capitulo3[1]

CAPÍTULO 3

UN NUEVO MODELO DE PLASTICIDAD Y EL PUSHOVER CONTROLADO

RESUMEN Se presenta el desarrollo numérico de un nuevo modelo de plasticidad extendida, para

encontrar la curva de capacidad sísmica resistente de una estructura de hormigón armado, mediante análisis estático no lineal, en forma incremental (pushover). En el modelo, se determina las zonas de daño en los extremos del elemento en función del diagrama de momentos, ante cargas laterales y en esta zona se consideran cuatro escalones de variación de la rigidez a flexión.

Para verificar la bondad del modelo propuesto, se comparan las curvas de capacidad

sísmica resistente en edificaciones de 3, 5 y 10 pisos, utilizando los modelos de plasticidad de los programas DRAIN-2DX, IDARC (Inelastic damage análisis of reinforced concrete) y SARCF (Seismic análisis of reinforced concrete frames). Estos últimos modelos han sido incorporados al programa CEINCI2

Las curvas de capacidad sísmica resistente, relaciona el cortante basal con el

desplazamiento lateral máximo de la edificación. En la comparación que se realiza se considera y no se considera el efecto ∆−P . Por otra parte, se realiza el estudio estadístico de los diferentes modelos utilizados, con relación al modelo de plasticidad que se propone, en los siguientes parámetros: resistencia última asociada al 5% de la altura total del edificio, resistencia de fluencia, desplazamiento de fluencia y relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica; para el efecto se construyen modelos bilineales de la curva de capacidad sísmica, empleando el criterio de iguales áreas.

Por otra parte, mediante la realización de dos ejemplos se ilustra la Técnica del

Pushover Controlado, en los cuales la carga lateral se aplica en función de la forma de la deformación lateral de la estructura. La explicación se la realiza en forma didáctica razón por la cual se presentan los resultados en cada ciclo de carga y finalmente se determinan los espectros de capacidad a partir de las curvas de capacidad sísmica resistente de los dos ejemplos.

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 76

3.1 INTRODUCCIÓN

Ante acciones sísmicas son los extremos de los elementos los que van a estar sujetos a grandes esfuerzos en consecuencia el daño se inicia en estos puntos y se va propagando hacia el centro de luz. Existen varios modelos de plasticidad que han sido propuestos para simular este comportamiento, varios de ellos se indican en la figura 3.1, los mismos que se describen a continuación, previamente se destaca que , son las rigidez a flexión en el nudo inicial, centro de luz y nudo final respectivamente los mismos que se determinan del diagrama momento-curvatura

boa EIEIEI )(,)(,)(

CM − .

Cuando el elemento se encuentra en el rango elástico la rigidez a flexión del nudo inicial, centro de luz y nudo final es igual cuando se trata de elementos de sección constante, pero una vez que una sección ingresa al rango no lineal esta rigidez disminuye. )(EI

En el modelo (1) indicado en la figura 3.1, se considera que la variación de rigidez entre

los extremos del elemento y el centro de luz es lineal. Este modelo fue utilizado en la Versión 1.0 del programa IDARC, Park et al (1987). Este modelo considera que todo el elemento ingresa al rango no lineal, lo cual no es cierto cuando se tiene una acción sísmica de moderada intensidad que ha ocasionado que únicamente los extremos sufran daño.

Figura 3.1 Modelos de plasticidad extendida.

El modelo (2) define una longitud de daño en el nudo inicial y nudo final de magnitud

Laλ y Lbλ ,respectivamente. En cada una de estas zonas de daño la rigidez a flexión se considera constante. Esta es una mejor aproximación en relación al modelo (1) pero no es real que el daño sea uniforme en toda la longitud de daño. Este modelo fue utilizado por el programa SARCF, Cheng et al (1988).

En el modelo (3), el daño se concentra en un solo punto, en los extremos del elemento,

fue propuesto por Giberson (1969). No contempla longitud de daño, es un modelo extremadamente sencillo pero reporta buenos resultados, como se vio en el capítulo anterior.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO 77

El modelo (4), es el nuevo modelo de plasticidad que se propone en este capítulo. En la longitud daño Laλ del nudo inicial se consideran cuatro niveles de rigidez a flexión y no uno solo como en el modelo (2). Lo propio se considera para el nudo final como se aprecia en la figura 3.1. La longitud de cada nivel de inercia en el nudo inicial es igual a Laλ /4, y la

magnitud se considera proporcional a las rigideces comprendidas entre y . Iguales consideraciones se realizan para el nudo final.

aEI )( oEI )(

3.2 DIAGRAMA DE MASAS ELASTICAS

Dado un elemento con cualquier variación de inercia a flexión , como el presentado en la figura 3.2, en el cual se han definido un par de ejes verticales denominados Y e Y’, en el nudo inicial y final respectivamente, Aguiar (1995). Adicionalmente se consideran dos coordenadas para definir la posición de un punto del elemento que son X y Z , cumpliéndose que LZX =+ .

En la parte superior de la figura 3.2, se presenta la forma general de variación de

rigidez a flexión , y en la parte inferior el diagrama de masas elásticas que resulta al unir

los puntos cuyo valor es

xEI )(

xEI )(1

.

Figura 3.2 Diagrama de Masas Elásticas

Al considerar el elemento diferencial , se nota que el diferencial de área vale dx

xEIdx

)(. En consecuencia el área total del diagrama de masas elásticas W , vendrá dado por la

siguiente ecuación:

∫=L

xEIdxW

0 )( (3.1 )


Por otra parte, el momento de inercia del diagrama de masas elásticas con respecto al eje Y, denominado , y con respecto al eje Y’, llamado , valen: YI '

YI

∫=L

xY EI

dxXI0

2

)( ( 3.2 )

( 3.3 ) ∫=

L

xY EI

dxZI0

2'

)(

Finalmente, el momento de inercia compuesto del diagrama de masas elásticas

respecto a los ejes Y Y’, denominado , es: 'YYI

∫=L

xYY EI

dxXZI0 )(

' ( 3.4 )

En base a las ecuaciones indicadas se determinan los elementos de la matriz de

flexibilidad.

3.3 MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

La forma de la matriz de flexibilidad para el sistema de coordenadas indicado en la figura 3.3, es la siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ffff

f

donde los elementos de la primera columna de , son los giros en el nudo inicial y final que resultan al aplicar un momento unitario en el nudo inicial, lo propio es para los elementos de la segunda columna pero esta vez el momento unitario se aplica en el nudo final.

f

Figura 3.3 Sistema base de coordenadas de un elemento y distribución de curvatura.

En forma general las deformaciones se obtienen para el caso de marcos planos con la ecuación siguiente:

ijf


∫ ∫ ∫++=L L L

x

ji

x

ji

x

jiij dx

EANN

dxGA

VVdx

EIMM

f0 0 0 )()()(

β ( 3.5 )

donde , son los momentos a flexión; , son los cortantes; , las cargas

axiales; la rigidez a flexión; la rigidez al corte, la rigidez axial y iM jM iV jV iN jN

)(EI )(GA )(EA β el coeficiente de forma que caracteriza la distribución de las tensiones tangenciales. 3.3.1 Cálculo de 11f

Al aplicar un momento unitario en el nudo inicial de la figura 3.2, las ecuaciones de momento, corte y carga axial, son las siguientes:

01111 ==

−= N

LV

LXLM

Al reemplazar estas ecuaciones en la ecuación ( 3.5 ) se tiene:

∫ ∫+=L L

xx

dxGA

VdxEIMf

0 0

21

21

11 )()(β

∫∫ +−

=L

xx

L

GAdx

LEIdx

LXLf

022

2

011 )(

1)(

)( β

Al despreciar el efecto de corte, es decir no se considera la segunda integral y al

reemplazar ZLX −= , se encuentra.

∫ ∫==L L

xx

dxEIZ

LEIdx

LZf

0 0

2

22

2

11 )(1

)(

Al sustituir la ecuación ( 3.3 ) en esta última ecuación se obtiene la ecuación con la cual

se calculará 11f

2

'

11 LIf Y= ( 3.6 )

3.3.2 Cálculo de 22f

Al aplicar el momento unitario en el nudo final, las ecuaciones de momento, corte y carga axial, resultan.

01222 === N

LV

LXM

Al reemplazar en ecuación ( 3.5 ) se encuentra:


∫∫ +=L

xx

L

dxGA

VdxEIMf

0

22

22

022 )()(

β

∫ ∫+=L L

xx

dxGALEI

dxLXf

0 022

2

22 )(1

)(β

Nuevamente al despreciar el segundo término y al sustituir la ecuación ( 3.2 ) se halla

222 LIf Y= ( 3.7 )

3.3.3 Cálculo de 2112 ff =

Al considerar únicamente el efecto de flexión en la ecuación ( 3.5 ) se tiene:

∫ ∫−

==L L

xx EIdx

LLXXdx

EIMMf

0 02

2112 )(

)()(

Pero Luego, se calcula en función del momento de inercia compuesto,

de la siguiente manera. .ZLX =− 12f

∫ ∫==L L

xx

dxEIXZ

LEIdx

LXZf

0 02212 )(

1)(

212'

LI

f YY= ( 3.8 )

3.3.4 Relación Importante

Al reemplazar las ecuaciones ( 3.2 ) a ( 3.4 ) en ( 3.6 ) a ( 3.8 ) y teniendo en cuenta que LZX =+ , se demuestra que:

122211 2 fffW ++= ( 3.9 )

Es más fácil calcular el término con la ecuación ( 3.9 ) en lugar de la ecuación (3.8). 12f

3.4 ALGORITMO DE CÁLCULO


Los términos de la matriz de flexibilidad para el elemento de plasticidad que se propone se obtienen a partir del cálculo de , y W . En la figura 3.4, se indica el diagrama de masas elásticas del modelo ( 4 ) en el cual se ha utilizado la siguiente nomenclatura.

yI 'yI

Figura 3.4 Nomenclatura utilizada para el cálculo de los términos de la matriz de flexibilidad

22

)()()(

1

22

)()()(

12

)()(1

)(1

)(1

)(1

oao

oaa

oaboa

EIEIEI

DEIEI

EIB

EIEIC

EII

EIE

EIA

++

=+

+=

+====

Las variables y son similares a las variables y con la diferencia de

que en lugar de se tiene . Por otra parte la nomenclatura utilizada para definir la longitud de cada una de las subfiguras es la siguiente:

GH , F CB, D

aEI )( bEI )(

LLXLXL

XL

XL

X baaaa λλ

λλλ−===== 54321 4

324

Las restantes variables se encuentran en forma similar. Lo importante es destacar

que todas se miden a partir del nudo inicial que es el nudo izquierdo. En base a esta nomenclatura en la tabla 3.1 se indica el cálculo de , y W .

iX

yI 'yI


Con los resultados encontrados y con la notación indicada en la tabla 3.1, la matriz de

flexibilidad del elemento es la siguiente.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑

2

2

'

2

2

'

2

2

'

2

2

LIL

IL

IW

LI

LI

W

LI

f

y

yy

yy

y

( 3.10 )

Tabla 3.1 Cálculo del área y momentos de inercia del diagrama de masas elásticas.

Fig W yI 'yI

1 1XA

3

31XA

[ ]

3)( 3

13 XLLA −−

2 )( 12 XXB −

3)( 3

132 XXB −

[ ]

3)()( 3

23

1 XLXLB −−−

3 )( 23 XXC −

3)( 3

233 XXC −

[ ]

3)()( 3

33

2 XLXLC −−−

4 )( 34 XXD −

3)( 3

334 XXD −

[ ]

3)()( 3

43

3 XLXLD −−−

5 )( 45 XXE −

3)( 3

435 XXE −

[ ]

3)()( 3

53

4 XLXLE −−−

6 )( 56 XXF −

3)( 3

536 XXF −

[ ]

3)()( 3

63

5 XLXLF −−−

7 )( 67 XXG −

3)( 3

637 XXG −

[ ]

3)()( 3

73

6 XLXLG −−−

8 )( 78 XXH −

3)( 3

738 XXH −

[ ]

3)()( 3

83

7 XLXLH −−−

9 )( 8XLI −

3)( 3

83 XLI −

3)( 3

8XLI −

∑W ∑ yI ∑ 'yI

3.5 RELACIONES MOMENTO CURVATURA M-C

En cada incremento de carga lateral, se encuentra el diagrama M-C en el nudo inicial, centro de luz y nudo final de cada elemento de la estructura. Así como se determina los momentos actuantes en cada uno de estos puntos y se observa en el diagrama en que rama de la misma se encuentra para determinar la correspondiente rigidez a flexión . La forma general del diagrama se indica en la figura 3.5, la curva del primer cuadrante corresponde al

)(EI


caso de que la carga actúa en un sentido y la curva del tercer cuadrante para cuando la carga actúa en sentido contrario.

Como se aprecia en la figura 3.5, se considera un modelo trilineal para el diagrama M-

C, en el cual el punto A, se encuentra cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a tracción. El punto Y, cuando el acero a tracción alcanza el límite de fluencia y el punto U, cuando el hormigón a compresión llega a su máxima deformación útil.

Para el modelo de cálculo adoptado se tienen tres rigideces a flexión, para cada una de

las ramas del modelo, que son:

yu

yu

ay

ay

a

ao

MMEI

MMEI

hbEMEI

φφ

φφ

φ

−

−=

−

−=

==

2

1

3

)(

)(

12)(

( 3.11 )

( 3.12 )

( 3.13 )

Se ha omitido el signo ± para darle el carácter general. Para la primera rama que

corresponde al rango elástico se tiene que la rigidez se calcula con la Inercia gruesa. En

consecuencia, en la ecuación ( 3.11 ) se tiene que b , es la base y , es la altura de la sección transversal.

oEI )(h

Cuando se inicia el proceso de carga, la sección analizada tiene una rigidez y

se mantiene con esta rigidez hasta cuando el momento actuante supera el valor de , en

que disminuye la rigidez a flexión al valor de , con este valor permanece hasta que el

momento actuante sea mayor a en que la rigidez disminuye notablemente al valor de

.

oEI )(

aM

1)(EIyM

2)(EI

Figura 3.5 Modelo numérico adoptado para la curva momento curvatura.

3.6 LONGITUD DE DAÑO


En la figura 3.6, se indica el diagrama de momentos de un elemento a partir del cual se

determina la longitud de daño Laλ para el nudo inicial y Lbλ para el nudo final. Sean y

los momentos actuantes en el nudo inicial y final respectivamente. Estrictamente cuando

estos valores superan el valor de se tiene daño en el elemento pero normalmente se considera la longitud de daño cuando el momento actuante supera el momento de fluencia

.

iM

jM

aM

yM

Figura 3.6 Diagrama de momentos y longitudes de daño.

De la figura 3.6, por triángulos semejantes se deduce que:

ji

yjb

ji

yia

MMMM

MMMM

+

−=

+

−=

'

λ

λ

( 3.14 )

(3.15 )

donde y , son los momentos de fluencia para el nudo inicial y final del elemento. yM '

yM 3.7 DESCRIPCIÓN DE LAS ESTRUCTURAS

La altura de los entrepisos de las estructuras que se analizan es de 3.0 m. Por otra parte, cada una tiene luces iguales y es de 4 m. para las de 3 y 5 pisos, la de 10 pisos tiene luces de 5 m. En Aguiar (2002) y Aguiar et al (2002), se presenta el armado de las columnas y vigas y en la tabla 3.2 se presenta las dimensiones de las mismas al igual que la carga vertical actuante.

Tabla 3.2 Descripción de las estructuras analizadas.

Columnas Estructura Vanos Carga Vertical Dimensiones Niveles

Vigas

3 Pisos 2 1.6 T/m. 40X40 cm. Todos 30X30 cm.

5 Pisos 3 2.5 T/m. 45X45 cm. Todos 30X45 cm.


56X56 cm. 1-4 75X35 cm. 54X54 cm. 5-6 75X35 cm. 50X50 cm. 7-8 75X35 cm.

10 Pisos 3 4.0 T/m.

42X42 cm. 9-10 75X35 cm. 3.8 CURVAS DE CAPACIDAD SIN CONSIDERAR EFECTO ∆−P

En el presente apartado se presentan las curvas de capacidad resistente que se

obtienen con cada uno de los modelos de plasticidad indicados en la figura 3.1, mediante el programa de computación CEINCI2 y mediante el programa DRAIN-2DX, Prakash et al (1993). Se presentan resultados, sin considera el efecto ∆−P . Las curvas de capacidad resistente, relacionan el cortante basal V , con el desplazamiento lateral máximo de la estructura , y se obtienen aplicando la técnica del pushover.

tD

En la figura 3.7, se muestra en la parte superior las curvas de capacidad en la estructura de 3 pisos, se aprecia que la curva que se obtiene con el modelo de plasticidad propuesto se encuentra aproximadamente en la mitad de las que se obtienen con los otros modelos. La curva de capacidad que se halla con el programa DRAIN-2DX es una cota superior y la que se encuentra con el modelo (1) de rigidez lineal es una cota inferior.

En la parte central de la figura 3.7, se indican las curvas de capacidad que se obtienen en la estructura de 5 pisos. En forma general se aprecia que la dispersión es menor en relación a la estructura de 3 pisos. Por otra parte, la curva que se obtiene con el modelo de plasticidad propuesto se halla en la mitad de las curvas hasta el 2% de la altura del edificio, después de este valor se convierte en una cota superior; similar comportamiento se obtiene con la estructura de 10 pisos, cuyos resultados se indican en la parte inferior de la figura 3.7

La curva de capacidad que se encuentra con el modelo de plasticidad (2) que solo considera un escalón de inercia para deformaciones mayores al 2 % de la altura total del edificio presenta valores menores de resistencia en comparación con el modelo ( 4) que se propone en este estudio, lo cual era de esperarse por la forma del modelo.

3.9 CURVAS DE CAPACIDAD CONSIDERANDO EFECTO ∆−P

En la técnica del pushover se aplican cargas laterales que se van incrementando, en

una sola dirección. En consecuencia, el efecto ∆−P , va a ser importante, cuando los desplazamientos laterales son considerables. En Aguiar (2002) se presenta el marco teórico respectivo, razón por la cual se indica a continuación, la forma como se calcula. Por ejemplo, para una estructura de tres pisos, como la indicada en la figura 3.8, en la cual se han concentrado las masas a nivel de cada piso. Sean , las masas totales de los pisos uno, dos y tres. Por otra parte, sean , los desplazamientos laterales de los respectivos pisos. Finalmente a la derecha de la figura 3.8, se ha indicado una deformada lateral en los cuales los pesos , tienden a voltear a la estructura. Este efecto adicional se considera como un estado de cargas horizontales actuando en cada uno de los pisos, en la estructura deformada como se ilustra a la derecha de la figura 3.8.

3,2,1 mmm3,2,1 DDD

3,2,1 WWW


.


Figura 3.7 Curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de

plasticidad en estructuras de 3, 5 y 10 pisos. Análisis sin considerar efecto . ∆−P

Figura 3.8 Nomenclatura utilizada y esquema de cálculo del efecto . ∆−P

El vector de cargas generalizadas Q , para las coordenadas indicadas, en la figura 3.8, debido al efecto ∆−P , resulta:

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

2333

1222

111

DDHW

DDHW

DHW

Q (3.16)

Siendo , las alturas de los pisos uno, dos y tres. Por lo tanto, el efecto lo que incrementa es el vector de cargas Q . Sin efecto

3,2,1 HHH∆−P ∆−P , únicamente contiene

las fuerzas laterales que se aplican a la estructura; con el efecto , estas fuerzas se incrementan por el producto del desplazamiento relativo de piso multiplicado por el peso de piso y dividido para la altura del entrepiso.

∆−P

Existen algunas consideraciones especiales, que deben tomarse en cuenta en el efecto

∆−P , las mismas que están descritas en Aguiar (2002) con detalle, que se resumen a continuación:

• El vector que contiene las coordenadas de los nudos de la estructura debe actualizarse en cada incremento de carga lateral. Cuando no se considera el efecto , las coordenadas de los nudos permanecen constante. En el efecto

∆−P∆−P , las coordenadas de los nudos cambian, a la posición de la

estructura deformada.


• El cálculo del efecto ∆−P , se realiza en forma incremental, al igual que todo el análisis no lineal estático.

• El Vector de cargas Q , es igual al vector de cargas debido a las fuerzas

horizontales, de la técnica del pushover, más el vector de cargas debido al efecto . ∆−P

Cuando se considera el efecto ∆−P , la resistencia de la estructura es menor. Como

se aprecia en la figura 3.9 con relación a la figura 3.7.

En la parte superior de la figura 3.9, se tiene la curva de capacidad resistente de la estructura de 3 pisos pero considerando el efecto ∆−P , en la parte central se tiene lo propio pero en la estructura de 5 pisos y en la parte inferior la curva de capacidad para la estructura de 10 pisos.

El comportamiento de las curvas indicadas en la figura 3.9, es similar al

comportamiento que se obtuvo en las mismas estructuras pero sin considerar el efecto ∆−P .

3.10 MODELO BILINEAL

En las figuras 3.7 y 3.9, se tienen las curvas de capacidad resistente, sin considerar y considerando el efecto ∆−P . Ahora bien en el análisis tendiente a obtener la respuesta de la estructura ante una acción sísmica se acostumbra encontrar un modelo bilineal de la curva de capacidad resistente, de esta manera se simplifica el problema.

Existen varios criterios para encontrar el modelo bilineal, uno de ellos y es el que se

utiliza en el presente artículo es el criterio de iguales áreas, que cumple con la condición de que el área bajo la curva de capacidad resistente es igual al área del modelo bilineal.

En la figura 3.10, se presenta a la izquierda los modelos bilineales, correspondientes a

la estructura de 3 pisos, sin considerar el efecto ∆−P y a la derecha considerando dicho efecto. Nótese que en la figura de la derecha la resistencia es menor.

En la figura 3.11, se indican los modelos bilineales de las curvas de capacidad

resistente de la estructura de 5 pisos y en la figura 3.12, de la de 10 pisos; en el mismo formato de presentación, a la izquierda sin efecto ∆−P y a la derecha con efecto ∆−P .

Como los modelos bilineales se obtienen de las curvas de capacidad resistente, los

comentarios que se pueden hacer con relación al nuevo modelo de plasticidad son los mismos que ya se han indicado.

En base a los modelos bilineales, se determinan los parámetros que están indicados

en las tablas 3.3 a 3.5, con los cuales se realiza el estudio estadístico. En base a todos los datos se ha determinado el valor medio, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

La nomenclatura utilizada para el estudio estadístico es la siguiente: es el

desplazamiento a nivel de fluencia de la estructura, y son los cortantes basales a nivel

de fluencia y de capacidad última, es la rigidez elástica de la estructura y finalmente

es la rigidez post fluencia de la estructura.

tyD

yV uV

elasK

plasK


Figura 3.9 Curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de plasticidad en estructuras de 3, 5 y 10 pisos. Considerando efecto ∆−P .


Figura 3.10 Modelos bilineales con diferentes modelos de plasticidad de la estructura de 3

pisos. Análisis sin efecto ∆−P , a la izquierda y con efecto ∆−P , a la derecha.

Figura 3.11 Modelos bilineales con diferentes modelos de plasticidad de la estructura de 5 pisos. Análisis sin efecto ∆−P , a la izquierda y con efecto ∆−P , a la derecha.

Figura 3.12 Modelos bilineales con diferentes modelos de plasticidad de la estructura de 10

pisos. Análisis sin efecto ∆−P , a la izquierda y con efecto ∆−P , a la derecha.


Tabla 3.3 Valores obtenidos en edificio de 3 pisos y parámetros estadísticos. Sin efecto ∆−P Con efecto ∆−P

tyD yV uV elasK plasK tyD yV uV elasK plasK Modelo

(cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.) (cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.) 1 5.72 13.18 17.45 230.47 10.89 5.65 12.82 16.18 226.83 8.54 2 4.23 15.88 19.12 375.70 7.94 4.27 15.90 17.32 372.04 3.48 3 6.67 14.82 17.06 222.46 5.82 6.71 14.67 15.59 218.57 2.40

Propuesto 5.18 14.61 19.19 281.95 11.52 5.22 14.50 17.43 277.66 7.36 Media 5.45 14.62 18.21 277.65 9.04 5.46 14.47 16.63 273.78 5.45

Desviac. 0.88 0.96 0.96 61.04 2.30 0.88 1.10 0.78 61.08 2.57 Coef. Var. 0.16 0.07 0.05 0.22 0.25 0.16 0.08 0.05 0.22 0.47

En la tabla 3.3, se observa que los coeficientes de variación que se obtienen con todos los datos para la estructura de 3 pisos, es menor a 0.10 para los cortantes a nivel de fluencia y de capacidad última. Estos valores son menores en la estructura de 5 pisos como se aprecia en la tabla 4. A nivel de rigidez los coeficientes de variación obtenidos en la estructura de 10 pisos son los menores.


tyD yV uV elasK plasK tyD yV uV elasK plasK Modelo

(cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.) (cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.) 1 8.38 53.25 71.41 635.34 27.25 8.33 52.28 66.00 627.64 20.58 2 8.62 59.08 70.56 685.68 17.29 8.65 58.71 64.73 678.56 9.07 3 9.80 54.64 68.29 557.45 20.94 9.78 53.73 63.04 549.56 14.27

Propuesto 10.17 58.05 72.89 571.08 22.89 10.21 57.54 66.98 563.37 14.56 Media 9.24 56.26 70.79 612.38 22.09 9.24 55.62 65.19 604.78 14.62

Desviac. 0.76 2.39 1.67 51.53 3.59 0.78 2.68 1.47 51.79 4.08 Coef. Var. 0.08 0.04 0.02 0.08 0.16 0.08 0.05 0.02 0.09 0.28


tyD yV uV elasK plasK tyD yV uV elasK plasKModelo

(cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.) (cm.) (T.) (T.) (T/m.) (T/m.)1 13.93 178.20 243.51 1279.01 48.00 14.12 178.55 224.86 1264.3 34.08 2 17.59 192.68 251.65 1095.11 44.53 17.70 191.33 228.97 1081.2 28.45 3 15.44 171.72 240.20 1112.49 50.89 15.45 169.56 219.83 1097.2 37.36

Propuesto 17.98 197.47 261.17 1098.05 48.25 18.61 201.28 233.08 1081.5 24.20 Media 16.23 185.02 249.13 1146.17 47.92 16.47 185.18 226.68 1131.1 31.06

Desviac. 1.65 10.45 8.103 76.98 2.26 1.78 12.09 4.91 77.20 5.06 Coef. Var. 0.10 0.06 0.03 0.07 0.05 0.11 0.07 0.02 0.07 0.16

3.11 ANÁLISIS ESTADÍSTICO

En la tabla 3.6, se comparan los valores medios que se obtienen con los tres primeros modelos y los que se encuentran con el modelo propuesto. La comparación se realiza para el desplazamiento y cortante de fluencia, para el cortante último y para la relación de rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica.


Tabla 3.6 Comparación entre el modelo propuesto y otros modelos de plasticidad indicados en fig. 3.1. 3 PISOS

Sin efecto ∆−P Con efecto ∆−P

tyD yV uV

elas

plas

KK

tyD yV uV

elas

plas

KK

Modelos

( cm.) (T.) (T.) (cm.) (T.) (T.) 1,2 y 3 5.54 14.63 17.88 0.031 5.54 14.46 16.36 0.016

Propuesto 5.18 14.61 19.19 0.041 5.22 14.50 17.43 0.027 Diferencia

(%) 6.95 0.14 6.83 24.39 6.13 0.28 6.14 40.74

5 PISOS Sin efecto ∆−P Con efecto ∆−P

tyD yV uV

elas

plas

KK

tyD yV uV

elas

plas

KK

Modelos

( cm.) (T.) (T.) (cm.) (T.) (T.) 1,2 y 3 8.93 55.66 70.09 0.035 8.92 54.91 64.59 0.024


(%) 12.19 4.12 3.84 12.5 12.63 4.57 3.57 7.69

10 PISOS Sin efecto ∆−P Con efecto ∆−P

tyD yV uV

elas

plas

KK

tyD yV uV

elas

plas

KK

Modelos

( cm.) (T.) (T.) (cm.) (T.) (T.) 1,2 y 3 15.65 180.87 245.12 0.042 15.76 179.81 224.55 0.029


(%) 12.96 8.41 6.15 4.55 15.31 10.67 3.66 31.82

Con excepción de la relación entre la rigidez de post fluencia con respecto a la rigidez elástica, todas las restantes comparaciones entre el modelo propuesto y el promedio de los tres primeros modelos indicados en la figura 3.1, es menor al 16%. Lo cual demuestra que el modelo propuesto presenta valores cuya media se aproxima bastante bien a la media de los modelos anotados. La relación de rigidez presenta valores bastante bajos de tal forma que al considerar dos dígitos los valores obtenidos coinciden.

3.12 OTROS MODELOS DE PLASTICIDAD

En el presente apartado se presenta la matriz de flexibilidad de los modelos de

plasticidad denominados en la figura 3.1 como Rigidez Lineal y Rigidez Constante. El modelo de Rigidez Concentrada de Giberson se detallo en el capítulo anterior.

3.12.1 Modelo de Rigidez Lineal Kunnath et al (1992) consideran dos casos, el primero cuando el punto de inflexión se

encuentra dentro de la longitud del elemento, en éste caso se tiene doble curvatura y el


segundo cuando el punto de inflexión se encuentra fuera del elemento, caso de simple curvatura. El último caso se presenta cuando ambos extremos del elemento han pasado el límite de fluencia. Para el caso de doble curvatura los elementos de la matriz de flexibilidad de miembro, son:

( ) ( ) ( )2323211 33

)(121331

)(12146

)(121 αααααααα +−+−+−++−=

oba EIEIEIf (3.17)

( ) ( ) ( )232322112 1

)(1211

)(1212

)(121 ααααααα +−−+−++−++−==

oba EIEIEIff (3.18)

( ) ( )232322 1

)(1213

)(121

)(121 αααααα +++−−−+=

oba EIEIEIf (3.19)

ba

a

MMM

∆+∆∆

=α (3.20)

donde y son los incrementos de momento en el nudo inicial y final respectivamente. Una de las formas de controlar que el elemento no tiene punto de inflexión, es chequeando que ∆M

aM∆ bM∆

a = ∆Mb = 0 en este caso se han formado rótulas plásticas en sus extremos. En el programa IDARC se considera que si el valor de α es menor a 0.2 se tomará α = 0.2 y si el valor de α es mayor a 0.8 se considera α = 0.8. Por otra parte para el caso de simple curvatura, se tiene:

( ) ( )ba EIEIf

121

41

11 += (3.21)

( ) ( )ba EIEIff

121

121

2112 −−== (3.22)

( ) ( )ba EIEIf

41

121

22 += (3.23)

3.12.2 Modelo de Rigidez Constante La longitud de las secciones que han ingresado al rango no lineal, λa L y λb L , se

obtienen con las ecuaciones (3.14) y (3.15) respectivamente, en el programa SARCF. Este programa trabaja con inercia constante, en el nudo inicial, centro de luz y nudo final. La formulación de los términos de la matriz de flexibilidad fue realizada por Roufaiel (1983)

[ ]3332

111 ))(1())(1(

)(31 LQLLQLQ

LEIf iaibj +−−−−= λλ (3.24)

[ ]3332

122 ))(1())(1(

)(31 LQLLQLQ

LEIf jbjai +−−−−= λλ (3.25)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−==

322

21

2112 2)5.1())(1()5.1())(1(

)(31 LLLLQLLLQ

LEIff aaibbj λλλλ (3.26)

Qi , Qj son las relaciones entre la rigidez a flexión elástica con relación a la rigidez inelástica en el nudo inicial y final respectivamente.


3.13 PUSHOVER CONTROLADO

En la Técnica del Pushover se aplican cargas laterales en cada uno de los pisos en forma incremental y en una misma dirección hasta llevar a la estructura al colapso. La forma de aplicación de estas cargas es fundamental ya que la curva de Capacidad Sísmica Resistente que relaciona el Cortante Basal V con el Desplazamiento Lateral máximo en el tope de la estructura , es función del tipo de cargas que se aplican. Por este motivo se han presentado varias propuestas para definir la forma de las cargas laterales que se aplican en cada uno de los pisos, Ayala (2001).

tD

Una alternativa consiste en aplicar las cargas en forma proporcional a las

deformaciones y a esta Técnica se conoce con el nombre de Pushover Controlado, tema que se aborda en este capítulo mediante la solución de dos ejemplos en una estructura de dos pisos en la cual se obtiene la curva de capacidad resistente empleando dos modelos de plasticidad el primero de ellos es el elasto perfectamente plástico y el segundo el de Giberson (1969), los dos ya fueron utilizados en el capítulo 2.

3.13.1 Descripción de la estructura y modelo de cálculo

Se desea encontrar la curva de Capacidad Sísmica Resistente para el pórtico que se muestra en la figura 3.13, sin tener en cuenta la carga vertical. Considerar E = 2100000 T/m2 . Esta estructura tiene una parte común para los dos ejemplos que se van a realizar y es que la matriz de compatibilidad de deformaciones es la misma, razón por la cual a continuación se indican estas matrices para cada uno de los elementos pero antes de ello es importante indicar que en la figura 3.14, a la izquierda, se encuentra la numeración de los elementos, en el centro los grados de libertad y a la derecha el sistema de coordenadas de los elementos con el cual se resuelven los ejercicios.

A=∞

30/30Io

Figura 3.13 Pórtico en estudio para los ejercicios que se realizan en el presente apartado.

Nótese que se ha considerado que todos los elementos son axialmente rígidos de tal

forma que se tiene un grado de libertad por piso y una rotación en cada nudo. En la figura 3.15 se presentan las deformadas elementales con las cuales se obtienen

las dos primeras columnas de la matriz de compatibilidad de deformaciones A

2.7

2.7

4

30/30 30/30

30/30 30/30

30/30

IoA=∞

Io A=∞

H= m

A = ∞

Io

IoA=∞

Io A=∞

H= m

L= m


1

2

3

5

4

Elementos

626 15

Q - q

3

1

2

1

1

1

2

2

4 1

3

5

P - p

4

2

2

2

1

1

6 2

Figura 3.14 Elementos del pórtico, grados de libertad de la estructura y de los elementos

1 1 1q =1 q =0 i = 1 q =1 q =0 i = 21 i 2 2

Figura 3.15 Deformadas elementales para las dos primeras columnas de la matriz

En Aguiar (1995) se indica con detalle el cálculo de las matrices de compatibil

cada un

A

idad deo de los elementos de la estructura, estas resultan.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000103704.0000003704.0

00010/100000/1)1(

HH

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=01003704.03704.000013704.03704.0

0100/1/10001/1/1)2(

HHHH

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0010.03704.0000003704.0

00100/100000/1)3(

HH

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1000.3704.03704.000103704.03704.0

1000/1/10010/1/1)4(

HHHH

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

001000000100)5(A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100000010000)6(A


1.0 T.

0.5 T.

V=1.5 T.

3.13.2 Análisis con modelo elasto plasto

l momento de fluencia en las columnas es onstante es decir que no depende de la carga axial y vale 7.714 Tm., en todas las columnas; ara las vigas el es 4.7105 Tm. Antes de alcanzar M , en cualquiera de los elementos,

ividido para 12. Esto reporta I = (b * h )/ 12 = 6.75 x 10 mPor otra pa

⎢⎣

=2100105010502100

/4/2)4(KKK

HEIHEIK

Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura se aplica la si iente ecuación

, los resultados que se o enen son:

5532.3468

K

Figura 3.16 Primer ciclo de cargas

Para el primer ejemplo se tiene que ecp y y

la rigidez a flexión se obtendrá con la sección completa sin agrietarse y cuando se llega a la fluencia esta rigidez será cero..

La Inercia a flexión se obtiene como el producto de la base b por la altura de la sección

transversal h elevado al cubo y d 3 -04 4.

M

rte la rigidez a flexión . Al reemplazar este valor en la matriz de rigidez de los elementos para el rango elástico se obtiene:

⎤⎡ /2/4 )3(2()1( HEIHEI

25.1417 TmEI =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡====⎥

⎦)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

50.141775.70875.70850.1417

/4/2/2/4 )6()5( KLEILEILEILEI

K

gu

∑=

=n

i

iiti AkAK1

)()()( bti

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

50.351775.70850.351700.105000.050.561765.116800.105075.70850.561765.116865.116865.116865.11682766.173465.116865.116800.000.02766.1734


El primer ciclo se inic 0.5 T. y 1.0 T. al primer y segundo nivel respectivamente como lo mu tra la figura 3.16. El vector de cargas

transp

]9=t

Los desplazamientos del vector indicados están en metros y las rotacion en radianes. Con el vector se halla las deformaciones

ia colocando cargas laterales deQ es

uesto resulta [ ]00000.15.0 . De la solución del sistema de ecuaciones QqK = se obtiene el vector de coordenadas q , el vector transpuesto de q resulta:

[ 0003.000037.000059.00005.0003537.00016624.0 −−−−q 7

q es q p , aplicando la siguiente ecuación:

i)( =a d

qA i)( . Finalmente por medio de la matriz de rigidez de cada uno de los elementos se hallan los momentos en c da elemento que están agrupa os en el vector p

P con la siguiente )()() pk= . La convención de signos positiva del vector ecuación: P ( iii P se indica a la

derecha de la figura 3.14. Los resultados que se obtienen se muestran en la figura 3.17, no se han colocado las fuerzas axiales y de corte que gravitan en los elementos ra no desviar la atención de lculo.

pa la forma de cá

0.56Tm.

1.26Tm.

0.70Tm.

1.32Tm.

0.70Tm.

1.26Tm.0.56Tm.

1.32Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

Figura 3.17 Momentos al primer ciclo de cargas

Todos los mome anto se continúa con el ulo, pero antes de ello es importante anotar el cortante basal , y el desplazamiento

teral m

ntos son menores a los de fluencia. Por lo tVcálc

la áximo tD para graficar la curva de capacidad sísmica resistente. Estos valores son:

.5.1 TV = y .3537.0 cmDt =

raleEn la forma tradicional para el nuevo ciclo de carga se habrían aplicado las mismas

cargas late s pero en el pushover controlado las cargas se aplican en forma proporcional a s deformaciones acumuladas de la estructura, para el presente ejemplo si se divide los la

desplazamientos laterales para tD se obtiene que la relación de las nuevas fuerzas laterales, estas resultan: 0.47 T., en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso. En la figura 3.18 se indican estas fuerzas para el segundo ciclo de carga.


V=1.47 T.

0.47 T.

1.0 T.

Figura 3.18 Segundo ciclo de cargas

Como la estructura se encuentra en el rango elástico se mantiene la misma matriz de

rigidez y los desplazamientos laterales que se obtienen son: 0035.0001636.0 21 == qq . Los momentos parciales en el segundo ciclo de carga y acum a 3.19, a la izquierda los parciales y a la derecha los acumulados.

ulados se indican en la figur

1.12Tm.0.56Tm.

2.62Tm.

0.68Tm. 0.68Tm.

1.24Tm.

1.24Tm.

1.30Tm. 1.30Tm.

0.56Tm.

1.38Tm.

1.12Tm.

2.62Tm.

2.50Tm.

2.50Tm.

1.38Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

Figura 3.19 Momentos al segundo ciclo de cargas

El cortante basal acumulado al segun ciclo es do .97.2 TV = y el desplazamiento

lateral azamientos

cuentra la fte

Los momentos parciales del tercer ciclo son los mismos del segundo ciclo ya que las cargas

l cortante basal acumulado al final del tercer ciclo es , y el

desplaz

.7037.0 cmD = Nuevamente al dividir los despl laterales acumulados

para D se en orma modal que indican la relación de las cargas laterales a aplicarse en el rcer ciclo, para el ejemplo se tiene que estas fuerzas son 0.47 T., en el primer piso y 1.00 T., en el segundo piso.

t

t

laterales son las mismas y las matrices de rigidez tanto de los elementos como de la estructura son las mismas. En la figura 3.20 se indican los momentos parciales y acumulados.

E .97.2 TV =amiento lateral máximo acumulado es .7037.0 cmDt = Para el cuarto ciclo de carga inicialmente se aplican las mismas cargas laterales de

0.47 T., en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso pero resulta que con estas cargas el momento acumulado en la viga del primer piso resulta 4.98 Tm., que es mayor que el momento de fluencia .71.4 TmM y = En consecuencia en primer lugar se debe determinar el cortante basal del cua ga con el cual se llega al momento de fluencia de la viga , esto se rto ciclo de car


lo hace mediante una regla de tres y después se debe encontrar las fuerzas que se deben aplicar en cada uno de los pisos para que sean proporcionales a 0.47 y 1.0

1.68Tm.0.56Tm.

3.92Tm.

0.68Tm. 0.68Tm.

1.24Tm.

1.24Tm.

1.30Tm. 1.30Tm.

0.56Tm.

2.06Tm.

1.68Tm.

3.92Tm.

3.74Tm.

3.74Tm.

2.06Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

2.37Tm.

2.37Tm.

2.37Tm.

2.37Tm.

Figura 3.20 Momentos al tercer ciclo de cargas

l momento que falta para llegar a la fluencia es: 4.71-3.74=0.97 Tm. A continuación se

indica l

Carga Momento

1.47 T............. 1.24

V .............. 0.970

1.151 T. f = (1.151/ 1.47)

Ea forma de cálculo de las fuerzas laterales para el cuarto ciclo de carga y en la figura

3.21 se presentan las fuerzas laterales para el cuarto ciclo de carga.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

783.0368.0

*00.147.0

fφ

V =

V=1.151 T.

0.368T.

0.783 T.

Figura 3.21 Nuevo cuarto ciclo de cargas

os desplazamientos laterales que se obtienen en el cuarto ciclo son y

q = = y

desplazamiento

L .0016.01 mq =.0035. m Por otro lado el cortante basal acumulado es V el

lateral acumulado vale .7037.0 cmD02 .97.2 T

t =

Parciales Acumulados


Los momentos que se obtienen en el nuevo cuarto ciclo se indican en la figura 3.22, a la izquie

rda los parciales y a la derecha los acumulados. Al alcanzar la viga del primer nivel la fluencia, da origen a la formación de las primeras rótulas plásticas en sus extremos; por lo tanto la matriz de rigidez de ese elemento es cero ya que se articuló en los dos extremos y la matriz de rigidez de la estructura cambia.

2.12Tm.

4.94Tm.

2.60Tm.2.60Tm.0.54Tm.0.54Tm.

1.02Tm. 1.02Tm.

0.62Tm.

0.62Tm.

0.97Tm.

0.62Tm.

0.62Tm.

0.97Tm.

0.44Tm.

2.99Tm.

0.44Tm.

4.94Tm.

2.12Tm.

2.99Tm.

2.99Tm.

4.71Tm.

2.99Tm.

4.71Tm.

Figura 3.22 Momentos al nuevo cuarto ciclo

La nueva matriz de rigidez luego de que se han formado rótulas plásticas en los dos extremo

Nuevamente al dividir el vector de desplazamientos acumulado para el desplazamiento máximo

s de la viga del primer piso es la siguiente.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

50.351775.70850.351700.105000.000.4200

00.000.105000.000.420065.116865.116865.116865.11682766.173465.116865.116800.000.02766.17345532.3468

K

se obtiene la forma modal para el quinto ciclo y en base a esta se aplican las fuerzas laterales a la estructura. Estas se muestran en la figura 3.23 para el quinto ciclo.

V=1.47T.

0.47 T.

1.0 T.

Figura 3.23 Quinto ciclo de cargas



Los desplazamientos son .0034088.01 mq = y .0073963.02 mq = , en el quinto ciclo de carg arse a los desplazamientos acumulados l

a. Estos valores deben sum o propio se realiza con el cortante basal encontrando que los valores acumulados son: .061.7 TV = y

.068.2 cmD = Los momentos que se obtienen en el quinto ciclo se indican en 4. t la figura 3.2

0.01Tm.

1.99Tm.

1.34Tm.

1.34Tm.

0.01Tm.

0.01Tm.

1.99Tm.

1.34Tm.

1.34Tm.

0.01Tm.

4.33Tm.

4.71Tm.

2.13Tm.

6.93Tm.

4.33Tm.

2.59Tm.

4.33Tm.

4.33Tm.

4.71Tm.

2.59Tm.

2.13Tm.

6.93Tm.

Figura 3.24 Momentos parciales y acumulados en el quinto ciclo de carga.

En la figura 3.24 se aprecia que la viga del segundo piso está muy próxima a alcanzar

la fluen

cia por lo que si se aplica la fuerza de 0.47 T. en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso, que se obtienen en base a la forma modal del vector de desplazamientos, al aplicar esas fuerzas los momentos en la viga superior superan el momento de fluencia. En consecuencia se debe realizar nuevamente una regla de tres y encontrar el factor f, como se realizó anteriormente. Al hacer todo esto se hallan las fuerzas que deben aplicarse en el sexto ciclo de carga las mismas que se indican en la figura 3.25.

V=0.417T.

0.134 T.

0.283T.

Figura 3.25 Sexto ciclo de carga

Resolviendo ecuaciones lineales se obtiene para las cargas del sexto ciclo se encuen

s

tra que .0009662.01 mq = y .002096.02 mq = El cortante acumulado es 478.7=V

T. y el desplaz .mamiento lateral máximo es 278.2 cDt = En la figura 3.26 se muestran lo momentos parciales y acumulados en el sex a.

sto ciclo de carg

La viga del segundo piso en sus dos extremos ha llegado al momento de fluencia por lo que la


matriz de rigidez de este elemento es nula y consecuentemente se tiene una nueva matriz de rigidez para proseguir con el análisis está nueva matriz es:


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

00.210000.000.2100

00.105000.000.420000.000.105000.000.4200

65.116865.116865.116865.11682766.173465.116865.116800.000.02766.17345532.3468

K

0.002Tm.

0.56Tm.

0.38Tm.

0.38Tm.

0.002Tm.

0.002Tm.

0.56Tm.

0.38Tm.

0.38Tm.

0.02Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

2.13Tm.

7.49Tm.

4.71Tm.

2.59Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

2.59Tm.

2.13Tm.

7.49Tm.


Figura 3.26 Momentos al sexto ciclo

Otra vez en función de los desplazamientos acumulados se encuentra la forma de las cargas que deben aplicarse en el octavo ciclo, las mismas que resultan ser 0.46 T y 1.0 T., respectivamente en los pisos uno y dos, es necesario aplicar estas cargas a pesar de que se aprecia que el momento en el pie de columna está muy próximo en llegar al valor de fluencia. Se debe hacerlo ya que cambió la matriz de rigidez de la estructura.

Los momentos que se obtienen en el séptimo ciclo inicial se indican en la figura 3.27,

se aprecia que el momento acumulado en el pie supera el de fluencia por lo que se debe recalcular las fuerzas en la forma como se ha venido haciendo, las nuevas fuerzas para el séptimo ciclo de carga se muestran en la figura 3.28, con estas fuerzas en forma exacta se llega al momento de fluencia en el pie de columna.

1.347Tm.

3.315Tm.

1.347Tm.

4.71Tm.

1.347Tm.

3.315Tm.

1.347Tm.

4.71Tm.

3.477Tm.

10.805Tm.

1.243Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

1.243Tm.

4.71Tm.

3.477Tm.

10.805Tm.

4.71Tm.

Parcial Acumulados

Figura 3.27 Momentos al séptimo ciclo inicial.


1 20.032 T.

V=0.099 T.

30.067 T. 4

Figura 3.28 Nuevo séptimo ciclo de cargas

Los momentos asociados al nuevo séptimo ciclo de carga se muestran en la figura 3.29. Ahora se han formado dos rótulas plásticas más en los pies de columna por lo que se ha terminado el cálculo debido a que se ha formado un mecanismo en la estructura. En la tabla 3.7 se resumen los valores obtenidos en cada ciclo de carga.

0.09Tm.

0.224Tm.

0.09Tm.

4.71Tm.

0.09Tm.

0.224Tm.

0.09Tm.

4.71Tm.

2.13Tm.

7.714Tm.

2.59Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

2.59Tm.

4.71Tm.

2.13Tm.

7.714Tm.

4.71Tm.


Figura 3.29 Momentos al séptimo ciclo

Tabla 3.7 Resumen de resultados con el modelo elasto-plasto.

CICLO DE

CARGA 1 2 3 4 5 6 7

Q1 ( T.) 0.500 0.470 0.470 0.368 0.470 0.134 0.032 Q2 ( T.) 1.000 1.000 1.000 0.783 1.000 0.283 0.067 q1 (cm.) 0.166 0.164 0.164 0.128 0.341 0.097 0.046 q2 (cm.) 0.354 0.350 0.350 0.274 0.740 0.210 0.142

Vacumulado (T.) 1.500 2.970 4.440 5.591 7.061 7.478 7.577 Dt (cm.) 0.354 0.704 1.054 1.328 2.068 2.278 2.420

φ 0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

En la figura 3.30 se indica la curva de capacidad sísmica resistente de la estructura

analizada y con el modelo elasto plasto. Se indica además la formación de las rótulas plásticas.


PUSHOVER CONTROLADO " CURVA DE CAPACIDAD "

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Desplazamiento en el tope Dt (cm)

Cor

tant

e Ba

sal V

(T.)

(3 ; 4)

(1 ; 2)

(5 ; 6)

5

21

6 Formación de rótulas plásticas

43

Figura 3.30 Curva de Capacidad Sísmica Resistente

3.13.3 Análisis con modelo de Giberson

Para desarrollar el ejemplo con el modelo de Giberson se necesita definir los

momentos y las curvaturas para los puntos Y y U del diagrama Momento Curvatura, los cuales están resumidos en la tabla 3.8; además en esta tabla están calculadas las rigideces para cada elemento, tanto para el rango elástico definida por EIe, como para el rango plástico, definida por EIp. Nótese que en este ejercicio EIe se ha obtenido como la relación del momento de fluencia a la curvatura de fluencia de tal manera que no va a ser igual a la que se obtiene con las inercias gruesas, por esta razón la matriz de rigidez de los elementos para el rango elástico es diferente a las presentadas anteriormente. Todo esto con fines didácticos.

Tabla 3.8 Puntos notables del diagrama Momento-Curvatura obtenidos con CEINCI 3

ELEMENTO My(T.m)

φy(1/m)

Mu(T.m)

φu (1/m)

EIe(T.m2)

EIp(T.m2)

VIGA 4.710 0.0125 7.823 0.3598 376.80 8.963

COLUMNA 7.714 0.01825 12.69 0.3655 422.69 14.330

En la tabla 3.9 se indican los valores de Sa y Sb para cada elemento, tanto en el rango elástico como plástico, los mismos que deben ser reemplazados en la ecuación que define la rigidez del elemento en el modelo de Giberson que fue tratado en el capítulo2 en forma detenida.

Tabla 3.9 Valores de Sa y Sb

Rango Elástico Rango Plástico ELEMENTO

Sa Sb Sa Sb

VIGA 1 1 42.04 42.04

COLUMNA 1 1 29.497 29.497


La matriz de rigidez de cada elemento al inicio del cálculo (Sa = Sb = 1), son las siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡====⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21.62610.31310.31321.626

/)(4/)(2/)(2/)(4 )4()3()2()1( KKKHeEIHeEIHeEIHeEI

K

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

80.37640.18840.18880.376

/)(4/)(2/)(2/)(4 )6()5( KLeEILeEILeEILeEI

K

Luego la matriz de rigidez de la estructura resulta.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

010.1003400.188010.1003100.31300.0220.162900.0100.313400.188220.1629484.348484.348484.348484.348150.517484.348484.34800.000.0150.517301.1034

K

Para el primer ciclo de cargas laterales, se aplican 0.5 T. y 1.0 T. al primer y segundo nivel respectivamente. Luego se obtiene los desplazamientos q resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, lo que permite determinar los desplazamientos laterales en los dos niveles y las rotaciones en los nudos. Con estos valores se encuentran los momentos en cada elemento. Los resultados son los siguientes:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

1

2

1014040.01014040.01021683.01021683.0

1012571.01058227.0

xxxx

xx

q

0.67Tm.

1

0.79Tm.

Figura

Cortante Acumulado: V = 1.50 Ton.

Desplazamiento Acumulado: Dt = 1.257 cm

Nuevo Incremento de Carga : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

0.79Tm.

1.23Tm.

0.56Tm.

.35Tm.

0.67Tm.

1.35Tm.

1.23Tm.

0.56Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

3.31 Momentos al primer ciclo


En la figura 3.31 se indican los momentos correspondientes al primer ciclo de carga. Realizando el equilibrio de elementos y juntas se halla el cortante y la fuerza axial que gravita en cada elemento. Esto no se lo realiza para no distraer la atención. Para el segundo ciclo de carga la fuerza lateral que se aplica en los pórticos es 0.46 T., en el primer piso y 1.00 T., en el segundo piso. Los resultados principales se indican a continuación y en la figura 3.32 los momentos parciales y acumulados al final del segundo ciclo.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

1

2

1013970.01013970.01021364.01021364.0

1012398.01057024.0

xxxx

xx

q



Nuevo Incremento de Carga: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

0.56Tm.

1.21Tm.

0.65Tm.0.65Tm.

1.32Tm.

1.21Tm.0.56Tm.

1.32Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

1.12Tm.

1.32Tm. 1.32Tm.

2.44Tm.

2.67Tm.

2.44Tm.

2.67Tm.

1.12Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.


Figura 3.32 Momentos al segundo ciclo

Todos los elementos siguen trabajando en el rango elástico, en consecuencia se mantiene la matriz de rigidez de la estructura. Para el tercer ciclo de carga del vector de desplazamientos acumulados se encuentra el vector modal y en base a este se determinan las fuerzas laterales que resultan ser iguales a las del ciclo dos. Al resolver ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.46T y 1.0T para el primer y segundo nivel respectivamente se halla:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

1

2

1013970.01013970.01021364.01021364.0

1012398.01057024.0

xxxx

xx

q

Cortante Acumulado: V = 4.42Ton.



⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

En la figura 3.33 se muestran los momentos en el tercer ciclo de carga.


1.68Tm.0.56Tm.

3.99Tm.

0.65Tm. 0.65Tm.

1.32Tm.

1.21Tm.

1.21Tm.

1.97Tm.

1.32Tm.

0.56Tm.

3.99Tm.

1.68Tm.

1.97Tm.

3.65Tm.

3.65Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

2.37Tm. 2.37Tm.

2.37Tm.2.37Tm.

Figura 3.33 Momentos al tercer ciclo

En la figura 3.33 se aprecia que la viga del primer nivel está próxima a llegar al momento de fluencia (My=4.71 Tm), por ello se determina la carga necesaria que se debe aplicar para que la viga alcance la fluencia, haciendo una regla de tres como ya se explicó en el apartado anterior, de lo cual se obtienen los siguientes valores:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

88.040.0

φ V = 1.28 T.

Resolviendo las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.40T y 0.88T

para el primer y segundo nivel respectivamente se determina:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

1

2

1012286.01012286.01018762.01018762.0

1010890.01050036.0

xxxx

xx

q



Nuevo Incremento de Carga : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

Los momentos en el cuarto ciclo se muestran en la figura 3.34:

0.49Tm.

1.16Tm.

0.57Tm.

0.69Tm.

2.54Tm.2.54Tm.0.57Tm.

1.16Tm. 5.15Tm. 5.15Tm.

4.71Tm.0.49Tm.

1.06Tm.

0.69Tm.

1.06Tm.

0.69Tm.

0.69Tm.

2.17Tm.

3.06Tm.

3.06Tm.

2.17Tm.

3.06Tm.

3.06Tm.

4.71Tm.

Figura 3.34 Momento al cuarto ciclo


En la figura 3.34 se puede notar que las vigas del primer nivel han ingresado al rango no lineal. No se puede hablar que se han formado las primeras rótulas plásticas ya que dichas secciones son capaces de resistir mayores momentos, con fines didácticos se acostumbra representarlos en forma similar a lo realizado en el ejercicio anterior como se aprecia en la figura 3.35. Al ingresar al rango no lineal la viga del primer piso se debe calcular la nueva matriz de rigidez de ese elemento y la matriz de rigidez de la estructura.

1 2

Figura 3.34 Incursión de la viga del primer piso al rango no lineal.

Para la viga del primer piso se tiene Sa = 42.04; Sb = 42.04. Reemplazando en la matriz de rigidez del elemento, se encuentra:

( )( )( )[ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−++

=)1(1

1)1(111

6

b

a

ba

o

SS

SSLEI

K

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1390631.133052763.030527563.01390631.3)5(K

La nueva matriz de rigidez de la estructura con la cual se prosigue el cálculo es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

010.1003400.188010.1003100.31300.0559.126500.0100.313305.0559.1265484.348484.348484.348484.348150.517484.348484.34800.000.0150.517301.1034

K

Para el quinto ciclo los incrementos de carga son: 0.46T y 1.0T para el primer y segundo nivel respectivamente. Con estas fuerzas laterales se obtienen los siguientes desplazamientos y los momentos que se indican en la figura 3.35


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

2

2

2

2

1

1

1022709.01022709.01061650.01061650.0

1024434.01011132.0

xxxx

xx

q




⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

7.10Tm.

2.23Tm.

0.02Tm.

1.28Tm.

1.28Tm.

1.95Tm.

0.02Tm.

0.06Tm.

1.28Tm.

1.28Tm.

2.56Tm.

4.34Tm.

1.95Tm.

0.06Tm.

7.10Tm.

2.23Tm.

2.56Tm.

4.79Tm.

4.79Tm.

4.34Tm.

4.34Tm.4.34Tm.

0.08Tm.

0.08Tm.

Figura 3.35 Momentos al quinto ciclo

En la figura 3.35, se puede ver que la viga del nivel superior va a llegar al momento de fluencia, razón por la cual se determina la carga que debe aplicarse para que la viga alcance la fluencia, cuyo valor es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

29.013.0

φ V = 0.42 T.

Al resolver las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.13T y 0.29T

para el primer y segundo nivel respectivamente se determina:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

−

−

−

−

−

−

3

3

2

2

2

2

1065685.01065685.010178000.010178000.0

1070560.01032111.0

xxxx

xx

q




⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

Los momentos que se encuentran en el sexto ciclo se muestran en la figura 3.36. Al

alcanzar la fluencia los extremos de la viga del nivel superior como se aprecia en la figura 3.36; la matriz de rigidez de ese elemento cambia. El nuevo modelo para el cálculo es el de la figura 3.37.


0.56Tm.

0.02Tm.

0.37Tm.

0.00Tm.

0.37Tm.

0.56Tm.

0.02Tm.

0.00Tm.

0.37Tm.

0.37Tm.

7.49Tm.

2.56Tm.

2.25Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

4.81Tm.

7.49Tm.

2.56Tm.

2.25Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

4.81Tm.

0.02Tm.

0.02Tm.

Figura 3.36 Momentos al sexto ciclo

21

3 4

Figura 3.37 Incursión de la viga del segundo piso al rango no lineal.

La nueva matriz de rigidez de la viga del segundo piso se obtiene al reemplazar

Sa=42.04 = Sb.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1390631.133052763.030527563.01390631.3)6(K

La nueva matriz de rigidez de la estructura resulta:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

=

349.639305.0349.639100.31300.0559.126500.0100.313305.0559.1265484.348484.348484.348484.348150.517484.348484.34800.000.0150.517301.1034

K

Para el séptimo ciclo de carga, al aplicar las cargas de 0.46T y 1.00T se halla:


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

1

1

1

1

1

1

1015468.01015468.01012492.01012492.0

1059273.01019658.0

xxxx

xx

q




⎤⎢⎣

⎡=

00.133.0

φ

Los momentos en el séptimo ciclo de carga se indican en la figura 3.38

10.60Tm.

3.39Tm.

0.97Tm.

4.92Tm.

0.97Tm.

2.94Tm.

1.14Tm.

2.94Tm.

1.14Tm.

1.59Tm.

4.92Tm.

10.60Tm.

3.39Tm.

4.98Tm.

1.59Tm.

4.98Tm.

4.92Tm.4.92Tm.

0.21Tm.

0.21Tm.0.21Tm.

0.21Tm.

0.17Tm.

0.17Tm.

Figura 3.38 Momentos al séptimo ciclo, inicial.

Las columnas del primer nivel sobrepasaron el momento de fluencia (My = 7.714T.m.), entonces se corrige el ciclo, para lo cual se calcula la carga que debe aplicarse para que la columna alcance la fluencia, cuyo valor es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

018.0009.0

φ V = 0.027 T.

Resolviendo las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.009T y 0.018T para el primer y segundo nivel respectivamente se obtiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

3

3

3

3

2

3

1028087.01028087.01022751.01022751.0

1010788.01035883.0

xxxx

xx

q




⎤⎢⎣

⎡=

00.146.0

φ

Los momentos en el séptimo ciclo nuevo se muestran en la figura 3.39


0.054Tm.

0.02Tm.

0.02Tm.

4.71Tm.

0.054Tm.

0.02Tm.

0.02Tm.

7.714Tm.

2.54Tm.

2.27Tm.

4.81Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

7.714Tm.

2.54Tm.

2.27Tm.

4.81Tm.

4.71Tm.

Figura 3.39 Momentos al séptimo ciclo.

Ahora los pies de las columnas ingresan al rango no lineal en los extremos inferiores de

las columnas del primer nivel, como se puede ver en la figura 3.39; de ahí que la matriz de rigidez de esos elementos cambie. El nuevo modelo de la estructura se indica en la figura 3.40

1 2

3 4

5 6

Figura 3.40 Formación de rótulas en las columnas.

Las nueva matriz de rigidez del elemento 1, se obtiene con Sa=29.497; Sb=1.0. Para el elemento 3, es igual.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

313502.31656751.15656751.15313502.31)3()1( KK

La nueva matriz rigidez de la estructura, luego de que las columnas del primer nivel han ingresado al rango no lineal, resulta:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−−

=

349.639305.0349.639100.31300.0833.111600.0100.313305.0833.1116484.348484.348484.348484.348150.517484.348484.348529.165529.165150.517833.665

K

Para el octavo ciclo los desplazamientos y giros que se obtienen para las cargas

laterales de 0.46 y 1.00 T., son:


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

05762.005762.005826.005826.0

31130.015320.0

q




⎤⎢⎣

⎡=

00.149.0

φ

En este octavo ciclo de carga la estructura tiene un desplazamiento máximo en el tope

de 39.213 cm lo que significa que ha colapsado pues las cargas que se han aplicado han generado un desplazamiento máximo superior al 5% de la altura total de la estructura, que es el desplazamiento máximo que considera el colapso de una estructura, criterio de falla adoptado en este ejercicio.

Se muestra en resumen en la tabla 3.10 los resultados obtenidos para el ejemplo

utilizando el modelo de plasticidad de Giberson considerando incrementos de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia. Finalmente en la figura 3.41 de indica la curva de capacidad sísmica obtenida.

Tabla 3.10 Resumen de resultados con el modelo de plasticidad de Giberson.

CICLODE CARGA

1 2 3 4 5 6 7 8

Q1 ( T.) 0.500 0.460 0.460 0.400 0.460 0.130 0.009 0.460 Q2 ( T.) 1.000 1.000 1.000 0.880 1.000 0.290 0.018 1.000 q1 (cm.) 0.582 0570 0.570 0.500 1.113 0.321 0.035 15.32 q2 (cm.) 1.257 1.240 1.240 1.089 2.443 0.706 0.108 39.213

Vacumul.(T.) 1.5 2.96 4.420 5.700 7.160 7.580 7.607 9.067 Dt (cm.) 1.257 2.497 3.737 4.826 7.269 7.975 8.083 39.213

φ 0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.000

0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.00

0.49 1.00


0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00

Desplazamiento en el tope Dt (cm)

Cor

tant

e B

asal

V (

T.)

5

21

6 Formación de rótulas plásticas

43

(1,2)

(3,4)(5,6)

Figura 3.41 Curva de Capacidad Sísmica Resistente, con modelo de Giberson.


3.13.4 Comparación de resultados con el programa CEINCI3

El sistema de computación CEINCI3, Aguiar (2002) permite encontrar la curva de

capacidad sísmica resistente de pórticos planos considerando que los elementos horizontales son axialmente rígidos de tal forma que se tiene un desplazamiento horizontal por piso y todos los elementos verticales son totalmente flexibles. Es importante tener en cuenta lo indicado ya que a más de los grados de libertad indicados anteriormente en cada nudo se considera el desplazamiento vertical como grado de libertad.

En la figura 3.42 se muestran tres curvas de capacidad sísmica resistente, la numero

(1) considera un modelo elasto-plasto, la (2) un modelo de plasticidad muy sencillo que toma en cuenta el incremento de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia, y la (3) que reporta el programa de computación CEINCI3, con el mismo modelo de plasticidad de Giberson.


0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00Desplazamiento en el tope Dt (cm)

Corta

nte

Basa

l V (

T.)

M odelo Elasto-plasto (1)

M odelo de Giberson (2)Programa CEINCI 3 (3)

(1) (2)

(3)

Figura 3.42 Curvas de Capacidad resistente para la estructura en estudio.

Como se puede apreciar en la figura 3.42 el modelo Elasto-plasto reporta

deformaciones muy bajas en comparación con las otras curvas, esto es debido a que este modelo no considera la rigidez plástica de los elementos. La curva de Capacidad que se obtiene de forma manual con el modelo de Giberson, se acerca más a la del programa CEINCI3, y es que los dos emplean el mismo modelo de plasticidad; la diferencia está en que el programa obtiene el diagrama Momento Curvatura en función de la carga axial para las columnas y contempla todos los puntos del diagrama, lo que no se consideró en la solución manual por fines didácticos, en consecuencia en cada incremento de carga dicho programa obtiene la mencionada relación.

Nótese el gran desplazamiento que existe en los dos últimos puntos de las curvas (2) y (3), para un pequeño incremento de carga la estructura está tan dañada que experimenta un gran desplazamiento lateral.

3.14 ESPECTRO DE CAPACIDAD

El Espectro de Capacidad relaciona el Desplazamiento Espectral con la

Aceleración Espectral , el mismo que se obtiene a partir de la Curva de Capacidad Sísmica dS

aS


Resistente, el marco teórico se presenta en el capítulo 7. A continuación se muestran las ecuaciones fundamentales para encontrar el Espectro de Capacidad.

Sea φ el primer modo de vibración normalizado, de tal forma que la amplitud en el tope

es la unidad. Con esta consideración las ecuaciones con las cuales se determina el Espectro de Capacidad son las siguientes:

φφ Mm t=1 ( 3.27 )

11 m

JMtφγ =

( 3.28 )

( )1

2

1 mMJM

T

tφα = ( 3.29 )

1γtj

dj

DS = ( 3.30 )

T

jaj M

VS

1α= ( 3.31 )

donde es un vector en función del cual se escribe el vector de cargas generalizadas Q, para el análisis sísmico plano es un vector unitario;

JJ 1γ , es el factor de participación del primer

modo; 1α , es el factor de participación del primer modo en el Cortante basal; y, , es la masa total del sistema.

TM

Se desea encontrar el espectro de capacidad del pórtico de un vano y dos pisos cuyas

curvas de capacidad sísmica resistente se han obtenido para dos modelos de plasticidad si en dicho pórtico gravita una carga vertical uniforme repartida de 2 T/m, como lo muestra la figura 3.43.

2.7

2.7

4

2 T.m

2 T.m

m1

m2

Carga Vertical actuante en un pórtico

30/30 30/30

30/30 30/30

30/30

30/30

AIo

& &

IoA

&

IoA A

Io

&

AIo

&&A

Io

H=

L=

H=

m

m

m

Figura 3.43 Pórtico en estudio para los ejercicios que se realizan en el presente artículo.


Para el caso plano, la matriz de masa es diagonal y está compuesta por la masa de cada piso. Por otra parte es un vector unitario, Aguiar (1989); para el ejemplo en estudio la matriz de masas y el vector se indican a continuación. El peso de cada uno de los pisos es igual a , y la masa es igual al peso dividido para la aceleración de la gravedad, al

realizar las operaciones indicadas se obtiene . De donde la masa total de la estructura es igual a: M

JJ

mmT 4/2 ∗msTmm /816.0 2

21 ==T = 1.632 T, que es igual a la suma de las dos masas.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

816.00.00.0816.0

00

2

1 Jm

mM

Se muestran en resumen en las tablas 3.11 y 3.12 los resultados de la aplicación de las fórmulas (3.27) a (3.31). La primera tabla corresponde al ejemplo resuelto con un modelo Elasto-plasto; y la segunda empleando el modelo de Giberson que considera incrementos de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia.

Tabla 3.11 Resumen de resultados para el Espectro de Capacidad utilizando el modelo Elasto-plasto CICLO DE

CARGA 1 2 3 4 5 6 7

V ( T.) 1.500 2.970 4.440 5.591 7.061 7.478 7.577 Dtj ( cm.) 0.354 0.704 1.054 1.328 2.068 2.278 2.420

φ 0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

M1 (T.s2/m.) 0.996 0.996 0.996 0.996 0.989 0.989 0.989

γ1 1.204 1.204 1.204 1.204 1.205 1.205 1.205

α1 0.885 0.885 0.885 0.885 0.880 0.880 0.880

Sdj (cm) 0.294 0.585 0.875 1.103 1.716 1.890 2.008

Saj (m/s2) 1.039 2.056 3.074 3.871 4.918 5.209 5.278

Tabla 3.12 Resumen de resultados para el Espectro de Capacidad utilizando modelo de Giberson. CICLO DE

CARGA 1 2 3 4 5 6 7 8

V ( T.) 1.5 2.96 4.420 5.700 7.160 7.580 7.607 8.937 Dt (cm.) 1.257 2.497 3.737 4.826 7.269 7.975 8.083 37.603

φ 0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.46 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.490 1.000

M1 (T.s2/m.) 0.989 0.989 0.989 0.989 0.989 0.989 0.989 1.008

γ1 1.205 1.205 1.205 1.205 1.205 1.205 1.205 1.202

α1 0.880 0.880 0.880 0.880 0.880 0.880 0.880 0.893

Sdj (cm) 1.043 2.072 3.101 4.004 6.032 6.618 6.708 32.617

Saj (m/s2) 1.045 2.062 3.079 3.970 4.987 5.280 5.299 6.224


Si bien es cierto el cálculo se realiza en forma incremental, en efecto para cada incremento de carga lateral se obtiene el incremento de desplazamientos, no es menos cierto que el vector modal se obtiene en base a los desplazamientos acumulados. Con esta última indicación en la figura 3.44 se indican los espectros de capacidad, a la izquierda para el modelo elasto plasto y a la derecha para el modelo de Giberson.

PUSHOVER CONTROLADO " ESPECTRO DE CAPACIDAD"

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

PUSHOVER CONTROLADO " ESPECTRO DE CAPACIDAD "

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00

Desplazamiento Espectral Sd (cm) Desplazamiento Espectral Sd (cm)

Figura 3.44 Espectros de capacidad con modelo elasto plasto a la izquierda y con modelo de Giberson

a la derecha.

Finalmente en la figura 3.45 se indican los espectros de capacidad con el modelo

elasto plasto, con el modelo de Giberson, que se han desarrollado en forma manual en este capítulo y el que se obtiene al utilizar el sistema de computación CEINCI3, Aguiar (2002).

PUSHOVER CONTROLADO "ESPECTRO DE CAPACIDAD"

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00

Desplazamiento Espectral Sd (cm)

M odelo Elasto-plasto (1)M odelo de Giberson (2)Programa CEINCI 3 (3)

(3)

(2)(1)

Desp

laza

mie

nto

Espe

ctra

l Sa

m/s

2

Figura 3.45 Espectros de capacidad para la estructura en estudio.

3.15 CONCLUSIONES

Primeramente se ha presentado la teoría de un nuevo modelo dencontrar la curva de capacidad resistente de una estructura empleando lineal. Posteriormente se han comparado las curvas de capacidad que se omodelo propuesto con otros modelos de plasticidad y empleando dos progr

e plasticidad para análisis estático no btienen al utilizar el amas de ordenador


que son el CEINCI3 y el DRAIN-2DX. La comparación se ha realizado en estructuras de 3, 5 y 10 pisos considerando el efecto ∆−P y sin considerar dicho efecto.

Para el análisis estadístico se ha construido un modelo bilineal cuya área interior es

igual al área de la curva de capacidad resistente. En este modelo se han comparado los desplazamientos y cortantes a nivel de fluencia, los cortantes últimos, la rigidez elástica y plástica y finalmente la relación de estas dos rigideces. De todo el estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: • El modelo propuesto presenta curvas de capacidad resistente que se aproximan muy

bien a las obtenidas con otros modelos de plasticidad extendida. Por lo tanto es un modelo confiable para el análisis de estructuras compuestas por columnas y vigas sin muros de corte que es lo que se ha analizado en el presente capítulo.

• El considerar cuatro niveles de inercia en la zona de daño modela de mejor forma el

comportamiento sísmico del elemento en lugar de considerar un solo nivel de inercia. • Es importante la incorporación del efecto ∆−P , en el análisis sísmico debido a que la

capacidad resistente disminuye en el rango inelástico. El comportamiento de las curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de plasticidad es similar al que se halla al no considerar dicho efecto.

Por otra parte se ha presentado en forma didáctica la Técnica del Pushover Controlado

utilizando dos modelos de plasticidad extremadamente sencillos pero muy ilustrativos. Adicionalmente con el mismo objetivo se ha mostrado en forma práctica la obtención del Espectro de Capacidad. Sin embargo de ello conviene que el lector medite sobre los resultados encontrados sobre todo cuando se trabaja con el modelo elasto plasto. REFERENCIAS 1. Aguiar R. (2002), Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los

Países Bolivarianos, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador.

2. Aguiar R. (1995), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas.

Escuela Politécnica del Ejército, 611 p, Segunda Edición, Valle de los Chillos. 3. Aguiar R. (1989), Análisis Dinámico Espacial, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito,

Ecuador. 4. Aguiar R., Torres M. y Ruiz S. (2002), “Influencia de distintos modelos de comportamiento

plástico en el comportamiento estático no lineal de marcos estructurales planos”, Revista CIENCIA. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 5 (1), 73-95, Valle de los Chillos, Ecuador.

5. Chung Y. S., Shinozuka M and Meyer C. (1988), “ SARCF User´s Guide: Seismic Analysis

of Reinforced Concrete Frames'', National Center for Earthquake Engineering Research, Technical Report NCEER-88-0044, State University of New York at Buffalo.

6. Giberson M.F. (1969), “Two Nonlinear Beams with Definitions of Ductility”, Journal of the

Structural Division, ASCE, Vol. 95, No ST2, 137-157.


7. Kunnath S. K., Reinhorn A. M. and Abel J. F., (1992), “A computational tool for seismic performance of reinforced concrete buildings'', Computers and Structures, Pergamon Press, 41 (1) 157-173, Great Britain.

8. Kunnath S. K., Reinhorn A. M. and Lobo R. F., (1992), IDARC Version 3.0: A program for the

Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Structures, National Center for Earthquake Engineering Research, Technical Report NCEER-92-0022, State University of New York at Buffalo.

9. Park Y., Reinhorn A. and Kunnath S. (1987), IDARC: Inelastic damage analysis of reinforced

concrete frame shear-wall structures, National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-87-0008.

10. Prakash V., Powell G. H. and Campbell S. (1993), DRAIN-2DX Base Program Description

and User Guide, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, CA. 11. Roufaiel M. S. L. (1983), Analysis of Damaged Reinforced Concrete Frame Buildings, Ph.D.

Thesis, Department of Civil Engineering and Engineering Mechanics, Columbia University, New York.

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