Embed Size (px)
Citation preview
Capítulo 3
Dios dijo: "que Newton sea"10
El año en que Galileo moría en su reclusión de Florencia, un niño prematuro,
bautizado con el nombre de Isaac, nacía en la familia de un agricultor del
Lincolnshire apellidada Newton. Durante los primeros años de escuda Isaac no dio
signos de su futura grandeza. Era un muchacho enfermizo, tímido, más bien
retrasado en sus estudios. Lo que le sacó de este estado fue su primera riña con un
compañero de la escuela que, además de ser uno de los mejores estudiantes de la
clase, era muy agresivo hacia los otros muchachos. Al recibir un golpe en el vientre
que le asestó este camorrista (cuyo nombre se ha perdido para la historia), Newton
le desafió a luchar y le venció a causa de su "espíritu superior y resolución".
Después de haber ganado en el aspecto físico, decidió completar su victoria en la
batalla de la inteligencia y, trabajando esforzadamente, llegó a ser el primero de su
clase. Después de ganar otra batalla con su madre que quería dedicarle a la
agricultura, entró en el Colegio de la Trinidad a la edad de 18 años y se consagró al
estudio de las matemáticas. En el año 1665, Newton tomó su grado de bachiller en
artes sin ninguna distinción especial.
1. Progresos durante la peste
A mediados del verano de 1665, la Gran Peste cayó sobre Londres y a los pocos
meses uno de cada diez londinenses había muerto de ella. En el otoño se cerró la
Universidad de Cambridge por su proximidad al centro de la plaga y todos los
estudiantes fueron enviados a sus casas. Así, Newton volvió al hogar de sus padres
y permaneció allí dieciocho meses hasta que se volvió a abrir la Universidad.
Estos dieciocho meses fueron los más fecundos en su vida y se puede decir que
durante este período concibió prácticamente todas las ideas que le debe el mundo.
Cito con sus propias palabras:
A comienzos de 1665 encontré la... regla para reducir cualquier dignidad
(poder) de los binomios a serie11. El mismo año en 1 de mayo descubrí el
10 De unos versos de Alexander Pope (1688-1744): "La Naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche; Dios dijo: "Que Newton sea", y todo se hizo luz." 11 La llamada teoría del binomio de Newton que ahora se ensena en el álgebra de bachillerato.
método de las tangentes... y en noviembre el método directo de las fluxiones
(es decir, los elementos de lo que ahora se llama cálculo diferencial) y al año
siguiente, en enero, la teoría de los colores, y en el siguiente el método
inverso de las fluxiones (es decir, el cálculo integral) y en el mismo año
comencé a pensar en la gravedad extendiéndola a la órbita de la Luna... y...
comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza
de la gravedad en la superficie de la Tierra.
El resto de su carrera científica se consagró al desarrollo de las ideas concebidas en
el Lincolnshire.
A la edad de veintiséis años fue nombrado profesor de la Universidad de Cambridge
y a los treinta, miembro de la Real Sociedad, el más alto honor científico en
Inglaterra. Según sus biógrafos, Newton fue el ejemplo perfecto del profesor
abstraído. "Nunca se tomó una diversión o un pasatiempo, montando a caballo para
tomar el aire, paseando o jugando a los bolos o algún otro ejercicio, porque
pensaba que todas las horas que no se dedicasen al estudio eran horas perdidas." A
menudo trabajaba hasta las primeras horas de la mañana, se olvidaba de comer y
cuando un día apareció un momento en el comedor del colegio, "sus zapatos
estaban sucios, sus medias arrugadas y su pelo mal peinado". Sumido siempre en
sus pensamientos era muy ingenuo y nada práctico en los problemas cotidianos. Se
cuenta que una vez hizo un agujero en la puerta de su casa para que su gata
pudiera entrar o salir, y cuando la gata tuvo cría añadió al agujero grande un
número de pequeños agujeros para cada uno de los gatitos.
Como persona, Newton no era muy agradable y a menudo se vio envuelto en
polémicas con sus colegas, que pudieron ser el reflejo de su lucha con su
compañero de escuda años antes. Tuvo una áspera disputa con otro físico de
Cambridge, Robert Hooke (el fundador de la teoría de la elasticidad) respecto a su
teoría de los colores así como sobre la prioridad en el descubrimiento de la ley de la
gravitación universal. Otra disputa semejante de prioridad con el matemático
alemán Gottfried Leibniz respecto a la invención del cálculo, y con el holandés
Christian Huygens sobre la teoría de la luz. El astrónomo John Flamsteed, duro al
hablar de Newton, le describió como "insidioso, ambicioso, excesivamente ávido de
alabanzas, amigo de contradicción..., un buen hombre en el fondo Pero, por
naturaleza, suspicaz".
A lo largo de sus años de Cambridge, Newton trabajó en el desarrollo de las
brillantes ideas que había concebido entre los 23 y los 25 años, pero mantuvo en
secreto la mayoría de sus experimentos. Esto explica el hecho de que toda su obra
fuera publicada mucho más tarde: la obra sobre mecánica y gravedad a la edad de
44 años y la obra óptica a la edad de 65.
2. Los "Principia" de Newton
En el prefacio (fechado en 8 de mayo de 1686) a su libro Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural) 12 , Newton
escribió:
Como los antiguos consideraban la ciencia de la mecánica como de suma
importancia en la investigación de las cosas naturales, y los modernos,
rechazando las formas sustanciales y las cualidades ocultas, han procurado
someter los fenómenos de la naturaleza a las leyes de la matemática, en este
tratado he cultivado las matemáticas en cuanto que se relacionan con la
filosofía (natural). Los antiguos consideraban la mecánica en un doble
aspecto: como racional, que procedía exactamente por demostración, y como
práctica. A la mecánica práctica pertenecen todas las artes manuales
(ingeniería) de la cual la mecánica ha tomado su nombre. Pero como los
artesanos no trabajan con perfecta exactitud suele ocurrir que la mecánica es
tan distinta de la geometría que a lo que es completamente exacto se le
llama geométrico; a lo que lo es menos se le llama mecánico. Sin embargo,
los errores no están en el arte, sino en los artesanos. El que trabaja con
menos exactitud es un mecánico deficiente, y si alguno pudiera trabajar con
completa exactitud seria el mecánico más perfecto de todos...
Yo considero la filosofía (natural) más bien que las artes y escribo tocante no
a las fuerzas manuales, sino a las naturales, principalmente de aquellas cosas
que se relacionan con la gravedad, flotación, fuerza elástica, la resistencia de
los fluidos y fuerzas semejantes, sean atrayentes o impulsivas, y, por tanto,
12 En aquel tiempo, "filosofía natural" significaba el estudio de las leyes de la Naturaleza
ofrezco esta obra como los principios matemáticos de la filosofía (natural)
porque todo el problema de la filosofía parece consistir en esto: partiendo de
los fenómenos de los movimientos investigar las fuerzas de la Naturaleza y
partiendo de estas demostrar los demás fenómenos...
Así pues, pretendo derivar... los fenómenos de la Naturaleza de principios
mecánicos porque he sido inducido a sospechar que todo puede depender de
ciertas fuerzas por las cuales las partículas de los cuerpos, por alguna causa
todavía desconocida, son recíprocamente impulsadas unas hacia otras y
unirse en figuras regulares o repelidas y alejadas unas de otras. Por ser
desconocidas estas fuerzas, los filósofos han intentado en vano hasta ahora la
investigación de la Naturaleza, pero espero que los principios aquí formulados
arrojen alguna luz bien a este o a algún método más verdadero de filosofía
(natural).
En estas palabras Newton trata el programa de la llamada interpretación
mecanicista de los fenómenos físicos, un punto de vista que ha dominado la física
hasta principios de este siglo y sólo sucumbió bajo el efecto de la teoría de la
relatividad y la teoría de los "quanta". Después de formular su objetivo, Newton
procedió a desarrollar el tratamiento matemático de los fenómenos mecánicos en
forma tan clara y precisa que pueden ser empleados sin alteración en cualquier libro
moderno de mecánica clásica. Reproducimos los pasajes iniciales de los Principia de
Newton sin más que algunas explicaciones (entre paréntesis) para aclarar la
significación moderna de la terminología científica del siglo XVII.
3. Definiciones
Definición 1. La cantidad de materia (masa) es la medida de la misma que resulta
de su densidad y tamaño (volumen) conjuntamente.
Así, aire de una doble densidad en un doble espacio (volumen) es cuádruple en
cantidad; en un espacio (volumen) triple, séxtuplo en cantidad. La misma cosa
ocurre con la nieve y el polvo fino o polvos que condensan por comprensión o
licuefacción y de todos los cuerpos que por alguna causa son condensados
diferentemente. (En lenguaje moderno, decimos que la masa de un objeto dado es
un producto de su densidad multiplicada por su volumen.)
Definición 2. La cantidad de movimiento es la medida del mismo que resulta de la
velocidad y la cantidad-de materia conjuntamente.
(En lenguaje moderno, la cantidad de movimiento, ahora llamada usualmente
“momento mecánico" o simplemente "momento" es el producto de la velocidad por
la masa del objeto móvil.)
El movimiento del conjunto es la suma del movimiento de todas las partes, y por
tanto, en un cuerpo doble en cantidad (de doble masa), con igual velocidad, el
movimiento (momento mecánico) es doble; con doble velocidad, es cuádruple.
Definición 3. La vis insita o fuerza de la materia es el poder de resistir, con la cual
todo cuerpo, en tanto que está en él, continúa en su estado actual, sea que está
quieto o moviéndose uniformemente adelante en línea recta.
La fuerza es siempre proporcional al (a la masa del) cuerpo cuya fuerza es él y no
difiere nada de la inactividad de la masa, salvo en la manera de concebirla. A un
cuerpo, a causa de la inerte naturaleza de la materia, no se le puede sacar sin
dificultad de su estado de reposo o de movimiento. Por esta razón, esta vis insita
puede ser llamada con la denominación más significativa de "inercia" (vis inertiae) o
fuerza de inactividad.
Definición 4. Una fuerza imprimida es una acción ejercida sobre un cuerpo para
cambiar su estado, bien de reposo, bien de movimiento uniforme en una línea recta.
Esta fuerza subsiste solamente en la acción, y no continúa ya en el cuerpo cuando
termina la acción. Un cuerpo mantiene todo el nuevo estado (de movimiento) que
adquiere únicamente por virtud de su inercia. Pero las fuerzas imprimidas son de
orígenes diferentes, procedentes de la percusión, de la presión, de la fuerza
centrípeta.
Después de definir las nociones de masa, momento, inercia y fuerza, Newton
procede a la formulación de las leyes básicas del movimiento:
Ley I. Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en
línea recta a menos que sea forzado a cambiar ese estado por fuerzas que actúan
sobre él.
Los proyectiles continúan en su movimiento, mientras no sean retardados por la
resistencia del aire o impulsados hacia abajo por la fuerza de gravedad. Un trompo,
cuyas partes de su cohesión son continuamente impulsadas por movimientos
rectilíneos, no cesa en su rotación más que cuando es retardado por el aire. Los
grandes cuerpos de los planetas y cometas, encontrando menos resistencia en los
espacios libres, mantienen sus movimientos, progresivo y circular, por mucho más
tiempo.
Ley II. El cambio de movimiento (es decir, de momento mecánico) es proporcional
a la fuerza motriz que se le ha impreso, y sigue la dirección de la línea recta en que
se le imprimió la fuerza.
Si una fuerza origina un movimiento, una doble fuerza engendrará un movimiento
doble, una fuerza triple un movimiento triple, lo mismo si la fuerza se le ha
comunicado junta de una vez que gradual y sucesivamente. Y este movimiento
(siempre dirigido en la misma dirección que la fuerza generadora), si el cuerpo ya
se movía antes, se añade o resta del movimiento anterior, según que coincida
directamente con él o sean directamente contrarios entre sí; o unidos oblicuamente,
cuando son oblicuos, produciendo así un nuevo movimiento compuesto por la
determinación de los dos.
La segunda ley de Newton puede ser formulada de una manera algo distinta. Como
la cantidad de movimiento es el producto de la masa del cuerpo móvil multiplicada
por su velocidad, el valor del cambio de movimiento es el producto de la masa
multiplicada por el valor del cambio de velocidad, es decir, la aceleración. Así se
deduce que la aceleración de un objeto sobre el cual actúa cierta fuerza, es
directamente proporcional a esta fuerza e inversamente proporcional a la masa del
objeto. Sobre la base de esta ley podemos introducir una unidad de fuerza
definiéndola como una fuerza, que actuando sobre un objeto que tiene la masa de 1
gramo, le comunica la aceleración de 1 cm por segundo cada segundo. Esta unidad
de fuerza es la llamada dina y es más bien pequeña, aproximadamente la fuerza
con la cual una hormiga empuja su carga. En ingeniería se usa a menudo una
unidad que es 105 mayor y se llama un newton.
Cuando una fuerza que actúa sobre un objeto lo desplaza a una cierta distancia, el
producto de esta fuerza por la distancia se conoce como el trabajo hecho por ella. Si
la fuerza se expresa en dinas y la distancia en centímetros, el trabajo será medido
en unidades llamadas ergios. Para las finalidades de la ingeniería se emplea una
unidad de energía mucho mayor llamada julio igual a 107 ergios. También se puede
introducir la unidad de potencia que indica la cantidad de trabajo desarrollada en la
unidad de tiempo; se suele medir en ergios por segundo y no tiene nombre
especial. En ingeniería se usa el vatio que es 1 julio por segundo ó 107 ergios por
segundo, o el "caballo de vapor", que es igual a 751 vatios ó 0,751 kilovatios.
Ley III. A toda acción se opone siempre una reacción igual; o las acciones
recíprocas de dos cuerpos uno sobre otro son siempre iguales y dirigidas a partes
opuestas.
Cualquiera que tire o presione a otro será tirado o presionado por este otro. Si
usted aprieta a una piedra con su dedo, el dedo es también presionado por la
piedra. Si un caballo tira de una piedra unida a una cuerda, el caballo (si así puede
decirse) es igual tirado hacia atrás por la piedra; porque la cuerda distendida, por el
mismo esfuerzo a soltarse, tirará del caballo hacia la piedra tanto como la piedra lo
haga hacia el caballo e impedirá el progreso de uno tanto como avanza el del otro...
¿Por qué entonces, se puede preguntar, está el caballo tirando de la piedra y no la
piedra tirando del caballo? La respuesta es, desde luego, que la diferencia está en el
rozamiento contra el suelo. Las cuatro patas del caballo se adhieren más al suelo
que la piedra de la que tira el caballo, y si no fuera así la piedra quedaría en su sitio
y las pezuñas del caballo resbalarían. Si se pusieran rodillos debajo de la piedra se
reduciría el frotamiento contra el suelo y la tarea del caballo sería más fácil. Si falta
el rozamiento, lo que casi ocurre en la superficie de un estanque helado, el
movimiento de dos objetos que tiran o empujan uno a otro no será el mismo a no
ser que tengan exactamente masas iguales, puesto que para una fuerza dada la
aceleración es inversamente proporcional a la masa. Si un hombre delgado y un
hombre gordo están de pie frente a frente sobre una superficie helada empujándose
uno a otro, el hombre delgado se deslizará hacia atrás con mucha mayor velocidad
que el gordo. Análogamente, la velocidad de retroceso de un rifle es mucho más
pequeña que la velocidad del proyectil (mucho más ligero) disparado por su cañón.
El principio del retroceso se emplea en la construcción de toda clase de cohetes. Los
gases resultantes de la combustión del combustible del cohete fluyen hacia atrás a
través de la tobera a gran velocidad, y como resultado de esto el cuerpo del cohete
es impulsado hacia delante. La velocidad final adquirida por un cohete depende de
la razón del peso del cohete al del combustible, y para la mejor ejecución se debe
hacer que esta razón sea lo más pequeña posible. En los modernos proyectiles-
cohetes, la relación del peso del cohete vacío al peso del combustible es
aproximadamente la misma que la relación del peso de una cáscara de huevo al
cuerpo del huevo.
No es este, lugar para discutir los problemas de ingeniería de la cohetería moderna
y nos limitaremos a mencionar un incidente ocurrido en la estación de pruebas de
grandes cohetes en Cabo Cañaveral (Florida). Al comentar la primera lección en el
primer grado de una escuela local elemental, el maestro quiso conocer lo que las
muchachas y los muchachos sabían sobre los tres R.
—Yo puedo contar —dijo voluntariamente el pequeño Johny.
—Ponte delante —dijo el maestro— y cuenta.
—Diez, nueve, ocho —comenzó Johny—, siete, seis, cinco, cuatro, tres, dos
uno... pum!
Pero para volver a Newton, sin abandonar repentinamente el problema de los vuelos
espaciales, debemos mencionar que él fue el primero que tuvo la idea de un satélite
terrestre. En la tercera parte de los Principia leemos:
El hecho de que, por virtud de las fuerzas centrípetas, los planetas puedan
ser retenidos en ciertas órbitas podemos comprenderlo fácilmente si
consideramos el movimiento de los proyectiles; cuando es proyectada una
piedra, a causa de la presión de su propio peso está forzada a seguir la
trayectoria rectilínea, que por la proyección inicial sola debiera de haber
seguido, y a describir una línea curva en el aire y, por virtud de esta línea
encorvada termina por caer al suelo; cuanto mayor es la velocidad con la cual
es proyectada tanto más lejos irá antes de caer a tierra.
Figura 13. La trayectoria del satélite de la Tierra como caso límite de las
trayectorias de proyectiles que caen cada vez a más distancia de la base de la montaña de la cual fueron arrojados. (Adaptación del dibujo original inserto en los
Principia de Newton.)
Podemos, por tanto, suponer que la velocidad aumente de modo que
describiera un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1.000 millas antes de que llegue al
suelo, hasta que al fin, excediendo los límites de la Tierra pasaría al espacio
sin tocar en ella. Hagamos que AFB (Figura 13) represente la superficie de la
Tierra; sea C su centro, VD, VE , VF, las líneas curvas que un cuerpo
describiría, si fuera proyectado en dirección horizontal desde la cumbre de
una elevada montaña (en algún lado del país montañoso de Escocia, sin
duda) sucesivamente con velocidades cada vez mayores; y por razón de que
los movimientos celestes se retrasan escasamente por la pequeña o ninguna
resistencia de los espacios en que son efectuadas para mantener la paridad
de los casos supongamos que no hay aire sobre la Tierra o al menos que está
dotado con poco o ningún poder de resistencia; y por la misma razón que el
cuerpo proyectado con menor velocidad describe el arco VD más pequeño y
con mayor velocidad el arco mayor VE y aumentando la velocidad va cada vez
más lejos a F y G, si la velocidad fuera todavía aumentada cada vez más
llegaría al fin al otro lado de la circunferencia de la Tierra para volver a la
montana de que había partido.
Pero si imaginamos cuerpos proyectados en las direcciones de líneas paralelas
al horizonte desde alturas mayores de 5, 10, 100, 1.000 millas o más bien
como varios semidiámetros de la Tierra, estos cuerpos, según sus diferentes
velocidades, y las diferentes fuerzas de gravedad a las diferentes alturas,
describirán bien arcos concéntricos con la Tierra o diversamente excéntricos y
se irán girando a través de los cielos en órbitas lo mismo que lo hacen los
planetas en las suyas.
Este pasaje incluye la idea de que una y la misma fuerza, la fuerza de gravedad, es
responsable tanto de la caída de una piedra y del movimiento de los cuerpos
celestes, idea que Newton se dice que tuvo primero al ver una manzana caer de un
árbol. Si la "teoría de la manzana" es cierta o no, llevó a unos versos interesantes
que transcrito:
Sir Isaac, que paseaba sumido en sus pensamientos,
fue abordado por un granjero vecino
y, sacado de las leyes de la gravedad,
persuadido por el hombre a detenerse
y charlar un rato. A lo largo la brisa
sembraba con las pálidas flores
de manzano de los árboles
del hortelano amigo de Newton
la carretera de lado a lado.
El vecino dijo a Newton: "Deténgase.
Me gustaría hablar unas palabras con usted.
Por el pueblo corren rumores
de que usted ha ganado fama
observando la caída de las manzanas.
Dígame, por favor, si se me caen todas."
"¡Claro que sí! ", dijo Newton.
"Si, desde luego, usted no ve que la misma fuerza
que disminuye como el cuadrado
de la distancia hasta ella
que actúa sobre nuestra fiel Luna
actúa sobre la manzana.
Más tarde o más pronto..."
"Por favor —dijo el vecino—,
déjelo porque eso no es lo que quiero saber;
lo único que me interesa sobre
los manzanos florecidos y todas sus manzanas,
una por una, es que maduren al buen sol
a lo largo de esta carretera tranquila
y cuánto debo cobrarle por la lata."
(Versos no publicados de un autor ruso anónimo)
Para establecer la dependencia de la fuerza de la gravedad de la distancia al centro
de la Tierra, Newton decidió comparar la caída de una piedra (o una manzana)
sobre la superficie terrestre con el movimiento de la Luna que puede ser
considerado como una caída sin fin, según el razonamiento antes expuesto. De este
modo, Newton pudo comparar la fuerza "astronómica" que actúa sobre la Luna con
la fuerza "terrestre" que actúa sobre los objetos que manejamos en la vida
cotidiana.
Su razonamiento, en forma algo modificada, se representa en la Figura 14, que
muestra a la Luna, M girando alrededor de la Tierra, E, por una órbita casi circular.
En la posición M, la Luna lleva una velocidad que es perpendicular al radio del
círculo. Si no hubiera fuerzas, la Luna seguiría una línea recta y, en una unidad de
tiempo más tarde, se movería a la posición M'. Como, no obstante, llega a la
posición de M", el trayecto MM" debe ser considerado como la distancia recorrida
por la Luna durante una unidad de tiempo en su caída libre hacia la Tierra.
Figura 14. Considerando el movimiento circular de la Luna en torno de la Tierra como una caída continua (véase figura 13), Newton pudo calcular la aceleración
producida por la fuerza de la gravedad actuando sobre la Luna. El diagrama muestra cómo.
Conforme al teorema de Pitágoras
′ " ′ —
(puesto que EM"= EM), lo que puede ser demostrado algebraicamente que es igual
(porque MM « EM) a:
′2
ó12
′∙
donde MM’/EM es evidentemente la velocidad angular de la Luna en su movimiento
alrededor de la Tierra, es decir, el cambio de posición angular de la Luna en el
transcurso de 1 segundo. Como la Luna describe un círculo completo en un mes, la
velocidad angular es igual a 2p dividido por la longitud de un mes expresado en
segundos = 2,66 x 4 x 10-6. Pero en la exposición del movimiento acelerado ya
hemos visto que la distancia recorrida durante el primer segundo es igual a la mitad
de la cantidad conocida como "aceleración", de suerte que concluimos que la
aceleración debida a la fuerza que sostiene a la Luna en su órbita circular es
(MM'/EM)2 x EM. Empleando el valor arriba citado para la velocidad angular y
sustituyendo por la distancia a la Luna los valores de 384.400 km ó 3,84 x 1010 cm,
Newton obtuvo para la aceleración debida a la gravedad a la distancia de la Luna, el
valor: 0,27 cm/seg2, que es mucho más pequeña que la aceleración de la gravedad
sobre la superficie de la Tierra (981 cm/seg2). Existe, no obstante, una correlación
muy sencilla, por una parte, entre estas dos cantidades, y por otra, entre las
distancias de la Luna y de una manzana que cae al centro de la Tierra. En efecto, la
razón de 981 a 2,27 es 3,640 que es exactamente igual al cuadrado del número que
representa la relación del radio de la órbita de la Luna al radio de la Tierra. Así es
como Newton llegó al resultado de que las fuerzas de la gravedad terrestre
decrecen como el cuadrado inverso de la distancia al centro de la Tierra.
Generalizando este descubrimiento a todos los cuerpos materiales del Universo,
Newton formuló la ley universal de gravedad según la cual:
todo cuerpo material atrae a otro con una fuerza directamente proporcional a
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre
ellos.
Mediante la aplicación de esta ley al movimiento de los planetas en torno al Sol,
derivó matemáticamente de las tres leyes de Keplero expuestas en el capítulo
anterior.
El desarrollo de la obra de Newton realizada por los grandes matemáticos de los
siglos XVIII y XIX originó una gran rama de la astronomía conocida como "mecánica
celeste", que nos permite calcular con gran precisión el movimiento de los planetas
del sistema solar bajo la acción de la mutua atracción gravitatoria. Uno de los
mayores triunfos de la mecánica celeste se registró en 1846 con el descubrimiento
de un nuevo planeta, Neptuno, cuya existencia y órbita fueron predichas
independientemente por el astrónomo francés U. J. J. Leverrier y el astrónomo
inglés J. C. Adams sobre la base de las perturbaciones del movimiento de Urano
producidas por la atracción gravitatoria del planeta entonces desconocido. Un
acontecimiento análogo ocurrió en 1930 cuando un planeta trans-neptuniano,
llamado después Plutón, fue descubierto como resultado de cálculos teóricos.
Mediante la aplicación de su ley de gravedad al movimiento del globo terráqueo,
Newton dio la primera explicación del fenómeno de la "precesión de los equinoccios"
conocida desde los tiempos de Plutarco. Demostró que, como el eje de rotación de
la Tierra está inclinado respecto al plano de su órbita (eclíptica), la fuerza de
gravedad del Sol, al actuar sobre el abultamiento ecuatorial del globo, debe producir
una lenta rotación del eje de la Tierra en torno a una línea vertical a la eclíptica en
un período de unos 26.000 años. Esta explicación encontró fuerte oposición entre
los astrónomos contemporáneos porque en aquel tiempo se creía, sobre la base de
mediciones erróneas, que nuestra Tierra no tiene la forma de una calabaza, más
ancha por el ecuador, sino más bien la de un melón, con la distancia entre los polos
mayor que el diámetro ecuatorial.
Para zanjar la polémica, el matemático francés P. L. M. de Maupertuis organizó una
expedición a Laponia para medir la longitud de un grado de meridiano en las
latitudes septentrionales y le ocurrieron una serie de aventuras con una manada de
lobos. Sus mediciones probaron que la opinión de Newton era correcta y Voltaire le
escribió humorísticamente:
Vous avez, confirmé dans les lieux pleins d'ennui
Ce que Newton connût sans sortir de la chez lui13.
Siguiendo las mismas líneas, Newton explicó el fenómeno de las mareas como
debidas a la desigual fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre los hemisferios
terrestres al girar hacia él y lejos de él.
Las 626 páginas de los Principia de Newton están atestadas de información sobre
todas las ramas de la dinámica de los sólidos y los fluidos, pero nos limitaremos a
explicar otro problema porque es sencillo y entretenido. Se trata del movimiento de
proyectiles arrojados o disparados con cierta velocidad inicial a través de un medio
resistente como el aire o el agua. ¿Hasta dónde se moverá antes de llegar al
reposo?
La situación se muestra gráficamente en la Figura 15 en la cual un proyectil
disparado por un fusil se mueve a través del aire o el agua como puede ser el caso.
Mientras se mueve a través del medio, el proyectil tiene evidentemente que
empujar a un lado el medio para perforar un túnel a fin de poder avanzar. A las
13 Habéis confirmado en los países llenos de aburrimiento lo que Newton conoció sin salir de su casa
velocidades elevadas, las fuerzas de rozamiento son relativamente de poca
importancia y la principal pérdida de energía que experimenta el proyectil se debe a
la necesidad de comunicar una velocidad elevada al medio que tiene que apartar.
Figura 15. Teoría de Newton sobre la penetración de proyectiles en un medio.
Es fácil ver que la velocidad lateral del medio es aproximadamente la misma que la
velocidad del proyectil que avanza. Así, el proyectil se detendrá cuando la masa del
medio movida a un lado es del mismo orden de magnitud que su propia masa. Por
tanto, concluimos que la longitud del túnel está en la misma relación con la longitud
del proyectil que la densidad del material del proyectil con la densidad del medio,
que, claro está, es verdad sólo muy aproximadamente. Pero aun así, obtendremos
varios resultados interesantes. Si disparamos un proyectil de acero (densidad unas
10 veces mayor que la del agua) a través del aire (densidad unas 1.000 veces
menor que la del agua), puede esperarse que el proyectil se detenga después de
recorrer 10.000 veces su longitud (si no cae al suelo antes). Así, los proyectiles de
la artillería naval de gran alcance, que pueden tener 5 pies o más de longitud,
recorrerán unos 50.000 pies o más de 10 millas. Por otra parte, la bala de media
pulgada de longitud de un revólver de señora apenas recorrerá más de 400 pies. En
el agua, que sólo es unas 10 veces menos densa que el metal, una bala perderá
casi toda su energía después de recorrer sólo 10 veces su longitud. Es interesante
que la longitud de penetración no dependa de la velocidad inicial del proyectil
(siempre que su velocidad sea suficientemente elevada). Este es el hecho que
confundió a los expertos militares de los Estados Unidos que estaban haciendo caer
desde diferentes alturas los proyectiles explosivos que se suponía penetrarían
profundamente en el suelo antes de estallar. La penetración no parece modificarse
con la altura desde la cual caían los proyectiles (por tanto, chocando con el suelo a
diferentes velocidades) y los expertos estuvieron rascándose la cabeza hasta que
alguien les señaló la teoría sobre esta cuestión contenida en los Principia de
Newton.
4. Estática y dinámica de los fluidos
Los estudios de Sir Isaac sobre el equilibrio y movimiento de los fluidos fueron
complementados y ampliados por el matemático francés Blaise Pascal, que tenía 19
años cuando nació Newton, y el físico suizo Daniel Bernoulli, que tenía 27 años
cuando murió Newton. La ley de Pascal, que con la ley de Arquímedes forma la base
de la hidrostática, dice que un fluido (sea un líquido o un gas) comprimido dentro de
un continente cerrado ejerce la misma presión por unidad de superficie en todas las
partes del continente. El principio de Pascal ha encontrado amplia aplicación en la
construcción de varios aparatos hidráulicos. En efecto, si tenemos dos cilindros A y
B de diferente diámetro enlazados por un tubo delgado y provistos de pistones
movibles, la fuerza total que actúa sobre el pistón en el cilindro más ancho será
mayor que la que actúa sobre el pistón del más estrecho, proporcionalmente a sus
áreas. Así, una fuerza relativamente pequeña aplicada por la mano al pistón en el
cilindro estrecho resulta en una fuerza mucho mayor actuando sobre el cilindro más
ancho y puede levantar un carruaje pesado. Pero la contrapartida es que el
desplazamiento del pistón en el tubo más ancho será correspondientemente más
pequeño que el del pistón en el más estrecho.
La ley de Bernoulli, o principio como ha sido llamado frecuentemente, se refiere al
movimiento de los fluidos dentro de tubos de diámetro variable, y a primera vista
parece contradecir el sentido común. Imaginemos un tubo ancho horizontal que se
estrecha en algún puno y después vuelve a ensancharse. El agua corre a través del
tubo y su presión en las diferentes secciones puede ser medida por las alturas de
las columnas de agua en tubos verticales sujetos en distintos puntos sobre el tubo
principal horizontal. Parece a primera vista que la presión será más alta en la
sección estrecha del tubo puesto que el agua ha de comprimirse a su través. Sin
embargo, el experimento directo indica que la situación es exactamente la contraria
y que la presión del agua en la sección estrecha es más baja que en la más ancha.
La explicación puede ser obtenida considerando el cambio de la velocidad del flujo
en las diferentes secciones del tubo. En la sección ancha el agua se mueve
relativamente con más lentitud y se acelera al entrar en la sección más estrecha.
Para acelerar el movimiento del agua debe haber una fuerza que actúa en esa
dirección y la única fuerza que se puede pensar aquí es la diferencia de presión
entre los tubos ancho y estrecho. Como la velocidad del agua aumenta después de
que entra en el tubo estrecho y la fuerza debe actuar en la dirección de la corriente,
la presión en el tubo más ancho tiene que ser más alta que en el tubo más
estrecho.
Se puede demostrar este hecho sin llamar al fontanero, procurándose
simplemente un trozo de tubo de cristal (una boquilla de cigarrillo probablemente
serviría también), un disco de cartón y un alfiler. Se clava el alfiler a través del
centro del disco y se coloca en el tubo, de suerte que el peso del disco presione
sobre el borde del tubo. Si ahora se sopla en el otro extremo del tubo podría
esperarse que el disco sería fácilmente elevado. Inténtese y se verá que no es así y
que cuanto más fuerte se sople más se apretará el disco contra el extremo del tubo.
La explicación está fundada en el principio de Bernoulli. El aire insuflado en el tubo
ha de escapar a través del pequeño resquicio circular entre el extremo del tubo y el
cartón apretado contra él. Este paso es mucho más estrecho que el tubo mismo, de
modo que la presión del aire es mucho menor que la del aire atmosférico. Así, la
presión del aire exterior empuja al cartón contra el extremo del tubo.
El efecto de Bernoulli explica también las fuerzas que sostienen a las alas de un
aeroplano que vuela. El perfil de las alas es tal que la distancia de su borde
delantero al borde posterior es mayor cuando el aire se mueve sobre lo alto de las
alas que más Bien que por debajo. En consecuencia, las masas de aire que se
mueven sobre el ala tienen mayor velocidad y, de acuerdo con Bernoulli, ejercen
una presión menor que las masas de aire que se mueven bajo las alas. La diferencia
entre estas dos presiones explica la elevación del aeroplano.
5. Óptica
Pero hemos de acabar aquí la exposición de la mecánica de Newton para disponer
de algún espacio para la exposición de su óptica. En esta materia, las principales
contribuciones de Newton consisten en los estudios sobre los colores y la prueba
fundamental de que la luz blanca es de hecho una mezcla de rayos de diferentes
colores, desde el rojo al violeta. Los trabajos de Newton en óptica precedieron a su
trabajo fundamental en la mecánica descrito en sus Principia. Cuando tenía
veintitrés años, compró un prisma de cristal "para experimentar los fenómenos de
los colores" y probablemente todos sus descubrimientos fundamentales en este
campo se remontan a este período de su vida. Pero un día de febrero de 1692 dejó
una vela encendida en su cuarto mientras estaba en la capilla y el fuego que se
produjo por accidente destruyó sus papeles, entre ellos una gran obra sobre óptica
que contenía los experimentos e investigaciones de veinte años. Por esta razón, la
primera edición de la Óptica de Newton no apareció hasta 1704 y se puede
preguntar si este retraso se debe efectivamente al incendio y no a la resistencia de
Newton a publicar sus ideas frente a la oposición de su pertinaz antagonista Robert
Hooke, que murió precisamente un año antes de que Newton enviara a la imprenta
su Óptica o Tratado de las reflexiones, refracciones, inflexiones y colores de la luz.
Al principio del libro describe un sencillo experimento que prueba que la luz de
diferentes colores tiene diferente refrangilidad.
Para probarlo, tomó un gran trozo de cartón, una mitad pintada de rojo vivo y la
otra de azul, y colocándolo cerca de la ventana, lo miró a través de un prisma de
cristal. Según las propias palabras de Newton, "observó que si el ángulo de
refracción del prisma giraba hacia arriba, de suerte que el papel parecía que se
elevaba por virtud de la refracción, su mitad azul será elevada por la refracción más
que la mitad roja. Pero si se hace girar hacia abajo el ángulo de refracción del
prisma de modo que el papel parece bajar por la refracción, su mitad azul
descenderá más que la mitad roja." Sobre la base de este experimento dedujo que
la luz azul sufre una refracción mayor que la roja y concluyó que una lente debe
concentrar los rayos azules y rojos en focos a diferentes distancias de ella. Para
probar esta conclusión tomó un trozo de papel, pintado de azul en una mitad y de
rojo en la otra, iluminado por una vela ("porque el experimento fue realizado por la
noche"), y empleando una lente, trató de obtener una clara imagen sobre un trozo
de papel. Para juzgar la claridad de la imagen había tendido a su través varios hilos
negros. Conforme a lo que esperaba, no pudo enfocar simultáneamente las dos
partes del papel. "Con toda diligencia observé los lugares donde las imágenes de las
mitades azul y roja aparecían más distintas y encontré que donde la mitad roja del
papel aparecía distinta y clara, la mitad azul aparecía confusa, de modo que los
hilos negros apenas podían ser vistos; y, por el contrario, donde la mitad azul
aparecía más distinta, la mitad roja aparecía confusa, de modo que las líneas
negras sobre ella eran apenas visibles". Y como esperaba, la imagen de la parte
azul del papel se vela claramente a una distancia más corta que la distancia a que la
parte roja se vela claramente.
El experimento siguiente fue ver lo que ocurría cuando la luz blanca del Sol pasaba
a través de un prisma. Después de hacer un pequeño orificio en la contramadera de
la ventana, colocó un prisma en la trayectoria del angosto rayo de luz que pasaba a
su través y una pantalla blanca a cierta distancia. En lugar de una imagen redonda
del Sol sobre la pantalla, como en la cámara oscura, como ocurriría sin el prisma,
observó una imagen alargada que mostraba un tinte ligeramente azulado en su
parte superior y ligeramente rojo en la inferior, Este hecho le inspiró la idea de que
la luz blanca del Sol está compuesta de rayos de diferentes colores: desde los rayos
azules más refrangibles a los rojos menos refrangibles. Si era así, la imagen
alargada formada en la pantalla estaría formada por muchas imágenes
sobrepuestas del Sol en diferentes colores y únicamente las dos posiciones
extremas serían azul y rojo puros. Para eliminar la superposición de las imágenes
del Sol en la pantalla introdujo en el rayo de luz una lente que concentraba la
imagen del pequeño agujero de la ventana sobre la pantalla y quedó satisfecho al
observar una banda vertical de colores brillantes: rojo, anaranjado, amarillo, verde,
azul y violeta, con todos los matices intermedios. Este fue el primer
"espectroscopio" y la primera prueba de que la luz blanca está compuesta de rayos
de diferentes colores que poseen distinta refrangibilidad.
Para el lector moderno los experimentos de Newton con el prisma pueden parecer
infantiles porque, en efecto, todos los niños pueden realizarlos fácilmente hoy. Pero
la cosa era muy diferente en aquel tiempo cuando se creía generalmente que el
colorido de la luz blanca que pasa a través de los grandes ventanales estañados de
cristal de las viejas catedrales es algo semejante al colorido de la ropa blanca que
se sumerge en una solución de diferentes tintes. Ahora sabemos que la retina del
ojo humano contiene tres clases de células nerviosas sensibles al color: las que
responden a la luz roja, a la luz verde y a la luz azul. Cuando todos los colores del
espectro están presentes en la misma proporción, como ocurre en la luz solar bajo
la cual se ha desarrollado el órgano de la visión durante cientos de millones de años
de la evolución orgánica, tenemos la sensación de la luz "ordinaria" o, como la
llamamos "blanca". Cuando solamente una parte del espectro está presente
tenemos la sensación de los diferentes colores.
Una de las aplicaciones importantes del descubrimiento de Newton de que los rayos
de los diferentes colores tienen diferente refrangibilidad fue su teoría del arco iris. El
bello despliegue de colores aparece en el cielo cuando el Sol brilla en un lado de él
mientras el opuesto está cubierto de pesadas nubes de lluvia. Según la explicación
de Newton lo que vemos en este caso son efectivamente rayos de Sol reflejados por
las diminutas gotas de lluvia de las nubes o que caen con la lluvia. Lo que ocurre
realmente es que los rayos de luz blanca procedentes del Sol inciden sobre las gotas
de agua y son refractados al pasar a su través. Después se produce una reflexión
interior y por la segunda refracción en su trayectoria salen de la gota. El resultado
es que los rayos de diferente color se despliegan a su salida de la gota y los ojos del
observador situado en el suelo con su espalda vuelta al Sol observa los diferentes
colores procedentes de diferentes direcciones en el cielo. La existencia de varios
arcos iris concéntricos se explica suponiendo que, en lugar de ser reflejados una vez
dentro de las gotas de lluvia, los rayos de luz procedentes del Sol se reflejan varias
veces. Debemos mencionar también los llamados "halos", arcos incoloros que se
observan a veces en torno al Sol y especialmente en torno a la Luna. Al contrario
que en el arco iris, se deben a la reflexión (no a la refracción) de los rayos de luz en
los pequeños cristales de hielo que forman las nubes altas conocidas en
meteorología como cirros.
Después de haber demostrado que la luz de diferentes colores tiene diferente
refrangibilidad, Newton dedujo erróneamente que las lentes tienen un defecto
intrínseco para formar imágenes claras de los objetos puesto que los rayos de los
diferentes colores no pueden ser concentrados en el foco a la misma distancia de la
lente. Esto le llevó a la decisión de que los telescopios que emplean lentes de
cristal, como el construido por Galileo, no pueden ser perfeccionados más y debían
ser sustituidos por el telescopio basado en la reflexión de la luz que es
independiente del color. Por esta razón, en el año 1672 construyó un telescopio de
reflexión (o simplemente "reflector"). Consiste en un espejo parabólico M, en el que
se forma la imagen de un objeto celeste en algún punto O dentro del tubo. Antes de
que los rayos luminosos lleguen al foco en O son reflejados por un pequeño espejo
M', situado en el eje del tubo y son desviados al punto O' fuera del tubo donde la
imagen puede ser observada. El error de Newton en este caso resultaba de su
creencia de que los diferentes materiales refractan los diferentes colores de manera
similar. Sólo después de su muerte se vio que esta suposición no era correcta y que
es realmente posible concentrar la luz roja y la luz azul en el mismo punto
empleando lentes compuestas hechas con diferentes clases de cristal (vidrio corona,
flint glass, etc.). Sin embargo, los telescopios de reflexión tienen otras muchas
ventajas prácticas, y de hecho los telescopios más potentes hoy (el de 100 pulgadas
del Monte Wilson y el de 200 pulgadas del Monte Palomar) son reflectores.
Otro curioso descubrimiento de Newton fue los llamados "anillos de Newton" que
aparecen en torno al punto de contacto cuando una lente convexa se coloca sobre
una superficie plana de cristal. Newton describe su trabajo con las siguientes
palabras:
Ha sido observado por otros que sustancias transparentes como cristal, agua,
gire, etc., cuando son muy delgadas por haber sido convertidas en ampollas o en
otro caso en láminas, exhiben diversos colores, según su delgadez, aunque cuando
son muy delgadas aparecen muy claros e incoloros. Al principio de este libro me
abstuve de tratar sobre estos colores, porque me parecen de una consideración más
difícil y no era necesario para establecer las propiedades de la luz allí expresadas.
Pero como pueden conducir a descubrimientos posteriores para completar la teoría
de la luz, especialmente en cuanto a la constitución de las partes de los cuerpos
naturales cuyos colores o transparencia dependen de ella, he aquí una explicación...
Figura 16. Formación de los anillos de Newton.
Tomo dos objetivos: uno, una lente plano-convexa para un telescopio de catorce
pies y el otro una gran lente doble-convexa para un telescopio de cincuenta pies; y
sobre ésta, pongo la otra con su parte plana hacia abajo. Los aprieto y junto
lentamente hasta hacer que los colores surjan en medio de los círculos y después
levanto lentamente la lente superior separándola de la inferior para que los colores
vayan desvaneciéndose sucesivamente en el mismo lugar. El color, que al unir los
cristales surgió el último en el centro de los demás colores, apareció primero como
un círculo de un color casi uniforme desde la circunferencia al centro y al continuar
juntando más los cristales se extendió cada vez más hasta que un nuevo color
apareció en su centro y por tanto se convirtió en un anillo que circunda al nuevo
color. Si se juntan aún más las lentes, el diámetro de este anillo aumenta y la
anchura de la órbita o perímetro decrece hasta que aparece un nuevo color en el
centro del último. Y así hasta que un tercero, un cuarto, un quinto y otros colores
sucesivos van apareciendo y se convierten en anillos que circundan al color más
interior, el último de los cuales es una mancha negra. Y, por el contrario, separando
el cristal superior del inferior, el diámetro de los anillos disminuye hasta que sus
colores van alcanzando el centro y entonces al ir siendo de una considerable
anchura, pude discernir más fácilmente que antes sus especies. Y por este medio
observé su sucesión y cantidad como sigue:
Primero, a la mancha central trasparente producida por el contacto de las lentes,
siguieron azul, blanco, amarillo y rojo. El azul era tan pequeño en cantidad que no
lo pude discernir en los círculos producidos por el prisma ni pude distinguir ningún
violeta en él, pero el amarillo y el rojo eran muy copiosos y parecían casi tan
extensos como el blanco y cuatro o cinco vetes más que el azul. El siguiente circuito
en el orden de los colores circuyendo inmediatamente estos eran violeta, azul,
verde, amarillo y rojo, todos ellos copiosos y vívidos, excepto el verde que era poco
en cantidad y parecía mucho más apagado y diluido que los demás. De los otros
cuatro, el violeta era el menos extenso y el azul menos que el amarillo o el rojo. El
tercer circuito u orden era púrpura, azul. verde, amarillo y rojo; el color purpúreo
parecía más rojizo que el violeta en el circuito anterior, y el verde era mucho más
acusado al ser tan vivo y copioso como cualquiera de los colores, excepto el
amarillo, pero el rojo comenzaba a hacerse más apagado, tendiendo mucho hacia el
púrpura. Después de este seguía el cuarto circuito de verde y rojo. El verde era muy
copioso y vivaz, tendiendo por un lado al azul y por el otro al amarillo. Pero en este
cuarto circuito no había violeta, azul ni amarillo y el rojo era muy imperfecto y
sucio. También los colores siguientes eran cada vez más imperfectos y diluidos,
hasta que después de tres o cuatro revoluciones terminaron en la perfecta blancura.
Al medir el radio de los seis primeros anillos (en sus partes más brillantes), Newton
vio que sus cuadrados forman la progresión aritmética de los números impares: 1,
3, 5, 7, 9, 11. Por otra parte, los cuadrados de los radios de los anillos oscuros
forman una progresión de números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12. La situación se
muestra en la Figura 16, que representa la sección transversal de las superficies
convexa y plana de cristal cerca del punto de contacto. En el eje horizontal están
señaladas las distancias a las raíces cuadradas de los números enteros: 1 = 1; 2
= 1,41; 3 = 1,73; 4 = 2, 5 = 2,24, etc., en las cuales Newton observó los
máximos y mínimos alternativos de luz. Observamos esta figura y se puede probar
también matemáticamente que las distancias verticales entre las dos superficies de
cristal aumenta en una sencilla progresión aritmética: 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.
Conociendo el radio de la lente convexa, Newton pudo calcular fácilmente el espesor
de la capa de aire en los lugares donde aparecen los anillos brillantes y oscuros.
Newton dice:
...la 1/89.000 parte de una pulgada es el espesor del aire en la parte más oscura
del primer anillo formado por rayos perpendiculares; y la mitad de este espesor del
aire en las partes más luminosas de todos los anillos más brillantes, a saber:
1/178.000, 3/178.000, 5/178 000, 7/178.000 ' etcétera, sus medias aritméticas:
2/178 000, 4/178.000, 6/178.000, etc. que es su espesor en las partes oscuras de
todos los oscuros.
Contrariamente a la aserción antes citada de Newton de que los colores de arco iris
de las capas delgadas "no son necesarios para establecer las propiedades de la luz",
los anillos de Newton representan una de las mejores pruebas de la naturaleza
ondulatoria de la luz, una verdad que Newton no guiso reconocer hasta su muerte.
Los anillos son el resultado de la llamada "interferencia" entre dos rayos de luz
reflejados por dos superficies de cristal separadas a distancias variables. Cuando un
estrecho rayo de luz cae desde arriba sobre la frontera entre el cristal de la lente
superior y la capa de aire entre las dos lentes, una parte es reflejada mientras que
el resto entra en el aire. Entonces se produce una segunda reflexión parcial cuando
el rayo penetra en el cristal de la lente inferior y los dos rayos reflejados se mueven
juntos hacia arriba hasta los ojos del observador. Lo que ocurre en este caso queda
ilustrado gráficamente en la Figura 17.
Figura 17. Explicación de Young de los anillos de Newton.
Por las conveniencias del dibujo, las ondas se representan mediante tronos oscuros
y blancos que corresponden a sus crestas y depresiones. Asimismo, los rayos de luz
no están dibujados exactamente perpendiculares a la cara intermedia para evitar
que se sobrepongan; este es el caso en cierto modo en la observación efectiva,
puesto que la fuente de luz y la cabeza del observador no pueden estar en la misma
línea. En la Figura 17 a vemos lo que ocurre cuando el espesor de la capa de aire es
igual a la mitad de la longitud de onda de la luz incidente (en la figura la longitud de
onda se representa con la longitud total de un trozo blanco y otro oscuro). En este
caso, la onda reflejada por la superficie de la lente inferior se une a la onda
reflejada por la superior de tal manera que la cresta de la primera onda coincide con
las depresiones de la segunda, y viceversa. Si las dos ondas son de la misma
intensidad se anulan completamente una a otra; en caso contrario, la intensidad
quedará considerablemente reducida. En la Figura 17 b tenemos el caso de que el
espesor del aire es igual a la mitad (ó 2/4) de la longitud de onda. Los dos rayos
reflejados se propagan entonces cresta con cresta, depresión con depresión, y
tenemos aumentada la intensidad. En la Figura 17 b la capa de aire es 3/4 de la
longitud de onda y la situación es idéntica a la de la Figura 17 a. Para mayores
espesores de la capa de aire, tendremos alternativamente luz y sombra para cada
cambio en que el espesor aumente por 1/4 de la longitud de onda. En el caso del
experimento de Newton, el espesor aumenta continuamente conforme se separa del
punto de contacto, de suerte que se observarán alternativamente anillos oscuros y
brillantes. Como la luz de los diferentes colores corresponde a las diferentes
longitudes de onda, los radios de los anillos de diferentes colores serán algo
diferentes y observaremos los anillos arco irisados como los vio Newton. Tomando
las cifras antes citadas de Newton para los espesores del aire encontramos que la
longitud de la onda de luz que produciría los anillos de aquellos radios debe ser
4/178000 pulgadas ó 0,58 x 104 cm. Como ahora sabemos, ésta es precisamente la
longitud de onda de la luz amarilla, la parte más brillante del espectro visible.
Pero Newton se opuso violentamente a la teoría ondulatoria de la luz,
principalmente porque no veía cómo con ella se podría explicar la propagación
rectilínea de los rayos luminosos. Insistía en que la luz tiene que ser una corriente
de partículas que se precipitan a gran velocidad a través del espacio. Así, para
explicar la aparición de los anillos de interferencia inventó una complicada teoría de
"fits (espromos) de fácil reflexión y transmisión", según la cual:
...todo rayo de luz a su paso a través de una sustancia refringente es puesto
en un cierto estado o constitución transitoria, que durante el avance del rayo
se repite a intervalos iguales y hace que el rayo a cada repetición sea
fácilmente transmisible a través de la siguiente superficie refringente y entre
las repeticiones sea fácilmente reflejada por ella.
La "longitud de fit" corresponde evidentemente a lo que ahora llamamos "longitud
de onda", y concluía que esta "longitud de fit" es mayor para la luz roja y menor
para la azul. Pero escribe:
Qué clase de acción o disposición es esta, si consiste en un movimiento circular
o vibratorio del rayo o del medio o alguna otra cosa, no lo investigo aquí.
El antagonista de Newton en las discusiones acerca de la naturaleza de la luz, y el
hombre cuya teoría triunfó posteriormente fue el físico holandés Christian Huygens,
trece años más viejo. Las razones por las que Huygens prefería considerar la luz
como ondas que se propagan a través de algún medio universal que llena el espacio
más bien que como un rayo de partículas que se mueven rápidamente se
encuentran resumidas, de la mejor manera, en un pasaje de su libro Traité de la
lumière, publicado en 1690:
6. Sobre la propagación de la luz
Los procedimientos de prueba en la óptica, lo mismo que en otras ciencias en
que se aplica la Geometria a la materia, están balados en verdades derivadas
de la experiencia; por ejemplo, el hecho de que los rayos luminosos se
propagan en línea recta, que el ángulo de reflexión es igual al de incidencia, y
que la refracción obedece a la regia de los senos, tan bien conocida hoy y no
menos cierta que las otras.
La mayoría de los que han escrito sobre las diferentes partes de la óptica se
han contentado con tomar estas verdades como seguras. Algunos, más
investigadores, se han esforzado en descubrir sus orígenes y causas, puesto
que los consideraban como efectos maravillosos inherentes de la naturaleza.
Sin embargo, como las opiniones ofrecidas, aunque ingeniosas, no son tales
que gentes más inteligentes no necesitarían otras explicaciones de un género
más satisfactorio, quiero presentar aquí mis pensamientos sobre la materia, de
suerte que, poniendo toda mi habilidad, pueda contribuir a la solución de esta
parte de la ciencia que no sin razón se considera como una de las más difíciles.
Reconozco mi gran deuda con todos los que primeramente comenzaron a
disipar la extraña oscuridad que rodea estas cosas y que suscitaron la
esperanza de que podían ser, no obstante, explicadas racionalmente. Pero, por
otra parte, no estoy poco sorprendido de que muy a menudo han considerado
como ciertas y probadas conclusiones que tan sólo son demasiado endebles;
en mi opinión, ciertos conocimientos no han ofrecido una explicación
satisfactoria, ni siquiera del primer y más importante fenómeno de la luz, a
saber, por qué se propaga precisamente en línea recta y cómo rayos de luz
que llegan de direcciones infinitamente diferentes se cruzan sin estorbarse
unos a otros.
Por esta razón, intentaré en este libro, de acuerdo con los principios sostenidos
por la filosofía contemporánea, dar razones más claras y probables de las
propiedades: primero, de la propagación rectilínea de la luz, y, segundo, de la
reflexión de la luz cuando encuentra otros cuerpos. Después explicaré aquellos
fenómenos de los rayos que, al atravesar clases diferentes de cuerpos
transparentes, sufren la llamada refracción, y en esto trataré también de los
efectos de la refracción en el aire producidos por las diferencias en la densidad
de la atmósfera.
Continuaré investigando la extraña refracción de la luz de un cristal especial
traído de Islandia. Finalmente trataré de las diferentes formas de los cuerpos
transparentes y reflectantes, por medio de los cuales se hace converger los
rayos en un punto o son desviados en las direcciones más diferentes. En esto
veremos qué fácilmente nuestra nueva teoría lleva al descubrimiento, no sólo
de las elipses, hipérbolas y otras curvas que Descartes- ha sugerido
ingeniosamente para este efecto, sino también de aquellas figuras que forman
la superficie de un cristal, cuando la otra superficie se sabe que es esférica,
plana o de cualquier otra forma...
Ahora bien, puesto que, de acuerdo con esta filosofía, se tiene por cierto que el
sentido de la vista es estimulado únicamente por la impresión de un cierto
movimiento de materia que actúa sobre los nervios en el fondo de nuestros
ojos, esto es una razón más para creer que la luz consiste en un movimiento
de la materia entre nosotros y el cuerpo luminoso. Si además tenemos en
cuenta y consideramos la extraordinaria velocidad con que la luz se esparce en
todas direcciones y también el hecho de que procediendo, como lo hace, de
direcciones muy diferentes y en verdad opuestas, los rayos se interpenetran
sin obstruirse unos a otros, entonces podemos comprender que siempre que
vemos un objeto luminoso, esto no puede ser debido a la transmisión de la
materia que nos llega del objeto, como por ejemplo un proyectil o una flecha
que vuela en el aire, porque esto es una patente contradicción de las dos
propiedades de la luz y en particular de la segunda. Así pues, debe propagarse
de otro modo y precisamente nuestro conocimiento de la propagación del
sonido en el aire puede llevarnos a comprender cuál es este modo.
Sabemos que por medio del aire, que es un cuerpo invisible e impalpable, el
sonido se propaga a través de todo el espacio que rodea su fuente por un
movimiento que avanza gradualmente de una partícula del aire a la siguiente,
y como la propagación de este movimiento se realiza con la misma velocidad
en todas direcciones deben formarse superficies esféricas que se extienden
cada vez más para, al fin, alcanzar nuestros oídos. Ahora bien, no hay duda de
que la luz también nos llega de los cuerpos luminosos por medio de algún
movimiento que se comunica a la materia intermedia, porque ya hemos visto
que no puede ocurrir por virtud de la traslación de un cuerpo que puede llegar
a nosotros desde allí. Si ahora, como investigaremos en seguida, la luz
necesita tiempo para su recorrido, se sigue que este movimiento comunicado a
la materia debe ser gradual y que, como el sonido, debe propagarse en
superficies esféricas u ondas; las llamo ondas a causa de su analogía con las
que vemos formarse en el agua cuando arrojamos en ella una piedra y a causa
de que nos permiten observar una gradual propagación semejante en círculos,
aunque son debidos a una causa diferente y únicamente se forman en una
superficie plana...
Considerando la propagación de ondas, sea en la superficie del agua, en el aire, o
en el misterioso "éter cósmico", vehículo de las ondas de luz, Huygens basaba sus
argumentos en un sencillo principio que ahora lleva su nombre. Supongamos, para
emplear el caso más familiar y obvio, que arrojamos una piedra sobre la quieta
superficie de un estanque. Vemos una onda circular o más bien una serie de ondas
que se extienden alrededor del punto en que la piedra hirió la superficie. Dada la
posición de la onda en un cierto momento, ¿cómo averiguar su posición poco tiempo
después? Según el principio de Huygens, cada punto del frente de una onda que se
propaga puede ser considerado como fuente de una nueva onda u ondita y la nueva
posición del frente de la onda es el evolvente común de todas estas pequeñas ondas
emitidas desde todos los puntos del frente de onda en su posición anterior.
La aplicación más brillante del principio de Huygens fue su explicación de la
refracción de la luz, mostrada en la Figura 18.
Figura 18. Explicación de Huygens de la refracción de la luz.
Supongamos un frente de onda plana que cae desde el lado izquierdo superior sobre
la cara intermedia entre el aire y el cristal (u otros dos medios cualesquiera).
Cuando este frente de onda está en la posición aa' y toca la cara intermedia en el
punto a, una pequeña onda esférica comienza a propagarse en el cristal desde este
punto. Como el frente de la onda avanza en el aire, otras pequeñas ondas son
emitidas consecutivamente desde los puntos b, c, etc. El dibujo corresponde al
momento en que el frente de onda que avanza está en la posición dd' y la pequeña
onda en el cristal está comenzando desde el punto d. Para encontrar la posición del
frente de onda en el cristal tenemos que tratar una línea que envuelve a todas las
pequeñas ondas, la cual, en este caso, será una línea recta. Si, como se supone en
el dibujo, la velocidad de la luz en el cristal es menor que en el aire (es decir, si los
radios de las pequeñas ondas esféricas son menores que las distancias entre las
sucesivas posiciones del frente de la onda en el aire) el frente de la onda en el
cristal se inclinará hacia abajo y los rayos refractados se acercarán más a la vertical
que los incidentes; esto es lo que sucede efectivamente cuando la luz pasa del aire
al cristal. Si la velocidad de la luz en el cristal fuera mayor que en el aire, se
produciría la situación contraria. Para encontrar la relación entre el ángulo de
incidencia i y el ángulo de refracción r14 consideremos dos triángulos rectángulos
bde y bdf, que tienen una hipotenusa común. Conforme a la definición del seno:
;
Dividiendo la primera ecuación por la segunda tenemos:
donde Vaire y Vcristal son la velocidad de la luz en los dos medios. Esta es
exactamente la ley de Snell, con la corrección de que la razón de los dos senos,
conocida como índice de refracción, es igual a la razón de las velocidades de la luz
en los dos medios. De aquí se sigue que la velocidad de la luz en un medio más
denso (como el cristal) es menor que en un medio menos denso (como el aire).
14 Ambos ángulos pueden ser definidos, bien como los ángulos entre la dirección de los rayos y la perpendicular al límite entre los dos medios o como los ángulos entre los frentes de onda y su límite.
Es interesante advertir que la teoría corpuscular de la luz de Newton nos llevaría a
conclusiones exactamente contrarias. En efecto, para explicar la curvatura de los
rayos que pasan del aire al agua sobre la base de la teoría corpuscular sería
necesario suponer que hay allí alguna fuerza perpendicular a la cara intermedia que
empuja las partículas de la luz cuando la cruzan. En este caso, claro está, la
velocidad en el cristal seria mayor que en el aire.
7. El triunfo de la teoría ondulatoria de la luz
A pesar de las evidentes ventajas de la teoría ondulatoria de Huygens sobre la teoría corpuscular de Newton, no fue aceptada durante un período muy largo de tiempo. Esto se debió en parte a la gran autoridad de Newton entre sus contemporáneos y particularmente a la poca habilidad de Huygens en desarrollar sus ideas con la suficiente precisión matemática para hacerlas invulnerables a todas las objeciones. Así, la cuestión sobre la naturaleza de la luz quedó pendiente durante un siglo hasta la aparición en 1800 de un trabajo del físico inglés Thomas Young, titulado "Esbozos de experimentos e investigaciones respecto a la luz y el sonido". En él, Young explica el fenómeno de los anillos de Newton sobre la base de la naturaleza ondulatoria de la luz y describe su propio experimento con el cual se puede demostrar del modo más elemental la interferencia de dos rayos de luz. Para este experimento (Figura 19), hizo dos agujeros muy próximos en la pantalla que cubría la ventana de un cuarto oscuro.
Figura 19. Experimento de interferencia por Young.
Cuando los agujeros eran relativamente grandes, la luz del Sol pasaba a su través
formando dos manchas de luz en otra pantalla situada a alguna distancia de ellos.
Pero cuando los agujeros eran muy pequeños, los rayos luminosos que pasaban a
su través se propagaban de acuerdo con el principio de Huygens y las dos manchas
se extendían y parcialmente se sobreponían una a otra. En la región donde la
pantalla recibía la luz de ambos agujeros, Young observó una serie de bandas finas
arco irisadas separadas por intervalos oscuros, absolutamente idénticas a los anillos
de Newton. Cuando los agujeros de la pantalla estaban separados 1 milímetro y la
otra pantalla a 1 metro de distancia, las bandas eran de 0,6 de anchura. La
explicación de este fenómeno se funda en la interferencia de las ondas luminosas, lo
mismo exactamente que en el caso de los anillos de Newton. El punto a en la
pantalla que está situado exactamente a la mitad entre los centros de las dos
imágenes equidista de los dos agujeros O y O', y las ondas llegan allí "en fase", es
decir, coincidiendo cresta con cresta y depresión con depresión. El movimiento de
las dos ondas se suma y se produce un aumento de la iluminación. Lo mismo ocurre
en el punto c, cuyas distancias de O y O' difieren en una longitud de onda. Por otra
parte, en los puntos b y d, para los cuales bO-b'O y dO-d'O difieren en media
longitud de onda y por 1 1/2 longitud de onda respectivamente, las ondas de luz
que llegan están "fuera de fase" y las crestas se sobreponen a las depresiones. Aquí
se observan bandas oscuras.
Los trabajos de Thomas Young y su gran contemporáneo, el francés Augustin Jean
Fresnel, establecieron firmemente la validez de la teoría ondulatoria de la luz y de
este modo Huygens ganó después de muerto la disputa de toda su vida con
Newton.
8. Un cristal de Islandia
Otro problema tratado pero no resuelto por Newton y Huygens fue el de la
polarización de la luz. En 1669, el filósofo danés Erasmus Bartholin descubrió que
los cristales de un mineral transparente llamado espato de Islandia tienen la
peculiar propiedad de dividir los rayos que pasan a su través en una cierta dirección
en dos rayos separados. Si el cristal gira en torno a la dirección del rayo incidente,
uno de los dos rayos que resultan, llamado el rayo ordinario, queda estacionario,
mientras que el otro, el rayo extraordinario, se mueve en torno cuando gira el
cristal. Huygens interpretó este fenómeno, suponiendo que una onda luminosa que
penetra en el cristal de espato de Islandia (y de algunos otros cristales) se divide en
dos ondas: una que se propaga con la misma velocidad en todas direcciones a
través del cristal y otra cuya velocidad depende de su dirección respecto a la línea
del eje del cristal. La idea de Huygens acerca de cómo esta diferencia en la
propagación de las velocidades lleva a la formación de dos rayos se muestra en la
Figura 20 y está fundada, naturalmente, en el principio de Huygens.
Figura 20. Explicación de Huygens de la doble refracción.
Cuando el rayo luminoso cae verticalmente sobre la superficie del espato de
Islandia, se forman dos series de pequeñas ondas, las esféricas y las elipsoidales.
Las esféricas dan lugar a un frente de onda que 'es continuo en la misma dirección
del rayo incidente mientras las elipsoidales hacen que el frente de onda resultante
se desvíe de continuo lateralmente, formando de este modo el rayo extraordinario.
Después de que ambos rayos salen del cristal, únicamente se forman en el aire
ondas esféricas, y los dos rayos corren paralelamente. Aunque esta explicación
dada por Huygens es completamente correcta, no pudo explicar por qué las ondas
de luz se propagan en el cristal de dos maneras diferentes. Esto es porque creía que
las oscilaciones de las ondas de luz se realizan en la dirección de su propagación
(vibración lineal) como en el caso del sonido, y en tal caso no habría ninguna
diferencia si se hace girar al cristal en torno de la dirección del rayo incidente. Por
su parte, Newton no creía en las ondas y pequeñas ondas de Huygens y buscaba la
explicación de este fenómeno (conocido como "doble refracción"), suponiendo que
las partículas que forman los rayos ordinario y extraordinario se orientan de modo
diferente en la dirección perpendicular al rayo. En la segunda edición de su óptica
compara la diferencia entre los dos rayos con la diferencia entre dos largas varillas,
una de sección transversal circular y otra con sección rectangular. Si se hace girar la
primera varilla en torno a su eje no se observa ninguna diferencia, lo que
evidentemente no es el caso de la segunda varilla. "Todo rayo de luz —escribe
Newton— tiene, por tanto, dos lados opuestos, dotados originariamente de la
propiedad de la cual depende la refracción insólita y el otro dos lados opuestos que
carecen de esa propiedad". Dándose cuenta de que los rayos de luz deben tener
ciertas propiedades transversales (es decir, perpendiculares a la dirección de
propagación) Newton no pudo ver lo que podía ser. Sólo mucho más tarde, gracias
a los trabajos del físico francés Etienne Malus (1775-1812) y otros, las ideas de
Huygens y Newton referentes a esta cuestión fueron resumidas en un único punto
de vista. No hay duda de que la luz no es más que propagación de ondas a través
del espacio, pero las vibraciones del medio no se producen en la dirección de la
propagación, como Huygens pensaba, sino perpendicularmente a ella. La diferencia
entre el rayo ordinario y el extraordinario en el espato de Islandia es que, en el
primer caso, las vibraciones se realizan en el plano que pasa a través del rayo y del
eje del cristal mientras en el otro caso son perpendiculares a él.
El descubrimiento de la naturaleza transversal de las vibraciones de la luz no
terminó con los apuros de los físicos de la generación siguiente. En efecto, las
vibraciones transversales sólo pueden existir en cuerpos sólidos que resisten al
corte y al doblamiento. Esto significa que el éter cósmico, el hipotético vehículo de
la luz, no era un gas muy rarificado, como Huygens había imaginado, sino ¡un
cuerpo sólido! Si el éter que lo penetra todo es sólido ¿cómo pueden los planetas y
otros cuerpos celestes moverse a su través sin encontrar prácticamente ninguna
resistencia? Y, además, aun si se supone que el éter cósmico es una materia sólida
muy ligera y fácilmente comprimible, como el Styrofoam empleado actualmente en
muchas conexiones, el movimiento de los cuerpos celestes horadaría en él tantos
canales que perdería pronto su propiedad de transportar las ondas luminosas a
largas distancias. El enigma estuvo abrumando a los físicos durante muchas
generaciones hasta que finalmente le resolvió Albert Einstein, arrojando el éter
afuera por las ventanas de las aulas de física.
9. El eclipse de Newton
A la edad de cincuenta años, Newton resolvió abandonar la vida académica y
comenzó a buscar una posición que le reportase mejores ingresos. Se le ofreció el
cargo de director de la Charterhouse15 en Londres, pero la oferta no le gustó mucho.
En su carta rechazando el cargo escribió:
Le agradezco mucho haber sido recordado en Charterhouse pero no veo en ello
nada que valga la pena de hacer un esfuerzo: aparte de un coche (que
evidentemente se le ofreció), que no me importa, se trata de 200 libras por
año con un confinamiento en el aire de Londres y con tal manera de vivir que
no me gusta; ni pienso que sería conveniente entrar en tal competencia como
sería por una plaza mejor.
En 1696, a la edad de cincuenta y cuatro años fue nombrado celador y después
director de la Casa de la Moneda de Londres y comenzó a hacer dinero, literal y
efectivamente. En 1705 fue nombrado caballero y se convirtió en Sir Isaac y recibió
otros muchos honores. Pero en los últimos veinticinco años de su vida (murió en
1727 a la edad de ochenta y cinco años) no hizo ningún descubrimiento importante
como cuando parecían desbordar del cuerno de la abundancia a sus veinticinco
años. Algunos biógrafos lo atribuyen a la ancianidad, alguno dice que fue a causa de
que había agotado todas las ideas posibles que podían haber surgido en su época.
¡De todas maneras hizo bastante!
15 Una escuela distinguida para la aristocracia inglesa
