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ESTRUCTURAS ARTICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras
Cuando necesitemos salvar luces importantes (> 10 ó 15 m), onecesitamos vigas de gran canto, puede resultar más económicoutilizar estructuras articuladas en celosía que vigas de alma llena
Luz
Diagonal
Montantes
Cordón superior
Cordón inferiorRótulas
Terminología estructural de las estructuras articuladas
Sistema físiconudo
apoyo
barra o elemento
Sistema estructural
IDEALIZACIÓN
ANALÍSIS DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS
Luces cortas (<20 m)Plantas en las que se requiere espacio vertical
Luces moderadas (20-30 m)Su diseño puede modificarse para conseguir techos planos
Howe Pratt
Luces grandes (>30 m)
Fan Fink
Aplicable cuando se desean cubiertas planas
Warren
Cuando la localización de pilares no es problemaCuando se precisa iluminación natural
En diente de sierra
techo techo
ventana ventana
Garajes y hangares aeronáuticos
Alturas altas y luces grandes
Arco tri-articulado
Hipótesis de diseño• Las barras se unen unas a otras mediante uniones flexibles
– Los ejes de las barras son concurrentes en un punto– En la realidad, esta unión proporciona alguna rigidez (tensiones
secundarias)
Formadas por triángulos
ESTRUCTURAS ARTICULADAS CANÓNICAS
ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPUESTAS
Cerchas simples
Cerchassimples
ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS O ESTRICTAMENTE COMPLETASSon aquéllas en las que pueden determinarse los esfuerzos axiles en todas las barras utilizando,exclusivamente, las ecuaciones de la estática. Si denominamos b al número de barras de laEstructura, n al número de nudos de la misma y c al número de coacciones externas, podemosestablecer:
Número de incógnitas por barra: 4
Número de incógnitas: 4b + Coacciones externas: c = 4b+c
Número de ecuaciones que podemos plantear:
Equilibrio de una barra: 3 (ΣH=0, ΣV=0 y ΣM=0)
Equilibrio de un nudo: 2 (ΣH=0 y ΣV=0)
3b+2n
El problema esestáticamentedeterminadocuando:4b+c=3b+2n
b=2n-c
GDH=b+c-2nSí GDH < 0 (Mecanismo)Sí GDH = 0 (Isostática ?)Sí GDH >0 (Hiperestática)
La condición anterior de isostaticidad es una condición necesaria, pero no suficiente:
b=9, n=6, c=3 ¡Se cumple la condición! b=9, n=6, c=3 ¡Se cumple también la condiciónpero no existe equilibrio, antelas posibles cargas, por tratarsede un mecanismo!
Pero, desde luego
Estabilidad externa de la estructura
Estructura inestable
Estructura inestable
Métodos de análisis
• Método de los nudos• Método de las
secciones• Métodos gráficos
(Cremona)
Métodos de análisis
• Método de los nudos• Método de las
secciones• Métodos gráficos
(Cremona)
Estructura articulada en equilibrio => Todos y cada uno de sus nudos están en equilibrio
500 N
2 m
2 m
A
B
CFAB (tracción)
500 N
F (compresión)
B
Procedimiento
• Plantee las ecuaciones de equilibrio en cada nudo
• Tenga en cuenta las posibles simetrías
• Identifique las barras que no sufren ningún esfuerzo– (i) cuando sólo dos barras de diferentes direcciones coincidan en
un nudo, y éste no está exteriormente cargado, ninguna de las dos barras sufre esfuerzo axil
– (ii) Si tres barras coinciden en un nudo, y éste no está cargado, y dos de las barras tienen la misma dirección, la barra no colinealcon las dos anteriores no sufre esfuerzo axil
Dos barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo C):
∑∑
==
==
0
0
CDy
CBx
FF
FF
Nota: lo mismo se podría aplicar al nudo A. Por tanto, en la estructurade la figura, sólo las barras BE, ED y DB sufrirán esfuerzos axiles
A
B C
DE
CFCB
FCD
Tres barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo D) siendo dos de ellascolineales:
∑∑
==
⇒=
0
0
DFy
DEDCx
FF
contrariasyigualesFyFF
D
E
C
Fxy
DFDC
FDEFDF
Métodos de análisis
• Método de los nudos• Método de las
secciones• Métodos gráficos
(Cremona)
Estructura articulada en equilibrio => Todas sus partes están en equilibrio
100 N50 N50 N
C xy +
50 N
FM1
FM2
FM3
C
EJEMPLO:
E
Ecuaciones de equilibrio
Si tomamos momentos respecto de C podríamos determinar el valor de FM3.Si, posteriormente, tomamos momentos respecto de E, determinaríamos FM1, …..
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
M
F
F
y
x
100 N50 N50 N
N,F;,cos,F;F
,F;a,Fa;M
,F;cosF;F
MMx
MMC
MMy
7570928607570
92808660500
757030500
11
3321
22
==++−=
==+−=
==−=
∑∑∑
N
N
C xy +
50 N
FM1
FM2
FM3
C
EJEMPLO:
Métodos de análisis
• Método de los nudos• Método de las
secciones• Métodos gráficos
(Cremona)
CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS
Para calcular desplazamientos en nudos de una estructura articulada, aplicaremosel teorema de Castigliano. Para ello, consideraremos como Sistema 0 el sistemaestructural real, con sus cargas, del que partimos, y como Sistema I el mismo sistemaestructural pero, ahora, sólo sometido a una carga unidad en el nudo y dirección enque deseamos obtener el desplazamiento.Sin embargo, puede haber casos en los que, además de cargas mecánicas, algunasbarras experimenten un cambio de temperatura o que, alguna de ellas, presente unerror de fabricación (que haya quedado más corta o más larga que la longitudrequerida).En estas condiciones, la energía elástica del sistema estructural se expresa como:
∑∑∑∆
∆∂+∂+Ω⋅⋅
=
Tconbarras
Tii
errorconbarras
eii
i
ii
barras
NNE
LNU2
21
ei∂T
i∆∂
= error de ejecución de la barra i
= cambio de longitud de la barra i debido a la variación de temperatura
iiT
i TL ∆=∂∆ α
∑∑∑ ∆∂+∂+Ω
=∂∂
= Ti
Ii
ei
Ii
barras i
iIii
jj NN
ELNN
PUd 0
Al igual que hicimos para el caso de cargas mecánicas actuando sobre la estructura,el desplazamiento de un nudo en una determinada dirección lo calcularemos comoya hacíamos sólo que, ahora, hay que añadir los sumandos:
∑ ∂ei
IiN
∑ ∆∂ Ti
IiN
( )dVol
dfdVolf
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V V
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫
+++++=
=Ω⋅+⋅Ω Ω
δδδδδδ γτγτγτεσεσεσ
δδrrrr
0=Ω⋅+⋅∫∫∫ ∫∫Ω Ω dfdVolfV V δδ
rrrr
( )
( ) ( )DBDB
DBCBCB
CB
V yzyzxzxzxyxyzzyyxx
LAL
LAL
dVol
⋅+⋅=
=+++++∫∫∫βδσαδσ
γτγτγτεσεσεσ δδδδδδ
coscos
( ) ( ) 0=⋅+⋅ DBDB
DBCBCB
CB LAL
LAL
βδσαδσ coscos
T.T.V.
Trabajo virtual fuerzas exteriores:
Trabajo virtual tensionesinternas:
En el sistema articulado de la figura formado por tres barras deidéntico material y siendo las áreas de sus respectivas secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para la barra BD, determinar, cuando, sobre él actúa la carga P:a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada una de las barrasb.- La energía elástica que almacena el sistemac.- El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del nudo D.
2A
A A
P
l l
l/2
B
C
D
ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA
l,cos
lCDBC
,l/larctan
1181
565262
===
==
α
α
2A
A A
P
l l
l/2
B
C
D
α α
NUDO B NUDO C
FBC=FCD por simetría
RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:
PcosP,FFP,F
PsenF
BD
BCCD
CD
==
==
=
α
α
11811181
2
FBC=1,118P
FBD
RB
P
FBC FCDα α
B D’
C
δ
RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EL P.T.V.:
Desplazamientos virtuales:B y C no se desplazanD lo hace hacia su izquierdauna magnitud δ
2A
A A
P
l l
l/2
B
C
D
α α
B D’
C
δD
δ cosα
ll BDCD 2δεαδε δδ =
′=
cos
( ) ( )
( ) δαδδαδ
δσαδσεσεσδ δδ
⋅+⋅=⋅+′⋅′
=
=⋅+′⋅′
=⋅⋅+′⋅=
BDCDBDCD
BDCDBDBDCDCD
FFlAlA
FlAlA
F
lAl
lAl
lAlAW
coscos
cosint
2222
222
22
Trabajo fuerzas actuantes: δWext=0
Trabajo fuerzas internas:
00
=+⋅⇒
⇒∀⋅+⋅=⇒=
BDCD
BDCDext
FFFFWW
αδδαδδδ
coscosint
AEPld
AElPPd 79638981
21 2 ,,
=⇒=
WU =
NUDO C:
NUDO D:
( ) ( )EA
lPEA
lPE
AP
lu BD⋅
=⋅
==⋅=2
222εw
( )( ) ( )∑ =+
⋅=++==
AElP,
AEl,P,
EAlPUUU
EALFU CDBCBDi
ii2222 8981
2118111812
222
2
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
AEPl
AEPl
PUd 796328981 ,,
=⋅
=∂∂
=
Q
Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la estructura articulada del problema anterior el desplazamiento vertical del punto C cuando actúa la carga Q que se observa en la figura:
2A
A A
l l
l/2
B
C
D
SISTEMA I
SISTEMA II
Q2A
A A
l l
l/2
B
C
D
2A
A A
P
l l
l/2
B
C
D
( ) ( )←⋅=↓⋅ IID
IC uQdP
EAlPu II
D⋅
=w
( ) ( )EA
lQuPQd II
DIC
⋅=←⋅=↓
12
3
4
5
6
8
71
2 3
45
67
89
10 11 12 13
3 m 3 m 3 m 3 m
4,5 m
En la estructura articulada de la figura, las barras 1-2 y 2-4 sufren un descenso de temperatura de 15 ºC y las barras 1-3, 3-5, 5-7 y 7-8 un aumento de 30 ºC. Determinar el desplazamiento vertical que experimenta el nudo 4.
NOTA: El material de las barras es acero (E=210 GPa), y todas ellas tienen laMisma sección transversa (5 cm2) y mismo coeficiente de dilatación lineal(α=10-5 (ºC)-1)
PROBLEMA PROPUESTO 1
Solución: dv=4,35 mm hacia abajo
Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo E de la estructuraarticulada de la figura.Tómese EA=100 MN
A
E
D CB
20 m
45º30º
60º 60º
45º30º
Solución:dh=8,15 mmdv=8,67 mm
10 kN
PROBLEMA PROPUESTO 2
Hasta ahora, las cargas se han supuesto actuando en los nudos.¿Qué hacer cuando una barra se encuentre directamente cargada?
A
E
D CB45º
30º
60º 60º
45º30º
q kN/m
A
E
D CB45º30º
60º 60º
45º 30º
q kN/m
A
E
D C
B45º30º
60º 60º
45º 30ºA
E
D CB45º30º
60º 60º
45º 30º
q kN/m +
=
RE
RB
=
E
q kN/mRE
RB
¿Qué hacer cuando una barra se encuentra sometida a un incremento térmico?
A
E
D CB45º
30º
60º 60º
45º30º
∆T
(Por ejemplo, la barra DC sufre un incremento térmico ∆T)
A
E
D CB45º30º
60º 60º
45º 30º
A
E
D C
B45º30º
60º 60º
45º 30ºA
E
D C B45º30º
60º 60º
45º 30º
+
=
=
∆T
D C
∆T
∆T αLDC∆TαLDC∆T
αLDC∆T αLDC∆T
¿Qué hacer cuando una barra sufrió un error de ejecución?
A
E
D CB45º
30º
60º 60º
45º30º
δ
(Por ejemplo, la barra DE es δ metros más corta)
A
E
D CB45º30º
60º 60º
45º 30º
A
E
D C
B45º30º
60º 60º
45º 30ºA
E
D C B45º30º
60º 60º
45º 30º
+
=
=
δ
δ
E
D
δ
F=EADEδ/LDE
F=EADEδ/LDE
F
F
ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
2 m
2 m
5 kN1 2
34
GDLE=3CE=3
GHE=0 (estructura externamente isostática)
GDLI=3n-3=3.6-3=15CI=2(nnudo -1)=2(3-1).4=16
GHI=1 (estructura internamente hiperestática)
5 kN1 2
34
N13
N13
N13
N13
1
3
Sistema 0(isostático)
Sistema 2
Desplazamiento relativo entre los nudos 1 y 3 del sistema 0== Desplazamiento entre esos mismos nudos del sistema 2
(los desplazamientos mencionados deben entenderse medidos en la dirección 1-3)
5 kN1 2
34
N13
N13
Sistema 1(isostático)
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 0
Barra Axil1-2 -N13/2-3 5-N13/3-4 5-N13/4-1 -N13/2-4 -5 +N13
2
2
2
22
1 2
34
1
1
Sistema 1(isostático)
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 1 (Auxiliar para aplicar Castigliano)
Barra Axil1-2 -1/2-3 -1/3-4 -1/4-1 -1/2-4 1
22
2
2
Barra Axil1-2 -N13/2-3 5-N13/3-4 5-N13/4-1 -N13/2-4 -5 +N13
2
2
2
22
Barra Axil1-2 -1/2-3 -1/3-4 -1/4-1 -1/2-4 1
22
2
2
Estado 0 Estado 1
])(-))(([EA1nto)(acercamie 2225122
2522
2211
13131300
13 ⋅+⋅+⋅⋅−+⋅⋅−−==∆ ∑ NNNLNNEA barras
iIii
)]()([NEA1nto)(acercamie 13 22102240
13 +−+=∆
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 2
N13
N13
1
3
Sistema 2
EANto)(alejamien 13 222
13 =∆
to)(alejamiennto)(acercamie 213
013 ∆−=∆
EAN-)]()([N
EA1 13
13222210224 =+−+
N13=3,53 kN