cuántos subintervalos serán necesarios para que el error cometido sea menor que 310 −

Respuesta:

1,010

01=

−=

−=

mabh a) Debemos calcular ∫ , siendo que

1

0dxex 10=m y

aplicamos la fórmula del trapecio repetida y tenemos

( )[ ] ..7197134914.1...221,0 19.03.02.01.00 =++++++= eeeeeeI

...7182818284,11

0== xeI el valor exacto de la integral es

el error absoluto es 001431663.0=AE

2

2

12)( MhabETR

−≤b) Aplicando la fórmula calculamos que por tanto xexf =′′ )( 1

2 eM =

002265.0121,0 1

2

=×= eETR valor aproximado del error

32

2

1012

)( −<− Mhab

c) si el error entonces: 310−<TRE debemos despejar el valor de h

0044146.010121

32 =

×<

−

eh 064425.0004414.0 =<h y el valor de será m

52,15064414.0

1==

−>

habm , siendo que debe ser un número entero y mayor que 15,52

asumimos que el valor de

m

16=m

[ ] [ ]20 ;;).;2( xxbam ==6.3 – REGLA DE 1/3 DE SIMPSON Utilizando la fórmula de Lagrange para un polinomio de 2º grado, que aproxima a en

, y ; tenemos:

)(2 xp )(xfax =0 hxx += 01 bhxx =+= 202

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 21202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxxxp

−−−−

+−−−−

+−−−−

=



)())(2(

))(()(

))(())((

)()2)((

))(()( 210

120

021

2 xfhh

xxxxxf

hhxxxx

xfhh

xxxxxp−−

+−−−

+−−−−

=

así:

[∫ ∫ ++=≈=b

a

x

xSxfxfxfhxpdxxfI 2

0

)()(4)(3

)()( 210231 ] (6.7)

)(90

)4(5

ξfhESR −= El error cometido esta dado por , donde [ ]ba,∈ξ

6.3.1- Regla de 1/3 Simpson Repetida Si aplicamos repetidas veces la Regla de Simpson en [ ] [ ]mxxba ,, 0= . Suponiendo ,

puntos igualmente espaciados y siendo mxxx ,.....,, 10

ii xxh −= +1 y es par: m

[ ] [{ })()(...)()(2)(...)()(4)(3 2421310 mmmSR xfxfxfxfxfxfxfxfhI +++++++++= −− ] (6.8)

)(180

)4(5

ξfmhESR −= [ ]ba;∈ξEl error cometido es donde (6.9)

6.3.2- Análisis del Error de la Regla de Simpson Repetida De la ecuación (6.9) el error está dado por:

∑= ∈

≤≤∈

2/

1

)4()4(

)4(

],[)()(2

],[)(min n

jj bax

xmáxffnbax

xf ξ)(180

)4(5

ξfmhESR = nxx << ξ0 siendo que y que

donde es el número de subintervalos nos queda: que m abmh −= ,

4

4

180)( MhabESR

−≤

],[)()(

)4(

4)4(

baxxmáxfMf

∈=≤ξ siendo que

Ejemplo 6.2 – Dada la función definida en el intervalo [0; 1] xexf =)(a) Calcula el valor de la integral utilizando 10 subintervalos y la regla de 1/3 de Simpson b) Evalúa el error cometido c) ¿Cuántos subintervalos serán necesarios para que el error cometido sea menor que 10 3−

Respuesta:

1,010

01=

−=

−=

mabh10=m a) siendo que y

aplicamos la fórmula se 1/3 de Simpson repetida y tenemos

( ) ( )[ ] ...718282782.1...2...431,0 18.04.029.03.01.00 =+++++++++= eeeeeeeeI SR

el error absoluto es ...60000009534,0=AE

4

4

180)( MhabETR

−≤ calculamos que por tanto M xIV exf =)( 1

4 e=b) Aplicando la fórmula



614

1051,1180

1,0 −×=×= eETR valor aproximado del error

34

4

10180

)( −<− Mhab

c) si el error entonces: 310−<TRE debemos despejar el valor de h

06621.0101801

34 =

×<

−

eh 5073.006621.04 =<h y el valor de será m

9712,15073.01

==−

>h

abm , siendo que debe ser un número entero y mayor que 1,9712

asumimos que el valor de

m

2=m

6.4 – REGLA DE SIMPSON DE 3/8 ( ) [ ] [ ]baxx ,; 30 =3=m ; La función se aproxima por un polinomio de tercer grado )(3 xp)(xf

{ })()(3)(3)(83)()( 32103

83

3

0

xfxfxfxfhxpxfIb

a

x

xS+++≅== ∫ ∫

y el error esta dado por

)(803 )4(5

83 ξfhE

S−= siendo que [ ]30 ; xx∈ξ

6.5- INTEGRACIÓN NUMÉRICA CON LÍMITES INFINITOS O SINGULARIDADES

Algunos tipos de integrales que requieren atención especial como por ejemplo

∫∞

∞−

−= dxeI x2

, se extiende sobre un dominio infinito conforme 0→x

∫ +=

1

0 1)(1 dxex

Ix

∫=1

0

7.0 )cos( dxxxI tienen singularidades en 0=x

Una función es integrable en un dominio infinito o semi-infinito, solo si es significativamente distinta de cero en un dominio pequeño y se aproxima de cero conforme x se aproxima de ó . El paso para

efectuar la integral , consiste en sustituir los límites infinitos por límites finitos

, donde

∞− ∞

∫∞

∞−= dxxfI )(

∫−=X

XdxxfI )( X es un número tan grande que fuera de ese intervalo el valor es insignificante.

Gráficamente: )(xf

x− x


Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica 6.6 – APROXIMACIÓN A LAS DERIVADAS 6.6.1-DIFERENCIAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS Se define como derivada de una función )( ixf ′ )(xfy = , en un punto , a la expresión: ix

hxfhxf

hxf ii

i)()(

0lim)(

−+→

=′

Según la fórmula, una aproximación a la derivada en un punto cualquiera puede conseguirse

utilizando un valor pequeño de h . Así se obtiene la fórmula aproximada: ix

hxfhxf

xf iii

)()()(

−+≅′ ; denominada “ primera deferencia progresiva”, que representa la

pendiente de la recta BC de la figura C B A hxi − ix hxi + Otra aproximación a la derivada se consigue empleando la “primera diferencia regresiva” que es

hhxfxf

xf iii

)()()(

−−≅′ ; que proporciona la pendiente de la recta AB

6.6.2-Diferencia Central Por último, otra aproximación útil se obtiene empleando la “diferencia central” que se calcula como:

hhxfhxf

xf iii 2

)()()(

−−+≅′ ; que corresponde a la pendiente de la recta AC. La mejor

aproximación se obtiene con esta última fórmula. 6.7- DIFERENCIAS PARA LAS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Es posible obtener, por el mismo procedimiento, derivadas de orden superior al primero, considerando la derivada de una función del tipo )(xfy ′= . Teniendo en cuenta las aproximaciones anteriores, calculamos la segunda derivada:

hh

xfhxfh

hxfhxf

hxfhxf

xfiiii

iii

)()()()2()()(

)(

−+−

+−+

≅′−+′

≅′′



2

)()(2)2()(

hxfhxfhxf

xf iiii

++−+≅′′

Que constituye la fórmula de las diferencias progresivas para el cálculo aproximado de la derivada de 2º orden. )(xf

h h h h h ix

Nomenclaturas:

ii fxf =)(

1)( ±=± ii fhxf

2)2( ±=± ii fhxf . .. etc. Fórmulas:

2212

hfff

f iiii

−− +−≅ ; diferencias regresivas

211 2

hffff iii

i−+ +−

≅ ; diferencias centrales (mejor aproximación)

Para 3º y 4º orden:

3123 33

hffff

f iiiii

−+−=′′′ +++ Diferencias progresivas:

41234)( 464

hfffff

f iiiiiIVi

+−+−= ++++

3321 33

hffff

f iiiii

−−− −+−=′′′ Diferencias regresivas:

44321)( 464

hfffff

f iiiiiIVi

−−−− +−+−=

32112

222

hffff

f iiiii

−−++ −+−=′′′ Diferencias centrales:

42112)( 464

hfffff

f iiiiiIVi

−−++ +−+−=


Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica Como ya se ha visto, es usual expresar las derivadas en relación con los distintos valores que toma una función dada en puntos del eje x igualmente espaciados. La expresión general de una derivada depende de: orden de la misma, grado deseado para el polinomio de interpolación empleado para aproximar la función dada y el tipo de diferencias empleado. Según lo anterior, la derivación aproximada de una función tiene las expresiones que de indican a continuación, en la que se ha hecho ii fxf ≡)(

a) Empleo de diferencias progresivas a partir del punto 1x1) Grado del polinomio de aproximación igual a 1:

hfff 12

1−

≅′

2) Grado del polinomio de aproximación igual a 2:

hfff

f2

34 1231

−+−≅′ 2

1231

2h

ffff

−−=′′ ;


hffff

f6

111892 12341

−+−=′ 2

12341

254h

fffff

+−+−=′′ ;

31234

133

hffff

f−+−

=′′′

b) Empleo de diferencias regresivas a partir del punto 4x


hff

f 344

−≅′


2234

42h

ffff

+−=′′

hfff

f243 234

4+−

≅′ ;


21234

4452

hffff

f−+−

=′′h

fffff

6291811 1234

4−+−

=′ ;

31234

433

hffff

f−+−

=′′′

c) Empleo de diferencias centrales a partir del punto 3x


hfff

224

3−

≅′


2234

32h

ffff

+−=′′

hfff

224

3−

≅′ ;


2234

3 122

hfff

f+−

=′′h

fffff

688 1245

3+−+−

=′ ;



31245

3 222

hffff

f−+−

=′′′

Los resultados anteriores también pueden obtenerse manejando tablas de diferencias sobre funciones evaluadas en puntos equidistantes separados por una distancia h TABLA DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS

. . . ix if ifΔ if

2Δ if3Δ if

4Δ

1x 1f

1fΔ

2x 2f 12 fΔ

2fΔ 1

3 fΔ

3x 3f 22 fΔ 1

4 fΔ .

3fΔ if 23Δ

. . 4x 4f 3

2 fΔ . . .

4fΔ . . . . .

5x 5f . . . . . . . . . . Basada en la tabla anterior, valdría, empleando diferencias progresivas: 1f ′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Δ−++

Δ−

Δ+

Δ−Δ≅′

+

nfffff

hf

nn1

11

41

31

2

11)1(...

4321

de la misma forma sería: 1f ′′

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Δ+Δ−Δ≅′′ ...

12111

14

13

12

1 fffh

f

Se obtienen fórmulas análogas utilizando las diferencias regresivas o centrales.

EJERCICIOS6.8 – 6.1- Calcula las siguientes integrales usando la regla de los trapecios y la regla de Simpson, usando cuatro y seis divisiones para los intervalos de integración.

a) ∫ b) 2

1dxex ∫

4

1dxx

6.2- Usando las integrales del ejercicio anterior determine con cuantas divisiones del intervalo, en lo mínimo, podemos esperar obtener un margen de error menor que 5101 −×

∫ +

6.0

0 1 xdx

con tres casas decimales de precisión 6.3- Calcule el valor aproximado de

a) la regla de Simpson 1/3 b) la fórmula del trapecio c) ¿En que sentido la regla de Simpson es mejor que la del trapecio?.



6.4- ¿Cuál es el error máximo cometido en la aproximación de por la regla de Simpson

con 4 sub-intervalos?. Calcule por Trapecios y compare los resultados. ∫ +−

4

0

3 )133( dxxx

6.5- Utiliza medios analíticos para evaluar: 1) 2) ∫ +−+10

0

42 )56210( dxxxx ∫ +π

0)sen58( dxx

a) Evalúa las integrales con la regla del Trapecio simple y repita utilizando m=2, 4 y 6 b) Evalúa las integrales con la regla de Simpson de 1/3, con m = 4 y 6 c) Evalúa con la regla de Simpson de 3/8 y m = 5.

6.6- Calcula la siguiente integral ∫ +π

0)sen24( dxx

a) Analíticamente b) Por la regla del Trapecio y calcula el margen de error . c) Por la regla de Simpson de 1/3 y evalúa el error asociado. d) Por la regla de Simpson de 3/8 evaluando la cota máxima del error

6.7- Calcula la integral de los siguientes datos tabulados mediante la regla del trapecio x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x) 1 7 4 3 5 9

Repita el problema utilizando la regla de Simpson.

6.8- Determine el valor de h necesario para aproximar la integral: , usando la regla de

Simpson 1/3 repetida y la regla del Trapecio repetida con precisión de

∫ −5

0sen xdxe xh

510 −

6.9- Utilizando uno de los métodos numéricos para calcular las siguientes integrales con 3 decimales exactos.

a) ∫ +

2

1 21 xdx

b) ∫ 2

1

2cosh dxx

6.10- Calcule la sección transversal del canal mostrado en la figura, donde las flechas indican donde fueron efectuadas las mediciones. Utilice uno de los métodos numéricos para resolverlo. Profundidad 0 1.8 2.0 4 4 6 4 3.4 3.6 2.8 2 4 6 0 10 distancia en metros 6.11 – La distribución de velocidad de un fluido cerca de una superficie plana dada por la tabla:

x(mm) 0 2 4 6 8 v 0.0 9.8853 15.4917 18.2075 19.0210


Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica Evalúa las derivadas de que pueda en x = 0 v

6.12 – Los tiempos y velocidades correspondiente a un móvil viene dados por la tabla siguiente. Calcula la aceleración, en los instantes 0, 120, y 300 segundos

t 0 60 120 180 240 300 v 0,0 0,0824 0,2747 0,6502 1,3851 3,2229

6.13 – La siguiente tabla se obtiene por medio de la función : xxexf =)(

x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 )(xf 10,8894 12,7032 14,7781 17,1490 19,8550

Evalúa f ′ utilizando dos y tres puntos. Calcula los errores absolutos de las aproximaciones obtenidas. Emplear diferencias progresivas.

)2(

x6.14 – Sea , con )cos()( xxf = medido en radianes. Utilizando diferencias centradas a) Calcula aproximaciones a , utilizando las diferencias centradas y tomando )8,0(f ′ 1,0=h y

. Compara los valores obtenidos con )8,0()8,0( senf =′01,0=h . b) Calcula aproximaciones a utilizando las diferencias centradas y tomando )8,0(f ′′ 1,0=h y

. Compara los valores obtenidos con )8,0cos()8,0( −=′′f01,0=h .

)5:2(1 −P6.15.- Se dan los puntos de coordenadas y . Obtener una estimación para )5:2(2P )0(f ′ y , sabiendo que es )0(f ′′ 1)0( =f

6.16 – Utilice la fórmula de tres puntos más conveniente para determinar las aproximaciones para calcular

y )3,1(f ′ )3,1(f ′′x 1,1 1,2 1,3 1,4

)(xf 9,025013 11,02318 13,46374 16,44465 Sabiendo que los datos corresponden a la función , calcula los errores reales. xexf 2)( =

RiiLtE +′=)( Ω= 2R 05,0=L, Siendo , 6.17- Considerando que el voltaje de un circuito eléctrico es H y los valores de la corriente en amperios se relaciona con la tabla siguiente:

t 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 )(ti 8.2277 7.2428 5.9908 4.5260 2.91222

a) Determina mediante derivación numérica y utiliza este valor para calcular )2.1(i ′ )2.1(Eb) Compara con la expresión que se obtiene de )2(10)( 10/ tseneti t−=


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