Cap´ıtulo 2 Modelo Matemático, Aplicación y Análisis.sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/carranza_pm/… · Cap´ıtulo 2 Modelo Matemático, Aplicación

Capıtulo 2

Modelo Matematico,Aplicacion y Analisis.

Nos introducimos en la resolucion numerica de ecuaciones en derivadasparciales, este es uno de los campos de mas actividad en la matematicaaplicada actual ya que se refiere a dicretizar gran variedad de problemas queaparecen en ciencias e ingeniera. Veremos problemas de evolucion donde tıpi-camente tenemos una variable ”espacial”, sobre la cual se da condiciones decontorno y una variable ”temporal”sobre la que se dan condiciones iniciales.

2.1. Problemas de conveccion difusion tran-

sitorios

Consideramos el dominio Ω ⊂ <n con n = 1 o n = 2 o 3 y su frontera∂Ω ,los problemas de conveccion difusion se pueden modelar como:

∂c∂t

+ v.∇c−∇.(ν∇c) + σ(c)c = f en Ω× (0, T ],c = centrada sobre Γ× (0, T ],∇c.n = 0 sobre ∂\Γ× (0, T ],c(x, 0) = c0 en Ω,

(2.1)

En nuestra ecuacion modelo tenemos que c(x, t) es la concentracion del con-taminante en el punto x e instante t , v(x) es la velocidad convectiva( oadvectiva ), ν > 0 es el coeficiente de difusividad, σ(c) es el coeficiente dereaccion, f(x, t) es el termino fuente, ∇ el operador nabla habitual y T el

19

20 2.2. Motivacion, Aplicaciones tecnologicas

tiempo final de analisis. En la ecuacion transitoria el termino ∂c∂t

modela lavariacion de la concentracion con respecto al tiempo; v.∇c es la convecciondebido al movimiento del fluido ambiental, ∇.(ν∇c) la difusion (dispersionde mayor a menor concentracion de moleculas de contaminantes),σ(c)c lareaccion no lineal y f la fuente externa. Ademas consideraremos que tanto ladifusividad ν como la velocidad convectiva v(x) son constantes.En los pro-blemas de dispersion de contaminantes se realizan diferentes simplificacionesen las reacciones quımicas con el fin de obtener una EDP lineal

2.2. Motivacion, Aplicaciones tecnologicas

El proposito de esta seccion es ilustrar sobre la aplicacion de los meto-dos numericos para resolver problemas de la vida real en particular comopodemos usar la ecuacion de conveccion difusion resuelta via diferencias fi-nitas para la resolucion de problems de adveccion y difusion como el flujode nutrientes ; contaminacion en los rios o de contaminantes en la atmosferaa la dinamica de poblaciones, a la economıa,o al fisiologıa respiratoria, etc.Diremos que un contaminante del aire es aquella componente que esta pre-sente en la atmosfera, a niveles perjudiciales a la vida de los seres humanos,plantas y animales.

Calcular la distribucion de una sustancia quımica dependiendo del tiempoa lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular.

Otro ejemplo es el problema donde P (t, x) sea la densidad de poblacionde una especie de peces en la posicion x y el tiempo t, donde la especie depeces vive sobre una recta, y el movimiento de los individuos sigue un movi-miento aleatorio.

La ecuacion de Black-Scholes-Merton que es un modelo de valoracionde derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy demayo/junio de 1973, conocido en el ambito financiero como el modelo deBlack-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelosmatematicos mas influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mun-dial.

2.2.1. Modelacion del transporte de Solutos en rıos

La descripcion precisa de transporte de solutos en rıos es una componenteescencial en todos los modelos de estudio de la calidad del agua y de predic-

2. Modelo Matematico, Aplicacion y Analisis. 21

cion de incidentes de contaminacion, los modelos unidimensionales, puedendescribir adecuadamenete los procesos de transporte de solutos en rıos, pe-ro en general los parametros de los modelos de transporte de solutos debenestimarse para cada rıo en particular. Veremos el problema de:

Flujo de nutrientes en un estuario

Las entradas de los nutrientes a un estuario pueden provenir del aportefluvial, del realizado por las aguas subterrneas, a traves la atmosfera o porla entrada de agua de mar.

Aporte fluvial:

los ros transportan una carga de materia soluble y particulada que pro-vienen de los lixiviados y escorrentas de la cuenca que drenan. Existe unafuerte correlacin entre las cargas de nitrgeno y fsforo total en los rıos con eluso de la tierra, y especialmente con las practicas agrıcolas (Moreau et al.,1998). Historicamente la carga de nutrientes en los ros ha ido aumentando deforma paralela al incremento de poblaciones humanas en sus cuencas, comoresultado tanto de las aguas residuales provenientes de los aportes humanoscomo de la de animales y al aumento de la aplicacin de fertilizantes en lastierras de cultivo.

Aporte de aguas subterraneas:

La entrada proveniente de las aguas subterrneas es generalmente desco-nocida y variabley por consiguiente no se la suele tener en cuenta.

Aporte atmosferico:

La entrada atmosferica es importante principalmente para el nitrogenoya que para el fosforo y el silicio, las formas gaseosas de estos compuestostienen un papel casi insignificante debido a que no han sido encontradas encantidades significativas en el medio natural.

Aporte del mar:

La entrada de nutrientes que aporta el mar al estuario es generalmentemuy baja y suele ser como mnimo, de un orden de magnitud inferior a la del


rıo.

Modelos de nutrientes.

El modelado biogeoquımico involucra la simulacion matematica de variosconstituyentes biologicos y geoquımicos en un intento de comprender losciclos de estos constituyentes y los procesos que afectan sus distribuciones.Sin embargo, los modelos biogeoquımicos dependen intrınsecamente de losdatos, ya que sin ellos, poca aplicabilidad tendran en la resolucion de losproblemas (Gregg, 1997).

Los tipos de modelos biogeoquımicos actualmente en uso son diversos, yvan desde planteamientos simples hasta complejas investigaciones multidisci-plinarias con muchoscomponentes. No obstante, generalmente todos contie-nen un componente biologico de nivel bajo en la cadena trofica (usualmentefitoplancton representado por la clorofila), al menos un nutriente que es re-querido para el crecimiento y consumo de nutrientes, y un segundo niveltrofico (zooplancton o bacterias) para regenerar los nutrientes y consumir labiomasa fitoplanctonica (Gregg, 1997).

Los estuarios son la mayor fuente de materiales de desecho en el mar. Enmuchos casos los estuarios reciben descargas importantes tanto urbanas comoindustriales. La mayora de los modelos biologicos desarrollados se encuentranenfocados con los procesos marinos ordinarios (James, 1978).

Los constituyentes basicos del analisis son los nutrientes, el fitoplancton yel zooplancton, desarrollandose una ecuacion de balance de masas para cadauno de ellos. La ecuacion de balance de masa es de fundamental importan-cia para explicar los cambios de concentraciones en el ambiente marino. Elconcepto se basa (Runker y Bencala 1975) en la suposicion de que la acu-mulacion de masa en una unidad de volumen de agua es igual a la diferenciaentre la masa que entra y la que sale de ese volumen de agua, vea la figura.

Acumulacion =masa(entra )-masa( sale ) (2.2)

donde cada termino de la ecuacion esta expresado en unidades de masapor tiempo [M/T ]

La ecuacion de balance de masa descrita anteriormente se desarrolla con-siderando los flujos de entrada y salida en un volumen de control. Para sim-plificarlo se asume que el flujo es espacialmente uniforme, de tal manera quela velocidad y el volumen no cambian con el tiempo. Finalmente se consideraunicamente que el flujo viaja en direccion x, despreciando los flujos en y y


Figura 2.1: Volumen de control usado para desarrollar la ecuacion de balancede masa, considerando unicamente los fujos en la direccion x

en z. Haciendo esto se asume tambien que la concentracion varıa solamenteen sentido del flujo (x) y que la masa del soluto esta uniformemente distri-buida en la seccion transversal del flujo (Fischer 1979). La primera ecuaciondescribe el cambio de masa con respecto al tiempo, y viene dada por:

Acumulacion =∆m

∆t=∂m

∂t(2.3)

donde m es la masa y t es el tiempo. Si la masa es igual a la concentracionpor el volumen y asumiendo el volumen constante:

Acumulacion =V∂C

∂t(2.4)

donde V es el volumen [L3] y C es el la concentracion del soluto [M/L3].El lado derecho de la ecuacion (2,1) esta desarrollado considerando el flujodel soluto a traves de las superficies 1 y 2 en la figura El flujo esta definidocomo la masa de soluto que atraviesa una unidad de area por unidad detiempo. El flujo que entra en el volumen de control es q1 y el que sale es q2.Cabe notar que q2 es igual al flujo que entra en el volumen de control (q1)mas el cambio del flujo dentro del volumen de control:

q2 = q1 +∂q

∂t∆x (2.5)

donde ∆x es la longitud del volumen de control [L] .Si ahora se consideran los flujos individuales debido a la adveccion y la

dispersion, el flujo advectivo en el volumen de control (a traves de la superficie1) es igual al producto de la velocidad advectiva, U(L/T ), y la concentraciondel soluto en la superficie 1, C1:


flujo entradaadv = q1adv = UC1 (2.6)

Empleando la ecuacin 2,5, el flujo advectivo que sale del volumen decontrol (a traves de la superficie 2 ) es:

flujo saleadv = q2adv = UC2 = UC1 + U∂C

∂x∆x (2.7)

donde C2 es la concentracion del soluto en la superficie 2.Los flujos debido a la dispersion se desarrollan considerando la ley de

dispersion de Fick, que establece que el flujo de masa debido a difusion mo-lecular es proporcional al gradiente de concentracion, dC/dx .Esta ley puedeser usada para describir el flujo de masa dispersiva,y esta dada por:

qdisp = −D∂C∂x

∆x (2.8)

donde D es una constante proporcional conocida como coeficiente de di-fusion [L2/T ]. El flujo dispersivo que entra y sale del volumen de controles:

flujo entradisp = q1disp = −D∂C∂x|1 (2.9)

flujo entradisp = q2disp = −D∂C∂x|2 = −D

[∂C

∂x|1 +

∂2C

∂x2∆x

](2.10)

Una ecuacion diferencial correspondiente a la ecuacin 2,2 puede ensam-blarse usando los terminos de acumulacion y flujo descritos anteriormente,las ecuaciones 2,4, 2,6, 2,7, 2,9, y 2,10 se combinan para dar:

V∂C

∂t=

[AUC1 − AD

∂C

∂x|1]

︸︷︷︸entra

−[AUC1 + AU

∂C

∂x∆x− AD

∂C

∂x|1 − AD

∂2C

∂x2∆x

]︸︷︷︸

sale

(2.11)donde Aes la seccion transversal del flujo [L2]. Puesto que cada flujo esta

especificado en base a una unidad de area, los flujos se multiplican por Apara obtener las unidades usadas en la ecuacion 2,2 [M/T ]. Empleando larelacion V = A∆x, la ecuacion 2,11 queda simplificada de esta manera:


∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U

∂c

∂x(2.12)

Esta es la Ecuacion de Adveccion - Difusion unidimensional con coeficien-tes constantes ( D es constante en el tiempo y en el espacio ) y describe lavariacion espacial y temporal de un soluto con concentracin C en un mediocon velocidad U(Runkel y Bencala, 1995).Las ecuaciones anteriores describenel proceso de difusin molecular.

Estudio de la dinamica de la calidad del agua en un tramo de unrıo

Modelo matematico

Un modelo de calidad del agua adecuado requiere la especificacion deuna formulacion apropiada de los procesos para tomar en cuenta aspectosdel transporte longitudinal, lateral y vertical. La prediccion de la calidaddel agua depende del procedimiento en el cual los procesos fsico-qumicos ehidrodinmicos sean simulados (Maskell 1991, Calow 1994). Es importante quelos metodos utilizados para representar los diversos procesos, sean apropiadosa la aplicacion del modelo. La finalidad de desarrollar un modelo de calidaddel agua es disponer de una herramienta capaz de simular el comportamientode los componentes hidrologicos y de calidad del agua de un sistema decorrientes y realizar con ello estudios de diagnostico y pronostico del estadodel sistema en condiciones.

En flujos superficiales con turbulencia homogenea y estacionaria la ecua-cion unidimensional de dispersion longitudinal se representa por la siguienteexpresion (Taylor, 1954 y Fischer 1979)

∂C

∂t+ u

∂C

∂x= K

∂2C

∂x2

donde C es la concentracion,u la velocidad media de la corriente, K el coe-ficiente de dispersion longitudinal,x la distancia, y t el tiempo.La deduccion de la ecuacion anterior puede ser hecha como el caso presen-tado anteriormente. Cuya solucion analıtica puede escribirse como (Crank1956 Fischer,1967,Fetter 1992):

C(x, t) =Co

2

[erfc

(x− ut

2√Kt

)+ exp

(uxK

)erfc

(x+ ut

2√Kt

)]


Donde Co es la concentracion inicial, L es la longitud del cause. Utilizandoun esquema de diferencias finitas explıcito en el tiempo y centrado simetri-camente en el espacio, se puede calcular la concentracion para el siguientenivel en el tiempo como:

Cm+1j = Cm

j − α∆t

∆x

(Cm

j+1 − Cmj−1

)+ β

∆t

∆x2

(Cm

j+1 − 2Cmj + Cm

j−1

)Donde j es el ındice de seccionm ındice de tiempo, y delta denota incremento.De la ecuacion y sustituyendo los numeros de Courant y Peclet

Cr = α∆t

∆xnuemero de Courant 0 < Cr ≤ Pe

2< 1

Pe = α∆x

βnumero de Peclet

λ =Cr

Pe= β

∆t

∆x2

1

4≤ λ <

1

2El esquema es explıcito, y por tanto suceptible de presentar problemas deestabilidad en la solucion. Criterios de estabilidad en funcin de Cr y Pe.

Cm+1j =

(λ+

Cr

2

)Cm

j−1 + (1− 2λ)Cmj +

(λ− Cr

2

)Cm

j+1

El valor de K se obtiene mediante la expresin (Gonzalez y Martinez, 1990)

K

Ru∗= 131,35 +

[0,1022f−0,527

] 1

s

Donde R es el radio hidraulico, u∗ la velociadad al cortante, s la pendientedel cause y f el factor de friccion de Darcy dado por la relacion.

f = 8

[u∗

u

]2

.

2.2.2. Balance de Masa Unidimensional en un Reactor

Los ingenieros quımicos utilizan mucho los reactores idealizados en sutrabajo de diseno, pues las experiencias de dichos procesos involucran unalto costo economico.


Figura 2.2: Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida

En la figura se muestra un reactor alargado de una sola entrada y unasalida: Este reactor puede caracterizarse como un sistema de parametrosdistribuidos. Si se supone que la sustancia quımica que se va a modelaresta sujeta a un decaimiento ( es decir que la sustancia quımica decae a unavelocidad que es linealmente proporcional a la cantidad de sustancia quımicapresente ) de primer orden, y que el tanque esta bien mezclado vetical ylateralmente, se realiza un valance de masa en un segmento finito de longitud∆x, como sigue:

v∆c

∆t= Qc(x)︸︷︷︸

flujo de entrada

−Q[c(x) +

∂c(x)

∂x∆x

]︸︷︷︸

flujo de salida

− DAc∂c(x)

∂x︸︷︷︸dispersion a la entrada

+DAc

[∂c(x)

∂x+

∂

∂x

∂c(x)

∂x∆x

]︸︷︷︸

dispersion a la salida

− Kvc︸︷︷︸reaccion de decaimiento

donde v = volumen (m3). Q = flujo volumetrico ( m3/h), c = con-centracion ( moles/ m3 ), D es un coeficiente de dispersion (m2/h). Ac es elarea de la seccion transversal del reactor (m2) y K es el coeficiente de de-caimiento de primer orden (h−1) . Observese que los terminos de dispersionestan basados en la primera ley de Fick.

flujo = −D∂c

∂x

Que es analoga a la ley de Fourier para la conduccion del calor. Esta ecuacionespecifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa desde regio-


nes de alta hasta las de baja concentracion. EL parametro D , por lo tantodetermina la magnitud de la turbulencia de mezclado. Si ∆x y ∆t tienden acero . La ecuacion sera

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U

∂c

∂x− kc

Donde U = QAc

es la velocidad del agua que fluye a travez del reactor.El balance de masa de la figura por lo tanto, se expresa ahora como unaecuacion diferencial parcial parabolica .

2.2.3. Densidad de Poblacion

Pondremos por ejemplo el problema donde P (t, x) sea la densidad depoblacion de una especie de peces en la posicion x y el tiempo t. Supoga-mos que la especie de peces vive sobre una recta, y el movimiento de losindividuos sigue un movimiento aleatorio. Suponiendo que en el movimientoaleatorio existe una preferencia de movimiento hacia la izquierda, es decir, laprobabilidad de movimiento hacia la izquierda es a > 0, 5 y la probabilidadde movimiento a la derecha es b < 0, 5 pero que a− b es muy pequeno.Tenemos que el camino aleatorio que presenta una poblacion, en la cual losindividuos se movilizan en linea recta, despues de un tiempo ∆ty dando unpaso de igual longitud ∆x. Los peces (los individuos ) deben tomar una delas dos posibilidades.I. Ir a la derecha xo + ∆xII. Ir a la izquierda xo −∆x

Considerando que xo es la posicion inicial.Si consideramos esta dinamica en terminos de la concentracion de la pobla-cion en un tiempo y posicion dada en la misma probabilidad de desicion

p+ = b < 0, 5 y p− = a > 0, 5

TenemosP (t+ ∆x, xo) = p+P (t, xo + ∆x) + p−P (t, xo −∆x) . . . . . . . . . . . . (∗)

Aplicamos el teorema de Taylor en t, x

P (t+ ∆x, xo) = P (t, xo) +

∂∂tP (t, xo)

∆t+ 1

2

∂2

∂t2P (t, xo)

∆t2 − . . .


Tambien con a > b a+ b = 1

aP (t, xo −∆x) = aP (t, xo)− a ∂∂xP (t, xo)∆x+ a

2∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 − . . . . . .

bP (t, xo + ∆x) = bP (t, xo) + b ∂∂xP (t, xo)∆x+ b

2∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 − . . . . . .

Reemplazando en (∗) tenemos:

P (t, xo) + ∂∂tP (t, xo)∆t+ . . . =

= (a+ b)P (t, xo) + (b− a) ∂∂xP (t, xo)∆x+ (a+b)

2∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 + . . . . . .

Es decir tenemos

∂∂tP (t, xo)∆t = (b− a) ∂

∂xP (t, xo)∆x+ (a+b)

2∂2

∂x2P (t, xo)∆x2

Nos queda

∂∂tP (t, xo) = (b− a)∆x

∆t∂∂xP (t, xo) + (a+b)

2∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

∂∂tP (t, xo) + (a− b)∆x

∆t∂∂xP (t, xo) = (a+b)

2∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

Ahora tomamos

U = (a− b)∆x∆t

D = (a+b)2

∆x2

∆t

De donde tenemos la ecuacion de Conveccion Difusion

∂∂tP + U ∂

∂xP = D ∂2

∂x2P

2.2.4. Economıa. La ecuacion de Fisher Black, MyronScholes,Robert Merton

En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton lograron uno delos mayores avances en la valuacion de opciones hasta ese momento, que esconocido como el modelo de Black-Scholes, que ha tenido una gran influenciaen la manera en que los agentes valuan y cubren opciones. Ha sido tambien unpunto de referencia para el desarrollo y exito de la ingeniera financiera desdeentonces. La importancia del modelo fue reconocida cuando Robert Mertony Myron Scholes fueron reconocidos con el Premio Nobel de Economıa; desa-fortunadamente Fisher Black fallecio en 1995, quien indudablemente tambien


hubiera recibido el premio. En este seccion presentamos el modelo de Black-Scholes para la valuacion de una opcion call Europea sin pago de dividendos.En primer lugar se mencionan algunas nociones de finanzas y probabilidad,necesarias para una mejor comprension de esta seccion; posteriormente sepresenta un modelo para el precio de un activo, el cual serıa necesario parapoder formular el modelo; en la siguiente seccion se presentan los supuestos ylas ideas generales de su deduccion y solucion en este caso, transformandoloen el problema clasico de la ecuacion del adveccion difusion; por ultimo seanaliza brevemente la formula en algunos casos de interes.

Nociones basicas

Activo. Llamaremos activo a cualquier posesion que pueda producirbenefcios economicos.

Subyacente el tipo de activo que puede ser comprado o vendido. Suprecio de mercado en un instante t se denotara por St

El precio de ejercicio (K) : el precio al que el subyacente debeser comprado si la opcion se ejerce

Portafolio Un portafolio es un conjunto de activos, que pueden seracciones, derivados, bonos, etc.

En la realidad existen costos para realizar operaciones financieras. Estoscostos de transaccion pueden depender de si se trata de una transaccion deun activo subyacente o un derivado, de si se trata de una compra o de unaventa, etc.Tambien se usara la llamada tasa de interes libre de riesgo que esaquella de una inversion ”segura”, libre de riesgo.

Esto en la practica no es del todo errado, ya que si se analizan activosy derivados en cortos perıodos de tiempo (por ejemplo trimestres), entoncesun bono del estado a veinte anos resulta una inversion segura, y hasta esrazonable suponer constante la tasa de ese bono en el corto plazo.

Rentabilidad Se llama ası a la ganancia relativa de una inversion, esdecir, si llamamos So a la inversion inicial, y ST a lo que se obtiene a untiempo T , la rentabilidad R es:

R =St − So

So

Arbitraje es el proceso de comprar un bien en un mercado a un preciobajo y venderlo en otro a un precio mas alto, con el fin de beneficiarse conla diferencia de precios. En el caso que nos ocupa, utilizaremos el principio


de no arbitraje, es decir, no existe la posibilidad de realizar una inversionsin riesgo y ganar dinero (o por lo menos no mas que invirtiendo con la tasalibre de riesgo). De no ser ası, existirıa claramente una forma de hacer dineroinfinito.

Los hedgers. Los hedgers, replicadores o cobertores son aquellosagentes que intentan reducir el riesgo al mınimo y tratan de no exponer-se a los cambios adversos de los valores de los activos. En general conformanportafolios con activos en una posicion (compra o venta) y algun derivadosobre estos en la otra. Ası, si el precio del activo se mueve de manera muydesfavorable, esta la opcion, por ejemplo, que amortigua la perdida.

Un mercado eficiente se puede describir mediante dos conceptos: Toda lainformacion del activo esta reflejada en el precio actual. Los mercados res-ponden inmediatamente a cualquier informacion nueva acerca de un activo.

Derivado financiero. Un derivado financiero o producto derivado,o simplemente derivado es un instrumento financiero cuyo valor dependede otros activos, como por ejemplo una accion, una opcion o hasta de otroderivado. Se llama payoff de un derivado, activo o portafolio al resultado finalde la inversion.

Opciones; call, europea ,americana,put. Opcion es un contratoque le da al dueno el derecho, pero no la obligacion, de negociar un activopredeterminado,llamado tambien el activo subyacente por un precio deter-minado K llamado el strike price o precio de ejercicio en un tiempo en elfuturo T , llamada fecha de expiracion.Opcion Call Da al dueno el derecho a comprar y una Put el derecho avender.La opcion se llama Europea si solo puede ser ejercida a tiempo T.Opcion se llama americana si puede ser ejercida a cualquier tiempo hastala fecha de expiracion.EL playoff de una call es maxST − K, 0 ya que si ST > K se ejerce aK y se vende a ST , lo que da una ganancia de ST −K. En el otro caso laopcion no se ejerce y el payoff es 0.EL playoff de una put, analogamente es maxK −ST , 0 .El hecho de queuno tenga el derecho y no la obligacion es lo que hace difıcil la valuacion deuna opcion.


Probabilidad.

Se conoce como proceso estocastico a un conjunto de variables aleatoriasque dependen de un parametro, por ejemplo el tiempo, es decir, X(t)|t > 0.Un proceso estocastico Z(.) se llama movimiento browniano o proceso deWiener si:1. Z(0) = 02. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t) ∼ N(0; a).3. ∀t > 0;∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t)sonindependientesdeZ(s)/0 ≤ s ≤ t

Un proceso de Wiener describe la evolucion de una variable con distri-bucion normal. La deriva del proceso es 0 y la varianza es 1 por unidad detiempo. Esto significa que, si el valor de la variable es xo al tiempo 0, entoncesal tiempo t es normalmente distribuida con media xo y varianza t .

Un proceso generalizado de Wiener describe la evolucion de una variablenormalmente distribuida con una deriva de a y varianza b2 por unidad detiempo, donde a y b son constantes. Esto significa que si, como antes, el valorde la variable es xo al tiempo 0 entonces es normalmente distribuida conmedia x0 + at y varianza bt al tiempo t. Puede ser definido para una variableX en terminos de un proceso de Wiener Z como

dX = adx+ bdZ

Un teorema del calculo estocastico, que sera fundamental para la deduc-cion de la Ecuacion de Black-Scholes es el siguiente:

Teorema 5 Lema de ItoSupongamos que S cumple la siguiente ecuacion diferencial estocastica:

dS = Sµdt+ SσdZ

donde Z(t) es un movimiento browniano. Sea V : R2 → R una funcionde clase C2 en su dominio, dada por V = V (S; t), entonces se satisface losiguiente:

dV =

(σS

∂V

∂Sdz

)+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt (2.13)


Modelo para el Precio de un Activo

Para el precio de un activo, es necesario modelar la llegada de una nuevainformacion que afecte al precio, bajo el supuesto de que trabajamos en unmercado efciente, considerando a dicho precio como un proceso estocastico.

El cambio absoluto en el precio del activo no es significativo, sin embargo,si lo es el retorno, que como ya se ha definido,es el cambio sobre el preciooriginal:

R =ST − S

SSupongamos ahora que en un tiempo t el precio de un activo es S, considere-mos un tiempo posterior t+ dt, en el cual S cambia a S + dS. El retorno deun activo es entonces dS

S. El modelo mas comun para modelar este retorno

se descompone en dos partes. Una parte es el retorno determinista similar alretorno libre de riesgo. Esta contribucion la podemos plantear como

µdt

donde µ es una medida del crecimiento promedio del precio del activo. Laotra parte modela la aleatoriedad en el cambio del precio de S, en respuestaa los cambios externos, como noticias inesperadas. Se representa como unmuestreo aleatorio obtenido de una distribucion normal con media 0 y agregaal retorno el termino

σdX

donde σ es la volatilidad, que mide la desviacion estandar de los retornos ydX es un movimiento browniano. Juntando los dos terminos, obtenemos laecuacion diferencial estocastica:

dS

s= µdt+ σdX

Hay que notar que de no existir el segundo termino, cuando σ = 0, tendrıamosla ecuacion

dS

s= µdt

que da como solucion el crecimiento exponencial en el valor del activo

S(t) = Soeµ(t−to)

donde So es el precio inicial y to es el tiempo inicial. Ahora usaremos el Lemade Ito para deducir el proceso seguido por lnS cuando satisface la ecuacion


dSs

= µdt+ σdX .Definamos

V (S; t) = lnS

con lo que se obtienen las derivadas:

∂V

∂S=

1

S;∂2V

∂s2= − 1

S2,∂V

∂t= 0

Como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces

dV = Sσ1

SdZ +

(µS

1

S− 1

2σ2S2 1

S2

)dt = σdZ +

(µ− σ2

)con µ y σ constantes, por lo que esta ecuacion indica que V = lnS sigueun proceso de Wiener genealizado con tasa de deriva µ − σ2

2y varianza σ2,

ambas constantes. El cambio en lnS entre el tiempo cero y el tiempo T es,por lo tanto, una distribucion normal con media(

µ− σ2

2

)T

y varianzaσ2T

esto significa que

LnST ∼ N

(LnSo +

(µ− σ2

2

)T, σ2T

)donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y So es el precioinicial del activo. Esta ecuacion nos muestra que lnST tiene distribucionnormal. Una variable tiene distribucion lognormal si el logaritmo natural deesta variable esta normalmente distribuido.

Deduccion de la ecuacion de Black-Scholes-Merton

Recordemos un contrato de opciones financieras es un acuerdo que con-fiere al poseedor el derecho, pero no la obligacion, de comprar (call) o vender(put) un activo financiero en una fecha futura a un precio pactado en el mo-mento del contrato. El activo objeto del contrato es el activo subyacente, elprecio pactado es el precio de ejercicio (strike) y la fecha lımite para ejercer el


derecho es la fecha de expiracion (expiry) o fecha de ejercicio o vencimientode la opcion. Las opciones son uno de los productos financieros habitualespara cubrir riesgos de carteras de valores.

Ahora veremos la ecuacion que modela cualquier derivado financiero enla forma continua. Enunciaremos los supuestos que vamos a requerir en elmodelo:1. El precio de un activo sigue un proceso de Wiener log-normal: dS =Sµdt+ SσdZ2. La tasa de interes libre de riesgo r y la volatilidad σ del activo se suponenconstantes durante el tiempo que dura la opcion.3. No hay costos de transaccion asociados a la cobertura del portafolio.4. El activo subyacente no paga dividendos durante la vida de la opcion.5. No hay posibilidad de arbitraje. La ausencia de arbitraje significa quetodos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno.6. La compra y venta del activo puede tomar lugar continuamente.7. La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar yvender cualquier numero (no necesariamente entero) del activo subyacente yque esta permitido vender aunque no tengamos posesion, es decir, se tratade un mercado completo.Sea V (S; t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando elprecio del activo subyacente es S > 0 Construiremos un portafolio P libre deriesgo de la siguiente manera

P =

∆ Unidades del activo (Compra)1 Derivado (Venta )

(2.14)

Cuyo valor es Πu = ∆Su−Vu cuando el valor del activo sube y Πd = ∆Sd−Vd

cuando el valor del activo baja. La estrategia es igual Πu a Πd, es decir,encontramos un ∆ tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces , al igualarnos queda

∆Su − Vu = ∆Sd − Vd

Es decir

∆ =Vu − Vd

Su − Sd

=δV

δS

Tomando limite cuando δS → 0 resulta

∆ =∂V

∂S


que es la variacion del valor del derivado con respecto a S y es una medidade correlacion entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.En general, el valor del portafolio es Π = ∆S − V , con lo cual

dΠ = ∆dS − sV = ∆(Sµdt+ SσdZ)− dV

Suponemos que V tambien cumple los supuestos enunciados anteriormen-te, por lo que satisface las hipotesis del Lema de Ito, ası que tenemos unaexpresion para dV de la ecuacion:

dV =

(σS

∂V

∂SdZ

)+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt

de donde obtenemos la ecuacion

dΠ = ∆Sµdt+ ∆SσdZ −(σS

∂V

∂SdZ

)−(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt

Separando la parte determinıstica de la estocastica resulta

dΠ =

(∆σS − σS

∂V

∂S

)dZ +

(∆µS − ∂V

∂t− µS

∂V

∂S− 1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt

y sustituyendo ∆ = ∂V∂S

obtenido anteriormente, la ecuacion queda unica-mente determinıstica

dΠ = −(∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt

Ademas, por la hipotesis de no arbitraje, como P es un portafolio libre deriesgo tenemos que su retorno es igual al de un bono de tasa r

dΠ

Π= rdt =⇒ dΠ = Πrdt

igualando las dos ultima ecuaciones, llegamos a :

Πrdt−(∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)dt

Simplificando dt y sustiruyendo Π = ∆S − V = ∂V∂SS − V , nos queda

∂V

∂SSr − Vr = −∂V

∂t− 1

2σ2S2∂

2V

∂S2

Finalmente despejando rV , llegamos a la ecuacion de Black-Scholes-Fisher.

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

+ rS∂V

∂S= rV


Resolucion de la ecuacion de Black-Scholes -Merton

Obtenemos la solucion de la ecuacion de Black-Scholes -Merton, para elcaso de una opcion Call europea sobre un activo de precio S con precio deejercicio K y tiempo de expiracion T, Hacemos V=C tenemos:

∂C

∂t+

1

2σ2S2∂

2C

∂S2+ rS

∂C

∂S− rC = 0

con las condiciones de frotera C(0, t) = 0, C(S, T ) ≈ S si S −→ ∞ ya quecuando el precio del activo es nulo, tambien debe serlo el de la opcion (esclaro que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a innito S −K se vaa aproximar a S . Tambien recordemos la condicion final, es decir, el payoffde la opcion C(S, T ) = maxS −K, 0

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂2C

∂S2 + rS ∂C∂S− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,

C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)C(0, t) = 0 t ∈ [0, T 〉C(S, T ) ≈ S t ∈ [0, T 〉;S −→∞

es una ecuacion diferencial parabolica con derivada primera respecto altiempo y segunda derivada respecto a la variable S. Es una ecuacion diferen-cial backwards: dada una condicion final para la ecuacion, esta se resuelvede forma recursiva desde T final hasta to inicial. La unicidad de la solucionse asegura al imponer las condiciones de contorno. Estas son de dos tipos,condiciones de frontera y condiciones iniciales o finales. Las condiciones defrontera determinan la solucion en los extremos de los valores de S, mientrasque la condicion final determina el valor del activo en el instante final. En elcaso de que el activo pueda tomar cualquier valor entre [0,∞) no es necesarioimponer condiciones de contorno. Se consideran los cambios de variables: Nosconcentraremos en las dos primeras ecuaciones de , pues las ultimas dos, quedescriben el comportamiento de C en los bordes, tambien se van a satisfacer.Entonces nuestro modelo queda como sigue:

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂2C

∂S2 + rS ∂C∂S− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,

C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)(2.15)

Para resolver esta ecuacion, hagamos primero los cambios de variables

x = ln

(S

K

)τ(t) =

σ2(T − t)

2C(S, t) = Kv(x, τ)


∂C

∂t= −σ

2K

2

∂v

∂τ

∂C

∂S=K

S

∂v

∂x

∂2C

∂S2= −K

S2

∂v

∂x+K

S2

∂2v

∂x2

Como τ(T ) = 0, tambien tenemos una condicion iniciaal para v a partir dela condicion final deC

C(S, T ) = Kv(x, 0)entonces v(x, 0) = maxex − 1, 0

Sustituyendo estas relaciones en la ecuacion de Black-Scholes se obtiene:

σ2

2∂v∂τ

= −σ2

2∂v∂x

+ σ2

2∂2v∂x2 + r ∂v

∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x,=) = maxex − 1, 0 x ∈ R

Y si hacemos k = 2rσ2 el modelo queda

∂v∂τ

= σ2

2∂2v∂x2 + (k − 1) ∂v

∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x, 0) = maxex − 1, 0 x ∈ R

Hacemos otro cambio de variables

v(x, τ) = eαx+βτu(x, τ)

. Eligiendo adecuadamente las funciones α y β, la ecuacion se transformaen la ecuacion de adveccion difusion. Las derivadas parciales respecto a lasvariables x y τ son:

∂v

∂x= eαx+βτ

[αu+

∂u

∂x

]∂2v

∂x2= eαx+βτ

[α2u+ 2α

∂u

∂x+∂2u

∂x2

]∂v

∂τ= eαx+βz

[βu+

∂u

∂τ

]


Sustituyendo en la ecuacion anterior y dividiendo entre el termino eαx+βτ yordenando se obtiene:

∂u

∂τ= (2α+ k − 1)

∂u

∂x+∂2u

∂x2+ [(k − 1)α− k − β]u

Ahora elijamos α y β para que se anule u, tenemos

(k − 1)α− k − β = 0 y − 1 = 2α+ (k − 1)

α =−k2

β = −k2 + k

2

y ası la ecuacion queda∂u∂τ

+ ∂u∂x

= ∂2u∂x2 x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

u(x, 0) = maxe 2−k2

x − e−k2

x, 0 x ∈ R(2.16)

40 2.3. Existencia y unicidad

2.3. Existencia y unicidad

En esta seccion veremos la prueba de la existencia y unicidad de la so-lucion en de la ecuacion asociada al problema escalar de adveccion difusiontransitorio.

∂u

∂t−∇.(β∇u) + α.∇u = f

Donde

β =

β1,1 0··· 0

β2,2··· 0...

. . ....

0 0··· βn,n

; βi,i > 0; α = (α1 · · ·αn)

Pero en nuestro caso α y β son constantes y Ω ∈ Rn , entonces la ecuacionde adveccion difusion transitoria se puede escribir ası

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ],u(x, t) = u0(x) en Ω,

(2.17)

2.3.1. Existencia y unicidad de la solucion de la Ecua-cion Parabolica

Problema

Conocidas las funciones f : Q→ R y uo : Ω → R encontraremos u : Q→R tal que

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ],

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ],u(x, t) = u0(x) en Ω,

(2.18)

La funcion u : Q→ R es solucion debil del problema cuando:

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ∂∂t

(u′(t), v)− (β∆u(t), v) + (α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1o (Ω)

en el sentido de D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω


Teorema 6 Existencia y UnicidadDados uo ∈ H1

o (Ω) y f ∈ L2(0, T, L2(Ω)) existe una unica solucion u : Q→ Rtal que

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ∂∂t

(u′(t), v)−(β∆u(t), v)+(α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1o (Ω) en D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω

Existencia de la solucion

Observacion

Podemos observar que de (i) u ∈ Co([0, T ], L2(Ω)) tiene sentido u(0)

Problema aproximado

Multiplicando la ecuacion por ϕ y luego integrando tenemos:∫Ω

∂u

∂tϕ−

∫Ω

β∆uϕ+

∫Ω

α.∇uϕ =

∫Ω

fϕ

Ademas usando el teorema de Grenn tenemos

−∫

Ω

β∆uϕ =

∫Ω

β∇u∇ϕ−∫

Γ

β∂u(s)

∂nϕ(s)ds︸︷︷︸

0

tenemos:(u′, ϕ) + (β∇u,∇ϕ) + (α.∇u, ϕ) = (f, ϕ)

Sea wkuna base ortonormal deVm ⊂ H10 ⊂ L2 ∪Vmdenso en H1

0 (Ω)yL2(Ω)

(∇wi,∇wj) = 0 si i 6= j (wi, wj) =

1 para i = j0 para i 6= j

Tenemos

um(t) =m∑

i=1

gi,m(t)wi


Se tiene el sistema aproximado.(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)um(0) = u0m → u0 en H1

0 (Ω)

Se tiene

(m∑

i=1

g′i,m(t)wi, wj

)+

(m∑

i=1

gi,m(t)β∇wi,∇wj

)+

(m∑

i=1

gi,m(t)α.∇wi, wj

)= (f, wj)

m∑i=1

g′i,m(t) (wi, wj)+βm∑

i=1

gi,m(t) (∇wi,∇wj)+m∑

i=1

gi,m(t) (α.∇wi, wj) = (f, wj)

(∇wi,∇wj) =

ai,i para i = j0 para i 6= j

(α.∇wi, wj) = bi,j

tenemos lo siguiente

g′i,m(t) + βgi,m(t)ai,m + (b1,j, · · · , bm,j) . (g1,m, · · · , gm,m) = (f, wj) = Fjg′1,m

g′2,m

...g′m,m

+β

a1,1 0··· 0

a2,2··· 0...

. . ....

0 0··· am,m

g1,m

g2,m

...gm,m

+

b1,1 b1,2··· b1,m

b2,1 b2,2··· b2,m

.... . .

...bm,1 bm,2··· bm,m

g1,m

g2,m

...gm,m

=

F1

F2

...Fm

Denotando

−−−→gm(t)=

g1,m

g2,m

...gm,m

−−−→Fm(t)=

F1(t)

F2(t)

...Fm(t)

Am=β

a1,1 0··· 0

a2,2··· 0

.... . .

...0 0··· am,m

Bm=

b1,1 b1,2··· b1,m

b2,1 b2,2··· b2,m

.... . .

...bm,1 bm,2··· bm,m

Tenemos que nuestra ecuacion se escribe ası:

−−−→g′m(t) + (Am +Bm)

−−−→gm(t) =

−−−→Fm(t)

−−−→g′m(t) + Cm

−−−→gm(t) =

−−−→Fm(t)

−−−→gm(0) = −−→g0,m


por el teorema de carateodory existe solucion−−−→gm(t) t ∈ [0, tm〉

Por lo tanto existe solucion um(t) t ∈ [0, tm〉

Estimativas

Tambien tenemos

(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)

De aqui se tiene que:

(u′m(t), u′m(t)) + (β∇um(t),∇u′m(t)) + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 = (f, u′m(t))− (α.∇um(t), u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |(f, u′m(t))|+ |(α.∇um(t), u′m(t))|

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f ||u′m(t)|+ |α.∇um(t)||u′m(t)|

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤

√2|f | |u

′m(t)|√

2+√

2|α.∇um(t)| |u′m(t)|√

2

|u′m(t)|2+ 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ (

√2|f |)

2

2+

(|u′m(t)|√

2

)2

2+

(√

2|α.∇um(t)|)2

2+

(|u′m(t)|√

2

)2

2

|u′m(t)|2 + 12

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |u′m(t)|2

4+ |α.∇um(t)|2 + |u′m(t)|2

4

12|u′m(t)|2 + 1

2∂∂t|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |α||∇um(t)|2

integramos de 0 a t ; 0 ≤ t ≤ tm ≤ T

∫ t

012|u′m(t)|2 +

∫ t

012

∂∂t|β∇um(t)|2 ≤

∫ t

0|f |2 + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2


∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 − 1

2|β∇um(0)|2 ≤

∫ t

0|f |2 + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2

∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 ≤ 1

2|β∇um(0)|2 +

∫ t

0

|f |2︸︷︷︸constante

+ |α|∫ t

0|∇um(t)|2

∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 ≤ C + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2

Por el lema de Gromwall, tenemos :

∫ t

0

1

2|u′m(t)|2 +

1

2|β∇um(t)|2 ≤ C

usando la desigualdad de Poncare

|um(t)| ≤ co|∇um(t)| ≤ C

Ası tenemos que

(um) es acotado en L2(0, T,H10 (Ω))

(u′m) es acotado en L2(0, T, L2(Ω))

Por lo tanto existen subsucesiones de (um) y (u′m) en L2(0, T,H10 (Ω)) y en L2(0, T, L2(Ω))

respectivamente, que denotaremos de la misma manera.

um → u debil en L2(0, T,H10 (Ω))

u′m → χ debil en L2(0, T, L2(Ω))

Debemos probar que:χ = u′

tenemos queum → u debil en L2(0, T,H1

0 (Ω)) = W es decir∫ t

0

∫Ωum(x, t)v(x, t)dxdt→

∫ t

0

∫Ωu(x, t)v(x, t)dxdt

tomamos v(x, t) = w(x)θ(t) donde θ ∈ D(0, T ) w ∈ L2(Ω)

Entonces se tiene que:∫ t

0(um(t), w(x)) θ′(t)dt→

∫ t

0(u(t), w(x)) θ′(t)dt


Tambien se tiene:∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→

∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . (∗)

Pero de lo anterior∫ t

0∂∂t

(um(t), w(x)) θ(t)dt = −∫ t

0(um(t), w(x)) θ′(t)dt→ −

∫ t

0(u(t), w(x)) θ′(t)dt

∫ t

0∂∂t

(um(t), w(x)) θ(t)dt→∫ t

0∂∂t

(u(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t

0

∂

∂t(um(t), w(x)) θ(t)dt︸︷︷︸→

∫ t

0(u′(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→

∫ t

0(u′(t), w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . (∗∗)

Por unicidad del lımite de (*) y (**) se tiene∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt =

∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt∀w ∈ L2(Ω),∀θ ∈ L2(Ω)

Se tiene que χ = u′

Ademas tenemos que∫ t

0(β∇um(t),∇v(x)) dt→

∫ t

0(β∇u(t),∇v(x)) dt∫ t

0(α.∇um(t), v(x)) dt→

∫ t

0(α.∇u(t), v(x)) dt∫ t

0(um(t), v(x)) dt→

∫ t

0(u(t), v(x)) dt

Ademas las soluciones aproximadas um satisfacen:

(u′m(t), w) + (α.∇um(t), w) + (β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ Vm

Luego

(u′m(t), w)+(α.∇um(t), w)+(β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

Integrando∫ t

0(u′m(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(α.∇um(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(β∇um(t),∇w) z(t)dt =

∫ t

0(f, w)z(t)dt

donde z ∈ L2(0, T ) w ∈ ∪∞m=1Vm z, w ∈ L2(0, T,H10 (Ω))


Pasando al lımite tenemos:∫ t

0(u′(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(α.∇u(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(β∇u(t),∇w) z(t)dt =

∫ t

0(f, w)z(t)dt∫ t

0[(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w)z(t)] z(t)dt = 0 ∀ ∈ L2(0, T )

tenemos:

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w) = 0 ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

tenemos

(u′(t), w)+(α.∇u(t), w)−(β4u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm . . . . . . . . . . . . (α)

(u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t), w) = (f, w) ,∀w ∈ ∪∞m=1Vm

u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t) = f(t)

Nos falta ver que u(0) = u0

Para esto tenemos que:

(u′m(t), w)ψ(t) + (α.∇um(t), w)ψ(t) + (β∇um(t),∇w)ψ(t) = (f, w)ψ(t)∫ t

0(u′m(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β∇um(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β.∇um(t),∇w)ψ(t) =

∫ t

0(f, w)ψ(t)

Integrando por partes

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t) + (um(t), w)ψ(t)|t0 +

∫ t

0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +

∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t)− (um(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +

∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗ ∗ ∗)

Pero

ψ ∈ C ′([0, T ]);ψ(T ) = 0


um(0) = u0m → u0 en H10 (Ω) ⊂ L2(Ω)

tambien u0m → u0 en H10 (Ω)

entonces u0m → u0 en L2(Ω)

tenemos que (u0m, w) → (u0, w) ∀w ∈ L2(Ω) pues

|(u0m, w)− (u0, w)| = |(u0m − u0, w)| ≤ |u0m − u0| |w| < ε

Pasando al lımite (***)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) +

∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗′)

Ademas de (α)

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w)

integrando∫ t

0(u′(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(α.∇u(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

∫ t

0(f, w)ψ(t)

integrando por partes

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t) + (u(t), w)ψ(t)|t0 +

∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +

∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +

∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗∗′)

Comparando de (∗′) y (∗∗′) tenemos u(0) = u0


Unicidad de la solucion

∂u∂t− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ]

u(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ]u(x, t) = u0(x) en Ω

Sean v; z soluciones de la ecuacion anterior, tenemos que w = v − z Sera so-lucion de la sgte ecuacion:

∂w∂t− β∆w + α.∇w = 0 en Ω× (0, T ]

w(x, t) = 0 en∑

= Γ× (0, T ]w(x, t) = 0 en Ω

Tenemos que(w′, w(t))− (∆w,w(t)) + (∇w,w(t)) = 0

12

∂∂t|w(t)|2 + (β∇w,∇w(t)) + (α.∇w,w(t)) = 0

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) = −2(α.∇w,w(t))

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) ≤ 2|α.∇w||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤

√|β||∇w(t)| 2|α|√

|β||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤ |β| |∇w(t)|2 + |α|2|∇w(t)|2

|β|∫ t

0∂∂t|w(s)|2 + 2 |β|

∫ t

0|∇w(s)|2 ≤

∫ t

0|β| |∇w(s)|2 +

∫ t

0|α|2|∇w(s)|2

|β|

|w(t)|2+|β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0+

∫ t

0|α|2|∇w(s)|2

|β| y por el lema de Gronwel tenemos

0 ≤ |w(t)|2 + |β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0et

De aqui se tiene que w = 0

entonces v = z es decir la solucion es unica

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Cap´ıtulo 2 Modelo Matemático, Aplicación y Análisis.sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/carranza_pm/… · Cap´ıtulo 2 Modelo Matemático, Aplicación