CAPÍTULO 1 Introducción a la geometría en el plano...Rectas finitas. 3.AB y AC miden lo mismo porque son radios de la misma circunferencia. Por este mo-tivo, también es cierto

1CAPÍ

TULO

Introducción a la geometría en el plano

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. A. d

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. V.

CC11Conceptos básicos del espacio Conceptos básicos del espacio y la forma, “lo geométrico”y la forma, “lo geométrico”

Evaluación diagnóstica.Evaluación diagnóstica. Página 11 Página 11 I. 1. Puntos. 2. Rectas finitas. 3. AB y AC miden lo mismo porque son radios de la misma circunferencia. Por este mo-

tivo, también es cierto que AB y BC miden lo mismo. Por lo tanto, . 4. Porque su objetivo es demostrar que forman un triángulo equilátero, para lo que

basta demostrar que miden lo mismo. Además, lo anterior es la columna vertebral de todo su argumento, así que dedicó un gran esfuerzo para asegurar que no hubie-ra falla alguna.

II.

1.

Paso 1. Trazamos una circunferencia centrada en A y con radio AB.

Paso 2. Trazamos una circunferencia centrada en B y con radio AB.

S1S1

INICIO

A B

A B

A B

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CC11Paso 3. Sea C cualesquiera de las dos intersecciones de ambas circunferencias, el

triángulo ABC es el triángulo equilátero buscado.

2.

Paso 1. Trazamos una circunferencia centrada en B y con radio BC.

Paso 2. Trazamos una circunferencia centrada en C y con radio BC.

C

A B

AB

C

A BC

AB C

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CC11Paso 3. Sean D y E las dos intersecciones de ambas circunferencias, trazamos una

circunferencia centrada en D y con radio DA.

Paso 4. Trazamos una circunferencia centrada en E y con radio EA.

Paso 5. Hay dos intersecciones entre las circunferencias de los pasos 3 y 4, una es A y a la otra le llamamos F, Así, CF es el segmento buscado.

D

BCA

E

BC

D

E

A

B C

D

E

AF

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CC11 III. 1. Cuando todos los ángulos entre ellas son rectos. 2. Cuando ambas rectas no se intersecan sin importar qué tanto las prolonguemos, o

bien, cuando al trazar una recta perpendicular a una de ellas, resulta ser también perpendicular a la otra.

3. El grado. 4. 90°.

ACTIVIDAD 1. Página 12 Página 12 Analizar el trazo de una recta que pasa por dos puntos

I.

Paso 1. Colocamos la regla de manera que atraviese a los puntos A y B.

Paso 2. Trazamos una recta que pase por A y B.

Paso 3. Notemos que esta es la única manera de trazar rectas, por lo que repetimos el procedimiento.

1. Sólo se puede trazar una recta que pase por los puntos A y B.

EJERCICIO 1. Página 13 . Página 13 Trazar semirrectas, segmentos de rectas y ángulos

I.

Paso 1. Trazamos una semirrecta que inicia en el punto A. La dirección puede ser cualquiera.

DESARROLLO

A B

A B

A B

A

BC

A

BC

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CC11Paso 2. Trazamos un segmento con extremos en los puntos B y C.

Paso 3. Prolongamos el segmento que trazamos en el paso anterior para trazar una semirrecta que empiece en C.

Paso 4. Finalmente, trazamos otra semirrecta que empiece en C, pero que pase tam-bién por A. Estas dos semirrectas determinan el ángulo buscado.

PROBLEMA 1. Página 13 Página 13 Distinguir en una imagen semirrectas, segmentos de recta y ángulos

I.

EJERCICIO 2. Página 15 . Página 15 Identificar la manera de medir ángulos

I. Cada círculo punteado en las figuras está dividido en 8 sectores, entonces:

, por lo tanto, cada sector mide 45°.

A

BC

A

BC

A

BC

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CC11a) d)

b) e)

c) f)

II.

1. Sabemos que cada vuelta completa equivale a 360°, por lo que de vuelta equivale a

.

2. Equivale a 2 × 360° = 720°.

El giro de la llave ocupa 5 sectores, en-tonces el ángulo de giro mide:

45° × 5 = 225°.


45° × 2 = 90°.


45° × 4 = 180°.

En este caso, la llave da 1 giro y medio, es decir, el ángulo de giro mide:45° × 8 + 45° × 4 = 360° + 180° = 540°.

El giro de la llave ocupa 1 sector, enton-ces el ángulo de giro mide 45°.

En este caso, la llave da 2 giros y un oc-tavo, es decir, el ángulo de giro mide:

45° × 16 + 45° = 720° + 45° = 765°.

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CC11 3. Dar 2 y de vuelta equivale a sumar los ángulos de 2 vueltas y de vuelta. Ambos

movimientos equivalen a 720° y 120°, respectivamente, por lo que dar 2 y de vuelta

equivale a 720° + 120° = 840°.

4. Dar 3.8 vueltas equivale a 360° × 3.8 = 1368°.

EJERCICIO 3. Página 17 . Página 17 Convertir a sistema sexagesimal la medida de un ángulo dada en el sistema decimal

I. 1.

Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.285 × 3 600″ = 1 026″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 1 026 segundos:

1760 1 026

4266

Como se obtiene un cociente de 17 y un residuo de 6, entonces 1 026″ = 17′6″Esto es, 37.285° = 37° 17′ 6″.

2. Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.16 × 3 600″ = 576″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 576 segundos:

960 576

36

Como se obtiene un cociente de 9 y un residuo de 36, entonces 576″ = 9′ 36″.Esto es, 0.16° = 0° 9′ 36″.

3.Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.75 × 3 600″ = 2 700″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 2 700 segundos:

4560 2 700

3000

Como se obtiene un cociente de 45 y un residuo de 0, entonces 2 700″ = 45′ 00″.Esto es, 9.75° = 9° 45′.


2560 1 512

31212

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CC11Como se obtiene un cociente de 25 y un residuo de 12, entonces 1 512″ = 25′ 12″.Esto es, 215.42° = 215° 25′ 12″.

5.Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.478 × 3 600″ = 1 720.8″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 1 720.8 segundos:

2860 1 720.8

52040

Como se obtiene un cociente de 28 y un residuo de 40, entonces 1 720.8″ = 28′ 40″.Esto es, 121.478° = 121° 28′ 40″.

6. Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.6 × 3 600″ = 2 160″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 2 160 segundos:

3660 2 160

3600

Como se obtiene un cociente de 36 y un residuo de 0, entonces 2 160″ = 36′ 00″.Esto es, 89.6° = 89° 36′.


4260 2 556

15636

Como se obtiene un cociente de 42 y un residuo de 36, entonces 2 556″ = 42′ 36″.Esto es, 15.71° = 15° 42′ 36″.

8.Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.954 × 3 600″ = 3 434.4″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 3 434.4″:

5760 3 434.4

43414

Como se obtiene un cociente de 57 y un residuo de 14, entonces 3 434.4″ = 57′ 14″.Esto es, 288.954° = 288° 57′ 14″.

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CC11 9.

Paso 1. Transformar la parte decimal en segundos: 0.02 × 3 600″ = 72″.Paso 2. Se determina cuántos minutos caben en 72 segundos:

160 72

12

Como se obtiene un cociente de 1 y un residuo de 12, entonces 72″ = 1′ 12″.Esto es, 288.02° = 288° 1′ 12″.

EJERCICIO 4. Página 17 . Página 17 Convertir a sistema decimal la medida de un ángulo dada en el sistema sexagesimal

I.

1.Paso 1. Lo más sencillo consiste en expresar los minutos y segundos sólo en segundos:

15′ 18″ = 15 × 60″ + 18″ = 918″.Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 43° 15′ 18″ = 43.255°.

2. Paso 1. Lo más sencillo consiste en expresar los minutos y segundos sólo en segundos:


Por lo tanto, 8′ 6″ = 0.133°.



Por lo tanto, 65° 15′ 18″ = 65.255°.

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CC11 4.

Paso 1. Lo más sencillo consiste en expresar los minutos y segundos sólo en segundos: 0′ 36″ = 0 × 60″ + 36″ = 36″.

Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 7° 36″ = 7.01°.



Por lo tanto, 47″ = 0.013°.


54′ 0″ = 54′ × 60″ + 0″ = 3 240″.Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 148° 54′ = 148.9°.


30′ 36″ = 30 × 60″ + 36″ = 1 836″.Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 170° 30′ 36″ = 170.51°.


15′ 00″ = 15 × 60″ + 00″ = 900″.

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CC11Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 26° 15′ = 26.25°.

9.Paso 1. Lo más sencillo consiste en expresar los minutos y segundos sólo en segundos:

255′ 20″ = 255 × 60″ + 20″ = 15 320″.Paso 2. Se emplea una regla de tres considerando que un grado es igual a 3 600 segundos:

Por lo tanto, 255′ 20″ = 4.255°.

EJERCICIO 5. Página 19 . Página 19 Encontrar ángulos complementarios o suplementarios en distintas figuras

I. a) b)

ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO. Página 19 Página 19 Identificar los tipos de ángulos

I. R.M.

ÁnguloParalelasPerpendiculares

Por lo tanto, los ángulos miden 86° y 94°, respectivamente.

Por lo tanto, los ángulos miden 42° y 48°, respectivamente.

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CC11EJERCICIO 6. Página 21 . Página 21 Expresar en grados la medida de un ángulo indicada en radianes o viceversa

I.

1.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

2.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

3. Paso 1. Paso 2.

Así, se tiene que .

4.

Paso 1. Paso 2.


5.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

6.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

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CC11 7.

Paso 1. Paso 2.


8.

Paso 1. Paso 2.


9.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

10.

Como , entonces .

Por lo tanto, .

11.

Paso 1. Paso 2.


12.

Paso 1. Paso 2.


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CC11 II.

a)

Como , entonces .

b)

Paso 1. Paso 2.


c)

Paso 1. Paso 2.


d)

Como , entonces .

ACTIVIDAD 2. Página 21 Página 21 Identificar las equivalencias entre grados y radianes en el círculo

I.

TABLA 1.1Grados (º) Radianes (rad)

0 0

45

90

135

180 π

225

270

315

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CC11 II.

1. .

EJERCICIO 7. Página 22 . Página 22 Convertir a radianes las medidas de ángulos expresadas en grados y viceversa

I.

1.

Como , entonces .

2.

Paso 1. Paso 2.

3.

Como , entonces .

4.

Paso 1. Paso 2.

5.

Paso 1. Se expresa el ángulo en notación decimal: .

Paso 2. Se convierten los grados decimales a radianes:

.

6.

Paso 1. Paso 2.

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CC11 7.

Paso 1. Se expresa el ángulo en notación decimal: .

Paso 2. Se convierten los grados decimales a radianes:

.

8.

Paso 1. Paso 2.

EJERCICIO 8. Página 24 . Página 24 Encontrar el ángulo que falta usando la suma o la resta de ángulos

I.

ACTIVIDAD 3. Página 24 Página 24 Mostrar que los ángulos opuestos por el vértice formados por dos rectas que se cortan son iguales

I. 1. Como α y γ son adyacentes, se tiene que: α + γ = 180°. Como β y γ son adyacentes, se tiene que: β + γ = 180°.

2. Sí, ya que los ángulos de ambas expresiones son equivalentes.

3. Que α y β miden lo mismo, ya que:

α + γ = β + γ α + γ – γ = β α = β

1. Resultado de 201° 18′ 30″ + 68° 41′ 30″2. Resultado de 63° 9′ 12″ – 26° 15′ 12″

3. Resultado de 24° 23′ 10″ + 26° 54′ 32″ 4. ¿Cuántos ángulos llanos hay en un ángulo de cinco vueltas? 5. ¿Cuántos ángulos de 36° hay en un ángulo llano? 6. ¿Cuántos ángulos de 3° hay en medio ángulo recto? 7. Ángulo suplementario de 63° 29′ 12″ 8. Ángulo complementario de 26° 25′ 52″

( 3 ) 51° 17′ 42″( 4 ) 10( 5 ) 5( 2 ) 36° 54′ 0″( 7 ) 116° 30′ 48″( 6 ) 15( 8 ) 63° 34′ 8″( 1 ) 270°

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CC11EJERCICIO 9. Página 25 . Página 25 Calcular la medida de los ángulos opuestos por el vértice

I. 1. α = 67°

γ = 113° al ser suplementario de α.β = 67° al ser opuesto por el vértice de α.δ = 113° al ser opuesto por el vértice de γ.

2. δ = 56° 17′ 46″Primero, se expresa el ángulo en su forma decimal:

56° 17′ 46″ = 56.2961.Entonces,α = 123.7039° al ser suplementario de δ.γ = 56.2961° al ser opuesto por el vértice de δ.β = 123.7039° al ser opuesto por el vértice de α.

II. a)

Por ser opuesto por el vértice: β = 133°.

b) Calculamos el valor de x:

Calculamos los ángulos: y

c) Calculamos el valor de x:

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CC11Calculamos los ángulos:

y

d) Tenemos que y

Como α y α′ son opuestos por el vértice, se tiene que: α = α′.Entonces:

Por lo tanto:

ACTIVIDAD 4. Página 26 Página 26 Calcular la relación entre ángulos correspondientes

I. 1. α = δ β = γ α′ = δ′ β′ = γ′ 2. α + γ = 180° γ + δ = 180° α + β = 180° β + δ = 180° α′ + γ′ = 180° γ′ + δ′ = 180° α′ + β′ = 180° β′ + δ′ = 180° 3. α = α′ β = β′ γ = γ′ δ = δ′

II. Sí, usando las propiedades descritas en la sección.

EJERCICIO 10. Página 27 . Página 27 Hallar la medida de los ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal

I. a) Dado que β = 28°, podemos afirmar lo siguiente:

Por ser correspondientes: β = β′; β′ = 28°.Por ser opuestos por el vértice: β = γ; γ = 28°.

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CC11Por ser correspondientes: γ = γ′; γ′ = 28°.Por ser suplementarios:

α + β = 180° α = 180° – β α = 180° – 28° α = 152°.

Por ser correspondientes: α = α′; α′ = 152°.Por ser opuestos por el vértice: α = δ; δ = 152°.Por ser correspondientes: δ = δ′; δ′ = 152°.Por lo tanto:α = 152° β = 28° γ = 28° δ = 152°α′ = 152° β′ = 28° γ′ = 28° δ′ = 152°

b) El único ángulo que conocemos es el que contiene el triángulo central. Usando éste y el ángulo suplementario al ángulo de 121°, calculamos la medida de:

180° – 121° = 59°.

La suma de los ángulos internos del triángulo central es de 180°, por lo tanto, te-nemos que: β′ = 180° – 52° – 59° β″ = 69°.

Al ser opuestos por el vértice: β′ = γ′ = 69°.

Al ser suplementarios: α′ = 180° – β′ α′ = 180° – 69° = 111°.

Al ser opuestos por el vértice: δ′ = α′ = 111°.

Por lo tanto:α = 111°, β = 69°, γ = 69°, δ = 111°, β′ = 69°, α′ = 111° δ′ = 111°.

PROBLEMA 2. Página 27 Página 27 Determinar la medida de los ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal

I. 1. Al ser correspondientes:

∠ABC = α; ∠ABC = 135°.

Al ser suplementarios: ∠BCD = 180° – β ∠BAD = 180° – α ∠BCD = 180° – 60° ∠BAD = 180° – 135° ∠BCD = 120° ∠BAD = 45°

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CC11El ángulo suplementario al ∠BCD es correspondiente al ∠CDA, así que:

∠CDA = 180° – ∠BCD ∠CDA = 180° – 120° ∠CDA = 60°.

Por lo tanto, tenemos que: ∠BAD = 45° ∠ABC = 135° ∠BCD = 120° ∠CDA = 60°.

PROBLEMA 3. Página 27 Página 27 Calcular la medida de los ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal

I. 1. Usando la propiedad de ángulos suplementarios, tenemos que:

α = 180° – 160° α = 20°.

EJERCICIO 11. Página 28 . Página 28 Observar el uso de escuadras para trazar rectas perpendiculares y paralelas

I. a) Paso 1. Colocamos la escuadra de 45° de modo que se corresponda con el seg-

mento AB.

Paso 2. Trazamos una línea sobre la escuadra y la prolongamos hasta que corte el segmento AB.

A B

A B

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CC11b) Paso 1. Colocamos la escuadra de 45° de modo que se corresponda con el seg-

mento CD.

Paso 2. Colocamos la escuadra de 30° sobre la de 45°, de modo que sumen: 30° + 45° = 75°.

Paso 3. Recorremos la escuadra y trazamos la línea que nos piden.

PROBLEMA 4. Página 29 Página 29 Resolver situaciones de trazos con escuadras

I. 1. Primero dibujamos las rectas que conforman la configuración de las escuadras y ana-

lizamos los ángulos.

C D

DC

BA

C D

45º

30º

α

EF

G

α′

β

DC

L

K

h

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CC11Dado que los segmentos AB, CD y EF son paralelos, podemos afirmar que:

β = 30°

y también que:

Entonces α = α′ = 15° por ser correspondientes.

EJERCICIO 12. Página 29 . Página 29 Medir ángulos con el transportador

I.

a) c)

b) d)

EJERCICIO 13. Página 30 . Página 30 Calcular la medida de ángulos utilizando únicamente regla y compás

Nota aclaratoria: en el ejemplo 12 del libro del alumno hay un error en el procedimiento planteado para calcular la longitud del arco de la circunferencia. El error consiste en asumir que existe una relación de proporcionalidad entre la longitud del arco y la longitud de la cuerda. Si bien es verdad que la medida del ángulo es propor-cional a la longitud del arco, no lo es a la longitud de la cuerda.

I. a) Paso 1. Trazamos una recta perpendicular al lado OB, que interseque con el lado OA.

Para esto, trazamos dos arcos de circunferencia con la misma abertura del compás, tomando como centros dos puntos cualesquiera sobre el lado OB. Delimitamos el triángulo rectángulo que se forma y nombramos sus tres lados: a, b y c.

α = 50°γ = 115°

β = 80° δ = 163°

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CC11

Paso 2. Con la regla graduada, medimos la longitud de cada uno de los lados del triángulo. En este caso, obtuvimos las medidas: a = 2 cm, b = 3.45 cm y c = 4.3 cm.

Paso 3. Para calcular la medida del ángulo α, planteamos alguna de las razones trigonométricas; en este caso, la razón coseno:

cos α =

α =

Por lo tanto, α = 60° = .

b) Paso 1. Trazamos una recta perpendicular al lado OB, que interseque con el lado OA. Para esto, trazamos dos arcos de circunferencia con la misma aber-tura del compás, tomando como centros dos puntos cualesquiera sobre el lado OB. Delimitamos el triángulo rectángulo que se forma y nombramos sus tres lados: a, b y c.

O a

bc

α

B

A

α

c = 4 cm

a = 2 cm

b = 3.45 cm

A

O Baβ

c

b

A

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. A. d

e C

. V.

CC11Paso 2. Con la regla graduada, medimos la longitud de cada uno de los lados del

triángulo. En este caso, obtuvimos las medidas: a = 4 cm, b = 2.8 cm y c = 4.9 cm.

Paso 3. Para calcular la medida del ángulo β, planteamos alguna de las razones trigonométricas; en este caso, la razón tangente:

tan β =

β =

Por lo tanto, β = 35° = .

c) Paso 1. Trazamos una recta perpendicular al lado OB, que interseque con el lado OA. Para esto, trazamos dos arcos de circunferencia con la misma abertura del compás, tomando como centros dos puntos cualesquiera sobre el lado OB. Delimitamos el triángulo rectángulo que se forma y nombramos sus tres lados: a, b y c.

BO a

c

b

γ

A

β

c = 4.9 cm

a = 4 cm

b = 2.8 cm

A

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. A. d

e C

. V.

CC11Paso 2: Con la regla graduada, medimos la longitud de cada uno de los lados del

triángulo. En este caso, obtuvimos las medidas: a = 4 cm, b = 3.7 cm y c = 5.4 cm.

Paso 3: Para calcular la medida del ángulo γ, planteamos alguna de las razones trigonométricas; en este caso, la razón seno:

sen γ =

γ =

Por lo tanto, γ = 43.2° = 0.24π rad.

PROBLEMA 5. Página 31 Página 31 Medir ángulos con escuadra y compás para resolver un problema

I. Trazamos una recta perpendicular al lado OB, que interseque con el lado OA. Delimitamos el triángulo rectángulo que se forma y nombramos sus tres lados: a, b y c. Con la escuadra graduada, medimos la longitud de cada uno de los lados del triángulo. En este caso, obtuvimos las medidas: a = 6 cm, b = 2.4 cm y c = 6.6 cm.

a = 4 cm

A

γ

c = 5.4 cm b = 3.7 cm

B

α a = 6 cm

c = 6.6 cmb = 2.4 cm

AO1 2 3 64 5

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. A. d

e C

. V.

CC11Para calcular la medida del ángulo α, planteamos alguna de las razones trigonométri-cas; en este caso, la razón seno:

sen α =

α =

Por lo tanto, α = 23.6° = 0.131π rad.

EJERCICIO 14. Página 31 . Página 31 Trazar ángulos de la misma medida que un ángulo dado

I. Paso 1. Trazamos dos arcos a y b partiendo de los puntos V y V′; nombramos los puntos

donde cortan a los segmentos como A, B y A′, respectivamente. Los segmentos AV y A′V′ deben medir lo mismo.

Paso 2. Trazamos una circunferencia de radio AB con centro en A y radio la longitud del segmento AB; después trazamos otra con centro en A′ que tenga la misma longitud de radio.

Paso 3. Donde se cortan el arco y la circunferencia, ubicamos el punto B′; desde ahí trazamos una recta hasta V′ y señalamos el ángulo β′. Tenemos que β = β′.

A′ LV′

b

B

β

A

a

V

A′V′ L

b

β

B

A

A′

B′

V′ L

b

β′

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. A. d

e C

. V.

CC11EJERCICIO 15. Página 32 . Página 32 Trazar la mediatriz de un segmento utilizando regla y compás

I. a) Paso 1. Trazamos una circunferencia con centro en A que pase por B y una con

centro en B que pase por A.

Paso 2. Marcamos los puntos C y D donde las circunferencias se cortan. Unimos los puntos para obtener la mediatriz.

b) Paso 1. Trazamos una circunferencia con centro en C que pase por D y una con centro en D que pase por C.

A

B

A

B

D

C

D

C

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. A. d

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. V.

CC11Paso 2. Marcamos los puntos E y F donde las circunferencias se cortan. Unimos los

puntos para obtener la mediatriz:

c) Paso 1. Trazamos una circunferencia con centro en E que pase por F y una con cen-tro en F que pase por E.

Paso 2. Marcamos los puntos G y H donde las circunferencias se cortan. Unimos los puntos para obtener la mediatriz.

E

FC

D

E F

E

H

G

F

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. A. d

e C

. V.

CC11 II.

Paso 1. Trazamos la mediatriz del segmento AB y marcamos como C la intersección entre ambos segmentos.

Paso 2. Trazamos la mediatriz del segmento AC y marcamos como D el punto de in-tersección entre ambos segmentos.

Paso 3. Trazamos la mediatriz del segmento CB y marcamos como E el punto de in-tersección entre ambos segmentos.

A BC

A BD C

A BD C E

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. V.

CC11Los puntos D, C y E dividen el segmento AB en cuatro partes iguales.

ACTIVIDAD TIC 1 Página 33 Página 33 Utilizar GeoGebra para determinar un método para encontrar el punto equidistante a otros tres puntos

I. 1.

2.

3.

A

B

C

A

B

C

PA

B

C

A BD C E

32

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. A. d

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. V.

CC11 II.

Las distancias mencionadas son iguales.

III. Se trazan segmentos de recta que unan los puntos dados, después se traza la me-diatriz de dos de los segmentos. El punto donde se cortan es equidistante a los tres puntos originales.

PROBLEMA 6. Página 33 Página 33 Utilizar el método de las mediatrices para localizar el centro de una circunferencia

I. Primero localizamos tres puntos cualesquiera sobre la circunferencia del círculo.

PA

4.56

4.56

4.56 B

C

A

B

C

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. V.

CC11Después unimos los puntos con segmentos de recta y trazamos la mediatriz a dos de estos segmentos.

El punto O donde se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia.

EJERCICIO 16. Página 34 . Página 34 Trazar una recta perpendicular a un segmento dado

I. Paso 1. Trazamos una circunferencia con centro en P que corte a la recta L en dos

puntos A y B.

Paso 2. Con centro en A, trazamos una circunferencia de radio AB. Hacemos lo mis-mo en B.

LB

P

A

LB

P

DA

A

B

OC

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. V.

CC11Paso 3.Trazamos el segmento QR que pase por P.

EJERCICIO 17. Página 35 . Página 35 Trazar una recta paralela a un segmento dado

I. Paso 1. Trazamos una circunferencia con centro en P que corte a la recta L en dos

puntos A y B.

Paso 2. Trazamos la mediatriz del segmento AB y señalamos como F y G los puntos donde corte a la circunferencia.

B

A

P

L

Q

R

L

P

A

B

L

P

A

BF

G

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. A. d

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. V.

CC11Paso 3. Trazamos la mediatriz del segmento FG.

EJERCICIO 18. Página 35 . Página 35 Trazar la bisectriz de cada ángulo

I. a) Paso 1. Trazamos un arco con centro en el vértice. Marcamos los puntos A y B.

Paso 2. Usando como centro los puntos A y B, trazamos arcos del mismo radio.

A

B

A

B

L

P

F

G

AB

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. A. d

e C

. V.

CC11Paso 3. Unimos el vértice con el punto donde se cortan los arcos trazados en el

paso 2.

b) Paso 1. Trazamos un arco con centro en el vértice. Marcamos los puntos E y D.

Paso 2. Usando como centro los puntos E y D, trazamos arcos del mismo radio.

A

B

E

D

E

D

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. A. d

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. V.

CC11Paso 3. Unimos el vértice con el punto donde se cortan los arcos anteriormente

trazados en el paso 2.

c) Paso 1. Trazamos un arco con centro en el vértice. Marcamos los puntos F y E.

Paso 2. Usando como centro los puntos F y E, trazamos arcos del mismo radio.

Paso 3. Unimos el vértice con el punto donde se cortan los arcos trazados en el paso 2.

E

D

F

E

F

E

F

E

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. V.

CC11Repaso.Repaso. Páginas 36 y 37 Páginas 36 y 37

1.

a)

•En grados decimales Paso 1. Paso 2.

•En grados sexagesimalesPaso 1.

Paso 2. Convertimos a minutos y segundos la parte decimal:

x = 2057.04″

2 057.04″ – 34 × 60 = 17.04"

Por lo tanto, tenemos que

.

b) 139.15° = 0.773π rad = 139° 9′ •En radianes

, entonces .

•En grados sexagesimalesConvertimos a minutos y segundos la parte decimal:

x = 540″

Por lo tanto, tenemos que139.15° = 139° 9′.

c) 225° 18′ 43″ = 225.3119° = 1.2517π rad •En grados decimales

CIERRE

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. A. d

e C

. V.

CC11Expresamos en forma decimal los minutos y segundos:

18′ 43″ = 18 × 60″ + 43″ = 1 123″

Por lo tanto, tenemos que 225° 18′ 43″ = 225.3119°.

•En radianes

, entonces .

d) 27.31° = 0.1517π rad = 27° 18′ 36″ •En radianes

, entonces .

•En grados sexagesimalesConvertimos a minutos y segundos la parte decimal:

x = 1 116″

1 116 – 18 × 60 = 36

Por lo tanto, tenemos que 27.31° = 27° 18′ 36″.

e) rad = 225°

•En grados decimales Paso 1. Paso 2.

f) 38′ 56″ = 0.6489° = 0.0036π rad •En grados decimalesExpresamos en forma decimal los minutos y segundos:

38′ 56″ = 38 × 60″ + 56″ = 2 336″

x =

Por lo tanto, tenemos que 38′ 56″ = 0.6489°.

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. V.

CC11 •En radianes

, entonces .

2.30′ 48″ = 30 × 60″ + 48″ = 1 848″

Por lo tanto,78° 30′ 48″ = 78.5133°.

Para conocer el complementario, restamos el ángulo a un ángulo recto:x = 90° – 78.5133°x = 11.4867°

Luego, convertimos a segundos la parte decimal del ángulo resultante:

x = 1 752.12″Dividimos los segundos entre 60:

1 752.12 – 29′ × 60 = 12.12″Por lo que,

11.4867° ≈ 11° 29′ 12″.Entonces, el ángulo complementario de 78° 30′ 48″ es aproximadamente igual a 11° 29′ 12″.

3. 36′ 24″ = 36 × 60″ + 24″ = 2 184″

Por lo tanto,132° 36′ 24″ = 132.6066°.

Luego, para conocer el suplementario, restamos el ángulo a un ángulo llano:x = 180° – 132.6066°x = 47.3934°

Convertimos a segundos la parte decimal del ángulo resultante:

x = 1416.24″

1416.24″ – 23′ × 60 = 36.24″

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CC11Por lo tanto, tenemos que

47.3934° ≈ 47° 23′ 36″.Entonces, el ángulo suplementario de 132° 36′ 24″ es 47° 23′ 36″.

4. a) Mide 95°, entonces es un ángulo convexo obtuso.b) Mide 25°, entonces es un ángulo convexo agudo.c) Mide 300°, entonces es un ángulo cóncavo.

5. a) δ = 65° 23″

γ = δ γ = 65° 23″

α = 180° – δ α = 180° 00′ 00″ – 65° 00′ 23″

α = 114° 59′ 37″

β = α β = 114° 59′ 37″

b) β = 123° 52′ 35″ γ = β γ = 123° 52′ 35″

α = 180° – β α = 180° 00′ 00″ – 123° 52′ 35″

α = 56° 7′ 25″

δ = α δ = 56° 7′ 25″

Por correspondencia, tenemos queα = α′, β = β′, γ = γ′, δ = δ′α′ = δ′ = 56° 7′ 25″

γ′ = β′ = 123° 52′ 35″.

6.

A B

H

G

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. V.

CC11Repetimos los pasos anteriores con cada lado del hexágono.

7.

Repetimos los trazos para cada ángulo.

8. Primero, trazamos una línea recta con extremos en los puntos A y B. Luego, colocamos el compás en el punto A y trazamos una circunferencia. Después, trazamos otra cir-cunferencia del mismo radio tomando el punto donde el primer círculo interseca al segmento AB (punto C) como su centro y así obtenemos los puntos E y D, es decir, los puntos donde se intersecan las circunferencias. Finalmente, unimos estos puntos y así tenemos la recta perpendicular al segmento AB.

A

EG

B

C

D

A

B

C

A C B

E

D

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CC11El ángulo formado entre AB y su perpendicular mide 90°. Trazamos la mediatriz de dicho ángulo y obtenemos dos ángulos de 45°.

9. Como L es la bisectriz del ángulo AOB, los dos ángulos en que se divide miden lo mis-mo; entonces tenemos que la suma de ambos es 2β.

Para encontrar la medida de β planteamos lo siguiente.

2β + 48° = 180°

2β = 180° − 48°

β =

10. Porque los ángulos NOL y M´OL son correspondientes, por lo tanto, sus bisectrices formarán pares de ángulos iguales, y dado que dichos ángulos comparten un lado paralelo (segmentos NO y MO´), también serán paralelos.

11. Como las rectas A y L son perpendiculares entre sí, tenemos que ∠AOM – α = 90° y = ∠AOM – β = 90°, por lo que α = β, es decir miden lo mismo.

12.

La mediatriz del segmento CD es bisectriz del ángulo AOB porque los segmentos OC y OD tienen la misma longitud, lo que forma un triángulo isósceles (figura que puede ser dividida exactamente a la mitad con la mediatriz de su base o con la bisectriz del ángulo dispar).

A B

E

H

hG

D

O

A

EC

D

B

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CC11 13.

El ángulo β vale:β = 90° + 30°

β = 120°.

14. R. L.

15. R. M. Según diversos autores, el ángulo correcto para colocar una escalera extensible es de 75°.

16. R. L.

Actividad de integración.Actividad de integración. Página 38 Página 38

I. ρ = θ θ = 75°

R.

R.

R.

B M90º90º

30º

30ºA L

CIERRE DE CAPÍTULO

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CC11R.

R.

δ = α = β

R.

R.

II. R. M.

Por ser alternos internos, θ vale lo mismo que ρ.Por ser ángulo recto, ε vale 90°.Por formar un triángulo, ε + ρ + β = 180°, por tanto β = 15°.Por ser opuestos por el vértice, β = α.Por ser alternos internos, α = δ.Por ser complementarios, β + γ = 180°, por tanto, γ = 165°.

III. R. M. La navegación en alta mar requiere calcular posiciones usando instrumentos como el sextante, que permite conocer la posición de algunos cuerpos celestes me-diante el uso de ángulos.

IV. R. M. Google Maps, Star Walk 2 y GeoGebra Geometría.

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. A. d

e C

. V.

CC11EVALUACIÓN FINAL Página 39 Página 39

I. a) Cóncavo

b) Convexo agudo

c) Convexo obtuso

II. a) 135° 46′ 39″ + 219° 41′ 37″ = 355.4711° = 1.9748π rad

Paso 1. 135° 46′ 39″ + 219° 41′ 37″ = 355.4711°

Paso 2. Como 87′ = 1° + 27′ y 76″ = 1′ + 16″, tenemos que 354° 87′ 76″ = 355° 28′ 16″.

Paso 3. Expresamos 28′ 16″ en notación decimal, para obtener355° 28′ 16″ = 355.4711°.

Paso 4. Convertimos los grados decimales a radianes.

Por lo tanto, 135° 46′ 39″ + 219° 41′ 37″ = 1.9748π rad.

b) 37° 8′ 10″ – 16° 43′ 24″ = 20° 24′ 46″ = 20.4127° = 0.1134π radPaso 1. Todas las cantidades del minuendo deben ser mayores que las del sustraen-do. En este caso, como 8′ 10″ = 7′ + 70″, tenemos que

37° 8′ 10″ – 16° 43′ 24″ = 37° 7′ 70″ – 16° 43′ 24″.

O270º

B

A

A

O

45º B

A

O

135º

B

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. V.

CC11Paso 2. Como 37° 7′ = 36° + 67′, tenemos que

37° 7′ 70″ – 16° 43′ 24″ = 36° 67′ 70″ – 16° 43′ 24″ = 20° 24′ 46″.

Paso 3. Expresamos 24′ 46″ en notación decimal, para obtener20° 24′ 46″ = 20.4127°.

Paso 4. Convertimos los grados decimales a radianes.

Por lo tanto, 37° 8′ 10″ – 16° 43′ 24″ = 0.1134π rad.

III. α = 139.28° β = 40.72° δ = 139.28° γ = 40.72° β′ = 40.72° α′ = 139.28° δ′ = 139.28° γ′ = 40.72°

IV. α + β + γ = 180°

V. 1. Cualquier punto sobre la mediatriz de un segmento AB está a la misma

distancia de los extremos A y B del segmento. 2. Si las medidas de dos ángulos suman 180°, éstos son complementarios. 3. Dos giros consecutivos de un ángulo recto equivalen a un giro de un án-

gulo llano.

AUTOEVALUACIÓN Página 40 Página 40 En esta sección el estudiante autoevalúa el desempeño que ha tenido en el capítulo, por lo tanto, las respuestas son libres.

COEVALUACIÓN Página 40 Página 40 En esta sección el estudiante solicita a un compañero del grupo que coevalúe el desempeño que ha logrado durante el capítulo, por lo tanto, las respuestas son libres.

ACTIVIDAD HSE Página 41 Página 41

I. R. L.

II. 1. Se espera que los alumnos trabajen en pares y compartan alguna situación en que

hayan reaccionado guiados por sus emociones y obtengan una retroalimentación mu-tua de dicha experiencia.

2. Los estudiantes continuarán trabajando en parejas y analizarán distintas estrategias de autorregulación para las situaciones que compartieron.

3. Para organizar el trabajo, los estudiantes pueden apoyarse en el diagrama que se muestra, clasificando las emociones negativas, las estrategias de autorregulación y los resultados esperados.

(V)(F)

(V)

Documents

CAPÍTULO 1 Introducción a la geometría en el plano...Rectas finitas. 3.AB y AC miden lo mismo porque son radios de la misma circunferencia. Por este mo-tivo, también es cierto