Capítulo 2cienciaredcreativa.org/f1/MD9i-2.pdf · 2015-03-09 · Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia 70 en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación,

Capítulo 2

Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia.

Oscilaciones y Ondas, Aplicaciones en Óptica

69

Introducción:

Nuestro objetivo en los primeros capítulos es el de comprender el comportamiento oscilatorio que presentan muchos sistemas simples en la Naturaleza. Hasta ahora sólo hemos estudiado oscilaciones armónicas unidimensionales en donde no existe disipación de energía. Este modelo es el más simple de entender, pero resulta insuficiente para describir fenómenos físicos reales más complejos. Una primera mejora a nuestro modelo consiste en considerar que el sistema puede disipar energía, por ejemplo vía el rozamiento, o ganar (o perder) energía a través de la acción de una fuerza impulsora. Como primer paso, propondremos un modelo simple de disipación de energía y bajo estas nuevas condiciones estudiaremos la evolución dinámica del sistema masa-resorte. Luego estudiaremos la respuesta del sistema cuando es sometido a la acción de una fuerza externa cuya intensidad varía armónicamente. Estos modelos simples nos permiten entender comportamientos físicos, muy generales, de sistemas oscilantes. Nos detendremos fundamentalmente en el estudio del fenómeno de resonancia, concepto fundamental, el cual se manifiesta en infinidad de sistemas físicos tales como instrumentos musicales, en sistemas eléctricos, en electrónica, en materiales, moléculas, átomos, núcleos atómicos, etc.. Los ejercicios recomendados son el 1, 3, 4, 5 y 7. 2-1. Ejercicio Teórico: Oscilador armónico amortiguado:

Como primer paso hacia una mejor descripción de los fenómenos oscilatorios reales observados en la naturaleza, vamos a complejizar nuestro modelo simple, de la masa oscilante, considerando la posibilidad de que el sistema disipe energía a través de la fricción con el aire (no tomaremos en cuenta otro tipo de rozamiento). Supondremos que las oscilaciones son lo suficientemente lentas como para que el aire al fluir sobre la masa pueda ser descripto como un fluido ideal fluyendo laminarmente, sin turbulencias. Dentro de esta aproximación, existen modelos hidrodinámicos adecuados que describen la fuerza amortiguadora actuante sobre la masa, debido al rozamiento con el aire. El más simple de ellos es el que obtenemos a partir de la ley de Stokes, el cual afirma que la fuerza amortiguadora Fa resulta proporcional a la velocidad del cuerpo, pero en sentido opuesto ya que se opone a su movimiento, es decir,

vbFarr

−= 2-1

Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia

70

en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación, depende de la viscosidad del medio y de las dimensiones de la masa. Este modelo de rozamiento se ajusta bastante bien (para velocidades bajas) a lo que se observa experimentalmente en fluidos. A mayor velocidad mayor resulta la fuerza amortiguadora (de signo opuesto). Note que el signo negativo indica claramente que la fuerza tiene permanentemente un sentido opuesto al sentido del movimiento, por lo cual concluimos que el trabajo hecho por esta fuerza resulta siempre negativo, o sea, disipa continuamente energía. Veamos sobre el ejemplo las consecuencias de considerar esta forma de disipación de energía: Ejemplo: Una partícula de masa m kg= 1 oscila unidimensionalmente unida a un resorte horizontal de constante elástica k N m= 400 / , y longitud relajada cml 300 = , ver figura 2-1. Considerando que el sistema disipa energía sólo debido al rozamiento con el aire, y que la fuerza amortiguadora puede modelarse a través de la expresión 2-1 (ley de Stokes), halle la ley dinámica del sistema (unidimensional), es decir, halle la ecuación diferencial que describe el desplazamiento de la masa (segunda ley de Newton). Respuesta:

m t k t b t && ( ) ( ) & ( )Ψ Ψ Ψ1 1 1= − − 2-2 donde Ψ1( )t es el desplazamiento a partir del equilibrio en función del tiempo, es decir Ψ1 ( ) ( )t x t xequi= − donde 0lxequi = (le hemos puesto el subíndice 1 para diferenciar de soluciones que obtendremos posteriormente). Podemos reescribir la ecuación 2-2, pasando los términos al miembro izquierdo, dividiendo todos los términos por la masa m y definiendo dos nuevas constantes, como,

&& ( ) ( ) & ( )Ψ Ψ Γ Ψ1 02

1 1 0t t t+ + =ω 2-3

Fig. 2-1

x


71

donde,

ω02 =

km o ω0 20= =

km

radseg (frecuencia natural) 2-4

y,

Γ = bm

, (coeficiente de amortiguamiento) 2-5

La constante Γ da cuenta del amortiguamiento del sistema (¿Cuáles son las unidades de Γ ?), mientras que ω0 resulta ser la frecuencia natural del sistema, es decir, la frecuencia a la que oscila la masa sin rozamiento (recuerde la guía teórica 1-7). La hemos llamado ω0 y no ω , como en el capítulo 1, para que sea más explícito su carácter de constante y porque reservamos el símbolo ω para denominar una frecuencia angular variable. Dependiendo de lo intenso del amortiguamiento (dado por el coeficiente Γ ) tendremos tres posibles soluciones de la ecuación 2-3 (o 2-2), analizaremos caso por caso: Primer Caso: Oscilador débilmente amortiguado o subamortiguado:

Sobre la base de nuestra intuición física, podemos suponer que, si el rozamiento no es muy alto (amortiguamiento b bajo respecto de la constante elástica k), el movimiento continúa siendo oscilatorio pero con amplitud decreciente (no periódico). Sobre la base de esto, discuta si la siguiente función puede representar la evolución dinámica del sistema, es decir, ser solución de la ecuación diferencial 2-3 (o 2-2),

( )Ψ Γ1 1 1 1

2( ) cos/t A e t= +− t ω δ 2-6

donde Γ es el coeficiente de amortiguamiento definido en 2-5, el cual determina un decaimiento exponencial de la amplitud de oscilación. La frecuencia angular la hemos notado como ω1 para diferenciarla de la frecuencia natural del resorte ω0 (sin disipación), ya que no sabemos de antemano si la frecuencia del sistema concuerda o no con la natural.


72

Comentario: Note que la función anterior determina que la oscilación culmina en tiempo infinito, cosa que no ocurre en la realidad. Esto no significa que la función 2-6 no sea solución de la ecuación diferencial 2-3, sino que el modelo de rozamiento es ideal y no describe completamente al sistema real. a) Haga un gráfico esquemático de la función 2-6 y estudie detenidamente que

determina cada constante. b) Verifique que la función definida en 2-6 es solución de la ecuación diferencial 2-3

(o 2-2), y que la frecuencia de oscilación ω1 , del sistema con rozamiento, no resulta igual a la frecuencia de oscilación natural del sistema ω0, sin rozamiento, sino que queda determinada por la relación,

ω ω12

02 21

4= − Γ 2-7

La frecuencia ω1 resulta siempre menor que la frecuencia natural ω0,

ω ω1 0<

y de acuerdo a la ecuación 2-7, observamos que la frecuencia ω1 disminuye su valor al aumentar el amortiguamiento (coeficiente Γ ).

La solución 2-6 tiene sentido mientras que se cumpla que ω12 0> , o sea,

ω ω12

02 21

40= − >Γ 2-8

es decir, si el rozamiento es bajo, la solución resulta oscilatoria.

De la ecuación 2-8 vemos que si el coeficiente de amortiguación cumple que,

Γ < 2 0ω o b k< 2 2-9

entonces consideramos que el rozamiento es bajo.

Respuesta: Verificamos que la función:

( )Ψ Γ1 1 1 1

2( ) cos/t A e t= +− t ω δ


73

es solución de la ecuación diferencial 2-3, para ello calculamos su derivada y su derivada segunda, respecto del tiempo (verifique),

( ) ( )& ( ) cos sen/ΨΓΓ

1 1 1 1 1 1 12

2t A e t t= − + + +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− t ω δ ω ω δ 2-10

( ) ( )&& ( ) cos sen/ΨΓ

ΓΓ1 1

2

12

1 1 1 1 12

4t A e t t= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥− t ω ω δ ω ω δ 2-11

reemplazamos 2-10 y 2-11 en la ecuación 2-3 ( && ( ) ( ) & ( )Ψ Ψ Γ Ψ1 0

21 1 0t t t+ + =ω ),

obtenemos,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

A e t t

A e t A e t t

1

2

12

1 1 1 1 1

02

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2

4

20

t

t t

−

− −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+

+ + − + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

Γ

Γ Γ

ΓΓ

ΓΓ

/

/ /

cos sen

cos cos sen

ω ω δ ω ω δ

ω ω δ ω δ ω ω δ

simplificamos la constante A1 y el exponente e−Γt /2 y agrupamos todos los términos con cosenos en el miembro izquierdo y todos los términos con senos en el derecho, obtenemos,

( ) [ ] ( ) − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = − + +ω ω ω δ ω ω ω δ1

20

22

1 1 1 1 1 14Γ

Γ Γcos sent t 2-12

Aquí debemos detenernos a pensar un momento. La función 2-6 es solución de la ecuación diferencial 2-3 si la igualdad 2-12 se satisface en todo instante.

En el miembro izquierdo tenemos una constante multiplicando a una función ( )cos ω δ1 1t + mientras que del lado derecho tenemos otra constante distinta

multiplicando a una función ( )sen ω δ1 1t + , con lo cual la igualdad 2-12 dice que el coseno resulta proporcional al seno y la igualdad debe cumplirse para todo tiempo, lo cual resulta imposible. Pueden concordar en algún instante pero no para todo tiempo (pensarlo detenidamente).

La igualdad 2-12 sólo puede satisfacerse si las constantes que multiplican a las funciones seno y coseno resultan ambas cero (en este caso la constante que acompaña al seno es evidentemente cero), es decir,


74

( ) [ ] ( )

| | | |

0 0

− + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = − + +ω ω ω δ ω ω ω δ1

20

22

1 1 1 1 1 14Γ

Γ Γ1 2444 3444

1 244 344cos sent t 2-13

Y de 2-13 obtenemos que para que la función ( )Ψ Γ

1 1 1 12( ) cos/t A e t= +− t ω δ sea

solución de la ecuación 2-3 debe cumplirse que,

− + − =ω ω12

02 21

40Γ ⇔ ω ω1

202 21

4= − Γ

que es lo que ya habíamos anticipado en 2-7, el sistema oscila con frecuencia ω ω1 0< .

Resumiendo, si el amortiguamiento es lo suficientemente débil (Γ < 2 0ω ) como

para que ω ω12

02 21

40= − >Γ (oscilador débilmente amortiguado), entonces la

evolución del sistema puede ser descripta por la función ( )Ψ Γ

1 1 1 12( ) cos/t A e t= +− t ω δ . Por lo cual el movimiento resulta oscilatorio (no

armónico) con frecuencia angular ω ω1 02 21

4= − Γ (menor que la frecuencia

natural ω0), y con amplitud de oscilación que decae exponencialmente, decaimiento regido por el valor del coeficiente de amortiguamiento Γ .

A este tipo de evolución se le conoce con el nombre de oscilador débilmente

amortiguado (cuando se cumple que ω ω12

02 21

40= − >Γ ).

Para fijar ideas grafiquemos a la función ( )Ψ Γ

1 1 1 12( ) cos/t A e t= +− t ω δ , usando el

programa de Mathematica (figura 2-2):

gamma=.2; w0=1; w=Sqrt[w0^2-gamma^2/4]; psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*Cos[w*t]; a[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]; Plot[{psi[t],a[t]},{t,0,50},PlotPoints->500, PlotRange->{-1.01,1.01}, PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}, {RGBColor[1,0,0],Dashing[{.01}],Thickness[0.001]}}]


75

donde hemos tomado los valores, A cm1 1= , δ = 0, Γ = 0 2 1. seg y ω0 1= rad

seg . c) Repita el gráfico, con ayuda del Mathematica, probando con diferentes valores del

coeficiente de amortiguamiento Γ . d) Suponiendo que el sistema oscila con un período T seg1 0 32= , , calcule el

coeficiente de amortiguamiento Γ. Resp. Γ ≅ 7 6 1, seg . e) Importante. Sabiendo que inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la

posición de equilibrio en 5cm , halle la ley de movimiento Ψ1( )t . ¡Cuidado, en este caso 5cm no es la amplitud A1, como ocurría en el sistema sin rozamiento! (debe resolver un sistema de dos ecuaciones en donde las incógnitas son la amplitud y la fase y los datos son las condiciones iniciales). Resp. ( )Ψ Γ

1 1 1 12( ) cos/t A e t= +− t ω δ con A cm1 5 09≅ . , δ1 0 191≅ − , ,

ω1 19 63≅ , radseg y Γ ≅ 7 6 1, seg

Ψ (cm)

t (seg)

A e1 t /2−Γ

Figura 2-2: Gráfica de la función ( )Ψ Γ1 1 1 1

2( ) cos/t A e t= +− t ω δ (oscilador débilmente amortiguado).


76

Reobtener la solución con el Mathematica,

DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+7.6075*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t] f) Grafique la posición de la masa en función del tiempo. g) Halle la energía cinética, potencial y mecánica correspondientes a la masa

oscilante en función del tiempo. h) Grafique la energía total en función del tiempo. i) Demuestre que (la demostración es optativa, pero la lectura es recomendada), si

el rozamiento es muy bajo Γ << 2 0ω , el valor medio de la energía mecánica durante un ciclo de oscilación es aproximadamente,

E m A E≈ =12 0

21 0ω e e- t - tΓ Γ donde E m A k A0 0

21

21

212

12

= = ω 2-14

es decir, en valor medio la energía del sistema disminuye exponencialmente con el tiempo.

El coeficiente Γ determina el grado de disipación de la energía y además define un tiempo característico del sistema. Este tiempo característico lo podemos definir como,

τ =1Γ

2-15

(verifique que Γ tiene unidades de 1

seg ). Cada vez que transcurre un tiempo τ la energía (en valor medio) disminuye

un 63%, como puede comprobarse fácilmente a partir de la ecuación 2-14 y de una tabla de valores,

a t = 0 E E≈ 0 a t =τ E E e E e E e E≈ = = ≅− − −

0 0

1

01

00 37Γτ Γ Γ , disminuye un 63% a t =2τ 00

220

20 137,037,0 EEeEeEE ≅≅=≈ −τΓ− vuelve a disminuir un 63%

Note que transcurrido un tiempo igual a τ2 la energía cayo a casi un décimo de la original. Podemos asignar a τ el nombre de tiempo característico de relajación


77

del sistema (al equilibrio), y representa el tiempo en que el sistema disipa un 63% de su energía.

Comentario: Por lo visto, el sistema posee varios tiempos que lo caracterizan (tiempos característicos del sistema), uno es el tiempo de relajación τ, el otro el

período de oscilación del sistema T1 y por último el periodo natural T00

2=

πω

(sin

disipación). Conociendo T1,T0 y τ resulta posible tener una idea conceptualmente buena de la evolución del sistema. Es posible reescribir la condición:

ω ω1 0< como T T1 0>

y la condición de rozamiento débil:

Γ < 2 0ω como τπ

>T0

4

El decaimiento exponencial e−Γ t puede reescribirse como e− t /τ . Muchas de las magnitudes físicas del sistema pueden reescribirse como dependientes de estos tres tiempos.

Saltear en una primera lectura

Respuesta: En el ítem anterior usted halló que la energía mecánica es,

[ ]E t m k m( ) & &= + = +12

12

12

2 2 20

2 2Ψ Ψ Ψ Ψ ω ⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( )]1122

01122

1

11111112

2 t2

1

cos

coscos4

21)(

δωωδωω

δωδωωδω

+++

⎢⎣

⎡+++Γ++Γ= Γ−

ttsen

tsenttemAtE

El valor medio de la energía mecánica en un ciclo se calcula como,


78

ET

E t dtT

= ∫1

1 0

1

( ) . donde T11

2=

πω

.

Para calcular el valor medio hacemos una aproximación. Consideramos que

el rozamiento es tan bajo Γ << 2 0ω (o τπ

>T0

4), que la exponencial e−Γ t se

mantiene aproximadamente constante durante todo un ciclo de período T1 , o sea, el tiempo que dura una oscilación resulta mucho menor que el tiempo de relajación T1 << τ y, por consiguiente, la exponencial e e− −=Γ t t /τ casi no cambia su valor. Dentro de esta aproximación, resulta posible extraer la exponencial e−Γ t fuera de la integral, es decir,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E mA eT

t t t

t t dt

≈ + + + +⎡

⎣⎢

+ + + +⎤

⎦⎥

− ∫12

141

2

1 0

22

1 1 1 1 1 1 1

12 2

1 1 02 2

1 1

Γ ΓΓω t

T1

cos cos sen

sen cos

ω δ ω δ ω δ

ω ω δ ω ω δ

A partir de esta aproximación, resulta simple hallar el valor medio

recordando que,

( )cos21 1

12

ω δt + = , ( )sen21 1

12

ω δt + = y ( ) ( )cos senω δ ω δ1 1 1 1 0t t+ + =

Con lo cual, el valor medio de la energía resulta,

E m A E≈ =12 0

21

20ω e e- t - tΓ Γ

donde E m A k A0 02

12

121

212

= = ω (compare con la energía en el sistema sin

disipación).

j) Optativo. Halle la variación ΔE , del valor medio de la energía en cada ciclo, en la aproximación de bajo rozamiento. ¿Se mantiene constante el ΔE en los diferentes ciclos?.

Resp. ( )( ) ( )τ

=Γ≈−=−=Δ Γ−Γ−+Γ−Γ− 11

T0

Tt0 1 11

TETEeeEeeEE tt

(aproximamos desarrollando a primer orden en Taylor, ya que en ésta aproximación T1 << τ )


79

Retomar la lectura

k) Definición importante. Se define comúnmente en ingeniería un coeficiente llamado factor Q, que da cuenta del grado de disipación del sistema, como,

E/ 2 Δπ= EQ 2-16

donde ΔE es la energía perdida por período (calculada en el ítem anterior). Cuanto mayor resulta Q significa que el sistema disipa una menor fracción de su energía en cada período. Luego veremos que este factor da cuenta del ancho de banda en sistemas resonantes (ejemplo: receptores de radio).

Demuestre que el factor Q vale aproximadamente (con rozamiento bajo),

QT

≈ =ω πτ

11

2/ Γ 2-17

es decir, si el tiempo característico de disipación τ es grande respecto al período de oscilación del sistema T1 , entonces el sistema disipa poca energía en cada ciclo, por lo cual el factor Q resulta grande.

l) Optativo. Halle la potencia disipada en función del tiempo, donde,

Γ−=−== mvbvFvP a22.

rr 2-18

verifique que la potencia disipada concuerda con P d Ed t

= ya que, en el modelo,

no hay otra forma en que se pierda o gane energía. Segundo Caso. Sistema críticamente amortiguado: La solución de la ecuación diferencial 2-3 es oscilatoria mientras que el amortiguamiento resulta pequeño (Γ < 2 0ω ). Si el valor de la constante Γ crece suficientemente, hasta un valor crítico, ya no se producen oscilaciones. Ese valor crítico es aquel en donde se satisface que,

ω ω12

02 21

40= − =Γ 2-19


80

es decir,

Γcrítico = 2 0ω 2-20

resultando ω1 0= (“T1 infinito”), por lo cual, el sistema no oscila. En estas condiciones la función ( )Ψ Γ

1 1 1 12( ) cos/t A e t= +− t ω δ (ec. 2-6) ya no

es la solución más general de la ecuación diferencial 2-3. Es posible demostrar que la solución general de la ecuación diferencial 2-3 para el caso de un sistema críticamente amortiguado es (verifique reemplazando en 2-3):

[ ]Ψ Γ1

2( ) /t e B t C= − t + 2-21

donde B y C son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Claramente la función 2-21 no representa a un sistema oscilando. Para fijar ideas resulta conveniente plantear un ejemplo y graficarlo, a) Sabiendo que inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la posición de

equilibrio en 5cm , halle la ecuación de movimiento Ψ1( )t . Resp. [ ]Ψ Γ

12( ) /t e B t C= − t + con Γ = 40 1

seg , C cm= 5 y B cmseg= 100

Con el Mathematica, DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+40*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]

b) Grafique la posición de la masa en función del tiempo (Use el Mathematica). Respuesta: Usando el programa de Mathematica (ver figura 2-3),

w0=20; gamma=2*w0; b=100; c=5; psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*(b*t+c) Plot[psi[t],{t,0,.4}, PlotPoints->500,PlotRange->{0.01,6}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]

Ψ1( )t

t (seg)

Amortiguamiento crítico


81

Pareciera como si el sistema comenzara a evolucionar oscilatoriamente, pero rápidamente se relaja hacia su posición de equilibrio Ψ1 0= .

Comentario: El sistema cuando posee amortiguamiento crítico relaja a su

posición de equilibrio más rápidamente que en cualquier otra situación. Si aumenta el amortiguamiento por sobre el crítico, en lugar de disminuir el tiempo necesario para lograr el equilibrio, éste aumenta (ver el tercer caso). Por esta razón los amortiguadores en máquinas y vehículos se diseñan de tal forma de que el amortiguamiento esté lo más cercano posible a su valor crítico.

Tercer Caso. Sistema sobreamortiguado:

Si el coeficiente de amortiguamiento Γ sigue creciendo más halla de su valor crítico,

Γ Γ> =crítico 2 0ω , 2-22

se cumple que,

ω ω12

02 21

40= − <Γ 2-23

Por supuesto ningún número real al cuadrado puede resultar negativo, por lo

cual la ecuación 2-6 tampoco nos sirve en este caso. Pero si es posible pensar que ω1 es un número imaginario y ver sí de esta forma resulta posible rescatar la ecuación 2-6. Siguiendo este camino, la función coseno se transforma en un coseno hiperbólico,


82

este paso matemático resulta un poco engorroso, por lo cual, no lo haremos aquí. Simplemente afirmamos que la solución general para un sistema sobreamortiguado es:

[ ]Ψ Γ1

2 1 1( ) /t e A e B et t= − ′ − ′ t + ω ω 2-24

donde hemos definido (comparar con 2-23)

′ = = −ω ω ω1 12

021

4 Γ , 2-25

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Claramente ésta solución no resulta oscilatoria. Veamos un ejemplo,

a) Si el coeficiente de rozamiento es Γ Γ= > =100 401 1

seg segcrítico , y sabiendo que inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la posición de equilibrio en 5cm , halle la ecuación de movimiento Ψ1( )t . Resp. [ ]Ψ Γ

12 1 1( ) /t e A e B et t= − ′ − ′ t + ω ω

con ′ ≅ω1 45 82, radseg, cmA 228,5= y cmB 228,0−= .

Note que al ser Γ > ′ω1 la función no diverge (píenselo con detenimiento). Con el Mathematica, DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+100*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]

b) Grafique la posición de la masa en función del tiempo. Usando el programa Mathematica (ver figura 2-4):

w0=20; gamma=100; w1=Sqrt[gamma^2/4-w0]; a=5.227; b=−0.228; psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*(a*Exp[w1*t]+b*Exp[-w1*t]) Plot[psi[t],{t,0,20}, PlotPoints->500,PlotRange->{0.01,5.4}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]} ]


83

5 10 15 20

1

2

3

4

5

Observe que el sistema demora mucho más tiempo, en relajarse a su

posición de equilibrio, de lo que demora cuando el sistema posee amortiguamiento crítico.

2-2. Un oscilador (débilmente amortiguado) tiene un período de 3seg . Su amplitud disminuye un 5% durante cada ciclo. a) ¿En cuánto disminuye la energía en cada ciclo?. Resp. disminuye un 9 75%, cada

ciclo.

b) ¿Cuánto vale la constante de tiempo τ =1Γ

? ¿Cuál es su significado físico?.

Resp. seg24.29=τ . c) ¿Cuánto vale el factor Q ?, discuta sobre su significado físico. Resp. 24.61=Q d) Suponga que inicialmente la masa se halla en el equilibrio con velocidad v m

seg= 1 . Halle la ley de movimiento del sistema y grafique.

Resp. ( )Ψ Γ1 1 1 1

2( ) cos/t A e t= +− t ω δ con mA 47,01 ≅ , δπ

1 2≅ − ,

ω1 2 09≅ , radseg y seg

1034,0≅Γ .

Ψ1( )t

t (seg)

Sistema sobreamortiguado

Figura 2-4: Gráfica de la función [ ]Ψ Γ1

2 1 1( ) /t e A e B et t= − ′ − ′ t + ω ω (Sistema sobreamortiguado).


84

2-3. Ejercicio teórico: Oscilador sometido a una fuerza impulsora armónica. Fenómeno de Resonancia (Recomendado):

En el ejercicio teórico 2-1 hemos agregado a nuestro modelo, de sistema oscilante, la capacidad de disipar energía. Pero aún nos falta incorporar un factor muy importante para la descripción de sistemas físicos reales, la posibilidad de que sobre el sistema se ejerza una fuerza impulsora externa, en principio periódica. Éste modelo ampliado nos permite entender, por ejemplo, el comportamiento de átomos o moléculas sobre los cuales actúa un campo eléctrico o magnético externo que varía armónicamente. Un buen ejemplo lo constituye el principio de funcionamiento del horno de microondas. Éste utiliza una onda electromagnética (periódica) para excitar las moléculas del agua y, de esta forma, calentar los alimentos. La frecuencia de microondas concuerda con una de las frecuencias naturales de oscilación de la molécula del agua (resonancia), y por ello es que la mayor parte de la energía la absorbe este elemento y no otro (el tapper no se calienta por las microondas sino porque está en contacto con el agua caliente). A este fenómeno lo analizaremos cuando estudiemos Resonancia. Primeramente estudiaremos el caso más simple en que la fuerza impulsora externa es armónica. Luego comprobaremos que cualquier función periódica (no armónica) puede expresarse como una superposición de funciones armónicas, de esta forma, conociendo el comportamiento de un sistema bajo la acción de una fuerza armónica, va a ser posible obtener información sobre el comportamiento del sistema cuando es sometido a la acción de cualquier fuerza periódica. Ejemplo: Partimos del modelo planteado en el ejercicio teórico 2-1, donde analizamos la evolución de una masa, sujeta a un resorte, oscilando unidimensionalmente, amortiguada por su interacción con el aire. Usamos los mismos datos, masa m kg= 1 , constante elástica del resorte k N m= 400 / y longitud relajada cml 300 = . Utilizamos el mismo modelo de amortiguamiento que en el ejercicio teórico 2-1, donde la fuerza amortiguadora del aire Fa la consideramos proporcional a la velocidad del cuerpo, pero en sentido opuesto ya que se opone a su movimiento (ley de Stokes), es decir,

vbFarr

−= 2-26


85

en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación (¿cuáles son sus unidades?). Supondremos que el amortiguamiento es menor al crítico (ver ejercicio teórico 2-1). Vamos a agregar al modelo anterior la posibilidad de que sobre el sistema se ejerza una fuerza impulsora externa armónica. Suponemos que la masa, además de interactuar con el resorte y con el aire, interactúa con otro sistema. Producto de esta interacción sobre la masa se ejerce una fuerza (fuerza impulsora externa) que varía armónicamente con el tiempo:

( )F F text = 0 cos ω . 2-27

donde F0 representa la amplitud de la interacción y ω es la frecuencia angular de variación de la fuerza (es posible agregarle una fase inicial, no lo haremos aquí por simplicidad). Supondremos luego que la frecuencia puede variarse según nuestra conveniencia (un ejemplo cotidiano de fuerza periódica pero no armónica, lo constituye una madre hamacando a su hijo). Comentario: La fuerza externa no necesariamente debe ser una fuerza de contacto (la mano de la madre hamacando a su hijo), sino que puede ser debida a un campo eléctrico o magnético externo, que actúa a distancia sobre la masa (cargada eléctrica o magnéticamente). De hecho, las fuerzas de contacto pueden describirse a partir de interacciones electromagnéticas y principios cuánticos como el de Pauli (los átomos no se tocan en la forma en que nosotros usamos la palabra tocarse).

Una vez planteado el modelo del sistema, con sus interacciones, estamos en condiciones de estudiar su evolución dinámica, por ello:

a) A partir de las leyes de Newton obtenga la ecuación diferencial (ecuación

dinámica) que describe el desplazamiento de la masa (use 2-26 y 2-27). Respuesta,

m t k t b t F t&& ( ) ( ) & ( ) c o s ( )Ψ Ψ Ψ= − − + 0 ω 2-28

o pasando de miembro y dividiendo por la masa,

&& ( ) & ( ) ( ) c o s ( )Ψ Γ Ψ Ψt t tFm

t+ + = ω ω02 0 2-29


86

obtenemos una ecuación diferencial lineal inhomogénea, donde Ψ( )t representa el desplazamiento de la masa a partir del equilibrio, en función del tiempo, es decir,

Ψ( ) ( )t x t xequi= − donde 0lxequi = . 2-30

Recordar que,

ω0 20= =km

radseg 2-31

es la frecuencia natural del sistema (frecuencia a la cual oscilaría la masa sin rozamiento y sin fuerza impulsora), y

Γ =bm

2-32

es el coeficiente de amortiguamiento (ver ejercicio teórico 2-1).

b) Una vez obtenida la ecuación dinámica 2-29, estamos en condiciones de hallar la función Ψ( )t que describe la evolución del sistema en el tiempo. Apelamos nuevamente a nuestra intuición para proponer una solución de la ecuación diferencial 2-29. A partir de nuestra experiencia, podemos intuir que, luego de transcurrido un cierto tiempo, el sistema finalmente termina oscilando armónicamente con la misma frecuencia ω que impone la fuerza impulsora. Por ello proponemos, como solución, a la función,

( )Ψ2 2 2( ) cost A t= +ω δ 2-33

Verifique que la función )(2 tΨ es una solución particular de la ecuación

diferencial 2-29, halle los valores de A2 y 2δ (le hemos puesto el subíndice 2 para diferenciarla de la solución que obtuvimos en el ejercicio teórico 2-1, donde el sistema no es impulsado por una fuerza externa).

Este paso es matemáticamente simple pero muy tedioso, en una primera lectura

no haga la cuenta, pero sí analice cuidadosamente el resultado final (ecuaciones 2-34 y 2-35) y el comentario que sigue.


87

Ayuda: Repita los pasos que se hicieron en el ejercicio teórico 2-1 . Pero primero trate de que las funciones armónicas tengan todas el mismo argumento, para ello use la relación,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos ( ) cos cos sen senω ω δ δ ω δ δ ω δ δt t t t= + − = + + +2 2 2 2 2 2

Recuerde que sí,

( ) ( )A t B t t A y B = 0 =cos senω δ ω δ+ = + ∀ ⇔2 2 0

donde A y B son constantes cualesquiera. Use las identidades trigonométricas:

( )( )

costg

δδ

2 22

1

1=

+ Sí − ≤ ≤

πδ

202 y

( )( )

costg

δδ

2 22

1

1=

−

+ Sí − ≤ ≤ −π δ

π2 2

Respuesta,

AFm2

02

02 2 2 2

1=

− +

( )ω ω ωΓ 2-34

y,

δω ω

π δ2 20

2 2 0=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − ≤ ≤arctg

Γω con , 2-35

donde se ha restringido la fase a − ≤ ≤π δ2 0 para que la amplitud A2 sea siempre positiva.


88

Comentario importante: La función ( )Ψ2 2 2( ) cost A t= +ω δ representa una oscilación armónica de frecuencia ω , amplitud A2 y fase δ2 . Note que la frecuencia ω , de oscilación de la masa, resulta igual a la frecuencia de la fuerza impulsora y que la amplitud A2 y la fase δ2 no dependen de las condiciones iniciales (como ocurría en el caso del resorte libre), sino que se hallan determinadas a partir de las constantes del sistema (masa, constante elástica, amortiguamiento, intensidad y frecuencia de la fuerza impulsora).

Esta solución no puede ser la solución general del sistema. Si el resorte ya está en movimiento y se lo trata de impulsar externamente, en los primeros instantes el movimiento no resulta armónico (estado transitorio), y sólo después de transcurrido un tiempo, el sistema logra evolucionar armónicamente con la frecuencia impulsora (estado estacionario). La evolución inicial del sistema depende de las condiciones iniciales, lo cual no se manifiesta en la solución hallada.

Para fijar ideas, piense en una madre que pudiese hamacar a su hijo ejerciendo una fuerza armónica (en lugar de empujarlo discontinuamente como sucede en la realidad). A menos que la frecuencia de la fuerza ejercida por la madre concordase con la natural del sistema y que tuviese mucho cuidado inicialmente al aplicarla, con la fase adecuada de tal forma de acompañar el movimiento de la masa, el movimiento inicial no resultaría armónico.

c) La función ( )Ψ2 2 2( ) cost A t= +ω δ , no es la solución general de la ecuación

diferencial 2-29, sino simplemente una solución particular (solución estacionaria). Para completar la solución general resulta necesario sumarle la solución de la ecuación homogénea (transitorio).

En el capítulo 1 (guía teórica 1-10) estudiamos que la solución general, de una ecuación diferencial inhomogénea, se halla sumando una solución particular (Ψ2 ( )t ) más la solución de la ecuación homogénea asociada. La ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial 2-29 es,

0)()()( 111 =Ψ+Ψ+Ψ tktbtm &&& 2-36

la cual, concuerda con la ecuación diferencial que estudiamos en el ejercicio teórico 2-1 (ec. 2-3), y representa la evolución del sistema sin fuerza impulsora, y su solución es (ver ejercicio teórico 2-1),

( )Ψ Γ1 1 1 1

2( ) cos/t A e t= +− t ω δ donde 2201 4

1 Γ−ω=ω 2-37


89

De esta manera, la solución general de la ecuación diferencial 2-29 (con fuerza impulsora) resulta,

( ) ( )Ψ Ψ Ψ Γ( ) ( ) ( ) cos cos/t t t A e t A t= + = + + +−1 2 1 1 1 2 2

2 t ω δ ω δ 2-38

donde las constantes A1 y δ1 se hallan a partir de las condiciones iniciales, mientras que, como ya dijimos, A2 y δ2 quedan determinadas por las constantes del sistema (masa, constante elástica, amortiguamiento, frecuencia impulsora) y no dependen de las condiciones iniciales del sistema.

Verifique que la función Ψ Ψ Ψ( ) ( ) ( )t t t= +1 2 es solución de la ecuación 2-29. Ayuda: ahórrese el trabajo de derivar, básese en el hecho de que ya sabe que Ψ1( )t satisface la ecuación 2-36 y que Ψ2 ( )t satisface la ecuación 2-29, y demuestre entonces que Ψ Ψ Ψ( ) ( ) ( )t t t= +1 2 satisface la ecuación 2-29.

Comentario: La solución general de la ecuación diferencial para el oscilador

forzado consta de dos partes, la solución transitoria Ψ1( )t y la solución estacionaria Ψ2 ( )t . Estos nombres provienen del hecho de que transcurrido cierto tiempo, la solución Ψ1( )t (transitoria) se hace despreciable ya que la amplitud decrece exponencialmente con el tiempo (debido al amortiguamiento). De este modo, a largo plazo, sólo queda la solución Ψ2 ( )t (estacionaria). Esto significa que luego de transcurrido un tiempo corto inicial, el sistema oscila con la frecuencia ω a la que lo obliga a oscilar la fuerza externa (ω puede ser cualquiera, no necesariamente igual a la frecuencia natural del resorte).

Las constantes de la solución transitoria dependen de las condiciones iniciales y la frecuencia ω1 es muy parecida a la frecuencia natural del resorte (sí el amortiguamiento es bajo). Mientras que la amplitud y la fase de la solución estacionaria dependen de la fuerza externa y no de las condiciones iniciales.

Este fenómeno también es común en circuitos eléctricos donde intervienen bobinas y capacitores. Es sabido que cuando encendemos o apagamos un circuito, como por ejemplo una heladera, la corriente que circula inicialmente puede ser muy superior a la corriente estacionaria que se alcanza una vez terminado el transitorio, hasta 10 veces mayor, por ello los cables deben dimensionarse para soportar corrientes mayores que las necesarias en el estado estacionario (las potencias que se indican en los artefactos, tales como lámparas o amplificadores, son las que consumen en estado estacionario).

d) Para fijar ideas hallemos Ψ( )t , para el caso particular en que el resorte

inicialmente está estirado 5cm y en reposo, e impulsado por una fuerza externa armónica de intensidad F N0 5= y frecuencia ω= 25rad

seg (recuerde que


90

ω0 20= =km

radseg ). Suponga que el coeficiente de rozamiento es b kg

seg= 1 (⇒

Γ = =bm seg1 1 ).

Con estos datos hallamos la solución general del sistema, que sabemos tiene la forma,

( ) ( )Ψ Γ( ) cos cos/t A e t A t= + + +−

1 1 1 2 22 t ω δ ω δ

Primero calculamos la amplitud A2 y la fase δ2 , que no dependen de las condiciones iniciales,

− ≤ ≤π δ2 0 y δω ω2 2

02 3 031=

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≅ −arctg ,

Γω

(note que debe pasar el resultado al cuarto cuadrante),

y AFm

m cm20

20

2 2 2 2

10 022 2 2=

− +≅ =

( ), ,

ω ω ωΓ

Luego (a partir de 2-37) calculamos la frecuencia ω1,

ω ω ω1 02 2

014

20= − ≅ =Γ radseg

Planteemos las condiciones iniciales,

( ) ( )Ψ( ) cos cos0 51 1 2 2= + =A A cm δ δ ⇒ ( )A cm cm cm1 1 5 2 186 7,186 cos ,δ = + =

( ) ( ) ( )& ( ) cos sen senΨΓ

1 1 1 1 1 2 202

0= − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− =A A δ ω δ ω δ ⇒

( ) ( )[ ] ( ) seg

cmseg senAsenA 07,6 20 cos 0,5 221

11seg

11 =−=+ δωδδ

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas A1 y δ1. Compruebe que despejando se obtiene,

A cm1 7 187≅ , y δ1 0 01723≅ ,


91

Por consiguiente la función que describe la evolución dinámica del sistema es,

( ) ( )Ψ Γ( ) cos cos/t A e t A t= + + +−1 1 1 2 2

2 t ω δ ω δ

con A cm2 2 2≅ , , δ2 3 031≅ − , , ω= 25radseg , A cm1 7 187≅ , , δ1 0 01723≅ , y

ω1 20≅ radseg .

e) Vuelva a hallar ( )tΨ con el programa Mathematica,

Simplify[DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+psi'[t]==5*Cos[25*t], psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]] (¡ojo!, la solución dada por el Mathematica puede aparecer un poco más complicada, usted debe agrupar para poder comparar con la solución anterior).

f) Grafique ( )tΨ y discuta. Con el programa Mathematica (ver figura 2-5),

gamma=1; a1=7.187; d1=0.01723; w1=20; a2=2.2; d2=-3.031; w=25; psi1[t_ ]=a1*Exp[-gamma*t/2]*Cos[w1*t+d1]; psi2[t_ ]=a2*Cos[w*t+d2]; Plot[psi1[t]+psi2[t],{t,0,12}, PlotPoints->500,PlotRange->{-10,10}, Axes->True,AspectRatio->.6, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]


92

En la figura 2-5 observamos claramente que, luego de transcurridos los primeros instantes (alrededor de seg6 ), el término transitorio decae completamente y sólo queda el término estacionario.

En los próximos ítems sólo estudiaremos al sistema cuando ya ha alcanzado el

estado estacionario, es decir el transitorio se ha disipado completamente, lo cual ocurre cuando el tiempo transcurrido es mayor que el tiempo de relajación,

t >> =τ1Γ

2-39

g) Importante. Ahora queremos analizar la respuesta del sistema para diferentes

frecuencias de la fuerza impulsora (igual intensidad 0F ). Para ello, grafique la amplitud de oscilación A2 y la fase δ2 en función de la frecuencia impulsora ω, use los datos del ítem anterior. Analice lo que sucede en el límite de 0→Γ , ¿sigue siendo bueno el modelo en ese límite? ¿aguanta el resorte? . Discuta.

Respuesta, con el programa Mathematica (ver figura 2-6 y 2-7), m=1; gamma=1; w0=20; f0=5; a2[w_ ]=(f0/m)*1/Sqrt[(w^2-w0^2)^2+gamma^2*w^2]; Plot[a2[w],{w,0,50}, PlotPoints->500,PlotRange->{0,1.1*f0/w0},

Ψ( )t

t

Transitorio Estacionario

Figura 2-5: Gráfico de la función Ψ. Estado transitorio y estacionario del sistema.


93

Axes->True,AspectRatio->0.7, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}];

f[w_ ]=g*w/(w^2-w0^2); y[w_ ]=1; x[w_ ]=1/f[w]; r[w_ ]=Sqrt[x[w]^2+y[w]^2]; yy[w_ ]=y[w]/r[w]; xx[w_ ]=x[w]/r[w]; d2[w_ ]=ArcTan[xx[w],yy[w]]-Pi; Plot[d2[w],{w,0,50}, Axes->{True,False},AspectRatio->.4, PlotPoints->500,PlotRange->{0,-3.15}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]

ω

A2

Amplitud

Figura 2- 6: Gráfico de la amplitud de oscilación, en función de la frecuencia impulsora ω.

δ2

ω

−π

−π/2 Fase

Figura 2-7: Gráfico de la fase δ2, en función de la frecuencia impulsora ω.


94

Note que la oscilación alcanza una mayor amplitud cuando la frecuencia de la fuerza impulsora ω resulta cercana a la frecuencia natural del sistema ω0 20= rad

seg , mientras que cuando difiere mucho de esta frecuencia la amplitud disminuye fuertemente, a este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.

La frecuencia a la que exactamente aparece el máximo de amplitud es (verifique):

ω ω ω= − ≈02

2

02Γ

si Γ es pequeño 2-40

Observe también que la fase δ2 varía abruptamente cerca de la resonancia, y que en resonancia, toma el valor,

δπ

2 2= − (en resonancia). 2-41

Luego analizaremos el significado físico de esta última igualdad.

Comentario: En el problema 2-4 calcularemos el valor medio de la potencia

entregada por la fuerza impulsora, y comprobaremos que el resorte absorbe la mayor cantidad de potencia (trabajo en la unidad de tiempo) cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es exactamente la frecuencia natural del sistema (frecuencia de resonancia),

ω ω= 0 (frecuencia de resonancia) 2-42

El gráfico que obtendremos del valor medio de la potencia entregada por la

fuerza impulsora en función de la frecuencia ω se muestra en la figura 2-8, donde claramente se observa lo pronunciado del pico de potencia.

El concepto de resonancia se asocia con la existencia de condiciones apropiadas para la transferencia de energía de un sistema a otro.

En nuestro ejemplo de la masa, unida a un resorte, impulsada por una fuerza externa, se logra una mayor transferencia de energía cuando la frecuencia ω concuerda con la frecuencia natural del sistema ω0. Cuando la fuerza varía armónicamente con esa frecuencia, entrega permanentemente energía al sistema, ya que la fuerza acompaña permanentemente al movimiento de la masa, compensando exactamente la energía disipada por rozamiento.


95

Si la frecuencia ω no es igual a ω0, no siempre la fuerza externa entrega

energía, en algunos momentos puede llegar a oponerse al movimiento de la masa y por ende quitarle energía y en otros momentos acompañar el movimiento entregándole energía.

El ejemplo de la madre hamacando a su hijo puede resultar ilustrativo, aunque la fuerza ejercida por la madre es periódica (pulsante) y no armónica. La madre, sin tomar conciencia de ello, hamaca a su hijo con la frecuencia de resonancia logrando así un mejor aprovechamiento de su energía. Mi hija Gabriela en ocasiones hamaca a mi otro hijo Fede, pero aún no ha logrado aprender la mejor manera de aprovechar su energía. Muchas veces empuja la hamaca antes de que ésta haya llegado a su máximo desplazamiento, por lo cual, en lugar de acelerarla la frena, quitándole energía, y por consiguiente Gabi sufre un empujón hacia atrás. En su inconsciente aún no se ha internalizado el fenómeno de resonancia.

Podemos extender el concepto de resonancia a muchos procesos en los cuales hay condiciones favorables para la transferencia de energía de un sistema a otro.

Quizás el ejemplo más familiar de resonancia sea lo que sucede cuando sintonizamos una radio en una determinada estación radioemisora. Todas las estaciones radioemisoras están produciendo todo el tiempo oscilaciones forzadas en el circuito receptor (oscila la corriente eléctrica). Pero, para cada posición del sintonizador, corresponde una frecuencia natural de oscilación del circuito eléctrico receptor. Cuando esta frecuencia coincide con aquella de la radio emisora, la energía absorbida es máxima, y por ello es la única estación que podemos oír. Si dos estaciones tienen frecuencias muy próximas, algunas veces las oímos simultáneamente, lo que da lugar a un efecto de interferencia.

Potencia media entregada por la fuerza externa

ω (rad/seg)

Figura 2-8: Gráfico de la potencia media entregada por la fuerza externa, en función de la frecuencia ω


96

La energía que absorbe un átomo de un campo eléctrico oscilante es máxima cuando la frecuencia del campo coincide con una de las frecuencias naturales del átomo. Como por ejemplo el caso del horno microondas, en donde la frecuencia (de microondas) utilizada coincide con una de las frecuencias naturales de vibración de la molécula de agua. Es posible hallar resonancias en reacciones nucleares y en procesos que tienen lugar entre partículas elementales. El concepto de resonancia juega un papel importante en la descripción de muchos fenómenos físicos.

h) ¿Cuánto vale la fase 2δ en resonancia ( 0ω=ω )?. Resp. δπ

2 2= − .

i) Importante. Analice el significado físico del resultado δπ

2 2= − , compare la

velocidad de la masa ( )&Ψ2 t con la ( )F F text = 0 cos ω . Respuesta: La velocidad de la masa la obtenemos derivando la función )(2 tΨ ,

( )222 sen)( δ+ωω−=Ψ tAt&

y en resonancia δπ

2 2= − , por ende,

( )tAtAt ωω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−ωω−=Ψ cos

2sen)( 222

&

por lo cual, en resonancia, la velocidad se halla en fase con la Fuerza impulsora, ya que ambas son proporcionales a la función coseno.

La máxima transferencia de potencia se logra cuando la fuerza externa se halla

en fase con la velocidad de la masa oscilante (pensar en una madre hamacando a su hijo, que empuja acompañando el desplazamiento).

j) Demuestre que en resonancia las fuerzas impulsora )cos(0 tF ω y amortiguadora

)( tbΨ− & se compensan en todo instante, resultando nula la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema.

k) Calcule la energía mecánica total del oscilador.

Resp. ( ) ( )[ ]2222

022

2 cos 21)( δ+ωω−ω+ω= tmAtEtotal ,

Comentario: note que tiene dependencia temporal, ¿qué significa esto?.


97

l) Grafique cualitativamente la energía en función del tiempo, observe su variación en el tiempo y discuta.

m) Demuestre que en resonancia la energía total se mantiene constante,

independiente del tiempo. Interprete físicamente.

Respuesta: 22

20

22

21

21)( AkmAtEtotal =ω=

n) Demuestre que fuera de resonancia la energía total se mantiene en promedio

constante en el tiempo. Interprete físicamente.

Ayuda: ( )2

21

21

21 )( 1)(

20

22

222

022

2

0

ω+ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω−ω+ω== ∫ mAmAdttE

TtE

T

Comentario: En promedio, en cada ciclo, la energía total del oscilador se mantiene constante, pero, fuera de la resonancia se encuentra aumentando y disminuyendo armónicamente.

Fuera de la resonancia, la fuerza impulsora en momentos no alcanza a entregarle, al sistema, la energía que disipa por rozamiento y hasta llega a quitarle energía, y en otros momentos pasa lo contrario, es decir, le entrega más de lo que el sistema disipa. En promedio, la energía no varía en un ciclo (en el estado estacionario).

o) Calcule la potencia instantánea cedida por la fuerza externa impulsora al

oscilador. Ayuda: )().()( tFtvtP extext

rr= . Respuesta:

( ) ( )P t A F t tFm

t text ( ) sen( ) cos( )

sen( ) cos= − + = −− +

+ω ω δ ωω

ω ω ωω δ ω2 0 2

02

20

2 2 2 2 2

Γ

p) Calcule la potencia instantánea disipada por la fuerza amortiguadora.

Ayuda: 2)()().()( tbvtFtvtP aa −==rr .

q) Analice la validez de la igualdad dE tdt

P t P text a( ) ( ) ( )= + . Justifique. Si tiene mucho

tiempo verifique la igualdad.

r) Verifique que en resonancia (ω ω= 0 ) la potencia P t P text a( ) ( )= − .


98

Comentario: En resonancia la potencia instantánea entregada por la fuerza impulsora se equipara con la potencia disipada en cada instante, por

consiguiente dE tdt

P t P t P ttotal ext a( ) ( ) ( ) ( )= = + = 0 .

s) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio. 2-4. Curva de resonancia (Recomendado):

Este problema es continuación del problema 2-3, en él queremos asociar el concepto de resonancia con la existencia de condiciones apropiadas para la transferencia de energía de un sistema a otro. Comentario: El objetivo principal del problema es obtener la expresión dada en el último ítem, si decidiera no hacer las cuentas (¡sabia decisión!), como mínimo, analice la expresión y grafique Pext en función de la frecuencia impulsora ω. a) Calcule la potencia media cedida por la fuerza impulsora, es decir el promedio de

la potencia Pext en un ciclo, use la expresión de la potencia externa hallada en el ítem o) del ejercicio anterior, es decir,

( ) ( )P t A F t tFm

t text ( ) sen( ) cos( )

sen( ) cos= − + = −− +

+ω ω δ ωω

ω ω ωω δ ω2 0 2

02

20

2 2 2 2 2

Γ

Ayuda: PT

P t dtext ext

T= ∫

10

( ) . donde T = 2π

ω.

Use la identidad trigonométrica sen( ) sen( ) cos( ) cos( ) sen( )a b a b a b+ = + , y que

cos ( ) cos ( )2 2

0

1 12

ω ωtT

t dtT

= ∫ =

. y

cos( ) sen( ) cos( ) sen( )ω ω ω ωt tT

t t dtT

= ∫ =1 00

Respuesta:

P A FFmext = − = −

− +2 0 2

02

20

2 2 2 2 22ω δ

ω

ω ω ωδsen( )

( )sen( )

Γ


99

Del problema anterior sabemos que,

δω ω

π δ2 20

2 2 0=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − ≤ ≤arctg

Γω con

Resulta fácil demostrar que,

sen( )( )

δω ω ω

2 20

2 2 2 2= −

− +

Γω

Γ

y usando esta expresión reescribimos el valor de la potencia impulsora media como:

PFmext =

− +02 2

202 2 2 22

ΓωΓ( )ω ω ω

2-43

b) Recomendado: Grafique Pext en función de la frecuencia impulsora ω , use los

datos dados en el problema anterior. ¿A qué frecuencia la potencia media impulsora es máxima?.

c) Calcule el valor de Pext max . Resp. PF

mext max = 02

2Γ, cuando ω ω= 0 .

d) Llamando P Pext max0 = , reescriba Pext en función de P0 .

Resp. P Pext =− +0

2

02 2 2 2 2

ΓΓ

ωω ω ω

2

( ). 2-44

Comentario: El gráfico de la potencia media entregada al sistema como función

de la frecuencia ω , se obtiene a partir del programa Mathematica (ver figura 2-9),

m=1; gamma=1; w0=20; f0=5; p0=f0/(2*gamma*m)) p[w_ ]=p0*gamma^2*w^2/((w^2-w0^2)^2+gamma^2*w^2);


100

Plot[p[w],{w,0,50}, PlotPoints->500,PlotRange->{0,1.1*p0}, Axes->True,AspectRatio->0.7, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}];

donde claramente se observa que el sistema absorbe el máximo de energía cuando la frecuencia externa concuerda con la frecuencia natural del sistema. Cerca de esa frecuencia la potencia absorbida es alta. El ancho de la curva depende de la constante de amortiguamiento Γ , como veremos en el ejercicio siguiente.

En sintonía de estaciones radiales, ese ancho se conoce con el nombre de ancho de banda. Si quisiéramos tener una sintonía muy selectiva a la frecuencia emisora deberíamos disminuir ese ancho. En un circuito eléctrico la constante de amortiguamiento Γ está relacionada con la resistencia eléctrica.

e) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio. 2-5. (Recomendado leerlo). Este problema es continuación de los problemas 2-3 y 2-4. Queremos relacionar el ancho de la curva de resonancia (gráfico de Pext ) con la constante de amortiguación Γ = b m/ , y con el valor del factor Q cuando la resonancia es aguda.

ω0

P0

<P>

ω

Γ

Figura 2-9: Gráfico de la potencia media entregada por la fuerza externa, en función de la frecuencia ω


101

Para estudiar el ancho de la curva de resonancia, a) Verifique que los valores de ω para los cuales Pext vale la mitad de

P Pext max0 = satisfacen la ecuación:

( )ω ω ω02 2 2 2 2− = Γ

b) Verifique (reemplazando en la expresión anterior) que los valores de ω para los cuales la potencia media vale la mitad de P0 son aquellos que cumplen ω ω2

02= ± Γω y que las dos soluciones positivas son,

ω ω1 02 21

412

= + +Γ Γ . y ω ω2 02 21

412

= + −Γ Γ

Se llama ancho completo de frecuencia a potencia semimáxima, o simplemente

ancho completo de resonancia a Δω = −ω ω1 2 . Demostrar que Δω Γ= =1τ

, donde

τ es tiempo medio de decaimiento definido en el problema 2-1. Comentario: Hemos encontrado una relación muy importante entre el ancho

completo de resonancia para oscilaciones forzadas y el tiempo de decaimiento para oscilaciones libres:

Δω.τ libre = 1 2-45

este resultado es muy general. Se cumple no sólo para sistemas de un grado de libertad, sino también para sistemas de muchos grados de libertad.

c) Analice el significado físico de este último hecho, analice como varía el ancho

de la curva en función de la intensidad de la amortiguación. d) En el problema 2-1 se demostró que, para un oscilador libre amortiguado, el factor

Qlibre vale,

Q m blibre = =ω ω/ / Γ

e) En curvas de resonancia agudas (amortiguamiento pequeño), podemos aproximar ω ω≈ 0 . Usando esta aproximación muestre que,

Qlibre ≅ω0

Δω 2-46

es una medida de la agudeza de la curva de resonancia.


102

2-6. (Repaso). Un objeto de m kg= 2 oscila sobre un muelle de constante elástica k N m= 400 / . La constante de amortiguamiento es b kg seg= 2 / . Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10N y frecuencia angular ω = 10rad seg/ . a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones estacionarias? b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la

resonancia?. c) Hallar la amplitud de las vibraciones en resonancia. d) ¿Cuál es el ancho Δω de la curva de resonancia? 2-7. (Recomendado). Se puede ejercer una fuerza externa, sobre un objeto sujeto a un muelle, desplazando el soporte hacia arriba y hacia abajo, como se muestra en la figura 2-10. La masa (m kg= 1 ) cuelga del soporte móvil por medio de un resorte de constante elástica k N m= 400 / y longitud relajada de cml 100 = . Supondremos que el soporte posee un movimiento oscilatorio armónico, de frecuencia ω y amplitud syΔ , descripto por la ecuación: ( ) ( )tyty ss ωΔ= cos . Suponiendo que el rozamiento puede despreciarse, a) Importante. Plantee la ecuación dinámica del sistema. Resp. ( ) ( )( ) mgltyykmglyykym ss +−ωΔ−−=+−−−= 00 cos&& ⇒

( ) ( )tymkgly

mky s ωΔ=−−+ cos0&&

ys El soporte vibra hacia arriba y hacia abajo, con frecuencia ω

y Fig. 2-10


103

b) Verifique que la siguiente función es solución de la ecuación diferencial anterior:

equiytBtAty +ω+δ+ω= )cos()cos()( 0

donde, k

mglyequi += 0 , syB Δω−ω

ω= 22

0

20 ,

mientras que A y δ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. c) Compare la ecuación dinámica y su solución con la analizada en el ejercicio 2-3.

Discuta. d) Suponiendo que a 0=t la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio

equiy , demuestre que la evolución dinámica de la masa se describe por:

( ) equis yttyty +ω+ω−Δω−ω

ω= )]cos()cos([ 022

0

20

e) Analice lo que sucede cuando la frecuencia de excitación ω es cercana a la

natural 0ω . Ayuda: Use que (verifique),

( )ttttLim

ω=ω−ω

ω−ωω→ω

sen )cos()cos(

0

0

0

Usando esto compruebe que,

( ) equis yttyty +ωΔω

⎯⎯ →⎯ ω→ω )sen( 2 0

00

f) Analice detenidamente este resultado y compare con lo hallado en el ejercicio 2-3.

Grafique. 2-8. Circuito RLC (Optativo). Con este ejercicio queremos enfatizar que el fenómeno de resonancia trasciende al sistema masa-resorte. Comprobaremos que en un circuito eléctrico RLC alimentado con un generador de corriente alterna (formado por una resistencia una bobina y un capacitor), la carga eléctrica evoluciona según una ecuación dinámica equivalente a la estudiada en el sistema masa-resorte. El circuito RLC que estudiaremos se muestra en la figura 2-11.


104

a) Plantee a partir de la ley de Kirchoff, la ecuación diferencial que rige la evolución de la intensidad de corriente eléctrica I.

Resp. ( )LdIdt

QC

IR V t+ + = max cos ω o reemplazando dtdQI = ⇒

( )Ld Qdt

QC

RdQdt

V t2

+ + = max cos ω

b) La ecuación diferencial anterior resulta equivalente a la ecuación dinámica del

sistema masa-resorte. Determine la equivalencia entre cada una de las variables, por ejemplo, ¿quién hace las veces de masa en el circuito eléctrico? ¿Cuál de constante elástica?. A partir de su conocimiento del sistema masa-resorte, discuta sobre la evolución del sistema eléctrico.

c) Muestre que la frecuencia de resonancia del circuito es ω02 1=

LC. Discuta.

L

R

C

( ) ( )tVtV max ω= cos

Fig. 2-11


105

Bibliografía: • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Curso de Física de Berkeley, Mecánica, Vol. 1 Ed. Reverté. • Curso de Física de Berkeley, Oscilaciones y Ondas, Vol. 3 Ed. Reverté. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Capítulo 3

Oscilaciones libres de sistemas con más de un grado de libertad.

Modos normales.


109

Introducción:

Hasta el momento, hemos estudiado la evolución dinámica de sistemas formados por una sola partícula obligada a moverse en una única dimensión, por lo cual, sólo hemos necesitado una coordenada para describirlos (x t( ) ). Decimos que estos sistemas poseen un sólo grado de libertad. En este capítulo estudiaremos el comportamiento oscilatorio presente en sistemas de más de una partícula, y con más de un grado de libertad, por lo cual, necesitaremos más de una coordenada para describirlos. Comprobaremos que el movimiento general de un sistema con muchos grados de libertad puede tener una apariencia muy complicada; donde ninguna de sus partes se mueve con un movimiento armónico simple, pero sin embargo, si sus ecuaciones de movimiento son lineales, el movimiento más general se puede describir como la superposición de movimientos armónicos simples. Estos movimientos armónicos simples, se denominan modos normales o modos resonantes, o simplemente modos. Cada modo tiene su frecuencia característica y existirán tantas frecuencias de resonancia como modos normales haya en el sistema. Los ejercicios recomendados son el 2, 3, 4 y 7. 3-1. Guía teórica. Grados de Libertad de un Sistema. (la lectura de esta guía teórica no es indispensable para la comprensión del resto del capítulo, en una primera lectura puede saltearse).

Es bien sabido que para describir la evolución de una partícula en el espacio resulta necesario la utilización de tres coordenadas, por ejemplo las tres coordenadas cartesianas ( )x t y t z t( ), ( ), ( ) , por ello, decimos que el sistema posee tres grados de libertad. Si por alguna razón, la partícula estuviera obligada a moverse sobre una superficie, podríamos eliminar una de las coordenadas, necesitando solamente dos, en éste caso decimos que el sistema posee dos grados de libertad. Si el sistema consiste de dos partículas moviéndose en el espacio, para describirlo hacen falta tres coordenadas para cada partícula, por lo cual, decimos que el sistema posee seis grados de libertad. Y en general, un sistema de N partículas moviéndose en el espacio tiene 3N grados de libertad. En muchos sistemas físicos aparecen ligaduras entre las partículas, por ejemplo, en un sólido rígido ideal suponemos que las distancias entre las partículas permanecen inalteradas, como si estuvieran unidas por barras rígidas (sin masa). El efecto de estas ligaduras es el de disminuir la cantidad de coordenadas necesarias para describir el sistema, o sea, disminuir los grados de libertad.

Oscilaciones libres de sistemas con más de un grado de libertad. Modos normales

110

Un ejemplo simple e ideal, es el de dos masas unidas por una barra rígida sin masa, moviéndose en el espacio, como muestra la figura 3-1. Sin la barra, el sistema tiene 6 grados de libertad, 3 por cada partícula. Pero con la barra, ya no hacen falta 6 coordenadas para describirlo. Determinando las tres coordenadas de la partícula 1, y colocando el sistema de coordenadas en ella (ver figura 3-1), vemos que como la distancia entre ambas no puede cambiar (barra rígida), sólo hacen falta dos ángulos para determinar la posición de la partícula 2, los ángulos θ y φ. Por lo cual, sólo se necesitan 5 coordenadas para describir al sistema, o sea, el sistema tiene 5 grados de libertad. En general, cada ligadura rígida hace disminuir en una unidad el número de grados de libertad. Si el sistema tiene N partículas, y un número de ligaduras k (no-dependientes entre sí), entonces el número de coordenadas independientes, o grados de libertad, resulta,

Número de grados de libertad= −3N k 3-1

Esto puede entenderse si pensamos que cada ligadura puede representarse matemáticamente por una ecuación, en el ejemplo anterior,

r rr r d distancia fija2 1− = =

Cada ecuación de ligadura, introduce una dependencia entre las coordenadas de una partícula y las de la otra, disminuyendo de esta forma, la cantidad de coordenadas independientes. Podría darse el caso de que las ligaduras formen un sistema de ecuaciones dependientes entre sí, por ejemplo, supongamos el sistema formado por cuatro partículas puntuales, contenidas en un plano, como muestra la figura 3-2. En principio, para describir el sistema, resulta necesario dos coordenadas por partícula, 8

θ

φ1

2

Figura 3-1: Sistema formado por dos masas puntuales, unidas por una barra rígida sin masa.


111

en total, pero debido a las ligaduras existentes en el sistema, comprobaremos que posee sólo 3 grados de libertad. r r

r r d distancia fija2 1− = =

⇒ r rr r d distancia fija3 2− = =



r rr r d distancia fija3 1− = ′ =

r rr r d distancia fija4 2− = ′′ =

Las 6 ecuaciones de ligadura (ver figura 3-2) no son independientes, ya que alcanzan sólo 5 barras (en el plano), la 1− 2 , 2 − 3 , 3 − 4 , 4 − 1 y 3 − 1 para que la distancia 2 − 4 quede determinada, es decir, la barra 2 − 4 y la ecuación r rr r d distancia fija4 2− = ′′ = no introducen ninguna información nueva, son dependientes de las primeras 5 ligaduras. O sea, el sistema tiene 5 ecuaciones de ligadura independientes. Las 5 ecuaciones de ligadura relacionan entre sí a las coordenadas del sistema, por esta razón, el sistema de la figura 3-2, posee sólo,

8 5 3− = (tres) grados de libertad.

Dos grados de libertad determinan el centro de masas (en el plano) y el tercero puede ser un ángulo que describe las rotaciones. A partir de la discusión anterior, concluimos que en la expresión 3-1, el número k, indica el número de ligaduras independientes, que en el ejemplo anterior son sólo 5. Volviendo al ejemplo del sólido rígido, éste posee N partículas unidas de a dos con una barra imaginaria, por lo cual tiene un número de ligaduras igual a,

( )( )

N NN

N N N2 2 2

12

1 3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−= − >>

!! !

(es mucho mayor que 3N , para N > 8)

1

2 4

3

Figura 3-2: Sistema formado por 4 masas puntuales, unidas por 5 barras rígidas, sin masa.


112

Por supuesto, si el número de ligaduras es mayor que 3N , seguramente no todas ellas son independientes, ya que si no el número de grados de libertad sería nulo o negativo. No es difícil ver que el número de grados de libertad de un sólido rígido ideal es 6. Intuitivamente vemos que sí conocemos las coordenadas de 3 puntos del sólido, que no se hallen sobre una misma línea, éste queda descripto, por lo cual ya vemos que con sólo 9 coordenadas alcanza, ver figura 3-3. Pero como además tenemos las ligaduras existentes entre cada uno de los tres puntos, el número de coordenadas necesarias baja en tres unidades. Por lo cual, el número de grados de libertad de un sólido rígido ideal resulta ser 6. Grados de libertad de traslación, rotación y vibración. Las coordenadas que realmente terminan siendo independientes en un sistema no necesariamente son todas coordenadas cartesianas. En el ejemplo discutido antes, de las dos partículas unidas por una barra, el sistema puede describirse mediante 3 coordenadas cartesianas y 2 ángulos. En general, las coordenadas elegidas son aquellas que permiten realizar más simplemente la descripción del sistema, y en algunos casos se las puede asociar a algún tipo especial de movimiento. Comúnmente lo que resulta más simple es reservar 3 coordenadas para la descripción del centro de masas del sistema. Esas 3 coordenadas permiten describir traslaciones en el espacio del sistema como un todo, por esta razón decimos que son grados de libertad de traslación. En el caso del sólido rígido, 3 grados de libertad determinan su centro de masas, y como dijimos describen traslaciones rígidas del sólido. Las otras 3 coordenadas son ángulos que determinan la orientación en el espacio del sólido. La variación de estas coordenadas angulares representan movimientos de rotación, por ello decimos que estas 3 coordenadas son grados de libertad de rotación.

1

2 3

Figura 3-3: Sólido rígido. Identificando 3 puntos es posible describir al sistema.


113

Supongamos un sistema formado por dos partículas unidas por un resorte sin masa, o “su análogo”, molécula formada por dos átomos interactuando electrocuánticamente, ver figura 3-4.

El sistema posee 6 grados de libertad, ya que el resorte no es una ligadura rígida, y por ende, no restringe para nada el número de grados de libertad. 3 grados de libertad los asociamos a la descripción del centro de masas de la molécula (3 grados de libertad de traslación). Dos grados de libertad son asociados a coordenadas angulares, que fijan la orientación en el espacio de la molécula, por lo cual corresponden a grados de libertad de rotación. Nos falta aún considerar, un grado de libertad. Ese grado de libertad corresponde a la coordenada que describe la distancia relativa entre los átomos. La variación de esta coordenada corresponde a movimientos oscilatorios, por lo cual, decimos que corresponde a un grado de libertad de vibración. 3-2. (Recomendado). Analice cuántos grados de libertad tienen los siguientes sistemas, especifique cuántos de traslación, de rotación y de vibración: a) Una partícula puntual, en el plano. b) Una partícula puntual, en el espacio. c) Dos partículas puntuales. d) N partículas puntuales. e) Dos partículas puntuales unidas rígidamente a una distancia l fija (Ligadura sin

masa). f) Dos partículas puntuales unidas por un resorte sin masa. g) Una molécula diatómica. h) Una molécula triatómica. i) Un sólido rígido. 3-3. Ejercicio Teórico: Centro de masas y Coordenada Relativa (Recomendado):

En este ejercicio estudiaremos un sistema simple, ideal, pero que sirve como modelo o prototipo de sistemas más complejos tal como, por ejemplo, el de una molécula diatómica.

Fig. 3-4


114

Considere el sistema de dos masas puntuales kgma 1= y kgmb 2= acopladas por un resorte de constante elástica k N m= 400 / y longitud relajada

cml 100 = , como se muestra en la figura 3-5 (no consideramos rozamiento ni ninguna otra fuerza más que la elástica de interacción entre las masas), a) Indique ¿cuántos grados de libertad tiene el sistema?, ¿cuántos modos de

oscilación posibles tiene?, ¿cuántos de traslación y de rotación?. Considerando sólo el caso unidimensional, b) Halle las ecuaciones dinámicas de ambas masas.

Resp. ( )

( )0abb

0aba

)t()t( )t(

)t()t( )t(

lxxkxm

lxxkxm

b

a

−−−=

−−+=

&&

&&

3-3

2-3

Observe que el signo más, que acompaña a la constante elástica k en la primera ecuación, no es el habitual. Discuta.

Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta

la dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la partícula “ a ” depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la posición de la partícula “b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento para la partícula “ a ” sin resolver la de la partícula “ b ”.

Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que desacople el sistema (modos normales de vibración).

Matemáticamente ya veremos como nos damos cuenta de cual es el cambio de variables adecuado, pero físicamente uno podría ya imaginarse que las mejores coordenadas para describir el movimiento de ambas partículas son:

I ) La coordenada del centro de masas del sistema ,

ba

bbaaCM mm

xmxmR

++

= .

BA Fig. 3-5


115

Ya que al no existir fuerzas externas, sabemos que se mueve a velocidad constante (o está quieto), por lo cual la ecuación diferencial correspondiente a la coordenada del centro de masas será simplemente,

0=CMR&&

la cual, nos dice que la aceleración del centro de masas es nula (velocidad

constante). II ) La coordenada que indica la distancia relativa entre las partículas, que

podemos definir como ab xxr −= . Esta coordenada intuimos tiene una evolución oscilatoria armónica, con lo cual seguramente la ecuación diferencial que describe su evolución tiene la pinta,

( )0. arconstanter −−=&& ,

la cual, es una ecuación del tipo oscilador armónico (la constante la

determinaremos luego). Uno podría tratar de obtener estas ecuaciones a partir de las ecuaciones

diferenciales correspondientes a las partículas “ a ” y “b ”, simplemente derivando dos veces a CMR y a r , usando las ecuaciones que las ligan con ax y

bx . Intente hacerlo de esta forma. En el próximo ítem lo haremos apelando a ideas matemáticas.

c) Queremos desacoplar las ecuaciones diferenciales 3-2 y 3-3, para ello debemos

hallar un cambio de variables adecuado que desacople al sistema (modos normales de vibración). Por el momento lo haremos tanteando, pero en la guía teórica 3-8 estudiaremos un método matemático general para desacoplar las ecuaciones diferenciales lineales.

Obtenga dos nuevas ecuaciones, una a partir de sumar las ecuaciones 3-2 y 3-3, y la otra, multiplicando la ecuación 3-3 por am y restándole la ecuación 3-2 multiplicada por bm . Analice el por qué de este procedimiento.

Resp. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0

0

ltxtxmmktxtxmm

txmtxm

abbaabba

bbaa

−−+−=−

=+

&&&&

&&&&

5-3

4-3


116

d) Ahora se ve claro que, si hacemos un cambio de variables adecuado, las ecuaciones diferenciales se desacoplan. Proponga el cambio de coordenadas:

coordenada centro de masas ba

bbaaCM mm

xmxmR

++

= 3-6

y, coordenada relativa ab xxr −= 3-7

y compruebe que las ecuaciones diferenciales 3-4 y 3-5 quedan:

0=CMR&& 3-8

la cual, expresa que el centro de masas se mueve a velocidad constante, y

( )0lr

mmmmkr

ba

ba

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=&& 3-9

que corresponde a una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico.

Reconocemos la aparición de la masa reducida:

μ =+

m mm m

a b

a b

, 3-10

por lo cual, la ecuación diferencial para la coordenada relativa puede escribirse como,

( )0lrkr −μ

−=&& , 3-11


117

Comentario: Observe que la ecuación diferencial de la coordenada relativa es equivalente a la ecuación diferencial correspondiente al oscilador armónico con sólo una masa. Al pasar a coordenadas relativas hemos transformado el problema de dos cuerpos en un problema equivalente de un sólo cuerpo de masa

igual a la masa reducida μ , oscilando con frecuencia μ

=ω k2 .

e) Halle las frecuencias asociadas a cada movimiento (modos normales de

oscilación). Resp. 02

1 =ω (modo de traslación del centro de masa, no oscila)

μ

=ω k22 (modo de oscilación de la coordenada relativa)

Comentario: Se dice que un sistema está en un determinado modo de vibración

(armónico), cuando todas las partes móviles que lo componen oscilan con la misma frecuencia y fase.

f) Halle la ley de movimiento de cada modo.

Resp. ( )δ+ω+= tAltr 20 cos )( (modo de oscilación de la coordenada relativa)

0 )( RtVtR CMCM += (modo de traslación del centro de masa). g) Obtenga las leyes de movimiento )(txa y )(txb .

Resp. )()()( trmm

mtRtx

ba

bCMa +

−= y )()()( trmm

mtRtx

ba

aCMb +

+=

Comentario: Note que las posiciones de ambas masas dependen linealmente de la

función armónica )(tr , por lo cual, podemos concluir que ambas oscilan con la misma frecuencia y fase, es decir, se hallan en un determinado modo de vibración (armónico).

h) A partir del resultado anterior, compruebe que como ba mm < entonces la

partícula “ a ” tiene una amplitud de oscilación mayor que la “b ” (ya que las fuerzas que les hace el resorte son las mismas mientras que las masas son distintas).


118

i) Importante. Halle la amplitud de la oscilación A si sabe que la energía mecánica

de oscilación es de E joule= 1 . j) Importante. Halle la fase δ si a t = 0 el resorte pasa por la posición de equilibrio. k) Importante. Demuestre que la energía mecánica, puede expresarse, en las nuevas

coordenadas, como:

( ) ( )20

22 21

21

21 lrkrRmmE CMba −+μ++= &&

Discuta el significado físico de cada uno de los términos.

l) Demuestre la relación entre las energías cinéticas que se lleva cada masa es,

a

bbc

ac

mm

EE

=

Analice el caso en que una masa es mayor que la otra, por ejemplo ba mm < . Discuta.

m) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes aprendidos en el ejercicio.

3-4. Modelo de Molécula Diatómica (Recomendado. Paradigmático):

La energía potencial de interacción, entre dos átomos de igual masa m, que

forman una moléculas diatómica, puede aproximarse por la expresión,

E r Vrr

rrp ( ) = − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

00

60

12

2 ,

donde V0 y r0 son constantes positivas y r es la separación entre las moléculas.


119

a) Halle la masa reducida del sistema. Resp. μ =m2

b) Grafique E rp ( ) . Ayúdese con el Mathematica. Respuesta: ver figura 3-6

c) Sobre la base del gráfico anterior, determine el rango de energía (total), para el

cual la molécula permanece ligada. Para energías superiores, discuta como evoluciona el sistema.

d) ¿Cuál es la mínima energía mecánica que puede tener el sistema?. Si el sistema posee esa energía mínima, ¿cuánta energía debe entregarse a la molécula para destruirla?. ¿con que energía cinética se liberan los átomos?. Discutir.

e) Suponga que el sistema está ligado, proponga una energía y halle gráficamente el rango de distancias relativas permitidas en la molécula.

f) Halle la posición de equilibrio y el valor de la energía potencial en el punto de

equilibrio. Ayuda: recordar que

p

rE

F∂∂

−= y en el equilibrio F = 0.

g) Grafique F en función de r . Discuta sobre la magnitud y sentido de la fuerza para distancias mayores y menores que la distancia de equilibrio.

h) Importante. Suponga que el sistema está ligado, y le interesa analizar sólo las pequeñas oscilaciones de la molécula alrededor del equilibrio. Haga un desarrollo en serie de potencias (Taylor) de la energía potencial y aproxímela con los términos de menor orden (hasta orden 2).

Ep

−V0

r0

r

Figura 3-6: Energía potencial de interacción, entre dos átomos, que forman una moléculas diatómica


120

Ayuda: ( ) ( )E r E rd E

drr r

d E

drr rp p

p p( ) ( ) .....= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − +0 2 0

23 0

312

16

0 0

2

r

3

r

donde se ha usado que d Ed r

p

r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0

0 .

Resp. ( ) 02

021)( VrrkrE p −−≈

donde kV

r=

72 0

02 es una constante equivalente a la constante elástica del

resorte. ¿Influye la constante 0V− en la dinámica del sistema?. Discuta. i) Importante. Grafique el potencial exacto y el aproximado juntos. Discuta.. j) Importante. Con esta aproximación halle la frecuencia angular de oscilación.

Resp. =

ωμ

2 0

02

72 Vr

donde μ es la masa reducida.

k) Muy Importante. En esta aproximación, escriba la ecuación dinámica para la variable r.

3-5. (Repaso). La frecuencia de oscilación de una molécula en movimiento térmico es de 1013 Hz , aproximadamente. La masa es del orden de 10 22− g . ¿Cuál es la constante del resorte equivalente?. 3-6. (Repaso). Suponga que la energía potencial de interacción, entre dos moléculas de igual masa m , puede aproximarse por la expresión, ( )[ ]2

001)(

rrap e-VrE −−= ,

donde r es la separación entre los cuerpos. Grafique )(rE p y repita el análisis energético y dinámico (en la aproximación de pequeñas oscilaciones) realizado en el ejercicio 3-4. 3-7. Ejercicio Teórico: Modos Normales de Vibración (Recomendado):

Considere el sistema de dos masas m kg= 1 iguales acopladas por resortes de constante elástica k N m= 500 / , de longitud relajada ml 10 = , que pueden deslizar


121

libremente sobre una superficie sin ningún tipo de rozamiento, como se muestra en la figura 3-7.

Estudiaremos únicamente las oscilaciones longitudinales (en la dirección de x) alrededor del equilibrio: a) Verifique que las ecuaciones dinámicas (ecuaciones de Newton) que describen la

evolución de las masas A y B son:

( ) ( )

( )[ ] ( )0ab0bb

0ab0aa

)t()t( )t( )t(

)t()t( )t( )t(

lxxklxLkxm

lxxklxkxm

−−−−−+=

−−+−−=

&&

&&

13-3

12-3

Ayuda: recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al estiramiento del resorte respecto de su longitud relajada. Por consiguiente, lo primero que debe hacer es hallar la longitud del resorte en función de las coordenadas ( )x ta y

( )x tb . Compruebe que la longitud del resorte de la izquierda resulta,

( )L x ta1 =

La longitud del resorte del medio es,

( ) ( )L x t x tb a2 = −

Mientras que la longitud del resorte de la derecha es,

( )L L x tb3 = −

Deténgase a pensar el signo que le corresponde a cada término, correspondiente a las fuerzas elásticas de cada resorte.

b) Halle las posiciones de equilibrio de las masas. Resp. 3

equi Lxa = y 32equi Lxb =

x L=3m

BAFig. 3-7


122

c) Verifique que describiendo el sistema a partir de sus posiciones de equilibrio, las ecuaciones de movimiento son:

( )

( ) )t( )t()t()t(

)t()t()t( )t(

babb

abaa

Ψ−Ψ−Ψ−=Ψ

Ψ−Ψ+Ψ−=Ψ

kkm

kkm

&&

&&

15-3

14-3

Ayuda: Haga el cambio de variables,

equiaaa xx −=Ψ y equi

bbb xx −=Ψ 3-16

Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta nuevamente la dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la partícula “ a ” depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la posición de la partícula “b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento para la partícula “ a ” sin resolver la de la partícula “b ”.

Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que desacople al sistema (modos normales de vibración). Por el momento lo haremos tanteando, pero en la guía teórica 3-8 estudiaremos un método matemático general para desacoplar las ecuaciones diferenciales lineales.

d) Sume y reste las ecuaciones diferenciales 3-14 y 3-15 y observe que haciendo un

nuevo cambio de variables,

)()()( ba1 ttt Ψ+Ψ=Ψ y )()()( ba2 ttt Ψ−Ψ=Ψ 3-17

(coordenadas normales de oscilación), éstas se desacoplan, con lo cual se obtienen dos nuevas ecuaciones del tipo oscilador armónico.

Resp. )t(3)t(

)t( )t(

22

11

Ψ−=Ψ

Ψ−=Ψ

mk

mk

&&

&&

19-3

18-3

e) A partir de lo hallado en el ítem anterior proponga la solución de las ecuaciones

diferenciales correspondientes a los modos normales. Respuesta:

( )1111 cos )( δ+ω=Ψ tAt y ( )2222 cos )( δ+ω=Ψ tAt 3-20


123

f) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación 1ω y 2ω .

Respuesta:

ω12 =

km

y ω22 3=

km

3-21

Comentario: Las amplitudes y las fases dependen de las condiciones iniciales del

movimiento. g) Sabiendo que )()()( ba1 ttt Ψ+Ψ=Ψ y )()()( ba2 ttt Ψ−Ψ=Ψ , halle la solución

general de las ecuaciones de movimiento para cada masa, es decir halle )(a tΨ y )(b tΨ .

Resp. ( ) ( )222

11121

a cos 2

cos 22

)()()( δ+ω+δ+ω=

Ψ+Ψ=Ψ t

At

Attt 3-22

( ) ( )222

11121

b cos 2

cos 22

)()()( δωδω +−+=

Ψ−Ψ=Ψ t

At

Attt 3-23

Comentario: El movimiento general de un sistema con dos grados de libertad

puede tener una apariencia muy complicada; ninguna parte se mueve con un movimiento armónico simple. Sin embargo, se ha mostrado en este ejercicio que, para dos grados de libertad cuyas ecuaciones de movimiento son lineales, el movimiento más general es la superposición de dos movimientos armónicos simples, ambos ocurriendo simultáneamente. Estos dos movimientos armónicos simples, se denominan modos normales, modos resonantes, o simplemente modos. Como veremos en los próximos ítems mediante una elección apropiada de las condiciones iniciales, podemos poner el sistema a oscilar en un sólo modo o el otro. Los modos están desacoplados aunque las partes móviles no lo estén.

Cuando sólo está presente un modo, cada parte móvil desarrolla un movimiento armónico simple. Todas las partes pasan al mismo tiempo por la posición de equilibrio simultáneamente, es decir, oscilan no sólo con la misma frecuencia sino también con la misma fase (o contrafase). Que todas las partículas del sistema oscilen con la misma fase tiene como consecuencia fundamental que todas ellas pasen simultáneamente por la posición de equilibrio.

Cada modo tiene su frecuencia característica y una configuración característica o forma de oscilación, dada por la relación de las amplitudes de movimiento de las partes móviles. Por ejemplo, en este ejercicio se halló que,


124

Para el modo 1: Las masas se hallan oscilando en el modo 1, siempre y cuando,

las condiciones iniciales de movimiento sean las adecuadas para que se anule la amplitud 2A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 02 =A (pensar como debe iniciarse el movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con la misma frecuencia, fase y amplitud, tal como puede deducirse de sus ecuaciones de movimiento,

( )111

a cos 2

)( δ+ω=Ψ tA

t y ( )111

b cos 2

)( δ+ω=Ψ tA

t

Se mueven las dos exactamente igual, o sea, van las dos juntas siempre hacia el

mismo lado sin estirar el resorte del medio, ver figura 3-8,

)()( ba tt Ψ=Ψ (Modo 1)

Para el modo 2: Las masas se hallan oscilando en el modo 2, siempre y cuando,

las condiciones iniciales del movimiento sean las adecuadas para que se anule la amplitud 1A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 01 =A (pensar como debe iniciarse el movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con la misma frecuencia, fase y amplitud pero con signo contrario, tal como puede deducirse de sus ecuaciones de movimiento,

( )222

a cos 2

)( δ+ω=Ψ tA

t y ( )222

b cos 2

)( δ+ω−=Ψ tA

t

o sea, se desplazan lo mismo pero en direcciones opuestas, ver figura 3-9,

Figura 3-8: Esquema de movimiento correspondiente al modo 1.


125

)()( ba tt Ψ−=Ψ (Modo 2)

Observamos que en el modo 2 se estira el resorte del medio, por consiguiente, hace

falta mayor energía para lograr la misma amplitud de oscilación que en el modo 1. En general a mayor frecuencia, del modo normal, hace falta mayor energía para lograr igual amplitud de oscilación que la correspondiente a los modos de menor

frecuencia. Si se aplica una fuerza impulsora armónica al sistema y se varía su

frecuencia (lentamente), se obtiene una resonancia cada vez que la frecuencia impulsora concuerde con alguna de las frecuencias de un modo. En sistemas con más grados de libertad existen tantas frecuencias de resonancia como modos normales haya.

h) Importante: Suponga que inicialmente desplaza la masa “ a ” una distancia 2 A

hacia la derecha y la suelta (velocidad inicial cero), mientras que la masa “b ” permanece en reposo, o sea, las condiciones iniciales son,

Ψa ( )0 2= A , y Ψb ( )0 0= , & ( )Ψa 0 0= y & ( )Ψb 0 0= .

Halle la evolución dinámica del sistema, es decir, halle Ψa ( )t y Ψb ( )t (amplitudes y fases). Ayuda: Como las velocidades iniciales de ambas masas valen cero entonces puede demostrase que las fases δ1 y δ2 valen cero (verifique), halle A1 y A2 .

Resp. ( ) ( )Ψa ( ) cos cost A t A t= +ω ω1 2 y ( ) ( )Ψb ( ) cos cost A t A t= −ω ω1 2

i) Importante. Encuentre las condiciones iniciales de tal forma de excitar sólo el modo más alto (mayor frecuencia). Compruebe analíticamente que con esas condiciones se anula la amplitud A1 0= .

j) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio. k) Importante. Sin hacer cuentas responda, “¿se modifican las frecuencias de

oscilación de los modos normales si, en lugar de estar colocadas las masas sobre



126

una superficie horizontal como en este ejercicio, se cuelgan del techo en posición vertical?”. Discuta. Halle las nuevas posiciones de equilibrio.

l) Optativo. Repita los ítems anteriores para oscilaciones transversales, en la

aproximación de pequeñas oscilaciones.

3-8. Guía teórica. Resolución formal de sistemas dinámicos lineales acoplados:

En esta guía teórica vamos a resolver nuevamente el problema 3-7, pero con herramientas matemáticas más avanzadas que nos permiten desacoplar las ecuaciones dinámicas, y de esta forma hallar los modos normales del sistema en forma mecánica y general para cualquier sistema dinámico lineal. Partimos de las ecuaciones dinámicas lineales acopladas, del problema 3-7,

( )

( ) )t( )t()t()t(

)t()t()t( )t(

babb

abaa

Ψ−Ψ−Ψ−=Ψ

Ψ−Ψ+Ψ−=Ψ

kkm

kkm

&&

&&

25-3

24-3

reagrupando las ecuaciones 3-24 y 3-25, y pasando la masa dividiendo, obtenemos,

)t( 2)t( )t(

)t( )t( 2 )t(

bab

baa

Ψ−Ψ+=Ψ

Ψ+Ψ−=Ψ

mk

mk

mk

mk

&&

&&

27-3

26-3

Llegados a este punto, basaremos nuestro razonamiento en la idea de que estamos buscando los modos normales del sistema, que como sabemos, son aquellos modos de movimiento en donde todas las masas oscilan con la misma frecuencia y fase (pasan todas al mismo tiempo por la posición de equilibrio). Basados en éste conocimiento, proponemos como solución un estado particular en donde el sistema se halla oscilando en uno de los modos normales, del cual aún no sabemos casi nada, salvo que podemos describir la evolución de las masas, en ese modo, mediante funciones de la forma,

( )δ+ω=Ψ tAta cos )( y ( )δ+ω=Ψ tBtb cos )( 3-28

donde las partículas a y b oscilan con igual frecuencia ω y fase δ , mientras que las. amplitudes A y B pueden ser distintas y de signo opuesto (contrafase).


127

Reemplazando las soluciones propuestas en las ecuaciones 3-26 y 3-27 obtenemos,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )δ+ω−δ+ω+=δ+ωω−

δ+ω+δ+ω−=δ+ωω−

tBmktA

mktB

tBmktA

mktA

cos 2cos cos

cos cos 2 cos

2

2

simplificando las funciones coseno, pasando todos los términos del lado derecho, igualando a cero y sacando convenientemente factor común A y B , obtenemos,

0 2

0 2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−+−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

BmkA

mk

BmkA

mk

30-3

29-3

De las ecuaciones 3-29 y 3-30 conocemos la masa m y la constante elástica del resorte k, y no conocemos las amplitudes de oscilación A y B ni la frecuencia de oscilación ω del modo. Pero lo que sí podemos afirmar es que las incógnitas A y B no pueden ser determinadas en forma unívoca hasta no conocer las condiciones iniciales. A lo sumo podemos determinar la relación que deben guardar entre sí A y B, por ejemplo BA = (modo 1) o BA −= (modo 2), pero de las ecuaciones 3-29 y 3-30 no resulta posible extraer el valor de A ni el de B, aunque llegásemos a conocer el valor de la frecuencia ω . Sobre la base de éste razonamiento veremos que podemos obtener la frecuencia ω del modo y la relación existente entre A y B. Las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B (amplitudes) y un parámetro 2ω que debe fijarse convenientemente para que realmente suceda que A y B no queden determinados por 3-29 y 3-30. Para fijar ideas veamos un ejemplo simple, supongamos que creemos que

mk22 =ω es el valor correcto (lo cual es falso, ya que sabemos que no corresponde a

ninguna de las frecuencias correctas mk=ω2

1 y mk32

2 =ω ), con esta frecuencia el

sistema de ecuaciones 3-29 y 3-30 se transforma a (verifique),


128

0

0

=−

=−

Amk

Bmk

⇒ 0

0

=

=

A

B

lo cual no resulta satisfactorio ya que dijimos que no debería resultar posible hallar

los valores exactos de A y B. Por lo cual, la frecuencia mk22 =ω no puede ser

solución, es decir, no puede corresponder a ningún modo normal de vibración del sistema. En general, si observamos detenidamente las ecuaciones 3-29 y 3-30, para casi todos los valores de ω que inventemos obtendremos siempre como solución 0=A y

0=B , ya que las ecuaciones 3-29 y 3-30 son ecuaciones lineales homogéneas, a menos que las dos ecuaciones sean dependientes, con lo cual en lugar de tener dos ecuaciones tenemos en realidad sólo una. Ése es el único caso en que podemos obtener como solución sólo relaciones entre A y B y no la solución trivial 0=A y

0=B . Por lo cual, los únicos valores de frecuencia ω que nos sirven como solución de las ecuaciones dinámicas son aquellos que convierten al sistema de ecuaciones 3-29 y 3-30 en un sistema de ecuaciones dependientes. Hallar estas frecuencias resulta simple si recordamos que el sistema es dependiente sí y sólo sí el determinante asociado al sistema resulta cero. Por ello, planteamos el determinante y lo igualamos a cero,

0.2

2

2 222

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

mk

mk

mk

mk

mk

mk

3-31

obtenemos una ecuación cuadrática donde la incógnita es el cuadrado de la frecuencia 2ω (modos normales de vibración), resolviendo la ecuación cuadrática,

043222 4222

422

=ω+ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−ω+ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

mk

mk

mk

mk

mk 3-32

2

24

2

.44

2

.3.444 222

2 mk

mk

mk

mk

mk

mk

mk

±=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±

=ω 3-33


129

⇒ mkm

kmk

=−

=ω2

2421 y

mkm

kmk

32

2422 =

+=ω 3-34

que concuerdan con las dos frecuencias normales de vibración del sistema, halladas en el ejercicio teórico 3-7. A partir de conocer las frecuencias 1ω y 2ω , podemos ahora hallar la relación existente entre las amplitudes A y B, para cada modo. Hallemos primero la relación entre las amplitudes para el modo 1. Reemplacemos en 3-29 y 3-30 la frecuencia correspondiente al primer modo,

mk=ω 2

1 ,

0 2

0 2

11

11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Bmk

mkA

mk

BmkA

mk

mk

⇒ 0

0

11

11

=+−

=−

BmkA

mk

BmkA

mk

36-3

35-3

como esperábamos las ecuaciones 3-35 y 3-36 son dependientes, y de ellas obtenemos que en el modo 1,

11 BA = 3-37

lo cual significa que ambas masas oscilan con frecuencia mk=ω 2

1 e igual amplitud

(modo 1), ver figura 3-10.



130

De esta forma, una de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales (ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 1, es:

( )111a cos )( δω +=Ψ tAt y ( )111b cos )( δω +=Ψ tAt 3-38 Hacemos lo mismo para el modo 2. Reemplazamos en 3-29 y 3-30 la frecuencia

mk32

2 =ω ,

0 3 2

0 32

22

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Bmk

mkA

mk

BmkA

mk

mk

⇒ 0

0

22

22

=−−

=−−

BmkA

mk

BmkA

mk

40-3

39-3

como esperábamos las ecuaciones 3-39 y 3-40 son dependientes, y de ellas obtenemos que en el modo 2,

22 BA −= 3-41 lo cual significa que ambas masas oscilan con la frecuencia

mk32

2 =ω e igual

amplitud pero de sentido contrario (modo 2), ver figura 3-11.

De esta forma, otra de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales

(ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 2, es:

( )222a cos )( δω +=Ψ tAt y ( )222b cos )( δω +−=Ψ tAt 3-42

Debido a que el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, podemos escribir la solución general del sistema dinámico (ec. 3-24 y 3-25), como combinación lineal de ambas soluciones (principio de superposición),



131

( ) ( )222111a cos cos )( δ+ω+δ+ω=Ψ tAtAt 3-43

( ) ( )222111b cos cos )( δ+ω−δ+ω=Ψ tAtAt 3-44

donde los valores de 1A y 2A se determinan a partir de las condiciones iniciales, e indican la amplitud con que participa cada modo en el movimiento total. Optativo. Ecuación de autovalores y autovectores: Aunque ya hemos hallado la solución del problema, vamos a analizar otra forma matemática de pensarlo, veremos que las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como ecuación de autovalores. Comenzamos por reescribir las ecuaciones 3-29 y 3-30 como,

BBmkA

mk

ABmkA

mk

2

2

2

2

ω=+−

ω=−

46-3

45-3

estas ecuaciones pueden presentarse en una forma matricial equivalente, definiendo las siguientes matrices,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

BA

V y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

mk

mk

mk

mk

M 2

2

3-47

de esta forma, las ecuaciones 3-45 y 3-46 se pueden escribir matricialmente como (verifique),

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

B

A

B

A

mk

mk

mk

mk

2

2

2

ω 3-48

y en forma compacta, como,

VVM 2. ω= 3-49


132

Las ecuaciones 3-48 y 3-49 son ecuaciones que comúnmente se denominan, en Álgebra, ecuación de autovalores, donde, en este caso, el coeficiente 2ω es el autovalor de la matriz M , mientras que la matriz V es el autovector correspondiente a ese autovalor. Según esta ecuación, existen valores especiales del coeficiente 2ω (autovalor) y autovectores V correspondientes, de tal forma que al multiplicar a V por la matriz M sólo obtenemos un múltiplo de éste, es decir, V.2ω . Fácilmente se verifica que si V es un autovector, entonces cualquier múltiplo de éste es también autovector de la matriz M con el mismo autovalor 2ω , por lo cual los autovectores determinan direcciones preferenciales en el espacio, en este caso de dimensión 2. Recordando lo aprendido en los cursos de Álgebra, utilizando esas nuevas direcciones como nueva base del espacio, entonces la matriz M resulta diagonal en esa base, y los autovalores son los elementos de la diagonal. En Álgebra aprendimos a resolver las ecuaciones de autovalores, el concepto es exactamente el mismo que ya hemos discutido. La ecuación 3-48 tiene otra solución que no es la trivial, si y sólo sí se anula el determinante de la matriz siguiente,

02

2

2

2

=ω−−

−ω−

mk

mk

mk

mk

3-50

que es exactamente lo mismo que hallamos en la ecuación 3-31. Por consiguiente de aquí en más las cuentas son las mismas (hacerlas), obteniéndose,

mk=ω2

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1 1

1V (Modo 1) 3-51

mk32

2 =ω ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=11

2V (Modo 2) 3-52

Note que hemos elegido un autovector en particular, pero sabemos que cualquier múltiplo de ellos sirve, y lo único que importa es la relación entre sus componentes,


133

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1 1

1V ⇒ 11 BA = (Modo 1) 3-53

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1 1

2 -V ⇒ 22 BA −= (Modo 2) 3-54

3-9. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el resorte del medio tiene una constante elástica distinta, es decir, en lugar de k posee una constante elástica q . 3-10. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el sistema se halla formado por masas distintas kgma 1= y kgmb 2= . 3-11. (Repaso). Considere dos péndulos acoplados por un resorte de constante elástica k y longitud relajada 0l , con longitud de los hilos l , y con masas m (ver figura 3-12).

Para pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio: a) Verifique que las ecuaciones de movimiento (para pequeñas oscilaciones) son:

( )

( )

mm g

lk

mm g

lk

t t t t

t t t t

a a a b

b b a b

&& ( ) ( ) ( ) ( )

&& ( ) ( ) ( ) ( )

Ψ Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ Ψ

= − − −

= − + −

b) Halle las coordenadas normales. Haga un esquema de la forma en que oscila cada

modo (configuración del modo). Resp. ( )Ψ Ψ Ψ1 1 1 1( ) ( ) ( ) cost t t A t= + = +a b ω δ y ( )Ψ Ψ Ψ2 2 2 2( ) ( ) ( ) cost t t A t= − = +a b ω δ

Fig. 3-12


134

c) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación.

Resp. ω12 =

gl

y ω22 2= +

gl

km

.

d) Importante. Halle la solución general de las ecuaciones de movimiento para cada masa, es decir, halle Ψa ( )t y Ψb ( )t .

e) Importante. Encuentre una superposición de los dos modos que corresponda a las condiciones iniciales, al tiempo t = 0, en el que ambos péndulos tienen velocidad nula, la pesa “ a ” amplitud 2 A y la “b ” amplitud cero.

3-12. En sistemas dinámicos lineales, la superposición de condiciones iniciales da superposición de movimientos correspondientes.

Supongamos que a y b son dos oscilaciones acopladas. Consideremos tres condiciones iniciales diferentes: i) a y b salen del reposo con amplitudes 1 y −1, respectivamente. ii) salen del reposo con amplitudes 1 y 1 . iii) salen del reposo con amplitudes 2 y 0 , respectivamente. De modo que la condición inicial para el caso iii) es una superposición de las correspondientes a los casos i) y ii). Demuestre que el movimiento en el caso iii) es una superposición de los movimientos para los casos i) e ii). ¿Sería esto cierto si la ecuación diferencial fuera no lineal? 3-13. (Optativo). Analice las oscilaciones longitudinales alrededor del equilibrio del sistema formado por dos masas mm =1 y mm 3

22 = acopladas por resortes de

constante elástica k , como muestra la figura 3-13: 3-14. (Optativo). Vibraciones libres de una molécula lineal. Consideremos un modelo basado en una molécula triatómica simétrica. En la configuración de equilibrio de la molécula hay dos átomos de masa m situados a ambos lados de otro de masa mM 2= (ver figura 3-14). Los tres átomos están alineados a una distancia

0l (de equilibrio).

Fig. 3-13


135

Sólo estudiaremos oscilaciones longitudinales, y en primera aproximación suponemos una interacción elástica, de constante recuperadora k . a) Encuentre la ley dinámica del sistema. b) Halle las frecuencias de los modos normales. c) Dibuje las configuraciones de cada modo. d) Halle la ley dinámica )(taΨ , )(tbΨ y )(tcΨ , considere al centro de masas en

reposo. e) De condiciones iniciales de tal forma de sólo excitar el modo más alto. 3-15. Guía teórica: Frecuencias de corte:

Supongamos que tenemos un arreglo de un número grande N de partículas interactuando elásticamente entre vecinas, ver figura 3-15.

Si suponemos que el sistema evoluciona en sólo una dimensión, el sistema posee N grados de libertad de los cuales todos, salvo uno de traslación como un rígido, son grados de libertad de vibración ( 1−N ). Por consiguiente el sistema posee

1−N modos normales de vibración y, por ende, 1−N frecuencias de resonancia. Supongamos que del lado izquierdo comenzamos a impulsar al sistema con una fuerza armónica (recordar el capítulo anterior). Si la frecuencia de la fuerza impulsora concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia del sistema, este absorberá una gran cantidad de energía y el movimiento se propaga por todas las partículas del sistema. Si no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia, la energía trasmitida al sistema resulta menor. Ahora supongamos que conocemos todas las frecuencias de resonancia del sistema, y en particular conocemos la frecuencia máxima máxω y mínima mínω , entre ellas se encuentran las restantes frecuencias. Si el número de grados de libertad es muy grande, las frecuencias de resonancia pueden hallarse muy cerca una de las otras, y por consiguiente si aplicamos una fuerza impulsora con una frecuencia ω que cumpla máxmín ω<ω<ω , aunque no concuerde exactamente con una de las frecuencias de resonancia, la fuerza entrega una energía apreciable al sistema. Pero si

Fig. 3-14

Figura 3-15: Arreglo de partículas interactuando elásticamente, entre vecinas.


136

la frecuencia de la fuerza impulsora resulta menor que la mínima mínω<ω o mayor que la máxima máxω>ω entonces se halla lejos de una resonancia y, por consiguiente, el sistema absorbe muy poca energía (las partículas se mueven muy poco). A las frecuencias máxω y mínω se las conoce con el nombre de frecuencias de corte del sistema. Un ejemplo físico real en donde podemos aplicar un razonamiento semejante al anterior (pero mucho más complejo), es la ionosfera. La ionosfera la podemos pensar como formada por un número muy, pero muy grande de moléculas interactuando. Este sistema complejo, posee frecuencias de corte máxima y mínima. Si una onda electromagnética incide sobre la ionosfera, ésta absorbe mucha o poca energía, dependiendo de su frecuencia. Eso es exactamente lo que sucede con las frecuencias de emisión de radio AM y FM. La frecuencia AM se halla por debajo de la frecuencia de corte mínima, por consiguiente la ionosfera absorbe muy poca energía de la onda y esta se refleja en su mayor parte, ayudando de esta forma a que la radio se escuche en grandes distancias por sucesivos reflejos. En cambio las frecuencias de FM son superiores a la frecuencia de corte mínima por lo cual la ionosfera absorbe mucha energía de esa onda y muy poco se refleja, por ello las radios de FM tienen un alcance limitado.


137

Bibliografía: • Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Documents

Capítulo 2cienciaredcreativa.org/f1/MD9i-2.pdf · 2015-03-09 · Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia 70 en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación,