Capitulo7 Peebles

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICACARRERA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA E

INSTRUMENTACIÓN

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

UNIDAD III

TEMA: CAPÍTULO 7 PEEBLES

NOMBRE: ALEX TIPANTUÑA

FECHA DE ENTREGA: 21/08/2015

Procesos Estocásticos Página 1

7.1 Dado los procesos aleatorios x (t )=Ao cos (wot+θ)

Donde Ao y wo son constantes y θ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0 , π ). Es x(t) estacionario en sentido amplio Hallar la potencia de x(t) Hallar el espectro de potencia de x(t),calcular la potencia a partir de la

ecuación comprar los resultados.

E (x ( t ) )=∫−∞

∞

Acos(wot+θ)1πdθ

¿ Aπ

[sen (wo t+π )−sen (wo t)]

¿ −2 Aπ

[ sen(wo t)]

E [ x2 ( t ) ]=E [A2cos2(wo t+θ)]

¿ A2

2E[1+cos (2wot+2θ)]

¿ A2

2+ A

2

2∫−∞

∞

Acos (2wot+2θ) 1πdθ

¿ A2

2

Pxx=limT−∞

12T

∫−T

TA2

2dt

Pxx= A2

2

xT (w )=AT e jθ sa [ (w−wo ) ]+AT e− jθ sa [ (w−wo ) ]

|xT (w )|2=xT (w ) xT∗(w )

|xT (w )|2=A2T 2 {Sa2 [ (w+wo ) ] }+(e−2 jθ+e−2 jθ) sa [ (w−wo ) ]sa [ (w+wo ) ]

E|xT (w )|2=A2T 2{Sa2 [ (w−wo ) t ]+Sa2 [ (w+wo ) t ]+sa [ (w−wo ) t 2/ π ]}

E|xT (w )|2

2T= A2π

2 {Tπ Sa2 [ (w−wo )t ]+Sa2[Tπ (w+wo ) t ]}


7.2. Repetir el problema anterior, si el proceso se define como x (t )=u (t ) A0 cos (w0t+θ ).Donde u (t ) es la función escalón unitario

a¿¿ Es x (t)estacionarioensentido amplio?

E [X ( t ) ]=0y t<0

E [X ( t ) ]=−( 2 Aπ ) sen(w0 t) y t<0

No es estacionario en el sentido amplio

b¿Hallar la potenciade x( t)

E [X2 (t ) ]=0 t<0

E [X2 (t ) ]= A2

2

E [X2 (t ) ]= A2

2+ A

2

2∫0

π

cos ( 2w0 t+2θ )( 1π )dθ

pxx= limT→∞

12T

∫−T

tA2

2u(t )dt= A2

4

c ¿Hallar el espectro de potenciade x (t) , calcular la potenciaa partir de la

ecuación comprar losresultados

xT (w )=Acos [ (wot+θ ) ]u (t ) para−T< t<T

xT (w )=∫0

T

Acos [ (wot+θ )e− jwtdt ]

cos (a )=12

(e ja+e− ja)

xT (w )= AT2

{ejθ−

J (w−wo )T2 sa[ (w−wo )T

2 ]+e− jθ−J (w−wo )T

2 a [ (w+wo )T2 ]}

¿ xT (w )∨¿2= A2T2

4 {sa2 [w−wo )T2

+sa2 [w+wo )T

2 }¿sxx (w )= lim

T →∞E|xT (w )|2


sxx (w )=

A2

¿ π4

¿[δ [w−wo ]+δ [w+wo ]]

sxx (w )= A2

4

7.3. Repetir el problema anterior, suponiendo que Θes uniforme en el intervalo (0 , π /2 )


E [X ( t ) ]=0y t<0

E [X ( t ) ]=∫−∞

∞

xf (θ )dθ

E [X ( t ) ]=∫0

π2Acos (wot+θ )u ( t )dθ

π2

E [X ( t ) ]=2 Aπ

[cos (wot )−sen(wot )]u (t )


E [X2 (t ) ]=0 t<0

E [X2 (t ) ]=∫−∞

∞

xf (θ )dθ

E [X2 (t ) ]=∫0

π /2A2 cos2 (wot+θ )u ( t )dθ

π /2

pxx= limT→∞

12T

∫−T

tA2

2u ( t )dt

pxx=A2

4

c ¿Hallar el espectro de potenciade x (t) , calcular la potenciaa partir dela ecuacióncomprar los resultados

xT (w )=Acos [ (wot+θ ) ]u (t ) para−T< t<T


xT (w )=∫0

T

Acos [ (wot+θ )e− jwtdt ]

cos (a )=12

(e ja+e− ja)

xT (w )= AT2 {e jθ− J (w−wo )T

2 sa [ (w−wo )T2 ]+e− jθ−

J (w−wo )T2 a [ (w+wo )T

2 ]}¿ xT (w )∨¿2= A2T2

4 {sa2 [w−wo )T2

+sa2 [w+wo )T

2 }¿sxx (w )= lim

T →∞E|xT (w )|2

sxx (w )=

A2

¿ π4

{δ [w−wo ]+δ [w+wo ] }¿

sxx (w )= A2

4

7.4. Repetir el problema anterior, si el proceso se define comox (t )=A0 sen (w0 t+Θ )


E [X ( t ) ]=0y t<0

E [X ( t ) ]=∫−∞

∞

xf (θ )dθ

E [X ( t ) ]=1π∫

0

π2

sen (wot+θ )dθ

E [X ( t ) ]=2 Aπ

¿


E [X2 (t ) ]=E [ A2 sin2 (wot+θ ) ]

E [X2 (t ) ]=∫0

π

A2 sin2 (wot+θ )

E [X2 (t ) ]=A2/2


pxx= limT→∞

12T

∫−T

tA2

2u ( t )dt

pxx=A2

2

c ¿Hallar el espectro de potenciade x (t) , calcular la potenciaa partir dela ecuacióncomprar los resultados

xT (w )=∫−T

T

Asin [ (wot+θ ) e− jwtdt ]

sen (a )=(e ja+e− ja )

xT (w )= ATj

{e jθ sa (w−wo )T−e− jθsa (w+wo )T }

¿ xT (w )∨¿2=A2T 2{sa2 (w−wo )T +sa2 (w+wo )T }¿

sxx (w )= limT →∞

E|xT (w )|2

sxx (w )=

A2

¿ π2

¿[δ [w−wo ]+δ [w+wo ]]

P xx (w )= A2

2

7.5. Repetir el problema anterior, si el proceso se define como x (t )=A02cos2 (w0 t+θ )

x (t )=A02cos2 (w0 t+θ )= A2

2+ A

2

2cos(2wot+2θ)


E [X ( t ) ]=∫−∞

∞

xf (θ )dθ

E [X ( t ) ]=∫0

πA2

2+ A

2

2cos (2wot+2θ) 1

πdθ

E [X ( t ) ]= A2

2

E [X (t ) x (t+τ ) ]=RXX (t ,t+τ )

RXX ( t ,t+τ )=E[ A2

2[1+cos (2wot+2θ ) ] . A

2

2{1+cos (2wot+2θ)}]


E [X ( t ) x (t+τ )]= A4

4[1+1

2cos (2wot )]


E [X2 (t ) ]=RXX (0 )=3 A4

8

E [X2 (t ) ]=PXX=3 A4

8

c ¿Hallar el espectro de potenciade x (t) , calcular la potenciaa partir de

la ecuacióncomprar los resultados

xT (w )=∫−T

TA2

2¿¿

2 cos (a )=(e ja+e− ja)

xT (w )=A2T Sa (wt )+(A ¿¿2T )T2

{e− j2θ sa (w−2wo )T +{e− j2θ sa (w+2wo )T }¿

¿ xT (w )∨¿2=xT (w ) xT∗(w ) ¿

|xT (w )|2

2T= A4π

2 [ Tπ Sa (wt )]+ A4π8

[ TπSa2 (w−2wo )T + T

πSa2 (w+2wo )T ]

sxx (w )= limT →∞

E|xT (w )|2

sxx (w )=

A2

¿ π2

¿[δ [w ]+ 14δ [w−2wo ]+ 1

4δ [w−2wo ]]

P xx=1

2π∫−∞

∞

sxx (w )dw

P xx=3 A4

8

7.6. Sean A0y B0 variables aleatorias. Formamos el proceso aleatorio x (t )=A0 cos (w0t )+¿ B0 sen (w0 t )¿

Donde w0 es una constante real

a¿Demostrar que si A0 y B0 sonincorrelacionadas con valoresmediosiguala0.Y lamisma varianza , entonces x (t ) es estacionarioensentid o


ampli o

E [A ]=0

E [B ]=0

E [(A−A)2 ]=E [ A2 ]

E [ (B−B )2 ]=E [B2 ]=σ2

E [ ( A−A )(B−B)]=E [AB ]=0

E [X ( t)]=E [A ] cos (w0t )+E [B ] sin (w0 t )=0

RXX (t ,t+τ )=E [ x ( t ) x ( t+τ ) ]¿ E [{Acos (wot )+B sin (wot ) }{acos(wot+woτ+b (sin(wot+woτ )))]

RXX ( t ,t+τ )=E [A2 ] cos (wot )cos (wot+woτ )+E [AB ] cos (wot ) .sin (wot+woτ )+E [B2 ]sin (wot )

b¿Hallar la funciónde autocorrelaciónde x (t )

R xx ( τ )=σ 2cos (woτ )

c ¿Hallar el espectro dedensidad de potencia

sxx (w )=σ2π [δ [w−wo ]+δ [w+wo ] ]

7.17. Hallar el espectro de densidad de potencia del proceso aleatorio para el que R xx ( τ )=pcos4(wo τ )

Si p y wo son constantes determinar la potencia del proceso usando la ecuación

R xx ( τ )=P cos4 ¿ (w0 τ )

R xx ( τ )=P {38+ 1

2cos (2w0 τ )+ 1

8cos (4w0 τ)}

R xx (w )= πp2 {3

2δw+δ (w−2w0 )+δ (w+2w0 )+ 1

4δ (w−4w0 )+ 1

4δ (w+4w0 )}

R xx=1

2π∫−∞

∞

sxx (w )dw


R xx=1

2ππp2 {3

2+1+1+ 1

4+ 1

4 }=P

7.18. Un proceso aleatorio tiene el siguiente espectro de densidad de potencia

Lxx(w)= 6w2

1+w4

Hallar la potencia media del proceso

Lxx(w)= 6w2

1+w4

Lxx=1

2 π∫−∞

∞6w2dw1+w4

Lxx=6π { −1

4 √2ln( w

2+√2w+1w2−√2w+1 )+ 1

2√2tan−1( √2w

1−w2 )}∞0Lxx=

6π {0+ 1

2√2π }= 3

√2

7.38. Se definen dos procesos aleatorios como:

x (t )=A0 cos (w0t+Θ )y (t )=W (t )cos (w0 t+Θ )

x t (w )=∫−T

T

x ( t ) e− jwtdt=∫−T

TA2

[e j w0 t+ jθ+e− j w0 t− jθ]

a) Lxx=e− jwt dt=AT e jθ sa [(w−w0T )]+AT e jθsa [(w+w0T ) ]

Lxx=Y τ (w )=∫−T

T

y (T )e− jwtdt=∫−T

Tw(t)

2[e j w0 t+ jθ+e− j w0 t− jθ ]

Lxx=e− jwt dt=e

iθ

2∫−T

T

w (t ) e− j (w−w0 ) tdt+ e− jθ

2∫−T

T

w(t )

Lxx=e− j (w+w0)d t

b) E=[X t (w )Y t (w )=E AT2sa[(w−w0)T∫

−T

T

w (t)e− j (w−w0 )ddt ]]Procesos Estocásticos Página 9

E= AT2e− j2θ sa [(w−w0)T ∫

−T

T

w ( t )e− j+(w+w0)tdt ]E= AT

2e j2θ sa [(w+w0)T∫

−T

T

w ( t ) e− j+(w−w0)tdt ]E= AT

2e− j2θ sa [(w−w0)T ∫

−T

T

w ( t )e− j+(w−w0 )tdt ]E= AT

2sa[(w+w0)T∫

−T

T

w (t ) e− j (w+w0)t dt ]AT W

2{2TS a2 [(w−w0)T ]+2TS a2 [(w+w0)T ] }

2TE [e− j2θ ] Sa [(w−w0)T ]+Sa [(w+w0)T ]2TE [e+ j2θ ] Sa [(w−w0)T ]+Sa [(w+w0)T ]

limT→∞

E [XT (W )Y T(w)]

2T= AW

2 {limT→∞TSa [(w+w0)T ]}

E [e j2θ+e− j2θ ] limT→∞

TSa [(w+w0)T ]

limT→∞

TπS a2 [∝T ]=δ(α)

limT→∞

TπS [∝T ]=δ(α)

7.49. La función de autocorrelación de un proceso aleatorio x (t)esR xx ( τ )=3+2 exp (−4 τ4)

a¿Hallar el espectro de potenciade x (t )

sxx (w )=6πδ (w )+√π e−w2 /16

b¿¿Cuáles la potenciamediade x (t)?

R xx (0 )=5w

c ¿¿Qué fracciónde la potencia seasocia a labanda de frecue ncia− 1

√2<w< 1

√2?


−1

√2<w< 1

√2

P= 12π

∫−1√2

1√2

[6 πδ [w ]+√π e−w2/16 ]dw

P=3+2∫−1√2

1√2

e−w2

16

√2π (8 )dw

P=3+2{ 1

√22√2

−

−1

√22√2

}P=3+2[( 1

4 )−1+( 14 )]

P=3+2 [ (2 ) 0.59−1 ]P=3.3 9

3.395

=0.6 7


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