Capítulo07 - Sistemas Lineales de Varios Grados de Lib

8/12/2019 Captulo07 - Sistemas Lineales de Varios Grados de Lib

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Anlisis Esttico y Dinmico de Estructuras Toms Guendelman Captulo 7: Sistemas Lineales de Varios Grados de Libertad

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Captulo 7: Sistemas Lineales de Varios Grados de Libertad

ECUACION GENERAL DEL MOVIMIENTO PARA VIBRACIONES FORZADAS

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ } && &y t C y t y t P t+ + =

VIBRACIONES LIBRES

Con el objeto de resolver la ecuacin del movimiento, es conveniente analizar

previamente el caso de vibraciones libres no amortiguadas, dado por:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }0tyty =+ &&

Suponiendo una solucin de la forma

( ){ } { }( )tcostsenty +=

y sustituyendo, se obtiene:

[ ]{ } [ ]{ }{ }( ) { }02 =++ tcostsen

la que se satisface, para todo instante de tiempo, si:

[ ]{ } [ ]{ } { }02 =+

La solucin trivial { } { }0= carece de inters, no as la solucin no trivial, que

corresponde a:

det [ ] [ ]( ) 02 =+

Esta ecuacin representa una expansin polinmica de grado nen 2, denominadaEcuacin Caracterstica. Posee nraces reales positivas de 2i . Los valores ise

denominan Frecuencias Naturales de Vibracin y los valores =i i/2 son los

denominados Perodos Naturales de Vibracin. Para cada valor i, existe un vector{i}asociado, denominado Forma Modal de Vibracin. Las Frecuencias, Perodos yFormas Modales de Vibracin, en conjunto, constituyen lo que se denomina Valores

y Vectores Propios. Para determinar los valores y vectores propios de orden i, seestablece la ecuacin:

[ ] [ ]{ } { }02 =+ ii ,


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y dado que el determinante de [ ] [ ]+ 2i es nulo, las ecuaciones simultneas en

trminos de {i} son linealmente dependientes. Esta situacin significa quesolamente pueden obtenerse los valores relativos entre las componentes, lo que se

alcanza asignando un valor arbitrario a una componente cualesquiera de {i} y luegoresolviendo las n-1ecuaciones simultneas restantes.

Una importante propiedad del vector {i}consiste en su ortogonalidad con respectoa las matrices []y []. Por ejemplo, si se escribe la ecuacin anterior para losconjuntos i,{i}y j,{j}, se tiene:

[ ]{ } [ ]{ }iii =2

[ ]{ } [ ]{ }jjj =2

Premultiplicando por {j}T

la primera y por {i}T

la segunda, y posteriormenterestando, se tiene:

{ }[ ]{ } { } [ ]{ } { }[ ]{ } { } [ ]{ }jijijijiij = 22

de donde se obtiene:

( ){ }[ ]{ } 022 = ijji

lo que significa que:

{ } [ ]{ } j ii

j i

j i

=

=

0 ;

;

{ } [ ]{ }

=

=

ij;

ij;

i

ij 21

0

Estas expresiones representan las condiciones modales de ortogonalidad. Si se

construye una matriz cuadrada cuya columna de orden jcontenga las componentes

de { }j , se genera la matriz [ ] , denominada Matriz Modal, que permite describirlas relaciones generales de ortogonalidad. Matricialmente se tiene:

[ ] [ ][ ] [ ] = diag


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[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]2== diagdiagdiag

Si la matriz de amortiguamiento tiene las expresiones debidas a Caughey, entonces

tambin se verifica que:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]== diagdiagdiagCdiagC 2

Como se recordar, las componentes de los vectores modales son relativas entre si,

lo que permite fijar cualesquiera de ellas, con valor arbitrario. Es usual y muy

conveniente escalar las formas modales de modo que la matriz [ ]diag sea la matrizidentidad. En esta forma, las expresiones de ortogonalidad se pueden escribir como:

[ ] [ ][ ] [ ]=

[ ] [ ][ ] [ ]2

diag=

[ ] [ ][ ] [ ][ ]= diagdiagC 2

En general no se emplea la ecuacin caracterstica en la determinacin de valores y

vectores propios, por diversas razones de tipo numrico. Los mtodos ms

convenientes son los de Jacobi, Housholder, Stodola-Vianello, entre otros.


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Ejemplo

t3

( )P t2

( )P t1

K3

K2

K1

33

1

22

1

CARGAS EQUILIBRIO DINAMICO POR PISOESTRUCTURA

ELASTICA

t3

( )P t2

( )K y y1 1 2

y1 1&&

y2 2&&

y3 3&&

y3 3

( )K y y2 2 3

( )P t1

( ) ( )tPyyy 121111 =+ &&

( ) ( ) ( )tPyyyyy 232221122 =+ &&

( ) ( )tPyyyy 33332233 =+ &&

En forma matricial:

( )

( )

( )

1

2

3

1

2

3

1 1

1 1 2 2

2 2 3

1

2

3

1

2

3

0

0

+

+

+

=

&&

&&

&&

y

y

y

y

y

y

P t

P t

P t

Suponiendo los valores:

K1 = 600 ton/m M1 = 1.0 ton seg2/m

K2 = 1200 ton/m M2 = 1.5 ton seg2/m

K3 = 1800 ton/m M3 = 2.0 ton seg2/m


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que en forma matricial corresponde a:

[ ] =

100

150

2 00

.

.

.

[ ] =

600 600 0

600 1800 1200

0 1200 3000

se obtienen los siguientes resultados :

rad/seg14.522=seg;0.433= 11

{ }1 07427 0 4816 0 2242t = . . . forma normalizada

rad/seg31.048=seg;0.202= 22

{ }2 0 6358 0 3857 04317t = . . . forma normalizada

rad/seg46.099=seg;0.136= 33

{ }3 0 2104 05348 05132t = . . . forma normalizada

grficamente:

{ }1

( )11

{ } 2

( )22 { }3

( )33


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VIBRACIONES FORZADAS

Resuelto el problema de vibraciones libres, se procede a encontrar la solucin de la

ecuacin general del movimiento. Para ello, desarrollando en serie y(t) mediante

armnicas de los modos de vibrar, se puede escribir:

( ){ } { } ( ) { } ( ) { } ( )tttty nn ++= K2211

Si se admite que la matriz de amortiguamiento [C]tambin sea ortogonalizada porlos modos de vibrar, se puede reemplazar la expansin en serie de y(t) y

premultiplicar por {i}t, lo que origina que se anulen todos los trminos, salvo elorden i. En esta forma, el sistema de ecuaciones original se transforma en necuaciones independientes de 1 grado de libertad. La ecuacin de orden i, conmodos normalizados, es:

{ } ( ){ }i

iiiiiii

t

=++

22 &&&

que para condiciones iniciales de reposo conduce a:

( ) { }

( ){ } ( ) ( )

=

dtsenet Ditt

idi

ii

ii

donde:2

1iiDi

=

( )i t se puede obtener por integracin numrica. Los desplazamientos{y}se

obtienen de la expansin original:

( ){ } { } ( ) { } ( ) { } ( )tttty nn++= K2211

si se designa

( ) ( )tty jjj =

entonces( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }tytytyty n+++= L21

( )tyj corresponde a la componente modal de orden j de los desplazamientos

( ){ }ty .


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SOLICITACION SISMICA

La accin ssmica consiste en la imposicin de desplazamientos en la base de la

estructura, por lo tanto, la ecuacin del movimiento queda dada por:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } && &y C y y+ + = 0

{ }y = Desplazamientos totales.

{ }y = Desplazamientos relativos a la base.

{ }y e{ }y estn vinculados por la relacin

{ } { } [ ]{ }y y G yg = +

donde { }yg es el vector de componentes independientes del movimiento ssmico. Lamatriz [ ]G se construye de acuerdo a las relaciones geomtricas entre las masas yel suelo, lo que se aprecia en el ejemplo siguiente, en el que se representa la accin

de un sismo horizontal ug.

2

y1

2

y1

+u xg

=ug 1

1

1

y

y

y

yug

1

2

1

2

1

1

=

+

Sustituyendo esta relacin en la ecuacin del movimiento se tiene.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] && & &&y C y y ug+ + =

1

1 ( ){ }= eff t

Ecuacin que es idntica a la de vibraciones forzadas.

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