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1
Capítulo 12. Métodos no paramétricos
Los métodos presentados en los capítulos anteriores, se basaban en el conocimiento de las distribuciones
muestrales de las diferencias de porcentajes o promedios, cuando las muestras provenían de una misma
población. Se aceptaba entonces usar la aproximación normal, la distribución de t de Student o la
distribución F de Fisher en el análisis de varianza, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierta. Dado
que en esos métodos se estiman los parámetros de las poblaciones de origen, esas técnicas estadísticas
reciben el nombre de “paramétricas”.
Hay situaciones en que, por el escaso número de observaciones, o por el nivel de medición de las
variables, no es correcto o no es posible hacer supuestos sobre las distribuciones muestrales subyacentes.
En tales casos se usan los métodos “no paramétricos” o de distribución libre.
Aquí presentaremos algunos ejemplos de pruebas no paramétricas para el caso de dos muestras
independientes, para el caso de dos muestras dependientes o pareadas y para la comparación de más de dos
grupos en que no son aplicables los métodos paramétricos.
Las pruebas paramétricas, asumen como distribución muestral la distribución Normal, este supuesto no
siempre se cumple, sin embargo recurrimos a que estos métodos paramétricos son robustos. Además
estos métodos son preferidos porque tienen mayor potencia.
¿Pero qué hacemos cuando no se cumple la normalidad o tenemos muy pocos datos?
Opciones:
1. Si hay valores extremos y el tamaño muestral es pequeño cualquier método de inferencia es
dudoso.
2. A veces podemos transformar los datos (log es la transformación más usada)
3. También existen métodos paramétricos que asumen otras distribuciones, por ejemplo para
el tiempo que demora en fallar un producto se usa una distribución de Weibull (ver
diagrama adjunto).
4. Finalmente, existen los métodos que no asumen una distribución, llamados no
paramétricos.
2
3
Los métodos no paramétricos son la manera más directa de solucionar el problema de falta de
normalidad. Estos métodos son muy simples de usar y están disponibles en SPSS. Pero tienen dos
desventajas. Primero que tienen menos poder1 que las equivalentes soluciones paramétricas. También
es importante distinguir que las pruebas de hipótesis no paramétricas NO contestan a la misma
pregunta que las pruebas paramétricas. Por ejemplo si queremos hacer un test para docimar sobre el
centro de la distribución, el test no paramétrico establece la hipótesis en términos de la mediana y el
test paramétrico usa la media.
Análisis Test Paramétrico Test no paramétrico
Una muestra
Test t simple
Test del signo de rangos de
Wilcoxon
Muestras pareadas
Test t simple
Test del signo de rangos de
Wilcoxon
Dos muestras independientes
Test t para muestras
independientes
Test de suma de rangos de
Wilcoxon
Más de dos muestras
independientes
ANOVA de un factor
Test de Kruskal-Wallis
Diseño en bloques aleatorios
ANOVA con bloques
Ji cuadrado de Friedman
Existen dos grandes tipos de test no paramétricos, los que usan cuentas o números y los que usan
rangos. En este capítulo revisaremos del test de suma de rangos de Wilcoxon y el Test de Kruskal-
Wallis.
1 Se define poder o potencia del test como la capacidad del test para detectar hipótesis nulas falsas. Potencia = 1-β
4
Solución no paramétrica a la comparación de dos muestras independientes – Test de suma de
rangos de Wilcoxon
Ejemplo: Se tienen dos parcelas experimentales. En una de las parcelas se sacó completamente la
maleza y en la otra se dejó hasta 3 malezas por metro cuadrado. ¿Dañará la presencia de maleza la
producción de maíz? Malezas
por metro cuadrado
Producción de maíz
0 166,7 172,2 165,0 176,9
3 158,6 176,4 153,1 156,0
Hipótesis
En este problema la hipótesis nula es que la maleza no afecta la producción de maíz. La hipótesis
alternativa es que la producción es menor cuando hay maleza. Si estamos dispuestos a asumir que la
producción de maíz es Normal, o si tenemos un tamaño muestral razonablemente grande, usamos el
test t para medias independientes. Las hipótesis son:
211
210
:
:
µµ
µµ
>
=
H
H
Cuando la distribución no es Normal, podemos re-escribir las hipótesis en términos de medianas:
211
210
medianamediana:
medianamediana:
>
=
H
H
¿Qué tipo de test (paramétrico o no paramétrico) será el adecuado en este caso?
Hacemos la prueba de normalidad:
5
Pruebas de normalidad
.241 4 . .938 4 .640
.341 4 . .819 4 .140
WEEDS
0
3
YIELD
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Kolmogorov-Smirnova
Shapiro-Wilk
Corrección de la significación de Lillieforsa.
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 0
Valor observado
178176174172170168166164
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 3
Valor observado
180170160150
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Tenemos muy pocos datos por lo tanto será adecuado hacer un test no paramétrico.
6
Test de suma de rangos de Wilcoxon2
Este es un test de rangos. El primer paso será calcular los rangos de las observaciones.
Transformación a rangos
Ordenamos los datos de menor a mayor:
Producción 153,1 156,0 158,6 165,0 166,7 172,2 176,4 176,9
Rango 1 2 3 4 5 6 7 8
Pasar de los datos a sus rangos, es equivalente a transformar los datos. Los rangos retienen solamente el
orden de las observaciones y no el valor numérico.
Si la presencia de maleza afecta la producción de maíz esperamos que los rangos más pequeños sean de
ese grupo. Podemos comparar la suma de los rangos de los dos tratamientos:
Tratamiento Suma de rangos
Sin maleza 23
Con maleza 13
Por definición la suma de rangos de 1 a 8 es: 362
98
2
)1(=
×=
+nn, donde n es el número total de
observaciones.
Por lo tanto podemos calcular la suma en uno de los grupos y el otro tiene que ser la diferencia (36-
23=13)
Si no hay diferencia entre los tratamientos esperamos que los rangos sean la mitad en cada grupo, es
decir 18.
Test de suma de rangos de Wilcoxon
Se tiene una m.a.s de tamaño n1 de una población, y una segunda m.a.s de tamaño n2 de otra población.
Hay n observaciones en total, donde n = n1 + n2. Se calcula el rango de las n observaciones. El test
estadístico será la suma W de los rangos del grupo con menor suma de rangos, este será el estadístico
de suma de rangos de Wilcoxon. Si las dos poblaciones tienen la misma distribución continua,
entonces W tiene media:
2
)1(1 +=
nnWµ y desviación estándar:
12
)1(21 +=
nnnWσ
Donde n1 será el tamaño muestral del grupo con menor suma de rangos.
El test de suma de rangos de Wilcoxon rechaza la hipótesis nula de que las dos poblaciones tienen la
misma distribución cuando la suma de rangos W está lejos de su media.
2 Este test fue creado por el químico Frank Wilcoxon (1892-1965) en 1945.
7
En el ejemplo del maíz queremos docimar:
H0: no hay diferencias en la distribución de la producción de maíz en los dos grupos
H1: la producción es mayor en el tratamiento sin malezas
Nuestro test estadístico W=13
Bajo Ho W tiene media: 182
)18(4=
+=Wµ y desviación estándar: 4641,3
12
)18(44=
+×=Wσ
Valor p = )|13( 0HWP ≤ Necesitamos conocer la distribución muestral de W bajo la hipótesis nula.
Existen tablas que dependen de n1 + n2.
Veamos la salida qué nos da SPSS:
Estadísticos de contrasteb
3.000
13.000
-1.443
.149
.200a
.200
.100
.043
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilateral)]
Sig. exacta (bilateral)
Sig. exacta (unilateral)
Probabilidad en el punto
YIELD
No corregidos para los empates.a.
Variable de agrupación: WEEDSb.
La salida de SPSS nos da el valor p exacto para la distribución muestral de W. El valor p para la
hipótesis unilateral es 0,1 (valor p exacto según SPSS).
Si comparamos con el equivalente test paramétrico t = - 1,554, valor p=0,171/2=0,0855, llegamos a la
conclusión similar (recuerde que las hipótesis son distintas).
Prueba de muestras independientes
1.256 .305 -1.554 6 .171 -9.175 5.9056 -23.6254 5.2754
-1.554 4.495 .187 -9.175 5.9056 -24.8832 6.5332
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
YIELD
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Prueba T para la igualdad de medias
8
La aproximación Normal
El estadístico de suma de rangos W se aproxima a la distribución Normal cuando n es grande. Entonces
podemos formar un test z para estandarizar a W:
W
WWz
σµ−
=
El valor de z en el ejemplo del maíz nos da:
44,14641,3
1813−=
−=z
Esperamos rechazar para valores grandes de W si la hipótesis alternativa es verdadera, por lo que el
valor p aproximado es:
0749,09251,01)44,1( =−=−≤= ZPpValor
SPSS da el valor p exacto para W y el asintótico o aproximado que utiliza la aproximación a la Normal.
Además SPSS nos entrega el estadístico U de Mann-Whitney, este es equivalente al test de suma de
rangos de Wilcoxon.
Revisemos la solución no paramétrica del ejemplo del Tipo de aceite
Rangos
12 15.29 183.50
12 9.71 116.50
24
Tipo de aceite
Animal
Vegetal
Total
Absorción
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
Estadísticos de contrasteb
38.500
116.500
-1.936
.053
.052a
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilateral)]
Absorción
No corregidos para los empates.a.
Variable de agrupación: Tipo de aceiteb.
Empates
La distribución exacta de test de Wilcoxon para suma de rangos se obtiene asumiendo que todas las
observaciones tienen diferentes valores y por lo tanto su rango. En la práctica ocurre que muchas veces
tenemos valores iguales. Lo que hacemos es asignar el valor promedio del rango que ocupan.
Ejemplo: Observación 153 155 158 158 161 164
Rango 1 2 3,5 3,5 5 6
La distribución exacta del test de Wilcoxon se aplica a datos sin empates, por lo que deberemos ajustar
la desviación estándar en la presencia de empates.
9
Comida
La comida que se vende en eventos al aire libre puede ser menos segura que la de restoranes porque se
prepara en lugares no acondicionados y a menudo por voluntarios. ¿Qué pensará la gente acerca de la
seguridad de la comida en ferias? Un estudio preguntó a asistentes a este tipo de eventos:
¿Qué tan a menudo piensa usted que se enferma la gente que consume comida en eventos al aire libre?
Las respuestas posibles eran:
1 = raramente
2 = de vez en cuando
3 = a menudo
4 = muy frecuentemente
5 = siempre
En total 303 personas respondieron a la pregunta. De estos 196 eran mujeres y 107 hombres.
¿Existe evidencia que hombres y mujeres difieren en su percepción acerca de la seguridad en la comida
de ferias al aire libre?
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
Recuento
13 108 50 23 2 196
22 57 22 5 1 107
35 165 72 28 3 303
F
M
Sexo
Total
1 2 3 4 5
Respuesta
Total
Comparamos los porcentajes por filas:
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
% de Sexo
6.6% 55.1% 25.5% 11.7% 1.0% 100.0%
20.6% 53.3% 20.6% 4.7% .9% 100.0%
11.6% 54.5% 23.8% 9.2% 1.0% 100.0%
F
M
Sexo
Total
1 2 3 4 5
Respuesta
Total
¿Es la diferencia entre sexos significativa?
H0: hombres y mujeres no difieren en sus respuestas
H1: uno de los dos sexos da sistemáticamente mayores respuestas que el otro
La hipótesis alternativa es de dos colas.
Como las respuestas posibles son sólo 5 hay muchos empates.
10
Veamos la salida de SPSS:
Rangos
196 163.25 31996.50
107 131.40 14059.50
303
Sexo
F
M
Total
Respuesta
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
Estadísticos de contrastea
8281.500
14059.500
-3.334
.001
.001
.000
.000
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta (bilateral)
Sig. exacta (unilateral)
Probabilidad en el punto
Respuesta
Variable de agrupación: Sexoa.
Tenemos suficiente evidencia para concluir que existen diferencias significativas entre la percepción
acerca de la seguridad de la comida al aire libre entre hombres y mujeres.
Como el tamaño de la muestra es grande podríamos haber usado el test paramétrico:
Prueba de muestras independientes
3.031 .083 3.361 301 .001 .33 .099
3.365 218.856 .001 .33 .099
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
Respuesta
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia
Prueba T para la igualdad de medias
Pero en este caso, tenemos argumentos a favor del test no paramétrico. El test paramétrico asume que
las respuestas tienen valor numérico y en realidad en una escala cualitativa. Usar rangos es más
apropiado en este caso.
11
Solución no paramétrica a la comparación de más de dos muestras independientes - Test de
Kruskal-Wallis
El test de suma de rangos de Wilcoxon sirve para comparar dos tratamientos. Ahora veremos una
alternativa no paramétrica al ANOVA de un factor, es decir, para comparar más de dos tratamientos,
que corresponde al test de Kruskal-Wallis.
Veamos una nueva versión del problema de las malezas. El investigador en realidad probó 4 tipos
de malezas 0, 1, 3 y 9 por metro cuadrado.
Descripción de la producción bajo distintas condiciones de maleza:
Maleza n Media Desviación estándar
0 4 170.200 5.4216
1 4 162.825 4.4687
3 4 161.025 10.4933
9 4 157.575 10.1181
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 0
Valor observado
178176174172170168166164
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 1
Valor observado
168166164162160158156
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 3
Valor observado
180170160150
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 9
Valor observado
170160150140
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Ya analizamos que en este caso es difícil probar normalidad con tan pocos datos, por lo tanto será
conveniente usar un método no paramétrico.
12
Hipótesis y supuestos
El test F de ANOVA responde a la hipótesis:
.igualesson no medias dos menos al :
...:
1
210
H
H kµµµ ===
Los datos deben provenir de k poblaciones independientes, con distribución normal y con la misma
desviación estándar.
El test de Kruskal_Wallis es un test de rangos que reemplaza al test F de ANOVA. El supuesto acerca
de la independencia de las poblaciones sigue siendo importante, pero ya no necesitamos normalidad.
Asumiremos que la respuesta tiene una distribución continua en cada población.
H0: las k distribuciones son iguales
H1: una de ellas tiene valores sistemáticamente mayores
Si todas las distribuciones tienen la misma distribución, esta hipótesis la podemos simplificar.
H0: las k poblaciones tienen la misma mediana
H1: no todas las medianas son iguales
Recordemos la idea del ANOVA: tenemos una variación total observada de la respuesta como la suma
de dos partes, una que mide la variación entre los grupos o tratamientos (suma de cuadrados entre
tratamientos, SCE) y la otra que mide la variación entre las mediciones de un mismo tratamiento (suma
de cuadrados dentro de los tratamientos, SCD). El test F de ANOVA rechaza la hipótesis nula de que
las medias son iguales si la SCE es grande relativa a la SCD.
La idea del test de Kruskal-Wallis es calcular los rangos de todas las respuestas y luego aplicar el
ANOVA a los rangos en vez de las observaciones originales.
Test de Kruskal-Wallis
Se tienen k muestras aleatorias de tamaños n1, n2,...,nk. Hay n observaciones en total, donde n es la
suma de los ni. Se calcula el rango de las n observaciones y sea Ri la suma de los rangos en el i-esima
muestra o grupo. El estadístico de Kruskal-Wallis es:
)1(3)1(
12
1
2
+−+
= ∑=
nn
R
nnH
k
i i
i
Cuando los tamaños ni son grandes y las k poblaciones tienen la misma distribución, H tiene
aproximadamente una distribución de Ji-cuadrado con (k-1) grados de libertad.
El test de Kruskal-Wallis rechaza la hipótesis nula de que todas las poblaciones tienen la misma
distribución cuando H es grande.
13
Vemos que así como el test de suma de rangos de Wilcoxon, el test de Kruskal-Wallis está basado en
suma de rangos, mientras mayor sea la diferencia entre los rangos de los grupos mayor evidencia de
que las respuestas son diferentes.
La distribución exacta del estadístico H de Kruskal-Wallis bajo la hipótesis nula depende de los
tamaños muestrales n1, n2,...,nk, por lo tanto las tablas son terribles. El cálculo de la distribución exacta
es tan complicado que los softwares generalmente usan la aproximación de χ2 para obtener el valor p.
Veamos lo rangos para el problema de las malezas.
Como antes, también tenemos que corregir cuando existen empates.
Revisemos los datos de las malezas:
Malezas por metro Producción
0 166,7 172,2 165,0 176,9
1 166,2 157,3 166,7 161,1
3 158,6 176,4 153,1 156,0
9 162,8 142,4 162,7 162,4
Tenemos que calcular los rangos de todos los datos ordenados. Luego calcular H. En SPSS podemos
calcular los rangos con: Transformar, Asignar rangos a casos
Grupos
Suma de Rangos 2
iR
0 52,5 2756,25
1 33,5 1122,25
3 25,0 625,0
9 25,0 625,0
Total 136
)17(34
0,625
4
0,625
4
25,1122
4
25,2756
)17(16
12−
+++=H
( ) 56,551125,1282272
12=−=H
Rangos
4 13.13
4 8.38
4 6.25
4 6.25
16
Maleza x mt2
0
1
3
9
Total
Producción
N
Rango
promedio
Estadísticos de contrastea,b
5.573
3
.134
.130
.000
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
Sig. exacta
Probabilidad en el punto
Producción
Prueba de Kruskal-Wallisa.
Variable de agrupación: Maleza x mt2b.
14
La diferencia con el cálculo de SPSS se debe a la corrección por empates. Esta corrección hace que la
aproximación de Ji cuadrado sea más precisa. Es importante hacerla si hay muchos empates.
Podemos comparar este test no paramétrico con su equivalente paramétrico:
ANOVA
Producción
340.667 3 113.556 1.735 .213
785.543 12 65.462
1126.209 15
Inter-grupos
Intra-grupos
Total
Suma de
cuadrados gl
Media
cuadrática F Sig.
Vemos que llegamos a la misma conclusión, es decir que las malezas no afectan significativamente la
producción de maíz.
¿Ustedes qué creen?
15
Vienesas
Se tienen datos del contenido en calorías y sodio de 3 tipos de vienesas: cerdo, mixtas, y de ave.
171720N =
TIPOS
avemixtocarne
CA
LO
RIA
S
220
200
180
160
140
120
100
80
60
Descriptivos
CALORIAS
20 155.80 25.220 5.639 144.00 167.60 90 190
17 158.71 25.236 6.121 145.73 171.68 107 195
17 122.47 25.483 6.181 109.37 135.57 86 170
54 146.22 29.696 4.041 138.12 154.33 86 195
carne
mixto
ave
Total
N Media
Desviación
típica Error típico Límite inferior
Límite
superior
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Mínimo Máximo
Prueba de homogeneidad de varianzas
CALORIAS
.301 2 51 .741
Estadístico
de Levene gl1 gl2 Sig.
ANOVA
CALORIAS
14074.369 2 7037.184 10.987 .000
32664.965 51 640.490
46739.333 53
Inter-grupos
Intra-grupos
Total
Suma de
cuadrados gl
Media
cuadrática F Sig.
16
CALORIAS
HSD de Tukeya,b
17 122.47
20 155.80
17 158.71
1.000 .937
TIPOS
ave
carne
mixto
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica =
17.895.
a.
Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizará
la media armónica de los tamaños de los grupos. Los
niveles de error de tipo I no están garantizados.
b.
¿Cómo hacemos el análisis no paramétrico?
Rangos
20 32.83
17 33.53
17 15.21
54
TIPOScarne
mixto
ave
Total
CALORIASN
Rango
promedio
Estadísticos de contrastea,b
15.179
2
.001
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
CALORIAS
Prueba de Kruskal-Wallisa.
Variable de agrupación: TIPOSb.
¿Qué informamos a los consumidores de vienesas?
RANK of CALORIAS
HSD de Tukeya,b
17 15.206
20 32.825
17 33.529
1.000 .987
TIPOS
ave
carne
mixto
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica =
17.895.
a.
Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizará
la media armónica de los tamaños de los grupos. Los
niveles de error de tipo I no están garantizados.
b.
17
Lo que hicimos fue calcular los rangos de la variable respuesta (calorías) y luego analizamos
paramétricamente la nueva variable. Esta propuesta no es absolutamente convencional y fue publicada
por:
Conover, W. Iman, R. (1981) Rank transformation as a bridge between parametric and non parametric
studies. The American Statistician, 35: 124-133.
Fisher, L. Van Belle, G. En Biostatistics, Wiley (1993 ) proponen rutinariamente hacer tanto el análisis
paramétrico como su equivalente no paramétrico (cuando existe) y si las conclusiones son divergentes
investigar el motivo.
Revisemos el ejemplo de los tomates
Prueba de Kruskal-Wallis
Rangos
5 4.10
5 13.00
5 6.90
15
FertilizantesA
B
C
Total
Altura de las plantas (cm)N
Rango
promedio
Estadísticos de contrastea,b
10.448
2
.005
.000
.000
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
Sig. exacta
Probabilidad en el punto
Altura de las
plantas (cm)
Prueba de Kruskal-Wallisa.
Variable de agrupación: Fertilizantesb.
Hacemos las comparaciones múltiples en los rangos de la variable altura:
18
Rank of altura
HSD de Tukeya
5 4.10000
5 6.90000
5 13.00000
.202 1.000
Fertilizantes
A
C
B
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica = 5.000.a.
Comparamos con el resultado paramétrico:
Altura de las plantas (cm)
HSD de Tukeya
5 34.00
5 36.40
5 43.20
.170 1.000
Fertilizantes
A
C
B
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica = 5.000.a.
19
Correlación por rangos de Spearman*
Hasta ahora hemos analizado la correlación mediante el coeficiente de correlación lineal r de Pearson,
sin embargo existen otros coeficientes de correlación útiles, particularmente el coeficiente de
correlación por rangos de Spearman (rs). El uso de este coeficiente es apropiado cuando la escala de
medida de las variables de interés no es cuantitativa sino que es ordinal.
La r de Spearman es en realidad el coeficiente de correlación lineal r de Pearson, aplicado a los datos
que satisfacen los requisitos de una escala ordinal. La ecuación más sencilla para el cálculo de rs
cuando no existen empates, o existen pocos, con respecto al número de pares de datos (x, y) es:
( )nn
YRXRr
ii
s −
−−= ∑
3
2)()(6
1
Donde: )( iXR es el rango del i-ésimo dato X y )( iYR es el rango del i-ésimo dato Y.
Se puede mostrar que si los datos no tienen empates, la r de Pearson se reduce algebraicamente a la
ecuación anterior.
Ejemplo: Suponga que una gran corporación está interesada en calificar a un grupo de 12 aspirantes a
gerentes según su capacidad de liderazgo. Se contrata a dos psicólogos para realizar el trabajo. Como
resultado de sus exámenes y entrevistas, cada uno de los psicólogos, de manera independiente, han
clasificado a los aspirantes según su capacidad de liderazgo. Los rangos van de 1 a 12, donde 1
representa el nivel máximo de liderazgo. Los datos aparecen en la tabla. ¿Cuál es la correlación entre
las clasificaciones de los dos psicólogos?
Sujeto
Orden de
Psicólogo 1
Orden de
Psicólogo 2
Diferencias ( )2)()( ii YRXR −
1 6 5 1 1
2 5 3 2 4
3 7 4 3 9
4 10 8 2 4
5 2 1 1 1
6 3 6 -3 9
7 9 10 -1 1
8 1 2 -1 1
9 11 9 2 4
10 4 7 -3 9
11 8 11 -3 9
12 12 12 0 0
52
818,0182,011212
5261
3=−=
−×
−=sr
* Spearman, C. (1904) "The proof and measurement of association between two things", American Journal of Psychology,
15: 72-101.
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Comparemos con la salida de SPSS:
Correlaciones
1.000 .818**
. .001
12 12
.818** 1.000
.001 .
12 12
Coeficiente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
Coeficiente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
PSI1
PSI2
Rho de Spearman
PSI1 PSI2
La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).**.
Correlaciones
1 .818**
. .001
12 12
.818** 1
.001 .
12 12
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
PSI1
PSI2
PSI1 PSI2
La correlación es significativa al nivel 0,01
(bilateral).
**.
PSI2
14121086420
PSI1
14
12
10
8
6
4
2
0
En este caso los dos coeficientes de correlación son iguales, pero tenemos argumentos a favor de usar
un método no paramétrico.
