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MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 2
MÉTODO DE HARDY CROSS
Calcula: Los momentos flectores en los extremos de los elementos.
CUESTIONES PRELIMINARES:
a. Definir las condiciones de restricción de los apoyos.
- Empotrado (E)
- Articulado (A)
- Volado (V)
Ejemplos:
El apoyo intermedio (2), se considera empotrado por presentar momentos
internos y, además por existir a ambos lados otros apoyos articulados o
empotrados o combinación de ambos.
b. La rigidez relativa de los elementos se obtiene de acuerdo a las
condiciones de restricción de los apoyos, como sigue:
(
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 3
c. Para el proceso de distribución de los momentos de empotramiento
perfecto de los elementos del sistema, deberá tenerse presentarse lo
siguiente:
c.1 Empezar por el nudo articulado de existir un momento, distribuir y
transmitir para cerrar definitivamente.
c.2 Continuar con el nudo de mayor momento absoluto, esto con la
finalidad de una rápida convergencia.
c.3 Terminar el proceso con una distribución y con una transmisión. Si la
distribución llega a un apoyo externo empotrado, este valor deberá
transmitirse como paso final.
DEMOSTRACIÓN
1º. Rigidez por flexión:
La rigidez es la propiedad de resistencia que ofrecen los elementos a la
deformación.
La rigidez por Momento flexionante, es igual a la carga aplicada (M) entre la
deformación producida por esta .
A. Sistema: Empotrado – Empotrado
Asumiendo para todo efecto, horario positivo.
Maney:
( )
( )
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 4
Factores de transporte:
El factor de transporte de momentos, se define como la relación existente
entre los momentos
B. Sistema: Empotrado – Articulado
Maney:
( )
( )
Factores de transporte:
Realizando el cociente:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 5
2º. Coeficientes de Distribución:
Sabemos:
∑ ∑
∑
∑
Por equilibrio en el Nudo “i”:
∑
(6) en (5):
∑
Reemplazando:
∑
∑
∑
∑
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 6
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
Como:
∑
∑
3º. Momentos por desplazamientos: Asumiendo horario positivo.
A. Sistema: Empotrado - Empotrado
Maney:
( )
( )
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 8
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01
Resolver la estructura mostrada en la figura y dibujar el DFC y DMF
SOLUCIÓN:
1000 kg/m
1 2
3 4
5
2I
4m
4m
10m
1500 kg/m
1000 kg/m
1 2
3 4
5 E
E
E
E
E
2I
2I
I
1500 kg/m
I
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 9
1º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
∑ ∑
Nudo:
∑ ∑
2º. M.E.P
1000 kg/m
1 22IM12
0M
21
0
3 42I
1500 kg/m
M34
0
M43
0
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 10
3º. Proceso de distribución
1ra Iteración:
Nudo:
Nudo:
1 2
3
5
-8333
-1355
-68
-6
-9762
0
-2232
-3392
-303
-168
-24
-13
-5478
0
8333
-2709
-135
-11
5478
0 0.444 0.556
0.444 0.5560.444
4
-12500
1788
243
12
-14033
0
-4463
-1696
605
-84
48
-7
3
8333
-4463
-605
48
3
0
12500
-3575
485
24
2
-5594-38079436
0
-2232
303
24
-1905
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 11
2da Iteración:
Nudo:
3ra Iteración:
Nudo:
4º. Momentos de Maney
5º. Momentos flectores:
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 12
6º. Isostatización de las barras}
7º. DFC y DMF
1000 kg/m
1 2
10 m5478
4571.65428.4
9762
3 4
1500 kg/m
10 m
7040.37959.7
14033 9436
4m
2768
5478
27685594
1
2
4m
1428
3807
27681905
4
5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 13
6.524 3.476
-9762-5478
-14.033
-5478
1905
-9436
7084
4971
-3807
5478
5.306 4.693
5594
D.M.F.
5.428 4.572
5428.4
4571.6
2768
5.306 4.693
7959.7
-7040.3
1428
D.F.C.
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 14
PROBLEMA Nº 02
Resolver la estructura mostrada en la figura y dibujar el DFC y DMF
SOLUCIÓN:
1º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
∑ ∑
Nudo:
(
)
∑ ∑
1
2 3
45
4m 6m 3m
4m8000 kg
2m
2m
6000 kg/m
1
2 3
45 E
E E
8000 kg
2m
2m
2I
2I 4I
2I
A
A
6000 kg/m
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 15
2º. M.E.P
3º. Proceso de distribución
2 36m
6000 kg/m
M23
0
M32
0
4m
M25
0
M52
0
8000 kg
2m
2m
5
2
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 16
1ra Distribución y Transmisión:
Nudo:
Nudo: Nó
2da Distribución y Transmisión:
Nudo:
3ra Distribución y Transmisión:
Nudo:
4º. Momentos de Maney
1
2
3
45
-7200
5779
-4723
2437
-421
217
-38
20
-4
2
-3931
-4000
2173
916
82
7
1
-821
0
3248
1370
122
11
1
4752
10800
2890
-9446
1219
-841
107
-75
10
-7
4659
0
-4244
-378
-34
-3
-4659
0.194 0.5160.290 0.690 0.3101
01
-4000
1087
1219
109
10
1
6426
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 17
5º. Momentos flectores:
PROBLEMA Nº 03
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 18
SOLUCIÓN:
1º. Grado de Hipergeometría: 3º GRADO (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
∑ ∑
10 Kips
4
1
32
10’
6’
8’ 10’
10I
5I
5√2I
10 Kips
4
1
32
10I
5I
E
EE
E
5√2I
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 19
Nudo:
√
√
∑
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
5º. Momentos del 1er Cross:
6º. De la estática 1er Cross
A nivel -
7º. Momentos por desplazamiento:
( )
Nota:
( )
( )
R
32
0 0
10
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 20
( )
√
√
(
)
(
)
( √ )
√ (
)
8º. 2do Cross de desplazamientos:
9º. Momentos de 2do Cross
4
1
2’
10’
10√2
10’
37º
ø12
53ºø
23
θ3
θ3
ø34
√2Δ
3’
θ2θ2
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 21
10º. De la estática 2do Cross
∑
∑
4
1
3
300
-250
-23
27
92
300
-500
-46
-2
700
-500
-46
-2
4
-248248
183
700
-250
-23
618
8
-1000
367
15
-618
8
-1000
184
-808
0
2
2/3 1/3 ½ ½
0
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 22
∑
A nivel -
11º. Momentos de cross finales
(
)
248
4
32
6
10’
10
86.6V =86.63
27
10
V =86.62
618
618
H2
86.6
1808
8
H3
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 23
12º. Momentos flectores:
I: Mantiene su signo
D: Cambia su signo
PROBLEMA Nº 04
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
SOLUCIÓN
Reemplazando la fuerza vertical del volado por sus efectos en el nudo
4m
2m 3m
2000 kg 2000 kg
1 32
4
2m
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 24
1º. Grado de Hipergeometría: (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
∑ ∑
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
2000 kg 2000 kg
1 2
4A
6000 kg-m
EE
2000 kg
1 2
M21
0M12
0
2m 2m
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 25
5º. Momentos del 1er Cross:
6º. De la estática 1er Cross
∑
∑
0
-1000
1563
563
1000
3125
4125
0
1875
1875
0.625 0.375-6000
1
0
0
1
2
4
2000 kg
3m 1 32
4
6000
2000 kg
2000
4m
563
4125
V =21752
1875
H 2
2175
2000
4
3
2m 2m
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 26
A nivel horizontal -
7º. Momentos por desplazamiento:
( )
Nota:
( )
( )
R
2
4
H =2662.52
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 27
(
)
Pitágoras:
(
)
(
)
8º. 2do Cross de desplazamientos:
1
2
4 4’
θ2
0
53º
53º
x
ø12
2’
θ2ø
24
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 28
9º. Momentos de 2do Cross
10º. De la estática 2do Cross
∑
0
-1500
219
-1281
-1500
438
-1062
800
263
1063
0.625 0.375
1
0
0
1
2
4
1 2
4
4m
12811062
V 2
1063H
2
585.75
4
3
2
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 29
∑
A nivel horizontal -
11º. Momentos de Cross finales
(
)
R’
2
4
H =705.06252
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 30
12º. Momentos flectores:
PROBLEMA Nº 05
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
SOLUCIÓN
4m 3m 4m
4m
4m
1
3
6
2
4
5
10 ton.
1
3
6
2
4
5
10 ton.
A
E
E
E A
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 31
1º. Grado de Hipergeometría: 5º GRADO (
Nota:
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
∑ ∑
Nudo:
(
)
∑ ∑
Nudo:
(
)
∑ ∑
3º. M.E.P:
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 32
4º. 1er Cross de cargas:
5º. Momentos del 1er Cross:
6º. De la estática 1er Cross
A nivel -
7º. Momentos por desplazamiento:
( )
( )
( )
Pitágoras:
65
10 ton.R
θ =0
6’
ø
6
1
θ
ø
2
12
θ2
2’
3
4’
ø34
θ2
θ
53º
53º
25
5’x
θ =05
2
ø45
53ºr
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 34
8º. 2do Cross de desplazamientos:
9º. Momentos de 2do Cross
1
3
2
15/31 16/31
0
0
1
3200
-877
2323
-1500
-2323
-823
3200
-439
2761
-3200
-2761
439
16/47 15/4716/47
5
0
0
1
-3200
877
-2323
1500
2323
15/31 16/31
4
823
0
0
1
0
0
6
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 35
10º. De la estática 2do Cross
∑
Análogamente en los tramos inferiores:
A nivel -
124m
2323
V =580.75 2
2323
580.75
4m
3m
2
H 5
580.75
27615
H =1706.5625 5
H’ =1706.5625 5
56 R’
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 37
PROBLEMA Nº 06
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
D.M.F.
6800
-8100
8100
-6800
6m 6m
3600 kg/m
3m
1m
132
4
5
9600 kg
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 38
SOLUCIÓN
1º. Grado de Hipergeometría: 5º GRADO (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
(
)
∑ ∑
Nudo:
3600 kg/mA
A
EE
E
132
4
5
2I 2I
I
I
9600 kg
1
3600 kg/m
2M21
06m
1
3600 kg/m
2M32
06m
M23
0
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 39
∑ ∑
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
1
32
4
5
-10800
-3086
-926
133
-538
-3
-14727
0
-694
-40
-736
16200
-694
-40
154641
10800
-6171
-463
265
-27
15
4419
0
-4629
198
-4419
12
0
0
-2315
99
-2216
0
1
0
3/10 2/53/10 4/7 3/7
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 41
5º. Momentos del 1er Cross:
6º. De la estática 1er Cross
∑
∑
3m
736
H2
2
4
4m
4419
H3
2216
5
3
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 42
A nivel - -
7º. Momentos por desplazamiento:
( )
( )
( )
R
1 3
9600 kg
2
1658.75245.333
5
θ2θ2
1’ 1 2’3
2
4
ø24
θ2
ø35
θ3
θ3
3’
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 43
(
)
(
)
m.c.m. = 24000
8º. 2do Cross por desplazamientos:
1
32
4
5
0
-2572
-2171
311
-12418-8
-4546
8000
-1628
-93
6274
0
-1628
-93
-17261
0
-5143
-1086
621
-62
35
-5637
9000
-3857
465
5637
27
0
9000
-1929
233
7319
0
1 3/10 2/53/10 4/7 3/7
5-5 -4
2 2
141
0
0
0
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 44
9º. Momentos DEL 2do Cross
10º. De la estática 2do Cross
∑
∑
3m
6274H2
2
4
4m
5637H3
73195
3
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 45
A nivel - -
11º. Momentos de Cross finales
(
)
12º. Momentos flectores:
R’ 32392091.333
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 46
PROBLEMA Nº 07
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
(EI=cte)
SOLUCIÓN
4000 kg
A B C
D
2m 5m 3m
4m
3000 kg
8000
4000 kg
V A E
E
A B C
D
I I
I
3000 kg
8000
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 47
1º. Grado de Hipergeometría:
Sustituyendo la fuerza del volado por sus efectos en el apoyo “B”
3º GRADO (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
∑ ∑
Nudo:
(
)
(
)
∑ ∑
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
4000 kg
2mAB
MBA
0=PL=8000
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 48
5º. MOMENTOS DEL 1er CROSS:
6º. De la estática 1er Cross
∑
∑
A 0
-8000
-8000
8000
8000
0 1
B
0
0
-4000
1714
-2286
0
2286
2286
3/7 4/7
C
0
0
1143
1143
D
4000 kg
A B C2m 5m
2286
Vc
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 49
A nivel - -
7º. momentos por desplazamiento:
V =2057.2C
C2286
H C
4m
1143
D
3m
3000 kg
A B C2m 5m
R
2400.15
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 51
8º. 2do Cross por desplazamientos:
9º. Momentos del 2do Cross
10º. DE LA ESTÁTICA 2DO CROSS
A 0
0
0
0 1
B
0
900
900
1800
-3000
-1800
3/7 4/7
C
0
-3000
600
-2400
D
1200
A B C2m 5m
1800
VC
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 52
∑
∑
A nivel - -
11º. Momentos de Cross finales
(
)
V =360C
C
1800
H C
4m
2400
D3m
1320
A B C
R’
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 54
PROBLEMA Nº 08
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
(EI=Constante)
1
3
2
4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 55
SOLUCIÓN
1º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
∑ ∑
Nudo:
1
3
2
4
E
E E
E
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 56
∑ ∑
2º. M.E.P:
3º. 1er Cross de cargas:
a. Momentos del 1er Cross:
3
4 M43
0
M34
0
1
32
4
-4000
1716
163
16
2
0
2284
218
21
2
-21032103
0
-190
-18
-2
-210
-381
-37
-4
0
-380
-36
-4
0
1142
109
11
-420 420
-762
-73
-7
0
4948
882
8584000
0
0.571 0.4290.333 0.667
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 57
b. Momentos flectores:
c. De la estática
1
2H2
420
210
6m
2
H2 420 H3
21033
3
44948
2103
H3
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 58
∑
∑
A nivel: -
4º. Momentos por desplazamiento:
35288.75
F
105
6000
2
12
4
θ3
ø34
θ =04
1
ø
θ =01
θ2
2
θ2
3
θ3
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 59
( )
( )
(
)
(
)
m.c.m.=2400
5º. 2do Cross por desplazamientos:
a. Momentos de Cross:
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 60
b. Momentos flectores:
c. De la estática
1
32
4
900
-386
-94
-9
-1
0
-514
-125
-12
-1
410-410
-400
110
-11
1
-278
219
21
2
-400
219
21
2
0
-257
-63
-6
-158 158
438
42
4
0
655
-5-47
-193900
0
0.571 0.4290.333 0.667
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 61
∑
∑
A nivel: -
6º. Momentos flectores finales:
1
2H2
158
278
6m
2
H2 158 H3410
3
3
4
655
410 H3
3m
3
226.2572.667
F2
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 62
(
)
PROBLEMA Nº 09
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
1
3
6
2
4
5
6m
4m
3m
20000 kg
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 63
SOLUCIÓN
1º. Grado de Hipergeometría: 3º GRADO (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
∑ ∑
Nudo:
1
3
6
2
4
5
E
E
E
E
E
E
I
I
I
I
2I
20000 kg
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 64
∑ ∑
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
5º. Momentos del 1er Cross:
6º. De la estática 1er Cross
A nivel -
7º. Momentos por desplazamiento:
R
3 4
20000 kg
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 66
8º. 2do Cross por desplazamientos:
9º. Momentos del 2do Cross
1
3
6
2
4
5
0
-128
-208
19
-7
-324
1600
-7
1385
-208
-900
-5
-1061
-156
4/11 3/114/11
0
1492
-4
-1041600
0
-255
-104
38
-4
1
1600
28
1
-191
-900
38
1
-255
4/11 4/113/11
-324-1062 1384
0
0 0
1492
19
-1281600
1
-900
141
-981
-96-900
-3
-981
-78
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 67
10º. De la estática 2do Cross
3
5
H
1492
1384
3
3m
1
1062
4m
H’3
981
3
H
1492
1385
4
3m
6
4
2
1061
4m
H’4
981
4
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 68
A nivel - :
11º. Momentos de Cross finales
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
R’959
510.5
3 4
958.667
510.75
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 69
12º. Momentos flectores:
-2198.47
10154.88
-9422.05
D.M.F.
-7223.58
6673.96 6673.92
2198.47
-9422
-7223.53
10154.83
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 70
PROBLEMA Nº 10
Resolver y dibujar el DFC y DMF del sistema mostrado.
SOLUCIÓN
1º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo:
(
)
∑ ∑
Nudo:
1
3
2
2000 kg
8000 kg/m
6m 4m
3m
1
3
2
2000 kg
8000 kg/mA E
E
I
8I
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 71
(
)
∑ ∑
Nudo:
∑ ∑
2º. M.E.P:
3º. 1er Cross de cargas:
a. Momentos del 1er Cross:
12
8000 kg/m
6m M21
0
M12
0
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 72
b. Momentos flectores:
c. De la estática
1
3
0
1
36000
-29988
6012
0
-6012
-6012
2
0.833 0.167
0
-3006
-3006
12
8000 kg/m
6m6012
V2
H2
3006
V2
H26012
2
3
4 3
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 73
∑
∑
A nivel: -
4º. Momentos por desplazamiento:
De Maney:
1 2
F H =363422
2000
1
3
2
ø23
θ1
ø12
θ2
θ2
θ =03
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 74
Para momentos por desplazamiento básicamente:
( )
( )
Entonces:
( )
( )
(
)
(
)
m.c.m.=4500
5º. 2do Cross por desplazamientos:
a. Momentos de Cross:
1
3
0
1
-4000
1833
-2167
1800
367
2167
2
0.833 0.167
1800
184
1984
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 75
b. Momentos flectores:
c. De la estática
∑
∑
126m
2167
V2
H2
1984
V2
H2
2167
2
3
4 3
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 76
A nivel: -
6º. Momentos flectores finales:
(
)
PROBLEMA Nº 11
Calcular:
- Los momentos flectores en los extremos de los elementos.
- Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores.
1 2
F’ H =1865.2232
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 77
SOLUCIÓN
1º. Grado de Hipergeometría: 3º (
2º. Rigidices y coeficientes de distribución
Nudo: B
∑
Nudo: C
∑
A
B
C
D
4m 4m 2m
2m
3m
4 ton.
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 78
3º. M.E.P:
4º. 1er Cross de cargas:
5º. Cálculo de (Estática)
B H
BV
B H
BV
4000
C H
CV
R
C H
CV
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 79
6º. Deformaciones:
7º. Momentos de deslizamiento:
8º. Segundo Cross de Desplazamiento:
MÉTODO DE HARDY CROSS
VIII - 80
9º. De la estática:
A
B
C
D
590
-129
208
-30
13
-2
5/94/9
1
-930
261
17
1
651 -651
64/10945/109
590
-258
104
-61
6
-4
377
-150
-182
-43
-2
-377
-930
8
-792
130
-150
-22
-264
-91
-1
B H
BV
370
C H
CV
B H
BV
264
377
601
C H
CV
651
792
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 81
10º. Momentos finales:
11º. Diagrama fuerza cortante y momento flector:
D.F.C.