Capítulo 3

47

3.0. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

3.1 Introducción

Seguramente, desde la secundaria conoces la tangente a una circunferencia, posteriormente a una elipse y en ambos casos la tangente es una recta que tiene un único punto de contacto con al curva, como se ilustra en las siguientes figuras.

Figura 41

Sin embargo, ahora se estudiará una definición general de la tangente a una curva o a una grafica de una función. Las siguientes figuras muestran esta idea que trata de una recta que tiene un punto común con la curva no es posible.

Figura 42

En la figura de la izquierda, la recta parece tangente, pero corta a la curva en más de un punto, en la figura de la derecha, la recta no es tangente, sin embargo corta a la curva en un único punto. El problema de la tangente no puede ser resuelto mediante procesos finitos y fue uno de los problemas que dio origen a una de las ramas más poderosas de la matemática, esta es: el cálculo infinitesimal.

3.3 Definición de la derivada Con el objeto de ilustrar esta idea; considérese la grafica de una función ( )xfy = continua en un intervalo ( )ba, .Tómese dos puntos cualesquiera de la grafica de la función en su dominio

Capítulo 3

48

de definición. Sean ( )( )00 , xfxP y ( )( )xxfxxQ ∆+∆+ ,00 , con 0≠∆x .Al unir los puntos se

tiene una recta secante PQ .

Figura 43

Admitiendo que el argumento x toma un incremento x∆ (positivo o negativo). La función tomará cierto incremento y∆ . De esta forma: el valor del argumento x le corresponde

( )xfy = y al valor del argumento xx ∆+ le corresponde ( )xxfyy ∆+=∆+ . Al calcular el incremento y∆ de la función: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ ;se toma la razón del incremento de la función al del argumento:

x

xfxxfxy

∆−∆+

=∆∆ )()(

Tomando el límite de esta razón, cuando 0→∆x , si existe, se le llama derivada de la función ( )xf y se designa por ( )xf ' , esto es:

( )0 0

( ) ( )'x x

f x x f x y d yf x lím límx x dx∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆= = =

∆ ∆

Definición ( )xfy =: se le llama derivada de una función con respecto a x , al límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, cuando el incremento del argumento tiende a cero, siempre que el límite exista. Ejemplos: obtener la derivada de las siguientes funciones: 1. ( ) 2xxf =

Solución Aplicando la fórmula se tiene:

Capítulo 3

49

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) xxf

xxfxxlímx

xxxlím

xxxxlím

xxxxxxlím

xxxxlímxf

xx

xxx

2'

202022

)(*2)(*2'

00

2

0

222

0

22

0

=∴

=+==∆+=∆

∆+∆=

∆∆+∆

=∆

−∆+∆+=

∆−∆+

=

→∆→∆

→∆→∆→∆

2. si ( ) 232 −+= xxxf , prueba que: ( ) 32' += xxf .

3. Dado ( )x

xg 1= , muestra que: ( ) 2

1'x

xg −= .

4. Si ( )xxxh

−+

=32

, probar que: ( )( )23

5'x

xh−

= .

5. Si ( ) 14 += xxf , muestra que: ( )14

2'+

=x

xf .

3.3 Interpretación geométrica de la derivada

Para definir la tangente a una curva, se debe utilizar el concepto de límite estudiado en el capítulo anterior. Considerando la gráfica de una función continua ( )xfy = , la tangente PTen el punto P se puede obtener de la siguiente manera.

Figura 44

Sea P un punto fijo de una curva continua ( )xfy = .Se observa que la secante 1PQ que pasa por P se puede aproximar ilimitadamente a lo largo de la curva al punto P . Cada uno de los puntos nQQQQ

;321 ;; determinan con el punto P rectas secantes

n;321 PQPQ;PQ;PQ

; si los puntos nQ se van recorriendo cada vez más próximos a P , la

Capítulo 3

50

secante nPQ también se aproxima cada vez más a la recta PT ; es decir la secante nPQ tiende a cierta posición límite PT , en este caso la recta límite PT se llama tangente. Para determinar la ecuación de la recta PT , se necesitan las coordenadas del punto P , y la pendiente de la recta PT . Estas coordenadas se pueden obtener, dando valores a x . Sea

0xx = en el dominio de f , entonces el punto de tangencia es: ( )( )00 , xfxP . Ejemplo: obtener la pendiente de la recta tangente a la grafica de ( ) 2xxf = en el punto ( )4,2 . Solución Sabemos que: ( ) x2x'f = Luego, como 2x = , entonces ( ) 4)2(22'fm === Gráficamente se muestra en la figura 45.

Figura 45

Definición ( )xfy =: sea una función continua, la recta tangente a la grafica en el punto

( )( )00 , xfxP , es aquella que pasa por dicho punto y cuya pendiente está determinada por:

( ) ( ) ( )x

xfxxflímxfx ∆

−∆+=

→∆

000

' , siempre que el límite exista.

La definición implica que la tangente en el punto ( )( )00 , xfxP es única, dado que un punto y una pendiente determinan una sola recta. Por tanto, la ecuación de la recta tangente esta determinada por: ))((')()( 000 xxxfxfxf −=−

Capítulo 3

51

Definición ( )xfy =: la recta normal a una curva en el punto ( )( )00 , xfxP es aquella recta perpendicular a la tangente en el mismo punto. Se sabe que la pendiente de una recta tangente a una curva ( )xfy = en el punto

( )( )00 , xfxP es ( )01 ' xfm = , entonces la pendiente de la recta normal en el mismo punto

esta determinada por: )('

1

02 xf

m −= .

Por lo tanto la ecuación de la recta normal, está definida por:

( )00

0 )('1)()( xxxf

xfxf −−=−

Ejemplos: 1. Para ( ) 2xxf = , obtener ( ) ( ) ( )1

2' 2 , ' 0 , 'f f f− e interpretar geométricamente los resultado

Solución Se sabe que: ( ) xxf 2' = Luego:

Estos resultados representan las pendientes de las rectas tangentes a las graficas de ( ) 2xxf = en los puntos:

( )( )

1

2

3

2, 4 ; 4

0, 0 ; 0

1 1, ; 12 4

m

m

m

− = −

=

=

Capítulo 3

52

Figura 46

2. Probar que la ecuación de la recta tangente a la grafica de ( ) xxxf 62 +−= en el punto

( )( )4,4 fP es 0162 =−+ yx .

3.9.4. Dada ( )213 == xyxxf ,muestra que:

La ecuación de la recta tangente es: 0143 =−− yx La ecuación de la recta normal es: 0192432 =−+ yx

3.4 Diferenciación de funciones algebraicas

Como se comprobó en el epígrafe anterior que el proceso para calcular la derivada de una función a partir de la definición consume bastante tiempo, entonces se pretende desarrollar herramientas que permitan calcular derivadas de funciones con mayor facilidad. Recuérdese que la derivada de una función f es otra función 'f . Con frecuencia se utiliza la

notación ( ) ( )' , ' , , xdyf x y x Ddx

para indicar la operación de diferenciación. Esta notación

indica que se está derivando respecto a la variable x .

3.4.1. Derivada de una constante Teorema ( ) kxf =: si es función constante, entonces ( ) 0' =xf

Ejemplos 1. ( ) 2=xf

Solución

Capítulo 3

53

( ) 0' =xf

2. ( ) π=xh ; Solución, ( ) 0' =xh

3. ( ) 37=xg ; Solución, ( ) 0' =xg

.4.2. Derivada de una potencia Teorema ( ) nxxf =: la derivada de una función donde n es un número entero y positivo es igual a: ( ) 1' −= nnxxf Ejemplos. 1. ( ) 3xxf =

Solución ( ) 23' xxf =

2. ( ) 10−= xxg ; Solución, ( ) 1110' −−= xxg

3. ( ) 3 2xxh = ;….Solución, ( )332'

xxh =

4. ( )x

xp 1= ; Solución, ( )

xxxp

21' =

5. ( )xx

xq 1= ; Solución, ( )

xxxq 22

3' −=

3.4.3. Derivada del producto de una constante por una función

Teorema c: si es una constante cualesquiera y ( )xf es diferenciable entonces:

( )xfcxcfdxd ')]([ = .

1. ( ) 35xxf =

Solución

( ) ( ) 22 1535' xxxf ==

2. Si ( )x

xg 4= , prueba que: ( )

xxxg 2' −= .

3. Si 4

3 2xy = , muestra que: 361'

xy = .

Capítulo 3

54

4. Si 3 22 * xxy = , prueba que: 3 2*38 xx

dxdy

= .

5. Si ( )3

23x

xxf = , prueba que: ( ) 3 2*5' xxf = .

3.4.4. Derivada de una suma algebraica de dos funciones

Teorema ( ) ( )xgyxf: si son funciones diferenciables, entonces

( ) ( )xgxfxgxfdxd '')]()([ +=+ .

Nota: la derivada de la suma algebraica de n funciones, es igual ala suma de las derivadas de n funciones. Ejemplos:

1. 25 xxy +=

Solución: xxy 25' 4 +=

2. Si 613109214 2345 +−++−= xxxxxy , probar que: 132027220' 234 −++−= xxxxy .

3. Dado ( ) 2/12/321 23 −+−= xxxxf ,pruebe que: ( )xx

xx

xf 123

23' −−= .

4. Si 3

3 2 1*32x

xxy −+= ,mostrar que: 33 *3

121'xxxx

y ++= .

5. Si ( ) xxxg 22 += , muestre que: ( )x

xg2

21' += .

3.4.5. Derivada del producto de dos funciones

Teorema ( ) ( )xgyxf: Si son funciones diferenciables, entonces:

( )dxduv

dxdvuxfxgxgxfxgxf

dxd

+=+= )('*)()('*)()(*)(

Notas: 1. La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por

la derivada de la segunda función más segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

2. Esta fórmula se puede generalizar para más de dos funciones.

Capítulo 3

55

Si ( ) ( ) ( ) ( )xhxgxfxH **= , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxhxgxgxhxfxhxgxfxH '**'**'**' ++= En general, para n funciones

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxfxfxH nn *** 1321 −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxfxH

nnn

nn

1321213

312321

***'**'**'**''

−+++++=

Ejemplos 1. ( )( )xxxy 2332 2 −+=

Solución; Haciendo ( ) ( ) xxgyxxxf 2332 2 −=+= ( ) ( ) 2'34' −=+= xgyxxf Sustituyendo en la fórmula, se tiene:

( )( ) ( )( )

912'6891264'

3423232'

2

22

2

+−=

−−++−−=

+−+−+=

xyxxxxxy

xxxxy

2. Si ( ) ( )( )xxxxxw 5842 223 ++−= , muestra que: 2064304440 234 ++−−= xxxxdxdw

.

3. Dado 3 22 * xxy = , prueba que: 3 2*38' xxy = .

4. Si ( ) ( )( )( )xxxxxxF 8214 32 −−+= , muestra que: ( ) ( )8241305242' 234 ++−−= xxxxxxF .

5. Si ( ) ( )32 3xxxu −= , muestra que: ( ) ( )( )22 3323' xxxxu −−= .

3.4.6. Derivada del cociente de funciones Teorema ( ) ( )xgyxf: Si son funciones diferenciables con ( ) 0≠xg , entonces

( )2)()(')()(')(

)()(

xgxgxfxfxg

xgxf

dxd −

=

-

Notas:

Capítulo 3

56

i. La derivada de un cociente de funciones es igual a, el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido por el denominador elevado al cuadrado.

ii. Si ( )cxfxP )(

= , entonces ( )c

xfxP )('' = .

iii. Si ( ))(xf

cxP = , entonces ( )( )2)(

)(''xf

xcfxP −= .

Ejemplos

1. 14

422

3

+−+

=xx

xy

Haciendo ( ) ( ) 1442 23 +−=+= xxxgyxxf

( ) ( ) ( )2242'6' 2 −=−== xxxgyxxf Sustituyendo en la fórmula se tiene:

( )22

34234

22

322

14

168846246)14(

)42)(42(6)14(

+−

++−−+−=

+−−+−+−

=xx

xxxxxxxx

xxxxxdXdy

22

234

)14()8438(2

+−+−+−

=xx

xxxxdxdy

2. Si 752

1323

2

++

−=

xx

xy , muestra que: ( )( )223

3

75226332'

++

−−−=

xxxxxy

3. Si ( )( )13

1212

22

+++

=x

xxy ,prueba que: 22

23

)13()23(4

++

=x

xxdxdy

.

4. Determina el punto de la grafica de la función ( )( )521 ++= xxy , donde la recta

tangente tiene una pendiente, igual a 3− . Solución:

− 0,

25P .

5. Obtener la ecuación de recta tangente, así como la ecuación de la recta normal a la

gráfica de: ( ) 11

63

3=

+= xen

xxxf

Solución: Ecuación de la recta tangente: 0329 =−− yx : Ecuación de la recta normal: 02992 =−+ yx

3.5 Derivación de funciones trascendentes

3.5.1. Derivación de funciones trigonométricas directas

Capítulo 3

57

Recuérdese que las funciones trigonométricas directas son:

( ) senxxf =1 ( ) xxf cos2 = ( ) xxf tan3 = ( ) xxf cot4 = ( ) xxf sec5 = ( ) xxf csc6 =

Se sabe que las funciones de enoyseno cos son continuas en el intervalo ( )∞∞− , . Cuando se hable de la diferenciación de las funciones trigonométricas:

ecanteyanteangentegenteenoseno cossec;cot;tan;cos; ; se aceptará que la variable representa un número real o que la medida del ángulo estará dado en radianes.

Sea ( ) senxxf = , entonces ( ) ( ) xcosx'fsenxdxd

==

Sea: ( ) xxf cos= , entonces senxdxdyxf −==)('

Si ( ) xxf tan= , entonces ( ) ( ) xxdxdxf 2sectan' ==

Si ( ) xxf cot= , entonces ( ) ( ) xxdxdxf 2csccot' −==

Si ( ) xxf sec= , entonces ( ) ( ) xxxdxdxf tansecsec' ==

Si ( ) xxf csc= , entonces ( ) ( ) xxxdxdxf cotcsccsc' −==

Ejemplos 1. senxxy 2=

Haciendo xvxu

senxvxu

xx cos'2'

2

====

Aplicando la fórmula del producto de dos funciones, queda:

( )d dv duuv u vdx dx dx

= +

Sustituyendo en la fórmula del la derivación de un producto de dos funciones, se obtiene:

Capítulo 3

58

( ) ( )senx2xcosxxx2senxxcosxdxdy 2 +=+=

2. Sea ( )xxxy cotcos −= ,muestra que: xsenxxxxdxdy

−+= 2csc*coscos2

3. Si ( )x

senxxfcos1

2+

= , mostrar que: ( )x

xfcos12

+=′ .

4. Si ( )1tan

1+−

=x

taxxf probar que: ( )xsen

xf21

2+

=′ .

5. Mostrar que la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función: ( ) xsenxxf tan=

en

3,

3ππ f es: 03596315 =−+− πyx

3.5.2. Derivación de la función logarítmica

La función xy alog= se llama logarítmica. A la variable y se le llama logaritmo.de x respecto a la base a . Supóngase que la base 1;0 ≠> aperoa y que el número 0>x . Si la base es 10=a , el logaritmo se llama decimal y se designa por xlog sin indicar la base: esto es: xxa loglog = . Logaritmo natural. Definición e: si la base del logaritmo es el número , entonces se le llama logaritmo natural y se designa con el símbolo ln sin indicar la base. Esto es: xxe lnlog = . Propiedades del logaritmo natural Sean bya números reales positivos y t un número racional, entonces se tiene:

ata

baba

baab

t lnln.3

lnlnln.2

lnlnln.1

=

−=

+=

La función ( ) xxf ln= tiene derivada en cualquier punto del intervalo ( )∞,0 , es decir

( )x

xdxd 1ln = .

Capítulo 3

59

El resultado anterior se puede generalizar por medio de un cambio de variable con la composición de la función logarítmica natural y una función diferenciable positiva; ( )xgu = ; es

decir, ( )dxdu

uu

dxd 1ln = ; 0>u

Además, si ( ) xxf alog= tiene derivada en cualquier punto: ( )∞∈ ,0x , ésta es:

( ) ( )ax

xdxdxf a ln

1log' == .

Este resultado también se puede generalizar; haciendo ( )xgu = ; es decir:

( )dxdu

auu

dxd

a .ln1log =

Ejemplos 1. ( )32ln −= xy

Solución

Haciendo 2'

32=

−=

xuxu

Sustituyendo en la fórmula, queda:

( )1 222 3 2 3

dydx x x

= =− −

2. Dada ( )4log 2 += xy a ; muestra que: ( ) axxy

ln42' 2 +

= .

3. Si 21ln xy −= ;prueba que: 1

' 2 −=

xxy .

4. Dada 2

2

11ln

xxy

−+

= ;comprobar que: 412

xx

dxdy

−= .

5. Si ( )senxsenxxh

−+

=11ln ; prueba que: ( ) xxh sec=′ .

3.5.3. Diferenciación de la función exponencial natural

La inversa de la función logaritmo natural se denota por xy exp= y se llama función exponencial natural o simplemente función exponencial. Definición x: si es cualquier número real, entonces xey = es el único número real y tal que:

xy =ln .

Capítulo 3

60

Como el dominio de la función logarítmica natural es el conjunto de los números reales positivos, resulta que el ámbito de la función exponencial es el mismo conjunto; es decir:

0exp >= xex ; para todo x . De manera semejante, el ámbito de la función xy ln= es cualquier número real y el dominio

de xey = es el conjunto de los números reales, entonces se tiene:

xex =ln para todo x . xe x =ln para todo x .

Sean syr números reales cualquiera y t un número racional, entonces se tiene:

a. 10 =e

b. ee =1 c. srsr eee +=

d. srs

re

ee −=

e. ( ) trtr ee =

f. rr

ee 1

=−

Sea xey = , entonces xedxdy

=

Generalizando este resultado con la aplicación de un cambio de variable, se tiene:

1. ( )dxduee

dxd uu = donde ( )xgu = es una función diferenciable.

2. Si uay = , se tiene dxduaa

dxdy u ln= .

3. Si vuy = donde vyu son funciones diferenciables, entonces:

( )dxdvuu

dxduvuu

dxd

dxdy vvv *ln1 +== − .

Ejemplos 1. xey 4=

Solución

Capítulo 3

61

Haciendo 4'

4=

=

xuxu

Sustituyendo en la fórmula, se obtiene:

( ) xx eedxdy 44 44 ==

2. Si 31

xey = , entonces 4

3

3'xey

x−−=

3. Si xy 2= , entonces x

yx

22ln2'=

4. Si senxxy = ; probar que:

+= xx

xsenxxy senx cos*ln' .

5. Si ( )senxxy cos= ;comprobar que: ( ) [ ]xsenxxxxy senx tan*cosln*coscos' −= .

6. Si ( ) 5222

74−+

−=x

xy ;probar que:

( ) ( ) ( )

−

−+

−−+

−=−+

574ln

7452874

2

2

2

25222

xx

xxxx

dxdy x

.

3.5.4. Derivación de funciones trigonométricas inversas

Los valores principales de las funciones trigonométricas inversas se obtienen como resultado de la inversión de las funciones trigonométricas y sus derivadas se expresan de la siguiente manera:

( )21

1x

arcsenxdxd

−= ( )

211arccos

xx

dxd

−−=

( ) 211arctanx

xdxd

+= ( ) 21

1cotx

xarcdxd

+−=

( )1

1sec2 −

=xx

xarcdxd ( )

11csc

2 −−=

xxxarc

dxd

En general, la derivada de la función trigonométrica inversa, como una función diferenciable:

( )xgu = , se obtiene haciendo un cambio de variable:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )dxdu

1uu1ucscarc

dxd

dxdu

1uu1usecarc

dxd

dxdu

u11cotarc

dxd

dxdu

u11arctan

dxd

dxdu

u11arccos

dxd

dxdu

u11arcsenu

dxd

22

22

22

−−=

−=

+−=

+=

−−=

−=

Capítulo 3

62

Ejemplo 1. xarcseny 5=

Solución

Haciendo5'

5=

=

xuxu

Sustituyendo en la fórmula, queda:

( )22 251

552511

xxdxdy

−=

−=

2. Dado 21 xxarcsenxy −+= ; muestra que: 212' xy −=

3. Si

−+

=xxarcy

11cot ; prueba que:

11

2 +−=

xdxdy .

4. Si xxy

cos1cos1arctan

+−

= ; muestra que:21'=y

5. Dado

−+

=11sec 2

2

xxarcy ;mostrar que:

12

2 +−=′

xy

6. Como ( ) 223

611ln

61arctan

31 xxxxy −++= ; prueba que: xxy arctan' 2=

Capítulo 3

63

3.8. Derivación implícita Una función en la que, la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente x , es decir ( )xfy = se dice que la función es explicita.

Ejemplo: 121 3 −= xy y 32 2 += xy

Mientras que las ecuaciones equivalentes 022 3 =+− xy y 0642 2 =−− xy , definen una función implícita.

Se sabe que la ecuación 422 =+ yx describe una circunferencia de radio 2 con centro en el origen. La ecuación no representa una función por para toda x en el intervalo 22 ≤≤− xcorresponden dos valores de y . Sin embargo, considerando la semicircunferencia superior o inferior, se obtiene una función. Se dice que define dos funciones implícitas de x en el intervalo 22 ≤≤− x .

Figura 47 Figura 48 En este caso, la semicircunferencia superior esta descrita por la función

21 4 xy −= en 22 ≤≤− x .

Mientras que la semicircunferencia inferior está dada por: 2

2 4y x= − − en 22 ≤≤− x .

Una ecuación más complicada como: 125324 +=−+ xyyxx puede determinar varias funciones implícitas en un cierto intervalo del eje X restringido adecuadamente ó incluso podría ser imposible despejar y en términos de x . Sin embargo, en algunos casos puede

determinarse la derivada dxdy

.mediante un procedimiento conocido como diferenciación

implícita. Este procedimiento consiste en diferenciar ambos miembros de la ecuación con

Capítulo 3

64

respecto a. x empleando las reglas de diferenciación ya conocidas y luego despejando dxdy

.

Puesto que se considera a y determinada por la ecuación dada como una función diferenciable. La regla de la potencia para funciones, proporciona el siguiente resultado.

( )dxdyyny

dxd nn 1−= , donde n es un número real.

Ejemplos: derivar implícitamente las siguientes funciones. 1. 422 =+ yx

Solución Derivando respecto a y respecto a , se tiene:

Despejando , queda:

Simplificando se obtiene:

2. 125324 +=−+ xyyxx

Solución

3. Si cosseny y x= , prueba que: cos cos

dy ysenxdx x y

=−

.

4. Dado 1coscos =+ xyyx , verifica que:xsenyx

yysenxdxdy

−−

=cos

cos.

5. Calcular las ecuaciones de la recta tangente ala grafica de: 422 =+ yx en 1=x .

Capítulo 3

65

Sol: 0343303433 =−−=−+ yxyyx . 6. Determinar la ecuación de la recta tangente, así como la ecuación de la recta normal a la

grafica de: 1543 34 +=−+ xxyy en el punto ( )2,1 −P . Sol: 06317290412917 =−−=++ yxyyx .

3.7. Regla de la cadena

Supóngase que se quiere derivar ( )25 1+= xy . Esta función se puede expresar como

( )( )11 55 ++= xxy y aplicarle la fórmula para derivar un producto de dos funciones. De manera

similar si la función es ( )35 1+= xy , entonces se puede expresar como

( )( )( )111 555 +++= xxxy y derivarla con la fórmula del producto de tres funciones. Este proceso es muy tedioso, entonces se hace necesario buscar otra alternativa que permita derivar este tipo de funciones. La regla de la cadena es una herramienta útil en la derivación; la potencia de una función se puede representar como una función compuesta. Si ( ) nxxf = y ( )xgu = entonces ( ) ( )( ) ( )[ ]nxgxgfuf == . Teorema ( )ufy =: si es una función diferenciable de u y ( )xgu = es una función

diferenciable de x , entonces dxdu

dudy

dxdy .=

Corolario: si ( ) ( )[ ] nxgxf = y n es un número entero, entonces:

( ) ( )[ ] ( )dxduunxgxgnxf nn 11 −− =′=′ .

Ejemplos .

1. Dado , donde . Muestra que:

2. Dada , donde . Comprueba que: ( ) 211

1xxdx

dy−−

= .

3. Dado , con 2 2 3u x x= + − . Muestra que

2

12 3

dy xdx x x

+=

+ −:

4. Si , donde . Prueba que: ( ) ( )16sec12 22 +=′ xxxg .

5. Si , donde . Probar que:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]167167cos2712 3332 −+−++−=′ xxsenxxxxh

Capítulo 3

66

6. Si , donde . Probar que ( )( ) bxsenba

xsenbay+−

−=

222' .

3.8. Derivadas de orden superior La derivada ( )xf ' es una función que proviene de la función ( )xfy = . Diferenciando la primera derivada ( )xf ′ se obtiene otra función llamada segunda derivada, la cual se denota

por ( )xf '' . En términos del símbolo de derivación dxd

, se define la segunda derivada con

respecto a x como la función obtenida diferenciando ( )xfy = dos veces consecutivas:

dxdy

dxd

.

La segunda derivada se denota comúnmente por: ( ) ;;;'';'' 22

2yD

dxydyxf x

Suponiendo que todas las derivadas existen, entonces puede diferenciarse una función

( )xfy = tantas veces como se quiera. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamente.

Denotemos la tercera y cuarta derivada por: ;; 4

4

3

3

dxyd

dxyd respectivamente y se definen de la

siguiente manera:

=

= 3

3

4

4

2

2

3

3

dxyd

dxd

dxydy

dxyd

dxd

dxyd

.

En general, si n es un entero positivo, entonces la nésimae − se define por:

= −

−

1

1

n

n

n

n

dxyd

dxd

dxyd

.

Notaciones para las primeras n derivadas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxfxfxf nvv ;;;;''';'';' 1

. nvv yyyyyy ;;;;''';'';' 1

.

yDyDyDyDyDyD nxxxxxx ;;;;; 5432

Ejemplos: obtener las derivadas superiores de las siguientes funciones. 1. 23 2xxy −=

Solución

Capítulo 3

67

46''43' 2

−=−=

xyxxy

2. ( ) xsenxf 3=

Solución

( )( ) xsenxf

xxf39''

3cos3'−=

=

3. Si ( )43 1+= xy , muestra que: ( )( )233 121112'' ++= xxxy .

4. Si 31x

y = , prueba que: 63

3 60xdx

yd−=

5. Si ( ) 105762 234 −++−= xxxxxf , muestra que: ( ) 0=xf v .

6. Si ( ) 1+= senxxf , probar que: ( ) 141'' +−= senxxf .

7. , muestra que:

Capítulo 3

68

3.9. Algunas aplicaciones de la derivada

En este epígrafe, se establecerán algunos métodos que permitan indagar el comportamiento de la función mediante la derivada; es decir, se determinará su carácter creciente, decreciente ó estacionario, así como el sentido de la concavidad y la forma de su gráfica. Además, permitirá resolver cierto tipo de problemas de aplicación (Geometría, Física, Ingeniería, Biología y Economía); donde se precisa maximizar o minimizar cierta cantidad.. Todos los problemas de este tipo tienen una dificultad similar, al expresar el fenómeno mediante un modelo funcional ( )xfy = que representa la dependencia de una variable con respecto a otra. La fórmula ( )xfy = como modelo de cierto fenómeno, se debe tener presente que se pueden construir modelos matemáticos de la realidad, que permitan dar alguna explicación de la naturaleza. Otra característica de estos problemas es que hacen referencia a procesos de variación, por ello se utilizará en las aplicaciones con cierta frecuencia expresiones como: ( )hkm / kilómetros por hora; ( )tonP / precio por tonelada; ( )lkm / kilómetros por litro; etc. Todas estas razones expresan la variación de una cantidad con respecto a otra, y se le llamará “razones de cambio” o “rapidez de variación”.

3.0. Extremos de funciones Extremos absolutos Supóngase que una función f está definida en un intervalo ( )ba, . Los valores máximos y mínimos de f en ( )ba, (si existen) se llaman extremos de la función y se tienen dos clases de extremos. Los extremos absolutos también se les denominan extremos globales.

i. Un número ( )f c es un máximo absoluto de una función ( )xf , si ( ) ( )f x f c≤ para toda x en el dominio de la función.

ii. Un número ( )cf es un mínimo absoluto de una función ( )xf , si ( ) ( )cfxf ≥ para toda x

en el dominio de la función. Ejemplos:

1. La ( ) senxxf = definida en [ ]π2,0 , tiene: un máximo absoluto en 12

=

πf y un mínimo

absoluto en 12

3−=

πf .

2. La ( ) 12 += xxf definida en toda la recta real, tiene un mínimo absoluto en ( ) 10 =f

3. La ( )x

xf 1= definida para todos los reales, excepto para 0x = , no tiene máximo, ni

mínimo absoluto.

Capítulo 3

69

Teorema de los valores extremos f: una función continua en un intervalo cerrado [ ]ba, siempre tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo. Es decir, si f es continúa en [ ]ba, , entonces existen números ( ) ( )21 cfycf tales que: ( ) ( ) ( )21 cfxfcf ≤≤ para toda [ ]bax ,∈ . Ejemplos

1. La ( ) 2xxf = definida en el intervalo [ ]2,1 , tiene un mínimo absoluto en ( ) 00 =f y un máximo absoluto en ( ) 42 =f .

2. La ( ) 2xxf = definida en el intervalo ( )2,1 , no tiene extremos absolutos.

Extremos en la frontera Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en una de las fronteras de un intervalo[ ]ba, , se dice que es un extremo en la frontera. Cuando el intervalo no es cerrado, como;[ ) ( ) [ )∞∞− ,,,, aóbba ; entonces aunque ( )xf sea continua no hay garantía de que exista un extremo absoluto. Extremos relativos Cuando la función no tenga extremos absolutos, entonces la atención va a centrarse en los valores de x que estén en la vecindad de 21 cyc como se ilustra en la figura 49, ( )1cf es el valor máximo de la función en el intervalo ( )11, ba y ( )2cf es un valor mínimo de la función en el intervalo ( )22 , ba .

Figura 49

Definición de extremos relativos

i. Un número ( )1cf es un máximo relativo de una función f ; si ( ) ( )1cfxf ≤ para toda x en algún intervalo abierto que contenga a 1c .

ii. Un número ( )1cf es un mínimo relativo de una función f ; si ( ) ( )1cfxf ≥ para toda x en algún intervalo abierto que contenga a 1c .

Capítulo 3

70

Nota: de acuerdo a la definición, se concluye que todo extremo absoluto con excepción de un extremo en la frontera, también es un extremo relativo. El extremo absoluto en la frontera queda excluido como extremo relativo, porque un intervalo abierto contenido en el dominio de la función no puede estar alrededor de un punto frontera del intervalo.

Figura 50

Definición f: un valor crítico de una función es un número c en su dominio para el cual

( ) 0' =cf ó bien ( )cf ' .no existe. Ejemplos: obtener los valores críticos de las siguientes funciones.

1. ( )1x

xxh2

−= .

Solución

( ) ( )( )

( )

2x0x

02xx

01x2xxx'f 2

==

=−

=−−

=

Por tanto, los valores críticos de la función son: 2xy0x == 2. ( ) ( ) 312 45 −+= xxy

Solución: 47

19;5 ==−= xyxx

3. xsenxy cos*== definida en el intervalo

23,

6ππ .

Solución:4

54

3;4

πππ=== xyxx

Capítulo 3

71

Teorema f: si es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , entonces un extremo absoluto ocurre en un punto frontera del intervalo ó en un valor crítico en el intervalo abierto ( )ba, . Para determinar un extremo absoluto de una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , se sigue el siguiente procedimiento.

a. Evaluar f en los puntos frontera a y b del intervalo [ ]ba, . b. Determinar todos los valores críticos 1c , 2c , 3c … nc en el intervalo ( )ba, . c. Evaluar f en todos los valores críticos. d. Los valores mayor y menor de la lista: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ncfcfcfcfbfaf ,...,,,,, 321 son el

máximo y mínimo absoluto respectivamente de f en el intervalo [ ]ba, . Ejemplos: calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones. 1. 2243)( 23 +−−= xxxxf en [ ]8,3− .

Solución

a. 130)8(

20)3(==−

ff

b. 02463)(' 2 =−−= xxxf 2−=x , 4=x

c. 78)4(30)2(−==−

ff

d. ( )4 78f = − es mínimo absoluto

130)8( =f es máximo absoluto en la frontera.

2. 23 32)( xxxf +−= en [ ]2,1− .

Solución 5)1( =−f es máximo absoluto en la frontera. 4)2( −=f es mínimo absoluto en la frontera.

3.9.2. Función creciente y decreciente Supóngase que ( )y f x= es una función continua en [ ]ba, y diferenciable sobre ( )ba, , luego:

i si '( ) 0f x > para todo x en ( )ba, , entonces f es creciente en [ ]ba, . ii si 0)(' <xf .para todo x en ( )ba, , entonces f es decreciente en [ ]ba, .

Capítulo 3

72

En otras palabras, la grafica de una función creciente se eleva cuando x aumenta, mientras que la grafica de una función decreciente desciende cuando x aumenta. La siguiente grafica ilustra que f es creciente de en [ ] [ ]edycb ,, y decreciente en [ ] [ ] [ ]h,eyd,c;b,a .

Figura 51

Ejemplos: determinar los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

1. ( )25

25 xxxf −=

Solución

( )

( )10

010

02

25

5'

3

4

4

===−

=−=

=−=

xyxxx

xx

xxxf

Figura 52

Ahora, se procede al análisis de los intervalos

( )

( )

( ) crecienteesfentonces,014)2('f;,1En

edecrecientesfentonces,0167

21'f;1,0En

crecienteesfentonces,02)1('f;0,En

>=∞

<−=

>=−∞−

Capítulo 3

73

2. 31

34

4)( xxxf += Solución ( )( )( ) crecienteesf

crecienteesfedecrecientesf

∞−

−∞−

,00,1

1,

3.9.3. .Criterio de la primera derivada

Recuérdese que cuando una función tiene un extremo relativo, este debe ocurrir en un valor critico. Al determinar los valores críticos de una función, se obtiene una lista de valores que corresponden, posiblemente a extremos relativos. Teorema: criterio de la primera derivada para extremos relativos Sea f continua en [ ]b,a y diferenciable sobre ( )ba, , excepto, tal vez en el valor crítico c .

i. Si ( )'f x cambia de positiva a negativa en c , entonces ( )cf es un máximo relativo. simbólicamente, si ( )' 0f x > para toda x en ( )ca, y ( ) 0' <xf para toda x en ( )bc, , entonces ( )cf es un máximo relativo.

ii. Si ( )'f x cambia de negativa a positiva en c , entonces ( )cf es un mínimo relativo simbólicamente, si ( ) 0' <xf para ( )ca, y ( ) 0' >xf para ( )bc, entonces ( )cf es un mínimo relativo.

iii. Si ( )xf ' tiene el mismo signo algebraico en ( )ca, y ( )bc, , entonces ( )cf no es un extremo.

Figura 53

Capítulo 3

74

Ejemplos: trazar la gráfica de las siguientes funciones. 1. ( ) 293 23 +−−= xxxxf

Solución Calcular la primera derivada

( ) 963' 2 −−= xxxf

Determinar los valores críticos ( ) 0' =xf dividiendo por 3, se obtiene:

09x6x3 2 =−− resolviendo la ecuación, se tiene:

3xy1x =−= Analizar los intervalos

( ) ( ) ( )∞−−∞− ,33,1;1, y En ( )1, −∞− ; ( ) 0152' >=−f , entonces la función es creciente. En ( )3,1− ; ( ) 092' <−=f , entonces la función es decreciente. En ( )∞,3 ;. ( ) 0154' >=f , entonces la función es creciente. Por tanto ( ) 71' =−f es máximo relativo y

( ) 253' −=f es mínimo relativo.

Bosquejar la gráfica. Las raíces de la ecuación son:

2215

2215

2

3

2

1

+=

−=

−=

x

x

x

Figura 54

2. ( ) 32

35

5xxxf +−= 3. ( ) 104 34 +−= xxxf

4. ( )x

xxf 1+=

Capítulo 3

75

3.9.4. Criterio de la segunda derivada Concavidad y la segunda derivada. El propósito del análisis, es relacionar el concepto de concavidad con la segunda derivada de una función. La idea intuitiva del significado de concavidad puede entenderse domo: una forma cóncava hacia arriba “contiene agua”, mientras que una forma cóncava hacia abajo “derrama agua”. No obstante, la definición precisa de concavidad se proporciona en términos de la derivada. Sea ( )xf una función para la cual ( )''f x existe sobre ( )ba, .

i. Si ( ) 0'' >xf para toda x en ( )ba, , entonces la gráfica de ( )xf es cóncava hacia arriba sobre ( )ba, .

ii. ( ) 0'' <xf para toda x en ( )ba, , entonces la gráfica de ( )xf es cóncava hacia abajo sobre ( )ba, .

Ejemplo: determina los intervalos donde la gráfica de ( ) 323 xxxf −= es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Solución

i. Calculando las derivadas de la función. ( ) 236' xxxf −= ( ) xxf 66'' −=

Figura 55

ii. Determinando el (los) intervalo(s), donde la función es cóncava hacia arriba.

Resolviendo la desigualdad ( ) 0'' >xf , se tiene.

1066

<>+−

xx

Por tanto, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo es: ( )1,∞−

iii. Resolviendo la desigualdad ( ) 0'' <xf , se tiene.

1066

><+−

xx

Por tanto, la función es cóncava hacia abajo el intervalo es: ( )∞,1

iv. Bosquejando la gráfica de la función, se tiene.

Capítulo 3

76

La gráfica de la función de la figura 55 cambia de concavidad en el punto donde 1=x . Cuando x aumenta pasando por 1=x , la gráfica de la función cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en el punto ( )2,1 . El punto donde ocurren estos cambios de concavidad se le llama punto de inflexión, el cual se define de la siguiente manera.

Punto de inflexión Sea ( )xf una función continua en c . Un punto ( )( )cfc, se llama punto de inflexión si existe un intervalo abierto ( )ba, que contiene a c , de modo que la gráfica es:

i. Cóncava hacia arriba en ( )ca, y cóncava hacia abajo en ( )bc, , o ii. Cóncava hacia abajo en ( )ca, y cóncava hacia arriba en ( )bc, .

Para ilustrar el cambio de concavidad de una función ( )xf , en la siguiente figura se muestran tres puntos de inflexión de la gráfica de la función, los cuales son: ( )( )afa, ; ( )( )bfb, y ( )( )cfc, . Nótese que el punto ( )( )dfd , no es un punto de inflexión, puesto que la gráfica es cóncava en los dos intervalos ( )dc, y ( )ed , .

Figura 56

Por tanto, para determinar un punto de inflexión es necesario resolver ( ) 0'' =cf o bien que ( )cf '' no esté definida.

Ejemplos: determinar los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

1. ( ) 21 xxxf+

=

Solución

Capítulo 3

77

i. Calculando las derivadas de la función

( )( )22

2

1

1'x

xxf+

−=

( ) ( )( )32

2

1

32''x

xxxf+

−=

Figura 57

ii. Resolviendo la ecuación ( ) 0'' =xf ( )

( )0

1

3232

2=

+

−

x

xx resolviendo la ecuación,

queda. 33;0 −=== xyxx

Por tanto, los puntos de inflexión de la

función son:

−−

43;3 ; ( )0;0 y

43;3 .

Luego, el dominio de la función se divide en los siguientes intervalos.

( )3,−∞− ; ( )0;3− ; ( )3,0 y ( )∞;3

iii. Analizando los intervalos del dominio de la función para determinar la concavidad. Como en ( )3,−∞− la ( ) 0'' <cf , la concavidad de la función es hacia abajo. Dado que en ( )0;3− la ( ) 0'' >cf , la concavidad de la función es hacia arriba. Puesto que en ( )3,0 la ( ) 0'' <cf , la concavidad de la función es hacia abajo. Cuando en ( )∞;3 la ( ) 0'' >cf , la concavidad de la función es hacia arriba.

iv. Bosquejar la gráfica de la función

2. ( ) 12 3 += xxf

3. ( ) 31

2 xxf +=

Capítulo 3

78

Ejemplos: utilizando los criterios de primera y segunda derivada, gráfica las siguientes funciones. 1. ( ) 24 xxxf −=

Solución

i. Calculando la primera derivada para determinar los puntos críticos de la función. ( ) ( ) 012224' 23 =−=−= xxxxxf

Resolviendo la ecuación se tiene: 22

22;0 =−== xyxx

Por tanto, los puntos críticos son: ( )

−

−−

41,

22

41,

22;0,0 RyQP .

La función es decreciente en los intervalos:

−∞−

22,0

22, y

La función es creciente en los intervalos:

∞

− ,

220,

22 y .

ii. Calculando la segunda derivada para analizar los puntos críticos:

( ) 212'' 2 −= xxf

Dado que 0422'' >=

−f , implica que la función es cóncava hacia arriba.

Como ( ) 020'' <−=f , implica que la función es cóncava hacia abajo.

Como 0422'' >=

f , implica que la función es cóncava hacia arriba.

Por tanto, el punto ( )0,0P es un máximo relativo y los

−

−−

41,

22

41,

22 RyQ son

mínimos relativos. Luego los puntos de inflexión son:

−

−−

365,

66

365,

66 ByA .

iii. Bosquejar la gráfica de la función.

Capítulo 3

79

Figura 58

2. ( ) 53 35 xxxg −= 3. ( ) xxxf 2coscos2 −= en el intervalo [ ]π2,0

Capítulo 3

80

Problemas propuestos

1. Determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto indicado,

utilizando la fórmula: ( ) ( )x

xfxxflímx ∆

−∆+→∆

00

0.(bosquejar la gráfica).

a. ( ) ( )7,4;12 Penxxf −= . b. ( ) ( )9,3;2 Penxxf = . c. ( ) ( )0,0;82 2 Penxxxf += .

d. ( )

=

31,

31;1 Pen

xxf .

e. ( ) ( ))2(,2;23 fPenxxxf +−= 2. Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto indicado,

utilizando la fórmulas: ( ) ( )x

xfxxflímx ∆

−∆+→∆ 0

y )( 11 xxmyy −=− .(bosquejar la gráfica).

a. ( ) ( ))2(,2;2 −−= fPenxxf b. ( ) ( ))0(,0;12 fPenxxf += c. ( ) 1;74 2 −=+= xxxxf d. ( ) ( ))5(,5;1 2 fPenxxf −=

e. ( ) ( ))1(,1;1 fPenx

xf = definida en el intervalo ( )3,0 .

3. Determinar el punto de la gráfica de ( ) 1082 ++= xxxf , donde la tangente sea horizontal. 4. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de derivación.

a. xxy 47 2 −=

b. 1935

245

++−= xxxy

c. ( )654 23 −−= xxxy d. ( )21+= xy e. ( ) 3236 aazzzf ++= f. 22 96 −+= xxy

g. ( ) ( ) 22

2

5 −+=

xxxf

h. ( )( )2447 32 ++−= xxxy

i. ( )

−

+= 2

1214x

xx

xf

Capítulo 3

81

j. ( )5213

−+

=xxxg

k. ( )216 −= xy

l. ( )12 2

2

++=

ttttg

m. ( ) ( )( )( )13121 +++= zzzzh

n. ( ) ( )( )23

512+

−+=

xxxxf

o. ( ) ( )1231 2 −−

++

= xxxxxg

5. Determinar la ecuación de la recta tangente de la gráfica de la función en el valor indicado.

a. 1;12 3 −=−= xenxy b. 3;2044 2 =−−= xenxxy

c. 21;1

2 == xenx

y

d. ( )( ) 03542 32 =++−= xenxxxy 6. Determina el punto ó los puntos de la gráfica de la función dada, donde la tangente sea

horizontal. a. 582 +−= xxy b. 293 23 +−−= xxxy c. ( )( )64 22 −−= xxy

d. 14

2

+=

xxy

7. Calcúlese la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el valor indicado.

a. 2;12 =+−= xenxy

b. 423

23

=−= xenxxy

8. Determinar el punto ó los puntos de la gráfica de la función en los valores indicados de la

pendiente.

a. ( ) 5;632 2 =+−= mxxxf b. ( ) 644 1 −== − mxxf

c. 81;

13

−=++

= mxxy

9. Calcular el punto de la gráfica de ( ) xxxf −= 2 , donde la pendiente de la recta normal sea 2.

Capítulo 3

82

10. Calcular la derivada de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de derivación

a. xsenxy tan71 −+= solución: xxy 2seccos7' −= b. xsenxy cos= xy 2cos'= c. ( ) xsenxxy sec2 += xxxxxxy 22 secsec2tansec' ++=

d. 1

cot+

=x

xy ( )( )2

22

1cotcsccsc'

+++

−=x

xxxxy

e. xsenxxy tan2= ( )xxxxxsenxy tan2sec' 2 ++=

f. xx

senxycos

1+= ( )senxx

xxy−−

=1

cos' 2

11. Calcular la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena y las

fórmulas de derivación.

a. ( ) ( )[ ]1032 4−+= xxxf ( )[ ] ( )[ ]22932 4xx614xx10'y −+−+=

b. ( ) ( )52tan4sec xxxf += ( ) ( )xxxxxy 2sec2tan4sec42tan4sec5' 24 ++= c. ( )14 23 −= xseny ( ) ( )281412' 22 −−= xsenxxseny

d. ( )( ) 3222 41 −+= xxy ( )( )3 2 4

2210'−

−+=

xxxxy

e. 32

3 32

+−

=x

xxy ( )( ) 3232

185'2

++−

−=xx

xxy

f. ( )9752

+−

=xxxf ( ) 9752972

53'+−+

=xxx

y

g. ( )212

−+

=xxxxf ( )

( ) 2122874'

2

−+−−−

=xxx

xxxy

h. ( )θθ

θsen

r+

=1

( ) θθθθθ

senseny

+++

−=2

cos1'

12. Obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) xxxsenxf 5cos43 +=

,donde π=x . Solución: 7−=m

13. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el valor indicado.

a. 21

1

2

−=

+= xen

xxy Solución 038 =++ yx

b. 132

2

=+

= xenxxy Solución 0387 =−− yx

c. 8

2tan3 π== xenxy Solución 0668 =−+− πyx

Capítulo 3

83

14. Derivar las siguientes funciones aplicando las fórmulas de diferenciación y las propiedades logarítmicas.

a. ( )13ln 24 ++= xxy Solución ( )13

322' 24

2

+++

=xx

xxy

b. 32 ln xxy = ( )xxy ln213 +=

c. xxy ln

= 2ln1'

xxy −

=

d.

+=

1ln

xxy ( )1

1'+

=xx

y

e. ( )[ ]63ln 22 += xxy ( )( )2

14' 2

2

++

=xxxy

f. ( )723ln 4

5

++

=xxy ( )( )7232

10583' 4

34

+++−

=xx

xxy

g. ( )( )3

21ln+

++=

xxxy ( )( )( )321

76'2

+++++

=xxx

xxy

h. ( )12

1ln3

22

−

+=

xxxy ( )( )121

157' 32

235

−+−−−

=xxxxxxy

i. 1cos

cosln−

=x

xy 1cos

tan'−

=x

xy

j. xsen1lny 2+= x

xseny2cos3

2'−

=

15. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de:

a. 1ln == xenxy Solución: 01 =−− yx b. ( ) 23ln 2 =−= xenxy 084 =−− yx

16. Calcular el punto de la gráfica de xy 2ln= , donde la recta tangente sea perpendicular a

14 =+ yx . Solución:

− 2ln,

41P

17. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, aplicando las fórmulas correspondientes

de la función exponencial. a.

2

20xy = Solución: ( ) 20ln202'2xxy =

b. ( )xxy 22= ( )22ln2' += xxy x

c. 5xy = xxy

55'=

d. x

x

ey

+=

14 ( )[ ]

( )2112ln22ln24'

x

x

eey

x

+

−+=

Capítulo 3

84

e. ( ) xxf 4log= 4ln

1'x

y =

f. ( ) 46log3 −= xxxf π

−+

−=

xx

xxy

46log3ln46

6' 3ππ

g. 33log3

3xy x=

+= + 3

32 log*3ln

3ln13' 13

xxx

y x

18. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, aplicando las fórmulas correspondientes

de la función inversa.

a. xarcseny 5= 2251

5'x

y−

=

b. 2

cot4 xarcy = 4

8' 2 +−=

xy

c. xxy arctan2= x

xx

y arctan1

1' ++

=

d. xxarcseny

2arccos2

= ( )( )22 2arccos41

22arccos2'xx

xarcsenxy−

+=

e. 3

2

3arctan9

−=

xxy ( )

2

223

93

arctan9271823'

x

xxxxy

+

−−+

=

f. 11arctan

+−

=xxy

11' 2 +

−=x

y

g. ( )xarcseny 4cos= 4' ±=y

h.

=

2tanarctanln xy

=

2tanarctan2

1'x

y

19. Dada ( )3

cos xxf = , determinar el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

( ) π2' =xenxf . Solución: 181

=m