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TEORÍA DE ECUACIONES
99
CAPÍTULO VII
TEORÍA DE ECUACIONES
7.1 INTRODUCCIÓN
Sea la ecuación racional entera de grado n
0..... 13
32
21
1 nnnnnn pxpxpxpxpx
Cuyos coeficientes se supondrán racionales.
Cualquier valor de x que anula a f(x) se llama raíz de la ecuación f(x)=0,
cuando se divide f(x) por (x – a), el residuo es cero; por tanto, si f(x) es
divisible por
(x – a), a es una raíz de la ecuación f(x)=0.
Toda ecuación de grado n tiene n raíces y solamente n. Si a,b,c, …. ,k son las
raíces de una ecuación f(x) de grado n, entonces dicha ecuación se puede
escribir como el producto de factores de la siguiente manera:
).().........)()(()( kxcabxaxxf
7.2 RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES DE
UNA ECUACIÓN.
En una ecuación de segundo, tercer y cuarto grado se tiene:
abxbaxabbxaxxbxax )())(( 22
abcxbcacabxcbax
abcxcbacxabxxbaxcxbxax
)()(
)()())()((
23
223
abcdxbcdacdabdabc
xcdbdadbcacabxdcbax
abcdxdbcacabdxcbadxabcx
xbcacabxcbaxdxcxbxax
)(
)()(
)()(
)()())()()((
234
23
234
Para una ecuación de grado n y raíces a,b,c, …. ,k
))........()((..... 12
21
1 kxbxaxpxpxpxpx nnnn
ÁLGEBRA I 100
nn
nnnnnn
nnnn
SxSxSxSxSx
pxpxpxpx
)1()1(....
.....
113
32
21
1
12
21
1
Donde
11 Sp Suma de las raíces
22 Sp Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de dos en dos
33 Sp Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de tres en
tres
……………..
nn
n Sp )1( Producto de las raíces.
Lo cual permite formar en función de los coeficientes, un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas, esto hace suponer la posibilidad de resolver
cualquier ecuación de grado n, sin embargo, esto no es posible por que el
sistema de ecuaciones así formado es incompatible. Por tanto, es necesario que,
para resolver la ecuación se conozca algún otro dato de la misma.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 0623204 23 xxx
Sabiendo que tiene dos raíces iguales
Dividimos todo entre 4 02
3
4
235 23 xxx
Sean las raíces: a, a, b
La suma de las raíces será: a+a+b=-5 → b=-5-2a (1)
La suma de las combinaciones de las raíces tomadas de dos en dos es:
aa+ab+ab=a2+2ab=-23/4 (2)
(1) en (2)
04
23103
4
23)25(2
2
2
aa
aaa
6
1310
6
16910
6
4
23)3(41010 2
a
6
23;
2
1aa
el valor de a=1/2 satisface la ecuación, la otra raíz será:
TEORÍA DE ECUACIONES
101
62
125b
Verificación
23 31 5
4 2
1 11 121 0
2 2 4
11 6 0
2
6 1 0
La comprobación de Horner permite verificar las raíces, 1
2 es raíz, por que el
último residuo es cero, la primera línea contiene los coeficientes de la ecuación
cúbica, la segunda los de la ecuación cuadrática, esto es equivalente a dividir
3 2
2
23 35
11 124 21 2 4
2
x x x
x x
x
Esta división tiene residuo cero, comprobando que 1
2 es raíz de la ecuación.
Las siguientes operaciones muestra que 1
2 es otra raíz lo mismo que -6
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 3 254 39 26 16 0x x x
Sabiendo que sus raíces están en progresión geométrica
Dividiendo todo entre 54 se tiene: 3 239 26 160
54 54 54x x x
Sean las raíces: ; ;a
a arr
El producto de las raíces será: 316 8 8( )
54 27 27
aa ar a
r
+ + +
x
x x
= = =
ÁLGEBRA I 102
2
3a
La suma de las raíces: 39 1 13
154 18
aa ar a r
r r
1 13 3 13 251 1
18 2 12 12r
r
2 25 625 4(144)251 0
12 24r r r
4 3;
3 4r r Cualquiera de estos valores satisface
Las raíces serán: 1 2 3
22 2 3 1 83; ;
33 3 4 2 9
4
x x x
Ejemplo 3
Resolver la ecuación 3 218 81 121 60 0x x x
Siendo una de sus raíces la semisuma de las otras dos
Dividiendo todo entre 18 se tiene: 3 281 121 600
18 18 18x x x
La suma de las raíces: 81 9
18 2a b c (1)
Sea: (2) 22
b ca a b c
9 3
2 32 2
a a a a
(2) en (1)
3 9( ) 3
2 2 2
b cb c b c b c
El producto de las raíces será: 10 20
2 3 9
b cbc bc
Si buscamos una ecuación cuya suma de las raíces sea -3 y el producto 20/9
podemos escribir la ecuación:
TEORÍA DE ECUACIONES
103
2
20 13 9 4 3
20 9 33 09 2 2
y y y
1 2
5 4;
3 3y b y c
5 49 33 3
2 6 2a
Ejemplo 4
Resolver la siguiente ecuación sabiendo que sus raíces están en progresión
aritmética 4 3 210 25 250 0x x x x
Factorizando x se tiene: 3 2( 10 25 250) 0x x x x
Obteniéndose la primera raiz 1 0x , supongamos que las otras raíces son:
2 3 4 53 ; ; ; 3x a d x a d x a d x a d
La suma de las raíces será:
53 3 10 ; 4 10 ;
2a d a d a d a d a a
El producto de las raíces será:
2 2 2 2
( 3 )( )( )( 3 ) 0
5( 9 )( ) 0 ;
2
a d a d a d a d
a d a d a d
1 1
5 53 3 5 ; 5
2 2x a d x
2 2
5 50 ; 0
2 2x a d x
3 3
5 55 ; 5
2 2x a d x
4 4
5 53 3 10 ; 10
2 2x a d x
ÁLGEBRA I 104
7.3 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN
En una ecuación con coeficientes reales, las raíces imaginarias son dos
a dos conjugadas; es decir, si a+ib es una raíz, entonces a-ib también
lo es.
En una ecuación con coeficientes racionales, las raíces irracionales se
presentan en pares; es decir, si a b es una raíz, entonces a b
también lo es.
Ejemplo 5
Resolver 4 3 223 3 60 0x x x x Sabiendo que una raíz es 1 3x
Si una raíz es: 1 3x otra raíz será 2 3x por tanto la ecuación es
divisible entre 2( 3)( 3) 3x x x
4 3 2 2
4 2 2
3 2
3
2
2
23 3 60 3
3 20
20 3
3
20 60
20 60
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x
x
2 20 ( 4)( 5) 0x x x x
Las raíces serán: 1 2 3 43 ; 3 ; 4 ; 5x x x x
Ejemplo 6
Resolver 4 3 25 19 14 0x x x x Sabiendo que una raíz es 1 3 2x
Si una raíz es: 1 3 2x otra raíz será 2 3 2x por tanto la ecuación es
divisible entre 2 2
( 3 2)( 3 2)
3 2 3 9 3 2 2 3 2 2 6 7
x x
x x x x x x x
TEORÍA DE ECUACIONES
105
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
5 19 14 6 7
6 7 2
8 19
6 7
2 12 14
2 12 14
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
2 2 ( 2)( 1) 0x x x x
Las raíces serán: 1 2 3 43 2 ; 3 2 ; 1 ; 2x x x x
Ejemplo 7
Resolver 5 4 28 9 15 0x x x x Sabiendo que una raíz es 1 3x y otra
3 1 2 1x
Si una raíz es: 1 3x otra raíz será 2 3x
También si: 3 1 2 1x es una raíz, la otra será: 4 1 2 1x por tanto la
ecuación es divisible entre
2
2 2
2 2 4 3 2
( 3)( 1 2 1)( 1 2 1)
( 3)( 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 1 1
( 3)( 2 5) 2 2 6 15
x x x
x x x x x x
x x x x x x x
5 4 2 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
8 9 15 2 2 6 15
2 2 6 15 1
2 2 6 15
2 2 6 15
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
Por tanto la última raíz es: 5 1x
Ejemplo 8
Resolver la siguiente ecuación sabiendo que una de sus raíces es igual a uno 5 4 3 25 5 6 6 0x x x x x
Puesto que una raíz es igual a uno reducimos la ecuación a:
0605011
665511
ÁLGEBRA I 106
4 2 2 25 6 0 ; ( 2)( 3) 0x x x x
Por tanto las raíces son:
1 2 3 4 51 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3x x x x x
7.4 NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN
Si los coeficientes son todos positivos la ecuación no puede tener
ninguna raíz positiva. La ecuación 5 4 3 22 3 8 19 12 0x x x x x no tiene ninguna raíz positiva.
Si los coeficientes de las potencias pares de x son todos del mismo
signo, y los coeficientes de las potencias impares son todos de signo
contrario, la ecuación no tiene raíces negativas; la ecuación 7 5 4 37 8 5 25 0x x x x x no tiene raíces negativas.
Si la ecuación contiene solamente potencias pares de x y los
coeficientes son todos del mismo signo, la ecuación no tiene raíces
reales; la ecuación: 6 4 27 8 5 0x x x no tiene raíces reales.
Si la ecuación contiene solamente potencias impares de x y los
coeficientes son todos del mismo signo, la ecuación no tiene una
raíz real excepto x = 0; la ecuación: 7 5 33 8 2 0x x x x no
tiene ninguna raíz real excepto x = 0
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
Una ecuación f(x) = 0 no puede tener mas raíces positivas que el
número de cambios de signo que hay en f(x), y no puede tener más
raíces negativas que el número de cambios de signo que haya en
f(-x)
Si f(a) y f(b) son de signos contrarios la ecuación f(x)=0 tiene una raíz
comprendida entre a y b.
Toda ecuación de grado impar tiene por lo menos una raíz real cuyo
signo es opuesto al de su último término.
Toda ecuación de grado par cuyo último término es negativo, tiene
como mínimo dos raíces reales, una positiva y una negativa.
( ) ; (0) ; ( )nf f p f
Si las expresiones f(a) y f(b) tienen signos contrarios, un número impar
de raíces de f(x)=0 estará comprendido entre a y b , y si f(a) y f(b)
tiene el mismo signo, ninguna raíz o un número par de ellas, estarán
comprendidas entre a y b.
TEORÍA DE ECUACIONES
107
7.5 TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES
Efectuar transformaciones en una ecuación resulta útil para su resolución
posterior, algunas de ellas son las siguientes:
Transformar una ecuación en otra tal que:
a) Sus raíces sean de signos contrarios al de la ecuación original.
Si ponemos (-y) en lugar de x obtenemos la ecuación f(-y) que tendrá sus raíces
de signos contrarios a los de f(x)
Ejemplo 9
Sea la ecuación 4 3 2( ) 10 26 10 1 0f x x x x x
Hallar la ecuación cuyas raíces sean de signos contrarios a f(x) 4 3 2( ) 10 26 10 1 0f y y y y y
b) Sus raíces sean iguales a las de la ecuación propuesta multiplicadas
por una cantidad dada.
Sea f(x)=0 la ecuación propuesta y q la cantidad dada, entonces y=qx o bien
q
yx entonces la ecuación buscada es 0
q
yf
Esta transformación permite eliminar denominadores en una ecuación de
coeficientes fraccionarios.
Ejemplo 10
Eliminar los denominadores de la siguiente ecuación:
3 23 1 32 0
2 8 16x x x
Sea q
yx y multiplicando todo por q
3 se tiene:
3 2 2 33 1 32 0
2 8 16y qy q y q
Para q=4 todos los coeficientes se convierten en enteros y dividiendo por 2
obtenemos: 3 23 6 0y y y
Las raíces de la ecuación
3 23 1 32 0
2 8 16x x x
son: 1 2 3
1 13 1 13 1; ;
8 8 8 8 2x x x
Mientras que las raíces de la ecuación
ÁLGEBRA I 108
3 23 6 0y y y
son: 1 2 3
1 13 1 13; ; 2
2 2 2 2x x x
Nótese que las raíces de la segunda son iguales a las raíces de la primera
multiplicadas por 4.
c) Sus raíces sean las recíprocas de la ecuación propuesta.
Sea f(x)=0 la ecuación propuesta, si y=1/x entonces x=1/y la ecuación
buscada es 01
yf
d) Transformar una ecuación en otra cuyas raíces excedan a las de la
ecuación propuesta en una cantidad dada,
Sea f(x)=0 la ecuación propuesta y h la cantidad dada; hagamos y=x+h,
de manera que x= y - h; entonces, la ecuación requerida es f(y-h)=0.
Análogamente f(x+h)=0 es una ecuación cuyas raíces son menores en h
que las de f(x)=0.
La aplicación de esta transformación permite eliminar cualquier término
de una ecuación. Así por ejemplo, si se tiene la ecuación: 1 2
0 1 2 1..... 0n n nn np x p x p x p x p
Hagamos y=x-h; obtenemos la nueva ecuación 1 2
0 1 2 1( ) ( ) ( ) ..... ( ) 0n n nn np y h p y h p y h p y h p
Ordenando en potencias descendentes de y, se tiene 1
0 0 1
2 20 1 2
( )
( 1)( 1) ... 0
2!
n n
n
p y np h p y
n np h n p h p y
Si el término que se desea eliminar es el segundo, bastará que
0 1 0np h p , de manera que 1
0
;p
hnp
si el término que se desea
eliminar es el tercero, entonces:
20 1 2
( 1)( 1) 0;
2!
n np h n p h p
y obtenemos así una cuadrática para encontrar h, análogamente se puede
eliminar cualquier otro término.
Ejemplo 11
Eliminar el segundo término de la siguiente ecuación
TEORÍA DE ECUACIONES
109
3 26 10 3 0x x x
Hacemos 1
0
62
3(1)
ph
np
1 6 10 3
2 1 4 2 1
1 2 2
1 0
1
3 2 1 0x x
La ecuación así transformada tiene sus raíces menores en 2 unidades a las de la
ecuación inicial.
Las raíces de 3 26 10 3 0x x x
Son: 1 2 3
3 5 3 5; ; 3
2 2 2 2x x x
Mientras que las raíces de 3 2 1 0x x
Son: 1 2 3
1 5 1 5; ; 1
2 2 2 2x x x
Ejemplo 12
Eliminar el segundo término de la siguiente ecuación
6 5 212 3 17 300 0x x x x
Hacemos 1
0
122
6(1)
ph
np
1 12 0 0 3 17 300
2 1 10 20 40 77 171 42
1 8 36 112 301 773
1 6 48 208 717
1 4 56 320
1 2 60
1 0
1
ÁLGEBRA I 110
6 4 3 260 320 717 773 42 0x x x x x
7.6 ECUACIONES RECÍPROCAS
Son aquellas que no se alteran al sustituir x por 1/x, si la ecuación dada es
0..... 13
32
21
1 nnnnnn pxpxpxpxpx
La ecuación obtenida después de sustituir x por 1/x, y quitar denominadores
es: 01..... 1
3
3
2
2
1
1 xpxpxpxpxp n
n
n
n
n
n
n
n
Como estas dos ecuaciones son iguales se tiene:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
pp
1,,..........,, 1
12
22
21
1
Del último resultado tenemos pn=±1, y en consecuencia tenemos dos clases
de ecuaciones recíprocas.
1.- Primera clase. Si pn=1, entonces
;.....;; 332211 nnn pppppp
Es decir, los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales.
2.- Segunda clase. Si pn=-1, entonces
;.....;; 332211 nnn pppppp
En este caso los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos
son iguales en magnitud y opuestos en signo, si la ecuación es de grado par ,
el término intermedio está fuera de regla.
Si f(x)=0 es de primera clase y grado impar tiene una raíz -1; de
manera que f(x) es divisible entre x+1. si g(x) es el cociente,
entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y
de grado par.
Si f(x)=0 es de segunda clase y grado impar tiene una raíz +1; de
manera que f(x) es divisible entre x-1. si g(x) es el cociente,
entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y
de grado par.
Si f(x)=0 es de segunda clase y grado par tiene una raíz +1 y otra
raíz -1; de manera que f(x) es divisible entre x2-1. si g(x) es el
cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera
clase y de grado par.
Toda ecuación recíproca de grado par, puede ser reducida a una ecuación de
grado mitad.
Ejemplo 13
TEORÍA DE ECUACIONES
111
Resolver la siguiente ecuación recíproca. 4 3 2( ) 10 26 10 1 0f x x x x x
Esta es una ecuación recíproca de primera clase y grado par.
Dividimos la ecuación entre x2, reordenando de la siguiente manera:
0110
26102
2
xxxx
0261
101
2
2
xx
xx
hagamos
21
112
1
1
2
2
2
2
2
2
2
zx
x
zxx
xxx
x
zx
x
La ecuación transformada será:
0)4)(6(2410
026102
2
2
zzzz
zz z=4 ; z=6
014;41;41 22 xxxxx
x
4 16 4 4 122 3
2 2x
016;61;61 22 xxxxx
x
6 36 4 6 323 8
2 2x
Las raíces serán:
1 2 3 42 3 ; 2 3 ; 3 8 ; 3 8x x x x
Ejemplo 14
Resolver la siguiente ecuación recíproca. 4 3 22 6 2 0x x x x
Esta es una ecuación recíproca de primera clase y grado par.
ÁLGEBRA I 112
Dividimos la ecuación entre x2, reordenando de la siguiente manera:
021
622
2
xxxx
0611
22
2
xx
xx
Hagamos:
21
112
1
1
2
2
2
2
2
2
2
zx
x
zxx
xxx
x
zx
x
La ecuación transformada será:
0)2)(52(102
06426)2(2
2
22
zzzz
zzzz z=-5/2 ; z=2
012;21;21 22 xxxxx
x
( 1)( 1) 0x x
012
5;
2
51;
2
51 22 xxxxx
x
5 25 5 9 5 34
2 4 2 4 2 2
2 2 2x
Las raíces serán: 1 2 3 4
11 ; 1 ; 2 ;
2x x x x
7.7 ECUACIONES CÚBICAS
FÓRMULA DE CARDANO TARTAGLIA
La ecuación cúbica tiene la forma: 3 2 0x Px Qx R
Eliminando el segundo término se reduce a: 3 0x qx r (a)
TEORÍA DE ECUACIONES
113
Sea x = y + z ; elevando al cubo ambos miembros se tiene: 3 3 3 2 2 3
3 3 3 3 3
( ) 3 3
3 ( ) 3
x y z y y z yz z
x y z yz y z y z yzx
Reemplazando x3 en (a) se obtiene:
3 3 (3 ) 0y z yz q x r
Para que esta ecuación se cumpla hacemos: y3+z
3=-r ; 3yz+q=0
33 3 3 3;
27
qy z r y z
Si consideramos y3=t1 ; z
3=t2 como raíces de una ecuación cuadrática
podemos escribir: 3
2 027
qt rt
Las raíces son:
32
2 33
1
427
(1)2 2 4 27
qr r
r r qt y
32
2 33
2
427
(2)2 2 4 27
qr r
r r qt z
Como x = y + z tenemos:
1 1
3 32 3 2 3
2 4 27 2 4 27
r r q r r qx
Que se conoce como la fórmula de Cardano (1545)
Las ecuaciones (1) y (2) tienen tres raíces cúbicas, por tanto parece que x puede
tomar nueve valores; este, sin embargo, no es el caso. Porque como 3
qyz ,
las raíces cúbicas deben ser tomadas a pares de modo que el producto de cada
par sea racional. Por tanto, si y, z son los valores para cualquier par de raíces
cúbicas que satisfacen esta condición, los demás únicos pares admisibles serán:
w1 y+ w2 z, w2 y+ w1 z, en donde, 1 2
1 3 1 3;
2 2 2 2w w
son las raíces cúbicas imaginarias de la unidad.
ÁLGEBRA I 114
Las raíces cúbicas de la ecuación 3 0x qx r son:
1 2 2 1; ;y z w y w z w y w z
Ejemplo 15
Resolver 3 18 35 0x x
q=-18 ; r=-35 3 3
3 3 3 3 1835 ; 216
27 27
qy z r y z
2
31
32
35 216 ( 8)( 27) 0
8 2
27 3
t t t t
t y y
t z z
12 3 5 ; 5x y z x
2 1 2
1 3 1 32 3
2 2 2 2x w y w z
2
3 3 3 5 31 3
2 2 2 2x
3 2 1
1 3 1 32 3
2 2 2 2x w y w z
3
3 3 3 5 31 3
2 2 2 2x
Las raíces son:
1 2 3
5 3 5 35 ; ;
2 2 2 2x x x
Ejemplo 16
Resolver 3 215 33 847 0x x x
15
53 3
q
p
1 15 33 847
5 1 10 83 432
1 5 108
1 0
1
TEORÍA DE ECUACIONES
115
La ecuación reducida cuyas raíces son menores en 5 unidades que las de la
ecuación original será: 3 108 432 0x x
q=-108 ; r=432 3 3
3 3
3 3
10846656
27 27
432
qy z
y z r
2
2
432 46656 0
432 432 4(46656) 432 0216
2 2
t t
t
31216 6 ; 6 6 12y z x y z
2 3 1 2 1 2
1 3 1 3( ) ( 6) 6
2 2 2 2x x w y w z w w y
Las raíces de la ecuación original son 5 veces mayores que las de esta ecuación,
por tanto:
1 2 312 5 7 ; 6 5 11x x x
Ejemplo 17
Resolver la ecuación 3 213 3 39 0x x x
q = -13 ; p = 1
13
3 3
q
p
1 13 3 39
13 26 365 36921
3 3 9 27
13 13 5341
3 3 9
131 0
3
La ecuación reducida cuyas raíces son menores en 5 unidades que las de la
ecuación original será: 3 534 36920
9 27x x
q=-534/9 ; r=3692/27
ÁLGEBRA I 116
3
3 3
3 3
3692
5032514927
27 531441
534
9
y z
y z r
2
2
3692 1522733000
27 19683
3692 3692 1522733004
27 27 19683 432 0216
2 2
t t
t
31216 6 ; 6 6 12y z x y z
2 3 1 2 1 2
1 3 1 3( ) ( 6) 6
2 2 2 2x x w y w z w w y
Las raíces de la ecuación original son 5 veces mayores que las de esta ecuación,
por tanto:
1 2 312 5 7 ; 6 5 11x x x
7.8 ECUACIONES DE CUARTO GRADO
7.8.1 SOLUCIÓN DE FERRARI
Sea la ecuación: 4 3 22 2 0x px qx rx s
Sumando (ax+b)2 a los dos miembros de la ecuación se tiene:
4 3 2 2 2 2 22 2 2 ( )x px qx rx s a x abx b ax b
4 3 2 2 2 22 ( ) 2( ) ( )x px q a x r ab x s b ax b
Igualando ambos miembros de la ecuación a (x2+px+k)
2 e igualando
coeficientes:
TEORÍA DE ECUACIONES
117
2
2
4 3 2
3 2 2
2 2
4 3 2 2 22 (2 ) 2
x px k
x px k
x px kx
px p x pkx
k x pkx k
x px k p x pkx k
2k+p2=q+a
2 ; 2(r+ab)=2pk ; k
2=s+b
2
2k+p2- q = a
2 (1) ; ab=pk - r
k2- s = b
2 (2) ; a
2b
2=(pk - r)
2 (3)
(1) y (2) en (3)
(pk - r)2=(2k + p
2 - q)( k
2- s)
p2k
2-2prk+r
2=2k
3-2ks+p
2k
2-p
2s-qk
2+qs
2k3-qk
2+2(pr-s)k-p
2s+qs-r
2=0
La cual es una ecuación cúbica que siempre tiene una raíz real, y como:
(x2+px+k)
2 = (ax+b)
2
x2+px+k = ± (ax+b)
Las raíces buscadas serán las soluciones de:
x2+(p - a)x+(k-b) =0
x2+(p+ a)x+(k+b) =0
Ejemplo 18
Resolver la ecuación x4-3x
2- 42x- 40 = 0
Se tiene que: p=0 ; q= -3 ; r= -21 ; s= -40
Sustituyendo en: 2k3-qk
2+2(pr-s)k-p
2s+qs-r
2=0
2k3+3k
2+2(40)k+(-3)(-40)-(-21)
2=0
2k3+3k
2+80k+120-441=0
2k3+3k
2+80k-321=0
Hallamos una solución real de esta ecuación mediante el método de las
aproximaciones de Horner.
2 3 80 -321
3 2 9 107 0 k = 3
2k+p2-q=a
2 k
2-s=b
2
2(3)+3=a2 ; a=±3 3
2+40=b
2 ; b=±7
Como: ab = pk-r = 21 entonces a=3 ; b=7
x2+(p-a)x+(k-b) =0
x2+(-3)x+(3-7) =x
2-3x-4=(x-4)(x+1)=0
x1= -1 ; x2= 4
x2+(p+a)x+(k+b) =0
ÁLGEBRA I 118
x2+3x+(3+7) =x
2+3x+10=0
2
313;
2
313
2
313
2
)10(493
43 xx
x
Ejemplo 19
Resolver x4+8x
3+9x
2-8x-10=0
P = 4 ; q = 9 ; r = -4 ; s = -10
Sustituyendo en: 2k3-qk
2+2(pr-s)k-p
2s+qs-r
2=0
2k3-9k
2+2(4(-4)-(-10))k-4
2(-10)+9(-10)-(-4)
2=0
2k3-9
2 - 12k+54=0
2 -9 -12 54
9/2 2 0 -24/2 0 k=9/2
2k+p2-q=a
2 k
2-s=b
2
2(9/2)+16-9=a2 ; a=±4 (9/2)
2+10=b
2 ; b=±11/2
Como: ab = pk-r =4(9/2)+4=22 entonces a=4 ; b=11/2
x2+(p-a)x+(k-b) =0
x2+(4-4)x+(9/2-11/2) =x
2-1=(x-1)(x+1)=0
x1= -1 ; x2= 1
x2+(p+a)x+(k+b) =0
x2+(4+4)x+(9/2+11/2) =x
2+8x+10=0
64;64
642
628
2
248
2
)10(4648
43 xx
x
7.8.2 SOLUCIÓN DE DESCARTES
Sea la ecuación reducida: x4+qx
2+rx+s=0
Supóngase que: x4+qx
2+rx+s=(x
2+kx+l)(x
2-kx+m)
x4+qx
2+rx+s=x
4-kx
3+mx
2+kx
3-k
2x
2+kmx+lx
2-klx+ml
x4+qx
2+rx+s=x
4+(m-k
2+l)x
2+k(m-l)x+ml
Igualando coeficientes se tiene:
l+m-k2=q → l=q+k
2-m (1) ; m=q+k
2-l (3)
k(m-l)=r → m=r/k + l (2) ; l=m-r/k (4)
lm=s → 2l 2m=4s (5)
(2) en (1) 2l=q+k2-r/k (6)
TEORÍA DE ECUACIONES
119
(4) en (3) 2m=q+k2+r/k (7)
(6) y (7) en (5) (q+k2-r/k)( q+k
2+r/k)=4s
q2+qk
2+qr/k+qk
2+k
4+rk-rq/k-rk-r
2/k
2=4s //*k
2
k6+2qk
4+(q
2-4s)k
2-r
2=0
La cual es una ecuación cúbica en k2que tiene siempre una solución positiva
real, conocido el valor de k se puede hallar los valores de l y m, la solución de
la ecuación cuártica se obtiene resolviendo las dos cuadráticas
x2+kx+l=0 ; x
2-kx+m=0
Ejemplo 20
Resolver x4-3x
2-42x-40=0
q=-3 ; r=-42 ; s=-40
k6+2qk
4+(q
2-4s)k
2-r
2=0
k6+2(-3)k
4+((-3)
2-4(-40))k
2-(-42)
2=0
k6-6k
4+169k
2-1764=0
1 -6 169 -1764
9 1 3 196 0 k2=9 ; k=3
2l=q+k2-r/k ; 2m=q+k
2+r/k
2l=-3+9+42/3=20 ; 2m=-3+9-42/3=8
l=10 ; m=4
x2+kx+l=0 ; x
2-kx+m=0
x2+3x+10=0 ; x
2-3x+4=0
2
4093x ; (x-4)(x+1)=0
1;4;2
313;
2
3134321 xxxx
Ejemplo 21
Resolver x4+8x
3+9x
2-8x-10=0
Para resolver esta ecuación aplicando la solución de Descartes, previamente
debemos eliminar el término de grado 3, para ello 24
8
np
q
1 8 9 -8 -10
-2 1 6 -3 -2 -6
-2 1 4 -11 20
-2 1 2 -15
-2 1 0
1
ÁLGEBRA I 120
La ecuación reducida será:
x4-15x
2+20x-6=0
q=-15 ; r=20 ; s=-6
k6+2qk
4+(q
2-4s)k
2-r
2=0
k6+2(-15)k
4+((-15)
2-4(-6))k
2-(20)
2=0
k6-30k
4+249k
2-400=0
1 -30 249 -400
16 1 -14 25 0 k2=16 ; k=4
2l=q+k2-r/k ; 2m=q+k
2+r/k
2l=-15+16-20/4=-4 ; 2m=-15+16+20/4=6
l=-2 ; m=3
x2+kx+l=0 ; x
2-kx+m=0
x2+4x-2=0 ; x
2-4x+3=0
2
244x ; (x-3)(x-1)=0
1;3;62;62 4321 xxxx
Estas raíces son mayores a las de la ecuación original en dos unidades, por
tanto las raíces de la ecuación original serán:
1;1;64;64 4321 xxxx
7.9 APROXIMACIONES DE HORNER
Ejemplo 22
Mediante el método de las aproximaciones de Horner hallar una raíz de la
ecuación: 3 26 169 1764 0x x x
1 6 169 1764
6 1 12 145 849
7 1 13 260 56
Existe una raíz entre 6 y 7 más próxima a 7
TEORÍA DE ECUACIONES
121
1 6 169 1764
6,9 1 12,9 258,01 16,27
6,86 1 12,87 257,22 0,5264
6,858 1 12,858 257,18 0,2585
6,8585 1 12,8585 257,19 0,06223
6,8586 1 12,8586 257,192 0,022
6,85866 1 12,85866 257,193 0,0005583
La raíz de la ecuación es x = 6,85866
7.10 ECUACIONES EXPONENCIALES
Sea función exponencial de la forma ax=b , logaritmizando se tiene:
loglog log ;
log
bx a b x
a
Si la base es a se tiene: log
loglog
aa
a
bx b
a
Ejemplo 23
Resolver
3 224 10000x
(3 2)log24 log(10000)
43 2 2,8981
1.380211
x
x
2,8981 21,63269
3x
ÁLGEBRA I 122
Ejemplo 24
Resolver 2 35 625x x
2
2 4
2
( 3 )log5 log(625)
( 3 )log5 log5 4log5
3 4
x x
x x
x x
2 3 4 ( 4)( 1) 0
4 ; 1
x x x x
x x
